专题2.5 偶函数与奇函数
2.5.1 偶函数与奇函数的概念与性质
知识点梳理
1.函数奇偶性的定义及图象特点
奇偶性
定义
图象特点
偶函数
如果对于函数f(x)的定义域内
任意一个x，都有f(-x)=f(x)，
那么函数f(x)就叫做偶函数
关于y 轴对称
奇函数
如果对于函数f(x)的定义域内
任意一个x ，都有f(-x)=-
f(x)，
那么函数f(x)就叫做奇函数
关于原点对称
判断f(-x)与f(x)的关系时，也可以使用如下结论：
（1）如果f(-x)-f(x)=0 或f(−x)
f(x)
=1(f(x)≠0)，则函数f(x)为偶函数；
（2）如果f(-x)+f(x)=0 或f(−x)
f(x)
=−1(f(x)≠0)，则函数f(x)为奇函数．
2.函数奇偶性的性质
（1）奇函数、偶函数的定义域关于原点对称.
（2）奇偶函数的图象特征：
函数f(x)是偶函数
函数f(x)的图象关于y 轴对称；
函数f(x)是奇函数
函数f(x)的图象关于原点中心对称.
（3）若奇函数f(x)在x=0 处有意义，则有f(0)=0；偶函数f(x)必满足f(x)=f(|x|).
（4）偶函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相反；奇函数在其定义域
内关于原点对称的两个区间上单调性相同.
典型例题
例1.设f(x)是定义在R 上的奇函数，且对任意a，b∈R，当a＋b≠0 时，都有>0.
(1)若a>b，试比较f(a)与f(b)的大小关系；
(2)若f(1＋m)＋f(3－2m)≥0，求实数m 的取值范围．
例2.设函数f(x)=1−x
1+x
，则下列函数中为奇函数的是( )
A.f(x
1)
−
B.f(x
1)+1
−
C.f(x+1) 1
− D.f(x+1)+1
例3.若f ( x)=( x−1)
2+ax +sin(x + π
2)
为偶函数,则a= .
随堂演练
1.已知函数f(x)＝为奇函数，则a＝________；b＝________.
2.已知函数f(x)＝x7－ax5＋bx3＋cx＋2，若f(－3)＝－3，则f(3)＝________.
3.已知f(x)是定义在R 上的偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增．若f(－3)＝0，则<0 的
解集为________________．
4.若定义在R上的函数f(x)满足:对任意x1,x2∈R有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)则下列说
法一定正确的是( )
A.f(x)为奇函数 B.f(x)为偶函数
C.f(x)+1为奇函数 D.f(x)+1为偶函数
5.函数y=log22−x
2+x
的图像( )
A.关于原点对称 B.关于直线y=−x对称
C.关于y轴对称 D.关于直线y=x称
6.若f(x)=(x+a)ln2x
1
−
2x+1
为偶函数,则a =( )
A.
1
− B. 0 C. 1
2
D. 1
7.设函数f(x)=cosx+ bsinx(b为常数),则“b=0”是“f(x)为偶函数”的( )
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
8.若函数f(x)=xln(x+
❑√a+x
2)为偶函数,则a = .
9.若函数f(x)=loga(x+
❑√x
2+2a
2)为奇函数,则a = .
10.设函数f(x)=e
x+ae
−x(a为常数).若f(x)为奇函数,则a = ;若f(x)是R上的增
函数, 则a的取值范围是 .
11.已知函数f(x)=x
3(a⋅2
−x−2
x)是偶函数,则a = .
12. 设函数f(x)在( ∞,+∞)
−
内有定义, 下列函数:①y= |
−f(x)|;②y=xf(x
2);③
y=−f(−x);④y=f(x)−f(−x)中必为奇函数的有 . (填选所有正确答案的
序号)
2.5.2 偶函数、奇函数组合函数
知识点梳理
运算函数的奇偶性规律：对于运算函数有如下结论：
（1）奇±奇=奇；偶±偶=偶；奇±偶=非奇非偶.
（2）奇×（÷）奇=偶；奇×（÷）偶=奇；偶×（÷）奇=奇；偶×（÷）偶=偶.
