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2.4 指数运算及指数函数（精讲）
考向一 指数的运算
【例1-1】（2025 高三·全国·专题练习）[多选]下列运算正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．若
，则
．
【一隅三反】
（2026 高三·全国·专题练习）化简与求值．
(1)
；
(2)
．
(3)化简：
；
(4)计算：
；
(5)已知
，求
的值．
(6)
；
(7)
（8）求值：
（9）
（10）(10)
考向二 指数函数的图像
【例2-1】2025 湖北）函数
的图象恒过定点
，若点
在直线
上，
其中
，则
的最小值为___________.
【例2-2】（24-25 高三上·山东·阶段练习）如图所示，若
，函数
与
的图象可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【一隅三反】
1．（24-25 高三上·山东·阶段练习）函数
的图象恒过的定点是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2025 高三·全国·专题练习）已知
且
，则函数
与函数
的图象可能的
是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2025 高三·全国·专题练习）函数
的大致图象为（ ）
A．
B．
C．
D．
考向三 指数函数定义域
【例3】（24-25 江苏）已知函数
的定义域为
，则函数
的定义域是（ ）
A．
B．
C．
D．
【一隅三反】
1．（23-24 四川）函数
的定义域为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（23-24·福建漳州·期末）函数
的定义域为（ ）
A．
B．
C．
D．
3.（2024 湖南）设函数
，则函数
的定义域为（ ）
A．
B．
C．
D．
考向四 指数型函数的值域
【例4-1】（1）（24-25 高三下·甘肃白银·阶段练习）函数
的值域为
（2）（2024·贵州·模拟预测）已知函数
，则
的最大值是 .
（3）（2024 上海虹口·期中）已知函数
，则
的值域为 ．
（4）（2025 湖北）函数
的值域为
【例4-2】（1）（2024·四川成都·二模）已知函数
的值域为M.若
，则实数a 的取值范
围是（ ）
A．
B．
C．
D．
（2）（2024·陕西榆林·模拟预测）已知函数
在区间
上的值域为
.若
，
则
的值为（ ）
A．8
B．6
C．4
D．2
（3）（2024·河北保定·三模）已知
的值域为
，
，则
的取值范围
是（ ）
A．
B．
C．
D．
【一隅三反】
1．（2024·全国·模拟预测）函数
的值域为 ．
2．（2025·宁夏）已知函数
，
，则其值域为_______．
3（2025 广东）已知函数
存在最大值，则实数a 的取值范围是
4（2025·甘肃）已知函数
的值域为R，则实数a 的取值范围是
5（2025 河北）已知
的最小值为2，则
的取值范围为
考向五 指数型函数的单调性
【例5-1】（2024 上海静安·阶段练习）函数
的严格增区间是 .
【例5-2】（2025·青海西宁·二模）已知函数
在区间
上单调递减，则实数a 的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【例5-3】（24-25 高三下·北京·阶段练习）已知函数
在R 上单调递增，则a 的取值
范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【一隅三反】
1.（2024 湖南岳阳·期中）已知函数
，则函数
单调递增区间为（ ）
A．
B．
C．
D．
2（2025·河北秦皇岛·一模）设函数
在区间
上单调递减，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2025·贵州毕节·二模）已知函数
在区间
上单调递增，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2025·湖北黄冈·模拟预测）已知函数
在R 上单调递增，则
的取值范围是
．
考向六 指数型函数的奇偶性
【例6-1】（24-25 高三上·河北唐山·阶段练习）已知函数
为奇函数，则
（ ）
A．2
B．1
C．0
D．
【例6-2】（2025·江苏）若函数
是偶函数，则
（ ）
A．
B．
C．1
D．2
【一隅三反】
1．（2025 河北）已知函数
，则“
是
函数
”
“
为偶函数
的（
”
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
2.（2025 北京）已知函数
为偶函数，则
（ ）
A．-1
B．-2
C．2
D．1
3（2025·辽宁）函数
是定义在R 上的偶函数，且
，若
，
，则
（ ）
A．4
B．2
C．1
D．0
考向七 指数型函数性质的应用---比较大小
【例7-1】（24-25 高三上·山西大同·期中）设
