专题2.4 指数函数、对数函数、幂函数
2.4.1 指数幂的相关计算及指数函数
知识点梳理
1.n 次方根与根式
（1）a 的n 次方根的定义一般地，如果xn＝a，那么x 叫做a 的n 次方根，其中n>1，
且n∈N*.
（2）a 的n 次方根的表示
n 的奇偶性
a 的n 次方根的表示符号
a 的取值范围
n 为奇数
n√a
R
n 为偶数
±
n√a
[0，＋∞)
（3）根式：式子n√a叫做根式，这里n 叫做根指数，a 叫做被开方数．
（4）根式的性质：根式的性质是化简根式的重要依据.
①负数没有偶次方根．
②0 的任何次方根都是0，记作n√0=0.
③(
n√a)
n=a(n∈N*，且n>1)．
④
n√a
n=a(n 为大于1 的奇数)．
⑤
n√a
n=|a|={
a，a≥0
−a，a<0(n 为大于1 的偶数)．
2.分数指数幂
（1）规定正数的正分数指数幂的意义是：a
m
n =
n√a
m(a>0，m，n∈N*，且n>1)．
（2）规定正数的负分数指数幂的意义是：a
−m
n = 1
a
m
n
= 1
n√a
m(a>0，m，n∈N*，且
n>1)．
（3）0 的正分数指数幂等于0,0 的负分数指数幂没有意义．
（4）有理数指数幂的运算性质，整数指数幂的运算性质，可以推广到有理数指数幂：
①aras＝ar＋s(a>0，r，s∈Q)．
②(ar)s＝ars(a>0，r，s∈Q)．
③(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q)．
④＝ar－s(a>0，r，s∈Q)．
3.无理数指数幂：一般地，无理数指数幂aα(a>0，α 是无理数)是一个确定的实数．有
理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂．
4.指数函数
（1）一般地，函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义
域是R.
（2）指数函数的图像
①指数函数图像和性质
a>1
0<a<1
图象
性
质
定义域
R
值域
(0，＋∞)
过定点
过定点(0,1)，即x＝0 时，y＝1.
函数值的变化
当x<0 时，0<y<1；
当x>0 时，y>1.
当x>0 时，0<y<1；
当x<0 时，y>1.
单调性
在R 上是增函数
在R 上是减函数
对称性
y＝ax与y＝(
1
a)
x
的图象关于y 轴对称
②底数a 对指数函数图像的影响
规律：当a>1 时，指数函数的图像是“上升的”，且当x>0 时，底数a 的值越大，函
数的图像越陡峭，说明函数值增长得越快. 当0<a<1 时，指数函数的图像是“下降的”，
且当x<0 时，底数a 的值越小，函数图像越陡峭，说明函数值减小的越快.
在y 轴的右侧，图像从上到下相应的底数由大变小（底大图高）；在y 轴左侧，图像
从下到上相应的底数由大变小（底大图低）.
（3）幂的大小比较
（1）对于同底数不同指数的两个幂的大小，利用指数函数的单调性来判断．
（2）对于底数不同指数相同的两个幂的大小，利用幂函数的单调性来判断．
（3）对于底数不同指数也不同的两个幂的大小，则通过中间值来判断．
典型例题
例1.化简求值：
(1)0.027
1
3 −(6 1
4)
1
2 +256
3
4 +(2❑√2)
2
3 −3
−1+ π
0；
(2)(a－2b－3)×(－4a－1b)÷(12a－4b－2c)；
(3)2÷4×3.
解：(1)原式＝(0.3
3)
1
3 −[(
5
2)
2
]
1
2 +(4
4)
3
4 +(2
3
2)
2
3 −1
3 +1=0.3−5
2 + 4
3+2−1
3 +1=64 7
15
.
(2)原式＝－4a－2－1b－3＋1÷(12a－4b－2c)＝－a－3－(－4)b－2－(－2)c－1＝－ac－1＝－.
(3)原式＝2a
1
3 ÷(4 a
1
6 b
1
6)×(3b
3
2)= 1
2 a
1
6 b
4
3.
例2.下图是指数函数（1）y＝ax，（2）y＝bx，（3）y＝cx，（4）y＝dx的图象，则a、b、
c、
d 与1 的大小关系是（ ）
A．a＜b＜1＜c＜d
B．b＜a＜1＜d＜c
C．1＜a＜b＜c＜d
D．a＜b＜1＜d＜c
解：解法一：当指数函数底数大于1 时，图象上升，且当底数越大，图象向上越靠近于y
轴；当底数大于0 小于1 时，图象下降，底数越小，图象向右越靠近于x 轴．得b＜a＜1＜
d＜c．
解法二：令x＝1，由图知c1＞d1＞a1＞b1，∴b＜a＜1＜d＜c．故选：B．
例3.求下列函数的单调区间
（1）y =a
−x
2+3 x +2(a>1)； （2）y =2
❑√−x
2+2 x +3.
解：（1）令t=−x
2+3x+2=−(x−3
2 )
2
+17
4 ，则函数t 在（-∞，3
2 ）上单调递增，在[3
2
，+∞）上单调递减，当a＞1 时，y=at在R 上是增函数，即函数y =a
−x
2+3 x +2的单调递增区
间是（-∞，3
2 ），单调递减区间是[3
2 ，+∞）．
（2）y =2
❑√−x
2+2 x +3的定义域为[-1，3].
令t=
❑√−x
2+2x+3=
❑√−(x
1
−)2+4，则函数t 在[-1,1)上单调递增，在[1,3]上单调递减.
