专题02 函数与基本初等函数
专题2.1 函数概念及定义域
2.1.1 基础函数概念及定义域
知识点梳理
1.函数的定义：一般地，给定非空数集A，B，按照某个对应法则f，使得A 中任意元
素x，都有B 中唯一确定的y 与之对应，那么从集合A 到集合B 的这个对应，叫做从集合A
到集合B 的一个函数.记作：x ⟶y = f ( x)，x∈A.
集合A 叫做函数的定义域，记为D，集合{y|y = f ( x), x ∈A }叫做值域，记为C.
（1）函数表示法：函数书写方式为y = f ( x)，x∈D.
（2）函数三要素：定义域、值域、对应关系.
（3）同一函数：两个函数只有在定义域和对应法则都相等时，两个函数才相同.
2.求解函数的定义域：
（1）分式的分母不为零.
（2）偶次方根的被开方数大于或等于零.
（3）对数的真数大于零，底数大于零且不等于1.
（4）零次幂或负指数次幂的底数不为零.
（5）对于实际问题中函数的定义域，还需根据实际意义再限制，从而得到实际问题函
数的定义域.
典型例题
例1.函数f(x)= ❑√log2x−1的定义域为 .
解：要使函数f(x)有意义,则log2x−1≥0,解得x≥2,即函数f(x)的定义域为[2,+∞)
.
例2.在下列从集合A 到集合B 的对应关系中，不能确定y 是x 的函数的是( )
①A＝{x|x∈Z}，B＝{y|y∈Z}，对应关系f：x→y＝；
②A＝{x|x>0，x∈R}，B＝{y|y∈R}，对应关系f：x→y2＝3x；
③A＝{x|x∈R}，B＝{y|y∈R}，对应关系f：x→x2＋y2＝25；
④A＝{x|x∈R}，B＝{y|y∈R}，对应关系f：x→y＝x2；
⑤A＝{(x，y)|x∈R，y∈R}，B＝{s|s∈R}，对应关系f：(x，y)→s＝x＋y；
⑥A＝{x|－1≤x≤1，x∈R}，B＝{0}，对应关系f：x→y＝0.
A．①⑤⑥
B．②④⑤⑥
C．②③④
D．①②③⑤
解：①在对应关系f 下，A 中不能被3 整除的数在B 中没有唯一确定的数与它对应，所以不
能确定y 是x 的函数．②在对应关系f 下，A 中的数在B 中有两个数与之对应，所以不能确
定y 是x 的函数．③在对应关系f 下，A 中的数(除去5 与－5 外)在B 中有两个数与之对应，
所以不能确定y 是x 的函数．⑤A 不是数集，所以不能确定y 是x 的函数．④⑥显然满足函
数的特征，y 是x 的函数．故答案选:D.
例3.下列各组函数：
①f(x)＝，g(x)＝x－1；
②f(x)＝，g(x)＝；
③f(x)＝·，g(x)＝；
④f(x)＝，g(x)＝x＋3；
⑤汽车匀速运动时，路程与时间的函数关系f(t)＝80t(0≤t≤5)与一次函数g(x)＝80x(0≤x≤5)．
其中表示同一个函数的是________(填上所有正确的序号)．
解：①不是同一个函数，定义域不同，f(x)定义域为{x|x≠0}，g(x)定义域为R.
②不是同一个函数，对应关系不同，f(x)＝，g(x)＝.
③是同一个函数，定义域、对应关系都相同．
④不是同一个函数，值域不同，f(x)≥0，g(x)∈R.
⑤是同一个函数，定义域、对应关系都相同．
故答案为：③⑤.
例4.函数y=ln(1+1
x )+
❑√1−x
2的定义域为 .
解：要使函数有意义，需{
1+1
x >0
1−x
2≥0)⇒{
x<−1或x>0
−1≤x≤1 )，解得0<x≤1，所以定义域为
(0,1].
例5.若f ( x)=
1
log 1
2
(2 x +1), 则f ( x)的定义域为 .
解：log 1
2
(2 x +1)≠0,∴2 x +1>0,2 x +1≠1，∴x∈(−1
2 ,0)∪(0,+∞)，所以定义域
为(−1
2 ,0)∪(0,+ ∞).
