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专题 04 指对幂函数及函数与方程
一、知识速览
二、考点速览知识点1 根式与指数幂
1、根式
（1）一般地，如果 ，那么x叫做a的n次方根，其中 ，且 。
式子 叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数．
（2） 的 次方根的表示
当n是奇数时， ， 的值仅有一个，记为
当n是偶数，① 时， 的有两个值，且互为相反数，记为 ；
② 时， 不存在
（3）根式的性质（ ，且 ）： ；
2、分数指数幂
（1）正分数指数幂：规定：
（2）负分数指数幂：规定：
（3）性质：0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义
3、指数幂的运算性质
（1）无理数指数幂：一般地，无理数指数幂 （ ， 为无理数）是一个确定的实数．
有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂．
（2）指数幂的运算性质
① ． ② ． ③
．
知识点2 指数函数及其性质
1、指数函数的概念
一般地，函数 （ 且 ）叫做指数函数，
其中指数x是自变量，定义域是R，a是指数函数的底数．
2、指数函数的图象与性质a>1 00，且a≠1)，那么数x叫做以a为底数N的对数，记作x＝log N，其中a
a
叫做对数的底数，N叫做真数，log N叫做对数式。
a
（2）对数的性质
对数式与指数式的互化：ax＝N x＝log N(a>0，且a≠1)；
a
①log 1＝0，②log a＝1，③alog N＝N，④ log aN＝N (a>0，且a≠1).
a a ⇔a a
指数式与对数式的关系2、对数的的运算法则
如果a>0，且a≠1，M>0，N>0
①log (M·N)＝log M＋log N ②log＝log M－log N ③log Mn＝nlog M(n∈R)
a a a a a a a a
3、换底公式
（1）log b＝(a>0，且a≠1，c>0，且c≠1，b>0)
a
选用换底公式时，一般选用e或10作为底数。
（2）换底公式的三个重要结论
(1)log b＝； (2)log bn＝log b； (3)log b·log c·logd＝log d.
a am a a b c a
知识点4 对数函数及其性质
1、对数函数的概念
（1）定义：函数 （ ，且 ）叫做对数函数，其中x是自变量，定义域为 ．
（2）特殊的对数函数
y=lgx
①常用对数函数：以10为底的对数函数 .
y=lnx
②自然对数函数：以无理数e为底的对数函数 .
2、对数函数的图象与性质
a＞1 0＜a＜1
图象
定义域：(0，＋∞)
值域：R
当x＝1时，y＝0，即过定点(1,0)
性质
当0＜x＜1时，y＜0； 当0＜x＜1时，y＞0；
当x＞1时，y＞0 当x＞1时，y＜0
在(0，＋∞)上为增函数 在(0，＋∞)上为减函数
3、对数函数图象的常用结论
y=log x
（1）函数y＝log x与 1 的图象x轴对称；
a
a
（2）对数函数的图象与底数大小的关系
如图，作直线y＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数，
故0＜c＜d＜1＜a＜b.
