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考点 06 函数的概念及其表示（3 种核心题型+基础保分练
+综合提升练+拓展冲刺练）
【考试提醒】
1.了解函数的含义.2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、
解析法)表示函数.3.了解简单的分段函数，并会简单的应用．
【知识点】
1．函数的概念
一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对
应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合
B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A.
2．函数的三要素
(1)函数的三要素：定义域、对应关系、值域．
(2)如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数为同一个函数．
3．函数的表示法
表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法．
4．分段函数
若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种
函数称为分段函数．
常用结论
1．直线x＝a与函数y＝f(x)的图象至多有1个交点．
2．在函数的定义中，非空数集A，B，A即为函数的定义域，值域为B的子集．
3．分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．分段函数的定义域等于各段函数
的定义域的并集，值域等于各段函数的值域的并集．
【核心题型】
题型一 函数的定义域
(1)无论抽象函数的形式如何，已知定义域还是求定义域，均是指其中的x的取值集合；
(2)若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，则复合函数f(g(x))的定义域由不等式a≤g(x)≤b求出；
(3)若复合函数f(g(x))的定义域为[a，b]，则函数f(x)的定义域为g(x)在[a，b]上的值域．
【例题1】（2024高三·全国·专题练习）已知集合 ， ，则
（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【分析】分别求解集合 ，再求 即可.
【详解】因为 的定义域为 ，所以 ，
由 得 ，解得 ，所以 ，
故 ，
故选：B．
【变式1】（2023·河北衡水·模拟预测）已知函数 的定义域为 ，则函数
的定义域是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据给定条件，利用函数有意义并结合复合函数的意义列出不等式组，求解不等
式组作答.
【详解】因为函数 的定义域为 ，又函数 有意义，
则有 ，解得 或 ，
所以函数 的定义域是 .
故选：C
【变式2】（2024·全国·模拟预测）若集合 ， ，则集合
的真子集的个数为（ ）A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【分析】先求集合A，确定 即可求解.
【详解】因为 ， ，所以 ，
所以集合 的真子集的个数为 .
故选:D.
【变式3】（2023·江苏镇江·模拟预测）若函数 的定义域为 ，则
的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】利用抽象函数定义域的求解原则可求出函数 的定义域，对于函数
，可列出关于 的不等式组，由此可得出函数 的定义域.
【详解】因为函数 的定义域为 ，则 ，可得 ，
所以，函数 的定义域为 ，
对于函数 ，则有 ，解得 ，
因此，函数 的定义域为 .
故选：C.
题型二 函数的解析式
函数解析式的求法
(1)配凑法；(2)待定系数法；(3)换元法；(4)解方程组法．【例题2】（2023·重庆·模拟预测）已知函数 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用换元法令 ，运算求解即可.
【详解】令 ，则 ，且 ，则 ，
可得 ，
所以 .
故选：B.
【变式1】（2023·河南·模拟预测）已知函数 对定义域 内的任意实数 满足
，则 .
【答案】
【分析】先把x都化为2x，进行化简得到 ，再把x替换为 得到
，最后联立方程组求解即可.
【详解】由 ，得 ，即 ①，
将 换为 ，得 ②，由①+2②，得 ，故.
故答案为： .
【变式2】（2023·山东·模拟预测）已知二次函数 的最大值是 ，且它的图像
过点 ，求函数 的解析式．
【答案】
【分析】由二次函数性质与待定系数法求解．
【详解】解：根据题意设 ，
又过点 ，则
解得 ，
故
【变式3】（2024·山东济南·一模）已知集合 ，
函 数 . 若 函 数 满 足 ： 对 任 意 ， 存 在 ， 使 得
，则 的解析式可以是 .（写出一个满足条件的函数解析
式即可）
【答案】 （满足 ，且一次项系数不为零的所有一次或者二次函数解析
式均正确）
【分析】根据 ，求得 ，则满足 的一次函数或二次函数均可.
【详解】 ， ，， ，
， ，
所以 ，则 的解析式可以为 .
经检验， 满足题意.
故答案为： （答案不唯一）.
【点睛】关键点点睛：本题的关键是根据函数的形式，确定函数的关键特征和条件.
