专题2.4 指数函数、对数函数、幂函数
2.4.1 指数幂的相关计算及指数函数
知识点梳理
1.n 次方根与根式
（1）a 的n 次方根的定义一般地，如果xn＝a，那么x 叫做a 的n 次方根，其中n>1，
且n∈N*.
（2）a 的n 次方根的表示
n 的奇偶性
a 的n 次方根的表示符号
a 的取值范围
n 为奇数
n√a
R
n 为偶数
±
n√a
[0，＋∞)
（3）根式：式子n√a叫做根式，这里n 叫做根指数，a 叫做被开方数．
（4）根式的性质：根式的性质是化简根式的重要依据.
①负数没有偶次方根．
②0 的任何次方根都是0，记作n√0=0.
③(
n√a)
n=a(n∈N*，且n>1)．
④
n√a
n=a(n 为大于1 的奇数)．
⑤
n√a
n=|a|={
a，a≥0
−a，a<0(n 为大于1 的偶数)．
2.分数指数幂
（1）规定正数的正分数指数幂的意义是：a
m
n =
n√a
m(a>0，m，n∈N*，且n>1)．
（2）规定正数的负分数指数幂的意义是：a
−m
n = 1
a
m
n
= 1
n√a
m(a>0，m，n∈N*，且
n>1)．
（3）0 的正分数指数幂等于0,0 的负分数指数幂没有意义．
（4）有理数指数幂的运算性质，整数指数幂的运算性质，可以推广到有理数指数幂：
①aras＝ar＋s(a>0，r，s∈Q)．
②(ar)s＝ars(a>0，r，s∈Q)．
③(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q)．
④＝ar－s(a>0，r，s∈Q)．
3.无理数指数幂：一般地，无理数指数幂aα(a>0，α 是无理数)是一个确定的实数．有
理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂．
4.指数函数
（1）一般地，函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义
域是R.
（2）指数函数的图像
①指数函数图像和性质
a>1
0<a<1
图象
性
质
定义域
R
值域
(0，＋∞)
过定点
过定点(0,1)，即x＝0 时，y＝1.
函数值的变化
当x<0 时，0<y<1；
当x>0 时，y>1.
当x>0 时，0<y<1；
当x<0 时，y>1.
单调性
在R 上是增函数
在R 上是减函数
对称性
y＝ax与y＝(
1
a)
x
的图象关于y 轴对称
②底数a 对指数函数图像的影响
规律：当a>1 时，指数函数的图像是“上升的”，且当x>0 时，底数a 的值越大，函
数的图像越陡峭，说明函数值增长得越快. 当0<a<1 时，指数函数的图像是“下降的”，
且当x<0 时，底数a 的值越小，函数图像越陡峭，说明函数值减小的越快.
在y 轴的右侧，图像从上到下相应的底数由大变小（底大图高）；在y 轴左侧，图像
从下到上相应的底数由大变小（底大图低）.
（3）幂的大小比较
（1）对于同底数不同指数的两个幂的大小，利用指数函数的单调性来判断．
（2）对于底数不同指数相同的两个幂的大小，利用幂函数的单调性来判断．
（3）对于底数不同指数也不同的两个幂的大小，则通过中间值来判断．
典型例题
例1.化简求值：(1)0.027
1
3 −(6 1
4)
1
2 +256
3
4 +(2❑√2)
2
3 −3
−1+ π
0；
(2)(a－2b－3)×(－4a－1b)÷(12a－4b－2c)；
(3)2÷4×3.
例2.下图是指数函数（1）y＝ax，（2）y＝bx，（3）y＝cx，（4）y＝dx的图象，则a、b、
c、
d 与1 的大小关系是（ ）
A．a＜b＜1＜c＜d
B．b＜a＜1＜d＜c
C．1＜a＜b＜c＜d
D．a＜b＜1＜d＜c
例3.求下列函数的单调区间
（1）y =a
−x
2+3 x +2(a>1)； （2）y =2
❑√−x
2+2 x +3.
例4.函数f(x)=a
x+1+2(a>0且a≠1)的图象恒过定点( m ,n),则m +n等于 .
