文档文本内容
2.3 函数的对称性、周期性、图像（精讲）
考向一 函数的对称性
【例1-1】（24-25 高三下·四川成都·开学考试）已知函数
，则（ ）
A．
关于点
对称
B．
关于点
对称
C．
关于直线
对称
D．
关于直线
对称
【答案】C
【解析】对于A：
，A 错；
对于B：
，B 错；
对于C：由
，
所以
关于直线
对称，C 对；
对于D，
，故D 错；
故选：C
【例1-2】（2025·河北沧州·模拟预测）已知函数
的定义域为
，满足
为奇函数，
为偶函
数，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】根据题意，因为函数
为奇函数，所以
，
即
， 所以
的图象关于点
成中心对称，所以
.
又因为
为偶函数，所以
，
即
，所以
的图象关于直线
对称，所以
.
故选：D.
【例1-3】（2025·河南·一模）已知曲线
关于点
中心对称，则
（ ）
A．2
B．1
C．
D．
【答案】C
【解析】因为
关于点
中心对称，所以
，
所以
，可得
，故选：C．
【一隅三反】
1.（24-25 安徽蚌埠·期末）若函数
是奇函数，则下列各点一定是函数
图象对称中心的是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】因为函数
是奇函数，所以函数
的图象关于原点对称，
又函数
的图象是
的图象向左平移1 个单位，向上平移2 个单位得到的，
所以函数
图象对称中心的是
，故选：B
2．（24-25 高三上·河北保定·期末）已知函数
，则
的图象（ ）
A．关于直线
对称
B．关于点
对称
C．关于直线
对称
D．关于原点对称
【答案】B
【解析】函数
，
对于A，
，
故A 错误；
对于B，
，故B 正确；
对于C，
，故C 错误；
对于D，
，故D 错误.
故选：B.
3．（2025 高三·全国·专题练习）（多选）下列关于函数
的正确结论有（ ）
A．
无对称轴
B．
无对称中心
C．
有对称轴
D．
有对称中心
【答案】BC
【解析】
的图像关于
对称的折线，
函数
的图像是由
向下平移2 个单位，
再把
轴下方的部分沿
轴对称翻折到
轴上方，函数
的对称轴仍为
，无对称中心．
故选：BC.
4．（2026 高三·全国·专题练习）（多选）下列说法正确的是（ ）
A．函数
的图象关于点
中心对称
B．函数
满足
为奇函数，则函数
关于点
中心对称
C．若函数
过定点
，则函数
过定点
D．若函数
的图象关于点
中心对称，则
【答案】ABC
【解析】对于A 中，函数
，
其图象可以由
的图象向左平移2 个单位长度，再向上平移2 个单位长度得到，
且
的图象关于原点对称，故
的图象关于点
中心对称，所以A 正确；
对于B 中，因为
为奇函数，可得
，
所以
，所以
，
所以函数
关于点
中心对称，所以B 正确；
对于C 中，函数
的图象向右平移1 个单位长度，再向上平移1 个单位长度，得到函数
的
图象，
由于
过定点
，所以函数
过定点
，所以C 正确；
对于D 中，函数
的图象关于点
中心对称，
所以
，解得
，所以
，所以D 不正确．
故选：ABC.
5．（24-25 高三下·河南周口·阶段练习）若函数
的图象关于直线
对称，则
．
【答案】
【解析】因为函数
的图象关于直线
对称，
所以
对
恒成立，
所以
恒成立，
所以
恒成立，
所以
恒成立，
恒成立，
所以
恒成立，所以
恒成立，所以
.
故答案为：
.
6．（2025 高三·全国·专题练习）若函数
的图象关于点
对称，则
.
【答案】
【解析】设
是
的图象上一点，
关于点
的对称点为
，
由题知点
也在
的图象上，则
，
两式相加得
，
所以
恒成立，故
，
且
，整理得
.
若
，则
，此时
的图象不关于点
对称，不符合要求；
若
，则
，符合要求，所以
.
法二：
由
的图象关于点
对称，得函数
的定义域关于
对称，
即
的解集关于
对称，得
，所以
，
设
，
则
，
故
的图象关于点
对称，
故
的图象关于点
对称，
所以
，所以
.
故答案为：
.
考向二 函数的周期性
【例2-1】（2025·上海嘉定·三模）函数
，
满足
，当
，
，
则
.
【答案】1
【解析】因为
满足
，所以
的周期为
，
.
故答案为：1.