题型三 分段函数
分段函数求值问题的解题思路
(1)求函数值：当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值．
(2)求自变量的值：先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的
值，切记要代入检验．
【例题3】（2024·四川广安·二模）已知函数 ，则 的值为
.
【答案】
【分析】先求 的值，结合所求结果的符号，再代入 解析式求得.
【详解】 ，
.
故答案为： .
【变式1】（2024·广东深圳·模拟预测）已知函数 ，若 ，使得
成立，则实数m的取值范围为（ ）A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】先求出分段函数的最小值；再求解不等式的解集即可.
【详解】因为函数 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增，
所以当 时，函数 取得最小值 .
又因为函数 在区间 上单调递增，
所以当 时， .
综上可得函数 的最小值为 .
因为 ，使得 成立，
所以 ，解得： 或 .
故选：C.
【变式2】（2024·陕西西安·三模）已知函数 ，则
（ ）
A．8 B．12 C．16 D．24
【答案】D
【分析】根据给定条件，判断并代入计算函数值即得.
【详解】由 ，得 ，
所以 .故选：D
【变式3】（23-24高三下·内蒙古赤峰·开学考试）已知函数 的最小值
为-1，则 .
【答案】2
【分析】由题意得出函数 在 上取得最小值-1，由此即可列出式子求解.
【详解】当 时， .
因为 的最小值为-1，所以函数 在 上取得最小值-1，
则 ，解得 .
故答案为：2.
【课后强化】
基础保分练
一、单选题
1．（2024·陕西西安·一模）已知全集 ，集合 ， ，
则 （ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先求集合M，然后由集合的运算可得.
【详解】由 解得 ，
所以 ，所以 .
故选：B2．（2024·山西运城·一模）已知符号函数 则函数
的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】先得到 为偶函数，排除AB，再计算出 ，得到正确答案.
【详解】 定义域为R，且为奇函数，故 ，
故 的定义域为R，
且
，
故 为偶函数，AB错误；
当 时， ，C错误，D正确.
故选：D
3．（2023·四川成都·模拟预测）给出下列 个函数，其中对于任意 均成立的是
（ ）
A． B．C． D．
【答案】D
【分析】根据函数定义逐项判断ABC，采用换元的方法求解D中函数的解析式并进行判断.
【详解】对于A，当 时， ；当 时， ，与函数定义矛盾，不符
合；
对于B，当 时， ；当 时， ，与函数定义矛盾，不
符合；
对于C，当 时， ；当 时， ，与函数定义矛盾，不符合；
对于D，令 ，则 ，所以 ，
令 ，所以 ，
所以 ，
所以 ，符合.
故选：D.
4．（2024·全国·模拟预测）已知集合 ， ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先解不等式，再利用集合的交集即可求解.
【详解】因为集合 且 ，所以 ．
又集合 ，所以 ，则 ．
故选：A．二、多选题
5．（23-24高三下·河南·阶段练习）已知非常数函数 的定义域为 ，且
，则（ ）
A． B． 或
C． 是 上的增函数 D． 是 上的增函数
【答案】AC
【分析】A.令 判断；B.令 ，分别令 ， 判断；CD.由
，令 判断.
【详解】解：在 中，
令 ，得 ，即 ．
因为函数 为非常数函数，所以 ，A正确．
令 ，则 ．
令 ，则 ，①
令 ，则 ，②
由①②，解得 ，从而 ，B错误．
令 ，则 ，即 ，
因为 ，所以 ，所以C正确，D错误．
故选：AC6．（2023·江苏连云港·模拟预测）已知函数 ，若关于 的方程
恰有两个不同的实数解，则下列选项中可以作为实数 取值范围的有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BCD
【分析】将方程 有根转化为曲线 和直线 的交点个数问题，根据
函数图像分析运算即可得解.
【详解】解：因为关于 的方程 恰有两个不同的实数解，
所以函数 的图象与直线 的图象有两个交点，作出函数图象，如下图所示，
所以当 时，函数 与 的图象有两个交点，
所以实数m的取值范围是 ．
四个选项中只要是 的子集就满足要求.
故选：BCD.
三、填空题
7．（2024·北京怀柔·模拟预测）函数 的定义域是 .
【答案】
【分析】利用对数函数的定义，列出不等式求解即得.【详解】函数 有意义，则 ，解得 或 ，
所以函数 的定义域是 .
