专题2.5 偶函数与奇函数
2.5.1 偶函数与奇函数的概念与性质
知识点梳理
1.函数奇偶性的定义及图象特点
奇偶性
定义
图象特点
偶函数
如果对于函数f(x)的定义域内
任意一个x，都有f(-x)=f(x)，
那么函数f(x)就叫做偶函数
关于y 轴对称
奇函数
如果对于函数f(x)的定义域内
任意一个x ，都有f(-x)=-
f(x)，
那么函数f(x)就叫做奇函数
关于原点对称
判断f(-x)与f(x)的关系时，也可以使用如下结论：
（1）如果f(-x)-f(x)=0 或f(−x)
f(x)
=1(f(x)≠0)，则函数f(x)为偶函数；
（2）如果f(-x)+f(x)=0 或f(−x)
f(x)
=−1(f(x)≠0)，则函数f(x)为奇函数．
2.函数奇偶性的性质
（1）奇函数、偶函数的定义域关于原点对称.
（2）奇偶函数的图象特征：
函数f(x)是偶函数
函数f(x)的图象关于y 轴对称；
函数f(x)是奇函数
函数f(x)的图象关于原点中心对称.
（3）若奇函数f(x)在x=0 处有意义，则有f(0)=0；偶函数f(x)必满足f(x)=f(|x|).
（4）偶函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相反；奇函数在其定义域
内关于原点对称的两个区间上单调性相同.
（5）运算函数的奇偶性规律：对于运算函数有如下结论：
奇±奇=奇；偶±偶=偶；奇±偶=非奇非偶；奇×（÷）奇=偶；奇×（÷）偶=奇；
偶×（÷）偶=偶.
⑥复合函数f [g( x)]的奇偶性原来：内偶则偶，两奇为奇.
典型例题
例1.设f(x)是定义在R 上的奇函数，且对任意a，b∈R，当a＋b≠0 时，都有>0.
(1)若a>b，试比较f(a)与f(b)的大小关系；
(2)若f(1＋m)＋f(3－2m)≥0，求实数m 的取值范围．
解：(1)因为a>b，所以a－b>0，由题意得>0，所以f(a)＋f(－b)>0.
又f(x)是定义在R 上的奇函数，所以f(－b)＝－f(b)，所以f(a)－f(b)>0，即f(a)>f(b)．
(2)由(1)知f(x)为R 上的增函数，因为f(1＋m)＋f(3－2m)≥0，所以f(1＋m)≥－f(3－2m)，
即f(1＋m)≥f(2m－3)，所以1＋m≥2m－3，所以m≤4.所以实数m 的取值范围为(－∞，
4]．
例2.设函数f(x)=1−x
1+x
，则下列函数中为奇函数的是( )
A.f(x
1)
−
B.f(x
1)+1
−
C.f(x+1) 1
− D.f(x+1)+1
解：由题意可得f(x)=1−x
1+x = 1+
−
2
1+x
,
对于A,f(x
1) 1=
−
−2
x
2
−不是奇函数;
对于B,f(x
1)+1=
−
2
x
是奇函数;
对于C,f(x+1) 1=
−
2
x+2
2
−,定义域不关于原点对称, 不是奇函数;
对于D,f(x+1)+1=2
x+2
,定义域不关于原点对称,不是奇函数.故选:B.
例3.若f ( x)=( x−1)
2+ax +sin(x + π
2)
为偶函数,则a= .
解：因为y=f(x)=(x
1
−)
2+ax+sin(x+π
2 )=(x
1
−)
2+ax+cosx为偶函数，
定义域为
R
，
所
以
f(−π
2 )=f(
π
2 ),即
(−π
2
1
−)
2
+a(−π
2 )+cos(−π
2 )=(
π
2
1
−)
2
+a(
π
2 )+cosπ
2
,
则(
π
2
+1)
2
−(
π
2
1
−)
2
=2πa,故a =2.