【例2-2】（2026 高三·全国·专题练习）已知函数
满足对于任意的实数
，都有
，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．1
【答案】B
【解析】由
得
，所以函数
的周期
，
所以
．故选：B.
【例2-3】（2026 高三·全国·专题练习）已知奇函数
的图象关于直线
对称且
，则
（ ）
A．
B．1
C．0
D．3
【答案】B
【解析】
的图象关于直线
对称，
，
又
为奇函数，
，
，
，
是以4 为一个周期的周期函数，
．
故选：B.
【例2-4】（2025·河北张家口·一模）已知定义在实数集上的函数
满足以下条件：①
；②
；③
.则
（ ）
A．
B．0
C．1
D．2
【答案】A
【解析】由①
可得
，
由②
可得
，
因此
，所以
的周期为8，
，
由于
，
，
故选:A
【例2-5】（2026 高三·全国·专题练习）已知函数
及其导函数
的定义域都为R，且
为偶函数，
为奇函数，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由函数
为偶函数，可得
，即
，
可得函数
关于
对称，则
，
又由
是奇函数，可得
，
所以函数
关于点
对称，则
，且
，
所以
，即
，即函数
的周期是4，
则
，
由
，可得
，
所以
，则
，
即
，所以
，
即导函数
关于点
对称，且
，
又由
，可得
，即导函数
的周期是4，
则
，所以
．
故选：D．
【一隅三反】
1．（2026 高三·全国·专题练习）已知定义在
上的奇函数
满足
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】因为定义在
上的奇函数
满足
，
所以
，所以
，即
，
所以
是周期为
的周期函数，且
，
，
所以
．
故选：C．
2（2025·山西·一模）已知
是定义在R 上的奇函数，且
的一个周期为4，若
，则
（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3
【答案】C
【解析】由题
故
．又
，
，故
．
结合周期性可知
，
故
．
故选：C
3.（2024·陕西榆林·二模）已知定义在
上的函数
满足
，当
时，
，则
（ ）
A．1
B．2
C．
D．-2
【答案】B
【解析】因为
，所以
，
所以
是以4 为周期的周期函数，所以
.故选：B
4.（24-25 高三下·甘肃白银·阶段练习）已知函数
，
的定义域均为R，
为偶函数，
为奇
函数，
，
，则
（ ）
A．
B．0
C．2
D．2025
【答案】A
【解析】因为
为偶函数，所以
①，
因为
，所以
，
，
结合①有
②，
因为
为奇函数，所以
，所以
，
结合②有
，
所以
，所以
，所以
的周期为8，
所以
，
同理，由
，得
，
因为
，所以
，即
，
因为
，所以
，
则
，则
，
所以
，所以
，所以
的周期为8，
所以
，
由
．得
，所以
．即
，
所以
．
故选：A．
考向三 函数性质的综合应用---解不等式
【例3-1】（2025·河南·三模）已知定义在
上的函数
的图象是一条连续不断的曲线，且
满足
在区间
上单调递减，
，则关于
的不等式
的解集为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由
得
的图象关于直线
对称，
又
，得
，解得
，
由
在
上单调递减，可知
在
上单调递增，
画出
的大致图象如下所示，
结合图象及
可得
或
，
解得
或
，
不等式
的解集为
.
故选：D.
【一隅三反】
1.（2025·河北）已知函数
为偶函数，且函数
在
上单调递增，则关于x 的不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】因为
为偶函数，所以
的图象关于y 轴对称，则
的图象关于直线
对称．
因为
在
上单调递增，所以
在
上单调递减．
因为
，所以
，解得
．
故选：A.
2.（2025 广东）已知函数
的定义域为R，
，且
在
上单调递减，则关于
的不
等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】（C
【解析】因为
，
，所以函数
的图象关于直线
对
称，又
在
上单调递减，所以
在
上单调递增，
结合草图可知：要使
，则
到
的距离小于
到
的距离，故不等式
等价于
，两边同时平方后整理得
，解得
或
.
故选：C．
3.（2026 高三·全国·专题练习）已知函数
的定义域为
，且
为偶函数，
在
上单调递
减，则不等式
的解集为 ．
【答案】
【解析】
是偶函数，
的图象关于直线
对称，
的图象关于直线
对称，
又
在
上单调递减，
在
上单调递增．
又
，
，
，
，即
，
，
原不等式的解集为
．故答案为：
.
考向四 函数性质的综合应用---比较大小
【例4】（24-25 高三下·湖北·阶段练习）已知定义域为
的函数
满足
，且当
时，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由
可知，函数
的图象关于直线
对称，
当
时，
，所以函数
在
上单调递增，
所以
在
上单调递减，又
，
因为
，所以
，即
.
