文档文本内容
2.3 指数函数、对数函数和幂函数的综合应用
目录
01 思维导图与题型归纳......................................................................................................................2
02 基础知识点梳理..............................................................................................................................4
知识点一、指数运算............................................................................................................................4
知识点二、指数函数及其性质............................................................................................................4
知识点三、对数运算............................................................................................................................5
知识点四、对数函数的图像与性质....................................................................................................5
知识点五、幂函数................................................................................................................................6
方法总结1：对数函数.........................................................................................................................7
03 真题回顾..........................................................................................................................................8
04 经典题型归纳总结........................................................................................................................ 11
题型1：指对运算的求解...................................................................................................................11
题型2：指数函数的图象与性质.......................................................................................................13
题型3：对数函数的图象与性质.......................................................................................................14
题型4：幂函数的图象与性质...........................................................................................................16
题型5：指数与对数的反函数关系...................................................................................................17
题型6：指对幂函数的实际应用.......................................................................................................18
题型7：单调性法比较数值大小.......................................................................................................19
题型8：中间值法比较数值大小.......................................................................................................20
题型9：结合单调性与奇偶性比较大小...........................................................................................20
题型10：特值法比较数值大小.........................................................................................................21
题型11：利用糖水不等式比较大小.................................................................................................22
题型12：常用估值的应用.................................................................................................................23
题型13：闭合函数的相关问题.........................................................................................................23
05 课后拓展精练................................................................................................................................25
知识点一、指数运算
1、若
，则
叫做
的
次方根．（
，
）
（1）当
为奇数时，
；（2）当
为偶数时，
；
2、根式的性质：①
，②
（
，
）
3、正数的正分数与负分数指数幂的意义：（
，
，
，且
）
①
；②
4、正数的指数幂的运算性质：（
，
，
，
）
①
，②
，③
；
④
，⑤
，⑥
．
知识点二、指数函数及其性质
1、指数函数概念：一般地，函数
（
，且
）叫做指数函数，其中
是自变量，函数的
定义域为
.
2、图像与性质
函数名称
指数函数
定义
函数
（
，且
）叫做指数函数
图象
定义域
值域
过定点
图象过定点
，即当
时，
．
奇偶性
非奇非偶
单调性
在
上是增函数
在
上是减函数
变化对图
象的影响
在第一象限内，
越大图象越高；在第二象限内，
越大图象越低．
指数函数
与
的图象关于
轴对称．
函数①
；②
；③
；④
的图象如下图左所示，则
；
即
时，
（底大幂大）；
时，
．
x
y
①②
③
④
1
O
x
y
f(x)=2x
g(x)=3x
h(x)=(
1
3)x
f(x)=(
1
2)x
O
知识点三、对数运算
1、如果
（
，且
），那么数
叫做以
为底
的对数，记作
．
2、
（
，且
）．
①
；②
；③
；④
．
3、对数的运算性质(
，且
，
，
)：若
，则
.（两边取对数）
（1）
；
（2）
；
（3）
．
4、换底公式：
；(其中，
，且
，
，且
)
推论：①
；②
；③
．
知识点四、对数函数的图像与性质
1、对数函数的概念：函数
（
，且
）叫做对数函数，其中
是自变量.
2、图像与性质
图象
定义域
值域
R
过定点
奇偶性
非奇非偶
单调性
在
上是增函数
在
上是减函数
变化对图像
的影响
在第一象限内，
越大图象越靠低；
在第四象限内，
越大图象越靠高．
知识点五、幂函数
1、定义：函数
做幂函数，其中
是自变量，
是常数.
2、常见的五种幂函数的图象
3、幂函数的性质
①所有的幂函数在
都有定义，并且图象都过点
②
时，幂函数的图象通过原点，并且在
上是增函数
特别地，当
时，幂函数变化快，图象下凹；当
时，幂函数变化慢，图象上凸
③
时，幂函数的图象在
上是减函数.在第一象限内，当
从右边趋向原点时，图象在
轴右方
无限地逼近
轴正半轴，当
趋于
时，图象在
轴上方无限地逼近
轴正半轴.
④在经过点
平行于
轴的直线的右侧，图像从下往上幂指数由小到大分布
⑤幂指数的分母为偶数时，图象只在一象限
幂指数的分子为偶数时，图象在第一、第二象限关于
轴对称
幂指数的分子、分母都为奇数时，图象在第一、第三象限，关于原点对称
幂函数
，
（
，且
互质）可分别化为：
，
，再研究函数性质.
