文档内容
专题 2.3 幂函数与指、对数函数【九大题型】
【新高考专用】
【题型1 指数幂与对数式的化简求值】..................................................................................................................2
【题型2 指对幂函数的定义与解析式】..................................................................................................................3
【题型3 指对幂函数的定义域与值域】..................................................................................................................4
【题型4 指对幂函数的图象的识别与应用】.........................................................................................................4
【题型5 指对幂函数的单调性问题】......................................................................................................................5
【题型6 指对幂比较大小】......................................................................................................................................6
【题型7 利用幂函数、指数函数与对数函数的单调性解不等式】.....................................................................6
【题型8 反函数及其应用】......................................................................................................................................7
【题型9 指数函数与对数函数的综合应用】.........................................................................................................8
1、幂函数与指、对数函数
幂函数、指数函数与对数函数是三类常见的重要函数，在历年的高考中都占据着重要的地位，是高考
常考的热点内容，从近几年的高考形势来看，对幂函数、指数函数与对数函数的考查，主要以基本函数的
性质为依托，结合指、对数运算性质，运用幂函数与指、对数函数的图象与性质解决具体的问题，包括比
较指对幂的大小、解不等式等题型.考生在复习过程中要熟练掌握指数、对数运算法则，能对常见的指数
型函数、对数型函数进行变形处理.
【知识点1 幂函数的解题技巧】
1.幂函数的解析式
幂函数的形式是 ( ∈R)，其中只有一个参数 ，因此只需一个条件即可确定其解析式.
2.幂函数的图象与性质
在区间(0,1)上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近x轴(简记为“指大图低”),在区间(1,+ )上，幂
函数中指数越大，函数图象越远离x轴.
3.比较幂值的大小
在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，准确掌握各
个幂函数的图象和性质是解题的关键.
【知识点2 指数、对数运算的解题策略】
1.指数幂运算的一般原则
(1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，还应注意：①必须
同底数幂相乘，指数才能相加.②运算的先后顺序.(2)当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数.
(3)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数.
2.对数运算的常用技巧
(1)在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，
然后用对数运算法则化简合并.
(2)先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真数
的积、商、幂再运算.
(3)指对互化： (a>0,且a≠1)是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中应
注意互化.
【知识点3 指数函数与对数函数的常见问题及解题思路】
1．指数函数的常见问题及解题思路
(1)比较指数式的大小
比较指数式的大小的方法是：①能化成同底数的先化成同底数幂，再利用单调性比较大小；
②不能化成同底数的，一般引入“0或1”等中间量比较大小.
(2)指数方程(不等式)的求解思路
指数方程(不等式)的求解主要利用指数函数的单调性进行转化.
(3)指数型函数的解题策略
涉及指数型函数的综合问题，首先要掌握指数函数相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及值域、
单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断.
2．对数函数的常见问题及解题思路
(1)对数函数图象的识别及应用
①在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、
最低点等)排除不符合要求的选项.
②一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解.
(2)对数（型）函数的值域和单调性问题的解题策略
利用对数函数的性质，求与对数函数有关的函数值域和复合函数的单调性问题，必须弄清三方面的问
题：一是定义域，所有问题都必须在定义域内讨论；二是底数与 1的大小关系；三是复合函数的构成，即
它是由哪些基本初等函数复合而成的.另外，解题时要注意数形结合、分类讨论、转化与化归思想的应用.
【题型1 指数幂与对数式的化简求值】
【例1】（2023·山东·校联考模拟预测）若a−1−a1=4， 则a−2+a2的值为（ ）
A．8 B．16 C．2 D．181 1
【变式1-1】（2023·天津河西·统考一模）已知3a=4b=m, + =2，则m的值为（ ）
a 2b
A．36 B．6 C．√6 D．√4 6
【变式1-2】（2023·江苏连云港·校考模拟预测）计算：
(1) ( 2 7) 0.5 +0.1−2+ ( 2 10)− 3 2 −3π0+ 37 ；
9 27 48
1
(2)log 3⋅log 4+(lg5) 2+lg5⋅lg20+ lg16−2log 2 3.
