文档文本内容
2.4 函数的周期性与对称性
目录
01 思维导图与题型归纳.......................................................................................................................2
02 基础知识点梳理..............................................................................................................................3
知识点一、函数的周期性....................................................................................................................3
知识点二、函数的对称性....................................................................................................................3
知识点三、函数的周期对称综合........................................................................................................3
方法总结1：常用周期结论.................................................................................................................4
方法总结2：类周期函数.....................................................................................................................4
方法总结3：抽象函数对应的特殊函数模型.....................................................................................5
03 真题回顾..........................................................................................................................................6
04 经典题型归纳总结........................................................................................................................12
题型1:函数周期的推导计算.............................................................................................................12
题型2:周期性下解析式的确定.........................................................................................................13
题型3:奇偶性与周期性综合应用.....................................................................................................15
题型4:周期内循环规律应用.............................................................................................................18
题型5:周期性与零点综合问题.........................................................................................................20
题型6:类周期函数的性质应用.........................................................................................................24
题型7:奇函数周期零点问题.............................................................................................................27
题型8:自对称之轴对称分析.............................................................................................................30
题型9:自对称之中心对称分析.........................................................................................................32
题型10:双函数对称关系分析...........................................................................................................35
题型11:双对称性与周期推导...........................................................................................................40
题型12:抽象函数的原函数求解.......................................................................................................42
题型13:周期函数的递推规律应用...................................................................................................48
05 课后拓展精练................................................................................................................................50
知识点一、函数的周期性
1、周期：若函数
对定义域内的任意
满足：
，则
为函数
的周期．
最小正周期：周期函数
的所有周期中存在一个最小的正数，这个最小正数就叫做
的最小正周期．
知识点二、函数的对称性
1、轴对称
将关于
轴对称的偶函数图象向左或向右平移
个单位后，其图象关于直线
对称．
①
图象关于直线
对称；
②
图象关于直线
对称．
2、中心对称
将关于原点对称的奇函数图象向左或向右平移
个单位后，其图象关于点
对称．
①
函数
图象关于点
成中心对称；
②
函数
图象关于点
成中心对称；
③
函数
图象关于点
成中心对称．
知识点三、函数的周期对称综合
1、若
关于点
，
对称，则
是周期函数，且
2、若
图象有两条对称轴
，
则
是周期函数，且
3、若
关于点
对称，且关于
对称，则
是周期函数，且
方法总结1：常用周期结论
1、常用周期结论
①
，则
的周期
②
，则
的周期
③
，则
的周期
④
，则
的周期
⑤
，则
的周期
⑥
，则
的周期
⑦
，则
的周期
⑧
，则
的周期
⑨
，则
的周期
⑩
，则
的周期
2、若
为奇函数
则
关于点
对称；若
为偶函数
则
关于
对称
3、若
图象关于直线
或点
对称，且
有
个零点
，
，
，
，则
．若
，
的图象都关于直线
对称，且有
个交点，则交点的横坐标之和
为
．若
，
的图象都关于点
对称，且有
个交点，则交点的横坐标之和为
，纵坐标之
和为
．
方法总结2：类周期函数
若
满足：
或
，则
横坐标每增加
个单位，则函
数值扩大
倍．此函数称为周期为
的类周期函数．
方法总结3：抽象函数对应的特殊函数模型
抽象函数
特殊函数模型
正比例函数
反比例函数
一次函数
二次函数
幂函数
对数函数
超越函数
正弦型函数
余弦型函数
余弦型函数
余弦型函数
1．（2026 年高考全国2 卷数学高考真题）已知
是定义域为R 的偶函数，
，且当
时，
，则（ ）
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
【答案】D
【解析】
，则
，
，即
的周期为
，
结合奇偶性，周期性，故
，
在
上满足
，说明
的对称轴为
，
则
，解得
，
又根据
知
，而
，
则
，于是
，
即
，解得
2．（2025 年高考全国一卷数学真题）已知
是定义在
上且周期为2 的偶函数，当
时，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由题知
对一切
成立，
于是
.
故选：A
3．（2024 年新课标全国Ⅰ卷数学真题）已知函数
的定义域为R，
，且当
时
，则下列结论中一定正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】因为当
时
，所以
，
又因为
，
则
，
，
，
，
，则依次下去可知
，则B 正确；
且无证据表明ACD 一定正确.
故选：B.
4．（2017 年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标1 卷精编版））已知函数
，则
A．
在（0，2）单调递增
B．
在（0，2）单调递减
C．
的图像关于直线x=1 对称
D．
的图像关于点（1，0）对称
【答案】C
【解析】由题意知，
，所以
的图象关于直线
对称，故C 正确，D
错误；又
（
），由复合函数的单调性可知
在
上单调递增，在
上单
调递减，所以A，B 错误，故选C．
5．（2016 年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标2 卷精编版））已知函数
满足
，若函数
与
图像的交点为
则
A．0
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】[方法一]：直接法.
由
得
关于
对称，
而
也关于
对称，
∴对于每一组对称点
，
∴
，故选B．
[方法二]：特值法.
由
得
不妨设因为
，与函数
的交点为
∴当
时，
，故选B．
[方法三]：构造法.
设
，则
，故
为奇函数.
设
，则
，故
为奇函数.
∴对于每一组对称点
.
将
，
代入，即得
∴
，故选B．
[方法四]：
由题意得,函数
和
的图象都关于
对称,
所以两函数的交点也关于
对称,
对于每一组对称点
和
，都有
.
从而
.故选B.
考点：函数的性质.
6．（2018 年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标II 卷））已知
是定义域为
的
奇函数,满足
.若
，则
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】分析：先根据奇函数性质以及对称性确定函数周期，再根据周期以及对应函数值求结果.
因为
是定义域为
的奇函数，且
，
所以
,
因此
，
因为
，所以
，
，从而
，选C.
7．（2016 年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（山东卷精编版））已知函数
的定义域为
.当
时，
；当
时，
；当
时，
.则
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】当
时,
,所以当
时,函数
是周期为
的周期函数,所以
,又函数
是奇函数,所以
,故选D．
考点：函数的周期性和奇偶性．
8．（多选题）（2023 年新课标全国Ⅰ卷数学真题）已知函数
的定义域为
，
，则（ ）．
A．
B．
C．
是偶函数
D．
为
的极小值点
【答案】ABC
【解析】方法一：
因为
，
对于A，令
，
，故
正确.
对于B，令
，
，则
，故B 正确.