方法总结1：对数函数
1、底数变化与图象变化的规律
在同一坐标系内，当
时，随
的增大，对数函数的图象愈靠近
轴；当
时，对数函数的
图象随
的增大而远离
轴．
y
x
1
1
a增大
a增大
x
x
x
x
a4
a3
a2
a1
log
log
log
log
O
2、与对数函数有关的奇函数
奇函数：①
，更一般地，
②
，更一般地，
3、设函数
，记
．
①若
的定义域为
，即
恒成立，则
或
②若
的值域为
，即
取遍一切正实数，则
或
1．（2026 年高考上海卷数学高考真题）为不为1 的任意实数，则
（ ）．
A．
B．
C．
D．
2．（2025 年高考北京卷数学真题）一定条件下，某人工智能大语言模型训练N 个单位的数据量所需要的
时间
（单位：h），其中k 为常数．在此条件下，已知训练数据量N 从
个单位增加到
个单位时，训练时间增加20h；当训练数据量N 从
个单位增加到
个单位时，
训练时间增加（ ）
A．2h
B．4h
C．20h
D．40h
3．（2025 年上海秋季高考数学真题（网络收集版））设
．下列各项中，能推出
的一项是
（ ）
A．
，且
B．
，且
C．
，且
D．
，且
4．（2025 年高考全国一卷数学真题）已知
，则x，y，z 的大小关系不可能
是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（2025 年上海春季高考练习数学试题）幂函数
在
上是严格减函数，且经过
，则
的值可能是（ ）．
A．
B．
C．
D．3
6．（2024 年新课标全国Ⅰ卷数学真题）已知函数
在R 上单调递增，则a 的取值
范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（2024 年北京高考数学真题）已知
，
是函数
的图象上两个不同的点，则（ ）
A．
B．
C．
D．
8．（2024 年北京高考数学真题）生物丰富度指数
是河流水质的一个评价指标，其中
分别表
示河流中的生物种类数与生物个体总数.生物丰富度指数d 越大，水质越好．如果某河流治理前后的生物种
类数没有变化，生物个体总数由
变为
，生物丰富度指数由
提高到
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
9．（2024 年天津高考数学真题）设
，则
的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
10．（2024 年新课标全国Ⅱ卷数学真题）设函数
，若
，则
的最小值为
（ ）
A．
B．
C．
D．1
11．（2023 年北京高考数学真题）下列函数中，在区间
上单调递增的是（ ）
A．
B．
C．
D．
12．（2023 年高考全国甲卷数学（文）真题）已知函数
．记
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
13．（2023 年天津高考数学真题）设
，则
的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
14．（2023 年新课标全国Ⅰ卷数学真题）设函数
在区间
上单调递减，则的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
15．（2024 年上海春季高考练习数学试题）函数
的定义域为_______.
16．（2024 年高考全国甲卷数学（文）真题）已知
且
，则
______．
17．（2023 年北京高考数学真题）已知函数
，则
____________．
18．（2023 年上海秋季高考数学试题（网络收集版））已知
，则
的值域是______；
19．（2023 年高考全国乙卷数学（理）真题）设
，若函数
在
上单调递增，
则a 的取值范围是______.
题型1：指对运算的求解
【典例1-1】（2026·高一·辽宁大连·期中）化简并计算下列各式：
(1)
；
(2)
；
(3)
.
【典例1-2】（2026·高一·福建漳州·阶段检测）（1）计算：
．
（2）计算：
.
（3）已知
，求
的值．
【变式1-1】（1）求
的值；
（2）设
，用
表示
.
【变式1-2】（2026·高一·甘肃兰州·期中）（1）化简：
；
（2）求值：
．
【变式1-3】（2026·高一·江苏盐城·阶段检测）计算：
(1)
.
(2)
.
【变式1-4】（1）计算：
；
（2）对于正整数
，
，
和非零实数
，
，
，
，有
，
，
求
，
，的值．
【变式1-5】（2026·高一·江苏无锡·阶段检测）（1）计算：
．
（2）计算：
．
（3）已知
，求
的值．
【变式1-6】（2026·高一·四川成都·阶段检测）计算下列各式的值.