2 3 2
【变式1-3】（2023·吉林长春·长春校考模拟预测）（1）求值：
(√32×√3) 6+(√2√2)
4
3−4×
(16)− 1
2−√4 2×80.25−(−2023) 0
；
49
(x)
（2）已知lgx+lg y=2lg(x−2y)，求log 的值.
√2 y
【题型2 指对幂函数的定义与解析式】
【例2】（2022上·云南曲靖·高一校考阶段练习）下列函数是对数函数的是（ ）
x
A．y=lnx B．y=log x2 C．y=log D．y=log x−2022
2 a9 2
【变式2-1】（2023·四川成都·校联考一模）已知幂函数f (x)=xα的图象过点P(3,9)，则α=（ ）
1
A． B．1 C．2 D．3
2
【变式2-2】（2023上·吉林长春·高一校考期中）函数 是指数函数，则有（ ）
y=(a2−5a+7)ax+6−2a
A．a=2或a=3 B．a=3
C．a=2 D．a>2，且a≠3【变式2-3】（2023上·高一课时练习）若函数 是对数函数，则a的值是（ ）
f(x)=(a2−3a+3)log x
a
A．1或2 B．1
C．2 D．a>0且a≠1
【题型3 指对幂函数的定义域与值域】
√2x−4
【例3】（2023上·四川成都·高一校考期中）函数f (x)= 的定义域为（ ）
x−5
A．(−∞,2] B．(−∞,5)∪(5,+∞)
C．[2,+∞] D．[2,5)∪(5,+∞)
( 1)
【变式3-1】（2022上·安徽·高一校联考阶段练习）已知幂函数f(x)的图像过点 2, ，则（ ）
4
A．f(x)为减函数 B．f(x)的值域为(0,+∞)
C．f(x)为奇函数 D．f(x)的定义域为R
【变式3-2】（2022·北京东城·统考一模）下列函数中，定义域与值域均为R的是（ ）
1
A．y=lnx B．y=ex C．y=x3 D．y=
x
【变式3-3】（2023上·江西吉安·高一校考阶段练习）已知函数f (x)=¿则函数f (x)值域是（ ）
A．(−∞,2] B．(−2,2]
C．(1,4] D．(−∞,4]
【题型4 指对幂函数的图象的识别与应用】
【例4】（2023上·全国·高三专题练习）已知函数y=log (x+c)(a,c为常数，其中a>0,a≠1)的图象如
a
图，则下列结论成立的是（ ）
A．a>1,c>1 B．a>1,01 D．01 D．m，n是偶数，且 >1
n n
【变式4-2】（2023·四川成都·校联考一模）已知函数 2|x| ，则函数 的图象的可能是（ ）
f (x)= f (x)
ex−e−x
A． B．
C． D．
【变式4-3】（2022·高一课时练习）函数①y=ax；②y=bx；③y=cx；④y=dx的图象如图所示，a，b，
5 1 1
c，d分别是下列四个数： ，√3， ， 中的一个，则a，b，c，d的值分别是（ ）
4 3 25 1 1 5 1 1
A． ，√3， ， B．√3， ， ，
4 3 2 4 3 2
1 1 5 1 1 5
C． ， ，√3， ， D． ， ， ，√3，
2 3 4 3 2 4
【题型5 指对幂函数的单调性问题】
【例5】（2022上·北京朝阳·高三统考期中）下列函数中，在区间(0,+∞)上单调递减的是（ ）
A．y=log x B．y=2−x C．y=√x+1 D．y=x3
2
【变式5-1】（2023·河南·校联考模拟预测）若幂函数 在 上单调递减，则
f(x)=(2m2−3m−1)xm (0,+∞)
m=（ ）
1 1
A．2 B． C．− D．-2
2 2
【变式5-2】（2023·广东韶关·统考一模）函数 在 上单调递减，则实数 取值范
f (x)=log (x2−4) (−∞,a) a
2
围是（ ）
A．(−∞,−2] B．[2,+∞) C．(−∞,0] D．[0,+∞)
【变式5-3】（2023·北京东城·统考二模）设函数f(x)=¿，若f(x)为增函数，则实数a的取值范围是
（ ）
A．(0,4] B．[2,4]
C．[2,+∞) D．[4,+∞)
【题型6 指对幂比较大小】
(1) log 3 0.3
【例6】（2023·陕西宝鸡·校联考模拟预测）已知a=6log 2 3.4，b=6log 4 3.6，c= ，则（ ）
6
A．a>b>c B．b>a>c C．a>c>b D．c>a>b
【变式6-1】（2023·江西·统考模拟预测）设
a=e
− 4
3
， b=ln3 ， c=3−1+log
3
2，则（ ）
A．clog (x−1)−1．
1 1
2 2
(2)1≤4x−3⋅2x+3≤7．
【变式7-2】（2023上·浙江·高一校联考阶段练习）已知函数 .