又y=2t在R 上是增函数，所以函数y =2
❑√−x
2+2 x +3的单调递增区间是[-1,1)，单调递减区间是
[1,3].
例4.函数f(x)=a
x+1+2(a>0且a≠1)的图象恒过定点( m ,n),则m +n等于 .
解：由x+1=0,即x= 1
−,得y=3,所以m = 1
−, n=3,所以m +n= 1+3=2
−
.故答案为：2.
例5.(1)解不等式(
1
2)
3 x−1
≤2；
(2)已知a
x
2−3 x +1<ax＋6(a>0，a≠1)，求x 的取值范围．
解 (1)∵2＝(
1
2)
−1
，∴原不等式可以转化为(
1
2)
3 x−1
≤(
1
2)
−1
.
∵y＝(
1
2)
x
在R 上是减函数，∴3x－1≥－1，∴x≥0，故原不等式的解集是{x|x≥0}．
(2)分情况讨论：①当0<a<1 时，函数f(x)＝ax(a>0，a≠1)在R 上是减函数，
∴x2－3x＋1>x＋6，∴x2－4x－5>0，解得x<－1 或x>5；
所以原不等式的解集是{x|x<－1 或x>5}；
②当a>1 时，函数f(x)＝ax(a>0，a≠1)在R 上是增函数，
∴x2－3x＋1<x＋6，∴x2－4x－5<0，解得－1<x<5，
所以原不等式的解集是{x|－1<x<5}
综上所述，当0<a<1 时，不等式的解集是{x|x<－1 或x>5}；
当a>1 时，不等式的解集是{x|－1<x<5}．
随堂演练
1.已知函数y=a(
1
2)
|x|
+ b的图象经过原点,且无限接近直线y=2,但又不与该直线相交,则
ab=()
A.
1
− B.
2
− C.
4
− D.
9
−
解：因为函数y=f(x)=a(
1
2)
|x|
+ b图像过原点, 所以a(
1
2)
0
+ b=0,得a+ b=0,又该函数图
像无限接近直线y=2,且不与该直线相交,所以b=2,则a = 2
−,所以ab= 4
−.故选: C.
2.若x>0,则(2x
1
4 +3x
3
2)(2x
1
4
3
−x
3
2)
4
−x
1
2(x−x
1
2)= .
解
：
原
式
=(2x
1
4)
2
−(3
3
2)
2
4
−x
−1
2 ⋅x+4x
−1
2 ⋅x
1
2 =4x
1
2 −3
3
4
−x
−1
2 +1+4x
−1
2 +1
2 =4−
故答案为:
23.
−
3.已知函数y=a
x
2
−+3(a>0且a≠1)的图象恒过定点A,若点A在直线mx+ny =2上,其中
m >0,n>0,则2
m +1
3n
的最小值为 .
解：对于函数y=a
x
2
−+3(a>0,且a≠1), 令x
2=0,
−
则y=4, 则函数y=a
x
2
−+3(a>0且a≠1)的图像恒过定点A(2,4), 则
2m +4n=2,∴m +2n=1,
且
m >0,n>0,故
2
m +1
3n =(
2
m +1
3n)( m +2n)=2+2
3 +4n
m
+ m
3n ≥8
3 +2❑√
4
3 =8+4 ❑√3
3
,当且仅当{
4n
m
= m
3n
m +2n=1),
即m =2❑√3
2❑√3+2 ,n=1
2❑√3+2 时等号成立,
即2
m +1
3n 的最小值为8+4 ❑√3
3
,故答案为8+4 ❑√3
3
.
4.满足方程4
x+2
x
2=0
−
的x值为 .
解：令t=2
x(t>0)，原方程化为t
2+t
2=0
−
，解得t=1或t= 2
−.因为t>0，所以t=1，即
2
x=1，
解得：x=0.故答案为：0.
5.不等式2
x
2+2x
4
−≤1
2 的解集为 .
解：依题意x
2+2x
4≤1 (
−
−⇒
x+3)(x
1)≤0
−
⇒x∈[ 3,1]
−
.
6.（1）计算( 64
27 )
1
3 +lg 1
4 +(π −2)
0−lg25；
（2）若x
1
2 + x
−1
2 =2❑√2，求x2+x﹣2的值．
（3）已知a
1
2 +a
−1
2 =3，求下列各式的值：
①a+a﹣1； ②a2+a﹣2．
解：（1）( 64
27 )
1
3 +lg 1
4 +(π −2)
0−lg25
=[( 4
3 )
3]
1
3 −lg4+1﹣lg25= 4
3 −lg(4×25)+1= 4
3 −lg10
2+1= 4
3 −2+1= 1
3；
（2）由x
1
2 + x
−1
2 =2❑√2，得( x
1
2 + x
−1
2 )
2= x + x
−1+2=8，得x+x﹣1＝6，
∴（x+x﹣1）2＝x2+x﹣2+2＝36，
故x2+x﹣2＝34．
（3）①∵a
1
2 +a
−1
2 =3，
∴(a
1
2 +a
−1
2 )
2=a+a﹣1+2＝9，
∴a+a﹣1＝7；
②∵a+a﹣1＝7，
∴（a+a﹣1）2＝a2+a﹣2+2＝49，
∴a2+a﹣2＝47．
7.（1）求函数y =( 1
3 )
x
2−2 x−1的值域和单调区间．
（2）求函数f ( x)=( 1
3 )
❑√x
2−3 x +2
的定义域和单调区间．
解：（1）设函数y =( 1
3 )
x
2−2 x−1=( 1
3 )
t
，
t＝x2﹣2x﹣1＝（x﹣1）2﹣2≥﹣2，
∴函数y =( 1
3 )
x
2−2 x−1的值域是（0，9]；
在函数y =( 1
3 )
x
2−2 x−1中，
∵1
3 ＜1，t＝x2﹣2x﹣1 的对称轴是x＝1，增区间是[1，+∞），减区间是（﹣∞，1]，
∴函数y =( 1
3 )
x
2−2 x−1的增区间是（﹣∞，1]，减区间是[1，+∞）．
（2）要使函数有意义，只需x2﹣3x+2≥0，解得x≤1 或x≥2
函数f ( x)=( 1
3 )
❑√x
2−3 x +2
的定义域为（﹣∞，1]∪[2，+∞）
令t=
❑√x
2−3 x +2
则y =( 1
3 )
t
为减函数
t=
❑√x
2−3 x +2的单调递减区间是（﹣∞，1]，单调递增区间是[2，+∞）.
