文档内容
第1讲 函数及其表示
最新考纲 考向预测
以基本初等函数为载体，考查函
1.了解构成函数的要素，会求一些简单 数的表示法、定义域；分段函数
函数的定义域和值域. 命题 以及函数与其他知识的综合是
2.在实际情境中，会根据不同的需要选 趋势 高考热点，题型既有选择题、填
择恰当的方法(如图象法、列表法、解析 空题，又有解答题，中等偏上难
法)表示函数. 度.
3.了解简单的分段函数，并能简单应用． 核心
数学抽象、数学运算
素养
1．函数的概念
(1)函数的定义
①A，B是两个非空数集．
②对于A中任意一元素x，B中都有唯一确定的元素y与之对应．
(2)定义域：x 的取值范围A.
(3)值域：函数值的集合．
2．函数的有关概念
(1)函数的定义域、值域
在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；
与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．显
然，值域是集合B的子集．
(2)函数的三要素：定义域、值域和 对 应关系 ．
(3)函数的表示法
表示函数的常用方法：解析法、图象法和列表法．
3．分段函数若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子
来表示，这种函数称为分段函数．
常用结论
1．判断两个函数相等的依据是两个函数的定义域和对应关系完全一致．
2．直线x＝a(a是常数)与函数y＝f(x)的图象有0个或1个交点．
常见误区
1．函数定义域是研究函数的基本依据，必须坚持定义域优先的原则，明确自
变量的取值范围．
2．分段函数是一个函数，而不是几个函数，分段函数的定义域是各段定义域
的并集，值域是各段值域的并集．
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)函数f(x)＝x2－2x与g(t)＝t2－2t是相等函数．( )
(2)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数是相等函数．( )
(3)函数f(x)的图象与直线x＝1最多有一个交点．( )
(4)分段函数是由两个或几个函数组成的．( )
答案：(1)√ (2)× (3)√ (4)×
2．已知函数f(x)＝，则函数f(x)的定义域为( )
A．(－∞，3) B．(－∞，2)∪(2，3]
C．(－∞，2)∪(2，3) D．(3，＋∞)
解析：选C.要使函数有意义，则即即x<3且x≠2，即函数f(x)的定义域为(－∞，
2)∪(2，3)，故选C.
3．(易错题)下列图形中可以表示为以M＝{x|0≤x≤1}为定义域，以N＝{y|
0≤y≤1}为值域的函数的是( )解析：选C.A项，函数定义域为M，但值域不是N；B项，函数定义域不是M，
值域为N；D项，集合M中存在x与集合N中的两个y对应，不能构成函数关系．
故选C项．
4．已知集合P＝{x|0≤x≤4}，Q＝{y|0≤y≤2}，下列从P到Q的各对应关系f
不是函数的是________．(填序号)
①f：x→y＝x；②f：x→y＝x；
③f：x→y＝x；④f：x→y＝.
解析：对于③，因为当x＝4时，y＝×4＝∉Q，所以③不是函数．
答案：③
5．已知函数f(x＋1)＝x2－2x，则f(x)的解析式为__________________．
解析：方法一(换元法)：令x＋1＝t，则x＝t－1，t∈R，所以f(t)＝(t－1)2－2(t－
1)＝t2－4t＋3，即f(x)＝x2－4x＋3.
方法二(配凑法)：因为x2－2x＝(x2＋2x＋1)－(4x＋4)＋3＝(x＋1)2－4(x＋1)＋
3，所以f(x＋1)＝(x＋1)2－4(x＋1)＋3，即f(x)＝x2－4x＋3.
答案：f(x)＝x2－4x＋3
函数的定义域
[题组练透]
1．函数f(x)＝＋ln(2x－x2)的定义域为( )
A．(2，＋∞) B．(1，2)
C．(0，2) D．[1，2]
解析：选B.要使函数有意义，则
解得10，
所以x<，所以＝1，所以a＝2.