典型例题
例1.(多选)设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论
中不正确的是( )
A．f(x)g(x)是偶函数 B．|f(x)|g(x)是奇函数
C．f(x)|g(x)|是奇函数 D．|f(x)g(x)|是奇函数
随堂演练
1.已知函数f（x）＝x2+1
4
，g（x）＝sinx，则图象为如图的函数可能是（ ）
A．y＝f（x）+g（x）−1
4
B．y＝f（x）﹣g（x）−1
4
C．y＝f（x）g（x）
D．y＝g(x)
f(x)
2.已知定义在R上的三个函数,其中f(x)为偶函数,g(x),h(x)是奇函数,且f(x)在
[0,+∞)上单调递增,g(x)在R,f(x)⋅g(x),h(x)上单调递增,h(x)在R上单调递减,则
（ ）
A.f(x)⋅g(x)是奇函数,且在( ∞,0)
−
上单调递增
B.f(x)⋅g(x)是偶函数,且在( ∞,0)
−
上单调递减
C.g(x)⋅h(x)是奇函数,且在( ∞,0)
−
上单调递减
D.g(x)⋅h(x) 是偶函数,且在( ∞,0)
−
上单调递增
3.设f(x)是R上的任意函数,则下列叙述正确的是( )
A.f(x)f(−x)是奇函数 B.f(x)|f(−x)|是奇函数
C.f(x)−f(−x)是偶函数 D.f(x)+f(−x)是偶函数
4.已知f(x),g(x)有相同的定义域,f(x)是偶函数,g(x)是奇函数,且g(x)≠0,则 ( )
A.f(x)+g(x)为奇函数 B.f(x)−g(x)为偶函数
C.f(x)⋅g(x)是偶函数 D.f(x)
g(x)
是奇函数
5.设函数f(x),g(x)的定义域都为R,且f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,则( )
A.y=f(x)⋅g(x)是偶函数 B.y=|f(x)|⋅g(x)是偶函数
C.y=f(|x|)⋅g(x)是奇函数 D.y=|f(x)|⋅g(x)是奇函数
6.设函数f(x)和g(x)分别是R上的偶函数和奇函数,则下列结论恒成立的是( )
A.f(x)+|g(x)|是偶函数 B.f(x) |
−g(x)|是奇函数
C.|f(x)|+g(x)是偶函数 D.|f(x)|−g(x)是奇函数
2.5.3 偶函数、奇函数之解不等式
知识点梳理
题型：已知偶函数、奇函数及其相关不等式，结合偶函数、奇函数的概念和性质求解
相关的范围.
典型例题
例1.已知函数f（x）＝x|x|，则关于x 的不等式f（2x）＞f（1﹣x）的解集为（ ）
A．( 1
3 ，+∞)
B．(−∞，1
3 )
C．( 1
3 ，1)
D．(−1，1
3 )
例2.若函数f(x)是定义在R上的偶函数，在区间( ∞,0]
−
上是减函数，且f(2)=0,则使
f(x)<0 的x的取值范围是（ ）
A.( ∞,2)
−
B.(2,+∞)
C.( 2,2)
−
D.(
∞
−
例3.设f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)=x
2，若对任意的
x∈[t,t+2]，不等式f(x+t)≥2f(x)恒成立，则实数t的取值范围是( )
A.[❑√2,+∞) B.[2,+∞)
C.(0,❑√2] D.[−❑√2, 1]∪[
−
❑√2,❑√3]
随堂演练
1.若函数f(x),g(x)分别为R上的奇函数、偶函数，且满足f(x)−g(x)=e
x，则有(
)
A.f(2)<f(3)<g(0) B.g(0)<f(3)<f(2)
C.f(2)<g(0)<f(3) D.g(0)<f(2)<f(3)
2.设f(x)是定义域为R的偶函数，且在(0,+∞)单调递减，则( )
A.f(log31
4)>f(2
−3
2)>f(2
−2
3) B.f(log31
4)>f(2
−2
3)>f(2
−3
2)
C.f(2
−3
2)>f(2
−2
3)>f(log31
4)
D.f(2
−2
3)>f(2
−3
2)>f(log31
4)
3.已知函数f(x+2)为偶函数,且当x≥2时,f(x)=log1
7
(x
2
4
−x+7),若f(a)>f(b),则(
)
A. (a+ b
4)(
−
a−b)<0
B. (a+ b
4)(
−
a−b)>0
C. (a+ b+4)(a−b)<0
D. (a+ b+4)(a−b)>0
4.设奇函数f(x)在(0,+∞)上为增函数，且f(1)=0，则不等式f(x)−f(−x)
x
<0的解
集为( )
A.( 1,0)∪(1,+∞)
−
B.(
∞
−
C.(
∞
−
D.( 1,0)∪(0,1)
−
5. 函数f(x)在( ∞,+∞)
−
单调递减，且为奇函数，若f(1)= 1
−，则满足
1≤
−
f(x
2)≤1
−
的x的取值范围是( )
A.[ 2,2]
−
B.[ 1,1]
−
C.[0,4] D.[1,3]
6.已知f(x)是定义域为R的偶函数，当x≥0时,f(x)=x
2
4
−x,那么不等式f(x+2)<5的
解集是 .
7.已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)=x
2
4
−x，则不等式f(x)>x的解
集用区间表示为 .
8. 设函数f(x)是定义在R上的奇函数，若当x∈(0,+∞)时，f(x)=lgx，则满足
f(x)>0的x的取值范围是 .
9.设偶函数f(x)的定义域为[ 5,5]
−
,若当x∈[0,5]时,f(x)的图象如图所示,则不等式
f(x)<0的解集是 .