故答案为：
8．（23-24高三上·河北保定·阶段练习）已知函数 在 上可导，且 ，
则 ．
【答案】
【分析】利用换元法求得 解析式，求导，求 即可.
【详解】令 ，则 ，则 ，即 ，
，所以 ．
故答案为：-4
四、解答题
9．（2023·江西九江·模拟预测）若 的定义域为 ，求 的
定义域．
【答案】 .
【分析】由题意列出不等式组解之即得.
【详解】由函数 的定义域为 ，则要使函数 有意义，
则 ，
解得 ,
∴函数 的定义域为 .
10．（2023·河南信阳·一模）已知函数 .(1)求不等式 的解集；
(2)若 ， ，且 ，求满足条件
的整数 的所有取值的和.
【答案】(1)
(2)6
【分析】（1）分 ， 和 三种情况讨论，去绝对值符号，解不等式即可；
（2）先判断函数的奇偶性，再去绝对值符号，作出函数图象，结合图象分类讨论即可得解.
【详解】（1）解：当 时， ，
∴ ，∴ ，∴ ；
当 时， ，∴ ， ，∴ ；
当 时， ，∴ ， ，∴ ，
综上，不等式 的解集为 ；
（2）解：因为
，
∴ 为偶函数，
当 时， ，
当 时， ，
当 时， ，
作出函数图象如图所示，若 ，则
① ，∴ ；
② ，∴ 或 ；
③ ， ，∴ ，
综上整数 的取值为0，1，2，3，故和为6.
11．（2024·陕西·模拟预测）已知函数 ．
(1)求 的最小值；
(2)若 恒成立，求实数 的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用分类讨论，去掉绝对值，结合一次函数的单调性即可得解；
（2）结合（1）中结论，作出 与 的大致图象，求得 恒成立的临界情
况对应的 值，从而得解.
【详解】（1）因为 ，
当 时， ，此时 ；
当 时， ，此时 ，即 ；当 时， ，此时 ；
综上， 的最小值为 .
（2）记 ，作出 与 的大致图象，
要使 恒成立，
则只需当函数 的图象过点 或 时，为临界情况（如图），
由 ，得 或 （舍去），
由 ，得 或 （舍去），
所以 ，即实数 的取值范围为 .
12．（2023·浙江温州·三模）已知函数 在区间 上恰有3个零点，其
中 为正整数.
(1)求函数 的解析式；
(2)将函数 的图象向左平移 个单位得到函数 的图象，求函数 的单
调区间.
【答案】(1) ；
(2) .【分析】（1）根据给定条件，求出 的范围，再结合正弦函数的零点情况列出不等式
求解作答.
（2）由（1）求出函数 的解析式，进而求出 ，再利用正切函数的单调性求解作
答.
【详解】（1）由 ，得 ，
因为函数 在区间 上恰有3个零点，
于是 ，解得 ，而 为正整数，因此 ，
所以 .
（2）由（1）知， ，
由 ，得 ，即有 ，
因此 ，
由 ，解得 ，
所以函数 的单调减区间为 .
综合提升练
一、单选题
1．（2024·陕西西安·一模）已知函数 ，则 （ ）
A． B． C． D．2
【答案】A
【分析】根据给定的分段函数，依次代入计算即得.【详解】函数 ，则 ，
所以 .
故选：A
2．（2023·吉林长春·模拟预测）已知函数 满足 ，则（ ）
A． 的最小值为2 B．
C． 的最大值为2 D．
【答案】B
【分析】首先根据题意得到 ，再结合二次函数的性质依次判断选项即可.
【详解】因为 ， ，
所以 .
所以 ，所以 的最小值 ，无最大值，为故A，C错误.
对选项B， ，
因为 ，所以 ，即 ，
故B正确.
对选项D， ，
因为 ，所以 ，即 ，
故D错误.故选：B
3．（2023·浙江·二模）已知函数 满足 ，则 可能是（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据函数 满足 ，一一验证各选项中的函数是否满足该性质，
即可得答案.