对于C，令
，
，则
，
令
，
又函数
的定义域为
，所以
为偶函数，故
正确，
对于D，不妨令
，显然符合题设条件，此时
无极值，故
错误.
方法二：
因为
，
对于A，令
，
，故
正确.
对于B，令
，
，则
，故B 正确.
对于C，令
，
，则
，
令
，
又函数
的定义域为
，所以
为偶函数，故
正确，
对于D，当
时，对
两边同时除以
，得到
，
故可以设
，则
，
当
肘，
，则
，
令
，得
；令
，得
；
故
在
上单调递减，在
上单调递增，
因为
为偶函数，所以
在
上单调递增，在
上单调递减，
显然，此时
是
的极大值点，故D 错误.
故选：
.
9．（2017 年全国普通高等学校运动训练、武术与民族传统体育专业单独统一招生考试数学试卷）函数
的图像关于直线
对称，则
_____________．
【答案】
【解析】因为
的对称轴为
，
的对称轴为
相当于y＝
向右平移1 个单位，所以
.
故答案为：
.
10．（2018 年全国普通高等学校招生统一考试数学（江苏卷））函数
满足
，且在
区间
上，
则
的值为____．
【答案】
【解析】分析：先根据函数周期将自变量转化到已知区间，代入对应函数解析式求值，再代入对应函数解
析式求结果.
由
得函数
的周期为4，所以
因此
11．（2014 年全国普通高等学校招生统一考试数学（江苏卷））已知
是定义在
上且周期为3 的函数，
当
时，
，若函数
在区间
上有10 个零点（互不相同），则实数
的取值范围是_____.
【答案】
【解析】作出函数
的图象，可见
，当
时，
，
，
方程
在
上有10 个零点，即函数
和图象与直线
在
上有10 个交点，
由于函数
的周期为3，因此直线
与函数
的应该是4 个交点，则有
．
题型1:函数周期的推导计算
【典例1-1】（2026·高三·陕西渭南·开学考试）已知定义在
上的偶函数
满足
，当
时，
，则
（ ）
A．
B．6
C．8
D．10
【答案】C
【解析】因为
，可得
，
则
，可知函数
的一个周期为6，
又因为函数
为定义在
上的偶函数，则
，
且当
时，
，所以
.
【典例1-2】（2026·高一·江西赣州·期中）若函数
满足
，且当
时，
，则
（ ）
A．0
B．
C．1
D．
【答案】A
【解析】因为
，所以
，
则
，
所以4 是
的一个周期，
又当
时，
，则
，
所以
.
故选：A
【变式1-1】（2026·高三·浙江·开学考试）已知函数
满足：
，且
，
则
（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】A
【解析】根据题意，
，显然
，所以
，
所以
，函数
的一个周期为8，
所以
.
故选：A
【变式1-2】（2026·高一·江苏扬州·阶段检测）定义在
上的奇函数
满足
，并且当
时，
，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由题设，
，即
是周期为4 的奇函数，
所以
，
而
，所以
.
故选：D
【变式1-3】（2026·高三·湖南长沙·阶段检测）设
是定义域为
的奇函数，且
．若
，则
（ ）
A．0
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由题意
，
，
所以4 是
的周期，故
故选：D
题型2:周期性下解析式的确定
【典例2-1】（2026·高一·陕西渭南·阶段检测）已知函数
是周期为4 的周期函数，且
，则
在区间
上的解析式为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】因为函数
是周期为4 的周期函数，
所以
时，
，
所以
，即
，
故选：C
【典例2-2】（2026·高三·江西·期中）已知
是定义域为
的奇函数，且
是偶函数，当
时，
，则当
时，
的解析式为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】因为
是定义在
上的奇函数，
为偶函数，
所以
，
，即
，
所以
，
所以
，可得
，
所以
的最小正周期为，
又当
时，
，
当
时，则
，所以
，
又由
是周期为的奇函数，
则
，
故
，
.
故选：D．
【变式2-1】（2026·高一·河南信阳·期末）设
是定义在
上的周期为的偶函数，已知
时，
，则
时，
的解析式为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
是定义在
上的周期为的偶函数，
时，
，
时，
，
，
此时
，
当
时，
，
，
此时
，
所以
，
综上可得：
时，
故选：C.
【变式2-2】设
是定义在
上的周期为
的偶函数，已知当
时，
，则当
时，
的解析式为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】当
时，
，
，
当
时，
，
，
因为函数
为偶函数，则
，
综上所述，当
时，
.
故选：C.
【变式2-3】（2026·高三·河北·阶段检测）已知函数
是定义在R 上的奇函数，且满足
，
当
时，
，则当
时，
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由题意知
，所以函数
是以4 为周期的周期函数，
又当
时，
，且
是定义在
上的奇函数，
所以
时，
，
，
所以当
时，
，
.
故选：B.
题型3:奇偶性与周期性综合应用
【典例3-1】（2026·福建南平·二模）已知
是定义在
上且周期为4 的奇函数，当
时，
，则
（ ）
A．-2
B．
C．
D．2
【答案】B
【解析】已知
是定义在
上且周期为
的奇函数，所以有
，
令
，得
，
由于
是奇函数，有
，所以
，即
，解得
，
当
时，
，由于
，所以
，
因此
，故B 正确.
【典例3-2】（2026·湖南株洲·模拟预测）已知
是定义在
上且周期为2 的奇函数，则
（ ）
A．12
B．-12
C．0
D．-3
【答案】C
【解析】由
周期为2，可得
；
是
上的奇函数，故
.
所以
，
；
所以
.
【变式3-1】（2026·陕西渭南·三模）已知
是定义在
上的奇函数，
是偶函数，则
（ ）
A．0
B．
C．2
D．4
【答案】A
【解析】由函数
是定义在R 上的奇函数，可得
，且
，
又由
是偶函数，即函数
的图象关于
轴对称，
可得函数
的图象关于
对称，即
，
因为
，可得
，
即
，所以函数
是以
为周期的周期函数，
可得
因为
，可得
，
所以
.
【变式3-2】（2026·江西·二模）已知函数
的定义域为
，
为奇函数，
为偶函数，
且
，则
（ ）
A．
B．
C．1
D．2
【答案】A
【解析】因为
为奇函数，所以
，
令
，则
，即
①；
因为
为偶函数，所以
，
令
，则
，即
，
所以
，所以
，即
②，
所以
，所以4 是
的一个周期．
由① 式，取
，可得
，即得
，
又由② 式，取
，可得
故
，
，
由② 式，取
，可得
，取
，可得
，
故
，
则
.