(1)
(2)
题型2：指数函数的图象与性质
【典例2-1】（2026·高一·辽宁大连·期中）设函数
，若互不相等的实数
，
，，满
足
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【典例2-2】（2026·高一·辽宁大连·期中）已知
且
，函数
对任意实
数
，
，都有
成立，则实数
的范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2-1】若
是指数函数，则有（ ）
A．
B．
C．
D．
且
【变式2-2】（2026·湖北黄冈·二模）已知函数
有两个零点，则的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2-3】（2026·高一·湖南长沙·阶段检测）已知函数
恒过定点
，且点
在
函数
的图象上，则
的最小值为（ ）
A．
B．8
C．4
D．
【变式2-4】（2026·江西南昌·三模）设
且
，函数
的值域为
的一个
充分不必要条件是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2-5】（2026·湖南·三模）已知函数
且
在
上的值域为
，
则
（ ）
A．4
B．2
C．
D．
【变式2-6】（2026·高一·青海海南·期末）已知
且
，若函数
的值域为
，则a 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2-7】（2026·甘肃张掖·二模）已知函数
在
上单调递减，则实数
的取值范围
为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2-8】（2026·河南开封·模拟预测）已知函数
在
上单调递减，则a 的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2-9】（2026·河北邢台·三模）已知函数
则满足
的实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2-10】（2026·陕西榆林·模拟预测）已知函数
的最小值为
，则实数
的值
是（ ）
A．
B．
C．
D．4
题型3：对数函数的图象与性质
【典例3-1】（2026·贵州毕节·二模）已知函数
的图象过点
，且无限接近
直线
，但又不与该直线相交，则
的值为（ ）
A．
B．4
C．
或
D．
【典例3-2】（2026·高三·山东日照·阶段检测）函数
的单调递减区间是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式3-1】（2026·山西忻州·模拟预测）已知函数
是奇函数，则
（ ）
A．
B．1
C．
D．2
【变式3-2】（2026·河南周口·模拟预测）若函数
的值域为
，则实
数
的取值范围（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式3-3】（2026·山东威海·一模）已知函数
且
的值域为
，则
的取值
范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式3-4】（2026·高三·辽宁抚顺·阶段检测）已知函数
（
且
）的部分图象如
图所示，则（ ）
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
【变式3-5】（2026·高三·内蒙古包头·期末）已知函数
（
且
）的图象恒过定点
A，若点A 在直线
上，其中
，则
为最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式3-6】（2026·安徽·模拟预测）“函数
在区间
上单调递增”是“
”的
（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【变式3-7】（2026·高三·重庆·阶段检测）设
且
，若函数
的最小值
为2，则
（ ）
A．
B．2
C．
D．3
【变式3-8】（2026·广西·模拟预测）若对任意的
，不等式
恒成立，则
的最小值是（ ）
A．
B．0
C．1
D．2
【变式3-9】（2026·广西南宁·模拟预测）设函数
．若
，则
的最小值为
（ ）
A．
B．
C．
D．
题型4：幂函数的图象与性质
【典例4-1】（多选题）（2026·高一·河北邢台·期末）已知幂函数
在
上单调递
增，函数
．若
，
，
，则
的值可能是（ ）
A．8
B．18
C．24
D．27
【典例4-2】（多选题）（2026·高一·辽宁抚顺·开学考试）已知幂函数
的图像经过点
，则下列命
题正确的有（ ）
A．函数
为增函数
B．函数
为偶函数
C．若
，则
D．若
，则
【变式4-1】（多选题）（2026·高三·甘肃·阶段检测）已知函数
的图象经过点
，则下列说
法正确的是（ ）
A．
B．
是偶函数
C．若
，则
或
D．当
时，
，若
，则
【变式4-2】（多选题）（2026·高一·广东汕头·期末）已知幂函数
的图像经过点
，则下列命题
正确的是（ ）
A．
为非奇非偶函数
B．
的值域是
C．若
，则
D．
在
上单调递减
【变式4-3】（2026·北京·三模）已知幂函数
，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
是奇函数
D．
的值域为
【变式4-4】（2026·江苏泰州·模拟预测）已知函数
是幂函数，对任意
，
，且
，满足
．若
，且
的值为负数，则下列结论中
一定不成立的是（ ）
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
【变式4-5】（2026·高二·江苏常州·阶段检测）已知幂函数
的图像经过点
，则（ ）
A．
的定义域为
B．
为奇函数
C．
为减函数
D．
的值域为
题型5：指数与对数的反函数关系
【典例5-1】（2026·广东广州·二模）若函数
的图象与
的图象关于直线