此时f(x)=(x
1
−)
2+2x+cosx=x
2+1+cosx,
所以f(−x)=(−x)
2+1+cos(−x)=x
2+1+cosx=f(x),又定义域为R, 故f(x)为偶函
数, 所以a =2.
随堂演练
1.已知函数f(x)＝为奇函数，则a＝________；b＝________.
解：当x<0 时，－x>0，∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)．即ax2－bx＝－x2－x，
∴a＝－1，b＝1.
2.已知函数f(x)＝x7－ax5＋bx3＋cx＋2，若f(－3)＝－3，则f(3)＝________.
解：令g(x)＝x7－ax5＋bx3＋cx，则g(x)是奇函数，∴f(－3)＝g(－3)＋2＝－g(3)＋2，
又f(－3)＝－3，∴g(3)＝5.又f(3)＝g(3)＋2，∴f(3)＝5＋2＝7.
3.已知f(x)是定义在R 上的偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增．若f(－3)＝0，则<0 的
解集为________________．
解：∵f(x)是定义在R 上的偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增，
∴f(x)在区间(0，＋∞)上单调递减．
∴f(3)＝f(－3)＝0.
当x>0 时，由f(x)<0，解得x>3；
当x<0 时，由f(x)>0，解得－3<x<0.
故所求解集为{x|－3<x<0 或x>3}．
4.若定义在R上的函数f(x)满足:对任意x1,x2∈R有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)则下列说
法一定正确的是( )
A.f(x)为奇函数 B.f(x)为偶函数
C.f(x)+1为奇函数 D.f(x)+1为偶函数
解：令x1=x2=0, 则f(0)=f(0)+f(0)+1,∴f(0)= 1
−, 令x2=−x, x1=x, 则
f(x)+f(−x)=f(0)+1,
所以f(x)+1+f(−x)+1=0, 即f(x)+1= [
−f(−x)+1],f(x)+1为奇函数, 故选：C.
5.函数y=log22−x
2+x
的图像( )
A.关于原点对称 B.关于直线y=−x对称
C.关于y轴对称 D.关于直线y=x称
解：因为函数的定义域为( 2,2)
−
,又因为f(−x)=log22
(
−
−x)
2+(−x) =log22+x
2−x =−f(x)
所以函数f(x) 为奇函数, 所以关于原点对称.故选：A.
6.若f(x)=(x+a)ln2x
1
−
2x+1
为偶函数,则a =( )
A.
1
− B. 0 C. 1
2
D. 1
解：因为f(x)为偶函数,则f(1)=f( 1),∴(1+
−
a)ln3=( 1+
−
a)ln3,解得a =0,
当a =0时,f(x)=xln2x
1
−
2x+1 . (2x
1)(2
−
x+1)>0,
解得：x>1
2 或x<−1
2 ,则其定义域为{x|x>1
2 或x<−1
2),
关
于
原
点
对
称
.
f(−x)=(−x)ln2(−x) 1
−
2(−x)+1 =(−x)ln2x+1
2x
1
−
=(−x)ln(
2x
1
−
2x+1 )
1
−
=xln2x
1
−
2x+1 =f(x),
故此时f(x) 为偶函数. 故选: B.
7.设函数f(x)=cosx+ bsinx(b为常数),则“b=0”是“f(x)为偶函数”的( )
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
解：b=0时,f(x)=cosx+ bsin x=cosx,f(x)为偶函数;f(x)为偶函数时,
f(−x)=f(x)对任意的x恒成立,f(−x)=cos(−x)+ bsin(−x)=cosx−bsin x.
f(−x)=f(x) cos
⇒
x−bsin x=cosx+ bsin x,
得2bsin x=0对任意的x恒成立,从而b=0.
“
所以b=0”
“
是f(x)
”
为偶函数的充分必要条件,故选：C.
8.若函数f(x)=xln(x+
❑√a+x
2)为偶函数,则a = .