【变式3-3】（2026·高一·山东德州·阶段检测）设
为定义在
上的奇函数，且满足
，
，则
（ ）
A．
B．0
C．1
D．2
【答案】D
【解析】
是定义在
上的奇函数，
，
又
，则
，
所以
，即函数的周期
，
，又
，
.
【变式3-4】（2026·高一·湖南娄底·期末）已知
是定义域为
的奇函数，满足
，则
（ ）
A．2
B．1
C．-1
D．0
【答案】D
【解析】已知
是定义域为
的奇函数，故满足
，且
.
又因为
，将
替换为
，得：
.
结合奇函数性质
，得：
.
再将上式中的
替换为
，得：
，
故
是周期为4 的周期函数.
又因为
，令
，所以
，
所以
.
题型4:周期内循环规律应用
【典例4-1】（2026·浙江·模拟预测）已知
是定义在
上的奇函数，满足
，
，则
（ ）
A．2
B．1
C．0
D．
【答案】D
【解析】将
中的
替换为
可得
，
则
，
用
替换
，即
，
所以函数
是以
为周期的周期函数，
由
，令
，则
，
且
是定义在
上的奇函数，则
，所以
，
令
，则
，且
，则
，
令
，则
，因为
，所以
，
所以
，
则
.
【典例4-2】（2026·高三·安徽合肥·开学考试）已知
是定义在
上的偶函数，且
为奇函数，
若
，则
（ ）
A．
B．0
C．1
D．2
【答案】A
【解析】令
，
由
为奇函数，
得
，
又
为偶函数，∴
，
∴
，
用
替换
，则
，
∴
，即4 为
的周期．
根据
，
令
，得
，
令
，得
，
又
为偶函数，且
，∴
，
，
又
的周期为4，∴
，
，
∴
．
∵
余
，
∴
．
故选：A．
【变式4-1】（2026·高一·山东临沂·期末）已知定义在R 上的函数
满足
，
，则
（ ）
A．-2
B．-1
C．0
D．1
【答案】C
【解析】因为
，由
，
令
，则
，
即
，得
，
两式相加得
，则有
，即
，
则有
，所以函数的一个周期为6，
令
，则
，得
，
令
，则
，得
，
又
，得
，
，
，
，
所以
，
由周期性得
.
故选：C
【变式4-2】已知
是定义域为
的奇函数，满足
，若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】因为
是定义域为
的奇函数，所以
，
又
，所以
，
则
，即
，
所以
，则
是以
为周期的周期函数，
因为
，
，
所以
，
，
，
则
，
所以
．
故选：A
【变式4-3】（2026·云南·模拟预测）设
是定义在
上的奇函数，
，
，则
（ ）
A．0
B．-1012
C．-2
D．1010
【答案】C
【解析】已知
为奇函数，所以
且
，
因为
，所以
，则
，函数
的周期为4，
因为
，
，
，
，
所以
，
因为
，前2024 项和为
，
，
所以
.
故选：C
题型5:周期性与零点综合问题
【典例5-1】（2026·高二·浙江嘉兴·期末）设
是定义在
上且周期为
的函数，当
时，
，则函数
在区间
上的零点个数为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】当
时，
，
在区间
内的零点为
和
，共
个零点.
已知
周期为
，即
，则函数
在区间
上的零点为
共
6 个.
【典例5-2】（2026·高一·山西运城·期中）已知定义在
上的偶函数
满足
，且当
时，
，则下列结论正确的是（ ）
A．
在区间
上单调递减
B．
C．
在区间
上有5 个零点
D．
【答案】B
【解析】对选项A：由
可知函数
的一个周期为2，所以
在区间
上的图象与
在区间
上相同.
又
是偶函数，则
时的单调性与
时的单调性相反.
因
时，
单调递减，故
时，
单调递增，故
时，
单调递增，
故A 错误；
对选项B：
，故B 正确；
选项C：当
时，令
0，得
，因为
为偶函数，所以
，又因为周
期为2，所以
，共6 个零点，故C 错误；
选项D：
，
，
因为当
时，
单调递减，
所以
，即
，故D 错误.
【变式5-1】（2026·辽宁大连·三模）函数
是定义在
上的奇函数，且函数
为偶函数，当
时，
，若
有三个零点，则实数
的取值集合是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由已知得
，
则
，
所以函数
的图象关于直线
对称，关于原点对称，
又
，
进而有
，所以函数
是以4 为周期的周期函数.
由
有三个零点可知，函数
与函数
的图象有三个交点，
当直线
与函数
图象在
上相切时，
由
，即
，
故方程
有两个相等的实根.
由
，解得
，
当
时，
，作出函数
与函数
的图象如图：
由图知当直线
与函数
图象在
上相切时，
，
数形结合可得
在
上有三个零点时，实数
满足
，
再根据函数
的周期为4，
可得所求的实数
的范围为
.
【变式5-2】（2026·高三·贵州贵阳·阶段检测）已知函数
的定义域为
，
，
是奇函数.且当
时，
，则函数
的零点个数为（ ）
A．7
B．8
C．9
D．10
【答案】D
【解析】因为
是定义在
上的函数且满足
，则
关于
对称，
又
是奇函数，则
，
关于
对称，
且当
时，
，可以画出
的图形，
则
的零点个数转化为
与
的交点个数，
如图，当
时，
，
故两个图像交点的个数为10，即
的零点个数为10.
故选：D
【变式5-3】（2026·高三·上海·开学考试）已知
是定义在
上的偶函数，且
，当
时，
，则下列结论错误的是（ ）
A．当
时，
B．
C．
的图像关于点
对称
D．函数
有个零点
【答案】C
【解析】因为
是定义在
上的偶函数，且
，
则
，即
周期为4，
对于选项A，因为
时，
，
则
时，
，
，又
，
所以
时，
，故A 正确，
对于选项B，
，所以B 正确，
对于选项C，若
的图像关于点
对称，则
，
又
，则
与
矛盾，所以C 错误，
对于选项D，令
，得
，由选项A 知，
，
又
的周期为
，则同一直角坐标系中，作出函数
的图象，如图所示，
由图可知，
有个交点，所以函数
有个零点，故D 正确，
故选：C.
题型6:类周期函数的性质应用
【典例6-1】（2026·高三·山东·阶段检测）已知函数
是定义在
上的奇函数，当
时，都有
，则
______．
【答案】
【解析】根据题意可知
，所以
；
由
可得
，
因此可知当
时，
是以
为首项，
为公比的等比数列，
因此可得
，即
；
所以
；
又因为
是定义在
上的奇函数，所以
.