【详解】对于A， ，则 ， ，不满足 ；
对于B， ，则 ， ，
不满足 ；
对于C， ，则 ， ，不满足 ；
对于D， ，当 时， ，故 ；
当 时， ，故 ，
即此时 满足 ，D正确，
故选：D
4．（2024·山东枣庄·一模）已知集合 ， ，则
（ ）
A． B． C． D．【答案】D
【分析】首先解对数不等式求出集合 ，再根据函数的定义求出集合 ，最后根据补集、
并集的定义计算可得.
【详解】由 ，可得 ，所以 ，
即 ，
对于函数 ，则 ，解得 或 ，
所以 ，
所以 ，
所以 .
故选：D
5．（2023·全国·模拟预测）已知函数 ，若 ，则 的值为
（ ）
A．2或 B．2或 C． 或 D．1或
【答案】A
【分析】根据分段函数的解析式，讨论 的范围，明确方程，解出即可.
【详解】当 时， ，解得 ，
当 时， ，得 ，
所以 的值是2或 ．
故选：
6．（2024·全国·模拟预测）已知 ，函数 是 上的减函数，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据分段函数的单调性和指数函数的单调性列出不等式组，解之即可直接得出结
果.
【详解】因为函数 是减函数，所以 ．
又因为函数 5） 图像的对称轴是直线 ，
所以函数 在 上单调递减，在 上单调递增．
又函数 是 上的减函数，所以 ，解得 ，
所以 的取值范围是 ．
故选:B．
7．（23-24高三上·四川遂宁·期中）函数 的图象恒过点 ，
函数 的定义域为 ， ，则函数 的值域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由题可知，当 时，即可求出定点坐标 ，即可求得 的解析式，进
而可得 的解析式，再结合抽象函数的定义域求得 的定义域，结合函数的单调性即
可求解.
【详解】当 时，即 ，则 ，所以 恒过定点 ，
则 ，定义域为 ，由 ，得 ，
则 的定义域为 ，
则 ，
又 在 上单调递增，则 在 上单调递增，
则 ，
，
所以函数 的值域为 .
故选：C
8．（2024·浙江温州·二模）已知定义在 上的函数
，则下列结论正确的是（ ）
A． 的图象关于 对称 B． 的图象关于 对称
C． 在 单调递增 D． 有最小值
【答案】A
【分析】利用特殊值可排除B、C，利用函数的性质可确定A、D.
【详解】对于BC，由题意可知： ，
显然 的图象不关于 对称，而 ，故B、C错误；对于D，若 为有理数，则 ，显然 ，函数无最小值，故D错误；
对于A，若 是有理数，即 互质，则 也互质，即
，
若 为无理数，则 也为无理数，即 ，
所以 的图象关于 对称，故A正确.
下证： 互质，则 也互质.
反证法：若 互质， 不互质，不妨设 ，
则 ，此时与假设矛盾，所以 也互质.
故选：A
【点睛】思路点睛：根据抽象函数的对称性结合互质的定义去判定A、B，而作为抽象函数
可以适当选取特殊值验证选项，提高正确率.
二、多选题
9．（2022·安徽合肥·模拟预测）下列说法不正确的是（ ）
A．函数 在定义域内是减函数
B．若 是奇函数，则一定有
C．已知函数 在 上是增函数，则实数 的取值范围是
D．若 的定义域为 ，则 的定义域为
【答案】ABC
【分析】对于AB，取 ， 即可说明；对于C，分段讨论，但要注意结合 ，由此即可判断；对于D，由 即可判断.
【详解】对于AB，若 ，因为 ， 是奇函数，但
， 时， 无意义，故AB描述不正确，符合题意；
对于C，已知函数 在 上是增函数，
首先当 时， 单调递增，则 ，
其次当 时， （对称轴为 ）单调递增，则 ，即 ，
但若要保证函数 在 上是增函数，还需满足 ，
即 ，
所以实数 的取值范围是 ，故C描述不正确，符合题意；
对于D，若 的定义域为 ，则 的定义域满足 ，解得
，故D描述正确，不符合题意.
故选：ABC.
10．（2024·湖南·模拟预测）已知函数 是定义域为 的偶函数， 是定义域为 的
奇函数，且 .函数 在 上的最小值为 ，则
下列结论正确的是（ ）
A． B． 在实数集 单调递减
C． D． 或【答案】AC
【分析】根据函数的奇偶性可得出关于 的方程组，即可得 的解析式，
从而得选项A；结合函数的单调性，可判断选项B；根据 的解析式，求出 的解析
式，利用换元法，将所求函数转化为二次函数的最值问题，结合二次函数的对称轴和二次
函数的定义域，即可求出其最小值，从而解得 ，即可判断选项C与选项D.
