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专题 2.17 函数与方程-重难点题型精讲
1．函数的零点
(1)函数零点的定义
对于函数y＝f (x)(x∈D)，把使f (x)＝0的实数x叫做函数y＝f (x)(x∈D)的零点．
(2)三个等价关系
方程f (x)＝0有实数根⇔函数y＝f (x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f (x)有零点．
(3)函数零点的判定(函数零点存在定理)
如果函数y＝f (x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f (a)·f (b)<0，那么，函数y＝f
(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f (c)＝0，这个c也就是方程f (x)＝0的根．
2．二次函数y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图象与零点的关系
Δ>0 Δ＝0 Δ<0
二次函数y＝ax2＋
bx＋c (a>0)的图象
与x轴的交点 ( x ,0) ， ( x ,0) ( x ,0) 无交点
1 2 1
零点个数 2 1 0
【题型1 函数零点所在区间的判断】【方法点拨】
确定函数f(x)的零点所在区间的常用方法：
(1)利用函数零点的存在性定理：首先看函数 y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有
f(a)·f(b)<0.
若有，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点．
(2)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断．
1
【例1】（2022春•新兴区校级期末）函数f(x)=log x+ 的零点所在区间是（ ）
1 x
2
A．（0，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（3，4）
【变式1-1】（2022春•湖南月考）函数f（x）＝2x+3x﹣3的零点所在区间是（ ）
1 1 3 3
A．(0， ) B．( ，1) C．(1， ) D．( ，2)
2 2 2 2
1
【变式1-2】（2022春•祥符区月考）函数f(x)=log x− 的一个零点所在的区间是（ ）
4 2x
A．（0，1） B．（2，3） C．（2，e） D．（1，2）
1
【变式1-3】（2022春•贵池区校级月考）函数f(x)=( ) x−x−5的零点所在的一个区间是（ ）
3
A．（﹣3，﹣2） B．（﹣2，﹣1） C．（﹣1，0） D．（0，1）
【题型2 函数零点个数的判定】
【方法点拨】
函数零点个数的判断方法：
(1)直接求零点，令f(x)＝0，有几个解就有几个零点；
(2)零点存在性定理，要求函数f(x)在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)<0，再结合函数的图象与
性质确定函数零点个数；
(3)数形结合法，作出两函数图象，观察两函数图象的交点个数，即得函数的零点个数．
{log x，0＜x≤2，
【例2】（2022•泾县校级开学）已知函数 2 则函数g（x）＝2xf（x）﹣1在
f(x)= 1 x
f( )，x＞2，
2 2
（0，32）上的零点个数为（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
【变式2-1】（2021秋•贵阳期末）借助信息技术画出函数y＝lnx和y＝x|x﹣a|（a为实数）的图象，当a＝
1.5时图象如图所示，则函数y＝x|x﹣1.5|﹣lnx的零点个数为（ ）A．3 B．2 C．1 D．0
{3−x2−2x，x≤1，
【变式2-2】（2022春•昌图县校级期末）已知函数 则函数y＝f（f（x））﹣
f(x)= 4
x+ −2，x＞1，
x
3的零点个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【变式2-3】（2022春•湖北月考）设函数f（x） {x2+bx+c，x≤0，若f（﹣2）＝f（0），f（﹣3）＝
=
2，x＞0
1，则函数y＝f（x）﹣x的零点个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【题型3 根据零点的个数（或范围）求参数】
【方法点拨】
根据函数零点的情况求参数的方法：
(1)直接法：直接根据题设条件构建方程（不等式），再通过解方程（不等式）求参数．
(2)分离参数法：先将参数分离，转化为求函数的最值或值域问题，加以解决．
(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，然后数形结合求解．
【例3】（2022•河南模拟）已知函数f（x）＝x3﹣3x2﹣k在区间（0，3）存在零点，则k的取值范围是（
）
A．（﹣∞，0） B．[﹣4，+∞） C．（﹣4，0] D．[﹣4，0）
【变式3-1】（2021秋•和平区期末）已知函数y＝a|x|+m﹣1（0＜a＜1）有零点，则实数m的取值范围是（
）
A．（﹣∞，0） B．（﹣∞，0] C．[0，1） D．[1，2）
【变式3-2】（2022春•成都期末）已知函数 {x2+4x+a，x＜1，若函数y＝f（x）﹣2只有两个
f(x)=
lnx+1，x≥1零点，则实数a的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，2） B．（﹣3，4） C．（﹣3，6） D．（﹣∞，﹣3]∪{6}
1
【变式3-3】（2021秋•光明区期末）已知函数f(x)=log x−4x−1 (a＞0且a≠1）在(0， ]上无零点，
a 2
1
在( ，1)上有零点，则实数a的取值范围为（ ）
2
1 1
A．(0， ) B．( ，1)∪(1，+∞)
4 4
1 1
C．(0， ] D．( ，1)
4 4
【题型4 求函数所有零点的和】
3π 7π
【例4】（2022•克拉玛依三模）函数f（x）＝1﹣（x﹣ ）sinx在区间[− ， ]上的所有零点之和为
2 2
π
（ ）
A．0 B．2 C．4 D．6
π π π
【变式4-1】（2022•萍乡二模）已知函数 {(x−1) 2 ，x≥0 ，则y＝f（x） 1的所有零点之和为（
f(x)= −
|x+1|，x＜0 2
）
√2+1 1−√2
A． B． C．2 D．0
2 2
【变式 4-2】（2022•怀仁市校级二模）已知 f（x）是定义在 R 上的奇函数，当 x＞0 时，f（x）
{2|x−1|−1，0＜x≤2
，若关于x的方程[f（x）]2﹣（a+1）f（x）+a＝0（a R）恰有4个不相等的
= 1
f(x−2)，x＞2
2 ∈
实数根，则这4个实数根之和为（ ）
A．﹣4 B．4 C．8 D．﹣4或8
【变式4-3】（2021春•泸县月考）已知f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x+2）＝f（x），当x （0，
1]时，f（x）＝1﹣|2x﹣1|，则函数g（x）＝f（x）﹣sin（x﹣1）在区间[﹣1，3]内的所有零点之∈和为（
）
A．3 B．5 C．4 D．6