故选：D.
【一隅三反】
1.（2026 高三·全国·专题练习）已知定义在R 上的奇函数
满足
，当
时，
单
调递增，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
，∴函数
是周期为4 的周期函数，
，
又因为当
时，
单调递增，
，即
．
故选：B.
2.（2025·江西九江·二模）已知
是定义在
上周期为2 的偶函数，且当
时，
.设
，
，则
的大小关系是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
，
且
在[0，1]上单调递减，因为
，所以
，
故选:B.
3.（23-24 高三上·福建龙岩·阶段练习）（多选）定义在R 上的奇函数
满足
，且当
时，
，则下列结论不正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABD
【解析】定义在R 上的奇函数
，由
，得
，
则
，函数
是周期为4 的周期函数，
函数
在
上都单调递增，则函数
在
上单调递增，
，
，而
，
所以
，C 正确，ABD 错误.
故选：ABD
考向五 函数4 大性质的综合应用
【例5-1】（2025 高三·全国·专题练习）已知定义在
上的函数
满足
，且
为偶函数，则下列说法正确的是（ ）
A．函数
的周期为2
B．函数
的图象关于直线
对称
C．函数
为奇函数
D．函数
的图象关于点
对称
【答案】D
【解析】对于A，由
，得
，
则
，函数
的周期为4，
取
，则
，
为偶函数，
而
最小正周期为
，故A 错误；
对于B， 由
为偶函数，得
，
故
，
所以函数
的图象关于直线
对称且关于点
对称，B 错误；
对于C，由选项B 知，
，则函数
为偶函数，C 错误；
对于D，由
，
，得
，
则
，函数
的图象关于点
对称，D 正确.
故选：D
【例5-2】（2026·广西）已知
，
分别为定义在R 上的
，
的导函数，且
，
，若
是偶函数，则下列结论一定正确的是（ ）
A．函数
的图象关于点
对称
B．函数
的图象关于直线
对称
C．3 是
的一个周期
D．
【答案】B
【解析】因为
，
，所以
，
所以函数
的对称中心为点
，又
，
所以函数
的图象关于点
对称，A 不正确；
是偶函数，所以
，所以
，
即
为奇函数，对称中心为
，函数
的另一个对称中心为点
，
所以
的周期为2，C 不一定正确；
函数
及
的周期与
相同，周期为2．
的图象关于点
对称，
，所以
，函数
的图象关于直线
对称，则
的图象关于直
线
对称，B 正确；
因为
，
，故
，D 不正确．
故选：B.
【一隅三反】
1.（2025·河南驻马店·模拟预测）（多选）已知函数
是R 上奇函数，
是R 上偶函数，且
，则（ ）
A．
的图象关于点
对称
B．
是周期函数
C．
D．
【答案】ABD
【解析】对于A，因为函数
是R 上奇函数，所以
，
因为函数
是R 上偶函数，所以
，
对于
，取
为
得：
，即
，
联立
，可得
，
所以函数
关于点
对称，故A 正确；
对于B，对于
，取
为
，得
，
因为
，所以
，
由A 选项知
，取
为
，得
，
联立
，得
，
取
为
，得
，
取
为
，得
，
所以
，所以函数
是周期为4 的周期函数，故B 正确；
对于C，由函数
是R 上奇函数可知
，
，
因为
是R 上偶函数，所以
，
所以
，
又因为
是周期为4 的周期函数，所以
，故C 错误；
对于D，由A 选项知
，所以
，
，
，
，
由C 选项知
,
所以
，故D 正确.
故选：ABD.
2．（2025 高三下·全国·专题练习）（多选）已知定义在
上的奇函数
的图象连续不断，且满足
，则以下结论成立的是（ ）
A．函数
的一个周期
B．
C．点
是函数
图象的一个对称中心
D．
在
上有4 个零点
【答案】ABC
【解析】对于选项A：由定义在
上的奇函数
的图象连续不断，且满足
，
可知函数
的一个周期为
，故A 正确；
对于选项B：由
可得
，则
，
即
，且
，
又因为
，
所以
，故B 正确；
对于选项C：因为
，
可得点
是
图象的一个对称中心，故C 正确；
对于选项D：例如
满足题意，但
在
上有无数个零点，故D 错误；
故选：ABC.