【详解】A，因为 为偶函数，所以 ，又 为奇函数，所以
，
因为 ①，所以 ，即 ②，
由 得： ， ，所以选项A正确；
B，因为函数 在 上均为增函数，
故 在 上单调递增，所以选项 错误；
C、D，因为 ，
所以 ，
又 ，当 ，即 时等号成立， ，
设 ，对称轴 ，
当 时，函数 在 上为减函数，在 上为增函数，
则 ，解得 或 （舍）；
当 时， 在 上单调递增， ，解得： ，
不符合题意.
综上 ，所以选项C正确， 错误.故选： .
11．（23-24高三上·黑龙江大庆·阶段练习）对于函数 ．下列
结论正确的是（ ）
A．任取 ，都有
B．函数 有2个零点
C．函数 在 上单调递增
D．若关于 的方程 有且只有两个不同的实根 ，则 ．
【答案】AD
【分析】利用分段函数及三角函数的图象与性质一一判定选项即可.
【详解】
根据分段函数的性质可知： 时， ，
当 时， ，……可作出函数 的部分图象，如上所示，
对于选项A，易知 时， ，
故任取 ，都有 ，
当 或 时取得等号，故A正确；
对于选项B， 的零点即 与 的交点横坐标，易知 在 上单调递增，
而 ， ，
，
利用零点存在性定理及三角函数的单调性结合图象可知，
在 和 上分别各一个零点，
又 也是其一个零点，故B错误；
对于C项，易知 ，此时 在 上单调递增，故C错误；
对于D项，由图象可知 时满足题意，由三角函数的对称性可知 ，故
D正确.
故选：AD
【点睛】方法点睛：本题利用函数的“类周期”性质，作出函数草图，根据数形结合及三
角函数的性质、函数与方程的关系一一判定选项即可.
三、填空题
12．（2024·北京平谷·模拟预测）函数 的定义域是
【答案】
【分析】根据分数和对数有意义的条件即可求解.
【详解】函数 有意义的条件是 ，解得 且 ，
所以函数 定义域为 .
故答案为： .
13．（2023·湖南娄底·模拟预测）已知函数 满足以下条件：①在区间 上单调递增；②对任意 ， ，均有 ，则 的一个解析式为 ．
【答案】 （答案不唯一）
【分析】根据对数运算性质及对数函数性质写出一个函数解析式即可.
【详解】如： ，则 ， ，
又 ，则 ，
此时 在区间 上单调递增，满足题设.
故答案为： （答案不唯一）
14．（2024·辽宁·一模）已知集合 ， ，则
， .
【答案】
【分析】首先解一元二次不等式求出集合 ，再根据交集的定义计算可得.
【详解】由 ，即 ，解得 ，
所以 ，
又 ，所以 .
故答案为： ；
四、解答题
15．（2023·山东·模拟预测）已知函数 的图像过点 ．
(1)求实数 的值；
(2)判断函数的奇偶性并证明．
【答案】(1)2
(2)奇函数，证明见解析【分析】（1）将点坐标代入解析式求解，
（2）由奇函数的定义证明．
【详解】（1）解：∵函数 的图像过点 ，
∴ ，∴ ；
（2）证明：∵函数 的定义域为 ，
又 ，
∴函数 是奇函数．
16．（2023·四川遂宁·模拟预测）已知集合 ，函数 的定
义域为集合 ．
(1)当 时，求 ；
(2)设命题p： ，命题q： ，若p是q的充分不必要条件，求实数 的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意得 或 ，再求交集运算即可；
（2）由题知 或 ， ，再根据集合关系求解即可.
【详解】（1）解：当 时， ，
由题意 ，解得 或 ，所以 或 ，
又 ，
所以 .
（2）解：由题意 ，即 ，解得： 或 ，所以 或 ，
因为p是q的充分不必要条件，
所以，集合 是集合 的真子集，
所以 或 ，解得 或
故实数 的取值范围 ．
17．（2023·河南·模拟预测）已知 为定义在 上的偶函数， ，且
．
(1)求函数 ， 的解析式；
(2)求不等式 的解集．
【答案】(1) ； ；
(2) .
