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2.1 函数及其表示（精练题组版）
题组一 具体函数的定义域
1.（2024·山东·一模）函数
的定义域是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】要使函数有意义，则
，即
，
所以
或
，解得
或
，
所以函数的定义域为
.
故选：D.
2．（2025 浙江丽水）函数
的定义域是（ ）
A．
B．
C．
且
D．
且
【答案】D
【解析】由题可知
，解得
且
.故选：D
3．（2024 河南）函数
的定义域为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】要使
有意义，需满足
，解得
且
．所以定义域为
.
故选：B．
4.（2025 湖北）
的定义域为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】（1）要使函数
有意义，必须满足
，解得
，
函数
的定义域为
.故选；B.
5.（2025 湖北）函数
的定义域为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】函数
的意义，则
，即
，解得
，
所以函数
的定义域为
.故选：B
题组二 抽象函数定义域
1.（2025 江苏）已知函数
的定义域为
，则函数
的定义域为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】因为函数
的定义域为
，所以，
，即
，解得
，
所以，函数
的定义域为
故选：C
2.（2025 江西）已知函数y=f(x+1)的定义域是[-2，3]，则y=f(x)的定义域是（ ）
A．[0，5]
B．[-1，4]
C．[-3，2]
D．[-2，3]
【答案】B
【解析】函数
∵
y=f(x+1)的定义域是[-2，3]，∴-2≤x≤3，∴-1≤x+1≤4，∴函数y=f(x)的定义域是[-1，4].
故选：B
3.（2025 黑龙江）已知函数
的定义域是
，则
的定义域是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】因为函数
的定义域是
，所以
，所以
所以函数
的定义域为
，要使
有意义，则需要
，解得
，
所以
的定义域是
.故选：D.
4．（2025 高三·全国·专题练习）已知函数
的定义域为
，则函数
的定义域为
．
【答案】
【解析】因为
的定义域为
，则
，即
，所以
的定义域为
，
又
，所以函数
的定义域为
.故答案为：
5.（2024·吉林延边·模拟预测）已知函数
的定义域是
，则
的定义域是
【答案】
【解析】由函数
的定义域是
，得
，则
，由
，解得
，
所以
的定义域是
.故答案为：
6.（24-25 高三上·湖南邵阳·阶段练习）已知函数
的定义域是
，则函数
的定
义域为 ．
【答案】
.
【解析】因为函数
的定义域是
，所以
，故
，
因为
有意义，所以
，所以
，所以函数
的定义域为
.
故答案为：
.
7.（23-24 新疆·期中）已知函数
的定义域是
，则函数
的定义域是 .
【答案】
【解析】由题意知：
，解得：
，
的定义域为
.
故答案为：
.
8.（2025 上海）已知函数
的定义域是
，则函数
的定义域是 .
【答案】
【解析】因为函数
的定义域是
，即
，所以
，所以
，即
，即
，所以
，即函数
的定义域为
故答案为：
题组三 已知定义域求参数
1.（2026 高三·全国·专题练习）已知函数
的定义域是
，则实数
的取值范围是 ．
【答案】
【解析】由题意得
对任意实数
都成立，
当
时，
，符合题意；
当
时，满足
，解得
；
综上所述，实数
的取值范围为
．
故答案为：
．
2．（24-25 云南红河·阶段练习）函数
的定义域为
，则实数
的取值范围是 ．
【答案】
【解析】因为函数
的定义域为
，
所以不等式
对于
恒成立，
当
时，不等式为
，恒成立，符合题意；
当
时，有
，解得
.
综上所述，实数
的取值范围是
.
故答案为：
.
3．（24-25 安徽）若函数
的定义域是R，实数a 的取值范围是 ．
【答案】
【解析】因为
的定义域为
，所以不等式
恒成立.
当
时，不等式为
，显然恒成立；
当
时，有
，
即
，解得
，
所以
的取值范围为
，
故答案为：
.
4（24-25 云南）若函数
的定义域为R，则实数a 的取值范围为
【答案】
【解析】因为函数
的定义域为
，
所以
的解为
，即
的图象与
轴没有交点，
当
时，函数
的图象与
轴没有交点，故
符合题意；
当
时，要使
的图象与
轴没有交点，
则
，解得
，
综上所述：实数
的取值范围
.