由此我们可得到以下规律：在第一象限内从左到右底数逐渐增大．
知识点5 幂函数及其性质
1、幂函数的定义：一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．
（1）幂函数的特征：xα的系数是1；xα的底数x是自变量；xα的指数α为常数．只有满足这三个条件，才是幂函数．对于形如y＝(2x)α，y＝2x5，y＝xα＋6等的函数都不是幂函数．
1
（2）幂函数的图象：同一坐标系中，幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x－1，
y=x2
的图象(如图)．
2、幂函数的性质
（1）所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点(1,1)；
（2）如果α＞0，那么幂函数的图象过原点，并且在区间[0，＋∞)上单调递增；
（3）如果α＜0，那么幂函数的图象在区间(0，＋∞)上单调递减，在第一象限内，当x从右边趋向于原点
时，图象在y轴右方无限接近y轴，当x从原点趋向于＋∞时，图象在x轴上方无限接近x轴；
（4）在(1，＋∞)上，随幂指数的逐渐增大，图象越来越靠近y轴．
2、二次函数的图象和性质
函数 y＝ax2＋bx＋c(a>0) y＝ax2＋bx＋c(a＜0)
图象(抛物线)
定义域 R
值域
对称轴 x＝－
顶点坐标
奇偶性 当b＝0时是偶函数，当b≠0时是非奇非偶函数
在上是减函数； 在上是增函数；
单调性
在上是增函数 在上是减函数
知识点6 函数零点与二分法
1、函数零点的定义
（1）函数零点的概念：对于函数y＝f(x)(x∈D)，把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)(x∈D)的零点．
（2）函数零点与方程实数解的关系
方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．
【注意】函数的零点不是函数y＝f(x)的图象与x轴的交点，而是交点的横坐标，
也就是说函数的零点不是一个点，而是一个数．2、函数零点存在定理
（1）定理：如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)＜0，
那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，
这个c也就是方程f(x)＝0的根．
（2）两个重要推论
推论1：函数 在区间 上的图象是一条连续不断的曲线， ，且 具有单调性，
则函数 在区间 内只有一个零点.
推论2：函数 在区间 上的图象是一条连续不断的曲线，函数 在区间 内有零点，且
函数 具有单调性，则
3、二分法
（1）二分法的定义：对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)f(b)＜0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的
零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．
（2）给定精确度 ，用二分法求函数 零点 的近似值的步骤
①确定零点 的初始区间 ，验证
②求区间 的中点
③计算 ，进一步确定零点所在的区间：
若 （此时 ），则 就是函数的零点；
若 （此时 ），则令 ；
若 （此时 ），则令 .
④判断是否达到精确度 ：若 ，则得到零点近似值 （或 ）；否则重复（2）~（4）
【注意】初始区间的确定要包含函数的变号零点；
一、指对幂与对数式运算
1、指数幂运算的一般原则
（1）指数幂的运算首先将根式统一为分数指数幂，以便利用法则计算；
（2）先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数；
（3）底数为负数，先确定符号；底数为小数，先化成分数；底数是带分数的，先化成假分数；
（4）运算结果不能同时包含根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数。
2、对数混合运算的一般原则（1）将真数和底数化成指数幂形式，使真数和底数最简，用公式 化简合并；
（2）利用换底公式将不同底的对数式转化为同底的对数式；
（3）将同底对数的和、差、倍运算转化为同底对数真数的积、商、幂；
（4）如果对数的真数可以写成几个因数或因式的相乘除的形式，一般改写成几个对数相加减的形式，然
后进行化简合并；
（5）对数真数中的小数一般要化成分数，分数一般写成对数相减的形式。
3、对数运算中的几个运算技巧
（1） 的应用技巧：在对数运算中如果出现 和 ，则一般利用提公因式、平方差公式、
完全平方公式等使之出现 ，再应用公式 进行化简；
（2） 的应用技巧：对数运算过程中如果出现两个对数相乘且两个对数的底数与真数位置
颠倒，则可用公式 化简；
（3）指对互化的转化技巧：对于将指数恒等式 作为已知条件，求函数 的值的问题，
通 常 设 ， 则 ， ， ， 将 值 带 入 函 数
求解。
【典例1】（2023·全国·高三专题练习）计算
（1） .
（2） .
【答案】（1） ；（2）2
【解析】（1） ＝
＝ ＝ ＝
（2）
=2
【典例2】（2022秋·河南南阳·高三校考阶段练习）化简求值：（1） ;
（2）
【答案】（1） ；（2）1
【解析】（1）原式= = = = .
（2）原式=
.
【典例3】（2022秋·陕西西安·高三校考期中）计算
（1） .
（2） .
【答案】（1）9；（2）5
【解析】（1）
；
（2）
.