4．若函数f(x)＝的定义域为一切实数，则实数m的取值范围是________．
解析：由题意可得mx2＋mx＋1≥0对x∈R恒成立．
当m＝0时，1≥0恒成立；
当m≠0时，则
解得00，则|log x|＝，解得x＝2或x＝2－.
2
故所求x的集合为.
答案：
3．已知函数f(x)＝若a[f(a)－f(－a)]>0，则实数a的取值范围为________．
解析：当a>0时，不等式a[f(a)－f(－a)]>0可化为a2＋a－3a>0，解得a>2.当
a<0时，不等式a[f(a)－f(－a)]>0可化为－a2－2a<0，解得a<－2.综上所述，a的取
值范围为(－∞，－2)∪(2，＋∞)．
答案：(－∞，－2)∪(2，＋∞)
函数的新定义问题
(2021·广东深圳3月模拟)在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标均为整
数的点称为整点，若函数f(x)的图象恰好经过n(n∈N*)个整点，则称函数f(x)为“n阶整点函数”．给出下列函数：
①f(x)＝sin 2x；②g(x)＝x3；
③h(x)＝；④φ(x)＝ln x.
其中是一阶整点函数的是( )
A．①②③④ B．①③
C．①④ D．④
【解析】 对于函数f(x)＝sin 2x，它的图象(图略)只经过一个整点(0，0)，所以
它是一阶整点函数，排除D；
对于函数g(x)＝x3，它的图象(图略)经过整点(0，0)，(1，1)，…，所以它不是一
阶整点函数，排除A；
对于函数h(x)＝，它的图象(图略)经过整点(0，1)，(－1，3)，…，所以它不是一
阶整点函数，排除B.故选C.
【答案】 C
(1)函数新定义问题的一般形式是：由命题者先给出一个新的概念、新的运算
法则，或者给出一个抽象函数的性质等，然后让学生按照这种“新定义”去解决
相关的问题．
(2)破解函数的新定义问题的关键：紧扣新定义的函数的含义，学会语言的翻
译、新旧知识的转化，便可使问题顺利获解．如本例，若能把新定义的一阶整点函
数转化为函数f(x)的图象恰好经过1个整点，问题便迎刃而解．
若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这
些函数为“同族函数”，则函数解析式为y＝x2＋1，值域为{1，3}的同族函数有(
)
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
解析：选C.由x2＋1＝1得x＝0，由x2＋1＝3得x＝±，所以函数的定义域可以
是{0, }，{0，－}，{0，，－}，故值域为{1，3}的同族函数共有3个．
[A级 基础练]
1．函数y＝的定义域为( )
A．(1，＋∞) B．[1，＋∞)C．(1，2)∪(2，＋∞) D．(1，2)∪[3，＋∞)
解析：选C.由ln(x－1)≠0，得x－1>0且x－1≠1.由此解得x>1且x≠2，即函
数y＝的定义域是(1，2)∪(2，＋∞)．
2．已知f＝2x－5，且f(a)＝6，则a＝( )
A．－ B．
C． D．－
解析：选B.令t＝x－1，则x＝2t＋2，
所以f(t)＝2(2t＋2)－5＝4t－1，
所以f(a)＝4a－1＝6，即a＝.
3．已知f(x)＝则f＋f的值＝( )
A．－2 B．4
C．2 D．－4
解析：选B.由题意得f＝2×＝.
f＝f＝f＝2×＝.
所以f＋f＝4.
4．(2021·湖北黄冈浠水实验高中月考)已知f(x)是一次函数，且2f(2)－3f(1)＝
5，2f(0)－f(－1)＝1，则f(x)的解析式为( )
A．f(x)＝2x＋3 B．f(x)＝3x＋2
C．f(x)＝3x－2 D．f(x)＝2x－3
解析：选C.因为f(x)是一次函数，所以设f(x)＝kx＋b，k≠0，
则f(2)＝2k＋b，f(1)＝k＋b，f(0)＝b，f(－1)＝－k＋b，
因为
所以
解得k＝3，b＝－2，所以f(x)＝3x－2，故选C.
