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微专题：函数对称性的应用
【考点梳理】
1.抽象函数图象的对称性
函数图象的对称性主要有两种，一种是轴对称，另一种是中心对称. 函数图象的对称性主要包括函数图象自身
的对称性(自对称)及不同函数图象之间的对称性(互对称).
(1)一个函数的自对称
①轴对称：若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＝f(a－x)或f(x)＝f(2a－x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称. 特
别地，当a＝0时，f(x)＝f(－x)，则函数y＝f(x)的图象关于y轴对称，函数为偶函数. 推广：若函数y＝f(x)满足f(a
＋x)＝f(b－x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝对称.
②中心对称：若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＋f(a－x)＝0或f(x)＋f(2a－x)＝0，则函数y＝f(x)的图象关于点(a，0)对
称. 特别地，当a＝0时，f(x)＋f(－x)＝0，则函数y＝f(x)的图象关于原点对称，函数为奇函数. 推广：若函数y＝
f(x)满足f(a＋x)＋f(b－x)＝c，则函数y＝f(x)的图象关于点对称.
(2)两个函数的互对称
①轴对称：函数y＝f(x)与y＝f(2a－x)的图象关于直线x＝a成轴对称. 特别地，当a＝0时，函数y＝f(x)与y＝
f(－x)的图象关于y轴对称. 推广：两个函数y＝f(a＋x)与y＝f(b－x)的图象关于直线x＝对称.
②中心对称：函数y＝f(x)与y＝－f(2a－x)的图象关于点(a，0)成中心对称. 特别地，当a＝0时，函数y＝f(x)
与y＝－f(－x)的图象关于原点成中心对称. 推广：两个函数y＝f(x)与y＝2b－f(2a－x)的图象关于点(a，b)对称.
2. 对称性与周期性的关系
(1)如果函数f(x)(x∈D)在定义域内有两条对称轴x＝a，x＝b(a<b)，则函数f(x)是周期函数，且周期T＝2(b－a)
(不一定是最小正周期，下同).
(2)如果函数f(x)(x∈D)在定义域内有两个对称中心A(a，0)，B(b，0)(a<b)，那么函数f(x)是周期函数，且周期T
＝2(b－a).
(3)如果函数f(x)(x∈D)在定义域内有一条对称轴x＝a和一个对称中心B(b，0)(a≠b)，那么函数f(x)是周期函数
且周期T＝4|b－a|.
【题型归纳】
题型一：由对称性求函数的解析式
1．设函数 ，若 ，则下列不等式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．下列函数与 的图象关于原点对称的函数是（ ）
A． B．
第 1 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司C． D．
3．下列函数与 关于 对称的是（ ）
A． B．
C． D．
题型二：由函数对称性求函数值或参数
4．已知 为 上的奇函数，且 ，当 时， ，则 的值为（ ）
A． B．12 C． D．
5．已知函数 的图像关于点 对称，则 （ ）
A． B． C．1 D．3
6．已知定义域是R的函数 满足： ， ， 为偶函数， ，则
（ ）
A．1 B．-1 C．2 D．-3
题型三：函数对称性的应用
7．已知函数 ，定义域为 的函数 满足 ，若函数 与 图
象的交点为 ，则 （ ）
A．0 B．2 C．4 D．6
8．已知函数 的图象与 的图象关于 轴对称，则不等式 的解集为（ ）
A． B． C． D．
第 2 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司9．定义在R上的函数 满足 ；且当 时， ．则方程
所有的根之和为（ ）
A．8 B．10 C．12 D．14
【双基达标】
10．已知 为定义在R上的奇函数， ，且 在 上单调递增，在 上单调递减，则不
等式 的解集为（ ）
A． B．
C． D．
11．已知函数 ，满足 ，则 （ ）
A． B． C． D．
12．设函数 ，若关于x的方程 有四个实根 （ ），则
的最小值为（ ）
A． B．16 C． D．17
13．已知函数 满足 ，且 在 上单调递增，当 时， ，则
m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
第 3 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司14．关于函数 有下述四个结论：
① 的图象关于直线 对称 ② 在区间 单调递减
③ 的极大值为0 ④ 有3个零点
其中所有正确结论的编号为（ ）
A．①③ B．①④ C．②③④ D．①③④
15．已知函数 ， 分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且 ，若函数
有唯一零点，则正实数 的值为（ ）
A． B． C．1 D．2
16．已知函数 的图象关于直线 对称，且对 有 .当 时，
.则下列说法不正确的是（ ）
A． 的周期 B． 的最大值为4C． D． 为偶函数
17．若 图象上存在两点 ， 关于原点对称，则点对 称为函数 的“友情点对”（点对 与
视为同一个“友情点对”）若 恰有两个“友情点对”，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