故答案为：
【典例6-2】（2026·高三·天津滨海新区·阶段检测）设定义在R 上的函数
满足
，且当
时，
.若对任意
，不等式
恒成立，则实数
的最小值是
___________.
【答案】
/
【解析】
，且当
时，
恒成立，
，易知当
时，则
恒成立，
当
，即
时，
恒成立，
当
，即
时，
，
不满足
恒成立，
解不等式
，
，在
上的解集为
，
综上所述，当
时，
恒成立，
实数
的最小值为
.
故答案为：
.
【变式6-1】（2026·高三·上海·期中）定义在
上函数
满足
且当
时，
则使得
在
上恒成立的
的最小值是________．
【答案】
【解析】定义在
上函数
满足
，
当
时，
，
，
当
时，
，
，
，
，
当
时，
，
，
，
，
当
时，
，
，
，
，
由
解得
，则当
时，
，
当
时，
，
，
，
当
，解得
或
，
则使得
在
上恒成立的
的最小值
.
故答案为：
.
【变式6-2】（2026·高三·吉林通化·阶段检测）函数
满足是
，且
，当
时，
，则当
时，
的最小值为___________.
【答案】
/
【解析】由题设，
，若
，则
，
∴
，即
，
∴
上，当
时
的最小值为
.
故答案为：
【变式6-3】（2026·高二·河北邢台·阶段检测）定义在
上的函数
满足
，且当
时，
，若当
时，
，则
的最小值是___________.
【答案】
【解析】由
可得
当
时，
，
，
当
时，
，
当
时，
，
作出函数
的图象如图所示：
时，
，令
，
解得：
或
，
当
时，
恒成立，
当
时，
，
当
时
，
所以当
时，
恒成立，
综上所述：当
时，
恒成立，
若当
时，
，则
的最小值是
，
故答案为：
.
题型7:奇函数周期零点问题
【典例7-1】（2026·河南焦作·一模）已知
是定义域为
的奇函数，且以1 为周期，则
在区间
内至少有___________个零点．
【答案】9
【解析】
为
上的奇函数，所以
，因为函数周期为1，
所以
，
又由
，且
，
可得
，即函数关于
中心对称，则
，
所以函数在区间
内至少有9 个零点．
【典例7-2】定义在
上的奇函数
满足
，且当
时，
，则函数
在区间
上所有零点之和为_____________
【答案】
【解析】
函数
为定义在
上的奇函数，
，
又
，
函数
关于
轴对称，把
替换为
得
，
，则
，把
替换为
得
，
，故函数
是周期为4 的周期函数，
且函数
的图象关于
中心对称；
令
，得
，
由反比例函数性质知函数
的图象关于
中心对称，
又
当
时，
，结合对称性和周期性作出函数
和
的图象，如下图所
示，
由图可知，函数
和
的图象有8 个交点，且交点关于
中心对称，
函数
在区间
上所有零点之和为
．
故答案为：
．
【变式7-1】（2026·高三·上海徐汇·期中）设函数
的定义域为
，若
与
都是关于
的
奇函数，则函数
在区间
上至少有______个零点.
【答案】
【解析】∵
是关于
的奇函数，
∴
关于
对称，∴
关于
对称；
∴
，
又
是关于
的奇函数，
∴
关于
对称，∴
关于
对称；
∴
，
∴
，∴
，
即
的周期为
.
又易知
，∴
，
∴
，
，
即
，
的一个零点恰为
．
∵
，令
，解得
，
又
，所以
，
所以
在区间
至少有
个零点．
故答案为：
【变式7-2】设函数
的定义域为
，若
与
都是关于
的奇函数，则函数
在区
间
上至少有_____个零点．
【答案】50
【解析】∵
是关于
的奇函数，
∴
关于
对称，∴
关于
对称；
∴
又
是关于
的奇函数，
∴
关于
对称，∴
关于
对称；
∴
∴
，∴
即
周期为4.
又易知
，∴
∴
，
即
，
的一个零点恰为
．
∵
，所以至少有50 个零点．
故答案为：
【变式7-3】（2026·高三·甘肃兰州·开学考试）已知
是定义在
上的奇函数，且
，都有
，当
时，
，则函数
在区间
内所有零点之和
为______．
【答案】
【解析】
奇函数
，对于
都有
，
，则
，即
，
则函数
是周期为4 的周期函数．且关于直线
对称，
作出函数
与
的图象知共有5 个交点，其横坐标从小到大依次为
，
所以
，
，
，
，
则
，故在
内所有的零点之
，
故答案为:
．
题型8:自对称之轴对称分析
【典例8-1】（2026·高二·云南昭通·阶段检测）已知定义在
上的奇函数
满足
，
且当
时，
，则
______．
【答案】
【解析】由题设
可得
，
由
是奇函数，所以
，
用
代替
，则
，故
，所以
，即
是周期为6 的
函数，
所以
.
【典例8-2】（2026·高三·陕西榆林·阶段检测）设
是定义在
上的奇函数，且
，当
时，
，则
＝__________．
【答案】
【解析】由
可得
，则
关于直线
对称，
又
是定义在
上的奇函数，则
，所以
，
因此
，用
替换
得
，
再用
替换
得
，所以
，
根据周期函数定义可知
是周期为
的周期函数，所以
，
又因为当
时，
，所以
.
【变式8-1】（2026·高三·云南楚雄·阶段检测）已知定义在
上的奇函数
满足
，且当
时，
，则
____________．
【答案】
【解析】因为
，所以
，
又因为
是定义在
上的奇函数，所以
，
所以
，所以
，
所以
4），故
是周期为4 的周期函数，
所以
，
又因为
，所以
．
【变式8-2】（2026·山东聊城·一模）已知定义在
上的偶函数
满足
，且
时，
，若
是
的一个零点，则a 的值为____________．
【答案】
/
【解析】因为函数
为偶函数，
所以
，
所以
，
所以函数
的周期为
，
所以
，
由题意知，
，
即
，
解得
.
题型9:自对称之中心对称分析
【典例9-1】（2026·高一·江苏无锡·阶段检测）已知函数
是
上的奇函数，且
，当
时，
，则
________．
【答案】
/
【解析】因为
，
所以
，即
，
所以
是周期为4 的周期函数.
，
又函数
是
上的奇函数，当
时，
，
所以
，
因此
.
