文档文本内容
2.6 指数运算与指数函数的图像与性质
目录
01 课标要求...........................................................................................................................................2
02 落实主干知识...................................................................................................................................3
一、指数运算........................................................................................................................................3
二、指数函数及其性质........................................................................................................................3
常用二级结论........................................................................................................................................4
03 探究核心题型...................................................................................................................................5
题型一：指数运算................................................................................................................................5
题型二：指数运算的实际应用............................................................................................................7
题型三：指数函数的概念与图象......................................................................................................10
题型四：指数式大小比拼..................................................................................................................12
题型五：解简单的指数方程或不等式..............................................................................................15
题型六：指数函数性质的综合应用..................................................................................................16
题型七：恒成立与有解问题..............................................................................................................23
04 好题赏析（一题多解）.................................................................................................................27
05 数学思想方法.................................................................................................................................31
①数形结合..........................................................................................................................................31
②转化与化归......................................................................................................................................33
③分类讨论..........................................................................................................................................35
06 课时精练（真题、模拟题）.........................................................................................................37
基础过关篇..........................................................................................................................................37
能力拓展篇..........................................................................................................................................45
1、理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握指数幂的运算性质.
2、掌握指数运算在实际问题中的应用.
3、通过实例，了解指数函数的实际意义，会画指数函数的图象.
4、理解指数函数的单调性、特殊点等性质，并能简单应用.
一、指数运算
1、若
，则
叫做
的
次方根．（
，
）
（1）当
为奇数时，
；（2）当
为偶数时，
；
2、根式的性质：①
，②
（
，
）
3、正数的正分数与负分数指数幂的意义：（
，
，
，且
）
①
；②
4、正数的指数幂的运算性质：（
，
，
，
）
①
，②
，③
；
④
，⑤
，⑥
．
二、指数函数及其性质
1、指数函数概念：一般地，函数
（
，且
）叫做指数函数，其中
是自变量，函数的
定义域为
.
2、图像与性质
函数名称
指数函数
定义
函数
（
，且
）叫做指数函数
图象
定义域
值域
过定点
图象过定点
，即当
时，
．
奇偶性
非奇非偶
单调性
在
上是增函数
在
上是减函数
变化对图
象的影响
在第一象限内，
越大图象越高；在第二象限内，
越大图象越低．
常用二级结论
指数函数
与
的图象关于
轴对称．
函数①
；②
；③
；④
的图象如下图左所示，则
；
即
时，
（底大幂大）；
时，
．
x
y
①②
③
④
1
O
x
y
f(x)=2x
g(x)=3x
h(x)=(
1
3)x
f(x)=(
1
2)x
O
题型一：指数运算
【例1】（2025·重庆九龙坡·三模）已知
，则
.
【答案】
/0.5
【解析】由题意
，所以
.
故答案为：
【解题总结】
(1)指数幂的运算首先将根式、分数的分数指数幂统一为整数的分数指数幂，以便利用法
则计算，还应注意：
①必须同底数幂相乘，指数才能相加.
②运算的先后顺序.
(2)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数.
【变式1-1】（2025·江西南昌·二模）已知函数
，若
，则
.
【答案】2
【解析】由题意知，当
时，
，解得
；
当
时，
，解得
，与
矛盾，此时
无解.
所以
.
故答案为：2
【变式1-2】（2025·陕西·三模）已知函数
，则
．
【答案】2783
【解析】由
知，
设
，则
，
对照系数，得
，则
，即
，
则
，
的图象关于点
中心对称；
故
．
即
，
故答案为：2783
【变式1-3】设函数
满足：对任意的正数
，
，
，且
，则
，
．
【答案】 2 10240
【解析】令
，得
，所以
．
令
，
，得
，所以
．
令
，
，得
，即
．
所以
．
所以
．
故答案为：2；10240.
【变式1-4】已知实数
满足
，则
.
【答案】
【解析】由题意可得
，即
，
两边同时取对数可得
，即
.
由
可得
，
即
，
令
，则
恒成立，
所以函数
在
上单调递增，
而
，
所以
，即
，
所以
.
故答案为：
.
题型二：指数运算的实际应用
【例2】（2025·湖北黄冈·二模）如图，某池塘里浮萍的面积
（单位：
）与时间（单位：月）的关系
为
，关于下列说法，其中正确的说法是（ ）
①浮萍每月的增长率相同；
②若函数
与
的图像关于直线
对称，则函数
的值域为
的充要条件是
；
③若
，则当
时，
恒成立；
④若浮萍蔓延到
所经过的时间分别是
，则
.