18．已知定义域为R的偶函数满足 ，当 时， ，则方程 在区间
上所有解的和为（ ）
A．8 B．7 C．6 D．5
19．定义在R上的奇函数 满足：函数 的图象关于y轴对称，当 时， ，则下列选项正
确的是（ ）
第 4 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司A． 的图象关于y轴对称 B． 的最小正周期为2
C．当 时， D． 在 上是减函数
20．已知函数 有唯一的零点，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
21．函数 的图象关于（ ）
A．点 对称 B．直线 对称
C．点 对称 D．直线 对称
22．已知函数 ，其中 ，则（ ）
A． 在 上单调递增 B． 在 上单调递减
C．曲线 是轴对称图形 D．曲线 是中心对称图形
23．函数f(x)的图象向左平移一个单位长度，所得图象与y=ex关于x轴对称，则f(x)=（ ）
A．-ex-1 B．-ex+1 C．-e-x-1 D．-e-x+1
24．已知定义在 上的函数 在 上单调递增，若 ，且函数 为偶函数，则不等式
的解集为（ ）
A． B．
C． D．
25．设 且 ，函数 ，若 ，则下列判断正确的是（
）
A． 的最大值为-a B． 的最小值为-a
C． D．
【高分突破】
一、单选题
第 5 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司26．已知函数 定义域为 ，满足 ，且对任意 均有 成立，
则满足 的 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
27．函数 的图象关于（ ）
A．y轴对称 B．直线 对称
C．直线 对称 D．坐标原点对称
28．已知函数 满足 ，函数 的图象与 的图象的交点为 ，
，…， ，则 （ ）
A． B． C． D．
29．已知定义在R上的奇函数 的图象关于直线 对称，且 在 上单调递增，若 ，
， ，则 ， ， 的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
30．已知函数 是定义在 上的偶函数，且 在 上单调递减， ，则 的
解集为（ ）
A． B． C． D．
31．下列函数的图象中，既是轴对称图形又是中心对称的是（ ）
A． B．
C． D．
第 6 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司32．已知函数 ，其中 为函数 的导数，则
（ ）
A． B． C． D．
33．已知函数 的图象关于直线 对称，当 时， 恒成立，则满足
的 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
34．已知函数 的图象与函数 的图象关于直线 对称，将 的图象向右平移 个单位长度
后得到函数 的图象，则函数 在 时的值域为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
35．已知函数 的图象在 处切线的斜率为 ，则下列说法正确的是（ ）
A． B． 在 处取得极大值
C．当 时， D． 的图象关于点 中心对称
36．已知函数 ，则下列结论中正确的是（ ）
A．函数 的定义域是
B．函数 是偶函数
C．函数 在区间 上是减函数
D．函数 的图象关于直线 对称
第 7 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司37．已知函数 是R上的奇函数，对于任意 ，都有 成立，当 时，
，给出下列结论，其中正确的是（ ）
A．
B．点 是函数 的图象的一个对称中心
C．函数 在 上单调递增
D．函数 在 上有3个零点
38．已知函数 的图象关于 对称，且对 ，当 时， 成立，
若 对任意的 恒成立，则 的可能取值为（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
39．已知函数 ， .下列四个命题：
① ，使 为偶函数；
②若 ，则 的图象关于直线 对称；
③若 ，则 在区间 上是增函数；
④若 ，则函数 有两个零点.
其中所有真命题的序号是___________.
40．已知函数 ，给出以下命题：
①若函数 不存在单调递减区间，则实数 的取值范围是 ；
②过点 且与曲线 相切的直线有三条；
③ 的图象关于点 成中心对称；
④方程 的所有实根的和为16.
其中真命题的序号是___________.
第 8 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司41．已知函数 的图象关于 对称，且 ，则 ______.
42．已知函数 ， ，记 与 图像的交点横，纵坐标之和分别为 与 ，则 的
值为________.
43．已知 ，函数 是定义在 上的偶函数，则 的值是______________.
44．已知 是定义在 上的函数，若对任意 ，都有 ，且函数 的图像关于直
线 对称， ，则 _______.
四、解答题
45．已知函数 的图象关于点 成中心对称图形的充要条件是 ．给定函数
．
（1）求函数 图象的对称中心；
（2）判断 在区间 上的单调性（只写出结论即可）；
（3）已知函数 的图象关于点 对称，且当 时， ．若对任意 ，总存在
，使得 ，求实数 的取值范围．
46．已知定义在 上的可导函数 的导函数为 ，满足 且 是偶函数， ，
求不等式 的解集.