【分析】（1）由题可得函数 为奇函数，然后根据奇函数和偶函数的性质列方程求函
数 ， 的解析式；
（2）令 ，进而 可化为 ，根据指数函数性质解不
等式即得.
【详解】（1）由题意易知， ，则 ，
即 ，
故 为奇函数，故 为奇函数，
又 ①，则 ，故 ②，
由①②解得 ， ；
（2）由 ，可得 ，
所以 ，即 ，
令 ，则 ，
解得 ，
所以 ，即 ，
所以 ，
解得 ，
故不等式的解集为 ．
18．（23-24高三下·青海海南·开学考试）已知 ，函数 .
(1)当 时，解不等式 ;
(2)若 的图象与 轴围成的面积小于 ，求 的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据绝对值不等式及一元二次不等式的解法求解；
（2）转化为分段函数，求出三角形顶点坐标即可求出面积，解不等式得解.
【详解】（1）当 时， 化为 ，即 ，可得， ，即 ，
所以 ，解得 或 ，
所以不等式的解集为 .
（2）由题设可知， ，
所以 的图象与 轴围成的三角形的三个顶点分别为
，
所以三角形面积 ，
即 ，所以 ，解得 ，
又 ，所以 .
19．（2023·河北衡水·模拟预测）已知函数 ，其中
(1)求 的单调区间
(2)求方程 的零点个数.
【答案】(1)单调增区间是 ,单调减区间是
(2) 个
【分析】(1)求 的导函数,解导函数不等式,即可求出单调递增和递减区间;
(2)利用（1）中函数的单调性可得相应的方程，再构建新函数，从而可判断相应方程的根，注意结合 这个性质.
【详解】（1）当 , ,又因为 ,所以 ,
是单调增区间;
当 , ,又因为 ,所以 , 是单调
减区间;
（2）对于方程 ,
当 ,
当 在 是单调递增的;
方程 ,所以 ,
设
,设 , ,
在 是单调递增的，而 ，
故当 时， ，当 时， ，
故 在 上是单调递增，在 上单调递减.
故在 上有 ，
下证当 ，
设 ，则 ，
故 在 上为增函数，故 ，
故原不等式成立.由 可得 ，
故当 时，有 ，
故此时方程 在 上有且只有一个实数根.
当 时， ，
由 在 为减函数可得 ，其中 ，
因为 在 为减函数，故 在 为减函数，
， ，
因为 ，故 ，所以 ，故 ，
故方程 在 上有且只有一个实数根.
若 ，则 ，
而由 的解析式可得 .
故方程 即为 ，
此时 ，故 ，其中 ，
设 ， ，则 ，
故 在 上为减函数，而 ，
，
故此时 在 有且只有零点
即 在 有且只有一个零点，方程 的零点个数有 个
【点睛】思路点睛：复合方程的解的个数讨论，应该根据外函数的单调性和函数解析式满
足的性质将复杂方程转化为简单方程来处理，后者可进一步利用导数来处理.
拓展冲刺练
一、单选题
1．（2023·四川成都·模拟预测）执行如图所示的程序框图，将输出的 看成输入的 的函
数，得到函数 ，若 ，则 （ ）
A． B． C． 或 D．1
【答案】B
【分析】根据程序框图得到函数解析式，再根据函数解析式求出 ，再分类讨论，结
合函数解析式计算可得.
【详解】由程序框图可得 ，则 ，
若 ，即 时， ，解得 （舍去）；
若 ，即 时， ，解得 .
故选：B2．（2023·全国·模拟预测）设 ，若 ，则
（ ）
A．14 B．16 C．2 D．6
【答案】A
【分析】根据 的定义域可得 ，分 和 两种情况，结合题意解得
，代入求解即可.
【详解】因为 的定义域为 ，则 ，解得 ，
若 ，则 ，可得 ，不合题意；
若 ，则 ，可得 ，解得 ；
综上所述： .
所以 .
故选：A.
3．（2023·河南郑州·二模）若函数 的部分图象如图所示，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A【分析】根据函数图象，利用待定系数法求出函数解析式，即可得解.