A．①③④
B．③④
C．②③④
D．①②④
【答案】A
【解析】由图象可知，函数
过点
，则
，即
.
对于①，浮萍每月的增长率为
，故①正确；
对于②，若函数
与
的图像关于直线
对称，则
，
则
，要使其值域为
，则函数
的值域要包含
，
因为二次函数
开口向上，所以
即可，解得
或
，故②错误；
对于③，
，设
，则
，
所以
，
当且仅当
即
时等号成立，所以
，故③正确；
对于④，由题意知，
，
，
，所以
，
，
则
，故
，故④正确.
故选：A.
【解题总结】
利用指数运算解决实际问题时认清所给函数模型、变量、参数，利用待定系数法确定参
数的值，然后解决问题.
【变式2-1】（2025·高三·河北石家庄·期末）某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物
含量
（单位：
）与时间（单位：
）间的关系为：
，其中
、
是正的常数．如果在前
消除了
的污染物，那么污染物减少
大约需要花费（ ）
（参考数据：
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由
可知，当
时，
；
当
时，
，解得
，那么
.
因为污染物减少
，所以
，所以
，
所以
．
所以污染物减少
大约需要花费
．
故选：B．
【变式2-2】（2025·上海静安·一模）污水处理厂通过清除污水中的污染物获得清洁用水并生产肥料.该厂的
污水处理装置每小时从处理池清除掉
的污染残留物.要使处理池中的污染物水平降到最初的
，大
约需要的时间为（ ）（参考数据：
）
A．
小时
B．
小时
C．
小时
D．
小时
【答案】B
【解析】设处理池中的残留物初始时为
，则小时后，处理池中的残留物为
，
根据题意可得
，即
，解得
.
因此，要使处理池中的污染物水平降到最初的
，大约需要的时间为
小时.
故选：B.
【变式2-3】（2025·山东枣庄·模拟预测）对数螺线广泛应用于科技领域．某种对数螺线可以用
表
达，其中
为正实数，
是极角，
是极径．若
每增加
个单位，则
变为原来的（ ）
A．
倍
B．
倍
C．
倍
D．
倍
【答案】B
【解析】设
所对应的极径为
，则
，
则
所对应的极径为
，所以
，
故
每增加
个单位，则
变为原来的
倍.
故选：B
【变式2-4】（2025·江苏泰州·模拟预测）《中华人民共和国国家标准综合排放标准》中一级标准规定的氨
氮含量允许排放的最高浓度为15ml/L．某企业生产废水中的氨氮含量为450ml/L，现通过循环过滤设备对
生产废水的氨氮进行过滤，每循环一次可使氨氮含量减少
，要使废水中的氨氮含量达到国家排放标准，
至少要进行循环的次数为(参考数据lg2≈0.3010，lg3≈0.4771)（ ）
A．3
B．4
C．8
D．9
【答案】D
【解析】由题，设至少循环
次，才能达到国家排放标准，
则
，即
，
两边同时取对数，可得
，所以
，
所以至少要进行次循环，
故选：D
题型三：指数函数的概念与图象
【例3】（2025·甘肃兰州·模拟预测）已知函数
关于
的方程
有两个不等实数
根，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】作出函数
的图象，如图所示，
若关于
的方程
有两个不等实根，
则函数
的图象与直线
有两个交点，由图知，
．
故选：D.
【解题总结】
对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、
伸缩、对称变换得到.特别地，当底数与1 的大小关系不确定时应注意分类讨论.
【变式3-1】（2025·河北·二模）已知函数
，其中
为常数，若函数
的图
象如图所示，则（ ）
A．
的图象与坐标轴有三个交点
B．
的图象的对称轴在
轴左侧
C．关于
的方程
有两个不等实根
D．
在区间
上单调递增
【答案】D
【解析】因
，函数
的图象在
上为减函数，则
，即得
，又图象经过
点
，即
，故得
，解得
，
于是，
，易得该抛物线开口向上，顶点坐标为
，
对于A，因函数
在
上单调递增，
则
，即
的图象与
轴没有交点，
又
的图象与
轴有唯一交点，即
的图象与坐标轴只有一个交点，故A 错误；
对于C，关于
的方程
的实根个数，等于直线
与曲线
的交点个数，
由A 项，因
，则直线
与曲线
的交点个数为0，故C 错误；
对于B，
的图象的对称轴是直线
，在
轴右侧，故B 错误；
对于D，因
的图象对称轴：
，
在区间
上单调递增，故D 正确.