47．根据人教2019版必修一P87页的13题介绍： 函数 的图象关于点 成中心对称图形的充要条件
是函数 为奇函数．
题：设函数 ，且 ， (其中 是常数)， 函数 ．
(1)求 的值， 并证明 是中心对称函数;
第 9 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司(2)是否存在点 ，使得过点 的直线若能与函数 围成两个封闭图形，则这两个封闭图形的面积总相等？
若存在，求出点 的坐标；若不存在，说明理由．
48．已知函数 ，函数 的图象上任意一点P关于原点的对称点Q的轨迹恰好是函数
的图象．
（1）写出 的解析式：
（2）若 ， 时，总有 成立，求实数m的取值范围．
49．已知函数 ，数列 的前 项和为 ，点 均在函数 的图象上．
（1）求数列 的通项公式；
（2）若函数 ，令 ，求数列 的前2020项和 ．
第 10 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司参考答案
1．C
【解析】
【分析】
可由 确定函数解析式，求出函数的单调区间，每个选项中，可赋值其中一个，进而根据单调
性比较另外两个大小即可确定每个选项正误.
【详解】
由题 ，
化简整理得 ，于是
所以 ，进而 ，
据此， 在 上单调递增， 在 上单调递减，
因为 ，即 ．
对于A，由 ，又 ，所以 ，
即 ，故A错误；对于B，
，
因为 ，所以 ，而 ，
所以 ，故B错误；对于C，
，而 ，
所以 ，所以 ，故C正确；
对于D，由 ，因为 ，
所以 ，所以 ，故D错误.
故选：C．
【点睛】
（1）赋值法是解决一些抽象函数问题常见的方法之一；
（2）根据单调性比较大小是解决抽象函数及复杂函数比大小或解不等式的重要方法.
2．C
【解析】
【分析】
令 与 关于原点对称，根据 即可求对称函数解析式.
【详解】
令 ，与 关于原点对称，则 ，
第 11 页所以 .
故选：C
3．C
【解析】
【分析】
根据 和 关于 对称求出解析式.
【详解】
关于 对称的是 ，即 .
故选：C
4．D
【解析】
【分析】
根据题意，结合对数的运算法则，得到 ，代入即可求解.
【详解】
由题意，函数 为 上的奇函数，且 ，即 ，
且当 时， ，
又由 .
故选：D.
5．C
【解析】
【分析】
根据对称性可得 ，由此可构造方程求得结果.
【详解】
图象关于点 对称， ，
又 ，
，
，解得： ， .
故选：C.
6．B
【解析】
【分析】
根据对称性可得函数具有周期性，根据周期可将 .
第 12 页【详解】
因为 为偶函数，所以 的图象关于直线 对称，所以 ，又由 ，
得 ，所以 ，所以 ，所以 ，故
的周期为4，所以 ．
故选:B．
7．D
【解析】
【分析】
先判断 的奇偶性，再根据奇偶函数的对称性计算即可.
【详解】
因为 ，定义域为 ，
且 ，
所以 为奇函数关于 对称，
则 关于 对称.
又 ，即
所以 的图象关于 对称.
不妨设关于 对称的坐标为 ，
则 ， ，
， ，
则 ， ， ， ， ， ，
即 .
故选:D.
8．B
【解析】
【分析】
由 与 关于x轴对称得到 的解析式，又由 的单调性得到不等式，从而解出范围.
【详解】
已知函数 的图象与 的图象关于x轴对称，
所以 ，
又 是 上的增函数，
所以 ，解得 .
第 13 页故选：B.
9．D
【解析】
【分析】
根据题意判断出函数 的奇偶性以及对称性和周期，进而作出其大致图象，将 的根的问题转化
为 的图象的交点问题，结合图象的对称性即求得答案.
【详解】
由定义在R上的函数 满足 可知 为奇函数，
由 可知函数关于直线 对称，
又 ，则 ，即 ，
所以 ，即4为函数 的周期，
又 ，且 ，故 ，
即函数 的额图像关于点 对称，
由此可作出函数 的部分图象如图示：
方程 即 ，
因此方程 所有的根及转化为函数 的图象的交点问题，
作出函数 的图象，如图示，可以看到两图象的交点关于点 对称，
其中在点 的两侧对称的交点各有三个，
故方程 所有的根之和为 ，
故选：D
10．D
【解析】
【分析】
首先判断出 的对称性，求得 的解集，从而求得 的解集.
【详解】
第 14 页因为 为定义在R上的奇函数，所以 的图象关于点 对称，
且 ，又 ，所以 ．
依题意可得，当 或 时， ．
所以 等价于 或 ，
解得 或 ．
故选：D
11．D
【解析】
【分析】
由二次函数 的对称性求出 ，即可求出 .
【详解】
因为函数 满足 ，所以对称轴为 ，即 .
所以 .