【详解】由图象知， 的两根为2，4，且过点 ，
所以 ，解得 ，
所以 ，
所以 ，
故选：A
4．（23-24高三上·河北保定·期末）已知函数 满足： ， ，
成立，且 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】令 ，求出 ，令 ，求出 ，令 ，求出 ，
再令 ，可求出 的关系，再利用累加法结合等差数列前 项和
公式即可得解.
【详解】令 ，则 ，所以 ，
令 ，则 ，
所以 ，
令 ，则 ，所以 ，
令 ，则 ，所以 ，
则当 时， ，
则
，
当 时，上式也成立，
所以 ，
所以 .
故选：C.
5．（2024高三·全国·专题练习）已知函数 ，若关于 的方程
有8个不相等的实数根，则实数 的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】利用导数研究函数 的图象和性质，结合绝对值函数的图象作出函数
的大致图象，然后根据题意得到一元二次方程根的分布，从而得到关于 的不等式组，
解不等式组即可得到实数 的取值范围.
【详解】令 ，则 ，令 ，解得 ，
故当 时， 单调递增，当 时， 单调递减，
所以 ，且当 时， ，当 时， ，结合绝对值函数的图象可画出函数 的大致图象，如图所示：
令 ，则方程 ，
即方程 ， ，
①当 时， 式无实数根，直线 和 的图象无交点，原方程无实数根；
②当 时， 式有两个相等的实数根，直线 和 的图象最多有4个交点，
因此要使 有8个不相等的实数根，
则 式有两个不相等的实数根，不妨设为 ，且 ，则 .
则 ，解得 .
故选：C.
【点睛】关键点点睛：本题关键在于借助导数与绝对值函数的性质作出函数 的大致图
象，然后根据题意得到一元二次方程根的分布，从而得到关于 的不等式组，
二、多选题
6．（2023·河南·模拟预测）已知函数 在R上单调递增，函数 在 上单调递增，
在 上单调递减，则（ ）
A．函数 在R上单调递增B．函数 在 上单调递增
C．函数 在 上单调递减
D．函数 在 上单调递减
【答案】AB
【分析】由复合函数的单调性判断方法逐一判断即可.
【详解】因为 在R上单调递增，所以 在R上单调递增，故A正确；
因为 在R上单调递增， 在 上单调递增，所以 在 上单调递增，
故B正确；
因为 在 上单调递增，所以 在 上单调递减，因为 的值域是否在
上无法判断，
所以 在 上的单调性无法判断，故C错误；
因为 在R上单调递减， 在 上单调递减，因 的值域是否在 上
无法判断，所以 在 上的单调性无法判断，故D错误.
故选：AB.
7．（2023·海南·模拟预测）已知符号函数 ，
函数 则下列说法正确的是（ ）
A． 的解集为
B．函数 在 上的周期为C．函数 的图象关于点 对称
D．方程 的所有实根之和为
【答案】AC
【分析】利用新定义及三角函数的性质一一判定即可.
【详解】根据定义可知 ，故 的解集为 ，A正
确；
所以 ，
而 ，显然 ， 不是函数 的一个周期，故
B错误；
由题意可得 ，即函数 的图象关于点
对称，故C正确；
由上可知 ，故 ，即函数 的图象也关于点 对称且最大值为2，易知 在 上单调递增，
且 ，
所以由零点存在性定理知在 内方程 存在一根，
由函数的对称性可知 有3个根，
且该3根之和为 ，
故D错误.
故选：AC
【点睛】本题关键在于函数的对称性，二级结论如下：若函数 满足
函数 关于 中心对称，此外D项需要判定函数的
单调性及零点存在位置，注意不能忽略 .
8．（2024·全国·一模）已知函数 的定义域为 ，且满足① ；
② ；③当 时， ，则（ ）
A． B．若 ，则C． D． 在区间 是减函数
【答案】BC
【分析】根据题意求出 的解析式 ，然后就可逐项求解判断.
【详解】由题意得当 时，令 ，则 ，
因为 ，所以 ，
当 时，令 ，则 ，
又因为 ，所以 ，即 ，
但 在 时不成立，
若有 且 ，则得 ，
这时总可以找到 ，使 ，所以 ,
即 ，此式与 矛盾，即 ，
从而 ，
对A： ，故A错误；
对B： ，即 ，即 ，故B正确；
对C： ，故C正确；
对D：当 ， 为增函数，故D错误；
故选：BC.
