2024年高考数学一轮复习（新高考版）第2章　§2.5　函数性质的综合应用[培优课]_2.2025数学总复习_2024年新高考资料_1.2024一轮复习_2024年高考数学一轮复习讲义（新高考版）

§2.5 函数性质的综合应用 函数性质的综合应用是历年高考的一个热点内容，经常以客观题出现，通过分析函数 的性质特点，结合图象研究函数的性质，往往多种性质结合在一起进行考查． 题型一 函数的奇偶性与单调性 例1 (2020·新高考全国Ⅰ)若定义在R上的奇函数f(x)在(－∞，0)上单调递减，且f(2)＝0， 则满足xf(x－1)≥0的x的取值范围是( ) A．[－1,1]∪[3，＋∞) B．[－3，－1]∪[0,1] C．[－1,0]∪[1，＋∞) D．[－1,0]∪[1,3] 答案 D 解析 因为函数f(x)为定义在R上的奇函数， 则f(0)＝0. 又f(x)在(－∞，0)上单调递减，且f(2)＝0， 画出函数f(x)的大致图象如图(1)所示， 则函数f(x－1)的大致图象如图(2)所示． (1) (2) 当x≤0时，要满足xf(x－1)≥0， 则f(x－1)≤0，得－1≤x≤0. 当x>0时，要满足xf(x－1)≥0， 则f(x－1)≥0，得1≤x≤3. 故满足xf(x－1)≥0的x的取值范围是[－1,0]∪[1,3]． 思维升华 (1)解抽象函数不等式，先把不等式转化为f(g(x))>f(h(x))，利用单调性把不等式 的函数符号“f”脱掉，得到具体的不等式(组)． (2)比较大小，利用奇偶性把不在同一单调区间上的两个或多个自变量的函数值转化到同一 单调区间上，进而利用其单调性比较大小． 跟踪训练1 (2023·合肥质检)若f(x)是定义在R上的偶函数，对∀x ，x∈(－∞，0]，当 1 2 x≠x 时，都有>0，则a＝f(sin 3)，b＝f ，c＝f(21.5)的大小关系是( ) 1 2A．a>b>c B．a>c>b C．b>c>a D．c>b>a 答案 A 解析 因为∀x，x∈(－∞，0]且x≠x 时，有>0， 1 2 1 2 所以函数f(x)在(－∞，0]上单调递增， 由f(x)为偶函数，得函数f(x)在[0，＋∞)上单调递减， 因为0f(ln 3)>f(21.5)，即a>b>c. 题型二 函数的奇偶性与周期性 例2 (2023·襄阳模拟)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋2)＝－f(x)，当x∈[0,1]时，f(x) 单调递增，则( ) A．f(6)f(c)>f(b) B．f(a)>f(b)>f(c) C．f(b)>f(a)>f(c) D．f(c)>f(a)>f(b) 答案 C 解析 ∵f(x)是定义在R上的偶函数， ∴f(a)＝f(－log 10)＝f(log 10)，且2f(2x)成立的x的取值范围是 ________． 答案 解析 令g(x)＝e|x|－cos x，将其向右平移1个单位长度， 得y＝e|x－1|－cos＝e|x－1|－sin x， 所以f(x)＝e|x－1|－sin x是由函数g(x)向右平移1个单位长度得到的． 而易知g(x)是偶函数， 当x>0时，g(x)＝ex－cos x， g′(x)＝ex＋sin x； 当00； 当x>2时，ex>e2，－≤sin x≤， 所以g′(x)>0， 所以g(x)在(0，＋∞)上单调递增，在(－∞，0)上单调递减． 从而可知f(x)在(1，＋∞)上单调递增，在(－∞，1)上单调递减． 所以当f(x)>f(2x)时，有|x－1|>|2x－1|，解得0