故选：D
12．B
【解析】
【分析】
作出函数 的大致图象，可知 ，由 与 的图象有四个交点可得 ，计算
求得 的值即可得 的范围，根据 可得 与 的关系，再根据基本
不等式计算 的最小值即可求解.
【详解】
作出函数 的大致图象，如图所示：
当 时， 对称轴为 ，所以 ，
若关于 的方程 有四个实根 ， ， ， ，则 ，
由 ，得 或 ，则 ，
第 15 页又 ，所以 ，
所以 ，所以 ，且 ，
所以 ，
当且仅当 ，即 时，等号成立，
故 的最小值为 .
故选：B.
【点睛】
方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数
形结合的方法求解.
13．A
【解析】
【分析】
由 ，可得函数 图象关于点 中心对称，又函数 在 上单调递增，可得函数
在 上单调递增，从而有 在 上恒成立，分离参数转化为最值问题即可求解.
【详解】
解：因为函数 满足 ，所以函数 图象关于点 中心对称，
又函数 在 上单调递增，所以函数 在 上单调递增，
因为 时， ，
所以 在 上单调递增，
所以 在 上恒成立，即 ，
易知 在 上单调递增，所以 ，
所以 ，
所以m的取值范围为 ，
故选：A.
14．D
【解析】
【分析】
根据给定函数，计算 判断①；探讨 在 上单调性判断②；探讨 在 和 上单调性判断
第 16 页③；求出 的零点判断④作答.
【详解】
函数 的定义域为 ，
对于①， ，则 ，
， 的图象关于直线 对称，①正确；
对于②，当 时， ， 在 单调递增，②不正确；
对于③，当 时， ， 在 单调递减，
当 时， ， 在 上单调递增，在 上单调递减，
又 在 单调递增，因此 在 处取极大值 ，③正确；
对于④，由 得： ，即 或 ，解得 或 ，
于是得 有3个零点，④正确，
所以所有正确结论的编号为①③④.
故选：D
【点睛】
结论点睛：函数 的定义域为D， ，存在常数a使得 ，则函数
图象关于直线 对称.
15．C
【解析】
【分析】
首先利用方程组法求函数 的解析式，由解析式判断 的对称性，利用导数分析 的单调性及极值点，根
据函数有唯一的零点知极小值 ，即可求正实数 值.
【详解】
由题设， ，可得： ，
由 ，易知： 关于 对称.
当 时， ，则 ，
所以 单调递增，故 时 单调递减，且当 趋向于正负无穷大时 都趋向于正无穷大，
所以 仅有一个极小值点1，则要使函数只有一个零点，即 ，解得 .
故选：C
【点睛】
关键点点睛：奇偶性求函数解析式，导数分析函数的单调性、极值，根据零点的个数及对称性、单调性求参数值.
16．C
【解析】
【分析】
根据函数 的关系式，判断函数的周期性、对称性、奇偶性，利用函数的性质求解函数值.
第 17 页【详解】
解： 函数 的图象关于直线 对称，
函数 的图象关于直线 对称，
对 有 ， 函数 的图象关于 中心对称，
，即 ，
又 ，即 ， ，
，即 ， ，
的周期 ，选项A正确； 为偶函数，选项D正确；
当 时， ， ，
当 时， ， ，即 ， 当 时， ，
又函数 的图象关于直线 对称， 在一个周期 上， ，
在 上的最大值为4，选项B正确；
，选项C错误.
故选：C.
17．A
【解析】
【分析】
首先转化“友情点对”为把 时的函数图像沿着原点对称对称过去，和 时函数图像的交点，即 的图
像和 的交点，所以只要 有两解即可，求导画图即可得解.
【详解】
根据题意，若要求“友情点对”，可把 时的函数图像关于原点对称，
研究对称过去的图像和 时的图像有两交点即可，
关于原点对称的解析式为 ，
考查 的图像和 的交点，
可得 ， ，令
，
所以 ， ， 为减函数，
， ， 为增函数， ，
第 18 页其图象为 ，
故若要 有两解，只要 即可，
故选：A
【点睛】
本题考查了新定义问题，考查了转化思想，考查了利用导数研究函数的图像，同时考查了函数对称问题，属于较
难题.
本题关键点有：
（1）正确理解“友情点对”；
（2）正确的转化，转化为函数方程问题；
（3）掌握利用导数研究单调性.
18．A
【解析】
【分析】
令 ，由已知可得函数 与 的图象在区间 上关于直线 对称，利用对称性即可求解.
【详解】
解：因为函数 满足 ，所以函数 的图象关于直线 对称，
又函数 为偶函数，所以 ，
所以函数 是周期为2的函数，
又 的图象也关于直线 对称，
作出函数 与 在区间 上的图象，如图所示：
由图可知，函数 与 的图象在区间 上有8个交点，且关于直线 对称，
第 19 页所以方程 在区间 上所有解的和为 ，
故选：A.