故答案为：
.
【典例9-2】（2026·高一·上海·阶段检测）已知定义在
上的偶函数
满足
，则
的值为__________.
【答案】0
【解析】因为
，所以
，即
，
又
为偶函数，所以
，所以
，
所以
，即
，
综上，
，即
，故
是以4 为周期的周期函数.
由
，令
，得
，即
，所以
.
由
，令
，得
.
所以
.
故答案为：0.
【变式9-1】（2026·高一·上海徐汇·期中）已知函数
是奇函数，且
，
，又
，则实数t 的取值范围为________．
【答案】
【解析】因为
为奇函数，所以
，所以
，
又因为
，所以
，
，
所以
是周期函数，周期为
，
所以
，
因为
，所以
，即
，
，
根据单位圆中的三角函数线可得：
，
，
故答案为：
【变式9-2】（2026·高二·吉林·期末）已知函数
的定义域为
，满足
，
当
时，
，则
______.
【答案】
【解析】
，故
为
上的奇函数，
，则
，
，
，
是周期为4 的周期函数，
.
故答案为：
【变式9-3】已知函数
满足对任意
，都有
，且函数
为奇函数，
，则
______．
【答案】
【解析】
任意
，都有
，
，
，即
，
是以2 为周期的周期函数，
，
，
，
又
函数
为奇函数，
的图象关于原点对称，
的图象是由
的图象向左平移1 个单位长度得到的，
的图象关于点
对称，
，
，
，
，
．
故答案为：-1.
【变式9-4】（2026·高三·海南·开学考试）若函数
定义域为
，且
为偶函数，
的图象
关于点
成中心对称，则
______．
【答案】
【解析】因为函数
定义域为
，
为偶函数，
所以
，
用
替换
可得
，
因为
的图象关于点
成中心对称，
所以
的图象关于原点成中心对称，
所以
，
所以
，
又
，
，
所以
，故
，
所以
，
所以函数
为周期函数，周期为
，
由
，可得
，
，
，
又
，故
，
所以
，
所以
，
，
，
，
所以
.
故答案为：
.
题型10:双函数对称关系分析
【典例10-1】（2026·高一·安徽合肥·期末）定义在
上的函数
，
满足
，
，且函数
为偶函数，则对任意正整数n，
__________.
【答案】
【解析】因为函数
为偶函数，所以
——①，
又因为
，所以
，即
——②.
因为
，所以
——③.
将②③代入①得
，
，
所以
，即
，所以
，
两式相减得
，所以4 是函数
的一个周期.
由
，得
，
所以
，
再由②
，得
，且
.
所以
，即
，
，所以函数
是偶函数.
所以
，且
，所以
.
所以
.
故答案为：
【典例10-2】已知函数
的图象关于直线
对称，且
，若对任意的
，函数
满足
，则
_______.
【答案】0
【解析】因为函数
的图象关于直线
对称，所以
，令
，
，
因为
，所以
，
所以函数
的图象关于点
中心对称，则
，
所以
，故8 是函数
的一个周期.
因为
，所以
，
，
因为
，
，
所以
.
故答案为：
.
【变式10-1】（2026·高一·江苏·期末）已知函数
的定义域均为
，若
，则
__________.
【答案】1
【解析】由
，得
，
又
，所以
，
则
，即
,
所以
，则函数
是以4 为周期的函数，
而
，
，则
，
所以
，
又
，所以
，
则
，
所以
.
故答案为：1.
【变式10-2】（多选题）（2026·陕西商洛·二模）已知
是定义在
上的可导函数，其中
为其导
数，
，若
满足
，
关于点
对称，下列结论中正确的是
（ ）
A．
B．
C．
为
的一条对称轴
D．
【答案】BCD
【解析】因为
关于点
对称，
则
，
取
，则
，故A 错误；
因为
，
，
所以
，
，
，
，
累加可得
，
所以
，故B 正确；
由
得
，
两端求导得
，即
，
所以
图象关于直线
对称，即
为
的一条对称轴，故C 正确；
由
得
，
所以函数
的周期为
，
故
，所以
，故D 正确.
【变式10-3】（多选题）（2026·云南昭通·模拟预测）设定义在R 上的函数
和
的导数分别为
和
，若
，
，且
为奇函数，则（ ）
A．
B．
的图象关于直线
对称
C．
D．
【答案】ACD
【解析】由
为奇函数，则
过
，图象向右平移一个单位得
过
，A 选项正确；
又
，则
.
因为
，则
，所以
，
令
，得
，则
，所以
，即
，则
关
于直线
对称，
两边求导得
，函数
的图象关于点
对称，B 选项错误；
因为
关于点
对称，关于直线
对称，即
，
，
所以
，则
，所以
的周期
；
所以
，
，所以
，
所以
，C 选项正确；
又函数
关于直线
对称，所以函数
在
左右两侧单调性相反，
且
，令
，得
，所以
，
，D 选项正确，
故选:ACD.
【变式10-4】（多选题）（2026·高三·山东临沂·阶段检测）已知
为定义在
上的可导函数，
的导数为
，
，且
的图象关于直线
对称，
，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AC
【解析】由
，则
①，又
②，
①
②得
③，则
④，
则④
③可得
，即
，
故
是周期为
的函数，则
，
由
的图象关于直线
对称，则
⑤
，
由
③
，故可得
，
所以
，故A 正确；
由
⑤可得
，即
，
由
③可得
，可得
，故B 错误；
由
②可得
，又
，
则两式相减可得
，即有
，
则可得
，即
，故C 正确；
由
，则
，又
，则
，
由
，则
，又
，则
，
由
，则
，又
，则
，则
，
由
，则
，
由
，则
，则
，
则
，
由
，则
是周期为
的函数，
故
，
故选：AC.
【变式10-5】（2026·高三·全国·一轮复习）已知函数
，
的定义域均为
，
是奇函数，
且
，
，则（ ）
A．
为奇函数
B．
为奇函数
C．
D．
【答案】D
【解析】因为
，所以
，
又
，则有
，因为
是奇函数，所以
，
可得
，即
，所以
，
所以
是周期为4 的周期函数，故
也是周期为4 的周期函数，
因为
是奇函数，所以
，
将
替换为
可得
，又
，
所以
，所以
为偶函数，故A 错误；
由
是奇函数，则
，所以
，又
，
所以
，所以C 选项错误；
由
，得
，所以B 选项错误；
因为
，
，
所以
，
所以
，所以D 选项正确．
题型11:双对称性与周期推导
【典例11-1】（2026·江苏南京·模拟预测）已知定义在
上的函数
的图象关于直线
对称，且
．当
时，
，则
__________________．
【答案】
/
【解析】由函数
的图象关于直线
对称，可得对任意
，
，
替换得
①，
由已知
，整理得：
②，
联立①②得
，
替换得
，
进一步推导得：
， 即
是周期为的周期函数.