解：由函数f(x)=xln(x+
❑√a+x
2)为偶函数⇒函数,
g(x)=ln(x+
❑√a+x
2)为奇函数,g(0)=ln(0+ ❑√a)=0 ln
⇒
❑√a =0⇒a =1.
9.若函数f(x)=loga(x+
❑√x
2+2a
2)为奇函数,则a = .
解：∵
函数f(x)=loga(x+
❑√x
2+2a
2) 为奇函数,∴f(x)+f(−x)=0.
loga(x+
❑√x
2+2a
2)+loga(−x+
❑√x
2+2a
2)=0.
loga[(x+
❑√x
2+2a
2) (−
⋅
x+
❑√x
2+2a
2)]=0.
loga[(
❑√x
2+2a
2)
2−x
2]=0.
loga(x
2+2a
2−x
2)=0.
loga(2a
2)=0.
∴2a
2=1,
即a
2=1
2
, 解得: a =±
❑√2
2
.
又a 对数式的底数,
则a>0, ∴a =
❑√2
2
.
10.设函数f(x)=e
x+ae
−x(a为常数).若f(x)为奇函数,则a = ;若f(x)是R上的增
函数, 则a的取值范围是 .
解：
若函数f(x)=e
x+ae
−x 为奇函数, 则f(−x)=e
−x+ae
(
−
−x)=e
−x+ae
x,
f(−x)=−f(x)= (
−e
x+ae
−x)=−e
x−ae
−x,
∴e
−x+ae
x=−e
x−ae
−x,
(a+1)e
x+(a+1)e
−x=0,
(a+1)(e
x+e
−x)=0,
对任意的x 恒成立.
∵e
x+e
−x>0,∴a+1=0,
解得a = 1
−.
若函数f(x)=e
x+ae
−x
是R 上的增函数, 则
f
′(x)=e
x−ae
−x≥0 恒成立, a≤e
2x.
即实数a
的取值范围是( ∞,0]
−
.
11.已知函数f(x)=x
3(a⋅2
−x−2
x)是偶函数,则a = .
解
：
因
为
f(x)=x
3(a⋅2
x−2
−x),
故
f(−x)=(−x)
3(a⋅2
−x−2
(
−
−x))=−x
3(a⋅2
−x−2
x)，
因为f(x)为偶函数,故f(−x)=f(x),x
3(a⋅2
x−2
−x)=−x
3(a⋅2
−x−2
x).
整理得到(a
1)(
−
2
x+2
−x)=0.故a =1.故答案为: 1.
12. 设函数f(x)在( ∞,+∞)
−
内有定义, 下列函数:①y= |
−f(x)|;②y=xf(x
2);③
y=−f(−x);④y=f(x)−f(−x)中必为奇函数的有 . (填选所有正确答案的
序号)
解：对于①,y= |
−f(x)|中|
−f(−x)|与|f(x)|不一定相等，所以①不是奇函数；
对于②, y=xf(x
2)可以看成两个函数的乘积，其中y=x是奇函数，y=f(x
2)是偶函数，
故②是奇函数；
对于③, y=−f(−x)的奇偶性不能确定，故③不是奇函数；
对
于
④
,
令
F(x)=y=f(x)−f(−x),
因
为
F(−x)=f(−x)−f(
(
−
−x))=f(−x)−f(x)= (
−f(x)−f(−x))=−F(x), 故④
为奇函数；故答案为：②④.
2.5.2 偶函数、奇函数组合函数
知识点梳理
运算函数的奇偶性规律：对于运算函数有如下结论：
（1）奇±奇=奇；偶±偶=偶；奇±偶=非奇非偶.
（2）奇×（÷）奇=偶；奇×（÷）偶=奇；偶×（÷）奇=奇；偶×（÷）偶=偶.
典型例题
例1.(多选)设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论
中不正确的是( )
A．f(x)g(x)是偶函数 B．|f(x)|g(x)是奇函数
C．f(x)|g(x)|是奇函数 D．|f(x)g(x)|是奇函数
解：∵f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，∴|f(x)|为偶函数，|g(x)|为偶函数．再根据两个奇函数的
积是偶函数、两个偶函数的积还是偶函数、一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数，可得
f(x)|g(x)|为奇函数．故选：ABD.