例5.(1)解不等式(
1
2)
3 x−1
≤2；
(2)已知a
x
2−3 x +1<ax＋6(a>0，a≠1)，求x 的取值范围．
随堂演练
1.已知函数y=a(
1
2)
|x|
+ b的图象经过原点,且无限接近直线y=2,但又不与该直线相交,则
ab=( )
A.
1
− B.
2
− C.
4
− D.
9
−
2.若x>0,则(2x
1
4 +3x
3
2)(2x
1
4
3
−x
3
2)
4
−x
1
2(x−x
1
2)= .
3.已知函数y=a
x
2
−+3(a>0且a≠1)的图象恒过定点A,若点A在直线mx+ny=2上,其中
m >0,n>0,则2
m +1
3n 的最小值为 .
4.满足方程4
x+2
x
2=0
−
的x值为 .
5.不等式2
x
2+2x
4
−≤1
2 的解集为 .
6.（1）计算( 64
27 )
1
3 +lg 1
4 +(π −2)
0−lg25；
（2）若x
1
2 + x
−1
2 =2❑√2，求x2+x﹣2的值．
（3）已知a
1
2 +a
−1
2 =3，求下列各式的值：
①a+a﹣1； ②a2+a﹣2．
7.（1）求函数y =( 1
3 )
x
2−2 x−1的值域和单调区间．
（2）求函数f ( x)=( 1
3 )
❑√x
2−3 x +2
的定义域和单调区间．
8.已知函数f（x）=( 1
3 )
ax
2−4 x +3
，
（1）若a＝﹣1，求f（x）的单调区间；
（2）若f（x）有最大值3，求a 的值．
（3）若f（x）的值域是（0，+∞），求a 的取值范围．
2.4.2 对数的相关计算及对数函数
知识点梳理
1.对数的定义：一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x 叫做以a 为底N 的对
数，记作x＝logaN，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数．
概念理解：（1）a<0，N 取某些值时，logaN 不存在，如根据指数的运算性质可知，不
存在实数x 使(−1
2)
x
＝2 成立，所以a 不能小于0.
（2）a＝0，N≠0 时，不存在实数x 使ax＝N，无法定义logaN；N＝0 时，任意非零实
数x，有ax＝N 成立，logaN 不确定．
（3）a＝1，N≠1 时，logaN 不存在；N＝1，loga1 有无数个值，不能确定．
2.常用对数与自然对数
名称
定义
符号
常用对
数
以10 为底的对数叫做常用对数
log10N 记为lgN
自然对
数
以e 为底的对数叫做自然对数，e 是无理数，e=2.71828
⋯
logeN 记为lnN
3.对数的性质
（1）对数与指数的关系：若a>0，且a≠1，则ax＝N⇒logaN＝x.
（2）对数恒等式
①
＝N；②logaax＝x(a>0，且a≠1，N>0)．
（3）1 的对数等于0，loga1＝0(a>0，且a≠1)．
（4）底数的对数等于1，logaa＝1(a>0，且a≠1)．
（5）零和负数没有对数．
4.对数的运算
（1）对数的运算性质：
如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么：
①loga(M·N)＝logaM＋logaN.
②logaM
N ＝logaM－logaN.
③logaMn＝nlogaM(n∈R)．
（2）换底公式：logab＝(a>0，且a≠1；c>0，且c≠1；b>0)．
对数换底公式的重要推论：
推论1：logab＝logba，即logab=
1
logba.(b>0，且b≠1；a>0，且a≠1)．
推论2：loga
mb
n= n
m logab(a>0，且a≠1，b>0)．
推论3：logab·logbc＝logac．
logab·logbc·logcd＝logad(a>0，b>0，c>0，d>0，且a≠1，b≠1，c≠1)．
5.对数函数的定义：一般地，函数y＝logax(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x 是自
变量，函数的定义域是(0，＋∞)．
6.对数函数的图象和性质
（1）对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图象和性质如下表
y＝logax (a>0，且a≠1)
底数
a>1
0<a<1
图象
定义域
(0，＋∞)
值域
R
单调性
在(0，＋∞)上是增函数
在(0，＋∞)上是减函数
共点性
图象过定点(1,0)，即x＝1 时，y＝0
函数值特
点
x∈(0,1)时，y∈(－∞，0)；
x∈[1，＋∞)时，y∈[0，＋∞).
x∈(0,1)时，y∈(0，＋∞)；
x∈[1，＋∞)时，y∈(－∞，0].