8.已知函数f（x）=( 1
3 )
ax
2−4 x +3
，
（1）若a＝﹣1，求f（x）的单调区间；
（2）若f（x）有最大值3，求a 的值．
（3）若f（x）的值域是（0，+∞），求a 的取值范围．
解：（1）当a＝﹣1 时，f（x）=( 1
3 )
−x
2−4 x +3，令g（x）＝﹣x2﹣4x+3，
由于g（x）在（﹣∞，﹣2）上单调递增，在（﹣2，+∞）上单调递减，
而y＝（1
3）t在R 上单调递减，
所以f（x）在（﹣∞，﹣2）上单调递减，在（﹣2，+∞）上 单调递增，
即函数f（x）的递增区间是（﹣2，+∞），递减区间是（﹣∞，﹣2 ）．
（2）令h（x）＝ax2﹣4x+3，y＝（1
3）h（x），由于f（x）有最大值3，
所以 h（x）应有最小值﹣1，
因此12a−16
4 a
=−1，
解得a＝1．
即当f（x）有最大值3 时，a 的值等于1．
（3）由指数函数的性质知，
要使y＝h（x）的值域为（0，+∞）．
应使h（x）＝ax2﹣4x+3 的值域为R，
因此只能有a＝0．
因为若a≠0，则h（x）为二次函数，其值域不可能为R．
故 a 的取值范围是{0}．
2.4.2 对数的相关计算及对数函数
知识点梳理
1.对数的定义：一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x 叫做以a 为底N 的对
数，记作x＝logaN，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数．
概念理解：（1）a<0，N 取某些值时，logaN 不存在，如根据指数的运算性质可知，不
存在实数x 使(−1
2)
x
＝2 成立，所以a 不能小于0.
（2）a＝0，N≠0 时，不存在实数x 使ax＝N，无法定义logaN；N＝0 时，任意非零实
数x，有ax＝N 成立，logaN 不确定．
（3）a＝1，N≠1 时，logaN 不存在；N＝1，loga1 有无数个值，不能确定．
2.常用对数与自然对数
名称
定义
符号
常用对
数
以10 为底的对数叫做常用对数
log10N 记为lgN
自然对
数
以e 为底的对数叫做自然对数，e 是无理数，e=2.71828
⋯
logeN 记为lnN
3.对数的性质
（1）对数与指数的关系：若a>0，且a≠1，则ax＝N⇒logaN＝x.
（2）对数恒等式
①
＝N；②logaax＝x(a>0，且a≠1，N>0)．
（3）1 的对数等于0，loga1＝0(a>0，且a≠1)．
（4）底数的对数等于1，logaa＝1(a>0，且a≠1)．
（5）零和负数没有对数．
4.对数的运算
（1）对数的运算性质：
如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么：
①loga(M·N)＝logaM＋logaN.
②logaM
N ＝logaM－logaN.
③logaMn＝nlogaM(n∈R)．
（2）换底公式：logab＝(a>0，且a≠1；c>0，且c≠1；b>0)．
对数换底公式的重要推论：
推论1：logab＝logba，即logab=
1
logba.(b>0，且b≠1；a>0，且a≠1)．
推论2：loga
mb
n= n
m logab(a>0，且a≠1，b>0)．
推论3：logab·logbc＝logac．
logab·logbc·logcd＝logad(a>0，b>0，c>0，d>0，且a≠1，b≠1，c≠1)．
5.对数函数的定义：一般地，函数y＝logax(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x 是自
变量，函数的定义域是(0，＋∞)．
6.对数函数的图象和性质
（1）对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图象和性质如下表
y＝logax (a>0，且a≠1)
底数
a>1
0<a<1
图象
定义域
(0，＋∞)
值域
R
单调性
在(0，＋∞)上是增函数
在(0，＋∞)上是减函数
共点性
图象过定点(1,0)，即x＝1 时，y＝0
函数值特
点
x∈(0,1)时，y∈(－∞，0)；
x∈[1，＋∞)时，y∈[0，＋∞).
x∈(0,1)时，y∈(0，＋∞)；
x∈[1，＋∞)时，y∈(－∞，0].
对称性
函数y＝logax 与y = log 1
a
x的图象关于x 轴对称
（2）底数对对数函数图像的影响
底数a 决定函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图像相对位置的高低：
①上下比较：在直线x=1 的右侧，当a>1 时，a 越大，图像越靠近x 轴；当0<a<1
时，a 越小，图像越靠近x 轴.
②左右比较：比较图像与直线y=1 的交点，交点的横坐标越大，对应的对数函数的底
数越大.