故选：D.
【变式3-2】（2025·福建福州·模拟预测）若函数
的定义域和值域的交集为空集，
则a 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由题意可得函数的定义域为
，
当
时，
，
要使得定义域和值域的交集为空集，则
，
又
时，
，
若
，则
，此时显然不满足题意，
若
，则
在
上单调递减，
，
故
，
所以
，解得
.
故选：B.
【变式3-3】（2025·甘肃甘南·模拟预测）若
是
上的单调递增函数，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】若
为
上的增函数，则
，解得
，
故
的取值范围是
．
故选：A．
【变式3-4】（2025·高三·河南周口·期末）已知函数
的图象过原点，且无限接近于直线
但又不与该直线相交，当
时，函数
有（ ）
A．最小值
B．最大值
C．最小值
D．最大值
【答案】B
【解析】由题设
，且
，则
，
所以
，则
时，
，
所以
，令
，则
，
当且仅当
时取等号，故
最大值为
.
故选：B
题型四：指数式大小比拼
【例4】（多选题）（2025·甘肃庆阳·模拟预测）已知非零实数
满足
，则下列不等式一定
成立的有（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AD
【解析】由题意可得
，对于函数
，
则
在R 上单调递增，结合
，可得
.
对于A，
，故A 正确；
对于B，由
不能判断
与1 的大小，故B 错误；
对于C，取
，此时C 不成立，故C 错误；
对于D，因为
，由指数函数的单调性易得
，故D 正确.
故选：AD.
【解题总结】
利用指数函数的性
比
大小，最重要的是
质
较
“同底”原
，比
大小
可以借助中
量
则
较
还
间
.
【变式4-1】（多选题）（2025·山东济南·二模）已知实数
满足
，则下列不等关系一定成立的
是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABD
【解析】因为
，所以
，所以
，故A 对；
因为
，所以
，
由
，所以
，故B 对；
若
，满足
，显然
不成立，故C 错；
当
，则
，必有
，
当
，则
，故
，必有
，
故D 对.
故选：ABD
【变式4-2】（多选题）若
，则下列关系正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ACD
【解析】由
得
，
令
，则
．
因为函数
在
上都是增函数，所以
在
上是增函数，
所以
，故A 正确．
当
时，
，故B 错误．
因为函数
在
上单调递增，所以由
得
，故C 正确．
因为函数
在
上单调递减，所以由
得
，故D 正确．
故选：ACD．
【变式4-3】（多选题）（2025·辽宁·模拟预测）已知实数
满足
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AC
【解析】由
，得
，则
，
对于A，
，A 正确；
对于B，令
，
，则
，B 错误；
对于C，
，则
，C 正确；
对于D，若
，则
，D 错误.
故选：AC
【变式4-4】（多选题）若
，则下列选项中正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BD
【解析】对A，当
时，
是减函数，所以
，故A 错误；
对B，当
时，函数
在
上单调递增，故
，故B 正确；
对C，当
时，
，则
是增函数，故
，故C 错误；
对D，当
时，
是减函数，
，D 正确．
故选：BD.
题型五：解简单的指数方程或不等式
【例5】方程log3 4 的实数解为 ．
【答案】
【解析】方程log3 4 ，化为：
，整理得
，
解得
或
（舍去），则
，所以所求实数解为
.
故答案为：
【解题总结】
利用指数函数的性质解方程、不等式，最重要的是“同底”原则.
【变式5-1】（2025·安徽六安·模拟预测）已知函数
则
的解集是
．
【答案】
【解析】当
时，
，
，
；
当
时，
，
，
；当
时，
，
因此函数
为奇函数，函数
在
上单调递减，在
上单调递减，
则函数
在
上单调递减，则
，
于是
，解得
，
所以原不等式的解集为
.
故答案为：
【变式5-2】已知函数
，其中
表示
中的较大者.则不等式
的解集
为 .
【答案】
【解析】因为
，
作出
的大致图象，如图所示：
当
时，由
，得
；
当
时，由，
得
，
所以
的解集为
.
故答案为：
【变式5-3】已知函数
的定义域为
是偶函数，
是奇函数，则不等式
的解集为
【答案】
【解析】函数
的定义域为
，由
是奇函数，得
，
即
，则不等式
化为
，
令
，则有
，即
，因此
或
，
由
，得
，即
，解得
；
由
，得
，即
，解得
，
所以所求不等式的解集为
.
故答案为：
【变式5-4】已知
，若
，则实数
的取值范围为 .
