文档文本内容
2.8 函数的图象
目录
03 课标要求...........................................................................................................................................2
02 落实主干知识...................................................................................................................................3
一、函数图像问题................................................................................................................................3
常用二级结论........................................................................................................................................4
03 探究核心题型...................................................................................................................................5
题型一：作函数的图象........................................................................................................................5
题型二：函数图象的识别....................................................................................................................6
题型三：利用图象研究函数的性质....................................................................................................9
题型四：利用图象解不等式..............................................................................................................10
题型五：利用图象求参数的取值范围..............................................................................................11
题型六：根据实际问题作函数图像..................................................................................................12
题型七：对函数图像进行变换..........................................................................................................14
题型八：根据函数图像选择解析式..................................................................................................16
04 好题赏析（一题多解）.................................................................................................................19
05 数学思想方法.................................................................................................................................20
①数形结合..........................................................................................................................................20
②转化与化归......................................................................................................................................21
③分类讨论..........................................................................................................................................21
06 课时精练（真题、模拟题）.........................................................................................................23
基础过关篇..........................................................................................................................................23
能力拓展篇..........................................................................................................................................28
1、在实际情境中,会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数.
2、会画简单的函数图象.
3、会运用函数图象研究函数的性质,解决方程解的个数与不等式解的问题.
一、函数图像问题
1、利用描点法作函数图象的步骤：列表、描点、连线.
2、利用图象变换法作函数的图象
平移变换：①
；
注意：
；
②
；
翻折变换：③
；④
（偶函数）；
伸缩变换：⑤
；⑥
.
对称变换：①
关于直线
（即
轴）对称
②
关于直线
（即
轴）对称：
③
关于原点对称
④
关于直线
对称
⑤
关于直线
对称
⑥
关于点
对称
常用二级结论
1、对称变换的对称是指两个函数的图象特征,而与奇偶性有关的对称,是指一个函数图象自身的特征.
2、反比例型函数：
对称中心为点
.该函数定
义域为
，值域为
，
，
.
3、对勾函数：
4、某些含根式的函数的图象可以通过对解析式变形，变形为曲线方程来判断.
5、
在区间
上的图形是（向上）凹的
（即切线的斜率递增）.
在区间
上的图形是（向上）凸的
（即切线的斜率递减）.
题型一：作函数的图象
【例1】作出下列各函数的图象．
(1)
；
(2)
；
(3)
．
【解题总结】
函数图象的常见画法及注意事项
(1)直接法：对于熟悉的基本函数,根据函数的特征描出图象的关键点,直接作图.
(2)转化法：含有绝对值符号的,去掉绝对值符号,转化为分段函数来画.
(3)图象变换法：若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、伸缩、翻折、对称得到,
则可利用图象变换作图.
(4)画函数的图象一定要注意定义域.
【变式1-1】分别作出下列函数的图象．
(1)
；
(2)
；
(3)
．
【变式1-2】已知函数
(1)判断函数
的单调性，并求出
的极值；
(2)画出函数
的大致图像并求出方程
的解的个数．
【变式1-3】（2025·甘肃兰州·一模）已知函数
.
（1）当
时，画出函数
的图象：
（2）当
时，
恒成立，求
的范围.
题型二：函数图象的识别
【例2】（2025·江西·三模）函数
的部分图象大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
【解题总结】
识别函数的图象的主要方法
(1)利用函数的性质,如奇偶性、单调性、定义域等判断.
(2)利用函数的零点、极值点等判断.
(3)利用特殊函数值判断.