典型例题
例1.(1)计算：(log43＋log83)(log32＋log92)；
(2)已知log189＝a,18b＝5，用a，b 表示log3645 的值．
解：(1)原式＝(
lg3
lg 4 + lg3
lg8)(
lg2
lg3 + lg2
lg9)＝(
lg3
2lg2 + lg3
3lg2)(
lg2
lg3 + lg2
2lg3)＝×＝.
(2)方法一：∵log189＝a,18b＝5，∴log185＝b.
于是log3645＝＝＝＝＝.
方法二：∵log189＝a,18b＝5，∴log185＝b.于是log3645＝＝＝.例2.求下列函数的定义域：
(1)y＝loga(3－x)＋loga(3＋x)；
(2)y＝log2(16－4x)＋
1
❑√x−1；
(3)y＝log(1－x)5.
解：(1)由{
3−x>0
3+ x>0 ,解得－3<x<3，∴函数的定义域是(－3,3)．
(2)由{
16−4
x>0
x−1>0 ,得{
4
x<16
x>1 ,∴1<x<2.∴函数y＝log2(16－4x)＋
1
❑√x−1的定义域为(1,2)．
(3)依题意知{
1−x>0
1−x≠1,得x<1 且x≠0，∴定义域为(－∞，0)∪(0,1)．
例3.如图，若C1，C2分别为函数y＝logax 和y＝logbx 的图象，则( )
A．0<a<b<1
B．0<b<a<1
C．a>b>1
D．b>a>1
解：作直线y＝1，直线与C1，C2的交点的横坐标分别为a，b，易知0<b<a<1.故答案为B.
例4.求函数y＝log 1
2
( x
2−3 x +5)的单调区间．
解：由于x2－3x＋5 的判别式Δ＝(－3)2－4×5＝－11<0，
∴x2－3x＋5>0 恒成立，即函数的定义域为R.
令u(x)＝x2－3x＋5，当x∈(−∞，3
2 ]时，u(x)单调递减，当x∈( 3
2 ，+∞)时，u(x)单调递
增．
又y＝log 1
2
μ为减函数，
∴y＝log 1
2
( x
2−3 x +5)在(−∞，3
2 ]上单调递增，在( 3
2 ，+∞)上单调递减．
综上，函数y＝log 1
2
( x
2−3 x +5)的增区间为(−∞，3
2 ]，减区间为( 3
2 ，+ ∞).
例5.函数y=loga(x+3) 1(
−
a>0,a≠1)的图象恒过定点A, 若点A在直线mx+ny+1=0上,
其中m >0,n>0,则1
m +2
n 的最小值为 .
解：对于函数y=loga(x+3) 1
− (a>0,a≠1) ，令x+3=1，可得x= 2
−，则
y=loga1
1
−
，
故函数y=loga(x+3) 1
− (a>0,a≠1)的图像恒过定点A(
2
−
，因为点A在直线
mx+ny+1=0上，则
2
−m −n+1=0
，可得
2m +n=1. 因为m、n>0，所以
1
m +2
n =(2m +n)(
1
m +2
n)=4+4 m
n
+n
m ≥4+2❑√
4 m
n
⋅n
m =8.
当且仅当n=2 m
时，等号成立，故1
m +2
n 的最小值为8.
例6.已知函数f ( x)=lo g1
2
( x
2−2ax +3)．
（1）若函数f（x）的值域为R，求a 的取值范围；
（2）是否存在a∈R，使f（x）在（﹣∞，2）上单调递增，若存在，求出a 的取值范围，
若不存在，请说明理由．
解：已知函数f ( x)=lo g1
2
( x
2−2ax +3)，
（1）由函数f（x）的值域为R，则函数y＝x2﹣2ax+3 的值域包含（0，+∞），
则Δ＝4a2﹣4×3≥0，解得a≤−❑√3或a≥❑√3，
即a 的取值范围为(−∞，−❑√3]∪[ ❑√3，+∞)．
（2）不存在，理由如下：
由函数f（x）在（﹣∞，2）上单调递增，
则函数y＝x2﹣2ax+3 在（﹣∞，2）递减，且x2﹣2ax+3＞0 对于x∈（﹣∞，2）恒成立，
所以{
a≥2
2
2−4 a+3≥0)，无解，
所以不存在a∈R，使f（x）在（﹣∞，2）上单调递增．
随堂演练
1.函数y＝loga（x+1）（a＞0，且a≠1）与函数y＝x2﹣2ax+1 在同一直角坐标系中的图象
大致是（ ）
A．
B．
C．
D．
解：函数y＝x2﹣2ax+1 的对称轴为x＝a，且恒过定点（0，1），观察选项可知，选项C
可能符合，
若选C，则由图象可知，此时0＜a＜1，函数y＝loga（x+1）单调递减，且恒过定点
（0，0），符合题意．故选：C．
2. 已知2
a=5,log53= b,则4
a−3b= ( )
A.25 B.5 C.25
9 D.5
3
解：因为2
a=5, b=log83=1
3 log23,即2
3b=3.所以4
a
3
−b=4
a
4
3b =(2
a)
2
(2
3b)
2 =5
2
3
2 =25
9 .故选:C.
3.若2
a=5
b=10,则1
a +1
b = ( )
A. 1
− B.lg7 C.1 D.log1010
解
：
∵2
a=5
b=10,∴a =log210,
b=log510.
∴1
a +1
b =1
log210 +1
log510 =lg2+lg5=lg10=1.故选:C.