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【例7-2】（2025·河北唐山·一模）已知
，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【一隅三反】
1.．（2025 河北） 若
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
2.（23-24 高三下·河南周口·开学考试）若
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
3.（2025 河北）已知
，
，
，则
、
、的大小关系为_____________
考向八 指数型函数性质的应用---解不等式
【例8-1】（2025·浙江嘉兴·三模）关于
的不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【例8-2】（2024·四川德阳·一模）函数
单调递增，且
，则实数
的取
值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【一隅三反】
1.（2025·湖南·模拟预测）设函数
，则使得
成立的
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
2（2024·辽宁·模拟预测）已知函数
，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
3（24-25 高三上·江苏·开学考试）设函数
，则使得
成立的
的解集是
．
考向九 指数函数的实际应用
【例9】（2024·云南楚雄·一模）垃圾分类是指按一定规定或标准将垃圾分类储存、投放和搬运，从而转变成
公共资源的一系列活动，做好垃圾分类是每一位公民应尽的义务．已知某种垃圾的分解率与时间（月）近
似满足关系
（其中
、
为正常数），经过个月，这种垃圾的分解率为
，经过
个月，这种垃圾
的分解率为
，则这种垃圾完全分解大约需要经过（ ）个月（参考数据：
）
A．
B．
C．
D．
【一隅三反】
1.（2024·贵州）某工厂产生的废气经过过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量
（单位：
与时间
（单位：
）间的关系为
，其中
，
是正的常数．如果在前
消除了
的污染物，则10 小时后
还剩下百分之几的污染物？（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（24-25 江西赣州·期末）某科研小组培育一种水稻新品种，由第1 代1 粒种子可以得到第2 代120 粒种子，
以后各代每粒种子都可以得到下一代120 粒种子，则第10 代得到的种子数为（ ）参考数据：
，
A．
B．
C．
D．
3．（24-25 湖南）生物体死亡后，它机体内原有的碳14 含量
会按确定的比率衰减，大约每经过5730 年，碳
14 含量
衰减为原来的一半，这个时间称为
半衰期
，
“
”
与死亡年数之间的函数关系式为
（其中
为常数）.2024 年考古学家挖掘出某生物标本，经研究发现该生物体内碳14 残余量约占原始含量的81%，则
可推断该生物死亡时间属于（ ）附：
参考数据：
①
，
参考时间轴如图：
②
A．东汉
B．三国
C．西晋
D．东晋
4．（24-25 高三上·北京·阶段练习）德国科学家Wilhelm Peukert 于19 世纪末提出蓄电池的容量
（单位：
Ah），放电时间（单位：h）与放电电流
（单位：A）之间关系的经验公式：
，其中
为Peukert 常
数，不同材料的Peukert 常数不一样.有两块不同材料的蓄电池，第一块蓄电池的容量为
，Peukert 常数为
；
第二块蓄电池的容量为
，Peukert 常数为
.第一块电池测试：当放电电流
时，放电时间
，当
放电电流
时，放电时间
；第二块电池测试：当放电电流
时，放电时间
，当放电
电流
时，放电时间
，则（ ）
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
考向十 指数型函数的综合应用
【例10-1】（2025 重庆沙坪坝·期中）已知函数
，
，若
，使得
，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【例10-2】（2025 陕西）设函数
且
是定义域为
的奇函数，
．
（1）若
，求
的取值范围；
（2）若
在
上的最小值为
，求
的值．
【一隅三反】
1．（2025·上海）已知函数
关于点
对称，若对任意的
，
，
恒成立，
则实数
的取值范围为
A．
B．
C．
D．
2．（2025·辽宁）已知函数
，若对于任意的
、
、
，以
、
、
为长度的线段都可以围成三角形，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（24-25 河南开封）（多选）如图，已知直线
，
与函数
，
的图象分别交于
，
，
，
四点，且
为平行四边形，则（ ）
A．
B．
C．
D．
