2.1 基本不等式（分层训练）
目录
1
题型一、直接法求和的最小值（积为定值）.........................................2
2
题型二、配凑法求和的最小值（积为定值）.........................................6
3
题型三、直接法求积的最大值（和为定值）.......................................12
4
题型四、配凑发求积的最大值（和为定值）.......................................18
5
题型五、“1”的替换.............................................................................24
6
题型六、换元法求最值...........................................................................31
1 题型一、直接法求和的最小值（积为定值）
1．若x>0，则y = 4
x + x的最小值为（ ）
A．4
B．2
C．8
D．不存在
【答案】A
【分析】利用基本不等式，即可求解.
【详解】x>0，y = 4
x + x ≥2❑√
4
x ⋅x = 4，
当4
x = x，即x =2时，等号成立.
所以函数y = 4
x + x的最小值为4.
故选：A
2．函数y = x + 4
x -1在(0,+ ∞)上的最小值是（ ）
A．-2
B．1
C．2
D．3
【答案】D
【分析】根据给定条件，利用均值不等式直接计算作答.
【详解】因为x∈(0,+ ∞)，所以y = x + 4
x -1≥2❑√x⋅4
x -1=3，当且仅当x = 4
x ，
即x =2时取等号，
所以函数y = x + 4
x -1在(0,+ ∞)上的最小值是3.
故选：D
3．如果x∈R，x≠0，那么x
2+ 4
x
2的最小值为（ ）
A．2
B．2❑√2
C．4
D．8
【答案】C
【分析】直接利用基本不等式求最小值即可.
【详解】因为x≠0，所以x
2>0, 4
x
2 >0，
所以x
2+ 4
x
2 ≥2❑√
x
2⋅4
x
2 = 4，
当且仅当x
2= 4
x
2，即x =± ❑√2时等号成立，
所以x
2+ 4
x
2的最小值为4，
故选：C.
4．若m>0，n>0，mn=9，则m+n的最小值为（ ）
A．4
B．4 ❑√3
C．6
D．18
【答案】C
【分析】根据题意结合基本不等式运算求解.
【详解】因为m>0，n>0，mn=9，
可得m+n≥2❑√mn=6，当且仅当m=n=3时，等号成立，
所以m+n的最小值为6.
故选：C.
5．x
2+ 1
x
2取最小值时x的取值为（ ）
A．1
B．±1
C．2
D．±2
【答案】B
【分析】直接利用基本不等式求解即可．
【详解】由题意可知，x
2>0，
∴ x
2+ 1
x
2 ≥2❑√
x
2⋅1
x
2 =2，当且仅当x
2= 1
x
2，即x =±1时，等号成立，
即x
2+ 1
x
2取最小值时x的取值为±1．
故选：B．
6．已知x>0，y >0，则3 y
x + 12 x
y 的最小值为（ ）
A．15
B．12
C．8
D．6
【答案】B
【分析】利用基本不等式计算即可.
【详解】由基本不等式可知：3 y
x + 12 x
y ≥2❑√
3 y
x ⋅12 x
y =12，
当且仅当3 y
x = 12 x
y ，即y =2 x时，等号成立，则3 y
x + 12 x
y 的最小值为12.
故选：B
7．函数y =2 x + 1
x ( x>0)的最小值为（ ）
A．2
B．2❑√2
C．3
D．4
【答案】B
【分析】直接根据基本不等式即可得结果.
【详解】因为x>0，所以y =2 x + 1
x ≥2❑√2 x⋅1
x =2❑√2，
当且仅当2 x = 1
x ，即x =
❑√2
2 时等号成立，即函数y =2 x + 1
x
(x>0)的最小值为
2❑√2，
故选：B.
8．设a>0，则a+ a+ 4
a 的最小值为（ ）
A．5
B．3
C．4
D．9
【答案】A
【分析】先将函数化简，然后利用基本不等式即可求解.
【详解】因为a>0，所以a+ a+ 4
a
=a+ 4
a +1≥2❑√a⋅4
a +1=5，
当且仅当a= 4
a，即a=2时取等号，
所以a+ a+ 4
a 的最小值为5，
故选：A.
9．已知x>0，则x - 4+ 4
x 的最小值为（ ）
A．－2
B．0
C．1
D．2❑√2
【答案】B
【分析】由基本不等式求得最小值．
【详解】∵x>0，∴x + 4
x - 4≥2❑√x× 4
x - 4 =0，当且仅当x = 4
x 即x =2时等号
成立．
故选：B．
10．设a>0，则2a+ a+2
a 的最小值为（ ）
A．2❑√a+ 4 B．2
C．4
D．5
【答案】D
【分析】由已知结合基本不等式即可直接求解.
【详解】因为a>0，
所以2a+ a+2
a
=2a+ 2
a +1⩾2❑√2a⋅2
a +1=5，
当且仅当2a= 2
a，即a=1时取等号，此时2a+ a+2
a 取得最小值.
故选：D
11．下列函数中，最小值是2 的是
A．y = x + 1
x
B．y =lg x + 1
lg x
(1< x<10)
C．y =3
x+3
- x
D．y =sin x +
1
sin x(0< x< π
2)
【答案】C
【分析】结合基本不等式以及各个选项的定义域，即可求出y的取值范围.
【详解】解：A：当x<0时，1
x <0，最小值不是2，故A 错误；
B：当1< x<10时，0<lg x<1，则y =lg x + 1
lg x ≥2❑√lg x⋅1
lg x =2，
当且仅当lg x = 1
lg x ，即x =10时等号成立，故当1< x<10时，y >2，B 错误；
C：y =3
x+3
- x≥2
❑√3
x⋅3
- x =2，当且仅当3
x=3
- x，即x =0时等号成立，C 正
确；
D：因为0< x< π
2 ，所以0<sin x<1，所以y =sin x +
1
sin x ≥2❑√sin x⋅
1
sin x =2，
当且仅当sin x =
1
sin x ，即sin x =±1时等号成立，由0<sin x<1得y >2，D 错误.
故选:C.
【点睛】本题考查了基本不等式.在用基本不等式求最值时，注意一正二定
三相等.
12．函数y =3- 4
x - x（x>0）的最大值为（ ）
A．-1
B．1
C．-5
D．5
【答案】A
【分析】根据均值不等式即可求得函数最大值.
【详解】因为y =3- 4
x - x =3-( x + 4
x )且x>0，
故可得y =3-(x + 4
x)≤3-2❑√x× 4
x =-1.
当且仅当x = 4
x ，即x =2时取得最大值.
故选：A.
【点睛】本题考查利用均值不等式求函数的最值，属基础题.
2 题型二、配凑法求和的最小值（积为定值）
1．若x>2，则y = x +
4
x -2的最小值为（ ）
A．4
B．5
C．6
D．8
【答案】C
【分析】根据基本不等式即可求解.