随堂演练
1.已知函数f（x）＝x2+1
4
，g（x）＝sinx，则图象为如图的函数可能是（ ）
A．y＝f（x）+g（x）−1
4
B．y＝f（x）﹣g（x）−1
4
C．y＝f（x）g（x）
D．y＝g(x)
f(x)
解：由图可知，图象关于原点对称，则所求函数为奇函数，因为f（x）＝x2+1
4
为偶函
数，g（x）＝sinx 为奇函数，函数y＝f（x）+g（x）−1
4
＝x2+sinx 为非奇非偶函数，故
选项A 错误；函数y＝f（x）﹣g（x）−1
4
＝x2﹣sinx 为非奇非偶函数，故选项B 错误；
函数y＝f（x）g（x）＝（x2+1
4
）sinx，则y'＝2xsinx+（x2+1
4
）cosx＞0 对x∈(0,π
4
)恒成
立，则函数y＝f（x）g（x）在(0,π
4
)上单调递增，故选项C 错误．故选：D.
2.已知定义在R上的三个函数,其中f(x)为偶函数,g(x),h(x)是奇函数,且f(x)在
[0,+∞)上单调递增,g(x)在R,f(x)⋅g(x),h(x)上单调递增,h(x)在R上单调递减,
则（ ）
A.f(x)⋅g(x)是奇函数,且在( ∞,
−
0)上单调递增
B.f(x)⋅g(x)是偶函数,且在( ∞,
−
0)上单调递减
C.g(x)⋅h(x)是奇函数,且在( ∞,
−
0)上单调递减
D.g(x)⋅h(x) 是偶函数,且在( ∞,
−
0)上单调递增
解：令M(x)=f(x)⋅g(x), N(x)=g(x)⋅h(x),因为f(x)为偶函数,g(x),h(x)
是奇函数,
所以M(−x)=f(−x)⋅g(−x)=f(x)[−g(x)]=−f(x)g(x)=−M(x),
即
M(x)=f(x)⋅g(x)是
奇
函
数
,
N(−x)=g(−x)⋅h(−x)=[−g(x)]⋅[−h(x)]=g(x)h(x)= N (x),
即N(x)=g(x)⋅h(x)是偶函数,
因为g(x),h(x)是奇函数,g(x)在R上单调递增, h(x)在R上单调递减,
所以当x∈( ∞,
−
0)时, g(x)单调递增, h(x)单调递减,且g(x)<0,h(x)>0,
任取x1,x2∈( ∞,
−
0),设x1<x2,则g(x1)<g(x2)<0,0<h(x2)<h(x1),
所
以−g(x1)>−g(x2)>0，
所
以−g(x1)h(x1)>−g(x2)h(x2)>0,
所
以
N (x1)<N (x2),
所以N (x)=g(x)⋅h(x)在( ∞,
−
0)上单调递增,M(x)=f(x)⋅g(x)在( ∞,
−
0)上
的单调性无法判断, 因为不知道f(x)在( ∞,
−
0)上的符号,故选: D.
3.设f(x)是R上的任意函数,则下列叙述正确的是( )
A.f(x)f(−x)是奇函数 B.f(x)|f(−x)|是奇函数
C.f(x)−f(−x)是偶函数 D.f(x)+f(−x)是偶函数
解：因为F(x)=f(x)⋅f(−x)满足
F(−x)=f(−x)⋅f(x)= F(x),所以F(x)=f(x)⋅f(−x)是偶函数；
因为M(x)=f(x)⋅|f(−x)|满足M(−x)=f(−x)⋅|f(x)|≠M(x),
同时M(−x)=f(−x)⋅|f(x)|≠−M(x),所以M(x)=f(x)⋅|f(−x)|既不是奇函
数也不是偶函数；
又H(x)=f(x)−f(−x)满足H(−x)=f(−x)−f(x)=−H(x)是奇函数；
G(x)=f(x)+f(−x)满足G(−x)=f(−x)+f(x)= G(x)是偶函数.故选：D.