二、指数型复合函数的值域
y f(ax) a 0 a 1
1、形如 （ ，且 ）的函数求值域
ax t f(t) t
换元法：令 ，将求原函数的值域转化为求 的值域，但要注意“新元 ”的范围
y
afx
a 0 a 1
2、形如 （ ，且 ）的函数求值域
f x f x y a y afx
换元法：令 ，先求出 的值域，再利用 的单调性求出 的值域。【典例1】（2022秋·陕西咸阳·高三校考阶段练习）已知指数函数 的图像经过点
.
（1）求 的值；
（2）当 时，求函数 的值域.
【答案】（1） ；（2）
【解析】（1）∵函数 的图像经过点 ，∴ ，得 .
（2）令 ， ，则 ，
∵ ，
∴ ，
所以 在 上单调递增，
故当 时， ，
当 时， ，
故当 时， 的值域为 .
【典例2】（2022秋·宁夏·高三六盘山高级中学校考阶段练习）已知函数 ， ．
（1）当 ，且 时，求函数 的值域；
（2）若函数 在 的最小值为 ，求实数 的值；
【答案】（1） ；（2）
【解析】（1）当 时， ；
令 ，则当 时， ，
在 上单调递减，在 上单调递增，
， ， 的值域为 .
（2）令 ，则当 时， ，
，对称轴为 ；
当 ，即 时， 在 上单调递增，
，解得： （舍）；
当 ，即 时， 在 上单调递减，在 上单调递增，，解得： （舍）或 ；
当 ，即 时， 在 上单调递减，
，解得： （舍）；
综上所述： .
三、对数型复合函数的值域
y f(log x) a 0 a 1
1、形如 a （ ，且 ）的函数求值域
log xt log xt y f t y f t
换元法：令 a ，先求出 a 的值域，再利用 的单调性，再求出 的值域。
y log f x
2、形如 a （
a 0
，且
a 1
）的函数的值域
f x f x y log y log f x
换元法：令 ，先求出 的值域，再利用 a 的单调性，求出 a 的值
域。
【典例1】（2022秋·福建·高三统考阶段练习）已知函数 且 .
（1）当 时，求 的值域；
（2）若 在 上的最大值大于 ，求 的取值范围.
【答案】（1） ；（2）
【解析】（1）由 得： ，则 的定义域为 ；
当 时， ，
当 时， （当且仅当 时取等号），
，则 的值域为 .
（2） ；
令 ，
则 在 上单调递减，在 上单调递增，又 ， ， ， 的值域为 ；
当 时， ， ，解得： （舍）；
当 时， ， ，解得： ；
综上所述：实数 的取值范围为 .
【典例2】（2022秋·江苏淮安·高三统考期中）已知函数 ．
（1）若 ，求 的取值范围；
（2）当 时， 求函数 的值域．
【答案】（1） ；（2）
【解析】（1）设 ， ， ，
所以 ，即 ，解得 ，
所以 ，解得 ，即 ；
（2）由（1）得，当 ， ，
所以函数可转化为 ， ，
当 时， 取最小值为 ，
当 或 时， 取最大值为 ，
即当 时， 取最小值为 ，
当 或 时， 取最大值为 ，
即函数 的值域为 .