3.（2025·河北秦皇岛·二模）（多选）记定义在
上的函数
与
的导函数分别为
和
，若
，
，且
，则（ ）
A．
B．
的图象关于直线
对称
C．
是周期函数，且其中一个周期为8
D．
【答案】BC
【解析】由题意，函数
与
的定义域均为
.
由
求导可得
，即
，
所以
的图象关于直线
对称，故B 正确；
由
求导可得
，
，
，则
（为常数），
令
，则有
，所以
，即
，
所以
，即函数
的图象关于直线
对称.
又由
可得
，
则有
，
，
，即
，
所以函数
的图象关于点
对称.
所以函数
是周期函数，周期
.证明如下：
由
可得
，
由上述结论可知
，所以
.
则
，即
，
又由
可得
，所以
.
所以
是周期函数，且其中一个周期为8，故C 正确；
对于A，因为
，
，
若
，则
，与
矛盾.
故A 错误；
对于D，由
求导可得
，
则有
，因为
，所以
则
（是常数），令
，可得
，
所以
，即函数
的图象关于直线
对称.
所以，函数
也是周期函数，周期
.
，令
，可得
，
根据对称性可知，
，
所以
.
所以
，
不确定是否为0，故D 错误.
故选：BC.
4．（2025 高三·全国·专题练习）（多选）已知定义在
上的函数
，
满足
，
，且
为奇函数，
，则（ ）
A．
B．
为奇函数
C．
为偶函数
D．
【答案】AC
【解析】对于AB，因为
为奇函数，所以
的图象关于点
对称，则
．
在
中，令
，得
．
由
，得
．
令
，得
．
因为
，
，
所以
，所以
为偶函数，
，故A 正确，B 错误；
对于C，由
为偶函数，知
，
即
，
所以
的图象关于直线
对称，故
是周期为4 的周期函数，
所以
．
又
的图象关于直线
对称，所以
是偶函数，所以
也是偶函数，故C 正确；
对于D，因为
，
，
，
，
所以
．
又
，所以
，故D 错误．
故选：AC．
考向六 函数图像
【例6-1】（2025·陕西西安·二模）函数
的图象大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】函数
的定义域为R，
，
函数
是奇函数，其图象关于原点对称，排除C；
，
当
时，
，
且
，
而
，即
，故
，
所以
在
的单调递增区间上，AD 不满足，B 满足.
故选：B
【例6-2】（2025·四川南充·三模）函数
的图象如图所示，则
的解析式可能为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由图可知
的图象关于原点对称，则
为奇函数，
对于A ：
定义域为
，定义域关于原点对称，
，
所以
为偶函数，不符合题意，故A 错误；
对于C：
定义域为
，定义域关于原点对称，
，
所以
为偶函数，不符合题意，故C 错误；
对于D：
定义域为
，定义域关于原点对称，
，
所以
为奇函数，
当
时，
，
，所以
恒成立，不符合题意，故D 错误；
故利用排除法可知选项B 符合题意.
故选：B
【一隅三反】
1.（2025·山东·模拟预测）函数
的图象大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】首先：
，
所以函数
为偶函数，图象关于
轴对称，故排除CD.
又
，故排除B.
故选：A
2．（23-24 云南大理·期中）函数
的大致图象是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
，定义域为
，
，
令
，得
，
令
，得
，
所以
在
和
上单调递增，在
上单调递减，排除A、C，
当
时，
，
，
，所以
，排除B，
只有D 中图象符合题意；
故选：D
3.（2025·湖北·模拟预测）已知函数
的部分图象如图所示、则
的解析式可能为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由奇偶性判断可知：
是偶函数，
是奇函数，
是偶函数，
是奇函数，
而函数图象是关于
轴对称，必然是偶函数，所以BD 错误；
再当
时，可知
，故A 错误；
所以C 正确，故选：C.
考向七 抽象函数
【例7-1】（24-25 高三上·福建漳州·阶段练习）（多选）已知定义在
上的函数
不恒等于
，且
对任意的
，有
，则（ ）
A．
B．
是偶函数
C．
的图象关于点
中心对称
D．
是
的一个周期
【答案】ABC
【解析】对于A,根据题意令
，则由
可得
，
解得
，即A 正确；
对于B,令
可得
，所以
，
即可得对任意的
满足
，即
是偶函数，所以B 正确；
对于C,令
，则由
可得
，
即
满足
，因此可得
的图象关于点
中心对称，即C 正确；
对于D,由于
是偶函数，所以满足
，即
，
可得
，也即
，所以
是
的一个周期，即D 错误.