随堂演练
1.已知四组函数：
①f(x)＝x，g(x)＝()2；②f(x)＝x，g(x)＝；③f(n)＝2n－1，g(n)＝2n＋1(n∈N)；④f(x)＝x2－
2x－1，g(t)＝t2－2t－1.
其中是同一个函数的是( )
A．没有
B．仅有②
C．②④
D．②③④
解：对于第一组，定义域不同；对于第三组，对应关系不同；对于第二、四组，定义域与
对应关系都相同．故选：C.
2.(多选)已知集合A＝{x|0≤x≤8}，集合B＝{y|0≤y≤4}，则下列对应关系中，可看作是从A 到
B 的函数关系的是( )
A．f：x→y＝x
B．f：x→y＝x
C．f：x→y＝x
D．f：x→y＝x
解：根据函数的定义，对于D，在集合A 中的部分元素，在集合B 中没有元素与它对应，
故不正确．故选：ABC.
3.函数y =
❑√3−2 x−x
2的定义域是 .
解：要使函数f ( x)有意义,则log2 x−1≥0,解得：x ≥2,即函数f ( x)的定义域为[2,+∞).
4.函数f(x)= ❑√xlg(1−x)的定义域为 .
解：由题意可得{
x≥0
1−x>0)，解得0≤x<1，因此函数f(x)= ❑√xlg(1−x)的定义域为
[0,1).
5.函数f(x)= ❑√|x−4|+lgx
2−5x+6
x−3
的定义域为 .
解：由函数y=f(x)的表达式可知，函数f(x)的定义域应满足条件：
{
4
|
−x|≥0
x
2−5x+6
x−3
>0)
，解之得{
−4≤x≤4
x>2,x≠3)，即函数f(x)的定义域为(2,3)∪(3,4].
6.函数f ( x)= lg( x +1)
x−1
的定义域是 .
解：试题分析：分母不等于零，对数真数大于零，所以{
x +1>0
x−1≠0)，解得
x∈(−1,1)∪(1,+ ∞).故函数的定义域为(−1,1)∪(1,+∞).
7.函数y=
❑√7+6x−x
2的定义域是 .
解：由已知得7+6x−x
2≥0,即x
2−6x−7≤0，解得−1≤x≤7,故函数的定义域为
[−1,7].
8.函数f ( x)=
1
❑√(log2 x)
2−1
的定义域为 .
解：由已知得(log2 x)
2−1>0，即log2 x>1或log2 x<−1，解得x>2或0< x< 1
2
.故函数的
定义域为(0, 1
2 )∪(2,+ ∞).
2.1.2 抽象函数的定义域
知识点梳理
已知f(x)的定义域求解f [g( x)]的定义域，或已知f [g( x)]的定义域求f(x)的定义
域，遵循两点：①定义域是指自变量的取值范围；②在同一对应法则f 下，括号内的范围
相同.
典型例题
例1.设函数f(x)=ln1+x
1−x
, 则函数g(x)=f(
x
2)+f(
1
x)的定义域为 .
解：要使函数有意义，则需{
1+x
2
1−x
2
>0
1+1
x
1−1
x
>0)
⇒{
−2<x<2
x>1或x<−1)⇒−2<x<−1或1<x<2，
则所求定义域为: (−2,−1)∪(1,2).
例2.若函数y=f(x)的定义域为[0,2],则函数g(x)=f(2x)
x−1
的定义域为 .
解：根据已知可得函数g(x)=f(2x)
x−1
的定义域需满足：{
0≤2x≤2
x≠1
)，解得：0≤x<1,
即函数定义域为[0,1).