4.已知f(x),g(x)有相同的定义域,f(x)是偶函数,g(x)是奇函数,且g(x)≠0,则 ( )
A.f(x)+g(x)为奇函数 B.f(x)−g(x)为偶函数
C.f(x)⋅g(x)是偶函数 D.f(x)
g(x)
是奇函数
解：f(x),g(x)有相同的定义域,f(x)是偶函数,g(x)是奇函数,且g(x)≠0,
所
以
f(−x)=f(x),g(−x)=−g(x),
因
为
f(−x)+g(−x)=f(x)−g(x)≠[
−f(x)+g(x)],
故A 错.
f(−x)−g(−x)=f(x)+g(x)≠f(x)−g(x), 故B 错.
f(−x)⋅g(−x)=−f(x)⋅g(x)≠f(x)⋅g(x),故C 错.
f(−x)
g(−x) =f(x)
−g(x) =−f(x)
g(x)
，故D 对. 故选: D.
5.设函数f(x),g(x)的定义域都为R,且f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,则( )
A.y=f(x)⋅g(x)是偶函数 B.y=|f(x)|⋅g(x)是偶函数
C.y=f(|x|)⋅g(x)是奇函数 D.y=|f(x)|⋅g(x)是奇函数
解：对A,y=f(−x)⋅g(−x)=−f(x)g(x),故y=f(x)⋅g(x)是奇函数,故A 错误;
对B,y=|f(−x)|⋅g(−x)=|−f(x)|⋅g(x)=|f(x)|⋅g(x),故y=|f(x)|⋅g(x)
是偶函数,故B 正确;
对C,y=f(|−x|)⋅g(−x)=f(|x|)⋅g(x),故y=f(|x|)⋅g(x)是偶函数, 故C 错
误;
对D,y=|f(−x)⋅g(−x)|=|−f(x)⋅g(x)|=|f(x)⋅g(x)|,故y=|f(x)⋅g(x)|
是偶函数,故D 错误.故选:B
6.设函数f(x)和g(x)分别是R上的偶函数和奇函数,则下列结论恒成立的是( )
A.f(x)+|g(x)|是偶函数 B.f(x) |
−g(x)|是奇函数
C.|f(x)|+g(x)是偶函数 D.|f(x)|−g(x)是奇函数
解：由题设知:f(−x)=f(x),g(−x)=−g(x)，
于是有f(−x)+|g(−x)|=f(x)+|−g(x)|=f(x)+|g(x)|.
f(−x) |
−g(−x)|=f(x)
|
−
−g(x)|≠[
−f(x) |
−g(x)|].
|f(−x)+g(−x)|=|f(x)−g(x)|≠|f(x)+g(x)|.
|f(−x)−g(−x)|=|f(x)+g(x)|≠[|
−
f(x)−g(x)|].故选：A.
2.5.3 偶函数、奇函数之解不等式
知识点梳理
题型：已知偶函数、奇函数及其相关不等式，结合偶函数、奇函数的概念和性质求解
相关的范围.
典型例题
例1.已知函数f（x）＝x|x|，则关于x 的不等式f（2x）＞f（1﹣x）的解集为（ ）
A．( 1
3 ，+∞)
B．(−∞，1
3 )
C．( 1
3 ，1)
D．(−1，1
3 )
解：因为函数f（x）＝x|x|为奇函数且x≥0 时，f（x）＝x2单调递增，
根据奇函数的对称性可知，f（x）在R 上单调递增，
则关于x 的不等式f（2x）＞f（1﹣x）可转化为2x＞1﹣x，
解得，x＞1
3
．故选：A．
例2.若函数f(x)是定义在R上的偶函数，在区间( ∞,
−
0]上是减函数，且f(2)=0,则使
f(x)<0 的x的取值范围是（ ）
A.( ∞,
−
2) B.(2,+∞)
C.(−2,2) D.(
∞,
−
−
2)∪(2,+∞)
解：由题意,当x∈( ∞,
−
0]时,f
′(x)<0,则[−2,0] ;
又因为函数f(x)是偶函数,图像关于y轴对称,所以当x∈(0,+∞)时,f
′(x)<0,则
x∈(0,2),
所以f(x)<0的解集为(−2,2),故选:C.