故选：ABC
【一隅三反】
1．（2024·黑龙江·模拟预测）（多选）已知函数
的定义域为
，若
，有
，
，则（ ）
A．
B．
C．
为偶函数
D．4 为函数
的一个周期
【答案】ACD
【解析】根据题意，
，
取
，得
，因为
，所以
，A 正确;
取
，得
，所以
，B 错误;
取
，得
，即
，
所以
为偶函数，C 正确;
取
，得
，所以
，
即4 为函数
的一个周期，D 正确.
故选：ACD.
【例7-2】（2024·河北保定·三模）已知函数
在
上单调递增，且
对任
意
恒成立，则
A．
B．
是奇函数（ ）
C．
是奇函数
D．
恒成立
【答案】ACD
【解析】取
，则
，又
单调递增，所以
不恒成立，所以
，即A 正
确；
取
，则
，所以
，即B 错误；
因为
，所以
，所以
，即C 正确；
取
，已知函数
在
上单调递增，则
，又
，
若存在
，则
，所以
，即D 正确.
故选：ACD.
【例7-3】（2025·广东深圳·三模）（多选）已知函数
的定义域为
，
，
，则（ ）
A．
B．
的图象关于点
对称
C．
的图象关于直线
对称
D．
【答案】ABD
【解析】对于A，令
，则
，
因为
，所以
，解得
，故A 正确；
对于B，令
，则
，得
，
由A 可知
，所以
，即
，
所以
的图象关于点
对称，故B 正确；
对于C，令
，则
，即
.
假设
的图象关于直线
对称，则有
，与
矛盾，
所以假设不成立，
的图象不关于直线
对称，故C 错误；
对于D，由于
且
，则有
，即
，
所以
，故D 正确.
故选：ABD.
考向八 函数新定义
【例8-1】（2025·山东·模拟预测）若定义在
上的函数
，
，
，
，
可以作
为一个三角形的三条边长，则称
是
上的“三角形函数”．已知函数
是定义在区间
上的“三角形函数”，则的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
，令
得
，
令
得
，
故
在
上单调递减，在
上单调递增，
所以
在
处取得极小值，也是最小值，
，
又
，
，
故
，
由题意得
，即
，
解得
.
故选：A
【一隅三反】
1．（2025·云南·一模）（多选）已知函数
的定义域为
，若存在常数
，使得对任意
，都有
成立，则称
为 “类周期函数”．下列函数中是类周期函数的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AC
【解析】对于A，因为
，所以
，所以
为 “类周期函数”，故A 正确；
对于B，因为
，所以
，所以
不为 “类周期函数”，故B 错误；
对于C，因为
，当
且
时，
，
所以
为 “类周期函数”，故C 正确；
对于D，因为
，所以
，所以
不为 “类周期函数”，
故D 错误；
故选：AC.
2．（2025·山东·二模）（多选）若定义在
上的函数
同时满足：①
；②对
，
成立；③对
，
，
，
成立；则称
为“正方和谐函数”，下列说
法正确的是（ ）
A．
，
是“正方和谐函数”
B．若
为“正方和谐函数”，则
C．若
为“正方和谐函数”，则
在
上是增函数
D．若
为“正方和谐函数”，则对
，
成立
【答案】ABD
【解析】对于A, 函数
，
，显然满足条件①②．
对任意
，
且
时，
．
函数
在区间
，
上为“正方和谐函数”．故A 正确.
对于B，若函数
为“正方和谐函数”，
则令
，
，得
，即
，
又由对
，
，
，故B 正确；
对于C，设
，则
，所以
，即有
，
函数
在区间
上不一定是单调递增，故C 错误；
对于D，①当
时，
成立，
②当
时，
，
，
③当
时，
，
，则
；
显然，当
时，
成立；
假设当
时，有
成立，其中
，
那么当
时，
，
可知对于
，总有
，其中
，
而对于任意
，存在正整数
，使得
，此时
综上可知，满足条件的函数
对
时总有
成立.
故D 正确，
故选：ABD
3．（2025·云南·一模）（多选）定义在
上的函数
，如果对任意
，都有
，且等号仅在
时成立，则称函数
为 “凸函数”.下列函数是凸函数的是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AC
【解析】对于A：
对
，
，
恒成立.
左右平方得
，化简得
，显然恒成立，故A 正确.
对B：对
，
，
恒成立.
化简得
显然不恒成立，故B 不正确；
对于C，对
，
，
恒成立
由
在
上单调递增，故
，
化简可得
，显然对
恒成立，故C 正确；
对D：
，
，即
，故D 错误.
故选：AC.