【变式2-1】（2025·辽宁·模拟预测）下面可以作为函数
图像的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2-2】（2025·陕西安康·模拟预测）函数
的图象大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2-3】（2025·广西河池·二模）已知函数
，则以下最不可能是其图像的是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2-4】（2025·山西朔州·模拟预测）函数
的大致图象是（ ）
A．
B．
C．
D．
题型三：利用图象研究函数的性质
【例3】（多选题）（2025·湖南郴州·三模）已知函数
，则下列结论正确的是（ ）
A．
是奇函数
B．
是增函数
C．不等式
的解集为
D．若函数
恰有两个零点，则
的取值范围为
【解题总结】
利用函数图像求函数最值时，需先绘制出相关函数图像。依据题目对函数提出的条件与
要求，在图像上精准定位取得最值的位置，进而通过计算得出答案。这一过程巧妙地将抽象
的数学问题转化为直观的图形分析，充分体现了数形结合的数学思想。
【变式3-1】（多选题）如图放置的边长为1 的正方形
沿
轴滚动．设顶点
的纵坐标与横坐
标的函数关系式是
，则下列说法正确的有（ ）
A．
是周期函数，且最小正周期为4
B．
的最大值为
C．
时，
的图象与
轴围成的封闭图形的面积为
D．
时，点
经过的路程为
【变式3-2】（多选题）（2025·湖北武汉·一模）已知函数
，若函数
为偶函数，则下列说法一定正确的是（ ）
A．
的图象关于直线
对称
B．
C．
D．
【变式3-3】（多选题）下列说法中，正确的是（ ）
A．若对任意
，则
在I 上单调递增
B．函数
的递减区间是
C．函数
的单调递增区间为
D．
在R 上是增函数
【变式3-4】（多选题）（2025·重庆·模拟预测）已知定义在
上的函数
满足
，
，且当
时，
，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
在
上单调递增
C．函数
的零点从小到大依次记为
，若
，则
的取值范围为
D．若函数
在
上恰有4 个零点，则
的取值范围为
题型四：利用图象解不等式
【例4】（2025·河南·三模）若
是定义在
上的奇函数，当
时，
，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【解题总结】
当不等式问题不能用代数法求解或用代数法求解比较困难,但其对应函数的图象可作出时,
常将不等式问题转化为图象的位置关系问题,从而利用数形结合思想求解.
【变式4-1】（2025·高三·山西晋城·期末）已知
为定义在
上的奇函数，
，当
时，
单调递减，当
时，
单调递增，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式4-2】已知函数
满足：
，当
时，
，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式4-3】（2025·河南商丘·三模）已知定义在
上的奇函数
在
上的图象如图所示，则不等
式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
题型五：利用图象求参数的取值范围
【例5】（2025·贵州毕节·二模）已知函数
若方程
有3 个互不相等的实数
根
，
，
，则
的范围为 ．
【解题总结】
首先绘制出函数的图像，细致观察参数变化时函数形态与位置关系的动态演变。通过深
入分析，精准定位参数的临界状态，以此为关键节点，进一步推导并确定参数的合理取值范
围，为后续研究或应用提供明确依据。
【变式5-1】（2025·吉林长春·一模）已知函数
满足
，且当
时
.若在区间
内，函数
有两个不同零点，则
的范围为 ．
【变式5-2】（2025·辽宁·三模）已知函数
，关于x 的不等式
只有1 个整数解，
则实数a 的取值范围是 ．
【变式5-3】（2025·河南·模拟预测）已知函数
存在
，使得
，则
的取值范围是 .