例3.设f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)=x
2，若对任意的
x∈[t,t+2]，不等式f(x+t)≥2f(x)恒成立，则实数t的取值范围是( )
A.[❑√2,+∞) B.[2,+∞)
C.(0,❑√2] D.[−❑√2,−1]∪[❑√2,❑√3]
解：∵f(x)是定义在R上的奇函数,且当x≥0时,
f(x)=x
2, ∴当x<0时,f(x)=−f(−x)=
(
−
−
x)
2=−x
2,
所以2f(x)=f(❑√2x),所以对任意的x∈[t,t+2],有f(x+t)≥f(❑√2x)恒成立,
因为f(x)在R上单调递增,
∴x+t≥❑√2x,即t≥(❑√2−1)x恒成立,
∴t≥(❑√2−1)(t+2),解得t≥❑√2,故选：A.
随堂演练
1.若函数f(x),g(x)分别为R上的奇函数、偶函数，且满足f(x)−g(x)=e
x，则有(
)
A.f(2)<f(3)<g(0) B.g(0)<f(3)<f(2)
C.f(2)<g(0)<f(3) D.g(0)<f(2)<f(3)
解：∵f(x),g(x)分别是R上的奇函数、偶函数,∴f(−x)=−f(x),g(−x)=g(x).
由
f(x)−g(x)=e
x,
得
f(−x)−g(−x)=e
−x,∴−f(x)−g(x)=e
−x,
即
f(x)+g(x)=−e
−x.
解方程组得f(x)=e
x−e
−x
2
,g(x)=e
−x−e
x
2
.
易知f(x)=e
x−e
−x
2
在 [0,+∞)上单调递增, 所以0=f(0)<f(2)<f(3), 又
g(0)=−1−1
2
=−1<0
所以g(0)<g(2)<g(3),故选：D.
2.设f(x)是定义域为R的偶函数，且在(0,+∞)单调递减，则( )
A.f(log31
4)>f(2
−3
2)>f(2
−2
3) B.f(log31
4)>f(2
−2
3)>f(2
−3
2)
C.f(2
−3
2)>f(2
−2
3)>f(log31
4)
D.f(2
−2
3)>f(2
−3
2)>f(log31
4)
解：∵f(x)是R 的偶函数，∴f(log1
3
4)=f(log34).
∵log34>log33=1, 1=2
0. log34<2
2
3 <2
3
2，
又f(x)在(0,+∞)单调递减，∴f(log34)>f(2
2
3 )>f(2
3
2 ),
∴f(log1
3
4)>f(2
2
3 )>f(2
3
2 )，故选：C.
3.已知函数f(x+2)为偶函数,且当x≥2时,f(x)=log1
7
(x
2−4x+7),若f(a)>f(b),则
( )
A. (a+ b−4)(a−b)<0
B. (a+ b−4)(a−b)>0
C. (a+ b+4)(a−b)<0
D. (a+ b+4)(a−b)>0
解：因为函数f(x+2)为偶函数,故其图象关于y轴对称, 则f(x)的图象关于直线x=2对
称, 当x≥2时,f(x)=log1
2
(x
2−4x+7),因为y=x
2−4x+7在[2,+∞)上单调递增且
y≥2，
而y=logx在(0,+∞)上单调递减，故f(x)在[2,+∞)上单调递减，
则f(x)在( ∞,
−
2]上单调递增，故由f(a)>f(b)可得|a−2|<|b−2|，即
|a−2|
2<|b−2|
2，
则
a
2−4a+4<b
2−4b+4，
故
a
2−4a<b
2−4b，
故
(a+ b−4)(a−b)<0，故选：A.