19．C
【解析】
【分析】
根据函数图象变换规则求出函数 的对称性可判断A错误；由所给等式利用函数的奇偶性可推出
，则函数 的周期为4，B错误；当 时， ，由
求出当 时函数 的解析式可判断C正确；同理求出 在 上的函数解
析式即可判断单调性.
【详解】
函数 的图象关于y轴对称，所以 的图象关于 对称，故A错误；
，进而得 .
又 是奇函数， ，
进而得 ，所以周期为4，故B错误；
当 时， ，所以当 时， ，
，所以 ，故C正确；
当 时， ，所以当 时， ，
，所以 在 上是增函数，故D错误.
故选：C
【点睛】
本题考查函数奇偶性的应用，涉及函数的周期性与对称性、根据函数的性质求分段函数的解析式，属于中档题.
20．B
【解析】
【分析】
分析出函数 的图象关于直线 对称，可得出 ，由此可解得实数 的值.
【详解】
，
所以， ，
所以，函数 的图象关于直线 对称，
若 ，则函数 的零点必成对出现，即函数 的零点个数为偶数，不合乎题意.
由于函数 有唯一零点，则 ，解得 .
故选：B.
【点睛】
第 20 页关键点点睛：本题利用函数有唯一零点求参数值，解题的关键在于分析出函数的单调性，通过分析出函数 的
零点成对出现而得出 ，从而求解，在解题时要注意对函数的基本性质进行分析，从而找到问题的突破点.
21．C
【解析】
【分析】
计算得出 ，即可得出结论.
【详解】
， ，
，所以， ，
因此，函数 的图象关于点 对称.
故选：C.
22．C
【解析】
【分析】
由解析式易得 且定义域为 且 即可判断C；对 求导，并讨论 、 研究
在 上的符号判断A、B；根据 是否为定值判断D.
【详解】
由题设， ，定义域为 且 ，
所以 关于 对称，C正确；
又 ，
当 时，不妨假设 ，则 ，显然 ，此时 在
上有递减区间，A错误；
当 时，在 上 ，即 在 上递增，B错误；
由 ，不可能为定值，故
D错误.
故选：C
【点睛】
关键点点睛：利用导数结合分类讨论研究函数的区间单调性，根据 、 是否成
立判断对称性( 为常数).
23．A
【解析】
【分析】
第 21 页先求出与y=ex的图象关于x轴对称的图象所对函数解析式，再右移一个单位即可得解.
【详解】
与y=ex的图象关于x轴对称的图象所对函数解析式为y=-ex，将所得图象右移一个单位后的图象所对函数解析式为
y=-ex-1，
而按上述变换所得图象对应的函数是f(x)，
所以f(x)=-ex-1.
故选：A
24．D
【解析】
【分析】
分析可知函数 的图象关于直线 对称，可得出函数 的单调性，分析 的符号变化，由
可得 或 ，解之即可.
【详解】
因为函数 为偶函数，则 ，故函数 的图象关于直线 对称，
因为函数 在 上单调递增，故函数 在 上单调递减，
因为 ，则 ，
所以，由 可得 ，由 可得 或 ，
解不等式 ，可得 或 ，解得 或 ，
故不等式 的解集为 .
故选：D.
25．D
【解析】
【分析】
根据给定条件，用a表示b，c，再结合二次函数的性质求解作答.
【详解】
依题意， ，
因 ，则 是奇函数，于是得 ，即 ，
因此， ，而 ，当 时， 的最小值为-a，当 时， 的最大值为-a，
A，B都不正确；
， ， ，
即 ， ，因此，C不正确，D正确.
故选：D
26．D
第 22 页【解析】
【分析】
根据 得到函数 关于直线 对称，对任意 均有 成立得函
数 在 上单调递减.再利用函数的单调性解不等式求得答案.
【详解】
因为函数 满足 ，所以函数 关于直线 对称，
因为对任意 均有 成立，所以函数 在 上单调递减.
由对称性可知 在 上单调递增.
因为 ，即 ，
所以 ，即 ，解得 .
故选：D.
【点睛】
本题考查函数对称性和单调性的应用，解题的关键是得出 关于直线 对称，在 上单调递减.
27．D
【解析】
【分析】
判断函数的奇偶性，根据奇偶性判断函数的对称性.
【详解】
函数的定义域为 ，
因为 ，所以函数 是奇函数，
则 的图象关于原点对称.
故选：D
【点睛】
本题考查函数奇偶性的判断，奇函数图象的对称性，属于基础题.
28．C
【解析】
【分析】
由条件得，两个函数均关于点(0,3)对称，从而求得交点的横坐标和及纵坐标和.