【答案】
【解析】因为函数
的定义域为
，且函数
、
在
上均为增函数，
所以，函数
在
上为增函数，
由
可得
，即
，解得
或
，
因此，实数
的取值范围是
.
故答案为：
.
题型六：指数函数性质的综合应用
【例6】（多选题）（2025·陕西汉中·三模）已知函数
，则下列结论中正确的是
（ ）
A．当
时，函数
单调递增
B．存在正数
，使得函数
为偶函数
C．函数
的图象与直线
有两个交点
D．若函数
在
上单调递增，则实数
的最小值为
【答案】ABD
【解析】对于A 选项，当
时，
为增函数，
当
时，
，则函数
、
均为增函数，
故函数
也为增函数，
综上所述，当
时，函数
单调递增，A 对；
对于B 选项，取
，则
，此时
，
所以
，此时
，
函数
的定义域为
，
，即函数
为偶函数，
因此，存在正数
，使得函数
为偶函数，B 对；
对于C 选项，当
时，由A 选项可知，函数
在
上为增函数，且
，
此时，函数
的图象与直线
只有一个公共点，C 错；
对于D 选项，因为
，则
，
由题意可知
时，函数
为增函数，
当
时，由题意可知，对任意的
，
恒成立，
只需
，即
，
因为
，则
，
因为
，则
，所以
，即
，
所以
，可得
，解得
或
，
因为
，所以
.
综上所述，实数
的取值范围是
，故实数
的最小值为
，D 对.
故选：ABD.
【解题总结】
求解与指数函数有关的复合函数问题，要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、
最值等问题时，要借助“同增异减”这一性质分析判断.
【变式6-1】在数学中，不给出具体解析式，只给出函数满足的特殊条件或特征的函数称为“抽象函数”．
我们需要研究抽象函数的定义域、单调性、奇偶性等性质．对于抽象函数
，当
时，
，
且满足：
，均有
(1)证明：
在
上单调递增；
(2)若函数
满足上述函数的特征，求实数的取值范围；
(3)若
，求证：对任意
，都有
．
【解析】（1）任取
，且
，
则
，
由
，可知
，则
，
可得
，即
，
所以
在
上单调递增.
（2）当
时，
，
注意到
，则
，
，可得
，
即
，可得
；
又因为
，均有
，
即
，
整理得
，
即
，
注意到
，则
，即
，
可得
，可得
，即
；
综上所述：实数的取值范围为
.
（3）由题意知，对任意
，
且
，均有
，
令
，可得
，即
，
故对任意正整数
与正数，都有
，
所以对任意正整数
与正数，都有
，
即对任意正整数
与正数，都有
，
令
，则
，
令
，则
，
对任意
，可得
，
由（1）可知：
在
上单调递增，
则
，
，
所以
.
【变式6-2】根据1.中结论结合单调性证明
，
.
【变式6-3】已知函数
恒成立.
(1)求 a 的取值范围;
(2)设函数
，若
，
，使得当
,
时，
单调递增，且
,
，求
的取值
范围
【解析】（1）
，
即
恒成立．
，
当
时等号成立，
，即
的取值范围为
．
（2）
函数
为增函数，要使
在区间
上单调递增，则函数
在区间
上
单调递增．
又函数
为增函数，
在
上为增函数，由（1）知
，
，且
．
又
在区间
上单调递增，且
，
即
在
上有两个不等实数根．
解得
．
综上所述，
的取值范围为
．
【变式6-4】定义：双曲余弦函数
，双曲正弦函数
．
(1)求函数
的最小值；
(2)若函数
在
上的最小值为
，求正实数
的值；
(3)求证：对任意实数
，关于
的方程
总有实根．
【解析】（1）依题意有
，
令
，则
.
因为
在R 上单调递增，
当
趋近于
时，趋近于
，当
趋近于
时，趋近于
，
所以
，所以当
时，即
时，
函数
有最小值
．
（2）函数
在
上的最小值为
，
即函数
有最小值
．
因为
令
，则
，
因为最小值为
，所以
，解得
，
所以正实数
的值为
．
（3）证明：令
，定义域为
，
则
，
又
，所以
是奇函数，
因为
是
上的增函数，
所以
在
上单调递增，且当
趋近于
时，
趋近于1，
所以函数
在
上的值域为
，
直线
过定点
，
如图所示：无论
取任何实数，直线
与函数
的图象都有交点，
即对任意实数
，关于
的方程
总有实根．
【变式6-5】若函数
的定义域与值域均为
，则称
为“闭区间同域函数”，称
为
的“同域闭区间”．
(1)判断定义在
上的函数
是否是“闭区间同域函数”，并说明理由；
(2)若
是“闭区间同域函数”
（
，且
）的“同域闭区间”，求
，
；
(3)若
是“闭区间同域函数”
的“同域闭区间”，求
，
．
【解析】（1）
不是“闭区间同域函数”．
理由如下：
由
在
上单调递增，则
，
即
的值域为
，所以
不是“闭区间同域函数”；
（2）当
时，
在
上单调递减，
则
，该方程组无解．
当
时，
在
上单调递增，则
，
解得
；
（3）由题意得
图象的对称轴为直线
．
，可得
.