【详解】y = x +
4
x -2 =(x -2)+
4
x -2 +2，
因为x>2，所以x -2>0，所以
y =(x -2)+
4
x -2 +2≥2❑√
(x -2)⋅
4
x -2 +2= 4+2=6，
当且仅当x -2=
4
x -2，即x = 4时等号成立，
故最小值为6，
故选：C
2．已知x> 1
3，则3 x +
4
3 x -1的最小值为（ ）
A．5
B．6
C．7
D．8
【答案】A
【分析】把3 x +
4
3 x -1化为3 x -1+
4
3 x -1 +1，利用基本不等式即可求出最小
值.
【详解】∵3 x +
4
3 x -1 =3 x -1+
4
3 x -1 +1≥2❑√
(3 x -1)⋅
4
3 x -1 +1=5，
当且仅当3 x -1=
4
3 x -1，即x =1时，等号成立.
故选：A.
3．设实数x满足x>0，函数y =3 x +
4
x +1的最小值为（ ）
A．4 ❑√3-3 B．4 ❑√3
C．4 ❑√3+3
D．6
【答案】A
【分析】变形函数y =3 x +
4
x +1 =3( x +1)+
4
x +1 -3，再利用基本不等式求解
即可.
【详解】因为y =3 x +
4
x +1 =3( x +1)+
4
x +1 -3
≥2❑√3( x +1)⋅
4
x +1 -3= 4 ❑√3-3，
当且仅当3( x +1)=
4
x +1，即x = 2❑√3
3
-1>0时，等号成立，
故选：A .
4．已知x>2，则4
x -2 + 4 x的最小值是（ ）
A．4
B．8
C．12
D．16
【答案】D
【分析】由基本不等式可得答案.
【详解】已知x>2，则x -2>0，
4
x -2 + 4 x =
4
x -2 + 4 (x -2)+8≥2❑√
4
x -2 ⋅4 (x -2)+8=16，
当且仅当4
x -2 = 4 (x -2)，即x =3时“=”成立，故所求最小值是16.
故选：D．
5．已知x>2，则x +
4
x -2的最小值为（ ）
A．6
B．5
C．4
D．3
【答案】A
【分析】利用均值不等式求解即可.
【详解】由x>2知，x -2>0，
所以x +
4
x -2 = x -2+
4
x -2 +2≥2❑√4+2=6，
当且仅当x -2=
4
x -2时，即x = 4时，等号成立，
所以x +
4
x -2的最小值为6.
故选：A
6．若x>-3，则2 x +
1
x +3的最小值是（ ）
A．2❑√2+6
B．2❑√2-6
C．2❑√2
D．2❑√2+2
【答案】B
【分析】利用基本不等式即可得解.
【详解】由x>-3，可得x +3>0，
2 x +
1
x +3 =2( x +3)+
1
x +3 -6≥2❑√2( x +3)⋅
1
x +3 -6=2❑√2-6，
当且仅当2( x +3)=
1
x +3，即x =-3+
❑√2
2 时取等号，
所以2 x +
1
x +3的最小值为2❑√2-6，
故选：B.
7．若x>4，则y = x +
1
x - 4的最值情况是（ ）
A．有最大值-6
B．有最小值6
C．有最大值-2
D．有最小值2
【答案】B
【分析】利用基本不等式可得答案.
【详解】若x>4，则y = x +
1
x - 4 = x - 4+
1
x - 4 + 4≥2❑√
(x - 4)
1
x - 4 + 4 =6，
当且仅当x - 4 =
1
x - 4即x =5等号成立，
所以若x>4时，y = x +
1
x - 4有最小值为6，无最大值.
故选：B.
8．当x>a时， 2 x +
8
x -a的最小值为10，则a=（ ）
A．1
B．❑√2
C．2❑√2
D．4
【答案】A
【分析】应用基本不等式求解最小值,再根据最小值求参即可.
【详解】当x>a时
2 x +
8
x -a =2(x -a)+
8
x -a +2a≥2❑√2(x -a)×
8
x -a +2a=8+2a,
即8+2a=10，故a=1.
故选:A.
9．若x＞1，则x+ 9
x -1取得最小值时，x 等于（ ）
A．3
B．7
C．﹣2
D．4
【答案】D
【分析】利用基本不等式进行求解即可.
【详解】∵x＞1，
∴x +
9
x -1 = x -1+
9
x -1 +1≥2❑√( x -1)⋅
9
x -1 +1=7，当且仅当x -1=
9
x -1，即
x＝4 时，等号成立.
故选：D．
10．已知x>2, y = 4 x +
1
x -2，则y的最小值为（ ）
A．8
B．10
C．12
D．14
【答案】C
【分析】将y = 4 x +
1
x -2变为y = 4( x -2)+
1
x -2 +8，利用基本不等式即可求
得答案.
【详解】因为x>2,∴x -2>0,
∴y = 4 x +
1
x -2 = 4( x -2)+
1
x -2 +8≥2❑√4( x -2)×
1
x -2 +8=12,
当且仅当4( x -2)=
1
x -2，即x = 5
2时取得等号，
即y的最小值为12，
故选：C
11．当x>0时，函数y = x +
3
x +1 -1的最小值为（ ）
A．2❑√3-1 B．2❑√3-2
C．2❑√3+1 D．❑√3-2
【答案】B
【分析】由x>0，利用基本不等式求解即可.
【详解】∵x>0，∴x +1>0
∴y = x +
3
x +1 -1= x +1+
3
x +1 -2≥2❑√
(x +1)⋅
3
x +1 -2=2❑√3-2
当且仅当x +1=
3
x +1时，即x = ❑√3-1等号成立
∴函数y = x +
3
x +1的最小值为2❑√3-2
故选：B.
12．已知x＞1，则y =4 x +1
x -1的最小值为（ ）
A．16
B．8
C．4
D．2
【答案】B
【分析】可先将不等式4 x +1
x -1写成4( x -1)+1
x -1 +4，再根据基本不等式
进行计算即可．
【详解】当x>1时，4 x +1
x -1 =4( x -1)+1
x -1 +4 2
⩾
❑√4( x -1)×1
x -1 +4=8，
当且仅当4( x -1)=1
x -1，即x =3
2 时取等号，此时取得最小值8，
故选：B．
13．下列结论正确的是（ ）
A．当x<2时，x +
1
x -2 ≥4
B．当x>0时，
❑√x + 4
❑√x ≥4
C．当x ≥2时，x + 2
x 的最小值是2❑√2
D．当a>0时，a+
1
a+1的最小值为1
【答案】B
【分析】利用基本不等式及其口诀“一正二定三相等”分析可得.