4.已知b>0,log5b=a,lg b=c,5
d=10,则下列等式一定成立的是( )
A.d =ac B.a =cd C.c=ad D.d=a+c
解：log5b=a,lg b=c相除得log5b
lg b
=a
c ,log510=a
c ,又5
d=10,∴log510=d,所以
d =a
c ⇒cd =a.选B.
5.已知函数y =lo g1
2
( x
2−2ax +5a)在[2，+∞）上为减函数，则实数a 的取值范围是（
）
A．（﹣∞，2]
B．[2，+∞）
C．（﹣4，2]
D．[﹣1，2]
解：令f（x）＝x2﹣2ax+5a，对称轴为x＝a，
因为函数y =lo g1
2
x是正实数集上的减函数，
所以要想函数y =lo g1
2
( x
2−2ax +5a)在[2，+∞）上为减函数，
只需函数f（x）＝x2﹣2ax+5a 在[2，+∞）上为增函数，且f（x）＞0 在[2，+∞）上恒成立，
所以a≤2，且f（2）＝4+a＞0，解得﹣4＜a≤2．故选：C．
6.方程log3(x
2
10
−
)=1+log3x的解是 .
解：由log3(x
2
10)=1+
−
log3x=log33x,可得{
x
2
10=3
−
x
x
2
10>0
−
3x>0
),得x=5或x= 2(舍去)
−
.
7.计算下列各式的值：
(1)(lg 5)2＋2lg 2－(lg 2)2；
(2) lg3+ 2
5 lg9+ 3
5 lg ❑√27−lg ❑√3
lg81−lg27
；
(3)log535－2log57
3＋log57－log51.8.
解：(1)原式＝(lg 5)2＋(2－lg 2)lg 2
＝(lg 5)2＋(1＋lg 5)lg 2
＝(lg 5)2＋lg 2·lg 5＋lg 2
＝(lg 5＋lg 2)·lg 5＋lg 2
＝lg 5＋lg 2＝1.
(2)原式＝lg3+ 4
5 lg3+ 9
10 lg3−1
2 lg3
4lg3−3lg3
＝(1+ 4
5 + 9
10 −1
2)lg3
(4−3)lg3
= 11
5
.
(3)原式＝log5(5×7)－2(log57－log53)＋log57－log59
5
＝log55＋log57－2log57＋2log53＋log57－2log53＋log55
＝2log55＝2.
8.已知函数f（x）＝log2（ax2﹣4ax+6）．
（1）当a＝1 时，求不等式f（x）≥log23 的解集；
（2）若f（x）的定义域为R，求a 的取值范围．
解：（1）当a＝1 时，不等式f（x）≥log23，即log2（x2﹣4x+6）≥log23，
可得x2﹣4x+6≥3
∴x2﹣4x+3≥0
解得：x≥3 或x≤1．
∴不等式f（x）≥log23 的解集为（﹣∞，1]∪[3，+∞）．
（2）f（x）的定义域为R，即ax2﹣4ax+6＞0 恒成立．
①当a≠0 时，得a＞0 且Δ＝16a2﹣24a＜0
解得：0＜a＜3
2；
②当a＝0 时，6＞0 恒成立，f（x）的定义域为R 成立．
综上得a 的取值范围为[0，3
2）．
9.已知函数f（x）=lo g1
2（x2﹣mx﹣m）．
（1）若m＝1，求函数f（x）的定义域．
（2）若函数f（x）的值域为R，求实数m 的取值范围．
（3）若函数f（x）在区间（﹣∞，1−❑√3）上是增函数，求实数m 的取值范围．
解：（1）若m＝1，则f ( x)=lo g1
2
( x
2−x−1)
要使函数有意义，需x2﹣x﹣1＞0，解得x∈(−∞，1−❑√5
2
)∪( 1+ ❑√5
2
，+∞)
∴若m＝1，函数f（x）的定义域为(−∞，1−❑√5
2
)∪( 1+ ❑√5
2
，+∞)．
（2）若函数f（x）的值域为R，则x2﹣mx﹣m 能取遍一切正实数，
∴Δ＝m2+4m≥0，即m∈（﹣∞，﹣4]∪[0，+∞）
∴若函数f（x）的值域为R，实数m 的取值范围为（﹣∞，﹣4]∪[0，+∞）
（3）若函数f（x）在区间(−∞，1−❑√3)上是增函数，
则y ＝x2﹣mx﹣m 在区间(−∞，1−❑√3)上是减函数且x2﹣mx﹣m ＞0 在区间
(−∞，1−❑√3)上恒成立，∴m
2 ≥1−❑√3，且（1−❑√3）2﹣m（1−❑√3）﹣m≥0 即m≥2﹣
2❑√3且m≤2
∴m∈[2−2❑√3，2]
10.已知函数f（x）= log 1
2（x2﹣2ax+3）．
（1）若函数的定义域为R，求实数a 的取值范围；
（2）若函数在区间（1
4 ，1）上为增函数，求实数a 的取值范围．
解：（1）若函数f（x）= log 1
2（x2﹣2ax+3）的定义域为R，
则x2﹣2ax+3＞0 恒成立，即Δ＝4a2﹣12＜0，解得：a∈（−❑√3，❑√3）；
（2）若函数在区间（1
4 ，1）上为增函数，
则t＝x2﹣2ax+3 在区间（1
4 ，1）上为减函数，且恒为正，
即{
a≥1
1−2a+3≥0)，解得：a∈[1，2]
2.4.3 指数函数和对数函数材料计算专题
知识点梳理
根据题目给出的指数函数、对数函数相关材料，将题目给出的材料转成指数函数、对
数函数相关的计算问题，从而利用指数函数、对数函数的概念和性质来求解问题.
