文档文本内容
2.5 函数图像与零点
目录
01 思维导图与题型归纳.......................................................................................................................2
02 基础知识点梳理..............................................................................................................................3
知识点一、函数图像问题....................................................................................................................3
知识点二、函数的零点........................................................................................................................4
知识点三、二分法................................................................................................................................4
方法总结1：二次方程根的分布.........................................................................................................5
方法总结2：指数复合对勾类对勾函数.............................................................................................6
03 真题回顾..........................................................................................................................................7
04 经典题型归纳总结........................................................................................................................10
题型1：函数图象辨识判断...............................................................................................................10
题型2：图象辅助分析函数性质.......................................................................................................10
题型3：图象法求解不等式...............................................................................................................11
题型4：图象法求参数取值范围.......................................................................................................12
题型5：实际问题函数图象绘制.......................................................................................................13
题型6：函数图象变换及应用...........................................................................................................15
题型7：由图象匹配函数解析式.......................................................................................................18
题型8：函数零点区间判定...............................................................................................................20
题型9：零点与图象交点个数问题...................................................................................................21
题型10：数形结合求零点参数范围.................................................................................................22
题型11：嵌套函数零点问题.............................................................................................................23
题型12：零点和与积范围求解.........................................................................................................24
题型13：对勾与类对勾函数应用.....................................................................................................25
题型14：复杂曲线函数性质探究.....................................................................................................27
05 课后拓展精练................................................................................................................................29
知识点一、函数图像问题
1、利用描点法作函数图象的步骤：列表、描点、连线.
2、利用图象变换法作函数的图象
平移变换：①
；
注意：
；
②
；
翻折变换：③
；④
（偶函数）；
伸缩变换：⑤
；⑥
.
对称变换：①
关于直线
（即
轴）对称
②
关于直线
（即
轴）对称：
③
关于原点对称
④
关于直线
对称
⑤
关于直线
对称
⑥
关于点
对称
知识点二、函数的零点
（1）函数零点的概念
对于函数
，使
的实数
叫做函数的零点.
（2）方程根与函数零点的关系
方程
有实数根
函数
有零点
函数
的图象与
轴有交点，且交点横
坐标为
.
（3）方程
有实数根
函数
与函数
有交点，且交点横坐标为
.
（4）零点存在性定理
如果函数
在
上的图象是连续不断的，且
，那么函数
在
至少
有一个零点
，即存在
，使得
，这个
也就是方程
的解.
注意：①符合该定理的条件，能确定
在区间
内有零点，但零点不一定唯一．
②并不是所有的零点都可以用该定理来判定．不满足该定理的函数也可能有零点．
函数的零点有“变号零点”和“不变号零点”，零点存在性定理只适用“变号零点”．
③若
在区间
内有零点，且在区间
上单调，则
在
内有唯一零点．
④设
，若
在
上有零点，则
．
知识点三、二分法
①二分法的概念
对于在区间
上连续不断且
的函数
，通过不断地把它的零点所在区间一分
为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法.
②用二分法求方程近似解的步骤
（1）确定区间
，验证
，给定精确度
；
（2）求区间
的中点
；
（3）计算
，
（i）若
，则
就是函数的零点；
（ii）若
，则令
（iii）若
，则令
（4）判断是否达到精确度
：即若
，则得到零点近似值为
（或
）；否则重复（2）~
（4）
方法总结1：二次方程根的分布
①两根与
的大小比较（以
为例）
分布情况
两根都小于
，
即
两根都大于
，
即
一根小于
，一根大于
，即
大致图像
得出的结论
②两根分别在区间
外
大致图像
得出的结论
③根在区间上的分布（以
为例）
分布情况
两根都在
内
两根有且仅有一根在
内
一根
内，另一根在
内
大致图像
得出的结论
或
方法总结2：指数复合对勾类对勾函数
指数复合对勾类对勾函数
（1）函数
必是偶函数，图像关于
轴对称. 如图.
（2）函数
的图像必关于直线
对称，如图.
（3）函数
必是奇函数，图像关于原点对称，如图.
（4）函数
的图像必关于点
对称，如图.
1．（2026 年高考天津卷数学高考真题）函数
的部分图象如图所示，则
的解析式可能为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2025 年高考天津卷数学真题）已知函数
的图象如下，则
的解析式可能为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2024 年高考全国甲卷数学（文）真题）函数
在区间
的图象大致为
（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2023 年天津高考数学真题）已知函数
的部分图象如下图所示，则
的解析式可能为（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（2022 年新高考天津数学高考真题）函数
的图象大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（2022 年高考全国乙卷数学（文）真题）如图是下列四个函数中的某个函数在区间
的大致图像，
则该函数是（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（2022 年高考全国甲卷数学（理）真题）函数
在区间
的图象大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
8．（2024 年新课标全国Ⅱ卷数学真题）设函数
，
，当
时，曲
线
与
恰有一个交点，则
（ ）
A．
B．
C．1
D．2
9．（2025 年高考天津卷数学真题）函数
的零点所在区间是（ ）
A．
B．
C．
D．
10．（2022 年新高考天津数学高考真题）设
，对任意实数x，用
表示
中的
较小者．若函数
至少有3 个零点，则
的取值范围为______.