【详解】当x -2>0时，x +
1
x -2 = x -2+
1
x -2 +2≥2❑√
(x -2)⋅
1
x -2 +2= 4，当
且仅当x -2=
1
x -2，即x =3时等号成立，但已知条件中x<2，故A 错误；
当x>0时，
❑√x + 4
❑√x ≥2❑√
❑√x⋅4
❑√x = 4，当且仅当
❑√x = 4
❑√x ，即x = 4时等号成
立，故B 正确；
当x>0时，x + 2
x ≥2❑√x⋅2
x =2❑√2，当且仅当x = 2
x ，即x = ❑√2时等号成立，但
已知条件中x ≥2，等号不成立，故C 错误；
当a+1>0时，a+
1
a+1 =a+1+
1
a+1 -1≥2❑√
(a+1)⋅
1
a+1 -1=2-1=1，当且仅
当a+1=
1
a+1，即a=0时等号成立，但已知条件中a>0，等号不成立，故D 错误．
故选：B.
14．若x> 1
2，则函数f ( x)= x +
2
2 x -1的最小值为（ ）
A．2❑√2
B．2❑√2+1
C．4
D．2.5
【答案】D
【分析】由x> 1
2，则2 x -1>0，又f ( x)= 1
2
(2 x -1)+
2
2 x -1 + 1
2，从而利用均
值不等式即可求解.
【详解】解：因为x> 1
2，所以2 x -1>0，
所以f ( x)= x +
2
2 x -1 = 1
2
(2 x -1)+
2
2 x -1 + 1
2 ≥2❑√
1
2
(2 x -1)×
2
2 x -1 + 1
2 = 5
2，当
且仅当1
2
(2 x -1)=
2
2 x -1，即x = 3
2时等号成立，
所以函数f ( x)= x +
2
2 x -1的最小值为2.5，
故选：D.
15．已知x>3，则对于y = x +
4
x -3，下列说法正确的是（ ）
A．y 有最大值7
B．y 有最小值7
C．y 有最小值4
D．y 有最大值4
【答案】B
【分析】利用基本不等式计算可得；
【详解】解：因为x>3，所以x -3>0，所以
y = x +
4
x -3 =(x -3)+
4
x -3 +3≥2❑√
(x -3)⋅
4
x -3 +3=7，当且仅当x -3=
4
x -3，即
x =5时取等号，所以y有最小值7；
故选：B
3 题型三、直接法求积的最大值（和为定值）
1．已知x>0, y >0, x + y = 4，则xy有（ ）
A．最大值为1
B．最小值为1
4
C．最大值为4
D．最小值为4
【答案】C
【分析】根据基本不等式，即可求得答案.
【详解】因为x>0, y >0，根据基本不等式可得x + y ≥2❑√xy，
所以4≥2❑√xy，即xy ≤4，
当且仅当x = y =2时等号成立.
故选：C
2．若实数x，y满足x
2+ 4 y
2=1，则xy的最大值是（ ）．
A．1
2
B．1
4
C．
❑√2
2
D．
❑√2
4
【答案】B
【解析】根据题中条件，利用基本不等式，可直接求出结果.
【详解】因为实数x，y满足x
2+ 4 y
2=1，为使xy取得最大值，必有x，y同
号，
因为x
2+ 4 y
2=1≥2
❑√x
2⋅4 y
2= 4 xy，当且仅当x =2 y，即¿或¿时，等号成立，
所以xy ≤1
4 ，因此xy的最大值为1
4 .
故选：B.
【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个
条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；
要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，
若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
3．已知a+b=2,a,b>0，则ab有（ ）
A．最大值为1
B．最小值1
C．最大值4D．最小值4
【答案】A
【解析】利用基本不等式求解即可.
【详解】由a+b=2,a,b>0，
得ab≤(
a+b
2 )
2
=1，
当且仅当a=b=1时取等号；
则ab有最大值为1.
故选：A.
4．若正实数x , y满足x + y =2，则1
xy 的最小值为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】A
【解析】由正实数x , y满足x + y =2，结合基本不等式，求得xy ≤1，即可求
得1
xy 的最小值.
【详解】由题意，正实数x , y满足x + y =2，则xy ≤( x + y
2
)
2
= 2
2
4 =1，
当且仅当x = y =1时，等号成立，即xy ≤1，
所以1
xy ≥1，即1
xy 的最小值为1.
故选：A.
5．已知a,b为正实数，且a+2b=3，则ab的最大值为（ ）
A．1
B．2
C．9
8
D．7
3
【答案】C
【解析】根据题设条件，结合基本不等式，即可求解.
【详解】由题意，a,b为正实数，且a+2b=3，
则ab= 1
2 ×a×2b≤1
2 ×(
a+2b
2 )
2
= 9
8，当且仅当a=2b，即a= 3
2，b= 3
4时取等
号，
所以ab的最大值为9
8.
故选：C
6．若x , y为正实数，2 x + y =1，则xy的最大值是（ ）
A．1
B．1
4
C．1
8
D．
❑√2
4
【答案】C
【解析】根据基本不等式2 x + y ≥2❑√2 xy，直接求xy的最大值.
【详解】∵x>0, y >0，2 x + y ≥2❑√2 xy，
即2❑√2 xy ≤1，解得：xy ≤1
8，当2 x = y = 1
2，即x = 1
4 , y = 1
2时等号成立，
此时xy的最大值是1
8.
故选：C
7．已知0< x<5，y = x (5- x)，则下列说法中正确的是（）
A．y 的最大值为5
2
B．y 的最小值为5
2
C．y 的最大值为25
4
D．y 的最小值为25
4
【答案】C
【解析】根据基本不等式判断．
【详解】∵0< x<5，∴5- x>0，
∴y = x(5- x)≤[
x +(5- x)
2
]
2
= 25
4 ，当且仅当x =5- x即x = 5
2时等号成立，
∴y = x(5- x)的最大值是25
4 ．
故选：C．
【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个
条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；
要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，
若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方
8．已知m>0，n>0，且m+n-2❑√3=0，则mn的最大值是（ ）
A．1
B．❑√3
C．2
D．3
【答案】D
【解析】由基本不等式运算即可得解.
【详解】因为m>0，n>0，且m+n-2❑√3=0，
所以2❑√3=m+n≥2❑√mn，
所以mn≤3，当且仅当m=n= ❑√3时，等号成立，
所以mn的最大值是3.
故选：D.
【点睛】利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1） “一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；
要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，
若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
9．已知a>0，b>0，且2a＋b＝4，则1
ab的最小值为（ ）
A．1
4 B．4 C．1
2 D．2
【答案】C
【分析】由4 =2a+b⩾2❑√2ab可求ab的范围，进而可求1
ab的最小值.
【详解】解：∵a>0，b>0，且4 =2a+b⩾2❑√2ab
∴ab⩽2
∴ 1
ab ⩾1
2
∴ 1
ab的最小值为1
2
故选：C．
【点睛】本题主要考查了基本不等式在求解最值中的简单应用，属于基础
试题.
10．已知x>0，y >0，且2 x +5 y =20，则xy的最大值（ ）
A．1
B．5
C．10
D．100
【答案】C
【分析】利用基本不等式ab≤(
a+b
2 )
2
，即可得出答案.
