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2.3 函数的对称性、周期性、图像（精讲）
考向一 函数的对称性
【例1-1】（24-25 高三下·四川成都·开学考试）已知函数
，则（ ）
A．
关于点
对称
B．
关于点
对称
C．
关于直线
对称
D．
关于直线
对称
【例1-2】（2025·河北沧州·模拟预测）已知函数
的定义域为
，满足
为奇函数，
为偶函
数，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【例1-3】（2025·河南·一模）已知曲线
关于点
中心对称，则
（ ）
A．2
B．1
C．
D．
【一隅三反】
1.（24-25 安徽蚌埠·期末）若函数
是奇函数，则下列各点一定是函数
图象对称中心的是
（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（24-25 高三上·河北保定·期末）已知函数
，则
的图象（ ）
A．关于直线
对称
B．关于点
对称
C．关于直线
对称
D．关于原点对称
3．（2025 高三·全国·专题练习）（多选）下列关于函数
的正确结论有（ ）
A．
无对称轴
B．
无对称中心
C．
有对称轴
D．
有对称中心
4．（2026 高三·全国·专题练习）（多选）下列说法正确的是（ ）
A．函数
的图象关于点
中心对称
B．函数
满足
为奇函数，则函数
关于点
中心对称
C．若函数
过定点
，则函数
过定点
D．若函数
的图象关于点
中心对称，则
5．（24-25 高三下·河南周口·阶段练习）若函数
的图象关于直线
对称，则
．
6．（2025 高三·全国·专题练习）若函数
的图象关于点
对称，则
.
考向二 函数的周期性
【例2-1】（2025·上海嘉定·三模）函数
，
满足
，当
，
，
则
.
【例2-2】（2026 高三·全国·专题练习）已知函数
满足对于任意的实数
，都有
，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．1
【例2-3】（2026 高三·全国·专题练习）已知奇函数
的图象关于直线
对称且
，则
（ ）
A．
B．1
C．0
D．3
【例2-4】（2025·河北张家口·一模）已知定义在实数集上的函数
满足以下条件：①
；②
；③
.则
（ ）
A．
B．0
C．1
D．2
【例2-5】（2026 高三·全国·专题练习）已知函数
及其导函数
的定义域都为R，且
为偶函数，
为奇函数，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【一隅三反】
1．（2026 高三·全国·专题练习）已知定义在
上的奇函数
满足
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
2（2025·山西·一模）已知
是定义在R 上的奇函数，且
的一个周期为4，若
，则
（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3
3.（2024·陕西榆林·二模）已知定义在
上的函数
满足
，当
时，
，则
（ ）
A．1
B．2
C．
D．-2
4.（24-25 高三下·甘肃白银·阶段练习）已知函数
，
的定义域均为R，
为偶函数，
为奇
函数，
，
，则
（ ）
A．
B．0
C．2
D．2025
考向三 函数性质的综合应用---解不等式
【例3-1】（2025·河南·三模）已知定义在
上的函数
的图象是一条连续不断的曲线，且
满足
在区间
上单调递减，
，则关于
的不等式
的解集为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【一隅三反】
1.（2025·河北）已知函数
为偶函数，且函数
在
上单调递增，则关于x 的不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
2.（2025 广东）已知函数
的定义域为R，
，且
在
上单调递减，则关于
的不
等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
3.（2026 高三·全国·专题练习）已知函数
的定义域为
，且
为偶函数，
在
上单调递
减，则不等式
的解集为 ．
考向四 函数性质的综合应用---比较大小
【例4】（24-25 高三下·湖北·阶段练习）已知定义域为
的函数
满足
，且当
时，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【一隅三反】
1.（2026 高三·全国·专题练习）已知定义在R 上的奇函数
