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2.1 函数的概念及其表示
1.函数的概念
概念
一般地,设A,B 是非空的实数集,如果对于集合A 中
的任意一个数
x ,按照某种确定的对应关系f,在集合
B 中都有唯一确定的数y 和它对应,那么就称
f:A→B 为从集合A 到集合B 的一个函数
三
要
素
对应关系
y＝f(x),x∈A
定义域
x 的取值范围
值域
与x 对应的y 的值的集合{f(x)|x∈A}
2.同一个函数的概念
(1)前提条件:①定义域相同;②对应关系相同.
(2)结论:这两个函数为同一个函数.
3.函数的表示法
表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法.
4.分段函数
(1)若函数在其定义域的不同子集上,因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示,这种函数称为
分段函数.
(2)分段函数表示的是一个函数.分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集,其值域等于各段函
数的值域的并集.
常用的结论
1.直线x＝a(a 是常数)与函数y＝f(x)的图象至多有1 个交点.
2.注意以下几种特殊函数的定义域:
(1)分式型函数,分母不为零的实数集合.
(2)偶次方根型函数,被开方式非负的实数集合.
(3)f(x)为对数式时,函数的定义域是真数为正数、底数为正且不为1 的实数集合.
(4)若f(x)＝x0,则定义域为{x|x≠0}.
考点一 函数的概念与相同函数判断
考点二 具体函数的定义域
考点三 抽象函数的定义域
考点四 已知定义域求参数
考点五 待定系数法求解析式
考点六 换元法求解析式
考点七 方程组法求解析式
考点八 抽象函数求解析式
考点九 分段函数求值
考点十 利用分段函数求参
考点一 函数的概念与相同函数判断
1．（2026·青海西宁·一模）在平面直角坐标系中，直线
，
与函数
的图象的交点个数为（ ）
A．0
B．1
C．0 或1
D．0 或1 或2
2．（25-26 高三上·浙江杭州·期中）（多选）下列各组函数中，两个函数表示同一个函数的是（ ）
A．
与
B．
与
C．
与
D．
与
3．（25-26 高三上·安徽铜陵·期末）已知集合
，下列对应关系不能视作函数
的是
（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（25-26 高三·全国·寒假作业）下列从集合
到集合
的对应关系
中，
是
的函数的是（ ）
A．
，对应关系
B．
，对应关系
C．
，对应关系
D．
，对应关系
5．（25-26 高三上·浙江杭州·期中）（多选）下列函数中，与函数
是同一个函数的有（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（25-26 高三下·河南信阳·开学考试）下列各组函数中，表示同一函数的是（ ）
A．
B．
C．
D．
考点二 具体函数的定义域
7．（2026·四川绵阳·模拟预测）已知集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
8．（25-26 高三下·浙江杭州·阶段检测）函数
的定义域是（ ）
A．
B．
C．
D．
9．（2026·贵州贵阳·二模）已知集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
10．（2026·北京石景山·二模）函数
的定义域是______．
11．（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）函数
的定义域为（ ）
A．
B．
C．
D．
12．（2026·北京丰台·一模）函数
的定义域为___________．
考点三 抽象函数的定义域
13．（25-26 高三上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）已知
定义域为
，则
的定义域为（ ）
A．
B．
C．
D．
14．（2026·安徽合肥·模拟预测）若函数
的定义域是
，则函数
的定义域是
__________．
15．（25-26 高三下·江西宜春·开学考试）已知函数
的定义域为
，则函数
的定义
域为（ ）
A．
B．
C．
D．
16．（25-26 高三上·广东深圳·月考）已知函数
的定义域为
，则函数
的定义域为（ ）
A．
B．
C．
D．
17．（2025·安徽合肥·一模）已知函数
的定义域为
，则函数
的定义域为（ ）
A．
B．
C．
D．
18．（2025 高三·全国·专题练习）已知函数
的定义域为
，求函数
的定义域.
考点四 已知定义域求参数
19．（24-25 高三上·广东梅州·开学考试）已知函数
的定义域是
，则
的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
20．（25-26 高三上·江苏无锡·月考）若函数
定义域为R，则k 的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
21．（2025·广东梅州·模拟预测）已知函数
的定义域为实数集
，则实数
的取值范围为
______.
22．（25-26 高三上·四川绵阳·阶段检测）（多选）已知函数
，则下列选项正确的是（ ）
A．若
的定义域为
，则
B．若
的值域为
，则
C．若
的定义域为
，则
D．若
在
上单调递增，则
考点五 待定系数法求解析式
23．（25-26 高三·全国·一轮复习）若一次函数
满足
，求
的函数解析式.