故
.
【典例11-2】已知函数
的图象既关于直线
对称，又关于点
对称，且当
时，
，则
________．
【答案】
【解析】因为函数
的图象关于直线
对称，所以
，
因为函数
的图象关于点
对称，所以
，
所以
，可得
，
令
，可得
，即
，
所以
，即
，
所以函数
的周期为4，
由
，可得
，即
，
又因为当
时，
，所以
，
所以
．
【变式11-1】（2026·高二·江苏常州·期中）若函数
的定义域为
，且
为奇函数，
，则
______．
【答案】
【解析】令
，则
为奇函数，故
，
即
，故
，
令
，则
，
又
，
则
，
故
，即
，
则
，故
是周期为4 的周期函数；
由
为奇函数，则
，
故
，解得
，
由
得
，
，
故
．
【变式11-2】（2026·高一·上海·阶段检测）函数
为定义在
上的奇函数，且满足
，
若
，则
_________
【答案】5
【解析】由
为奇函数，得
.
由
，得
，
故
，即
的周期为
.
，
，
，
.
因此，一个周期内的和为
.
，故
.
代入得
.
【变式11-3】（2026·高二·湖南长沙·期中）已知定义在
上的奇函数
满足
，且当
时，
，则
______．
【答案】
【解析】由题设
，
用
代替
，则
，故
，
所以
，即
是周期为6 的函数，
所以
.
【变式11-4】（2026·北京·三模）设函数
的定义域为
，且
是奇函数，
是偶函数，
则一定有（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】根据奇函数与偶函数的定义可知，
是奇函数，
是偶函数，
那么
，
，
又函数
的定义域为
，
所以，令
，得
，
即
，
令
，得
即
，所以，
，
又
，所以，
，
令
，得
，所以
，
令
，得
，即
由
可得
，故函数
周期为4,
，故选项D 正确，
对于选项A，构造函数
,
，周期为4，但
，
选项A 不一定成立，故A 错误；
对于选项B，同样构造函数
，
，
选项B 不一定成立，故B 错误；
对于选项C，
，结合选项A 可知，不一定成立，故C 错误.
题型12:抽象函数的原函数求解
【典例12-1】（2026·高三·全国·三轮复习）已知
的定义域为
，
，
且
，则
_____．
【答案】
【解析】方法一：由题意，令
，
，得
，所以
．
令
，得
，
所以
，即
，且函数
的定义域为
，所以
是偶函数．
令
，得
①，
所以
②，
由①②知
，所以
，所以
，
所以
，所以
为周期函数，且
的一个周期是
．
由②得
，所以
，
同理
，所以
，
则
，
，
.
所以
，且
，
所以
．
方法二：（二级结论法）令
，得
，
得
①，
所以
②，
由①②知
，所以
，所以
，
所以
，所以
为周期函数，且
的一个周期是
．
令
，
得
，所以
，则
，
令
可得
，则
，则
，
令
，
可得
，即
，则
，
令
，
可得
，即
，则
，
令
，
可得
，即
，则
，
所以
，且
，
所以
．
故答案为：
.
【典例12-2】（多选题）（2026·高二·江苏常州·期末）已知函数
的定义域为
，且
，
，
，则（ ）
A．
为奇函数
B．
C．
D．
【答案】ACD
【解析】对于A,令
，得
，解得
，
令
，得
，
即
，
所以
或
，
当
时，令
，得
与
矛盾，故舍去;
所以
，
即
，
所以
为奇函数，故A 正确；
对于B，因为
，
，
所以
，
即
，解得
，故B 错误；
对于C，令
，
得
所以
，故C 正确；
对于D，令
，
得
，
解得
，
令
，则
，
所以
，解得
，
，解得
；
令
，
得
，解得
；
，解得
；
所以函数
是周期函数，最小正周期为，
又
，
所以
，故D 正确.
【变式12-1】（多选题）（2026·高二·山西长治·期中）已知函数
的定义域均为
，
，
，
为偶函数，则（ ）
A．
B．
为偶函数
C．
D．
【答案】ACD
【解析】选项A：令
代入已知等式：
，得
，故
，
故A 正确.
选项B：令
代入已知等式：
，
已知
，对任意
：若
，可得
；
若
，在原函数关系式
中令
，
得
，
再令
，得
. 因为
，所以
，即
，
此时也有
. 等式仍成立. 因此
是奇函数，不是偶函数，故B 错误.
选项C：由
为偶函数，得
，令
，即
，
说明
关于直线
对称.
推导得：
，
，
因此
，故C 正确.
选项D：由
，得
，故
周期
.
计算一个周期内的函数值：
，
，
，
，
即一个周期和为
.
已知
，因此
，故D 正确.
【变式12-2】（多选题）已知定义在
上的函数
，满足
，且
，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
为偶函数
C．
D．3 是函数
的一个周期
【答案】AB
【解析】对于A，令
，则
，
因为
，所以
，故A 正确；
对于B，令
，则
，
因为
，所以
，即
，
因为
的定义域为
，所以
为偶函数，故B 正确；
对于C，令
，
，则
，
由
，
，得
，则
，
所以
不一定成立，故C 错误；
对于D，令
，
，则
，所以
；
令
，
，则
，所以
，
所以
，
，
，
，
，
，
所以3 不是
的一个周期，故D 错误．
故选：AB
【变式12-3】（多选题）（2026·高三·广东·期末）已知函数
及其导函数
的定义域为
，若
为奇函数，
，且对任意
，则下列正确的有
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABD
【解析】由
，令
，则
，因为
，
所以
，故A 正确；
令
，则有
①，所以
，
因为
为奇函数，所以
为偶函数，
，所以
②，
由①—②整理有
，即
，
所以
，所以
是周期为3 的周期函数，
所以
，故B 正确；
因为
，所以
，故C 错误；
在①中，令
，得
，所以
，
所以
，故D 正确.
故选：ABD.
【变式12-4】（多选题）（2026·山西·二模）已知函数
满足对于任意的
，都有
，且
，则以下结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
是偶函数
D．
关于
对称
【答案】ACD
【解析】方法一:
对于A,令
,得
，整理得
，故
或
.