【详解】因为2 x⋅5 y ≤(
2 x +5 y
2 )
2
=(
20
2 )
2
=100，
即10 xy ≤100 ，
所以xy ≤10
当且仅当¿即¿时，等号成立.
故选：C
【点睛】本题主要考查了基本不等式求最值，属于基础题.
11．若x，y是正数，且1
x + 2
y =1，则xy有
A．最大值8
B．最小值1
8
C．最小值8
D．最大值1
8
【答案】C
【解析】利用基本不等式即可求解.
【详解】x，y是正数，且1
x + 2
y =1，
所以1= 1
x + 2
y ≥2❑√
1
x ⋅2
y ，解得2
xy ≤1
4，
即xy ≥8，当且仅当x =2, y = 4时取等号，
所以xy有最小值8.
故选：C
【点睛】本题考查了基本不等式求最值，注意验证等号成立的条件，属于
基础题.
12．已知正数a、b 满足2a+3b= ❑√6，则ab 的最大值为（ ）
A．1
9
B．1
4
C．1
3
D．1
2
【答案】B
【解析】根据基本不等式，即可容易求得结果.
【详解】因为正数a、b 满足2a+3b= ❑√6，
故可得ab= 1
6 ×(2a)×(3b)≤1
6 × 1
4
(2a+3b)
2= 1
4 ，
当且仅当2a=3b,2a+3b= ❑√6时，即a=
❑√6
4 ,b=
❑√6
6 时取得最大值.
故选：B.
【点睛】本题考查利用基本不等式求乘积的最大值，属基础题.
13．若x>-2, y >0, x + y =8，则( x +2) y的最大值为（ ）
A．9
B．16
C．25
D．36
【答案】C
【分析】根据x +2+ y =10，可利用基本不等式直接求解得到结果.
【详解】∵x>-2，∴x +2>0，∴x +2+ y =10.
∴(x +2) y ≤(
x +2+ y
2 )
2
=5
2=25（当且仅当x +2= y，即x =3，y =5时取等号），
∴(x +2) y的最大值为25.
故选：C.
【点睛】本题考查利用基本不等式求解积的最大值的问题，易错点是忽略
基本不等式应用的条件，即a,b均为正实数，造成求解错误.
14．已知0< x<❑√5，则x
❑√5- x
2的最大值是（ ）
A．1
B．2
C．5
2
D．
❑√10
2
【答案】C
【分析】直接使用基本不等式可得.
【详解】因为0< x<❑√5，
所以x
❑√5- x
2=
❑√x
2(5- x
2)≤x
2+(5- x
2)
2
= 5
2，
当且仅当x
2=5- x
2，即x =
❑√10
2 时，等号成立，
所以x
❑√5- x
2的最大值是5
2.
故选：C
15．若x>0，y >0，x +2 y =5，则1
xy 的最小值为（ ）
A．8
25
B．8
5
C．4
25
D．4
5
【答案】A
【分析】先利用基本不等式求得xy ≤25
8 ，然后利用不等式的性质求解1
xy 最
值即可.
【详解】因为x>0，y >0，x +2 y =5，所以5= x +2 y ≥2❑√2 xy，
所以xy ≤25
8 ，当且仅当x =2 y = 5
2时等号成立，所以1
xy ≥8
25，即1
xy 的最小值
为8
25.
故选：A.
4 题型四、配凑发求积的最大值（和为定值）
1．若0< x<8，则x (8- x)的最大值为（ ）
A．9
B．16
C．49
D．64
【答案】B
【分析】利用基本不等式计算可得.
【详解】解：因为0< x<8，所以0<8- x<8，
所以x (8- x)≤[
x +(8- x)
2
]
2
=16，当且仅当x =8- x，即x = 4时取等号；
故选：B
2．已知x>0，y >0，若4 x + y =1，则(4 x +1)( y +1)的最大值为（ ）．
A．9
4
B．1
4
C．3
4
D．1
【答案】A
【分析】由基本不等式求最大值．
【详解】(4 x +1)( y +1)≤[
(4 x +1)+( y +1)
2
]
2
= 9
4，
当且仅当¿，即x = 1
8，y = 1
2时，等号成立．
故选：A．
3．❑√(3-a)(a+6)(-6<a<3)的最大值为（ ）
A．9
B．9
2
C．3
D．3 ❑√2
2
【答案】B
【分析】利用基本不等式求目标式的最大值即可，注意等号成立的条件.
【详解】∵-6<a<3，则3-a>0，a+6>0．
∴由基本不等式得：
❑√(3-a)(a+6)≤3-a+a+6
2
= 9
2，当且仅当3-a=a+6，
即a=- 3
2时等号成立．
故选：B．
4．已知0＜x＜1
2，则x（1
2
﹣x）的最大值为（ ）
A．1
4
B．1
2
C．1
8
D．2
3
【答案】C
【分析】由基本不等式求得最大值．
【详解】因为0< x< 1
2，
所以x(1-2 x)= 1
2 2 x(1-2 x)≤1
2 ×(
2 x +1-2 x
2
)
2
= 1
8，当且仅当2 x =1-2 x，
即x = 1
4时，等号成立，
故选：C．
5．若0< x<1，则当y = x (4 -3 x)取得最大值时，x 的值为（ ）
A．1
B．4
3
C．3
4
D．2
3
【答案】D
【分析】根据基本不等式即可得到答案.
【详解】因为0< x<1，所以4 -3 x>0，则
y = x (4 -3 x)= 1
3 ⋅3 x (4 -3 x)≤1
3(
3 x + 4 -3 x
2
)
2
= 4
3 ，
当且仅当3 x = 4 -3 x⇒x = 2
3时取“=”.
故选：D.
6．函数y =2 x(2- x) （其中0< x<2）的最大值是（ ）
A．1
4
B．1
2
C．1
D．2
【答案】D
【分析】由0< x<2，得到0<2- x<2，结合基本不等式，即可求解.
【详解】因为0< x<2，可得0<2- x<2，
所以y =2 x(2- x)≤2×( x +2- x
2
)
2
=2，当且仅当x =2- x时，即x =1时，等号
成立，
所以函数y =2 x(2- x)的最大值是2．
故选：D.
7．函数y＝2x（2－x）（其中0＜x＜2）的最大值是（ ）
A．1
4
B．1
2
C．1
D．2
【答案】D
【详解】
0
∵＜x＜2，∴ y＝2x(2－x)≤2(
)2＝2，当且仅当x＝2－x，即x＝1 时
取等号，故函数的最大值是2.故选D.
8．若0< x<1，则y =2 x
❑√1- x
2的最大值为（ ）
A．1
2
B．1
C．2
D．4
【答案】B
【分析】化简函数，利用基本不等式求出最值，并验证取等条件．
【详解】因为0< x<1，所以y =2 x
❑√1- x
2=2
❑√x
2(1- x
2)≤2⋅x
2+1- x
2
2
=1
当且仅当x
2=1- x
2，即x =
❑√2
2 时取等号，
则y =2 x
❑√1- x
2的最大值为1.