当
时，
在
上单调递增，得
，
则
是方程
的两个不相等的实根，
得
，不符合题意．
当
时，
在
上单调递减，
在
上单调递增，
．
①当
时，
，不符合题意；
②当
时，
，解得
．
当
时，
在
上单调递减，则
，
两式相减得
．由
，得
，
则
，即
，
将
，代入
，得
或1．
当
时，
，不符合题意；当
时，
，符合题意．
综上
或
．
题型七：恒成立与有解问题
【例7】已知函数
.
(1)若
，求
的值；
(2)若
，求
在区间
上的最小值；
(3)设函数
，若对任意的
，总存在
，使得
，求实数
的取值范围.
【解析】（1）由
，得
，即：
，解得
.
（2）当
时，
，
令
，因为
，所以
，
所以
，
当
时，
取最小值
，所以
在区间
上的最小值为
.
（3）若对任意的
，总存在
，使得
，
可得：
.
又因为
，所以对任意的
，
，
则
对任意的
恒成立，
即
，即
，令
，
.
因为
在区间
上为增函数，所以
所以实数
的取值范围是
.
【解题总结】
分离参数
【变式7-1】已知函数
．
(1)若
对任意实数x 恒成立，求实数m 的取值范围；
(2)若关于x 的方程
有实根，求实数m 的取值范围．
【解析】（1）
，
又
，当且仅当
，即
时，等号成立，
则
，解得
；
（2）由题，
有实根，
令
，则
有正根，
①有两个正根，
；
②有一个正根一个负根，
；
③有一个正根一个零根，
；
综上，
.
【变式7-2】已知定义在
上的函数
，对一切实数a、b 都有
成立，
且
.
(1)求函数
的表达式；
(2)若任意实数
，求实数
的取值范围.
【解析】（1）令
时，得
，又
，
所以
，
所以
，
所以
，
（2）令
，因为
，所以
，
则
，可化为：
，易知
，
即
，
即
，
因为
，所以
所以当
时，
取得最大值
，
所以实数
的取值范围是
.
【变式7-3】（2025·广东肇庆·一模）已知函数
（其中
，
为常量，且
，
，
）
的图象经过点
，
．
(1)求
，
的值
(2)若关于
的不等式
在
上有解，求
的取值范围．
【解析】（1）函数
的图象经过点
，
，
得
，解得
；
（2）由（1）得
，
，
因为函数
在
上单调递增，函数
在
上单调递减，
所以
在
上单调递增，
所以
在
上的最大值为
，
因为关于
的不等式
在
上有解，
所以
，解得
，
即
的取值范围为
【变式7-4】（2025·山西·模拟预测）已知函数
是定义在
上的偶函数，当
时，
，
且
.
(1)求
的值，并求出
的解析式；
(2)若
在
上恒成立，求
的取值范围.
【解析】（1）因为
是偶函数，所以
，
解得
，
当
时，可得
，所以
，
所以函数
的解析式为
（2）由（1）知，当
时，
，
因为
在
上恒成立，
所以
，
又因为
，
当且仅当
时，即
时等号成立，
所以
，即
的取值范围是
.
1．已知
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】［方法一］：（指对数函数性质）
由
可得
，而
，所以
，
即
，所以
.
又
，所以
，即
，
所以
.综上，
.
［方法二］：【最优解】（构造函数）
由
，可得
．
根据
的形式构造函数
，则
，
令
，解得
，由
知
.
在
上单调递增，所以
，即
，
又因为
，所以
.
故选：A.