4.设奇函数f(x)在(0,+∞)上为增函数，且f(1)=0，则不等式f(x)−f(−x)
x
<0的解
集为( )
A.(−1,0)∪(1,+∞) B.(
∞,
−
−
1)∪(0,1)
C.(
∞,
−
−
1)∪(1,+∞) D.(−1,0)∪(0,1)
解：由f(x)为奇函数可知,f(x)−f(−x)
x
=2f(x)
x
<0, 而f(1)=0, 则
f(−1)=−f(1)=0.
当x>0时,f(x)>f(1)=0;
当x<0时,f(x)>f(−1)=0.
又∵f(x)在(0,+∞)上为增函数.
∴奇函数f(x)在( ∞,
−
0)上为增函数.所以0<x<1或−1<x<0,故选：D.
5. 函数f(x)在( ∞,+∞)
−
单调递减，且为奇函数，若f(1)=−1，则满足
−1≤f(x−2)≤1的x的取值范围是( )
A.[−2,2] B.[−1,1] C.[0,4] D.[1,3]
解：f(x)是奇函数,故f(−1)=−f(1)=1;又f(x)是减函数, −1≤f(x−2)≤1,即
f(1)≤f(x−2)≤f(−1)，则有−1≤x−2≤1,解得1≤x≤3,故选：D.
6.已知f(x)是定义域为R的偶函数，当x≥0时,f(x)=x
2−4x,那么不等式f(x+2)<5的
解集是 .
解
：
设
x<0，
则
−x>0.
当
x≥0时
，
f(x)=x
2−4x,
∴f(−x)=(−x)
2−4(−x)=x
2+4x.
∴f(x)是定义在R 上的偶函数，∴f(−x)=f(x),f(x)={
x
2−4x,
x≥0
x
2+4x,
x<0 )
由f(x)=5得{x
2−4x=5
x≥0
)或{x
2+4x=5
x<0
)，解得：x=5
或x=−5.
观察图像可知由f(x)<5
，得−5<x<5.
∴
由f(x+2)<5
，得−5<x+2<5
，∴−7<x<3.
7.已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)=x
2−4x，则不等式f(x)>x的解
集用区间表示为 .
解：当x>0时,不等式f(x)>x转化为x
2−4x>x>5,得x>5,
函数是奇函数,图像关于原点对称, 因此当x<0时不等式f(x)>x的解集为−5<x<0,
综上不等式的解为(−5,0)∪(5,+∞).
8.设函数f(x)是定义在R上的奇函数，若当x∈(0,+∞)时，f(x)=lgx，则满足
f(x)>0的x的取值范围是 .
解：∵f(x)是R上的奇函数, f(0)=0, 设x<0, 则−x>0, ∴当x∈(0,+∞)时,
f(x)=lgx
∴f(−x)=lg(−x)=−f(x),
当
x∈( ∞,
−
0)时
,f(x)=
lg(
−
x),
故
f(x)={
lgx,
x>0
0,
x=0
lg(
−
−
x),
x<0)
，
若x>0,由f(x)>0得,lgx>0,此时x>1.
若x<0,由f(x)>0得,
lg(
−
−
x)>0,
即lg(−x)<0,此时0<−x<1,解得−1<x<0.综上：−1<x<0 或 x>1.
9.设偶函数f(x)的定义域为[−5,5],若当x∈[0,5]时,f(x)的图象如图所示,则不等式
f(x)<0的解集是 .
解：由题知f(x)为偶函数,∴f(x)=f(−x)=f(|x|). ∵f(x)<0,即f(|x|)<0.
由x∈[0,5]时的图像可知,若f(|x|)<0,即2<|x|≤5,
即x到原点的距离大于2 小于等于5 的数, 故解得:x∈[−5,−2)∪(2,5].
故答案为: [−5,−2)∪(2,5].