对称，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．9
【典例5-2】（2026·河南开封·模拟预测）已知函数
，函数
，若
与
的图象关于直线
对称，
与
的图象关于直线
对称，则下列关系不可能
成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式5-1】（2026·高一·贵州安顺·期末）如果
是函数
的零点，
是函数
的零点，那么
的值为（ ）
A．
B．3
C．5
D．6
【变式5-2】（2026·高一·全国·阶段检测）已知方程
与
的实数根分别为
，则
（ ）
A．2
B．1
C．
D．
【变式5-3】（2026·河北衡水·模拟预测）已知
，则
（ ）
A．
B．1
C．
D．2
【变式5-4】已知
是函数
的一个零点，
是函数
的一个零点，
则
的值为（ ）
A．1
B．2020
C．4040
D．4016
【变式5-5】（2026·高二·云南丽江·期末）若
，设函数
的零点为
，
的零点为
，则
的取值范围（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式5-6】（2026·高三·全国·三轮复习）已知函数
，若存在
使得
，
则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
题型6：指对幂函数的实际应用
【典例6-1】（2026·高三·贵州遵义·阶段检测）某放射性物质在衰变过程中，剩余质量与时间的关系式为
，其中
为初始质量，T 为半衰期（放射性物质的剩余质量衰减到原来一半所需的时间）.
已知该物质的半衰期为8 天，则大约经过（ ）天后，剩余质量变为初始质量的
.
参考数据：
A．25
B．27
C．29
D．31
【典例6-2】（2026·广西南宁·三模）酒驾是严重危害交通安全的违法行为．为了保障交通安全，根据国家
有关规定：
血液中酒精含量达到
的驾驶员即为酒后驾车，
及以上认定为醉酒驾车．
假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了
．如果在停止喝酒以后，他血液
中酒精含量会以每小时
的速度减少，那么他至少经过（ ）个小时才能驾驶．（参考数据：
，
）
A．6
B．7
C．8
D．9
【变式6-1】（2026·山东枣庄·一模）某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量
（单位：
）与时间（单位：
）间的关系为
，其中
，
是正的常数．如果在前
消除了
的污染物，那么要消除
的污染物大约需要（参考数据：
，
）（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式6-2】（2026·高三·四川·阶段检测）一种质量为
的物质，在化学分解中，经过时间（单位：
）后，所剩的质量
（单位：
）与时间t 的函数关系为
（
，
均为参数，
且
）.
已知
的该物质，在化学分解中，经过
后，所剩的质量为
，再经过
后，所剩的质量为
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式6-3】（2026·高一·安徽·阶段检测）预测人口变化趋势有多种方法，直接推算法使用的公式是
，其中
为预测期人口数，
为初期人口数，
为预测期内人口增长率，
为预测期
间隔年数，则下列说法不正确的为（ ）
A．若在某一时期内
，则这期间人口数呈下降趋势
B．若在某一时期内
，则这期间人口数呈上升趋势
C．若在某一时期内
，则这期间人口数呈摆动变化
D．若在某一时期内
，则这期间人口数不变
【变式6-4】（2026·高三·河北石家庄·期末）某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物
含量
（单位：
）与时间（单位：
）间的关系为：
，其中
、
是正的常数．如果在
前
消除了
的污染物，那么污染物减少
大约需要花费（ ）
（参考数据：
）
A．
B．
C．
D．
【变式6-5】（2026·上海静安·一模）污水处理厂通过清除污水中的污染物获得清洁用水并生产肥料.该厂的
污水处理装置每小时从处理池清除掉
的污染残留物.要使处理池中的污染物水平降到最初的
，大约
需要的时间为（ ）（参考数据：
）
A．
小时
B．
小时
C．
小时
D．
小时
题型7：单调性法比较数值大小
【典例7-1】（2026·重庆·模拟预测）已知
，
，
，比较
，
，的大小为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【典例7-2】（2026·高二·浙江温州·学业考试）已知
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式7-1】（2026·天津滨海新区·三模）设
，则
的大小关系是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式7-2】（2026·高三·全国·一轮复习）已知
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
题型8：中间值法比较数值大小
【典例8-1】（2026·天津河东·二模）已知
，
，
，则
，
，的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
【典例8-2】（2026·江西九江·二模）已知
，则
的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式8-1】（2026·甘肃兰州·模拟预测）记
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式8-2】（2026·天津宝坻·三模）已知
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式8-3】（2026·山西忻州·模拟预测）设
，
，
，则a，b，c 的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式8-4】（2026·天津·模拟预测）设