四、指对幂比较大小的常见方法
1、单调性法：当两个数都是指数幂或对数式时，可将其看成某个指数函数、对数函数或幂函数的函数值，
然后利用该函数的单调性比较；
2、作差法、作商法：
（1）一般情况下，作差或者作商，可处理底数不一样的对数比大小；
（2）作差或作商的难点在于后续变形处理，注意此处的常见技巧与方法；
3、中间值法或1/0比较法：比较多个数的大小时，先利用“0”“1”作为分界点，然后再各部分内再利用函数的性质比较大小；
4、估值法：（1）估算要比较大小的两个值所在的大致区间；
（2）可以对区间使用二分法（或利用指对转化）寻找合适的中间值；
5、构造函数，运用函数的单调性比较：
构造函数，观察总结“同构”规律，很多时候三个数比较大小，可能某一个数会被可以的隐藏了“同构”
规律，所以可能优先从结构最接近的的两个数规律
（1）对于抽象函数，可以借助中心对称、轴对称、周期等性质来“去除f( )外衣”比较大小；
（2）有解析式函数，可以通过函数性质或者求导等，寻找函数的单调性、对称性，比较大小。
6、放缩法：
（1）对数，利用单调性，放缩底数，或者放缩真数；
（2）指数和幂函数结合来放缩；
（3）利用均值不等式的不等关系进行放缩；
（4）“数值逼近”是指一些无从下手的数据，如果分析会发现非常接近某些整数（主要是整数多一些），
那么可以用该“整数”为变量，构造四舍五入函数关系。
【典例1】（2023·全国·模拟预测）已知 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为 ， ，
所以 ，
又 ，所以 ，所以 ，
所以 ，故 ，
因为 ，
又 ，所以 ，所以 ，
所以 ，又 ，所以 ，所以 ，故选：A.
【典例2】（2023·云南·校联考模拟预测）已知 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】 ， ，
，所以 ，
，所以 .故选：A
【典例3】（2023·四川泸州·四川省泸县第一中学校考模拟预测）若 ， ， ，则
a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意： ， ，故 ．
又 ，即 ，所以 ，即 ，
因为 ，所以 ．
因为 ，故 ，即 ，
所以 ，所以 ，
所以 ，所以 ，故选：B.
五、函数零点个数的判断方法
1、直接法：直接求零点，令 ，如果能求出解，则有几个不同的解就有几个零点.
2、定理法：利用零点存在定理，函数的图象在区间 上是连续不断的曲线，且 ，
结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点.
3、图象法：
（1）单个函数图象：利用图象交点的个数，画出函数 的图象，函数 的图象与 轴交点的个数
就是函数 的零点个数；
（2）两个函数图象：将函数 拆成两个函数 和 的差，根据 ，则
函数 的零点个数就是函数 和 的图象的交点个数
4、性质法：利用函数性质，若能确定函数的单调性，则其零点个数不难得到；
若所考查的函数是周期函数，则只需解决在一个周期内的零点的个数
【典例1】（2023·河南·校联考模拟预测）函数 的零点个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B【解析】由 ，得 ，
因此函数 的零点即为函数 与 的图象交点横坐标，
在同一坐标系内作出函数 与 的图象，如图，
观察图象知，函数 与 的图象有唯一公共点，
所以函数 的零点个数为1.故选：B
【典例2】（2023·全国·高三专题练习）已知函数 满足 .当 时，
，则 在 上的零点个数为 .
【答案】161
【解析】因为函数 满足 ，
所以 ，所以 的最小正周期为3，
当 时，令 ，
解得 或 ，所以当 时， 有两个零点，
所以 在 上的零点个数为 个.故答案为：161.
【典例3】（2022秋·江苏淮安·高三统考期中）已知函数 ，则函数 ，
的零点个数（ ）
A．3个 B．5个 C．10个 D．9个
【答案】D
【解析】令 ，则 ，
令 ，即 ，
，令 得 或 ，令 得 ，
所以函数 在区间 和 上单调递增，在区间 上单调递减，因为 ，所以方程 有 三个解，
当 时， ， ， ，
当 时， ， ， ，
当 时， ， ， ，
当 时，方程 有 个根，当 时，方程 有 个根，
当 时，方程 有 个根，故函数 零点的个数为 个;
同理可得当 时和 时均可得到函数 零点的个数为 个.故选：D.
