文档文本内容
2.4 函数的周期性和对称性
目录
01 课标要求...........................................................................................................................................2
02 落实主干知识...................................................................................................................................3
一、函数的周期性................................................................................................................................3
二、函数的对称性................................................................................................................................3
三、函数的周期对称综合....................................................................................................................3
常用二级结论........................................................................................................................................4
03 探究核心题型...................................................................................................................................5
题型一：函数周期的推算....................................................................................................................5
题型二：利用周期性求解析式............................................................................................................5
题型三：奇偶性与周期性....................................................................................................................6
题型四：周期内循环............................................................................................................................6
题型五：周期与零点............................................................................................................................7
题型六：类周期函数............................................................................................................................8
题型七：奇函数周期零点....................................................................................................................9
题型八：自对称中的轴对称................................................................................................................9
题型九：自对称中的中心对称.......................................................................................................... 11
题型十：双函数对称问题..................................................................................................................12
题型十一：三次函数对称性..............................................................................................................13
题型十二：双对称与周期..................................................................................................................14
04 好题赏析（一题多解）.................................................................................................................15
05 数学思想方法.................................................................................................................................16
①数形结合..........................................................................................................................................16
②转化与化归......................................................................................................................................16
③分类讨论..........................................................................................................................................17
06 课时精练（真题、模拟题）.........................................................................................................18
基础过关篇..........................................................................................................................................18
能力拓展篇..........................................................................................................................................20
1、了解函数的周期性及其几何意义.
2、能通过平移，分析得出一般的轴对称和中心对称公式和推论.
3、会依据函数的性质进行简单的应用.
一、函数的周期性
1、周期：若函数
对定义域内的任意
满足：
，则
为函数
的周期．
最小正周期：周期函数
的所有周期中存在一个最小的正数，这个最小正数就叫做
的最小正周期．
二、函数的对称性
1、轴对称
将关于
轴对称的偶函数图象向左或向右平移
个单位后，其图象关于直线
对称．
①
图象关于直线
对称；
②
图象关于直线
对称．
2、中心对称
将关于原点对称的奇函数图象向左或向右平移
个单位后，其图象关于点
对称．
①
函数
图象关于点
成中心对称；
②
函数
图象关于点
成中心对称；
③
函数
图象关于点
成中心对称．
三、函数的周期对称综合
1、若
关于点
，
对称，则
是周期函数，且
2、若
图象有两条对称轴
，
则
是周期函数，且
3、若
关于点
对称，且关于
对称，则
是周期函数，且
常用二级结论
1、常用周期结论
①
，则
的周期
②
，则
的周期
③
，则
的周期
④
，则
的周期
⑤
，则
的周期
⑥
，则
的周期
⑦
，则
的周期
⑧
，则
的周期
⑨
，则
的周期
⑩
，则
的周期
2、若
为奇函数
则
关于点
对称；若
为偶函数
则
关于
对称
3、若
图象关于直线
或点
对称，且
有
个零点
，
，
，
，则
．若
，
的图象都关于直线
对称，且有
个交点，则交点的横坐标之和
为
．若
，
的图象都关于点
对称，且有
个交点，则交点的横坐标之和为
，纵坐标之
和为
．
题型一：函数周期的推算
【例1】（2025·湖北十堰·三模）已知定义在
上的奇函数
满足
，则
（ ）
A．
B．0
C．1
D．2
【解题总结】
求解与函数的周期有关的问题，应根据题目特征及周期定义，求出函数的周期.
【变式1-1】（2025·高三·浙江·开学考试）已知函数
满足：
，且
，
则
（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【变式1-2】已知函数
满足对于任意的实数
，都有
，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．1
【变式1-3】已知函数
对于任意实数
满足条件
，若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．4
题型二：利用周期性求解析式
【例2】写出一个同时满足下列两个条件的函数
.
①
；
②
恒成立.
【解题总结】
利用函数的周期性，可将其他区
上的求
、求零点个数、求解析式等
，
化到已知区
上，
而解决
间
值
问题转
间
进
问
题.
【变式2-1】设
是周期为2 的奇函数，当
时，
，则
时，
＝ ．
【变式2-2】函数
的周期为
，且当
时，
，则
，
的解析式为 ．
【变式2-3】已知
是定义在
上周期为
的函数，当
时，
，那么当
时，
.
题型三：奇偶性与周期性
【例3】已知函数
的定义域为
为偶函数，
为奇函数，则
．
【变式3-1】已知定义在
上的奇函数
满足
，且当
时，
，则函
数
的周期为 ：
．
【变式3-2】（2025·高三·福建福州·期中）已知函数
的定义域为
，若
为奇函数，
为偶函数，且
，则
.