【点评】法一：通过基本不等式和换底公式以及对数函数的单调性比较，方法直接常用，属于通性通法；
法二：利用
的形式构造函数
，根据函数的单调性得出大小关系，简单明了，是该
题的最优解．
2．（2025 年高考全国一卷数学真题）若实数x，y，z 满足
，则x，y，z 的
大小关系不可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】法一：设
，所以
令
，则
，此时
，A 有可能；
令
，则
，此时
，C 有可能；
令
，则
，此时
，D 有可能；
故选：B．
法二：设
，所以，
根据指数函数的单调性，易知各方程只有唯一的根，
作出函数
的图象，以上方程的根分别是函数
的图象与直线
的交点纵坐标，如图所示：
易知，随着
的变化可能出现：
，
，
，
，
故选：B．
3．（2022 年新高考全国I 卷数学真题）设
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】方法一：构造法
设
，因为
，
当
时，
，当
时
，
所以函数
在
单调递减，在
上单调递增，
所以
，所以
，故
，即
，
所以
，所以
，故
，所以
，
故
，
设
，则
,
令
，
，
当
时，
，函数
单调递减，
当
时，
，函数
单调递增，
又
，
所以当
时，
，
所以当
时，
，函数
单调递增，
所以
，即
，所以
故选：C.
方法二：比较法
，
，
，
①
，
令
则
，
故
在
上单调递减，
可得
，即
，所以
；
②
，
令
则
，
令
，所以
，
所以
在
上单调递增，可得
，即
，
所以
在
上单调递增，可得
，即
，所以
故
4．已知
是函数
的一个零点．若
，
，则（ ）
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
【答案】B
【解析】法一：设
，
，在同一坐标系中作出其图象，如图，在
内
的图象
在
图象的上方，即
，所以
，即
，同理可得
法二：函数
，
，在
上均为增函数，
由
，则函数
在
上为增函数且
，
时，
，
时，
故选
5．若
，
，
，则
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】解法一：因为
，
，
，
，所以
，故选A；
解法二：因为
，
，
所以
，排除BC；
因为
，所以
，所以
，排除
故选：
①数形结合
1．已知定义在R 上的函数
满足
，当
时，
若
，则实数a 的取值范围是
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
【答案】D
【解析】因为
，所以
为奇函数；
又因为
，所以
关于直线
对称；
由
知
的一个周期为
因为当
时，
，所以
在
上单调递增，
函数
的图象如图所示，根据图象可知，
若
，则
，
，
解得实数a 的取值范围是
，
故选
2．已知函数
，若
，且
，则
的最小值为
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由题可得：
作出
的图像如下：
由
，且
，则
，
，即
，
可得：
，
所以
，
由
，
则
，
所以
，故当
，即
时，
取最
小值为
故选：B
3．记
表示a，b 二者中较大的一个，函数
，
，若
，
使得
成立，则a 的取值范围是
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
在R 上单调递减，
在
上单调递增，
当
时，
，所以
，
所以
在
上单调递减，在
上单调递增，
所以当
时，
，即
在区间
上的值域为
，
令
，得
，解得
或
，
画出
，
的图象如图所示，若
，
使得
成立，则
解得
，
即a 的取值范围是
故选：A
②转化与化归
4．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉，用其名字命名的“高斯
函数”：设
，用
表示不超过x 的最大整数，则
称为高斯函数，也称取整函数，例如：
，
已知
，则函数
的值可能为（ ）
A．
B．
C．1
D．2
【答案】B
【解析】因为
，
因为
，
所以
，
所以
，即
，
当
时，
，
当
时，
，
所以函数
的值可能为
，
故选：
5．已知函数
在定义域
上单调递减，
，均有
，则函数
的最小值是
A．8
B．6
C．4
D．
【答案】A
【解析】记
，
用y 替换
中的x 得
，且
，
，
由函数单调性知
，
因为
，
所以
，
或
，又函数
在定义域
上单调递减，
所以有
满足题设条件，
所以
，
，
所以
时，函数
的最小值是
故选：
6 ．已知函数
的定义域为R ，
为偶函数，若对任意的
，
，都有
，则关于m 的不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】因为
为偶函数，所以
的图象关于直线
对称，
又对任意的
，
都有
，
所以
在
上单调递增，
故关于m 的不等式
可等价为
，
即
，
当
时，不等式可化为
，
即
，无解；
当
时，即
，不等式可化为
，
即
，即
，
所以
，解得
，
即关于m 的不等式
的解集为
故选：
③分类讨论
7．若对
R，使得
且
恒成立，则实数a 的取值范围是
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】若
且
对任意的
都成立，
①当
时，由
，得到
，因为指数函数
在
上单调递增，故要使得
对任意
成立，有
，
即得
②当
时，
变形为
，
即得
，因为指数函数
在
上单调递减，要使得
对任意
成立，
即有
，
即
，即得
因此，结合题意可知要使得对
R，使得
且
恒成立，取①②两种情况下a 取
值范围的交集可知
故选
8．已知函数
且
的定义域和值域都是
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
或
【答案】B
【解析】当
时，
单调递增，
有
，
，可知无解；
当
时，
单调递减，
有
，
，解得
，
，
所以
故选
9．若函数
在区间
上单调递增，则实数m 的取值范围为
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由函数
的定义域为
，
设
，则
，
又
单调递增，
当
时，
，
，无单调性，不成立；
当
时，
在
和
上单调递增，
即
在
和
上单调递增，
所以
，则
，即
；
当
时，
在
和
上单调递减，
即
在
和
上单调递减，不成立；
综上所述
，
故选：
基础过关篇
1．（2025·辽宁·三模）已知
，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
，
，
，
，
，
，所以
，
对于A，
在
单调递增，
，故A 错误；
对于B，
在
上单调递减，
，故B 错误；
对于C，
在
单调递减，
，故C 错误；
对于D，
在
单调递增，
,
又
在
单调递减，
,
，故D 正确.