典型例题
例1.测定古物的年代，可以用放射性碳法：在动植物的体内都含有微量的放射性14C．动植
物死亡后，停止了新陈代谢，14C 不再产生，且原来的14C 会自动衰变．经过5730 年，它
的残余量只有原始量的一半．现用放射性碳法测得某古物中14C 含量占原来的1
5，推算该古
物约是m 年前的遗物（参考数据：（lg2）﹣1≈3.3219），则实数m 的值为（ ）
A．12302
B．13304
C．23004
D．24034
解：设14C 每年的衰变率为P，古物中原14C 的含量为a，
由半衰期，得a P
5730= 1
2 a．所以P
5730= 1
2，即P=( 1
2 )
1
5730．
由题意，知P
m= 1
5，即( 1
2 )
m
5730 = 1
5
．
于是m
5730 =lo g1
2
1
5 =lo g25= 1−lg2
lg2
= 1
lg2 −1≈2.3219．
所以m≈5730×2.3219≈13304．故选：B．
例2.为了响应节能减排号召，某地政府决定大规模铺设光伏太阳能板，该地区未来第x 年
底光伏太阳能板的保有量y（单位：万块）满足模型y =
N
1+( N
y0
−1)e
−px ，其中N 为饱
和度，y0 为初始值，p 为年增长率．若该地区2024 年底的光伏太阳能板保有量约为20
万块，以此为初始值，以后每年的增长率均为10%，饱和度为1020 万块，那么2030 年
底该地区光伏太阳能板的保有量约
万块．
（结果四舍五入保留到整数，参考数据；e﹣0.5≈0.61，e﹣0.6≈0.55，e﹣0.7≈0.49）
解：根据题意，所给模型中y0＝20，N＝1020，p＝10% ＝0.1，x＝6，
则2030 年底该地区光伏太阳能板的保有量为y =
1020
1+( 1020
20 −1)e
−0.1×6 =
1020
1+50e
−0.6 ，
因为e﹣0.6≈0.55，
所以y =
1020
1+50e
−0.6 ≈
1020
1+50×0.55 ≈36．
所以2030 年底该地区新能源汽车的保有量约36 万块．
故答案为：36．
随堂演练
1.物理学家本•福特提出的定律：在b 进制的大量随机数据中，以n 开头的数出现的概率为
Pb（n）＝logbn+1
n
应用此定律可以检测某些经济数据、选举数据是否存在造假或错误．
若∑
n=k
80
P10(n)= lo g481
1+lo g25 (k ∈N
∗），则k 的值为（ ）
A．7
B．8
C．9
D．10
解：由题意可知，P10（k）=lg k +1
k
=lg（k+1）﹣lgk，
所以∑
n=k
80
P10(n)=lg（k+1）﹣lgk+lg（k+2）﹣lg（k+1）+…+lg81﹣lg80＝lg81﹣lgk，
lo g481
1+lo g25 =lg81﹣lgk＝lg81
k ，
lo g29
lo g210 =lg81
k ，log109＝lg81
k ，即lg9＝lg81
k ，所以9= 81
k ，所以k＝9．故选：C．
2.生物丰富度指数 d=S−1
ln N 是河流水质的一个评价指标，其中 S,N 分别表示河流中的
生物种类数与生物个体总数。生物丰富度指数 d 越大，水质越好。如果某河流治理前后
生物种类数 S 没有变化，生物个体总数由 N1 变为 N2，生物丰富度指数由 2.1 提高到
3.15，则（ ）
A. 3N2=2N1 B. 2N2=3N1 C. N2
3= N1
2 D. N2
3= N1
2
解：
由题意得S−1
ln N1
=2.1,S−1
ln N2
=3.15，则2.1ln N1=3.15ln N2
，即2ln N1=3ln N2
，所以N2
3= N1
2.
故选：D.
3. Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域.有学者根据公布数据建立
了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t的单位：天) 的Logistic模型：
I(t)=K
1+e
−0.24(t−53) ,其中K为最大确诊病例数.当I(t
∗)=0.95K时，标志着已初步遏制
疫情，则t
∗约为（ ）(ln19≈3)
A. 60 B. 63 C. 66 D. 69
解：I(t)=K
1+e
−0.23(t−53) ,所以I(t
∗)=K
1+e
−0.23(t
∗−53) =0.95K,则e
0.23(t
∗−53)=19,
所以0.23(t
∗−53)=ln19≈3,解得：t
∗≈3
0.23 +53≈66.故选:C.
4.2019 年1 月3 日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事
业取得又一重大成就，实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器
的通讯联系.为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，“鹊桥”沿着围绕地月拉
格朗日点L2点的轨道运行. L2点是平衡点，位于地月连线的延长线上。设地球质量为M1，
月球质量为M2，地月距离为R，L2点到月球的距离为r，根据牛顿运动定律和万有引力定
律，r满足方程：M1
(R+r)
2 + M2
r
2 =(R+r)M1
R
3 + M2
R
3 r，设α=r
R ，由于α的值很小，因此在
近似计算中 3α
3+3α
4+α
5
(1+α)
2
≈3α
3，则r的近似值为（ ）
A.R ❑√
M2
M1
B.R ❑√
M2
2M1
C.R
3√
3M2
M1
D.R
3√
M2
3M1
解
：
由
α=r
R ，
得
r=αR,
因
为
M1
(R+r)
2 + M2
r
2 =(R+r)M1
R
3 ，
所
以
M1
R
2(1+α)
2 + M2
α
2R
2 =(1+α)M1
R
2 ，
即M2
M1
=α
2[(1+α)−1
(1+α)
2)=α
5+3α
4+3α
3
(1+α)
2
≈3α
3，解得:α=
3√
M2
3M1
，所以
r=αR =
3√
M2
3M1
R.