【详解】
由 可知 的图象关于点 对称，
又因为 的图象也关于点 对称，
所以两个函数的图象的交点关于点 对称，
即 ， ，
第 23 页所以 ，
故选： ．
29．C
【解析】
【分析】
根据已知条件可得 在 上单调递增， ， ，从而
可根据函数的单调性比较大小
【详解】
由函数 的图象关于直线 对称可得 ，结合奇函数的性质可知
， .
由奇函数的性质结合 在 上单调递增可得 在 上单调递增，
所以 ，
所以 .
故选：C
30．B
【解析】
【分析】
先通过已知分析得到函数的单调性， 等价于 或 再结合函数的图象解不等
式得解.
【详解】
因为函数 是偶函数，所以 的图象关于直线 对称．
由 在 上单调递减，得 在 上单调递增，且 ，
所以当 或 时， ，当 时， ．
函数 的图象如图所示，
第 24 页等价于 或
即 或
解得 或 ，
故选：B．
【点睛】
结论点睛：由函数的奇偶性延伸到其图象的对称性问题的常见结论：（1）若函数 为奇函数（或偶函数），
则函数 的图象关于点 中心对称（或关于直线 对称）；（2）若函数 为奇函数
（或偶函数），则函数 的图象关于点 中心对称（或关于直线 对称）．
31．A
【解析】
【分析】
根据反比例函数、对数函数、正切函数和幂函数图象可得结论.
【详解】
对于A， 图象关于 、坐标原点 分别成轴对称和中心对称，A正确；
对于B， 为偶函数，其图象关于 轴对称，但无对称中心，B错误；
对于C， 关于点 成中心对称，但无对称轴，C错误；
对于D， 为奇函数，其图象关于坐标原点 成中心对称，但无对称轴，D错误.
故选：A.
32．B
【解析】
将函数解析式变形为 ，求得 ，进而可求得所求代数式的值.
【详解】
，
所以， ，
，函数 的定义域为 ，
，
所以，函数 为偶函数，
第 25 页因此， .
故选：B.
【点睛】
结论点睛：本题考查利用函数奇偶性求值，关于奇函数、偶函数的导函数的奇偶性，有如下结论：
（1）可导的奇函数的导函数为偶函数；
（2）可导的偶函数的导函数为奇函数.
在应用该结论时，首先应对此结论进行证明.
33．A
【解析】
【分析】
根据题意可得 在 上单调递增，又函数 的图象关于直线 对称，可
得函数 在 上单调递减，从而根据函数不等式列出不等式，求解 取值范围.
【详解】
解：当 时， 恒成立
∴ 恒成立
即函数 在 上单调递增，
又∵函数 的图象关于直线 对称
∴函数 在 上单调递减，
若要满足 ，则需 ；
解得 .
故选：A.
【点睛】
此题考查由函数的单调性和对称性解不等式，考查转化思想，属于基础题
34．C
【解析】
【分析】
由对称性先求出 的解析式，再由平移得出 的解析式，再由正弦函数的性质得出其值域.
【详解】
设 为 的图像上一点，则点 关于直线 对称的点为
由题意点 在函数 的图象上，则
所以 ，则
当 时， ，则
第 26 页所以
故选：C
35．ABD
【解析】
【分析】
A由导数的几何意义即可求参数a；B利用导数研究函数的单调性，进而确定是否存在极大值；C根据B判断区间
内的端点值、极值，进而确定区间值域；D令 ，则 ，即可确定对称中心.
【详解】
A： ，由题意 ，得 ，正确；
B： ，由 得： 或 ，易知在 ， 上 ， 为增函数，在
上 ， 为减函数，所以 在 处取得极大值，正确；
C：由B知： ， ， ，故在 上的值域为 ，错误；
D：令 且为奇函数，则 ，而 图象关于 中心对称，所以 关于 中心对
称，正确；
故选：ABD.
36．BD
【解析】
【分析】
求出函数定义域为 ，A选项错误；利用定义证明函数 是偶函数，B选项正确；函数 在区间
上是增函数，故C选项错误；可以证明f (x)的图象关于直线 对称，故D选项正确.
【详解】
解：函数 ，
由 可得 ，故函数定义域为 ，A选项错误；
的定义域为 ，设 所以
即 是偶函数，B选项正确；
，
当 时， 是减函数，外层 也是减函数，所以函数 在区间 上是增函数，
故C选项错误；
由 ，可得f (x)的图象关于直线 对称，故D选项正确.
故选：BD
37．AB
【解析】
第 27 页【分析】
由 ，赋值 ，可得 ，故A正确；进而可得 是对称中心，故B正确；
作出函数图象，可得CD不正确.