对称性
函数y＝logax 与y = log 1
a
x的图象关于x 轴对称
（2）底数对对数函数图像的影响
底数a 决定函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图像相对位置的高低：
①上下比较：在直线x=1 的右侧，当a>1 时，a 越大，图像越靠近x 轴；当0<a<1
时，a 越小，图像越靠近x 轴.
②左右比较：比较图像与直线y=1 的交点，交点的横坐标越大，对应的对数函数的底
数越大.
典型例题
例1.(1)计算：(log43＋log83)(log32＋log92)；
(2)已知log189＝a,18b＝5，用a，b 表示log3645 的值．
例2.求下列函数的定义域：
(1)y＝loga(3－x)＋loga(3＋x)；
(2)y＝log2(16－4x)＋
1
❑√x−1；
(3)y＝log(1－x)5.
例3.如图，若C1，C2分别为函数y＝logax 和y＝logbx 的图象，则( )
A．0<a<b<1
B．0<b<a<1
C．a>b>1
D．b>a>1
例4.求函数y＝log 1
2
( x
2−3 x +5)的单调区间．
例5.函数y=loga(x+3) 1(
−
a>0,a≠1)的图象恒过定点A, 若点A在直线mx+ny+1=0上,
其中m >0,n>0,则1
m +2
n 的最小值为 .
例6.已知函数f ( x)=lo g1
2
( x
2−2ax +3)．
（1）若函数f（x）的值域为R，求a 的取值范围；
（2）是否存在a∈R，使f（x）在（﹣∞，2）上单调递增，若存在，求出a 的取值范围，
若不存在，请说明理由．
随堂演练
1.函数y＝loga（x+1）（a＞0，且a≠1）与函数y＝x2﹣2ax+1 在同一直角坐标系中的图象
大致是（ ）
A．
B．
C．
D．
2. 已知2
a=5,log53= b,则4
a−3b= ( )
A.25 B.5 C.25
9 D.5
3
3.若2
a=5
b=10,则1
a +1
b = ( )
A. 1
− B.lg7 C.1 D.log1010
4.已知b>0,log5b=a,lg b=c,5
d=10,则下列等式一定成立的是( )
A.d =ac B.a =cd C.c=ad D.d=a+c
5.已知函数y =lo g1
2
( x
2−2ax +5a)在[2，+∞）上为减函数，则实数a 的取值范围是（
）
A．（﹣∞，2]
B．[2，+∞）
C．（﹣4，2]
D．[﹣1，2]
6.方程log3(x
2
10
−
)=1+log3x的解是 .
7.计算下列各式的值：
(1)(lg 5)2＋2lg 2－(lg 2)2；
(2) lg3+ 2
5 lg9+ 3
5 lg ❑√27−lg ❑√3
lg81−lg27
；
(3)log535－2log57
3＋log57－log51.8.
8.已知函数f（x）＝log2（ax2﹣4ax+6）．
（1）当a＝1 时，求不等式f（x）≥log23 的解集；
（2）若f（x）的定义域为R，求a 的取值范围．
9.已知函数f（x）=lo g1
2（x2﹣mx﹣m）．
（1）若m＝1，求函数f（x）的定义域．
（2）若函数f（x）的值域为R，求实数m 的取值范围．
（3）若函数f（x）在区间（﹣∞，1−❑√3）上是增函数，求实数m 的取值范围．
10.已知函数f（x）= log 1
2（x2﹣2ax+3）．
（1）若函数的定义域为R，求实数a 的取值范围；
（2）若函数在区间（1
4 ，1）上为增函数，求实数a 的取值范围．
2.4.3 指数函数和对数函数材料计算专题
知识点梳理
根据题目给出的指数函数、对数函数相关材料，将题目给出的材料转成指数函数、对
数函数相关的计算问题，从而利用指数函数、对数函数的概念和性质来求解问题.