5.根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3
361，而可观测宇宙中普通物质的原子
总数N约为10
80.则下列各数中与M
N
最接近的是（ ）(参考数据: lg3≈0.48)
A.10
33 B.10
93 C.10
73 D.10
79
解
：
设
M
N =x=3
361
10
80 ，
两
边
取
对
数
得
：
lgx=lg3
361
10
80 =lg3
361
lg
−
10
80=361×lg3−80=93.28，所以x=10
93.28，即M
N 最接近
10
93，故选：D.
6.某食品的保鲜时间y(单位：小时)与储藏温度x(单位：℃)满足函数关系y=e
kx+ b(
e=2.718⋯为自然对数的底数，k,b为常数).若该食品在0℃的保鲜时间是192小时，在
22℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33℃的保鲜时间是（ ）
A.16 小时 B.20 小时 C.24 小时 D.21 小时
解：192=e
b，48=e
22k+ b，两式相除得4=e
−22k，解得：k=−ln4
22
=−ln2
11
，b=ln192，
那么y=e
−ln2
11
x+ b，当x=33时，y=e
−ln2
11
×23×e
b=2
−3×192=192
8
=24，故选：C.
7.里氏震级M的计算公式为:M =lg A
lg
−
A0.其中A是测震仪记录的地震曲线的最大振幅，A0
是相应的标准地震的振幅，假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是 1000, 此时标准
地震的振幅A0为0.001，则此次地震的震级为 级；9 级地震的最大的振幅是5 级
地震最大振幅的 倍。
解：根据题意，假定在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1000，此时标准地震的振幅
为0.001，则M =lg A
lg
−
A0=lg1000
lg
−
0.001=3
(
−
−3)=6.
设9级地震的最大的振幅是x，5级地震最大振幅是y，9=lgx+3，5=lgy+3，解得
x=10
6，y=10
2，∴x
y =10
6
10
2 =10000.故答案为: 6,10000.
8.某食品的保鲜时间y(单位：小时)与储藏温度x(单位：℃)满足函数关系y=e
kx+ b(
e=2.718⋯ 为自然对数的底数，k,b为常数).若该食品在0℃的保鲜时间设计192 小时，
在22℃的保鲜时间是48 小时，则该食品在33℃的保鲜时间是 小时。
解
：
由
题
意
得
：{
e
b=192
e
22k+ b=48)⇒e
22k=48
192 =1
4 ,e
11k=1
2 ,所
以x=33时
，
y=e
33k+b=(e
11k)
3⋅e
b=1
8 ×192=24.
2.4.4 幂函数的定义和性质
知识点梳理
1.幂函数的概念：一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x 是自变量，α 是常数．
2.五个幂函数的图象与性质
（1）在同一平面直角坐标系内函数(1)y＝x；(2)y＝x
1
2 ；(3)y＝x2；(4)y＝x－1；(5)y＝x3
的图象如图．
（2）五个幂函数的性质
y＝x
y＝x2
y＝x3
y＝
y＝x－1
定义
域
R
R
R
[0，＋∞)
{x|x≠0}
值域
R
[0，＋∞)
R
[0，＋∞)
{y|y≠0}
奇偶
性
奇
偶
奇
非奇非偶
奇
单调
性
增
在[0，＋∞)上增
在(－∞，0]上减
增
增
在(0，＋∞)上减
在(－∞，0)上减
3.一般幂函数的图象特征
（1）所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点(1,1)．
（2）当α>0 时，幂函数的图象通过原点，并且在区间[0，＋∞)上单调递增．特别
地，当α>1 时，幂函数的图象下凸；当0<α<1 时，幂函数的图象上凸．
（3）当α<0 时，幂函数在区间(0，＋∞)上单调递减．
（4）幂指数互为倒数的幂函数在第一象限内的图象关于直线y＝x 对称．
（5）在第一象限，作直线x＝a(a>1)，它同各幂函数图象相交，按交点从下到上的顺
序，幂指数按从小到大的顺序排列．
典型例题
例1.已知幂函数y＝x3m－9(m∈N*)的图象关于y 轴对称且在(0，＋∞)上单调递减，求满足
(a+1)
−m
3 <(3 2
−a)
−m
3 的a 的取值范围．
解：因为函数在(0，＋∞)上单调递减，所以3m－9<0，
解得m<3.又因为m∈N*，所以m＝1,2.
因为函数的图象关于y 轴对称，
所以3m－9 为偶数，故m＝1.
则原不等式可化为(a+1)
−1
3 <(3 2
−a)
−1
3.
因为y＝x
−1
3在(－∞，0)，(0，＋∞)上均单调递减，
所以a＋1>3－2a>0 或3－2a<a＋1<0 或a＋1<0<3－2a，
解得<a<或a<－1.故a 的取值范围是(−∞,−1)∪( 2
3 , 3
2 ).
例2.已知幂函数f(x)＝(m－1)2x
m
2−4 m+2在(0，＋∞)上单调递增，函数g(x)＝2x－k.
(1)求m 的值；
(2)当x∈[1,2]时，记f(x)，g(x)的值域分别为集合A，B，若A∪B＝A，求实数k 的取值范围．
解：(1)依题意，得(m－1)2＝1，解得m＝0 或m＝2.