故答案为：
5.（24-25 河南）函数
的定义域为
，则实数
的取值范围是 .
【答案】
【解析】函数
∵
)的定义域为
，
∴对任意
，
恒成立，
当
时，有
，符合题意；
当
时，需满足
，解得
，
综上所述，
的取值范围是
．
故答案为：
．
题组四 函数的解析式
1．（2025 高三·全国·专题练习）已知函数
，则
【答案】
【解析】利用换元法令
求解析式即可．令
，则
，且
，则
，
可得
，所以
.
2．（2026 高三·全国·专题练习）若函数
满足
，则
．
【答案】
【解析】由
，可得
，联立两式消去
，可得
．
故答案为：
.
3.（24-25 高三上·辽宁·期末）已知函数
满足
，则
.
【答案】
【解析】由
，①
将
替换成
，可得：
，②
再将
中
①
替换成：
，可得：
，③
相减可得：
①②
，④
相加可得：
③④
，
所以
，
故答案为：
4．（24-25 上海浦东新·阶段练习）已知函数
满足
，则
的解析式为 .
【答案】
【解析】令
.即
，
故答案为：
．
5.（2024 山东淄博·）求下列函数的解析式
（1）
是一次函数，且满足
，求
的解析式;
（2）已知函数
，求函数
的解析式．
（3）已知
，求
的解析式．
（4）已知f(x＋
)＝x2＋
，则函数f(x)的解析式
（5）已知f(x)是(0，＋∞)上的增函数，若f[f(x)－ln x]＝1，则f(x)的解析式
【答案】（1）
；（2）
；（3）
，
（6）x2－2(|x|≥2)
（5）f(x)＝ln x＋1
【解析】（1）由已知
是一次函数，设函数
，
，
则
，即
，
即
，解得
，所以
；
（2）由
，则
；
（3）由已知
，
①
，则
，
②
所以①
得
②
，
，所以
，
.
（6）f(x＋
)＝x2＋
＝(x2＋2＋
)－2＝(x＋
)2－2，所以f(x)＝x2－2(|x|≥2).
(5)根据题意，f(x)是(0，＋∞)上的增函数，且f[f(x)－ln x]＝1，则f(x)－ln x 为定值．
设f(x)－ln x＝t，t 为常数，则f(x)＝ln x＋t 且f(t)＝1，即有ln t＋t＝1，解得t＝1，则f(x)＝ln x＋
1，
题组五 相等函数的判断
1．（2025 高三·全国·专题练习）（多选）下列每组中的函数不是同一个函数的是（ ）
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
【答案】ACD
【解析】对于A，函数
的定义域为R，函数
的定义域为
，所以这两个函数不是同一个函数；
对于B，因为
，且
，
的定义域均为R，所以这两个函数是同一个函数；
对于C，
，
和
的对应关系不同，所以这两个函数不是同一个函数；
对于D，函数
的定义域为{
，且
}，函数
的定义域为R，所以这两个函数不是同一个函数．
故选：ACD．
2.（24-25 高三上·江西南昌·阶段练习）（多选）下列四组函数中，表示同一函数的是（ ）
A．
与
B．
与
C．
与
D．
与
【答案】AB
【解析】对于A，
与
的对应法则、定义域都相同，因此
与
为同一函数，故A 正确；
对于B，
与
的对应法则、定义域都相同，因此
与
为同一函数，
故B 正确；
对于C，
与
的对应法则不同，因此
与
不是同一函数，故C
错误；
对于D，
与
的对应法则不同，因此
与
不是同一函数，故D 错误.
故选：AB.
3．（24-25 贵州·阶段练习）（多选）下列各组函数中，表示同一函数的是（ ）
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
【答案】BC
【解析】A：对于
，定义域为
，对于
，定义域为
，不
是同一函数；
B：根据解析式
对应法则和定义域都相同，是同一函数；
C：由
，显然与
的对应法则、定义域都相同，是同一函数；
D：由
的定义域为
，而
的定义域为R，不是同一函数.