【变式5-4】（2025·云南曲靖·一模）已知
，函数
，若
，
使得关于
的不等式
成立，则实数的取值范围是 ．
题型六：根据实际问题作函数图像
【例6】（2025·海南省直辖县级单位·三模）小李在如图所示的跑道（其中左、右两边分别是两个半圆）上
匀速跑步，他从点
处出发，沿箭头方向经过点
、
、
返回到点
，共用时
秒，他的同桌小陈在固
定点
位置观察小李跑步的过程，设小李跑步的时间为（单位：秒），他与同桌小陈间的距离为
（单
位：米），若
，则
的图象大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
【解题总结】
1、依据定义域与值域确定图像位置；
2、借助奇偶性判定图像对称特性；
3、利用周期性明晰图像循环规律；
4、通过单调性把握图像变化走向；
5、凭借特殊点排除选项错误可能。
【变式6-1】直角梯形
如图，直线
左边截得面积
的图象大致是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式6-2】青花瓷，又称白地青花瓷，常简称青花，是中国瓷器的主流品种之一.如图，这是景德镇青花
瓷，现往该青花瓷中匀速注水，则水的高度
与时间
的函数图像大致是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式6-3】如图，正△ABC 的边长为2，点D 为边AB 的中点，点P 沿着边AC，CB 运动到点B，记
∠ADP＝x．函数f（x）＝|PB|2
|
﹣PA|2，则y＝f（x）的图象大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
题型七：对函数图像进行变换
【例7】（2025·安徽·三模）已知函数
，
，若下图是函数
图象的一部分，则
可能等于（ ）
A．
B．
C．
D．
【解题总结】
（1）平移变换；（2）对称变换；（3）伸缩变换.
【变式7-1】若函数
的图象如图1 所示，则如图2 对应的函数可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式7-2】已知函数
的图象如图所示，则函数
的图象为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式7-3】若把函数
的图象平移，可以使图象上的点
变换成点
，则函数
的图象经此平移变换后所得的图象大致形状为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式7-4】（2025·四川成都·一模）函数
的图象经过变换
后得到函数
的图
象，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式7-5】若函数
是奇函数，则下列各点一定是函数
图象对称中心的是（ ）
A．
B．
C．
D．
题型八：根据函数图像选择解析式
【例8】（2025·辽宁·模拟预测）已知函数
的部分图象如图所示，则
的解析式可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【解题总结】
1、依据定义域与值域确定图像位置；
2、借助奇偶性判定图像对称特性；
3、利用周期性明晰图像循环规律；
4、通过单调性把握图像变化走向；
5、凭借特殊点排除选项错误可能。
【变式8-1】（2025·河南·模拟预测）已知函数
的部分图象如下，则
的解析式可能为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式8-2】（2025·四川南充·三模）函数
的图象如图所示，则
的解析式可能为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式8-3】我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂
分家万事休．”在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来研究
函数图象的特征．我们从这个商标
中抽象出一个图象如图，其对应的函数可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式8-4】已知函数
的图象如图所示，则函数
的解析式可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
1．函数
的图象大致为
A．
B．
C．
D．
2．已知函数
的图象如图所示，则函数
的图象为
A．
B．
C．
D．
①数形结合
1．某条公共汽车线路收支差额y 与乘客量x 的函数关系如下图所示收支差额=车票收入-支出费用，由于
目前本条线路亏损，公司有关人员提出了两条建议：建议
不改变车票价格，减少支出费用；建议
不
改变支出费用，提高车票价格．下面给出的四个图形中，实线和虚线分别表示目前和建议后的函数关系，
则
A．①反映建议
，③反映建议
B．①反映建议
，③反映建议
C．②反映建议
，④反映建议
D．④反映建议
，②反映建议
2．已知函数
，
，则图象为如图的函数可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．在同一直角坐标系中，函数