随堂演练
1.若函数y＝f（2x+1）的定义域为[0，1]，则y＝f（x﹣1）的定义域为 ．
解：∵y＝f（2x+1）的定义域为[0，1]，即x∈[0，1]，∴2x+1∈[1，3]，∴在函数y＝f（x﹣
1）中，有1≤x﹣1≤3，解得2≤x≤4，∴y＝f（x﹣1）的定义域为[2，4]．
2.已知函数f（3x﹣1）的定义域为[1，+∞），则f（2x）+f（4﹣x）的定义域为
．
解：∵f（3x﹣1）的定义域为[1，+∞），即x∈[1，+∞），∴3x﹣1∈[2，+∞），
由题意，得{
2 x ≥2
4−x ≥2)，解得1≤x≤2，∴函数f（2x）+f（4﹣x）的定义域为[1，2]．
3.已知函数f（x2﹣1）的定义域为[1，+∞），则f（x）的定义域为 ．
解：∵f（x2﹣1）的定义域为[1，+∞），即x∈[1，+∞），∴x2﹣1∈[0，+∞），
∴函数f（x）的定义域为[0，+∞）．
4.f（x）的定义域为[1，4]，则f ( 1
x
2 )的定义域为 ．
解：f（x）的定义域为[1，4]，则有1≤1
x
2 ≤4，1
4 ≤x2≤1，∴1
2 ≤x ≤1 或−1≤x ≤−1
2，
则f ( 1
x
2 )的定义域为[1
2，1]∪[﹣1，−1
2]．
5.设f(x)=lg2+x
2−x
, 则f(
x
2)+f(
2
x)的定义域为 ．
解：要使函数有意义，则2+x
2−x >0解得：x∈(−2,2),f(
x
2)+f(
2
x)有意义，须确保两个
式子都要有意义，则{
−2<x
2 <2
−2<2
x <2)
⇒x∈(−4,−1)∪(1,4).则f(
x
2)+f(
2
x)的定义域为
(−4,−1)∪(1,4).
6. 已知函数f(x)=log2(2−x)的值域为( ∞,
−
1], 则函数f(2x)的定义域为
．
解：由f(x)=log2(2−x)值域为( ∞,
−
1],得log2(2−x)≤1,所以0<2−x≤2,解
得：0≤x<2，
即f(x)的定义域为[0,2),由0≤2x<2得0≤x<1,故f(2x)的定义域为[0,1).
7.已知函数f ( x)=
❑√−x
2+2 x +3，则y＝f（2x+1）的定义域为 ．
解：由f（x）=
❑√−x
2+2 x +3
，得﹣x2+2x+3≥0，即x2﹣2x﹣3≤0，解得﹣1≤x≤3，
令﹣1≤2x+1≤3，解得﹣1≤x≤1，所以函数y＝f（2x+1）的定义域为[﹣1，1]．
8.已知函数f(x)的定义域为[−2,2],则函数F(x)=f(x+1)
lg|x|
的定义域为 ．
解：由题意可知, 要使F(x)有意义,只需要{
−2≤x+1≤2
|x|>0
|x|≠1
),解得{
−3≤x≤1
x≠0
x≠−1,且x≠1),
所以x∈[−3,−1)∪(−1,0)∪(0,1),
所以函数F(x)的定义域为[−3,−1)∪(−1,0)∪(0,1).
2.1.3 已知函数定义域求参数范围
知识点梳理
函数定义域是指自变量x 的取值范围（或集合），使得函数表达式有意义（如分母不
为0、偶次根式下非负、对数真数为正等）.当函数中含参数时，若已知函数的定义域，需
通过定义域的限制条件反推参数的取值或取值范围，这类问题称为“已知函数定义域求参
数”.
典型例题
例1.函数y=
❑√k x
2−2kx + 4
的定义域为R，则实数k 的取值范围为 ．
解：函数y=
❑√k x
2−2kx + 4
的定义域为R 等价于kx2﹣2kx+4≥0 恒成立，
当k＝0 时，显然成立；当k≠0 时，由Δ＝4k2﹣16k≤0，得0＜k≤4，
综上，实数k 的取值范围为[0，4]．
故答案为：[0，4]．
例2.函数f（x）=
1
a x
2+ 4 ax +3
的定义域为R，则实数a 的取值范围是 ．
解：由已知得ax2+4ax+3＝0 无解，当a＝0 时，3＝0，无解，满足；
当a≠0 时，Δ＜0 即16a2﹣12a＜0，解得0＜a＜3
4
，综上，0≤a＜3
4
，故答案为：[0，3
4
）．
例3.若函数
f(x)=
❑√2
x
2−2ax−a−1
的定义域为R，则a的取值范围为 ．
解
：
2
x
2−2ax−a≥1=2
0恒
成
立
⇒x
2−2ax−a≥0恒
成
立
Δ=(
⇒
2a)
2+4a≤0⇒a(a+1)≤0∴−1≤a≤0.