故选：BC
4．（24-25 江苏苏州·阶段练习）（多选）下列函数相等的是（ ）
A．函数
与函数
B．函数
与函数
C．函数
与函数
D．函数
与函数
【答案】AB
【解析】因为函数
，定义域为
，
所以函数
与函数
是同一个函数，故A 正确；
因为函数
，定义域为
，
所以函数
与函数
是同一个函数，故B 正确；
因为函数
，定义域为
，
而函数
的定义域为
，这两个函数因为定义域不同，
所以函数
与函数
不是同一个函数，故C 错误；
因为函数
，定义域为
，
而函数
的定义域为
或
，这两个函数因为定义域不同，
所以函数
与函数
不是同一个函数，故D 错误；
故选：AB.
5.（24-25 福建）（多选）下列各组函数表示同一函数的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BD
【解析】A.
，对应关系不一致，不是同一函数.
B.
，定义域相同，对应关系一致，是同一函数.
C.
定义域为
，
定义域为
，定义域不同，不是同一函数.
D.
定义域为
，可化为
，
定义域为
，可化为
，是同一函数.
故选：BD.
题组六 分段函数
1.（24-25 海南）已知函数
，则
的值为
【答案】
【解析】函数
，则
.
2.（2026 高三·全国·专题练习）已知函数
，则
．
【答案】
/
【解析】因为
，所以
．故答案为：
3.（24-25 安徽）已知
，则
．
【答案】
【解析】因为
.
.即
.故答案为：
4.（2026 高三·全国·专题练习）已知函数
若
，则
．
【答案】
或
【解析】若
，则
，当且仅当
时，等号成立；
若
，则
，当且仅当
时，等号成立；
令
，则
，可得
或
．
当
时，即
，显然
，因此
；
当
时，即
，显然
，因此
，
综上所述：
或
．
故答案为：
或
.
题组七 函数的值域
1．（2025·重庆·模拟预测）函数
的值域为
【答案】
【解析】函数
的定义域为
，又
与
在
上均单调递增，所以
在
上单调递增，
，故
的值域为
.
2.（2025·安徽·一模）函数
的值域为 .
【答案】
【解析】因为
与
在
上均为减函数，且当
时，
，所以
，故
的值域为
.故答案为：
3（24-25 高三下·广东梅州·阶段练习）函数
在
的值域为
【答案】
【解析】令
，则
，则
，
令
，
，则
，
所以
，
，
由二次函数的性质可得当
，取得最大值
，又
，所以
.
4.（2025 高三·全国·专题练习）函数
的值域为 ．
【答案】
【解析】由题意可得
，解得
，即函数定义域为
，
则
，
当
时，
取最小值0，故
取到最大值4，
则函数
的最大值为2；
当
时，
取最大值1，故
取到最小值2，
则函数
的最小值为
；
故答案为：
.
5.（2024 高三·全国·专题练习）求函数
，
的值域．
【答案】
【解析】
，
令
，则
．
由对勾函数的单调性知，函数
在
上单调递减，在
上单调递增，
又
，
，
，所以
故
的值域为
．
6.（2024 高三·全国·专题练习）求函数
的最大值 最小值 .
【答案】最大值为，最小值为
【解析】因为
恒成立，所以原函数定义域为
，
由
，得
，
当
时，
，符合题意；
当
时，由
，得
恒有实数根，
因此
，解得
且
，
∴函数
的最大值为，最小值为.
7.（2024 湖南衡阳）求下列函数的值域．
(1)
，
；(2)
，
；(3)
，
.(4)
（5）
(6)
(7)
（8）
（9）y＝，x∈
（10）
，
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
（5）
(6)
(7)
（8）1（9）≤y≤.
（10）
【解析】（1）
，
，
在区间
上单调递增，所以值域为
.
（2）因为
，函数的定义域为
,
所以
在
上单调递增，在
上单调递减，
，又因为
，
，所以
.所以
的值域为
.
（3）
，令
，则
，
在
上单调递减，所以
，所以
，
的值域为
.
（4）
的定义域是
，
，由于
，所以
，
所以值域为
.