24．（2026 高三·全国·专题练习）已知
是一次函数，
，且
，函数
满足
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
25．（2025 高三·全国·专题练习）设
是
的二次函数，
，且
，求函数
和
的解析式．
26．（2025 高三·全国·专题练习）设二次函数
满足
，且其图象在
轴上的截距为1，在
轴上截得的线段长为
，求
的解析式．
考点六 换元法求解析式
27．（2026 高三·全国·专题练习）若函数
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
28．（25-26 高三·全国·二轮复习）已知函数
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
29．（25-26 高三上·云南·期末）已知函数
，则函数
的解析式为（ ）
A．
B．
C．
D．
30．（2026·江西上饶·一模）已知函数
，则
（ ）
A．4
B．9
C．16
D．25
31．（25-26 高三上·重庆·期中）已知
，则函数
的解析式为（ ）.
A．
B．
C．
D．
考点七 方程组法求解析式
32．（2026 高三·全国·专题练习）已知函数
对任意的
都有
，则
________．
33．（2026·辽宁锦州·二模）
是定义在
上的函数，满足
对
都成立，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
34．（2025 高三·全国·竞赛）设函数
的定义域为
，且满足
，则
的最小值
为_____.
35．（25-26 高三·全国·一轮复习）（1）已知
，求
的解析式．
（2）已知
是一次函数，并且
，求
．
（3）函数
满足方程
，
且
，求
．
考点八 抽象函数求解析式
36．（2026·广东梅州·模拟预测）函数
满足
，且
，则
___________．
37．（2026·重庆·二模）已知
是偶函数，对任意
，
，
；当
时，
．则
的表达式可以为___________．（写出满足条件的一个即可）
38．（25-26 高三下·广东江门·开学考试）已知函数
对任意实数
满足
，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
39．（25-26 高三上·上海金山·期末）设
是定义在
上的函数，
，且满足对任意
，
，等式
恒成立，则
的解析式为______．
40．（2025 高三·全国·专题练习）设
是定义在
上的函数，满足
，且对任意的正整数
，
都有
，求
的解析式．
考点九 分段函数求值
41．（2026·重庆渝中·三模）已知函数
，则
（ ）
A．
B．1
C．
D．
42．（2026·江西·二模）已知函数
，则
_____．
43．（2026·黑龙江哈尔滨·二模）已知函数
，则
为（ ）
A．
B．
C．2
D．3
44．（2026·河北保定·二模）已知函数
，则
______________．
考点十 利用分段函数求参
45．（25-26 高三下·上海浦东新·期中）已知
，若
，则实数a 的值为________．
46．（2026·贵州毕节·二模）设函数
，若
，则
（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
47．（2026·河北·一模）已知函数
，若
，则
（ ）
A．1
B．2
C．
D．
48．（25-26 高三下·新疆喀什·期末）已知函数
，若
，则实数a 的值为__________．
49．（25-26 高三上·河北沧州·期末）已知函数
若
，
，则
______.
1．（25-26 高三上·广东河源·月考）下列各组函数表示相同函数的是（ ）
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
2．（2026 高三·全国·专题练习）若函数
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（25-26 高三·全国·二轮复习）已知函数
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（25-26 高三上·江西宜春·期末）已知
，则函数
的单调递增区间为（ ）
A．
B．R
C．
D．
5．（2026·山东烟台·一模）已知函数
，则
的值为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
6．（2026·北京丰台·二模）下列函数中，定义域和值域相同的是（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（2025 高三·全国·专题练习）已知函数
的定义域为
，则a 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
8．（25-26 高三上·山东·期中）函数
的定义域为
，函数
，则
的定义域为
（ ）
A．
B．
C．
D．
9．（25-26 高三上·河南南阳·月考）（多选）下列说法正确的有（ ）
A．“
”是“
”的充分不必要条件
B．若函数
的定义域为
，则函数
的定义域为
C．已知函数
，则
D．若两个正实数x，y 满足
，则
的最小值为4
10．（25-26 高三上·河北保定·月考）（多选）设函数
，若
，则
的取值可能是
（ ）
A．0
B．3
C．-1
D．2
11．（24-25 高三上·江苏常州·期末）（多选）已知函数
若
，则实数
的取值可
能为（ ）
A．-2
B．
C．1
D．27
12．（25-26 高三上·广东汕头·月考）（多选）下列各组函数能表示同一个函数的是（ ）
A．
与
B．
与
（
且
）
C．
与
D．
与
13．（25-26 高三下·上海金山·月考）求函数
的定义域________.
14．（25-26 高三上·广东江门·月考）已知函数
的定义域为
,则函数
的定义域为
________.
15．（2025 高三·全国·竞赛）设函数
对一切实数
满足
，且
，
则函数
_____.
16．（25-26 高三上·贵州六盘水·月考）若函数
满足
，则
___________．
17．（25-26 高三上·内蒙古包头·月考）设函数
，若
，则
______．
18．（25-26 高三·全国·一轮复习）已知函数
满足
，求
的解析式.
19．（25-26 高三上·广东湛江·月考）(1)已知
，求
的解析式；
(2)已知
，求
的解析式．
(3)已知函数
是二次函数，且满足
，
，求
的解析式．