故选：D
2．（2025·江西新余·模拟预测）已知
，
，则“
”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
；
充分性：若
，则
，故充分性成立；
若
，则
，
一正一负，即
，故必要性成立，
则“
”是“
”的充要条件，
故选：C.
3．（2025·甘肃白银·模拟预测）已知
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】根据换地公式
,
,则
,
由基本不等式可知
即
，
因为
，即
，
则
，可知
，
，可知
，所以
.
综上可知
.
故选：D.
4．（2025·河北邯郸·模拟预测）已知函数
，若
的值域为
，则满足条件的整
数a 的个数为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】B
【解析】当
时，
单调递增，所以
，
当
时，
，
，
1)当
时，
，
在
上单调递增，此时
，
要使
的值域为
，则
，即
，
记
，则
，
在
单调递减，
因为
，所以
，即
满足题意；
2)当
时，
，此时
，
因为
，所以
的值域为
，即
满足题意；
3)当
时，由
得
，
由
得
，
所以
在
上单调递增，在
和
上单调递减，
所以
在
处取得极大值
，
当
且
趋近于
时，
趋于
，
所以
时，
，
因为
，
所以
时，
，
此时，
的值域不是
，不满足题意.
综上，满足条件的整数a 的值为
和
，共两个.
故选：B
5．（2025·江西·模拟预测）已知
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】因为
，所以
，且
因为
是单调递减函数，且
，即
能成立，所以A，B 都不正确；
因为
，又当
时，
，则
，当
时，
，则
，
当
时，
，
综上，
，所以C 错误，D 正确.
故选：D.
6．（2025·山东济宁·模拟预测）已知函数
，则下列是奇函数的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】因为
，
对于A，
，定义域不关于原点对称，
所以
不是奇函数，故A 错误；
对于B，所以
，则
，
令
，定义域关于原点对称，
，所以B 正确；
对于C，
，定义域不关于原点对称，
所以
不是奇函数，故C 错误；
对于D，所以
，则
，
令
，定义域关于原点对称，
，
所以
不是奇函数，所以D 不正确；
故选：B.
7．（2025·浙江·三模）已知函数
为奇函数，则
（ ）
A．
B．
C．
D．2
【答案】C
【解析】当
时，
，则
，所以
，
.
故选：C．
8．（2025·江西·二模）已知函数
，则下列函数中为奇函数的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】根据
得
可得
，故
为奇函数
故选：A
9．（2025·浙江绍兴·三模）尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解，
例如，地震时释放出的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M 之间的关系为
．2011 年3
月11 日，日本东北部海域发生里氏9.0 级地震，它所释放出来的能量是2008 年5 月12 日我国汶川发生里
氏8.0 级地震的多少倍（精确到1）?（ ）（注：
，
）
A．30
B．31
C．32
D．33
【答案】C
【解析】设里氏9.0 级和8.0 级地震的能量分别是
和
，
由题意：
，
.
于是
，
所以
.
故选：C.
10．（2025·浙江嘉兴·二模）若实数
满足
，则
的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】因为
，所以
即
，
故
即
，当且仅当
时等号成立，
故
的最大值为
，
故选：D.