【变式3-3】已知
是定义在
上的奇函数，且函数
为偶函数，当
时，
，则
，
.
题型四：周期内循环
【例4】（多选题）（2025·安徽合肥·三模）已知
，
，且当
时
，则下列正确的是（ ）
A．
B．当
时，
C．
D．
【变式4-1】（多选题）（2025·广西北海·模拟预测）已知函数
的定义域为
，且
为奇函数，
为偶函数，当
时，
．则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
在区间
上单调递增
C．
的图象关于直线
对称
D．函数
有5 个零点
【变式4-2】（多选题）（2025·湖南邵阳·三模）已知函数
的定义域为
，且
，
，当
时，
单调递减，则下列说法正确的是（ ）
A．函数
的图象关于直线
对称
B．函数
为奇函数
C．
D．
【变式4-3】（多选题）（2025·河北石家庄·三模）已知函数
是定义在R 上的偶函数，
是定义
在R 上的奇函数，则（ ）
A．
的图象关于点
中心对称
B．
是周期为2 的函数
C．
D．
题型五：周期与零点
【例5】已知
是定义域为
旳奇函数，满足
，且当
时
．给出
下列三个结论：
①
；
②函数
在区间
内有且仅有3 个零点；
③不等式
的解集为
，
．
其中，正确结论的个数是（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3
【变式5-1】（2025·湖南邵阳·三模）设
，
是定义在
上的两个周期函数，
的周期为8，
的周期为4，且
是奇函数．当
时，
，
，
若在区间
上，函数
恰有8 个零点，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式5-2】已知定义在R 上的偶函数
满足
，且当
时，
则
的零点个数为（ ）
A．4
B．6
C．8
D．10
【变式5-3】已知定义在
上的奇函数
，当
时，
，若
恒成
立，则函数
的零点个数为（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5
题型六：类周期函数
【例6】（2025·高三·浙江·开学考试）设函数
的定义域为
，满足
，且当
时，
．若对任意
，都有
，则
的取值范围是
A．
B．
C．
D．
【解题总结】
⑴若
（
，
为非零常数），则称
为“周期性”阶梯函数．
⑵若
（
，
为非零常数），则称
为“周期性”倍增函数．
⑶若
（
，
，
为非零常数），则称
为“周期性”倍增阶梯函数．
【变式6-1】设函数
的定义域为
，满足
，且当
时，
.若对任
意
，都有
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式6-2】（多选题）设函数
的定义域为
，满足
，且当
时，
.则（ ）
A．当
时，
B．关于
的方程
有且仅有3 个实数根
C．若对任意
都有
，则
的最大值为
D．
【变式6-3】设函数
的定义域为
，满足
，且当
时，
．若
对任意
都有
，则
的取值范围是 ．
题型七：奇函数周期零点
【例7】（2025·吉林·模拟预测）已知定义域为R 的奇函数
满足
，则（ ）
A．
B．
C．
的最小正周期为2
D．
是曲线
的一条对称轴
【变式7-1】已知函数
是定义在
上的奇函数，
，且
，则
（ ）
A．
B．0
C．1
D．2
【变式7-2】（2025·山西·一模）已知
是定义在R 上的奇函数，且
的一个周期为4，若
，则
（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3
【变式7-3】（2025·山东烟台·一模）已知定义在
上的函数
满足：
为奇
函数，且
，若
，则正整数
的最小值为（ ）
A．17
B．19
C．21
D．23
题型八：自对称中的轴对称
【例8】已知函数
满足
，若
与
图象的交点为
，则
（ ）
A．
B．0
C．8
D．12
【解题总结】
函数
的
象关于直
图
线
称
对
；
【变式8-1】（2025·高三·山东菏泽·期中）已知函数
满足
，若函数
与
图象的交点为
，
，则
（ ）.
A．0
B．n
C．
D．
【变式8-2】（多选题）已知函数
的定义域为
，且函数
是偶函数，函数
是
奇函数，当
时，
，下列结论正确的是（ ）
A．
的一条对称轴是直线
B．
的一条对称轴是直线
C．方程
有3 个解
D．
【变式8-3】（多选题）定义在R 上的函数
满足
为奇函数，函数
满足
，若
与
恰有2025 个交点
，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
为
的对称轴
C．
D．
【变式8-4】（多选题）若函数
的定义域为
，且
偶函数，
关于点
成中心对称.