11．（2023 年天津高考数学真题）设
,函数
,若
恰有两个零点，则
的取值范围为_________．
12．（2023 年新课标全国Ⅰ卷数学真题）已知函数
在区间
有且仅有3 个零点，
则
的取值范围是________．
13．（2024 年高考全国甲卷数学（文）真题）曲线
与
在
上有两个不同的
交点，则
的取值范围为______．
14．（2024 年天津高考数学真题）设
，函数
.若
恰有一个零点，则
的取值范围为______．
15．（2026 年高考全国2 卷数学高考真题（网络 收集版））若函数
有两个零点，则
的取值范围是__________．
题型1：函数图象辨识判断
【典例1-1】（2026·高三·辽宁·阶段检测）函数
的图象为（ ）
A．
B．
C．
D．
【典例1-2】（2026·天津北辰·三模）函数
的图象大致是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1-1】（2026·天津·模拟预测）函数
，
的图象大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1-2】（2026·河北衡水·模拟预测）函数
在区间
上的图象大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1-3】（2026·天津西青·三模）已知函数
在区间
上的图象大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
题型2：图象辅助分析函数性质
【典例2-1】（多选题）（2026·湖北武汉·二模）已知函数
，则（ ）
A．
是
的极小值点
B．当
时，
C．当
时，
D．当
时，
【典例2-2】（多选题）（2026·湖南岳阳·二模）如图，在平面直角坐标系中，边长为2 的正三角形ABC 沿
着x 轴连续滚动(滚动时无滑动)，若顶点A 在滚动中恰好经过坐标原点，设顶点
满足函数关系式
，则下列判断正确的有（ ）
A．
B．函数
图象的对称轴方程为
C．不等式
的解集为
D．直线
与函数
的图象恰有3 个交点
【变式2-1】（多选题）（2026·辽宁抚顺·模拟预测）已知
是定义域为
的奇函数，当
时，
，则下列叙述正确的有（ ）
A．
B．当
时，有
C．当
时，
的最小值为4，则
D．若关于
的方程
有实数根，则所有实数根之和为零
【变式2-2】（多选题）设函数
，其中
表示
，
，
中的最小者，
下列说法正确的有（ ）
A．
B．对任意的
，都有
C．对任意的
，有
D．当
时，
的最大值为1
【变式2-3】（多选题）（2026·高三·河北邢台·阶段检测）若直线
与函数
在
上的图象有三个交点，则
的值可能为（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3
题型3：图象法求解不等式
【典例3-1】（2026·高三·全国·一轮复习）已知
是定义在
上的偶函数，当
时，
的图象如图所示，则不等式
的解集为________．
【典例3-2】已知
是偶函数，
是奇函数，它们的定义域均为
，且它们在
上
的图象如图所示，则不等式
的解集是________.
【变式3-1】（2026·高三·北京·阶段检测）如图，已知函数
的图象是圆心在原点的单位圆的两段
弧，则不等式
的解集为_____．
【变式3-2】（2026·高三·北京·一轮复习）已知函数
是定义在
上的奇函数，且
单调递增，则
的解集为_____.
【变式3-3】（2026·高三·全国·一轮复习）已知函数
，则不等式
的解集是______.