，
，
，则
，
，的大小关
系为（ ）
A．
B．
C．
D．
题型9：结合单调性与奇偶性比较大小
【典例9-1】（2026·山东临沂·二模）已知实数x，y，z 满足
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【典例9-2】（2026·天津滨海新区·三模）已知实数
满足
，
，
，则
的大小
关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式9-1】已知满足
的
的最大值为
，且
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式9-2】（2026·福建厦门·二模）设函数
，记
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式9-3】（2026·天津滨海新区·一模）已知
是定义在R 上的偶函数，且
在
上单调递增，
设
，
，则
的大小关系是（ ）
A．
B．
C．
D．
题型10：特值法比较数值大小
【典例10-1】（多选题）（2026·高三·湖北黄冈·阶段检测）若
，
，则下列
结论正确的是（ ）
A．
B．若
，则
C．若
，则
D．若
，则
【典例10-2】（2026·高三·甘肃武威·阶段检测）已知互不相等的正数
满足
，则下列关系式可能成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式10-1】（2026·广西崇左·二模）若
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式10-2】（2026·福建福州·三模）已知
，则
的大小关系
不可能为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式10-3】（多选题）（2026·江西萍乡·一模）已知实数
，若
，则下列结论正确的有
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式10-4】（2026·广东深圳·一模）若实数
，
，
满足
，则
，
，
的大小关系
不可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
题型11：利用糖水不等式比较大小
【典例11-1】若
克不饱和糖水中含有
克糖，则糖的质量分数为
，这个质量分数决定了糖水的甜度.如
果在此糖水中再添加
克糖，生活经验告诉我们糖水会变甜，从而可抽象出不等式
(
，
)数学中常称其为糖水不等式.已知
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【典例11-2】
克糖水中含有
克糖，糖的质量与糖水的质量比为
，这个质量比决定了糖水的甜度，如
果再添加
克糖（假设全部溶解），生活经验告诉我们糖水会变甜，对应的不等式为
，这个不等式趣称为糖水不等式．根据糖水不等式，下列不等式正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式11-1】（2026·四川凉山·一模）
克糖水中含有
克糖，糖的质量与糖水的质量比为
，这个质量比
决定了糖水的甜度，如果再添加
克糖，生活经验告诉我们糖水会变甜，对应的不等式为
(
，
).若
，
，
，则
A．
B．
C．
D．
【变式11-2】（多选题）生活经验告诉我们：
克糖水中有
克糖（
，
，且
），若再添加
克糖（
）后，糖水会更甜.于是得出一个不等式：
，趣称之为“糖水不等式”.根据“糖
水不等式”判断下列命题一定正确的是（ ）
A．若
，
，则
B．
C．若
，
，为
三条边长，则
D．若
，
，为
三条边长，则
【变式11-3】已知a 克糖水中含有b 克糖，若再添加m 克糖溶解在其中，则糖水变得更甜（即糖水中含糖
浓度更大），对应的不等式为
，若
，
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
题型12：常用估值的应用
【典例12-1】（2026·高三·陕西渭南·开学考试）已知
，若
，
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【典例12-2】（2026·高三·山东·阶段检测）已知
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式12-1】（2026·天津滨海新区·三模）设
，则
的大小关系为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式12-2】（2026·河南·模拟预测）已知
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式12-3】已知三个函数
，
，
的零点依次为a，b，c，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式12-4】（2026·湖南衡阳·模拟预测）已知
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
题型13：闭合函数的相关问题
【典例13-1】（2026·陕西榆林·模拟预测）若函数
在
时，函数值
的取值区间恰为
，则称
为
的一个“
倍倒域区间”.定义在
上的奇函数
，当
时，
，则
在区间
内的“8 倍倒域区间”为（ ）
A．
B．
C．
D．
【典例13-2】（2026·高三·山西吕梁·开学考试）定义：设函数
的定义域为
，如果
，使得
在
上的值域为
，则称函数
在
上为“等域函数”，若定义域为
的函数
（
，
）在定义域的某个闭区间上为“等域函数”，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式13-1】对于函数
,若存在区间
,使得
,则称函数
为“可等域函
数”,区间A 为函数的一个“可等域区间”.给出下列四个函数:①
;②
;③
;④