f (x)=(x−2)(2x−a),a∈R
(1)当a=1时，解关于x的方程f (x)=0；
(2)当x≥3时，恒有f (x)≥1，求实数a的取值范围；
(3)解关于x的不等式f (x)≥0.
【变式7-3】（2023上·贵州六盘水·高一统考阶段练习）已知函数 ，其中 且
f (x)=log (x2+bx−1) a>0
a
a≠1.
(1)若a>1，b=0，求不等式f (x+1)≤f (x+4)的解集；(2)若 ， ，求b的取值范围.
∀m∈[1,+∞) f (2m+1)≥f (2m+2)
【题型8 反函数及其应用】
【例8】（2023上·辽宁沈阳·高一校考阶段练习）设函数y=f (x)存在反函数y=f−1(x)，且函数
y=x2−f (x)的图象过点(2,3)，则函数y=√x−f−1(x)的图象一定过点（ ）
A．(1,−1) B．(3,2) C．(1,0) D．(2,1)
【变式8-1】（2023·河南·校联考模拟预测）已知函数y=f (x)的图象与y=log (x+a)的图象关于直线
2
y=x对称，且满足f (1)+f (2)=2，则a=（ ）
A．4 B．2 C．1 D．−1
(1) x
【变式8-2】（2022上·广东惠州·高一惠州一中校考期中）已知函数f (x)= ，函数y=g(x)的图象与
2
的图象关于直线 对称，则函数 的单调递减区间为（ ）
y=f (x) y=x y=g(−x2+2x)
A．(0,1) B．(1,+∞) C．(−∞,1) D．(1,2)
【变式8-3】（2023上·上海浦东新·高三校考阶段练习）若点P(x ,y ) (x y ≠0)在函数y=f(x)的图像
0 0 0 0
上， 为函数 的反函数，设 、 、 、 ，
y=f−1 (x) y=f(x) P (y ,x ) P (−y ,x ) P (y ,−x ) P (−y ,−x )
1 0 0 2 0 0 3 0 0 4 0 0
则有（ ）
A．点 有可能都在函数 的图像上
P ,P ,P ,P y=f−1 (x)
1 2 3 4
B．只有点 不可能在函数 的图像上
P y=f−1 (x)
2
C．只有点 不可能在函数 的图像上
P y=f−1 (x)
3
D．点 都不可能在函数 的图像上
P ,P y=f−1 (x)
2 3【题型9 指数函数与对数函数的综合应用】
【例9】（2023上·福建厦门·高一校考阶段练习）函数 是偶函数， 4x−1．
f(x)=log (4x+1)−mx g(x)=
4 2x
(1)求m的值；
1
(2)设 ℎ(x)=f(x)+ x，若g[ℎ(x)]> ℎ[log (2a+1)]对任意x≥log 3恒成立，求实数a的取值范围．
2 4 4
a−x
【变式9-1】（2023上·河北邢台·高三校联考阶段练习）已知函数f (x)=log ，
1 2+bx
9
g(x)=m⋅4x−2x+2+3.