易错点1 指数与对数函数中忽略对底数的讨论
点拨：指数与对数函数问题中，其底数若不是确定的数值，需要对底数分a＞1或00，且a≠1)，若 在区间
[1，2]上恒成立，则实数a的取值范围是 ．
【答案】
【解析】当a＞1时，f（x）＞1等价于8﹣ax＞a在[1，2]上恒成立，即a＜（ ） = ，
min
∴1＜a＜ ；
当0＜a＜1时，f（x）＞1等价于8﹣ax＜a在[1，2]上恒成立，
即a＞（ ） =4（舍去），
max
综上，a的取值范围是（1， ）．故答案为（1， ）．
【典例3】（2023·湖南长沙·长郡中学校考模拟预测）已知函数 （ 且 ），
若对任意 ， ，则实数a的取值范围为 ．
【答案】
【解析】当 时， ，
由图可知， ，此时若对任意 ，
只需 ，即 ，即 ．
当 ，此时若对任意 ，
即 ，所以只需 ．
令 ，则 ，
当 单调递增，当 单调递减，
．综上， ．故答案为： .
易错点2 求复合函数单调性时忽略定义域
点拨：求复合函数单调区间一般步骤是①求函数的定义域；②作出内层函数的图象；③用“同增异减”法
则写单调区间。解此类题通常会出现以下两类错误：一是忽视定义域；二是 “同增异减”法则不会或法
则用错。
【典例1】（2023·全国·高三专题练习）函数 的单调递减区间为
【答案】 /
【解析】函数分为内外层函数，设 ， ，
令 ，得 ，
内层函数 ，在区间 单调递增，在区间 单调递减，
外层函数 单调递增，根据复合函数“同增异减”的判断方法可知，
函数在区间 单调递减.故答案为：
【典例2】（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ，若 ，则此函数的单调递
增区间是 ．
【答案】
【解析】由题意，令 ，解得 或 ，
故函数 的定义域为 ，
，得 ，
令 ，则 ，
根据复合函数的单调性，即求 在定义域内的增区间，
由二次函数的性质， 的增区间为 ，
所以函数 的单调递增区间为 .故答案为： .
易错点3 忽视转化的等价性
点拨：等价转化是数学的重要思想方法之一，处理得当会起到意想不到的效果，但等价转化的前提是转化
的等价性，反之会出现各种离奇的错误。【典例1】（2023·海南海口·海南华侨中学校考一模）“ ”是“直线 与曲线 有交
点”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】∵直线 与曲线 有交点，∴方程 在 上有解，
∴ ，∴ ，
∴“ ”是“直线 与曲线 有交点”的必要不充分条件.故选：B
【典例2】（2023·全国·高三专题练习）关于x的方程 恰有一根在区间 内，则
实数m的取值范围是 ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】方程 对应的二次函数设为：
因为方程 恰有一根属于 ，则需要满足：
① ， ，解得： ；
②函数 刚好经过点 或者 ，另一个零点属于 ，
把点 代入 ，解得： ，
此时方程为 ，两根为 ， ，而 ，不合题意，舍去
把点 代入 ，解得： ，
此时方程为 ，两根为 ， ，而 ，故符合题意；
③函数与x轴只有一个交点， ，解得 ，
经检验，当 时满足方程恰有一根在区间 (0,1) 内;
综上：实数m的取值范围为 故选：D易错点4 函数零点定理的理解不准确
点拨：函数零点定理是指如果函数 在区间 上的图象是一条连续不断的曲线，并且有
，那么函数 在区间 内有零点。解决函数零点问题常用方法有定理法、图象法和
方程法。函数零点又分为“变号零点”和“不变号零点”，函数零点定理仅适用于“变号零点”，对“不
变号零点”无能为力。
【典例1】（2022秋·山西运城·高三校考阶段练习）函数 的零点所在的大致区间为 ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】 在 连续不断，且单调递减，
，
所以零点位于 ，故选：C
【典例2】（2023·全国·高三专题练习）函数 的一个零点在区间 内，则实数a的取值
范围是 ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为函数 ， 在 上单调递增，
所以函数 在 上单调递增，
由函数 的一个零点在区间 内得 ，
解得 ，故选：A