则下列说法正确的是（ ）
A．
的一个周期为2
B．
C．
的一条对称轴为
D．
【变式8-5】（多选题）已知函数
的定义域为
，且函数
是偶函数，函数
是
奇函数，当
时，
，下列结论正确的是（ ）
A．
的图象的一条对称轴是直线
B．当
时，
C．函数
有3 个零点
D．
题型九：自对称中的中心对称
【例9】已知定义在
上的函数
满足
，若函数
与
的图象的交点为
则
（ ）
A．2
B．1
C．
D．0
【解题总结】
函数
图象关于点
成中心对称．
【变式9-1】（2025·高三·黑龙江鸡西·期中）已知函数
共有
个交点
，
则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式9-2】我们知道，函数
的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数
为
奇函数．有同学发现可以将其推广为：函数
的图象关于点
成中心对称图形的充要条件是函
数
为奇函数.已知函数
是奇函数，
，则下列结论不正确的是
（ ）
A．函数
的图象关于点
对称
B．函数
是奇函数
C．函数
的导函数
关于直线
对称
D．若函数
的图象与函数
的图象有2024 个交点，记为
，则
【变式9-3】（2025·广东珠海·模拟预测）已知函数
定义域为
，且满足
，
，若
的图象与
的图象的交点分别为
，
，……，
，
则
（ ）
A．0
B．
C．
D．
【变式9-4】（2025·河南·一模）已知曲线
关于点
中心对称，则
（ ）
A．2
B．1
C．
D．
【变式9-5】（2025·陕西咸阳·二模）已知
是定义在
上的函数，且
为奇函数，若函数
的图象与函数
的图象有
个交点
，…，
，
且
，则
的值为（ ）
A．1010
B．1012
C．1014
D．1016
题型十：双函数对称问题
【例10】函数
与
的图象关于（ ）
A．
轴对称
B．
轴对称
C．直线
对称
D．原点中心对称
【解题总结】
1、函数
和函数
关于
轴对称．
2、函数
和函数
关于
轴对称．
3、函数
和函数
关于
对称．
4、函数
和函数
关于
对称．
【变式10-1】已知函数y＝f(x)是定义域为R 的函数，则函数y＝f(x＋2)与y＝f(4－x)的图象（ ）
A．关于x＝1 对称
B．关于x＝3 对称
C．关于y＝3 对称
D．关于(3，0)对称
【变式10-2】设函数
的定义域为
，则函数
与函数
的图象关于（ ）
A．直线
对称
B．直线
对称
C．直线
对称
D．直线
对称
【变式10-3】设函数
的定义域为
，则函数
与函数
的图象关于（ ）
A．直线
对称
B．直线
对称
C．直线
对称
D．直线
对称
【变式10-4】已知函数
与
的图象上存在关于
对称的点，
则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
题型十一：三次函数对称性
【例11】对于三次函数
给出定义: 设
是函数
的导数，
是
的导数，若方程
有实数解
，则称点
为函数
的“拐点”．某同学经过探
究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.给
定函数
，请你根据上面探究结果，计算
（ ）
A．1010
B．2020
C．2023
D．2024
【解题总结】
三次函数
的图象关于点
对称．
【变式11-1】已知所有的三次函数
都有对称中心
，若函数
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式11-2】（2025·江西上饶·模拟预测）已知一元三次函数对称中心的横坐标为其二阶导函数的零点．
若
，则
（ ）
A．0
B．4
C．
D．
【变式11-3】（2025·陕西咸阳·三模）设
是函数
的导数，
是
的导数，若方程
有实数解
，则称点
为函数
的“拐点”.已知：任何三次函数既有拐点，又有
对称中心，且拐点就是对称中心．设
，数列
的通项公式为
，则
（ ）
A．2017
B．2018
C．8068
D．4034
题型十二：双对称与周期
【例12】（多选题）已知函数
是奇函数，
是
的导函数
，
且
满
足
，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．函数
为偶函数
C．
D．函数
的周期为4
【解题总结】
1、若
关于点
，
对称，则
是周期函数，且
2、若
图象有两条对称轴
，
则
是周期函数，且
3、若
关于点
对称，且关于
对称，则
是周期函数，且
【变式12-1】（多选题）（2025·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）已知函数
满足关系式
，
，且
在
上的解析式为
，
为
的导函数，则下列说法正
确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
为奇函数
【变式12-2】（多选题）（2025·宁夏银川·三模）已知定义在
上的函数
满足
，且
为奇函数，则（ ）
A．
为奇函数
B．
为偶函数
C．
是周期为3 的周期函数
D．
【变式12-3】（多选题）（2025·福建莆田·三模）已知定义域为
的函数
是偶函数，且
，
，若
，其中
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
的最小值为
1．已知曲线
的对称中心为点M，曲线
上两个不重合的动点
、
关于
点M 对称，则
的取值范围是
A．
B．
