文档内容
§2.1 函数的概念及其表示
考试要求 1.了解函数的含义.2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象
法、列表法、解析法)表示函数.3.了解简单的分段函数，并会简单的应用．
知识梳理
1．函数的概念
一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对
应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合
B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A.
2．函数的三要素
(1)函数的三要素：定义域、对应关系、值域．
(2)如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数为同一个函数．
3．函数的表示法
表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法．
4．分段函数
若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函
数称为分段函数．
常用结论
1．直线x＝a与函数y＝f(x)的图象至多有1个交点．
2．在函数的定义中，非空数集A，B，A即为函数的定义域，值域为B的子集．
3．分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．分段函数的定义域等于各段函数
的定义域的并集，值域等于各段函数的值域的并集．
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若两个函数的定义域和值域相同，则这两个函数是同一个函数．( × )
(2)函数y＝f(x)的图象可以是一条封闭曲线．( × )(3)y＝x0与y＝1是同一个函数．( × )
(4)函数f(x)＝的定义域为R.( √ )
教材改编题
1．(多选)下列所给图象是函数图象的是( )
答案 CD
解析 A中，当x>0时，每一个x的值对应两个不同的y值，因此不是函数图象；B中，当
x＝x 时，y的值有两个，因此不是函数图象；CD中，每一个x的值对应唯一的y值，因此
0
是函数图象．
2．下列各组函数表示同一个函数的是( )
A．y＝x－1与y＝
B．y＝x－1与y＝－
C．y＝2与y＝2x
D．y＝与v＝
答案 D
解析 y＝x－1的定义域为R，y＝的定义域为{x|x≠－1}，定义域不同，不是同一个函数，
故选项A不正确；
y＝x－1＝与y＝－的对应关系不同，不是同一个函数，故选项B不正确；
y＝2＝2|x|与y＝2x的对应关系不同，不是同一个函数，故选项C不正确；
y＝与v＝的定义域都是(－∞，1)∪(1，＋∞)，对应关系也相同，所以是同一个函数，故选
项D正确．
3．已知函数f(x)＝则函数f 等于( )
A．3 B．－3 C. D．－
答案 C
解析 由题意可知，f ＝ln ＝－ln 3，所以f ＝f(－ln 3)＝e－ln 3＝.
题型一 函数的定义域
例1 (1)函数y＝的定义域为( )
A．(－4，－1) B．(－4,1)
C．(－1,1) D．(－1,1]
答案 C解析 由题意得解得－12或x<0} B.
C．{x|x>2} D.
答案 B
解析 要使f(x)＝lg 有意义，
则>0，
即(1－x)(1＋x)>0，解得－11，
此时f(x)＝x2－1≤0，f(x＋1)＝log (x＋1)>0，
2
∴当01时，x＋1>2，
f(x)2，且x≠3，
∴函数f(x)的定义域为(2,3)∪(3，＋∞)．
2．(2023·三明模拟)已知集合A＝{x|－20且a≠1)，若函数f(x)的值域是(－∞，4]，则实数a的取值范围是(
)
A. B.
C．(1，] D．(1，)
答案 B
解析 当x≤2时，f(x)＝－x2＋2x＋3
＝－(x－1)2＋4，
当x＝1时，f(x)＝－x2＋2x＋3取得最大值4，所以当x≤2时，函数f(x)的值域是(－∞，4]，
所以当x>2时，函数f(x)＝6＋log x的值域为(－∞，4]的子集，
a
当a>1时，f(x)＝6＋log x在(2，＋∞)上单调递增，
a
此时f(x)>f(2)＝6＋log 2>6，不符合题意，
a
当00)，f(t)＝ln t，故D符合函数定义．
9．已知函数f(x)＝则f ＝________.
答案
解析 由已知得f ＝f ＝f ＝f ＝f ＝cos＝.
10．已知f()＝x－1，则f(x)＝________.
答案 x2－1(x≥0)
解析 令t＝，则t≥0，x＝t2，
所以f(t)＝t2－1(t≥0)，即f(x)＝x2－1(x≥0)．
11．已知函数f(x)的定义域为[－2,2]，则函数g(x)＝f(2x)＋的定义域为__________．
答案 [－1,0]
解析 由条件可知，函数的定义域需满足
解得－1≤x≤0，
所以函数g(x)的定义域是[－1,0]．
12．已知f(x)＝若f(a)＝5，则实数a的值是__________；若f(f(a))≤5，则实数a的取值范围
是__________．
答案 1或－3 [－，－1]
解析 ①当a>0时，2a＋3＝5，解得a＝1；
当a≤0时，a2－4＝5，解得a＝－3或a＝3(舍)．
综上，a＝1或－3.
②设t＝f(a)，由f(t)≤5得－3≤t≤1.
由－3≤f(a)≤1，解得－≤a≤－1.
13．(2022·广州模拟)已知定义在R上的函数f(x)满足，f(1－x)＋2f(x)＝x2＋1，则f(1)等于(
)
A．－1 B．1 C．－ D.
答案 B
解析 ∵定义在R上的函数f(x)满足，f(1－x)＋2f(x)＝x2＋1，
∴当x＝0时，f(1)＋2f(0)＝1，①
当x＝1时，f(0)＋2f(1)＝2，②
②×2－①，得3f(1)＝3，解得f(1)＝1.
14．(2023·南昌模拟)已知函数f(x)＝若f(a－3)＝f(a＋2)，则f(a)等于( )
A．2 B. C．1 D．0
答案 B
解析 作出函数f(x)的图象，如图所示．因为f(a－3)＝f(a＋2)，且a－3