故选：B.
【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个
条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；
要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，
若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
9．已知0< x<2，则y = x
❑√4 - x
2的最大值为（ ）
A．2
B．4
C．5
D．6
【答案】A
【分析】由基本不等式求解即可
【详解】因为0< x<2，
所以可得4 - x
2>0，
则y = x
❑√4 - x
2=
❑√x
2⋅(4 - x
2)≤x
2+(4 - x
2)
2
=2，
当且仅当x
2= 4 - x
2，即x = ❑√2时，上式取得等号，
y = x
❑√4 - x
2的最大值为2．
故选：A．
10．设正数x，y满足x
2+ y
2
2 =1，则x⋅
❑√1+ y
2的最大值为（ ）
A．3
2
B．3 ❑√2
2
C．3
4
D．3 ❑√2
4
【答案】D
【解析】根据正数x，y满足x
2+ y
2
2 =1，，将x⋅
❑√1+ y
2变形为
x⋅
❑√1+ y
2=
❑√2
2 ×❑√2 x⋅
❑√1+ y
2，利用基本不等式求解.
【详解】因为正数x，y满足x
2+ y
2
2 =1，
所以2 x
2+ y
2=2，
所以
x⋅
❑√1+ y
2=
❑√2
2 ×❑√2 x⋅
❑√1+ y
2≤
❑√2
2 × (❑√2 x)
2+(❑√1+ y
2)
2
2
=
❑√2
2 × 2 x
2+ y
2+1
2
= 3 ❑√2
4 ，
当且仅当¿，即x =
❑√3
2 , y =
❑√2
2 时，取等号，
所以x⋅
❑√1+ y
2的最大值为3 ❑√2
4 ，
故选：D
11．已知实数若0< x< 1
2，求x (1-2 x)的最大值（ ）
A．1
B．1
8
C．4
D．1
4
【答案】B
【解析】利用已知条件得到x>0,1-2 x>0，x (1-2 x)= 1
2
(2 x)(1-2 x)，再利
用基本不等式求解最值即可.
【详解】因为0< x< 1
2，
则x>0,1-2 x>0，
所以x (1-2 x)= 1
2
(2 x)(1-2 x)≤1
2(
2 x +1-2 x
2
)
2
= 1
8，
当且仅当2 x =1-2 x时，即x = 1
4时取等号，
所以x (1-2 x)的最大值为1
8．
故选：B.
【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个
条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；
要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，
若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
12．当0< x<4时，则y = x(8-2 x)的最大值为（ ）
A．2
B．4
C．6
D．8
【答案】D
【解析】直接利用基本不等式求积的最大值即可，解答过程注意等号成立
的条件.
【详解】∵0< x<4，8-2 x>0，
2 y =2 x(8-2 x)≤[ 2 x +(8-2 x)
2
]
2
=16，
当2 x =8-2 x，即x =2时等号成立，
∴y ≤8，即最大值为8，
故选：D.
【点睛】利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，
三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或
积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号
能否成立（主要注意两点，一是相等时参数是否在定义域内，二是多次用≥或≤
时等号能否同时成立）.
13．不等式y = x(1-3 x) (0< x< 1
3 )的最大值是（ ）
A．4
243
B．1
12
C．1
64
D．1
72
【答案】B
【分析】将原函数解析式化为y = x(1-3 x)= 1
3 ⋅3 x (1-3 x)，然后利用均值
不等式处理.
【详解】y = x(1-3 x)= 1
3 ⋅3 x (1-3 x)≤1
3 ⋅[3 x +(1-3 x)]
2
4
= 1
12，
当且仅当3 x =1-3 x，即x = 1
6时等号成立.
故选：B.
【点睛】本题考查利用均值不等式求最值，难度一般，解答时注意对原函
数解析式进行合理变形.
14．若0<a< 1
2，则a(1-2a)的最大值是（ ）
A．1
8
B．1
4
C．1
2
D．1
【答案】A
【分析】根据题意，由a(1-2a)= 1
2
(2a)(1-2a)，结合基本不等式，即可求
出结果.
【详解】因为0<a< 1
2，故1-2a>0，
则a(1-2a)= 1
2
(2a)(1-2a)≤1
2 ⋅(
2a+(1-2a)
2
)
2
= 1
8，
当且仅当2a=1-2a，即a= 1
4时，等号成立；
故选：A.
【点睛】本题主要考查由基本不等式求积的最大值，熟记基本不等式即可，
属于常考题型.
15．若a，b都是正数，且a+b=2，则(a+1)(b+1)的最大值为（ ）
A．3
2
B．2
C．9
4
D．4
【答案】D
【解析】本题可根据基本不等式ab⩽(
a+b
2 )
2
即可得出最大值．
【详解】解：由题意，可知：
(a+1)(b+1)⩽(
a+1+b+1
2
)
2
=(
2+1+1
2 )
2
= 4，当且仅当a+1=b+1即a=b=1
时取等号；
故选：D．
【点睛】本题考查基本不等式的应用，属于基础题.
5 题型五、“1”的替换
1．已知x + y =3，且x>0，y >0，则1
x +
1
y +1的最小值是（ ）
A．1
B．2
C．1
2
D．2❑√2
【答案】A
【分析】由x + y =3，可得1
4 [x +( y +1)]=1，利用1的代换结合基本不等式求
出最小值．
【详解】∵x + y =3，∴x + y +1= 4，1
4 [x +( y +1)]=1
1
x +
1
y +1 = 1
4 [x +( y +1)](
1
x +
1
y +1)= 1
4(2+ y +1
x
+
x
y +1)≥1
4(2+2❑√
y +1
x
⋅
x
y +1)=1
当且仅当¿，即¿时取等号.
故选：A.
2．已知a>0,b>0,3a+b= 1
2，则3
a + 1
b的最小值为（ ）
A．32
B．24
C．16
D．8
【答案】A
【分析】由基本不等式乘“1”法求解即可；
【详解】由a>0,b>0,3a+b= 1
2，
则
3
a + 1
b =(
3
a + 1
b)×1=(
3
a + 1
b)×(6a+2b)=18+ 6b
a + 6a
b +2≥20+2❑√
6b
a × 6a
b =32，
当且仅当6b
a = 6a
b ，即a=b= 1
8时等号成立，
故选：A.
3．已知正实数x , y满足x +2 y = 4，则的1
x + x
y 最小值为（ ）
A．5
2
B．
❑√2+ 1
4
C．7
4
D．
❑√2
4 +1
【答案】B
【分析】利用基本不等式来求得正确答案.
【详解】1
x + x
y = 1
x + 4 -2 y
y
= 1
x + 4
y -2
= 1
4(
1
x + 4
y)(x +2 y)-2= 1
4(9+ 2 y
x + 4 x
y )-2
≥1
4(9+2❑√
2 y
x ⋅4 x
y )-2= 1
4 (9+ 4 ❑√2)-2= ❑√2+ 1
4 ，
当且仅当2 y
x = 4 x
y , x = 4(2❑√2-1)
7
, y = 4(4 - ❑√2)
7
时等号成立.