【详解】
在 中，令 ，得 ，又函数 是R上的奇函数，所以 ，
，故 是一个周期为4的奇函数，因 是 的对称中心，所以 也是函数
的图象的一个对称中心，故A、B正确；
作出函数 的部分图象如图所示，易知函数 在 上不具单调性，故C不正确；
函数 在 上有7个零点，故D不正确.
故选：AB
【点睛】
本题考查了函数的性质，考查了逻辑推理能力，属于基础题目.
38．BC
【解析】
由已知得函数 是偶函数，在 上是单调增函数，将问题转化为 对任意的 恒成立，由基
本不等式可求得范围得选项．
【详解】
因为函数 的图象关于直线 对称，所以函数 的图象关于直线 （即 轴）对称，所以函
数 是偶函数.
又 时， 成立，所以函数 在 上是单调增函数.
且 对任意的 恒成立，所以 对任意的 恒成立，
当 时， 恒成立，当 时， ，
又因为 ，当且仅当 时，等号成立，
所以 ，因此 ，
故选：BC.
【点睛】
第 28 页方法点睛：不等式恒成立问题常见方法：① 分离参数 恒成立( 即可)或 恒成立（
即可）；② 数形结合( 图象在 上方即可)；③ 讨论最值 或 恒
成立.
39．①③
【解析】
【分析】
根据一元二次函数及绝对值函数的性质，结合奇偶性，对称性，单调性对每一项进行分析即可.
【详解】
若 为偶函数，则 ，
则 对 恒成立，则 ，
故①正确；
， ，若 ，即 ，
则 或 ，
若取 ，则 关于 对称，②错误；
若 ，函数 的判别式 ，
即 ， ，
由二次函数性质，知 在区间 上是增函数，③正确；
取 ，满足 ，则 或 ，
解得 或 ，即 有4个零点，④错误；
故答案为：①③
【点睛】
关键点点睛：对函数的综合性质考察比较综合，除解出参数关系或值外，判断正误也可以通过取一些特殊值快速
的找到答案.
40．②③
【解析】
【分析】
求出函数 导数 ，由题意可知 无解，根据二次函数的性质可得 的范围，即可判断①是否正确；
设出切点 ，根据斜率可得 ，再将 代入，解方程求得切点的横坐标，即可判断②
是否正确；
由于 ，所以 的图象关点 成中心对称，所以③是真命题；
由对称性可知，函数 与 的图象都关于点 成中心对称，作出函数 与函数 的图象，
再由图象观察它们共有4个交点，根据对称性，即可求出它们的横坐标值和，即可判断④是否正确．
【详解】
第 29 页因为 ，所以 .若函数 不存在单调
递减区间，则有 ，解得 ，所以①是假命题.
设过点 的直线与曲线 相切于点 ，则有 .又点 在曲线 上，
所以 ，代入上式，得 ，解得 或
或 ，所以过点 且与曲线 相切的直线有三条，所以②是真命题.
，则 ，所以 的图象关点
成中心对称，所以③是真命题.
又函数 的导数为 ，
令 解得 或 ，所以 递增区间为 和 ；
令 可得 ，所以 递减区间为 ．
即 时取得极大值 ， 时取得极小值 ，又函数 的图象也关于点 成中心对称，
作出函数 与函数 的图象，如图：
结合图象可知，函数 的图象与 的图象有4个交点，则方程 有4个实数根，故所有实数根
的和为 ，所以④是假命题.
故答案为：②③.
41．-1
【解析】
【分析】
首先根据 的中心对称性质和已知条件求出 ，然后再根据 求出 ，进而求解.
【详解】
因为 关于 对称，所以 ，
故 ，即 ，解得， ，
所以 ，
又因为 ，
所以 ，解得， ，
第 30 页所以 .
故答案为： .
42． .
【解析】
【分析】
先分析两个函数的单调性和对称性，判断出两个函数图像的交点个数，再根据对称性计算可得结果.
【详解】
在 和 上都单调递减，且关于点 成中心对称，
在 上单调递增，
，
所以 的图像也关于点 成中心对称，
所以 与 图像有两个交点且关于点 对称，
设这两个交点为 、 ，
则 ， ，
所以 ， ，
所以 .
故答案为： .
43．
【解析】
根据偶函数及绝对值函数性质直接求解即可.
【详解】
由已知 是定义在 上的偶函数，
故 ，即 ，或 ，且函数图象关于 轴对称，
又 ，故 ，
因为 关于直线 对称，
故 ， ，
故答案为： .
44．3
【解析】
【分析】
先由函数 的图像关于直线 对称，得到函数 是偶函数，则有 ；
又令 代入 ，求得函数 的周期为 ，利用函数周期化简 即可求值.