若
，令
，则
，即
恒成立，这与
矛盾，故
，A
正确；
对于C，令
，因
，则
，即
，故
是偶函数，
C 正确.
对于B，令
，则
，即
.
由此递推：
，
则
，
于是
，故
的一个周期为
.
又
，
，
，
，
，
，
，
则
因
，
故
,B 错误.
对于D，由C 项知
，则
，又
是偶函数，有
，
即
，而
，
故
，即
，故
关于
对称，D 正确.
方法二:令函数
,由余弦型函数的性质可判断ACD 均正确, 函数最小正周期
,与方法
一同理计算可知
题型13:周期函数的递推规律应用
【典例13-1】（2026·高一·河南驻马店·期中）已知函数
的定义域为
，且对任意的
，满足
，且
，则
_________．
【答案】1
【解析】因为
，
所以
，
，
因为
，所以
，
所以
，
所以
，所以
，即
.
可得
，
，
，
，
，
把上式相加得
，又
，所以
.
故答案为：1.
【典例13-2】已知
是定义在
上的函数，且对任意实数
，都有
，
，若
，则
______．
【答案】2004
【解析】因为
，所以
，
又因为
，所以
，
所以
，故
，
即
，令
，
则
对任意实数
都成立，即
是以6 为周期的函数，
所以
．
故答案为：2004
【变式13-1】已知
是定义在
上的函数，
，且对任意的
都有
，
．若
，则
______．
【答案】3
【解析】由
，得
，
则
，
，
，
，因此
，
即
，则
，又
，
于是
，函数
的周期为1，
而
，所以
．
故答案为：3
1．（2026·高三·湖北咸宁·期末）已知
是定义在
上的偶函数，且
，当
时，
，则
（ ）
A．
B．1
C．3
D．7
【答案】C
【解析】因为函数
是定义在
上的偶函数，且
，
由题意知
，即
，可得
，
可知函数
的一个周期为4，
又因为当
时，
，且
所以
.
故选：C.
2．（2026·四川成都·二模）已知定义域为
的函数
满足
，且
为奇函数，
则一定有（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由函数
满足
，可得
关于
对称，即
，
因为函数
为奇函数，可得
，
即
，可得
，即
，
令
，可得
，所以
，
又因为
，可得
，
所以
，可得
，所以
的周期为8，
因为
，可得
，所以一定有
，
对于
的值无法确定.
3．（2026·高一·河北保定·开学考试）已知
是定义在
上的奇函数，且
为偶函数，则下列式
子一定正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】因为
是定义在
上的奇函数，所以
，
又因为
为偶函数，所以
则
的图象关于直线
对称，
对
变形：
则
进一步化简得：
所以
的周期为8，
．
4．（2026·高一·云南迪庆·期末）已知
是定义域为
的奇函数，满足
．若
，
则
（）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由题意，
是定义在
上的奇函数，
有
又
，令
替换
得：
则
所以
是周期为
的周期函数，
计算一个周期内的值：
，
，
，
一个周期和
，
因为
，
所以
.
故选：B
5．（2026·高二·浙江温州·学业考试）已知函数
的定义域为
，且
,
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由函数
的定义域为
，且
,
令
，得
，即
，
因为
，所以得
.
再
，得
，
，
即
，所以函数
为偶函数.
再令
，得
，
因为
为偶函数，所以
，
因此
，且
，所以
.
又令
，得
，所以
，
因为函数
为偶函数，所以
，因此
.
令
，得
，得
.
令
，得
，即
，
用
代替
得
，
再用
代替
得
，
即
，所以函数
的一个周期为
.
因为
，所以
.
因此
，
所以
.
因此
.
6．（2026·四川攀枝花·二模）已知函数
的定义域为
，且
，
，
为奇函数，则
（ ）
A．
B．2
C．
D．1
【答案】D
【解析】因为
，
令
，则
，即
，
且
，可得
，
令
，则
，
且
不恒为0，则
，即
，
又因为
为奇函数，则
，即
，
令
，则
，可得
，
且
，
令
，则
；令
，则
；
可得
，可知函数
的一个周期为4，
则
，
所以
.
7．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知函数
的定义域为
，若
，且
，则
（ ）
A．0
B．1
C．10
D．20
【答案】A
【解析】令
，则
，
令
，则
．
令
，则
，所以函数
的图象关于直线
对称．
令
，则
，
所以
，
的图象关于点
对称．
由
和
，可得
，
令
，则
，
故
，则
，
是周期
的函数．
又
，所以
．
8．（多选题）（2026·山东聊城·一模）设
是定义在
上的可导函数，其导数为
，若
是
奇函数，且对于任意的
，
，则对于任意的
，下列说法正确的是（ ）
A．
都是
的周期
B．曲线
关于点
对称
C．曲线
关于直线
对称D．
都是偶函数
【答案】BC
【解析】由
是奇函数，故有
，即有
，
故，则
，即
，故
关于
对称，
由
，则
，即
，
故
关于
中心对称，
由
，则
，又
，
故
，即有
，
则
，故
，
即
，故
，故
周期为
.
对A：当
时，
，故A 错误；
对B：由
周期为
，故
，
又
，故
，故
，
故曲线
关于点
对称，故B 正确；
对C：由
周期为
，故
，
又
，故
，
故曲线
关于直线
对称，故C 正确；
对D：由B 得
，故
，又
周期为
，
故有
，故
，又
，
即
都是奇函数，故D 错误.
故选：BC.
9．（多选题）（2026·高二·浙江宁波·期中）已知定义域为
的函数
满足
，且
，则（ ）
A．
为偶函数
B．
为偶函数
C．
为周期函数
D．
【答案】ACD
【解析】依题意：
①，定义域为R；
令
，①式变形为：
，
令
，则
②；
令
，①式变形为：
，即：
，
用
替换
，变形得：
，则
③；
A 选项，②③联立得：
，所以
是偶函数，所以A 选项正确；
B 选项，将
，
代入①式得：
，
因为
，所以
，令
，
则
时，
，当
时，
，
因为
，所以
不是偶函数，所以B 选项错误；
C 选项，
，用
替换
得：
，
所以
是周期为4 的函数，所以C 选项正确；
D 选项，由C 选项解析可知：
是周期为4 的函数，所以
，
将
代入①式得：
，即：
，所以
，
将
，
代入①式得：
，所以
，
所以
，
则
，所以D 选项正确.