题型4：图象法求参数取值范围
【典例4-1】（多选题）（多选）下列可能是函数
（其中
的图象的是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【典例4-2】（多选题）函数
的大致图象可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式4-1】（多选题）函数
，（
，
，是实数且
，
，
），则
的图
象可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式4-2】（多选题）函数
的图象可能是
A．
B．
C．
D．
【变式4-3】（多选题）（2026·高三·江苏·开学考试）已知
，则函数
的图象可能
是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式4-4】（多选题）函数
的部分图象可能为（ ）
A．
B．
C．
D．
题型5：实际问题函数图象绘制
【典例5-1】某同学离家去学校，刚开始心情轻松缓慢行进，走了一段路程后，发现时间紧张，加快速度
跑步前进.图中
轴表示该学生离家的距离，轴表示所用的时间，下列图象与该同学走法相吻合的是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【典例5-2】一列快车从甲地驶往乙地，一列特快车从乙地驶往甲地，快车的速度为100 千米/小时，特快
车的速度为150 千米/小时，甲乙两地之间的距离为1000 千米，两车同时出发，则图中折线大致表示两车
之间的距离y（千米）与快车行驶时间t（小时）之间的函数图象是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式5-1】（2026·高三·山东济南·阶段检测）如图，公园里有一处扇形花坛，小明同学从
点出发，沿
花坛外侧的小路顺时针方向匀速走了一圈路线为
，则小明到
点的直线距离
与他从
点出发后运动的时间之间的函数图象大致是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式5-2】（2026·安徽·模拟预测）如图，直线在初始位置与等边
的底边重合，之后开始在平面
上按逆时针方向绕点
匀速转动（转动角度不超过
），它扫过的三角形内阴影部分的面积是时间的
函数．这个函数的图象大致是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式5-3】（2026·山东·二模）如图所示，动点
在边长为1 的正方形
的边上沿
运
动，
表示动点
由A 点出发所经过的路程，
表示
的面积，则函数
的大致图像是（ ）．
A．
B．
C．
D．
题型6：函数图象变换及应用
【典例6-1】函数
的图象如图所示，那么函数
的图象是（ ）
A．
B．
C．
D．
【典例6-2】若图中所示为在同一直角坐标平面上
的图像及
的图像，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式6-1】将函数
向左、向下分别平移2 个、3 个单位长度，所得图象为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式6-2】（2026·河北秦皇岛·三模）已知函数
的图象如图所示，则
的图象大致
为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式6-3】已知函数
．甲同学将
的图象向左平移1 个单位长度，得到图象
；乙同学将
的图象上所有点的纵坐标变为原来的2 倍（横坐标不变），得到图象
．若
与
恰好重合，则下列给出
的
中符合题意的是（ ）
A．
B．
C．
D．
题型7：由图象匹配函数解析式
【典例7-1】函数
的部分图象如图所示，则
的解析式可能为（ ）
A．
B．
C．
D．
【典例7-2】（2026·湖南长沙·一模）如图是下列四个函数中的某个函数在区间[-π,π]的大致图象，则该函
数是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式7-1】（2026·浙江宁波·三模）某函数的图像如图所示，则该函数解析式可能为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式7-2】（2026·北京东城·二模）已知函数
的部分图象如图所示，若
，则
可以为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式7-3】（2026·天津滨海新区·三模）已知函数
的部分图象如图，则
的解析式可能为：
（ ）
A．
B．
C．
D．
题型8：函数零点区间判定
【典例8-1】函数
的零点所在区间是（ ）
A．
B．
C．
D．
【典例8-2】（2026·高三·全国·一轮复习）方程
的根所在区间为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式8-1】（2026·高三·全国·一轮复习）已知函数
的图象是连续不断的，有如下的x，
对应值
表
x
1
2
3
4
5
6
7
136.136
15.552
10.88
11.238
由表可知函数
存在零点的区间有（ ）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【变式8-2】函数
的零点所在的区间为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式8-3】已知
，则
的零点所在的区间是（ ）
A．
B．
C．
D．
题型9：零点与图象交点个数问题
【典例9-1】（2026·贵州遵义·模拟预测）若函数
在定义域上恰有三个零点，则实
数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【典例9-2】（2026·高三·天津·阶段检测）已知函数
若
有3 个实数解，
则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式9-1】函数
的零点个数为
A．0 个
B．1 个
C．2 个
D．3 个
f (0)=-1<0, f (1)= 1
3 >0,
【变式9-2】已知函数
是偶函数，当
时，
若
的图象与
轴恰有4
个公共点，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式9-3】已知函数
有两个零点，则的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
题型10：数形结合求零点参数范围
【典例10-1】已知函数
若函数
有三个不同的零点，则
的取值范
围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【典例10-2】已知函数
，
，若
与
的图象有唯一公共点，则
的值
为（ ）
A．-1
B．0
C．
D．1
【变式10-1】已知函数
则有（ ）
A．
B．
的值域为
C．
在
上单调递增
D．若关于
的方程
有两个不相等的实数根，则
的取值范围为
【变式10-2】（2026·江西上饶·二模）已知函数
，若
恰有3 个正整数解，
则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式10-3】定义在
上的函数
满足：
若函数
有且仅有3 个零点，则实数a 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式10-4】已知函数
有两个零点，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式10-5】（2026·广东深圳·模拟预测）已知函数
，若函数
仅
有一个零点，则
的取值范围（ ）
A．
B．
C．
D．
题型11：嵌套函数零点问题
【典例11-1】已知函数
，关于
的方程
有且仅有4 个不同的
实根，则正数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【典例11-2】已知函数
，关于
的方程
有个不同的根，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式11-1】已知函数
，若函数
恰有3 个不同的零点，则实
数