11．（2025·河北张家口·三模）已知函数
，
，且
，都有
，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
，
，且
，都有
即
，
记
，
则由单调性的定义知，函数
在
上单调递增，
则需满足：
在
上单调递增①，
在
上单调递增②，
且
③，
对于①，要使
在
上单调递增，
则
在
上恒成立，即
在
上恒成立，
所以
，因为
，所以
，解得
；
对于②，因为
在
上单调递增，
所以
在
上单调递增时，
；
对于③，
，所以
；
所以
，解得
，所以实数
的取值范围是
.
故选：B
12．（多选题）（2025·全国·模拟预测）已知函数
的定义域为
，对于
，都有
，则（ ）
A．
B．函数
的图象关于点
中心对称
C．函数
的图象关于直线
对称
D．
【答案】ACD
【解析】对于A，令
，则
，可得
，
解得
，故A 正确；
对于B，由
，可得
，
所以函数
的图象关于点
中心对称，故B 错误；
对于C，由
可得
，
所以函数
的图象关于直线
对称，故C 正确；
对于D，设
①，
又
②，由①②可得
，
所以
，即
，
所以
，所以
，
，所以
，故D 正确．
故选：ACD．
13．（多选题）已知实数x，y 满足
，则下列关系式中恒成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ACD
【解析】因为
，所以
.
A：
在
上是增函数，故
，故本关系恒成立；
B：当
时，显然符合
，但是
不成立，故本关系式不恒成立；
C: 因为
在
上是增函数，所以
，故本关系恒成立.
D：由于
为单调递增函数，
为单调递减函数，故
为
上的单调递增函数，由
可得
，故
，故本关系式恒成立；
故选：ACD
14．（多选题）（2025·海南·模拟预测）自然常数
是数学中非常重要的一个常数，17 世纪人
们在研究经济学中的复利问题时发现了这个数，后来众多数学家对自然常数进行了深入的研究，其字母表
示来自数学家欧拉
的名字.已知函数
，则下列命题为真命题的是（ ）
A．
，
B．
，
C．
，
，
D．
，
，
【答案】ABD
【解析】对于A，
，故A 正确；
对于B，当
时，
，故B 正确；
对于C,D，
，
，
，
要使选项中所述等式成立，需
，
当
，
时，该式不一定成立，
当
，
时，该式成立，
故C 错误，D 正确.
故选:ABD.
15．（多选题）（2025·福建宁德·模拟预测）下列既是奇函数，又是增函数的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AD
【解析】对A：因为
，所以函数
为奇函数.且当
时，
单调递增；
根据奇函数的性质，
在
上也是单调递增，所以
在
上为增函数，故A 正确.
对B：因为函数
的定义域为
，所以函数
非奇非偶，故B 错误；
对C：因为
，所以函数
一定不是奇函数，故C 错误；
对D：应为
，所以
，所以
为奇函数，
且
随
的增大而增大，
随
的增大而减小，
所以随着
的增大，
的值在增大，即
在
上为增函数，故D 正确.
故选：AD
16．（2025·山东临沂·三模）已知函数
的定义域为
，
，
，且
，写出满足以下两个
条件①②的函数
.条件①：
，条件②：
.
【答案】
（答案不唯一）
【解析】设
，则
为
上的增函数，此时
必成立，
而
，
故
满足性质①②，
故答案为：
（答案不唯一）.
17．（2025·上海宝山·二模）已知函数
且
)的图像经过定点
，则点
的
坐标为
【答案】
【解析】令
，可得
.
所以定点
的坐标为
.
故答案为：
.
18．（2025·浙江·三模）已知函数
，为奇函数，则
．
【答案】-3
【解析】因为函数
为奇函数，
所以，当
时，
，
，
所以
，
，
所以
．
故答案为：
.
能力拓展篇
19．（2025·河南·模拟预测）设函数
，若
，
，则当
取得
最小值时，
.
【答案】
【解析】
，
（当且仅当
，即
时取等号），
，则
，即
（当且仅当
时取等号），
.
故答案为：
.
20．（2025·北京海淀·二模）已知函数
，则
的值域为 ，曲线
的对称中心
为 ．
【答案】
/
【解析】因为
，
因为
，则
，故
，即函数
的值域为
，
因为
，
所以，
，
因此，函数
的对称中心为
.
故答案为：
；
.
21．（2025·陕西·三模）已知函数
，则
．
【答案】2783
【解析】由
知，
设
，则
，
对照系数，得
，则
，即
，
则
，
的图象关于点
中心对称；
故
．
即
，
故答案为：2783
22．（2025·湖北黄冈·模拟预测）已知函数
在R 上单调递增，则
的取值范围是 ．
【答案】
【解析】
在
上单调递增，需要满足
，
解得
，所以
.
故答案为：
.