且
的图象可能是
A．
B．
C．
D．
②转化与化归
4 ．已知函数
在
上只有一个零点，则正实数
的取值范围为
（ ）
A．
B．
C．
D．
5．设
，若
时均有
，则
．
6．如图所示，函数
的图象由两条射线和三条线段组成．若
，
，则正实
数
的取值范围是
．
③分类讨论
7．已知
，则不等式
的解集为
．
8 ．已知函数
，若
有
个零点，则实数
的取值范围
为
．
9．甲、乙、丙、丁四个物体同时从某一点出发向同一方向运动，它们的路程
关于时间
的函数解析式分别为
，
，
，
，有以下结论：
当
时，甲走在最前面；
当
时，乙走在最前面；
当
时，丁走在最前面，当
时，丁走在最后面；
如果它们一直运动下去，最终走在最前面的是甲．
其中正确结论的序号为
．
基础过关篇
1．（2025·山东枣庄·二模）将函数
的图象上所有点向左平移2 个单位长度后，再向下平移1 个
单位长度，得到函数
的图象，若
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．1
2．（2025·湖北十堰·模拟预测）若函数
，关于
的方程
的根的
个数为（ ）
A．7
B．8
C．9
D．10
3．（2025·天津·一模）已知函数
的部分图象如图所示，则
的解析式可能为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．已知
是
的极大值点，若直线
与曲线
至少有
一个交点，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（2025·山西忻州·模拟预测）函数
的大致图象是（ ）．
A．
B．
C．
D．
6．（2025·安徽淮北·二模）函数
的图像如图所示，则（ ）
A．
B．
C．
D．
7．如图为函数
在
上的大致图象，则
的解析式可能为（ ）
A．
B．
C．
D．
8．（2025·北京东城·二模）已知
下列选项中能使
既是奇函数又是增函数的是
（ ）
A．
B．
C．
D．
9．（2025·内蒙古呼和浩特·二模）如图，梯形
是上底为
，下底为
，高为
的等腰梯形，记
梯形
位于直线
左侧的阴影部分的面积为
，则
的大致图象是（ ）
A．
B．
C．
D．
10．（2025·甘肃金昌·二模）如图，这是函数
的部分图象，则
的解析式为（ ）
A．
B．
C．
D．
11．（2024·全国甲卷·高考真题）函数
在区间
的图象大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
12．（2023·天津·高考真题）已知函数
的部分图象如下图所示，则
的解析式可能为（ ）
A．
B．
C．
D．
13．（2022·天津·高考真题）函数
的图象大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
14．（2022·全国乙卷·高考真题）如图是下列四个函数中的某个函数在区间
的大致图像，则该函数是
（ ）
A．
B．
C．
D．
15．（2022·全国甲卷·高考真题）函数
在区间
的图象大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
16．（2025·天津·高考真题）已知函数
的图象如下，则
的解析式可能为（ ）
A．
B．
C．
D．
17．（多选题）（2025·广东广州·三模）函数
的图象被称为牛顿三叉戟曲线，以下
图象可能为函数
的图象的是（ ）
A．
B．
C．
D．
18．（多选题）已知函数
，
，
，则（ ）
A．
B．
是偶函数
C．
D．
19．（多选题）（2025·湖南娄底·模拟预测）下列函数，其图象平移后可得到函数
的图象的有
（ ）
A．
B．
C．
D．
20．将函数
的图象向下平移1 个单位长度，再向右平移1 个单位长度，得到函数
的图
象，则
．
21．（2025·河南·模拟预测）已知函数
，若函数
至少有2 个零点，
则实数m 的取值范围为 ．
22．已知函数
的定义域为
，值域为
，则下列函数的值域也为
的是 .
①
②
③
④
能力拓展篇
23．已知对任意的
，不等式
恒成立，则a，b 的可能取值为 .（写出一
组即可）
24．已知函数
．若方程
（其中
为实数）有3 个不
同解，则
的取值范围是 ．
25．（24-25 高一上·安徽蚌埠·期末）已知函数
，若
，
则
的取值范围是 .
26．（2023·北京·高考真题）设
，函数
，给出下列四个结论：
①
在区间
上单调递减；
②当
时，
存在最大值；
③设
，则
；
④设
．若
存在最小值，则a 的取值范围是
．
其中所有正确结论的序号是 ．
27．（多选题）（2025·山东济南·模拟预测）已知函数
的定义域为R，
，且当
时，
，则（ ）
A．
B．当
时，曲线
与x 轴围成的面积小于1
C．若函数
（
，且
）恰有6 个零点，则
D．若
，且
，则
的最大值为2
28．（多选题）函数
的图象如图所示，则（ ）
A．
B．
C．
D．
29．（多选题）下列可能是函数
（其中
）的图象的是（ ）
A．
B．
C．
D．
30．（多选题）（2025·山西·二模）若
，则函数
的函数图象可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