故选：B
4．若a>0，b>0，a+b=1，则1
a + 4
b的最小值为（ ）
A．8
B．9
C．10
D．11
【答案】B
【分析】根据基本不等式“1”的妙用求解即可.
【详解】由a>0，b>0，a+b=1，
则1
a + 4
b =(
1
a + 4
b)(a+b)= b
a + 4 a
b +5≥2❑√
b
a ⋅4 a
b +5=9，
当且仅当b
a = 4 a
b ，即a= 1
3 ,b= 2
3时等号成立，
所以1
a + 4
b的最小值为9.
故选：B.
5．已知正数x，y 满足1
x + 2
y =2，则2 x + y的最小值是（ ）
A．4
B．5
C．6
D．7
【答案】A
【分析】由基本不等式“1”的妙用求出最小值.
【详解】正数x，y 满足1
x + 2
y =2，
由基本不等式得2 x + y = 1
2
(2 x + y)(
1
x + 2
y)= 1
2(2+ 4 x
y + y
x +2)
≥1
2(4 +2❑√
4 x
y ⋅y
x)= 4，
当且仅当4 x
y = y
x ，即y =2, x =1时，等号成立，
故2 x + y的最小值为4.
故选：A
6．已知a>0,b>0，且5a+b=1，则1
a + 5
b的最小值是（ ）
A．10
B．15
C．20
D．25
【答案】C
【分析】利用基本不等式中的乘“1”法求解即可.
【详解】∵a>0,b>0，且5a+b=1，
∴1
a + 5
b =(
1
a + 5
b)(5a+b)=5+5+ b
a + 25a
b ≥10+2❑√
b
a ⋅25a
b =20.
（当且仅当b
a = 25a
b ，即b= 1
2 ,a= 1
10时取等号）.
故选：C.
7．设a>0，b>-1，且a+b=1，则1
a +
1
b+1的最小值为（ ）
A．1
B．2
C．4
D．8
【答案】B
【分析】由已知条件得出a+(b+1)=2，将代数式1
a +
1
b+1与1
2 [a+(b+1)]，展
开后利用基本不等式可求得1
a +
1
b+1的最小值.
【详解】因为a>0，b>-1，则b+1>0，因为a+b=1，则a+(b+1)=2，
所以，1
a +
1
b+1 = 1
2 [a+(b+1)]⋅(
1
a +
1
b+1)= 1
2(2+
a
b+1 + b+1
a )
≥1
2(2+2❑√
a
b+1 ⋅b+1
a )=2，
当且仅当¿时，即当¿时，等号成立，
因此，1
a +
1
b+1的最小值为2.
故选：B.
8．已知m>0,n>0，且m+n=1，则1
m + 4
n的最小值为（ ）
A．12
B．9
C．6
D．3
【答案】B
【分析】利用基本不等式“1”的代换求出最小值.
【详解】因为m>0,n>0，
所以1
m + 4
n =(
1
m + 4
n)(m+n)=1+ n
m + 4 m
n + 4≥5+2❑√
n
m ⋅4 m
n =9，
当且仅当n
m = 4 m
n ，即n= 2
3 ,m= 1
3时，等号成立，
所以1
m + 4
n的最小值为9.
故选：B.
9．已知正数a,b满足2a+b=2ab，则a+2b的最小值为（ ）
A．5
2
B．9
2
C．5
D．9
【答案】B
【分析】根据已知得1
a + 2
b =2，利用基本不等式“1”的妙用即可得解.
【详解】由2a+b=2ab，得1
a + 2
b =2，
则a+2b= 1
2(
1
a + 2
b)(a+2b)= 1
2 ×(5+ 2b
a + 2a
b )≥5
2 + ❑√
2b
a ⋅2a
b = 9
2，
当且仅当a=b= 3
2时，等号成立.
故选：B
10．若正实数x，y 满足x + y =3，且不等式2
x + 8
y >|m-1|+ 4恒成立，则实数
m 的取值范围是（ ）
A．{m|-3<m<1}
B．{m|m<-3或m>1}
C．{m|-1<m<3}
D．{m|m<-1或m>3}
【答案】C
【分析】利用代换1 法，结合均值不等式求出最小值，再解绝对值不等式
即可求出选项.
【详解】因为正实数x，y 满足x + y =3，
所以2
x + 8
y = 1
3(
2
x + 8
y)(x + y)= 1
3(2+8+ 2 y
x + 8 x
y )≥1
3(10+2❑√
2 y
x ⋅8 x
y )=6，
当且仅当2 y
x = 8 x
y ，即y =2 x =2时取等号，
又由不等式2
x + 8
y >|m-1|+ 4恒成立，
所以6>|m-1|+ 4，解得：-1<m<3，
故选：C.
11．已知正数a，b满足(a-1)(b-2)=2，则8a+b的最小值为（ ）
A．18
B．14
C．12
D．10
【答案】A
【分析】由条件可得1
a + 2
b =1，利用基本不等式中1 的妙用求解即可．
【详解】由正数a，b满足(a-1)(b-2)=2，得ab-2a-b=0，则1
a + 2
b =1，
则8a+b=(
1
a + 2
b)(8a+b)=10+ b
a + 16a
b ≥10+2❑√
b
a ⋅16a
b =18，
当且仅当b
a = 16a
b 且1
a + 2
b =1，即a= 3
2 ,b=6时，等号成立，
故8a+b的最小值为18．
故选：A．
12．已知a>0，b>0且1
a + 1
b =1，则ab+2a+b的最小值为（ ）
A．2+2❑√6 B．3+2❑√6
C．4 +2❑√6 D．5+2❑√6
【答案】D
【分析】证明a+b=ab，利用“1”的代换和基本不等式即可求解.
【详解】因为a>0，b>0且1
a + 1
b =1，所以a+b=ab，
所以ab+2a+b=(3a+2b)( 1
a + 1
b )=5+ 3a
b + 2b
a ≥5+2❑√6，
当且仅当3a
b = 2b
a ，即¿时，等号成立，
所以ab+2a+b的最小值为5+2❑√6.
故选：D.
13．设正实数x，y 满足2 x + y =1，则（ ）
A．xy的最大值是1
4
B．2
x + 1
y 的最小值是9
C．4 x
2+ y
2的最大值为1
2
D．❑√2 x + ❑√y的最小值为2
【答案】B
【分析】利用基本不等式，结合常值代换法，配方以及取平方等方法即可
求最值判断选项.