【点睛】关键点点睛：本题主要是根据题中给出的3个条件进行合理运用求出函数的解析式，在求解析式时需要分情况讨论并且要巧妙的当 时设 ，当 时
设 ，再结合题中条件从而可求解.
三、填空题
9．（2023·广东佛山·模拟预测）写出一个同时具备下列性质①②③的函数 .
①定义城为 ，②导函数 ；③值域为
【答案】 （答案不唯一）
【分析】取 ，验证定义域，导数，值域即可.
【详解】取 ，
因为 ，解得 ，所以 的定义城为 ，符合①；
，符合②；
因为 ，所以 的值域为 ，符合③.
故答案为： （答案不唯一）
10．（2023·上海徐汇·三模）函数 的定义域为 .
【答案】
【分析】利用对数函数的定义列出不等式，求解不等式作答.
【详解】函数 中， ，即 ，解得 ，
所以函数 的定义域为 .
故答案为：
四、解答题
11．（2024·陕西咸阳·模拟预测）已知函数 ．(1)画出函数 的图象；
(2)设函数 的最大值为 ，若正实数 ， ， 满足 ，求
的最小值．
【答案】(1)作图见解析；
(2) .
【分析】（1）化函数 为分段函数，再作出图象即得.
（2）由（1）求出 的值，再利用柯西不等式求出最小值.
【详解】（1）依题意，函数 ，函数 的图象如下：
（2）由（1）知，当 时， ，当 时， 单调递减， ，
当 时， ，因此 ，即 ，则 ，有 ，
由柯西不等式得 ，
于是 ，当且仅当 时取等号，
由 ，且 ，得 ，
所以当 时， 取得最小值 .
12．（23-24高三上·河北·期末）在信息论中，熵（entropy）是接收的每条消息中包含的信
息的平均量，又被称为信息熵､信源熵､平均自信息量.这里，“消息”代表来自分布或数据
流中的事件､样本或特征.（熵最好理解为不确定性的量度而不是确定性的量度，因为越随
机的信源的熵越大）来自信源的另一个特征是样本的概率分布.这里的想法是，比较不可能
发生的事情，当它发生了，会提供更多的信息.由于一些其他的原因，把信息（熵）定义为
概率分布的对数的相反数是有道理的.事件的概率分布和每个事件的信息量构成了一个随机
变量，这个随机变量的均值（即期望）就是这个分布产生的信息量的平均值（即熵）.熵的
单位通常为比特，但也用 、 、 计量，取决于定义用到对数的底.采用概率分布的
对数作为信息的量度的原因是其可加性.例如，投掷一次硬币提供了1 的信息，而掷 次
就为 位.更一般地，你需要用 位来表示一个可以取 个值的变量.在1948年，克劳
德•艾尔伍德•香农将热力学的熵，引入到信息论，因此它又被称为香农滳.而正是信息熵的
发现，使得1871年由英国物理学家詹姆斯•麦克斯韦为了说明违反热力学第二定律的可能
性而设想的麦克斯韦妖理论被推翻.设随机变量 所有取值为 ，定义 的信息熵
，（ ， ）。
(1)若 ，试探索 的信息熵关于 的解析式，并求其最大值；
(2)若 ， （ ），求此时的信息熵.【答案】(1) ， ，最大值为 .
(2) .
【分析】（1）由题意可知 且 ，减少变量可得 的信
息熵关于 的解析式，求导可得单调性，故而求出最大值；
（2）由 可知数列 从第二项起，是首项为 ，公比为2的等比数列，故而可
求出 （ ）的通项公式，再由 可得 的解析式.
【详解】（1）当 时， , ，
令 ， ，
则 ，
所以函数 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以当 时， 取得最大值，最大值为 .
（2）因为 ， （ ），
所以 （ ），
故 ，
而 ，
于是 ，整理得
令 ，
则 ，
两式相减得
因此 ，
所以 .
【点睛】关键点点睛：第二问，根据等比数列定义写出 ，进而写出 的通项公式，
应用裂项相消及等比数列前n项和公式求化简.