(1)若 的值域为 ，求满足条件的整数 的值；
y=lg[g(x)] R m
(2)若非常数函数f (x)是定义域为(−2,2)的奇函数，且∀x ∈[1,2)，∃x ∈[−1,1]，
1 2
1
f (x )−g(x )>− ，求m的取值范围.
1 2 2
【变式9-2】（2023上·湖北咸宁·高一校考阶段练习）已知函数 4x+1为奇函数.
f (x)=
4x+a
(1)求实数a的值；
(2)判断函数f (x)的单调性并证明；
x x
(3)设函数g(x)=log ⋅log +m，若对任意的x ∈[2,8]，总存在x ∈(0,1]，使得g(x )=f (x )成立，
22 24 1 2 1 2
求实数m的取值范围.【变式9-3】（2023上·辽宁大连·高一期末）已知函数 ，
f (x)=log (ax2−x+a2−3) g(x)=xα+x−α
3
(1)直接写出x>0时，g(x)的最小值.
( 3)
(2)a=2时，F(x)=f (x)−log 3在x∈ 1, 是否存在零点？给出结论并证明.
4 2
5
(3)若g(2)= ，f(g(x))存在两个零点，求a的取值范围.
2
1．（2023·全国·统考高考真题）已知 xex 是偶函数，则 （ ）
f(x)= a=
eax−1
A．−2 B．−1 C．1 D．2
2．（2023·全国·统考高考真题）设函数 在区间 上单调递减，则 的取值范围是（ ）
f (x)=2x(x−a) (0,1) a
A．(−∞,−2] B．[−2,0)
C．(0,2] D．[2,+∞)
3．（2022·天津·统考高考真题）化简(2log 3+log 3)(log 2+log 2)的值为（ ）
4 8 3 9
A．1 B．2 C．4 D．6
4．（2023·天津·统考高考真题）若a=1.010.5,b=1.010.6,c=0.60.5，则a,b,c的大小关系为（ ）
A．c>a>b B．c>b>a
C．a>b>c D．b>a>c
5．（2023·北京·统考高考真题）下列函数中，在区间(0,+∞)上单调递增的是（ ）
1
A．f(x)=−lnx B．f(x)=
2x
1
C．f(x)=− D．f(x)=3|x−1|
x6．（2023·全国·统考高考真题）已知函数
f (x)=e−(x−1)2
．记
a=f
(√2)
,b=f
(√3)
,c=f
(√6)，则
2 2 2
（ ）
A．b>c>a B．b>a>c C．c>b>a D．c>a>b
7．（2022·浙江·统考高考真题）已知 ，则 （ ）
2a=5,log 3=b 4a−3b=
8
25 5
A．25 B．5 C． D．
9 3
8．（2022·全国·统考高考真题）已知9m=10,a=10m−11,b=8m−9，则（ ）
A．a>0>b B．a>b>0 C．b>a>0 D．b>0>a
9．（2023·全国·统考高考真题）噪声污染问题越来越受到重视．用声压级来度量声音的强弱，定义声压级
p
L =20×lg ，其中常数p (p >0)是听觉下限阈值，p是实际声压．下表为不同声源的声压级：
p p 0 0
0
与声源的距离 声压级
声源
/m /dB
燃油汽车 10 60∼90
混合动力汽
10 50∼60
车
电动汽车 10 40
已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10m处测得实际声压分别为p ,p ,p ，则（ ）．
1 2 3
A．p ≥p B．p >10p
1 2 2 3
C．p =100p D．p ≤100p
3 0 1 2
10．（2023·北京·统考高考真题）已知函数f(x)=4x+log x，则f
(1)
= ．
2 2