10．（多选题）（2026·河北邢台·二模）已知函数
及其导函数
的定义域均为
，若
，
函数
和
均为偶函数，则（ ）
A．
B．
C．函数
的图象关于点
对称
D．
【答案】ABD
【解析】因为
是偶函数，所以
，则
，
所以函数
的图象关于直线
对称，
由
两边求导得
，得
，
令
，则
，A 正确；
因为函数
为偶函数，所以
，
所以
，所以函数
的图象关于
对称，
所以函数
，则
，
所以
，则
，故
，B 正确；
因为
的周期为
，且
，故
，
所以
，为常数，因此
，
由
，所以
，则
，
由
，故
，故
，即
，
所以函数
的图象关于直线
对称，C 错误；
因为
，所以
，且
，
又
，所以
，则
，
综上，
，
所以
，D 正确.
11．（2026·高三·辽宁沈阳·期末）设函数
的定义域为
，满足
，且当
时，
.（1）当
时，
的最小值为__________；（2）若对任意
，
都有
成立，则实数m 的最大值是__________.
【答案】
【解析】（1）由
得，
，
因为
，所以
，当且仅当
，即
时取等号，所以
的
最小值为
，
（2）因为
，所以
，
因为当
时，
，
所以
时，
，
，值域
，
当
时，
，
，
当
时，
，
，
因为
，所以
时，
，解得
若对任意
，都有
成立，则
，
所以实数m 的最大值为
，
故答案为：（1）
，（2）
12．（2026·高一·贵州遵义·期中）若函数
的定义域为
，且
为奇函数，
．若
，则
的值为________
【答案】4050
【解析】因为
为奇函数，
所以
，即
，
所以函数关于
中心对称；
因为
，所以
关于
对称，
所以函数是周期为4 的周期函数，
所以在
中令
，又
，
则
.
令
，则
；
令
，则
，
所以
.
则
.
13．（2026·山西晋中·三模）已知函数
的定义域为
是偶函数，
，则
__________.
【答案】2
【解析】由
是偶函数，可知
是偶函数，则
的图像关于直线
对称.
由
，可知
的图象关于点
对称，可得
故
是
的周期.
由
，可得
，
，因此
.
14．（2026·高三·福建厦门·阶段检测）已知函数
的定义域是
，
，
，当
时，
，则
________.
【答案】0
【解析】由
得：
，
又
，
，
，
，
.
15．（2026·高一·海南·期末）已知函数
满足
，且当
时，
且
），则
_______，
_______．
【答案】 2
【解析】在
中，令
，可得
，
所以
，所以
.
在
中，用
替换
，可得
，
又
，所以
，
用
替换
得
，∴
，
即
以4 为周期. 所以
.
故答案为：2 ；
16．（2026·西藏日喀则·模拟预测）已知
是定义在
上的连续函数，
．若
为
奇函数，
为偶函数，且
，则
________．
【答案】
【解析】因为
为定义在
上的奇函数，所以
，
因为
为偶函数，所以
，
则
，
所以
，
则
，
所以函数
的一个周期为4，
则
．又
，
所以
，
因为
，
所以
，
，
所以
，
则
．
17．已知函数
的定义域均为
，若
是偶函数且
，则
_______
【答案】2024
【解析】因为
是偶函数，所以
又
，所以
①，
又因为
，所以
②，
由①
②得到
③，所以
④，
由③
④得到
，即
，所以
的一个周期为
，
又
，由
，得到
，且
，
，
所以
，则
，
故答案为：2024
18．（2026·高三·北京石景山·期末）关于定义域为
的函数
是偶函数，且
，
，给出下列四个结论：
①函数
的图象关于
对称；
②函数
的图象关于
对称；
③函数
是以6 为周期的周期函数；
④函数
是以4 为周期的周期函数．
其中正确结论的序号是___________．
【答案】①②④
【解析】对于①，因为
为偶函数，所以
，
由
，可得
，则
，
，所以函数
的图象关于直线
对称，故①正确；
对于②，因为
，所以
，
又
，可得
，
所以函数
的图象关于点
对称，故②正确；
对于③，由
，且
，所以
，
所以
，所以
，
所以
是以4 为周期的周期函数，故③错误；
对于④，因为
，且
，所以
，
由
，所以
，又
，
所以
，所以
，
所以
，因此，函数
是周期为4 的周期函数，故④正确.
故答案为：①②④.
19．（2026·陕西宝鸡·一模）已知函数
，
的定义域为
，且
，
，若
的图像关于直线
对称，则以下说法正确的有________．
①
②
③
④
【答案】②③④
【解析】因为
，所以
；
又因为
，所以
；
所以
，所以④正确；
因为
的图像关于直线
对称，
所以
，所以
，
用
替换
可得
，
所以
，
所以
的周期为
，所以
，所以②正确；
因为
的图像关于直线
对称,
所以
，所以
，所以
是偶函数；
因为
，所以
；
所以
，
是偶函数，
所以
，所以①错误；
因为
，所以
，所以
；
因为
是偶函数，所以
；
因为
的周期为
，所以
；
因为
，所以
；
所以
，所以③正确；
故答案为：②③④.
20．（2026·高三·河北秦皇岛·阶段检测）已知函数
的定义域均为
，且
.若函
数
的图象关于直线
对称，
的图象关于点
对称，且
，则
____________
【答案】
【解析】因为
，
，所以
，
因为函数
的定义域均
，且图象关于点
对称，所以
，
因为函数
的图象关于直线
对称，
所以
，即
，
所以
，
因为
的图象关于点
对称，所以
，即
所以
，
所以
，即
是周期为的周期函数，
因为
，即
所以
，
，
，
，
所以
所以
故答案为：
21．（2026·高一·重庆·期末）已知
的定义域为
，满足
，
，若
，则
______.
【答案】
【解析】因为函数
的定义域为
，满足
，则函数
为
上的奇函数，
因为
，所以
，
即
，故
，
故函数
是周期为的周期函数，
则
，
，
，
，
故
.
故答案为：
.
22．（2026·高一·江苏南通·期末）已知函数
为偶函数，
为奇函数，
，则
______.
【答案】
【解析】因为函数
为偶函数，所以
，所以函数
的图象关于直线
对
称，所以
，
又因为
为奇函数，所以
，所以函数
的图象关于点
中心对称，所以
.
所以
，
设
，所以
.
所以
，所以函数
是以4 为周期的周期函数.
在
中，令
得
.
在
中，令
得
.
又
，
，
所以
.
故答案为：2