典型例题
例1.测定古物的年代，可以用放射性碳法：在动植物的体内都含有微量的放射性14C．动植
物死亡后，停止了新陈代谢，14C 不再产生，且原来的14C 会自动衰变．经过5730 年，它
的残余量只有原始量的一半．现用放射性碳法测得某古物中14C 含量占原来的1
5，推算该古
物约是m 年前的遗物（参考数据：（lg2）﹣1≈3.3219），则实数m 的值为（ ）
A．12302
B．13304
C．23004
D．24034
例2.为了响应节能减排号召，某地政府决定大规模铺设光伏太阳能板，该地区未来第x 年
底
光伏太阳能板的保有量y（单位：万块）满足模型y =
N
1+( N
y0
−1)e
−px ，其中N 为饱和度，
y0
为初始值，p 为年增长率．若该地区2024 年底的光伏太阳能板保有量约为20 万块，以此为
初始值，以后每年的增长率均为10%，饱和度为1020 万块，那么2030 年底该地区光伏太
阳能板的保有量约
万块．（结果四舍五入保留到整数，参考数据；e﹣0.5≈0.61，
e﹣0.6≈0.55，e﹣0.7≈0.49）
随堂演练
1.物理学家本•福特提出的定律：在b 进制的大量随机数据中，以n 开头的数出现的概率为
Pb（n）＝logbn+1
n
应用此定律可以检测某些经济数据、选举数据是否存在造假或错误．
若∑
n=k
80
P10(n)= lo g481
1+lo g25 (k ∈N
∗），则k 的值为（ ）
A．7
B．8
C．9
D．10
2.生物丰富度指数 d=S
1
−
ln N 是河流水质的一个评价指标，其中 S,N 分别表示河流中的
生物种类数与生物个体总数。生物丰富度指数 d 越大，水质越好。如果某河流治理前后
生物种类数 S 没有变化，生物个体总数由 N1 变为 N2，生物丰富度指数由 2.1 提高到
3.15，则（ ）
A. 3N2=2N1 B. 2N2=3N1 C. N2
3= N1
2 D. N2
3= N1
2
3.Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域.有学者根据公布数据建立
了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t的单位：天) 的Logistic模型：
I(t)=K
1+e
0.24(
−
t
53)
−
,其中K为最大确诊病例数.当I(t
∗)=0.95K时，标志着已初步遏制
疫情，则t
∗约为（ ）(ln19≈3)
A. 60 B. 63 C. 66 D. 69
4.2019 年1 月3 日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事
业取得又一重大成就，实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器
的通讯联系.为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，“鹊桥”沿着围绕地月拉
格朗日点L2点的轨道运行. L2点是平衡点，位于地月连线的延长线上。设地球质量为M1，
月球质量为M2，地月距离为R，L2点到月球的距离为r，根据牛顿运动定律和万有引力定
律，r满足方程：M1
(R+r)
2 + M2
r
2 =(R+r)M1
R
3 + M2
R
3 r，设α=r
R ，由于α的值很小，因此在
近似计算中 3α
3+3α
4+α
5
(1+α)
2
≈3α
3，则r的近似值为（ ）
A.R ❑√
M2
M1
B.R ❑√
M2
2M1
C.R
3√
3M2
M1
D.R
3√
M2
3M1
5.根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3
361，而可观测宇宙中普通物质的原子
总数N约为10
80.则下列各数中与M
N
最接近的是（ ）(参考数据: lg3≈0.48)
A.10
33 B.10
93 C.10
73 D.10
79
6.某食品的保鲜时间y(单位：小时)与储藏温度x(单位：℃)满足函数关系y=e
kx+ b(
e=2.718⋯为自然对数的底数，k,b为常数).若该食品在0℃的保鲜时间是192小时，在
22℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33℃的保鲜时间是（ ）
A.16 小时 B.20 小时 C.24 小时 D.21 小时
7.里氏震级M的计算公式为:M =lg A
lg
−
A0.其中A是测震仪记录的地震曲线的最大振幅，A0
是相应的标准地震的振幅，假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是 1000, 此时标准
地震的振幅A0为0.001，则此次地震的震级为 级；9 级地震的最大的振幅是5 级
地震最大振幅的 倍。
8.某食品的保鲜时间y(单位：小时)与储藏温度x(单位：℃)满足函数关系y=e
kx+ b(
e=2.718⋯ 为自然对数的底数，k,b为常数).若该食品在0℃的保鲜时间设计192 小时，
在22℃的保鲜时间是48 小时，则该食品在33℃的保鲜时间是 小时。
2.4.4 幂函数的定义和性质
知识点梳理
1.幂函数的概念：一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x 是自变量，α 是常数．
2.五个幂函数的图象与性质
（1）在同一平面直角坐标系内函数(1)y＝x；(2)y＝x
1
2 ；(3)y＝x2；(4)y＝x－1；(5)y＝x3
的图象如图．
（2）五个幂函数的性质
y＝x
y＝x2
y＝x3
y＝
y＝x－1
定义
域
R
R
R
[0，＋∞)
{x|x≠0}
值域
R
[0，＋∞)
R
[0，＋∞)
{y|y≠0}
奇偶
性
奇
偶
奇
非奇非偶
奇
单调
性
增
在[0，＋∞)上增
在(－∞，0]上减
增
增
在(0，＋∞)上减
在(－∞，0)上减
3.一般幂函数的图象特征
（1）所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点(1,1)．
（2）当α>0 时，幂函数的图象通过原点，并且在区间[0，＋∞)上单调递增．特别
地，当α>1 时，幂函数的图象下凸；当0<α<1 时，幂函数的图象上凸．
（3）当α<0 时，幂函数在区间(0，＋∞)上单调递减．
（4）幂指数互为倒数的幂函数在第一象限内的图象关于直线y＝x 对称．
（5）在第一象限，作直线x＝a(a>1)，它同各幂函数图象相交，按交点从下到上的顺
序，幂指数按从小到大的顺序排列．
典型例题
例1.已知幂函数y＝x3m－9(m∈N*)的图象关于y 轴对称且在(0，＋∞)上单调递减，求满足
(a+1)
−m
3 <(3 2
−a)
−m
3 的a 的取值范围．
例2.已知幂函数f(x)＝(m－1)2x
m
2−4 m+2在(0，＋∞)上单调递增，函数g(x)＝2x－k.
(1)求m 的值；
(2)当x∈[1,2]时，记f(x)，g(x)的值域分别为集合A，B，若A∪B＝A，求实数k 的取值范围．
随堂演练
1.已知幂函数f（x）＝（m2+6m+9）xm+3在（0，+∞）上单调递减．
（1）求实数m 的值；
（2）若（3a﹣2）﹣m﹣1＜（a+4）﹣m﹣1，求实数a 的取值范围．
2.已知幂函数f ( x)=(m
2+2m−2)x
m
2−7(m∈Z )的定义域为R，且在[0，+∞）上单调递
增．
（1）求m 的值；
（2）∀x∈[1，2]，不等式af（x）﹣3x+2＞0 恒成立，求实数a 的取值范围．
3.已知幂函数f（x）＝（m2﹣5m+7）xm﹣1为偶函数．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若g（x）＝f（x）﹣3x+4，求函数g（x）在区间[﹣1，2]上的值域．
4.已知幂函数y＝f（x）的图象过点(2，❑√2)．
（1）求函数f（x）的解析式，并求出它的定义域；
（2）求满足f（1+a）＞f（3﹣a）的实数a 的取值范围．
5.已知函数f ( x)=(4 m
2−3m)x
m
2+ 3m
4 −1是幂函数，且f（3）＜f（5）．
（1）求实数m 的值；
（2）若f（2a+1）＜f（3﹣4a），求实数a 的取值范围．
6.已知幂函数f（x）＝xα的图象过点（2，4）．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若不等式t≤f（x）+2x 对任意的x∈R 恒成立，求实数t 的取值范围．
