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第 7 练 函数与方程
学校____________ 姓名____________ 班级____________
一、单选题
1．设函数 的零点为 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
易知 在R上单调递增且连续．由于 ， ，
，当 时， ，所以 ．
故选：B
2．已知函数 ，则函数 零点个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】A
【详解】
当 时， ，所以不存在零点；
当 时， ，也不存在零点，所以函数 的零点个数为
0.
故选：A.
3．已知函数 ，若函数 有两个不同的零点，则实
数 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D【详解】
函数 有两个不同的零点，
即为函数 与直线 有两个交点，
函数 图象如图所示：
所以 ，
故选：D.
4．已知函数 ，且f（x）在[0， ]有且仅有3个零点，则
的取值范围是（ ）
A．[ ， ） B．[ ， ） C．[ ， ） D．[ ， ）
【答案】D
【详解】
因为 ，当 时， ，
因为函数 在 上有且只有3个零点，
由余弦函数性质可知 ，解得 .
故选：D．
5．已知函数 ， ， 的零点分别为 、 、 ，
则 、 、 的大小顺序为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A【详解】
因为函数 、 均为 上的增函数，故函数 为 上的增函数，
因为 ， ，所以， ，
因为函数 、 在 上均为增函数，故函数 在
上为增函数，
因为 ， ，所以， ，
由 可得 ，因此， .
故选：A.
6．已知直线 与函数 的图象恰有 个公共点，则实数 的取
值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
根据题意，函数 ，作出 的图象：
当 时，直线 和函数 的图象只有一个交点；当 时，直线 和函数 的图象只有一个交点，
直线 和函数 的图象有2个交点，即方程 在 上有
2个实数根，
，
则有 ，解可得 ，
即 的取值范围为 ， ；
故答案为： ， .
7．设函数 有5个不同的零点，则正实数 的取值范围
为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
易知函数 、 在 上为增函数，
所以当 时，函数 单调递增，
当 无限接近0时， ，当 时， ，
所以函数 在 上存在一点 ，使得 ，
即 在 上有且只有一个零点；
所以当 时，函数 有4个零点，
令 ，即 Z，解得 Z，由题可得 区间内的4个零点分别是 ，
所以 即在 之间，
即 ，解得
故选：A
8．已知函数 若 ， ， ，且
仅有1个零点，则实数m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
因为 R，有 ，即 ，
即 与 同号，所以 在R上单调递增，
即 在 上单调递增，则 ，故 ；
因为 在 处的切线方程为 ，即 ，
又 ，所以 与 没有公共点，
若函数 仅有一个零点，
所以函数 与 图象仅有一个交点，
则 与 有且仅有1个公共点，且为 ，
所以 在 处的切线的斜率k大于等于1，而 ，得 ，
即 ，解得 ，
综上， 的取值范围为 .
故选：C.
二、多选题
9．下列函数有两个零点的有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【详解】
解：对于A：令 ，即 ，即 ，解得 ，
故A正确；
对于B：令 ，即 ，即 ，即 或 ，
令 ，则 ，则 时 ，即函数在 上单调递减，
当 时 ，即函数在 上单调递增，所以当 时函数取得极小值
即最小值， ，即 在定义域上只有一个零点，综上可得函数 有两个零点 和 ，故B正确；
对于C：令 ，即 ，解得 ，故C错误；
对于D：因为 ，所以函数的定义域为 ，令 ，即
，所以 或 ，解 得 ；解 即
，即 （舍去），所以 有两个零点 和 ，故D正确；
故选：ABD
10．已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且当x>0时，f（x）
，m∈R，那么函数g（x）=f（x）﹣2在定义域内的零点个数可能是（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】BC
【详解】
解：由 得 ，
， 不是方程的根．
当x>0时，f（x） ，
当02时，令 ，即（m﹣2）x=2m，
当m=2时，方程无解，
当m>2时，方程有解x 2，符合题意，
当m<2时， x 2，不符合题意，方程无解．
所以当x>0时，f（x）=2有2个或3个根，
而函数f（x）是定义在R上的偶函数，
所以函数g（x）=f（x）﹣2在定义域内的零点个数可能是4或6，
故选：BC.11．已知函数 ，ω>0．若函数 在 上恰有2个零点，则ω的
可能值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BCD
【详解】
时， 上恰好有2个零点，
∴ ，则 ，故B、C、D中的对应值在 内.
故选：BCD
12．已知函数 ( 为正整数)，则下列判断正确的有（ ）
A．对于任意的正整数 ， 为奇函数
B．存在正整数 ， 的图像关于 轴对称
C．当 为奇数时， 有四个零点
D．当 为偶数时， 有两个零点
【答案】BD
【详解】
当 为偶数时，可得 ，此时函数 为偶函数，
所以函数 的图象关于 轴对称，所以A不正确，B正确；
当 时，函数 ，令 ，即 ，解得 ，
此时函数 仅有2个零点，所以C不正确；
令 ，可得 ，令 ，即 ，
即 ，可得 ，即 ，所以 或 ，
此时函数 仅有2个零点，所以D正确.
故选：BD.三、填空题
13．函数 的图象在区间（0,2）上连续不断，能说明“若 在区间（0,2）上存
在零点，则 ”为假命题的一个函数 的解析式可以为
=___________.
【答案】 （答案不唯一）
【详解】
函数 的图象在区间（0，2）上连续不断，且“若 在区间（0,2）上存在零点，
则 ”为假命题，可知函数 满足在（0,2）上存在零点，且
，所以满足题意的函数解析式可以为 .
故答案为： （答案不唯一）.
14．函数 有三个不同的零点，则实数t的范围是__________.
【答案】
【详解】
作出函数 的图象和直线 ，如图，
由图象可得 时，直线与函数图象有三个交点，即函数 有三个零点．
．
故答案为： ．15．已知函数 .若函数 有两个不同的零点，则实数
的取值范围是___________.
【答案】
【详解】
画出 的图象如下图所示，
，
即 与 的图象有两个交点，
由图可知， 的取值范围是 .
故答案为：
16．已知 是定义在R上的奇函数，且 是偶函数，当 时，
．设 ，若关于x的方程 有5
个不同的实根，则实数m的取值范围是__________．
【答案】
【详解】
因为 是偶函数，所以有 ，
所以函数 的对称轴为 ，由 ，
而 是定义在R上的奇函数，
所以有 ，因此有 ，
因此 ，所以 ，
因此函数 的周期为 ，
当 时， ，
当 时， ，
当 时， ；
当 时，
当 时， ，
因此有：
当 时， ；
当 时， ；
当 时， ；
当 时， ，
当 时， ，
因为 ，
所以函数 的周期为 ，
所以函数 的图象如下图所示：关于x的方程 有5个不同的实根，
等价于函数 的图象与直线 有5个不同的交点，
当 时，当直线经过 时，此时函数 的图象与直线 有5个不
同的交点，则有 ，
当直线经过 时，此时函数 的图象与直线 有6个不同的交点，
则有 ，
因此当 时，函数 的图象与直线 有5个不同的交点，
当 时，当直线经过 时，此时函数 的图象与直线 有5个
不同的交点，则有 ，
当直线经过 时，此时函数 的图象与直线 有6个不同的交点，
则有 ，
因此当 时，函数 的图象与直线 有5个不同的交点，
当 时，函数 的图象与直线 没有交点，
所以实数m的取值范围是 或 ，
故答案为：