当m＝2 时，f(x)＝x－2在(0，＋∞)上单调递减，与题设矛盾，舍去，∴m＝0.
(2)由(1)可知f(x)＝x2.
当x∈[1,2]时，f(x)，g(x)单调递增，
∴A＝[1,4]，B＝[2－k,4－k]．
∵A∪B＝A，∴B⊆A，∴{
2−k ≥1
4−k ≤4,⇒0≤k≤1.
∴实数k 的取值范围是[0,1]．
随堂演练
1.已知幂函数f（x）＝（m2+6m+9）xm+3在（0，+∞）上单调递减．
（1）求实数m 的值；
（2）若（3a﹣2）﹣m﹣1＜（a+4）﹣m﹣1，求实数a 的取值范围．
解：（1）∵幂函数f（x）＝（m2+6m+9）xm+3在（0，+∞）上单调递减．
∴{
m
2+6m+9=1
m+3＜0 )，解得实数m＝﹣4．
（2）不等式（3a﹣2）﹣m﹣1＜（a+4）﹣m﹣1，即（3a﹣2）3＜（a+4）3，即3a﹣2＜a+4，
解得a＜3．
故实数a 的取值范围为（﹣∞，3）．
2.已知幂函数f ( x)=(m
2+2m−2)x
m
2−7(m∈Z )的定义域为R，且在[0，+∞）上单调递
增．
（1）求m 的值；
（2）∀x∈[1，2]，不等式af（x）﹣3x+2＞0 恒成立，求实数a 的取值范围．
解：（1）∵幂函数f ( x)=(m
2+2m−2)x
m
2−7(m∈Z )的定义域为R，且在[0，+∞）上
单调递增，∴m2+2m﹣2＝1，且m2﹣7＞0，求得m＝﹣3，f（x）＝x2．
（2）∵∀x∈[1，2]，不等式af（x）﹣3x+2＞0 恒成立，即a＞3 x−2
x
2
恒成立，即a＞﹣2
( 1
x )
2
+3（1
x ） 恒成立．令t= 1
x ∈[1
2，1]，则a＞h（t）＝﹣2t2+3t＝﹣2(t −3
4 )
2
+ 9
8
，
故当t= 3
4 时，h（t）取得最大值为9
8 ，∴a＞9
8．
3.已知幂函数f（x）＝（m2﹣5m+7）xm﹣1为偶函数．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若g（x）＝f（x）﹣3x+4，求函数g（x）在区间[﹣1，2]上的值域．
解：（1）函数f（x）＝（m2﹣5m+7）xm﹣1为幂函数，则m2﹣5m+7＝1，解得m＝2 或3．
当m＝2 时，函数f（x）＝x 为奇函数，不合乎题意；
当m＝3 时，函数f（x）＝x2为偶函数，合乎题意．综上所述，f（x）＝x2．
（2）解：由（1）可得g（x）＝x2﹣3x+4，
所以函数g（x）在[−1，3
2 )上为减函数，在( 3
2 ，2]上为增函数，
所以，g( x)min= g( 3
2 )= 7
4 ，g（x）max＝g（﹣1）＝8．
因此，函数g（x）在区间[﹣1，2]上的值域为[ 7
4 ，8]．
4.已知幂函数y＝f（x）的图象过点(2，❑√2)．
（1）求函数f（x）的解析式，并求出它的定义域；
（2）求满足f（1+a）＞f（3﹣a）的实数a 的取值范围．
解：（1）设f（x）＝xα，代入点(2，❑√2)得2
α = ❑√2，解得α = 1
2，
即f ( x)= x
1
2 = ❑√x，故函数f（x）的定义域为[0，+∞）．
（2）由于f（x）的定义域为[0，+∞），且在[0，+∞）上递增，
由已知f（1+a）＞f（3﹣a）可得{
1+a≥0
3−a≥0
1+a＞3−a)
，解得：1＜a≤3，
故a 的范围是（1，3]．
5.已知函数f ( x)=(4 m
2−3m)x
m
2+ 3m
4 −1是幂函数，且f（3）＜f（5）．
（1）求实数m 的值；
（2）若f（2a+1）＜f（3﹣4a），求实数a 的取值范围．
解：（1）因为f ( x)=(4 m
2−3m)x
m
2+ 3m
4 −1是幂函数，
所以4m2﹣3m＝1，
解得m＝1 或m=−1
4 ，
当m=−1
4 时，f ( x)= x
−9
8，此时f（3）＞f（5），不符合题意；
当m＝1 时，f ( x)= x
3
4，此时f（3）＜f（5），符合题意．
综上，m＝1；
（2）因为f ( x)= x
3
4，所以f（x）的定义域为[0，+∞），且在[0，+∞）上单调递增，
所以f（2a+1）＜f（3﹣4a），即0≤2a+1＜3﹣4a，
解得−1
2 ≤a＜1
3，即实数a 的取值范围是[−1
2 ，1
3 )．
6.已知幂函数f（x）＝xα的图象过点（2，4）．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若不等式t≤f（x）+2x 对任意的x∈R 恒成立，求实数t 的取值范围．
解：（1）幂函数f（x）＝xα的图象过点（2，4）．
则2a＝4，解得α＝2，
故f（x）＝x2；
（2）由（1）可得∀x∈R，t≤x2+2x 恒成立，∴t≤（x2+2x）min，
∴令g（x）＝x2+2x＝（x+1）2﹣1，
∴g（x）min＝﹣1，∴t≤﹣1，
∴实数t 的取值范围为（﹣∞，﹣1]．