满足
，当
时，
单
调递增，则（ ）
A．
B．
C．
D．
2.（2025·江西九江·二模）已知
是定义在
上周期为2 的偶函数，且当
时，
.设
，
，则
的大小关系是（ ）
A．
B．
C．
D．
3.（23-24 高三上·福建龙岩·阶段练习）（多选）定义在R 上的奇函数
满足
，且当
时，
，则下列结论不正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
考向五 函数4 大性质的综合应用
【例5-1】（2025 高三·全国·专题练习）已知定义在
上的函数
满足
，且
为偶函数，则下列说法正确的是（ ）
A．函数
的周期为2
B．函数
的图象关于直线
对称
C．函数
为奇函数
D．函数
的图象关于点
对称
【例5-2】（2026·广西）已知
，
分别为定义在R 上的
，
的导函数，且
，
，若
是偶函数，则下列结论一定正确的是（ ）
A．函数
的图象关于点
对称
B．函数
的图象关于直线
对称
C．3 是
的一个周期
D．
【一隅三反】
1.（2025·河南驻马店·模拟预测）（多选）已知函数
是R 上奇函数，
是R 上偶函数，且
，则（ ）
A．
的图象关于点
对称
B．
是周期函数
C．
D．
2．（2025 高三下·全国·专题练习）（多选）已知定义在
上的奇函数
的图象连续不断，且满足
，则以下结论成立的是（ ）
A．函数
的一个周期
B．
C．点
是函数
图象的一个对称中心
D．
在
上有4 个零点
3.（2025·河北秦皇岛·二模）（多选）记定义在
上的函数
与
的导函数分别为
和
，若
，
，且
，则（ ）
A．
B．
的图象关于直线
对称
C．
是周期函数，且其中一个周期为8
D．
4．（2025 高三·全国·专题练习）（多选）已知定义在
上的函数
，
满足
，
，且
为奇函数，
，则（ ）
A．
B．
为奇函数
C．
为偶函数
D．
考向六 函数图像
【例6-1】（2025·陕西西安·二模）函数
的图象大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
【例6-2】（2025·四川南充·三模）函数
的图象如图所示，则
的解析式可能为（ ）
A．
B．
C．
D．
【一隅三反】
1.（2025·山东·模拟预测）函数
的图象大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（23-24 云南大理·期中）函数
的大致图象是（ ）
A．
B．
C．
D．
3.（2025·湖北·模拟预测）已知函数
的部分图象如图所示、则
的解析式可能为（ ）
A．
B．
C．
D．
考向七 抽象函数
【例7-1】（24-25 高三上·福建漳州·阶段练习）（多选）已知定义在
上的函数
不恒等于
，且
对任意的
，有
，则（ ）
A．
B．
是偶函数
C．
的图象关于点
中心对称
D．
是
的一个周期
【一隅三反】
1．（2024·黑龙江·模拟预测）（多选）已知函数
的定义域为
，若
，有
，
，则（ ）
A．
B．
C．
为偶函数
D．4 为函数
的一个周期
【例7-2】（2024·河北保定·三模）已知函数
在
上单调递增，且
对任
意
恒成立，则
A．
B．
是奇函数（ ）
C．
是奇函数
D．
恒成立
【例7-3】（2025·广东深圳·三模）（多选）已知函数
的定义域为
，
，
，则（ ）
A．
B．
的图象关于点
对称
C．
的图象关于直线
对称
D．
考向八 函数新定义
【例8-1】（2025·山东·模拟预测）若定义在
上的函数
，
，
，
，
可以作
为一个三角形的三条边长，则称
是
上的
三角形函数
．已知函数
“
”
是定义在区间
上的
三角形函数
，则
“
”
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【一隅三反】
1．（2025·云南·一模）（多选）已知函数
的定义域为
，若存在常数
，使得对任意
，都有
成立，则称
为
类周期函数
．下列函数中是类周期函数的是（
“
”
）
A．
B．
C．
D．
2．（2025·山东·二模）（多选）若定义在
上的函数
同时满足：①
；
对
②
，
成立；
对
③
，
，
，
成立；则称
为
正方和谐函数
，下列说
“
”
法正确的是（ ）
A．
，
是
正方和谐函数
“
”
B．若
为
正方和谐函数
，则
“
”
C．若
为
正方和谐函数
，则
“
”
在
上是增函数
D．若
为
正方和谐函数
，则对
“
”
，
成立
3．（2025·云南·一模）（多选）定义在
上的函数
，如果对任意
，都有
，且等号仅在
时成立，则称函数
为
凸函数
“
”.下列函数是凸函数的是
（ ）
A．
B．
C．
D．