5．(多选)已知函数f(x)＝则下列结论中正确的是( )
A．f(－2)＝4 B．若f(m)＝9，则m＝±3
C．f(x)是偶函数 D．f(x)在R上单调递减
解析：选AD.由于－2<0，所以f(－2)＝(－2)2＝4，故A选项正确；由f(m)＝
9>0知m≤0且m2＝9，因此m＝－3，故B选项错误；由f(x)的图象(图略)可知f(x)
是奇函数，且在R上单调递减，故C选项错误，D选项正确．综上，正确的结论是
AD.
6．函数f(x)＝2＋(－20，即a>1时，2a－1－1＝，2a－1＝，解得a＝log 3，满足a>1.
2
综上可得a＝log 3.
2
答案：log 3
211．已知函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，且f(x)＝3·f＋1，求f(x)的解析式．
解：在f(x)＝3·f＋1中，将x换成，换成x，得f＝3·f(x)＋1，将该方程代入已知
方程消去f，得f(x)＝－－(x>0)．
12．设函数f(x)＝求：(1)f(f(2))的值；
(2)求函数f(x)的值域．
解：(1)因为f(2)＝，
所以f(f(2))＝f＝－－2＝－.
(2)当x>1时，f(x)∈(0，1)，
当x≤1时，f(x)∈[－3，＋∞)，
所以f(x)∈[－3，＋∞)．
[B级 综合练]
13．定义两种运算：ab＝，ab＝，则函数f(x)＝的解析式为( )
A．f(x)＝，x∈[－2，0)∪(0，2]
B．f(x)＝，x∈(－∞，－2]∪[2，＋∞)
C．f(x)＝，x∈(－∞，－1]∪[2，＋∞)
D．f(x)＝，x∈[－2，0)∪(0，2]
解析：选D.依题意2⊕x＝，x2＝＝|x－2|，则f(x)＝.由得－2≤x≤2且x≠0，
所以f(x)＝，x∈[－2，0)∪(0，2]，故选D.
14．(2021·广东汕头金山中学期中)已知f(x)＝求f[f(x)]≥1的解集．
解：当x≥0时，f(x)＝≥0，
所以f[f(x)]＝f＝≥1，解得x≥4；
当x<0时，f(x)＝x2>0，
所以f[f(x)]＝f(x2)＝≥1，解得x≥(舍去)或x≤－.
综上，x≥4或x≤－.
[C级 创新练]
15．已知具有性质：f＝－f(x)的函数，我们称f(x)为满足“倒负”变换的函数，
下列函数：
①f(x)＝x－；②f(x)＝x＋；
③f(x)＝
其中满足“倒负”变换的函数是________．(填序号)
解析：对于①，f(x)＝x－，f＝－x＝－f(x)，满足；对于②，f＝＋x＝f(x)，不满足；
对于③，f＝即f＝故f＝－f(x)，满足．
综上，满足“倒负”变换的函数是①③.
答案：①③
16．(创新型)设函数f(x)的定义域为D，若对任意的x∈D，都存在y∈D，使得
f(y)＝－f(x)成立，则称函数f(x)为“美丽函数”，下列所给出的几个函数：
①f(x)＝x2；②f(x)＝；
③f(x)＝ln(2x＋3)；④f(x)＝2sin x－1.
其中是“美丽函数”的为________．(填序号)
解析：由已知，在函数定义域内，对任意的x都存在着y，使x所对应的函数值
f(x)与y所对应的函数值f(y)互为相反数，即f(y)＝－f(x)．故只有当函数的值域关
于原点对称时才会满足“美丽函数”的条件．
①中函数的值域为[0，＋∞)，值域不关于原点对称，故①不符合题意；
②中函数的值域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，值域关于原点对称，故②符合题意；
③中函数的值域为(－∞，＋∞)，值域关于原点对称，故③符合题意；
④中函数f(x)＝2sin x－1的值域为[－3，1]，不关于原点对称，故④不符合题
意．故本题正确答案为②③.
答案：②③