随堂演练
1.若函数y =
1
❑√a x
2−ax +3
的定义域为R，则实数a 的取值范围是 ．
解：∵函数y =
1
❑√a x
2−ax +3
的定义域为R，∴不等式ax2﹣ax+3＞0 在R 上恒成立，
当a＝0 时，不等式化为3＞0，显然恒成立，符合题意，
当a≠0 时，则{
a＞0
Δ=(−a)
2
12
−
a＜0)，解得0＜a＜12，综上所述，实数a 的取值范围是
[0，12）．
2.已知函数f（x）=
❑√(m+1)x
2−mx +m−1的定义域为R，则实数m 的取值范围
．
解：f（x）=
❑√(m+1)x
2−mx +m−1，
当m+1＝0，即m＝﹣1 时，x﹣2≥0 不恒成立，不符合题意，
当m+1＜0 时，二次函数开口向下，显然不符合题意，
当m+1＞0，即m＞﹣1 时，由题意可知，Δ＝（﹣m）2﹣4（m+1）（m﹣1）≤0，解得m
≥2❑√3
3
，
综上所述，m 的取值范围为[2❑√3
3
，+∞）；
3.函数f(x)=x+1
a x
2−2ax+1
的定义域为R，则a的取值范围为 ．
解：由函数f(x)=x+1
a x
2−2ax+1
的定义域为R，得对∀x∈R，a x
2−2ax+1≠0恒成立.
当a =0时，1≠0恒成立;
当a≠0时，Δ=4a
2−4a<0，解得：0<a<1.
综上所述a的取值范围为{a|0≤a<1}.故选：C.
4.已知函数f ( x)=
❑√m x
2−8 x +m+6，若f（x）的定义域为R，则m 的取值范围为
．
解：因为f（x）的定义域为R，所以mx2﹣8x+m+6≥0 对x∈R 恒成立．
当m＝0 时，﹣8x+6≥0 不恒成立，不合题意．
当m≠0 时，由题意可得{
m＞0
Δ=64−4 m(m+6)≤0)
，
解得m≥2．综上可知m 的取值范固为[2，+∞）．
5.已知函数f(x)=
❑√a x
2+2ax+1的定义域为R，则实数a的取值范围为 ．
解：由题意，不等式a x
2+2ax+1≥0对任意的x∈R 恒成立。
当a =0时，1≥0恒成立，即a =0符合题意。
当a≠0时，则{
a>0
Δ=4a
2−4a≤0)，解得：0<a≤1.综上，a
的取值范围是[0,1].
6.已知函数f(x)=
❑√a x
2+2x+c的定义域为R，则a
2+4c
2的最小值为 ．
解：由题可知a>0，且4−4ac≤0，即ac≥1，所以a
2+4c
2≥4ac≥4，当且仅当
a = ❑√2，c=
❑√2
2
时，等号成立，所以a
2+4c
2的最小值为4.
7.若函数f(x)=x
❑√m x
2+ mx+1
的定义域为R，则实数m的取值范围是 ．
解：函数f(x)=x
❑√m x
2+ mx+1
的定义域为R，可知m x
2+ mx+1>0的解集为R，
若m =0，则不等式恒成立，满足题意；
若m ≠0，则{
m >0
Δ= m
2−4 m <0)，解得0<m <4.
综上可知，实数m的取值范围是0≤m <4.
8.已知函数f(x)=x+1
a x
2−2ax+1
的定义域为R，则实数a的取值范围是 ．
解：函数f(x)=x+1
a x
2−2ax+1
的定义域为R,得∀x∈R,a x
2−2ax+1≠0恒成立.
当a =0时, 1≠0恒成立;当a≠0时, Δ=4a
2−4a<0, 得0<a<1,综上, 实数a的取值范围
是0≤a<1.