.其中存在唯一“可等域区间”的“可等域函数”的个数是( )
A．
B．
C．
D．
【变式13-2】对于函数
，若存在区间
，使得
，则称函数
为“可等
域函数”.区间
为函数的一个“可等域区间”.给出下列三个函数：
①
；②
；③
；
则其中存在唯一“可等域区间”的“可等域函数”的个数是（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3
【变式13-3】一般地，若函数
的定义域为
，值域为
，则称
为
的“k 倍跟随区
间”；特别地，若函数
的定义域为
，值域也为
，则称
为
的“跟随区间”.下列结
论不正确的是（ ）
A．函数
存在跟随区间
B．若
为
的跟随区间，则
C．函数
存在跟随区间
D．二次函数
存在“2 倍跟随区间”
【变式13-4】对于函数
，若存在区间
，当
时的值域为
，则称
为
倍值函数．若
是
上
倍值函数，则实数
的取值范围是______．
1．（2026·北京大兴·三模）已知
，则
的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2026·高三·云南昆明·阶段检测）已知
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
3．已知函数
，若
，
，
，则
，
，的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2026·天津河西·三模）设
，
，
，则
，
，的大小关系是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（2026·河北保定·三模）已知实数x，y 满足
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（2026·重庆北碚·模拟预测）设
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（2026·广东深圳·模拟预测）若
，
，
，
，则下列选项正确的是
（ ）
A．
B．
C．
D．
8．（2026·湖北十堰·模拟预测）已知
，
，
，则下列大小关系正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
9．（2026·辽宁抚顺·二模）已知
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
10．（2026·山东青岛·模拟预测）已知
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
11．（2026·高三·全国·一轮复习）比较大小
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
12．（2026·甘肃平凉·模拟预测）若
，
，
，
，则
a，b 的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
13．（2026·甘肃·模拟预测）设
，
，
，则
，
，的大小关系是（ ）
A．
B．
C．
D．
14．（2026·安徽合肥·模拟预测）已知
，
，
，则下列大小关系正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
15．（2026·陕西榆林·三模）已知定义域为
的偶函数
在
上单调递减，若
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
16．（2026·高三·安徽·阶段检测）已知
，则
的大小关系是（ ）
A．
B．
C．
D．
17．（2026·宁夏银川·一模）若
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
18．（2026·湖北襄阳·一模）设
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
19．（2026·高一·安徽合肥·期末）设
，且
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
20．（2026·高三·山东临沂·期末）已知
，
，
，则a，b，c 的大小关系正确的一项是
（ ）
A．
B．
C．
D．
21．（多选题）（2026·高一·浙江衢州·期中）已知幂函数
的图象经过点
，则（ ）
A．函数
为奇函数
B．
C．函数
的值域为
D．当
时，
22．（多选题）若
，
为正实数，且
，则下列不等式中一定成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
23．（多选题）（2026·高三·重庆沙坪坝·阶段检测）已知正数
满足
，则下列不等
关系正确的有（ ）
A．
B．
C．
D．
24．（多选题）（2026·河北保定·一模）下列不等式成立的有（ ）
A．
B．
C．
D．
25．（多选题）已知
，则使得“
”成立的一个充分条件可以是（ ）
A．
B．
C．
D．
26．（多选题）（2026·高三·福建龙岩·阶段检测）若
，
，则下列选项正确的有（ ）
A．
B．
C．
D．
27．（多选题）已知
，则下列结论一定成立的是（ ）
A．若
，则
B．若
，则
C．若
，则
D．若
，则
28．（多选题）已知函数
在
上先增后减，函数
在
上先增后减．若
，
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
29．（多选题）（2026·重庆·一模）已知
，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
30．（多选题）若
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
31．函数
的定义域为D,若存在闭区间
,使得函数
同时满足:(1)
在
内是单调
函数;(2)
在
上的值域为
,则称区间
为
的“
倍值区间”.
下列函数中存在“3 倍值区间”的有_____.
①
;②
;③
;④
.