C．
D．
2．（多选题）定义在R 上的奇函数
与函数
的图象关于直线
对称，则
A．函数
图象关于点
对称
B．函数
图象关于点
对称
C．函数
与
图象关于直线
对称
D．函数
与
图象关于直线
对称
3．（2022 年新高考全国II 卷数学真题）已知函数
的定义域为R，且
，则
（ ）
A．
B．
C．0
D．1
①数形结合
1．已知
是定义在R 上的奇函数，
为偶函数，且当
时，
，则
（ ）
A．
的周期为2
B．
…
C．
的所有零点之和为16
D．
2．已知函数
分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，且当
时，
，
则下列说法正确的是
A．
是周期为2 的函数
B．
C．函数
为奇函数
D．函数
有5 个零点
3．（多选题）已知函数
的定义域为R，且
为奇函数，
为偶函数，当
时，
则下列结论正确的是
A．
B．
在区间
上单调递增
C．
的图象关于直线
对称
D．函数
有5 个零点
②转化与化归
4．已知函数
为定义在R 上的函数
的导函数，若
，
，且
，则
．
5．已知函数
是定义在R 上的偶函数，且
，当
时，
，则当
时，
．
6．已知函数
的定义域为R，
若函数
为奇函数，
为偶函数，则
．
③分类讨论
7．已知函数
，
，若
的图象与
的图象的交点分别为
，则
．
8．已知函数
，给出下列命题：
必为偶函数；
若
，则
的图象关于直线
对称；
若
，则
在区间
上是增函数；
有最大值
其中正确命题的序号是
．
填出所有你认为正确的命题的序号
9．已知函数
，若关于x 的方程
有4 个不同的实数根，且所有实数
根之和为2，则实数t 的取值范围为
．
基础过关篇
1．（2025 年高考全国一卷数学真题）设
是定义在
上且周期为2 的偶函数，当
时，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2022 年高考全国乙卷数学（理）真题）已知函数
的定义域均为R，且
．若
的图像关于直线
对称，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（多选题）（2024 年新课标全国Ⅱ卷数学真题）设函数
，则（ ）
A．当
时，
有三个零点
B．当
时，
是
的极大值点
C．存在a，b，使得
为曲线
的对称轴
D．存在a，使得点
为曲线
的对称中心
4．（多选题）（2022 年新高考全国I 卷数学真题）已知函数
及其导函数
的定义域均为
，记
，若
，
均为偶函数，则（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（2025·河北·模拟预测）已知定义在
上的函数
满足：
，且
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（2025·辽宁·三模）已知定义在R 上的函数
满足
为奇函数，且
的图象关于直线
对称，则
（ ）
A．
B．0
C．1
D．2
7．（2025·甘肃张掖·模拟预测）已知
是定义域为
的奇函数，且
，若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
8．（2025·河北·模拟预测）若函数
是定义域为R 且周期为3 的奇函数，且
，则
（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3
9．（2025·甘肃·模拟预测）已知偶函数
满足：
，且
，若
，则
（ ）
A．1
B．
C．
D．
10．（2025·云南·模拟预测）设
是定义在
上的奇函数，
，
，则
（ ）
A．0
B．-1012
C．-2
D．1010
11．（2025·江西·二模）已知函数
是定义在
上的函数，
，且对任意的
都有
，
，若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
12．（2025·江西赣州·二模）已知函数
是定义在
上且周期为
的奇函数，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
13．（2025·黑龙江大庆·模拟预测）函数
的定义域为
，且对任意的实数
，都有
，且
，则下列说法错误的是（ ）
A．
为偶函数
B．
为周期函数且周期为12
C．
D．
14．（多选题）（2025·甘肃白银·模拟预测）已知函数
对任意实数a，b 都有
，且
，则（ ）
A．
B．
C．
D．若x 为正整数，则
能力拓展篇
15．（多选题）（2025·四川成都·三模）已知函数
，对任意
，均有
，且
为
的导函数，则（ ）
A．
B．
为奇函数
C．
D．
16．（多选题）（2025·海南·模拟预测）已知函数
的定义域为
，且
，曲线
的图象关于直线
对称．若
时，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
17．（多选题）（2025·甘肃甘南·模拟预测）已知对任意
，且
，则（ ）
A．
B．
C．
的图象关于直线
对称
D．
18．已知定义在
上的函数
的图象经过坐标原点，
，
，且
为偶函数，则
．
19．（2025·四川攀枝花·三模）函数
的最小值为 ．
20．（2025·河北·二模）已知定义在
上的函数
的导函数为
，
为偶函数，且
，则
．
21．（2025·山西忻州·模拟预测）已知函数
，
的定义域均为R，且
为偶函数，
为奇函数，函数
的最小值为
，若函数
有两个零点s，t，
则
．