【详解】对于A，∵2 x + y =1≥2❑√2 xy，∴xy ≤1
8，
当且仅当¿，即x = 1
4 , y = 1
2时，等号成立，故A 错误；
对于B，2
x + 1
y =(
2
x + 1
y)(2 x + y)=5+ 2 y
x + 2 x
y ≥5+2❑√4 =9，
当且仅当¿，即x = y = 1
3时，等号成立，故B 正确；
对于C，由A 可得xy ≤1
8，又2 x + y =1，
所以4 x
2+ y
2=(2 x + y)
2- 4 xy =1- 4 xy ≥1- 4× 1
8 = 1
2，
当且仅当2 x = y，即x = 1
4 , y = 1
2时等号成立，故C 错误；
对于D，(❑√2 x + ❑√y)
2=2 x + y +2❑√2 xy ≤1+2❑√2× 1
8 =2，
所以
❑√2 x + ❑√y的最大值为
❑√2，当且仅当2 x = y = 1
2，即x = 1
4 , y = 1
2时等号成
立，故D 错误.
故选：B.
14．已知x>0, y >0，且x +2 y =1，若不等式2
x + 1
y ≥m
2+7m恒成立，则实数
m的取值范围是（ ）
A．{m∣-8≤m≤1}
B．{m∣m≤-8，或m≥1}
C．{m∣-1≤m≤8}
D．{m∣m≤-1，或m≥8}
【答案】A
【分析】根据x +2 y =1，由基本不等式得出2
x + 1
y 的最小值8， 然后根据这
个最小值确定m 的取值范围.
【详解】∵x>0, y >0, x +2 y =1，
∴2
x + 1
y =(x +2 y)(
2
x + 1
y) = 4 y
x + x
y + 4 ≥8，当且仅当x = 1
2 , y = 1
4 时等号成立，
∵2
x + 1
y ≥m
2+7m恒成立，∴m
2+7m≤8，
解得-8≤m≤1.
故选：A.
15．已知a>0,b>0，且a+2b=2，若3t
2-t ≤b
a + 2
b恒成立，则实数t 的取值
范围是（ ）
A．[- 2
3 ,1]
B．[-1, 2
3]
C．[- 4
3 ,1]
D．[-1, 4
3]
【答案】D
【分析】恒成立问题先转化为b
a + 2
b的最值问题，由条件等式利用常数的代
换将式子b
a + 2
b转化为b
a + a+2b
b
= b
a + a
b +2，再利用基本不等式求出最值，最后求
解关于t的不等式可得.
【详解】已知a>0，b>0，则a
b >0, b
a >0，
因为b
a + 2
b = b
a + a+2b
b
= b
a + a
b +2≥2❑√
b
a ⋅a
b +2= 4，
当且仅当a
b = b
a时等号成立，由¿，
解得a=b= 2
3．
故b
a + 2
b的最小值为4．
因为3t
2-t ≤b
a + 2
b恒成立，
所以3t
2-t ≤4，即(3t - 4)(t +1)≤0，
解得-1≤t ≤4
3 ，即t ∈[-1, 4
3]．
故选：D
6 题型六、换元法求最值
1．（多选题）下列函数中，最小值为2 的函数是（ ）
A．y = x + 1
x
B．y = x
2-2 x +3
C．y = x +2❑√x +2
D．y = x
2+2
❑√x
2+1
【答案】BCD
【分析】A 中x 无法确定正负，不能求出最值；B 是二次函数，配方求解
最值；C 看成关于❑√x的二次函数，配方求最值；D 变换构造，用基本不等式求
最小值﹒
【详解】A 中x的正负无法确定，其函数值可以为负数；
B 中y ＝x
2-2 x＋3＝( x -1)
2＋2，最小值为2；
C 中y ＝x ＋2❑√x ＋2＝(❑√x ＋1)
2＋1，当x＝0时，其最小值为2；
D 中y ＝x
2＋2
❑√x
2＋1
＝
❑√x
2＋1＋
1
❑√x
2＋1
⩾2，当且仅当
❑√x
2＋1＝
1
❑√x
2＋1，
即x＝0时取等号﹒
故选：BCD﹒
2．（多选题）以下说法中正确的有（ ）
A．函数f (x)= x
2+5
❑√x
2+ 4的最小值为2
B．不等式❑√x (x -1)≥0的解集为{x| x ≥1}
C．若1≤x ≤2，x
2+mx + 4≤0有解，则m的取值范围是(-∞,- 4]
D．若不等式a>
x
x
2+1
(x>0)恒成立，则a的取值范围是(
1
2 ,+∞)
【答案】CD
【分析】结合基本不等式的知识判断A 选项的正确性，解不等式
❑√x (x -1)≥0来判断B 选项的正确性，利用分离常数法确定C 选项的正确性，结
合基本不等式判断D 选项的正确性.
【详解】对于A 选项，
f (x)= x
2+5
❑√x
2+ 4
= x
2+ 4 +1
❑√x
2+ 4
=
❑√x
2+ 4+
1
❑√x
2+ 4
≥2❑√
❑√x
2+ 4⋅
1
❑√x
2+ 4
=2①，
但
❑√x
2+ 4 =
1
❑√x
2+ 4
, x
2+ 4 =1, x
2=-3，所以①等号不成立，即A 选项错误.
对于B 选项，对于不等式
❑√x (x -1)≥0，x =0或x ≥1，所以B 选项错误.
对于C 选项，当1≤x ≤2，x
2+mx + 4≤0有解，m≤- 4 - x
2
x
=-(
4
x + x)，
y =-(
4
x + x)在[1,2]上递增，当x =2时y =-(
4
x + x)取得最大值- 4，所以m≤- 4，
所以C 选项正确.
对于D 选项，
x>0,
x
x
2+1
=
1
x + 1
x
≤
1
2❑√x⋅1
x
= 1
2，当且仅当x = 1
x , x =1时等号
成立，所以a> 1
2，故D 选项正确.
故选：CD
3．函数f(x)＝x
2+8
x -1 (x>1)的最小值为 ．
【答案】8
【详解】
(解法1：基本不等式法)f(x)＝
＝
＝(x－1)＋
＋2≥2
＋2＝8，当且仅当x－1＝
，即x＝4 时取等号，则
f(x)min＝8.
(解法2：导数法)f′(x)＝
，令f′(x)＝0，得x＝4 或x＝－2(舍
去).当1<x<4 时，f′(x)<0，f(x)在(1，4)上单调递减；当x>4 时，f′(x)>0，f(x)在
(4，＋∞)上单调递增，所以f(x)在x＝4 处取到极小值也是最小值，即f(x)min＝
f(4)＝8.
4．若存在x∈(0,+ ∞)，使
x
x
2+3 x +1
≥a成立，则a的取值范围是 .