第 31 页【详解】
因为函数 的图像关于直线 对称，所以函数 的图像关于直线 对称，即函数 是偶函数，则
有 ；
因为对任意 ，都有 ，
令 ，得 ，
所以对任意 ，都有 ，即函数 的周期为 ，
则 ，
故答案为： .
45．（1） ；（2） 在区间 上为增函数；（3） .
【解析】
（1）根据题意可知，若函数 关于点 中心对称，则 ，
然后利用 得出 与 ，代入上式求解；
（2）因为函数 及函数 在 上递增，所以函数 在 上递增；
（3）根据题意可知，若对任意 ，总存在 ，使得 ，则只需使函数 在
上的值域为 在 上的值域的子集，然后分类讨论求解函数 的值域与函数 的值域，根据集合
间的包含关求解参数 的取值范围．
【详解】
解：（1）设函数 图象的对称中心为 ，则 ．
即 ，
整理得 ，
于是 ，解得 ．
所以 的对称中心为 ；
（2）函数 在 上为增函数；
（3）由已知， 值域为 值域的子集．
由（2）知 在 上单增，所以 的值域为 ．
于是原问题转化为 在 上的值域 ．
①当 ，即 时， 在 单增，注意到 的图象恒过对称中心 ，可知 在
上亦单增，所以 在 上单增，又 ， ，所以 ．
因为 ，所以 ，解得 ．
第 32 页②当 ，即 时， 在 单减， 单增，
又 过对称中心 ，所以 在 单增， 单减；
此时 ．
欲使 ，
只需 且
解不等式得 ，又 ，此时 ．
③当 ，即 时， 在 单减，在 上亦单减，
由对称性，知 在 上单减，于是 ．
因为 ，所以 ,解得 ．
综上，实数 的取值范围为 ．
【点睛】
本题考查函数的对称中心及对称性的运用，难点在于（3）的求解，解答时应注意以下几点：
（1）注意划归与转化思想的运用，将问题转化为两个函数值域之间的包含问题求解；
（2）注意分类讨论思想的运用，结合对称性，分析讨论函数 的单调性及最值是关键．
46． .
【解析】
【分析】
构造函数 ，由导数判断单调性后解不等式
【详解】
设 ，∵ ，
∴ ，∴ 在 上单调递增.
∵ 是偶函数，∴ 的图象关于直线x＝1对称，
∴ ，∵ 等价于 ，∴ ，
∵ 在 上单调递增，∴ .
故不等式 的解集为 .
第 33 页47．(1) ，证明见解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）根据 代入求出 的值，即可得到函数 的解析式，假设存在点 使函数
为奇函数，即 对 恒成立，即可求出 、 的值，从而求出函数的对
称中心，即可得证；
（2）设 ，即可得到 ，从而得到 ，即可得到 的对
称中心是 ，从而得解；
(1)
∵函数 ，且 ，
，∴ ，所以 ；
依题假设存在点 使函数 为奇函数，
则 对 恒成立，
，
，
，
，
，
，对 恒成立，
， ，
∴对于 存在 ，使函数 为奇函数，
∴ 是以 为对称中心的中心对称函数.
第 34 页(2)
解：设 ，
所以 即 ，
即 关于 对称，
又 ，
的对称中心是 ，
依题意，使得过点 的直线若能与函数 围成两个封闭图形，则这两个封闭图形的面积总相等，则直线必过
的对称中心，所以所求为 ；
48．（1） ；（2） ．
【解析】
【分析】
（1）设 是函数 图象上的任意一点，则P关于原点的对称点Q的坐标在函数 的图象上得
，再 是函数 图象上的点，可得答案；
（2）求 时，利用换元法求出 的最小值可得答案．
【详解】
（1）由题意，设 是函数 图象上的任意一点，
则P关于原点的对称点Q的坐标为 ，
因为已知点Q在函数 的图象上，
所以 ，而 ，
所以 ，所以 ，
而 是函数 图象上的点，
所以 ．
（2）当 时，
，
下面求当 时， 的最小值，
令 ，则 ，
第 35 页因为 ，即 ，解得 ，
所以 ，
又 ，所以 ，
所以 ，
所以 时， 的最小值为0，
因为当 时，总有 成立，
所以 ，即所求m的取值范围为 ．
49．（1） ；（2） ．
【解析】
【分析】
（1）由题意可得 ，然后利用 可求出数列 的通项公式；
（2）由题意可得 ，然后利用倒序相加法可求得结果
【详解】
（1）∵点 均在函数 的图象上，
∴ ．
当 时， ；
当 时， ，适合上式，∴ ．
（2）∵ ，∴ ．
又由（1）知 ，∴ ．
∴ ，①
又 ，②
①+②， ，
∴ ．
第 36 页第 37 页