的取值范围（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式11-2】已知函数
，若函数
有8 个不同的零点，
则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式11-3】（江苏姜堰中学2026 届高三年级5 月学情调研数学试题）已知
是定义在
上的奇函数，
当
时，
，若关于x 的方程
恰有4 个互不相等的
实数根，则实数a 的值为（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3
【变式11-4】已知函数
，若方程
有五个不同的实数根，
则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式11-5】已知函数
，若关于x 的方程
有四个不同的实
数解，它们从小到大依次记为
，
，
，
，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
题型12：零点和与积范围求解
【典例12-1】（2026·高三·江苏泰州·开学考试）已知函数
若关于
的方程
（
为实常数）有四个不同的解
，且
，则
的取值范围
为（ ）
A．
B．
C．
D．
【典例12-2】已知函数
，若存在实数
、
、
且
，使得
，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式12-1】已知函数
若实数
满足
且
，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式12-2】设函数
，若关于
的方程
有四个不同的解
，
且
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式12-3】已知函数
，若存在实数
，使得
，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式12-4】已知函数
，若方程
有四个不同的实数解，它们从小到大记
为
，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
题型13：对勾与类对勾函数应用
【典例13-1】已知函数
，若存在实数，使得方程
有
个不同的实数根
、
、
、
，且
，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【典例13-2】已知函数
，若关于
的方程
恰有6 个不
同的实数解，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式13-1】若存在实数
，使得
成立，则实数
的取值范围（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式13-2】设函数
，
，若曲线
与
恰有一个交点，
则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式13-3】关于
的方程
有且仅有2 个不同的实数根，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
，且
题型14：复杂曲线函数性质探究
【典例14-1】已知函数
的对称中心在直线
上，则
的最
小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【典例14-2】（2026·高三·河南·阶段检测）函数
的对称中心是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式14-1】（2026·高三·河南·阶段检测）对于函数
，
时，
，则函数
的图象关于点
成中心对称．探究函数
图象的对称中心，并利用它求
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式14-2】（2026·高三·重庆沙坪坝·阶段检测）设函数
，下列说法中正确的是（ ）
A．
的单调递增区间为
B．
图象的对称中心为
C．
图象的对称中心为
D．
的值域为
【变式14-3】已知函数
，则
的值域为__________，曲线
的对称中心为
__________．
【变式14-4】对于函数
，
时，
，则函数
的图象关于点
成中心
对称.探究函数
图象的对称中心，并利用它求
的值为________.
【变式14-5】函数
（
，且
）图象的对称中心是______．
1．（2026·高三·全国·一轮复习）已知函数
，若
的零点
个数为
，则实数
取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．已知函数
，若函数
有
个不同的零点，则实数
的取值范围
是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．已知函数
，若
恰有3 个零点
，则
的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
4．设
，若函数
有4 个不同的零点
，
，
，
，且
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．已知函数
，若关于
的方程
有四个不同的实数解
、
、
、
，
且
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
6．已知函数
，若存在实数
，
，
，
使得
且
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
7．已知函数
若
，且
，则的取
值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
8．（2026·高三·四川遂宁·阶段检测）设函数
，若关于x 的方程
有四个实
根
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．10
D．9
9．已知函数
若方程
有四个不相等的实数根
，且
，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
10．已知函数
，
，若
恰有4 个零点，则实数
的取值
范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
11．（2026·北京石景山·二模）已知函数
．若
存在2 个零点，则
a 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
12．（2026·高三·全国·一轮复习）已知函数
，
，若对任意
，存在
，使得
成立，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
13．（2026·河北秦皇岛·模拟预测）已知函数
，若方程
只有一个实数解，
则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
14．（2026·山西临汾·二模）已知函数
若方程
有三个不
同的实数根，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
15．已知函数
，关于
的方程
，
，恰有6 个不同实数解，
则
的取值范围是
A．
B．
C．
D．
16．（2026·高三·全国·一轮复习）已知函数
，若函数
与函数
的图
象的交点有
个，记为
，则
（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
17．（多选题）（2026·山东聊城·二模）已知函数
则（ ）
A．
B．
为
的极大值点
C．
有2 个零点
D．若
，则
在
上的值域为
18．（多选题）已知函数
．则下列说法正确的是（ ）
A．
在
处取得最小值
B．方程
有且仅有一个实根
C．对任意
，函数
关于
单调递增
D．对任意
，都有
19．（多选题）（2026·河南郑州·模拟预测）已知函数
，若函数
有三个互不相等的零点
，且
，则下列结论正确的是（ ）
A．实数
的取值范围是
B．
的单调递减区间为
，
C．
D．函数
有4 个零点
20．（2026·高三·全国·一轮复习）已知
，关于
的方程
恰有三个不同的实数解
，
，
，则
的值为____________．