【答案】(-∞, 1
5]
【分析】依题意a≤(
x
x
2+3 x +1)max
，再利用基本不等式计算可得；
【详解】解：依题意存在x∈(0,+ ∞)，使
x
x
2+3 x +1
≥a成立，即存在
x∈(0,+ ∞)，使得a≤
x
x
2+3 x +1，即a≤(
x
x
2+3 x +1)max
，因为x∈(0,+ ∞)，所以
x + 1
x ≥2❑√x⋅1
x =2，当且仅当x = 1
x ，即x =1时取等号，所以
x
x
2+3 x +1
=
1
x + 1
x +3
≤
1
2+3 = 1
5，即
x
x
2+3 x +1的最大值为1
5，所以a≤1
5，即
a∈(-∞, 1
5]；
故答案为：(-∞, 1
5]
5．当x>0时，函数y = x
2+ x +1
x
2+2 x +1的最小值是 ．
【答案】3
4
【分析】先将函数y = x
2+ x +1
x
2+2 x +1变形为y =1-
1
x + 1
x +2，再利用基本不等式
即可求出．
【详解】∵x>0，∴y = x
2+ x +1
x
2+2 x +1
=1-
x
x
2+2 x +1
=1-
1
x + 1
x +2
≥1-
1
2❑√x⋅1
x +2
= 3
4，当且仅当x = 1
x ，即x =1时取等号．
∴函数y = x
2+ x +1
x
2+2 x +1的最小值是3
4．
故答案为：3
4．
【点睛】本题主要考查基本不等式的应用，属于基础题．
6．函数y = x
2+1
x -1
(x>1)的最小值是 .
【答案】2❑√2+2
【分析】首先函数变形为y = x
2+1
x -1 =(x -1)+
2
x -1 +2，再利用基本不等式求
最小值.
【详解】y = x
2+1
x -1 = (x -1)
2+2(x -1)+2
x -1
=(x -1)+
2
x -1 +2
∵x>1，∴x -1>0，(x -1)+
2
x -1 ≥2❑√2，
当x -1=
2
x -1时，即x = ❑√2+1时等号成立，
所以(x -1)+
2
x -1 +2≥2❑√2+2
所以函数的最小值是2❑√2+2.
故答案为：2❑√2+2.
【点睛】本题考查基本不等式的简单应用，属于基础题型，基本不等式再
使用时，注意“一正，二定，三相等”的条件.
7．（1）求函数y = x
2+3 x + 4
x +1
( x>-1)的最小值.
（2）已知a>0，b>0，且ab=2a+b，求a+2b的最小值.
【答案】（1）2❑√2+1；（2）9
【分析】（1）利用配凑法再分离常数得到y =( x +1)+
2
x +1 +1，利用基本不
等式即可；
（2）对条件变形得到2
b + 1
a =1，利用基本不等式“1”的妙用求最值.
【详解】（1）解：
y = x
2+3 x + 4
x +1
= ( x +1)
2+ x +3
x +1
= ( x +1)
2+( x +1)+2
x +1
=( x +1)+
2
x +1 +1 ，
∵x>-1,∴x +1>0，
y =( x +1)+
2
x +1 +1≥2❑√2+1，
当且仅当x +1=
2
x +1时，即x = ❑√2-1时，函数有最小值2❑√2+1；
（2）由题意∵ab=2a+b，
∴2
b + 1
a =1，又a>0，b>0，
∴a+2b=(a+2b)( 2
b + 1
a )= 2a
b + 2b
a +5≥2❑√
2a
b ⋅2b
a +5=9，
当且仅当2a
b = 2b
a ，即a=b是等号成立，
结合ab=2a+b，知a=b=3时，a+2b有最小值为9.
8．求解下列各题：
（1）求y = x
2+3 x + 4
2 x
(x<0)的最大值；
（2）求y = x
2+8
x -1
(x>1)的最小值.
【答案】（1）- 1
2；（2）8.
【分析】（1）因为y = x
2+3 x + 4
2 x
=- 1
2[(- x)+(- 4
x)]+ 3
2，所以利用均值不等
式即可求解；
（2）因为y = x
2+8
x -1 =(x -1)+
9
x -1 +2，所以利用均值不等式即可求解.
【详解】解：（1）因为y = x
2+3 x + 4
2 x
=- 1
2[(- x)+(- 4
x)]+ 3
2，又x<0，
所以(- x)+(- 4
x)≥2❑√
(- x)×(- 4
x)= 4，
所以y ≤- 1
2 ×4+ 3
2 =- 1
2，当且仅当- x =- 4
x ，即x =-2∣时取等号，
故y 的最大值为- 1
2；
（2）由题意，y = (x -1)
2+2(x -1)+9
x -1
=(x -1)+
9
x -1 +2，
因为x>1，所以x -1>0，
所以y ≥2❑√
(x -1)×
9
x -1 +2=6+2=8，当且仅当x -1=
9
x -1，即x = 4时等号成
立，
故y 的最小值为8.
9．（1）已知x>-1，求函数y = x
2+7 x +10
x +1
的值域；
（2）已知x>0，y >0，且2 x +8 y - xy =0，求：x + y的最小值．
【答案】（1）[9,+ ∞)；（2）18．
【分析】（1）设t = x +1，得到t >0，且x =t -1，化简
y = x
2+7 x +10
x +1
=t + 4
t +5，结合基本不等式（对勾函数法），即可求解；
（2）由2 x +8 y - xy =0，得到8
x + 2
y =1，化简
x + y =(
8
x + 2
y)(x + y)=10+ 2 x
y + 8 y
x ，结合基本不等式（“1”的妙用），即可求解.
【详解】（1）设t = x +1，因为x>-1，可得t >0，且x =t -1，
故y = x
2+7 x +10
x +1
= (t -1)
2+7(t -1)+10
t
=t + 4
t +5，
因为t + 4
t ≥4，可得t + 4
t +5≥9，当且仅当t =2时，即x =1时，等号成立．
所以函数y = x
2+7 x +10
x +1
( x>-1)的值域为[9,+∞)．
（2）由2 x +8 y - xy =0，可得2 x +8 y = xy，即8
x + 2
y =1，
则x + y =(
8
x + 2
y)(x + y) =10+ 2 x
y + 8 y
x ≥10+2⋅❑√
2 x
y ⋅8 y
x =18．
当且仅当2 x
y = 8 y
x ，即x =12且y =6时，等号成立，
所以x + y的最小值为18．
10．设x<-1，求y = ( x +5)( x +2)
x +1
的最大值.
【答案】1
【解析】y = ( x +5)( x +2)
x +1
= x
2+7 x +10
x +1
= ( x +1)
2+5( x +1)+ 4
x +1
= x +1+
4
x +1 +5，
然后利用基本不等式求解.
【详解】∵x<-1，∴x +1<0∴-( x +1)>0
所以y = ( x +5)( x +2)
x +1
= x
2+7 x +10
x +1
= ( x +1)
2+5( x +1)+ 4
x +1
= x +1+
4
x +1 +5
=-[-( x +1)+
4
-( x +1) ]+5≤-2❑√4 +5=1
当且仅当( x +1)
2= 4，即x =-3时等号成立
所以y = ( x +5)( x +2)
x +1
的最大值为1
【点睛】运用基本不等式求解问题时应满足“一正二定三相等”.