（5）
，因为
，
所以原函数的值域为
.
（6）因为
，则
，可得
，
当且仅当
，即
时，等号成立，所以函数的值域为
.
（7）令
，则
，可得
，
当
时，等号成立，所以函数的值域为
.
（8）因为
；易得：当且仅当
时取最大值1.故答案为1
（9）函数y＝的值域可看作由点A(x，sinx)，B(1，－1)两点决定的斜率，B(1，－1)是定点，A(x，sinx)在
曲线y＝sinx，x∈上，如图，∴kBP≤y≤kBQ，即≤y≤.
（10）
；
时，
；
时，
；
时，
取最大值
；又
；
的值域为
．
题组八 已知值域求参数
1．（2025 重庆）已知函数
的定义域
，值域
，则
（ ）．
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】∵
，由题意可得
，解得
，
可得
，故
.故选：B.
2．（23-24 河北保定·阶段练习）（多选）已知函数
在
上的值域为
，则实数
的值可
以是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】BCD
【解析】
，当
时，
单调递减，当
时，
单调递增，
故当
时，
取得最小值
，
又
，故要想
在
上的值域为
，则要
，
故实数
的值可以是
.故选：BCD
3.（2025 湖北）（多选）若函数
的定义域为
，值域为
，则
的值可能为（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5
【答案】ABC
【解析】
，故
在
上单调递减，在
上单调递增，
且
，
，
因为值域为
，故
，
所以
的值可能是2,3,4.
故选：ABC
4（23-24 高三上·江苏南通·开学考试）已知函数
，
的值域是
，则实数
的取值范
围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】画出函数
的图象，如下图所示：
易知
，
；
若
时的值域是
，由图可知
.
故选：C
5.（24-25 高三上·甘肃酒泉·期末）已知函数
的值域为
，
，则实数
的取
值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】当
时，
在
上单调递减，
此时
；
当
时，
．
若
①
，则
在
上单调递增，此时
，
又函数
的值域
，不合题意；
若
②
，则
，当且仅当
时，等号成立，
又函数
的值域
，则
，
解得
．综上所述：
．
故选：C.
6．（2025·江西）已知函数
，
，若对任意的
，存在
，使
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】函数
，
当
时，
，则
，则
，
函数
在
的值域记为
，
对任意的
，存在
，使
，则
，
当
①
时，
，则
，则
；
当
②
时，因为
，则
，则
，
所以，
，解得
；
当
③
时，因为
，则
，即
，
所以，
，解得
.
综上所述，实数
的取值范围是
.
故选：B.
7.（2025 高三·全国·专题练习）已知函数
的值域是
，则
，
．
【答案】
3
【解析】将函数变形为
．
当
时，这个关于x 的方程有解，
则
，即
．
由题设知
，
是方程
的两个根，
根据韦达定理，得
，
，
解得
，
．
当
时，
，
也满足题意．
故答案为：
8.（24-25 高三上·福建·阶段练习）函数
的值域为R，则实数a 的取值范围是 ．
【答案】
【解析】当
时，符合题意；当
时，需
，解得
．
综上可得
．故答案为：
.
9．（2025·上海）已知函数
的值域为
，则实数
的取值范围为 ．
【答案】
【解析】当
时，
，此时
，
当
且
时，
，
此时
，且
，所以不满足；
当
且
时，
，
由对勾函数单调性可知
在
上单调递增，在
上单调递减，
所以
，此时
，
若要满足
的值域为
，只需要
，解得
；
当
且
时，因为
均在
上单调递增，
所以
在
上单调递增，且
时，
，
时，
，
所以此时
，此时显然能满足
的值域为
；
综上可知，
的取值范围是
，
故答案为：
.
10（23-24 江苏·假期作业）已知函数y＝
的定义域为（－∞,＋∞），值域为[1，9]，则m 的值为
，n 的值为 ．
【答案】 5 5
【解析】由
,得
,
由
，得若
，则
,
即
,
由
知，关于y 的一元二次方程
的两根为1 和9,
故有
，解得
.
当
时,
也符合题意,
∴
.
故答案为：5；5.
