文档文本内容
2.9 函数的零点与方程的解
目录
01 课标要求...........................................................................................................................................2
02 落实主干知识...................................................................................................................................3
一、函数的零点....................................................................................................................................3
二、二分法............................................................................................................................................3
常用二级结论........................................................................................................................................4
03 探究核心题型...................................................................................................................................5
题型一：函数零点所在区间的判定....................................................................................................5
题型二：函数零点个数的判定............................................................................................................5
题型三：根据函数零点个数求参数....................................................................................................6
题型四：根据函数零点的范围求参数................................................................................................7
题型五：用二分法求方程的近似解....................................................................................................8
题型六：半分离参数法求零点问题....................................................................................................9
题型七：嵌套函数与零点问题............................................................................................................9
题型八：共零点问题..........................................................................................................................10
题型九：零点比大小问题.................................................................................................................. 11
题型十：不动点问题..........................................................................................................................12
题型十一：等值线问题......................................................................................................................12
题型十二：已知函数只有一个零点，求参数的具体值..................................................................13
04 好题赏析（一题多解）.................................................................................................................14
05 数学思想方法.................................................................................................................................15
①数形结合..........................................................................................................................................15
②转化与化归......................................................................................................................................15
③分类讨论..........................................................................................................................................16
06 课时精练（真题、模拟题）.........................................................................................................17
基础过关篇..........................................................................................................................................17
能力拓展篇..........................................................................................................................................19
1、理解函数的零点与方程的解的联系.
2、理解函数零点存在定理，并能简单应用.
3、了解用二分法求方程的近似解.
一、函数的零点
（1）函数零点的概念
对于函数
，使
的实数
叫做函数的零点.
（2）方程根与函数零点的关系
方程
有实数根
函数
有零点
函数
的图象与
轴有交点，且交点横
坐标为
.
（3）方程
有实数根
函数
与函数
有交点，且交点横坐标为
.
（4）零点存在性定理
如果函数
在
上的图象是连续不断的，且
，那么函数
在
至少
有一个零点
，即存在
，使得
，这个
也就是方程
的解.
注意：①符合该定理的条件，能确定
在区间
内有零点，但零点不一定唯一.
②并不是所有的零点都可以用该定理来判定.不满足该定理的函数也可能有零点.
函数的零点有变号零点和不变号零点，零点存在性定理只适用不变号零点
“
”
“
”
“
”.
③若
在区间
内有零点，且在区间
上单调，则
在
内有唯一零点.
④设
，若
在
上有零点，则
；
二、二分法
①二分法的概念
对于在区间
上连续不断且
的函数
，通过不断地把它的零点所在区间一分
为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法.
②用二分法求方程近似解的步骤
（1）确定区间
，验证
，给定精确度
；
（2）求区间
的中点
；
（3）计算
，
（i）若
，则
就是函数的零点；
（ii）若
，则令
（iii）若
，则令
（4）判断是否达到精确度
：即若
，则得到零点近似值为
（或
）；否则重复（2）~
（4）
常用二级结论
(1)若连续不断的函数
在定义域上是单调函数，则
至多有一个零点.函数的零点不是一个点
“
”，
而是方程
的实数解.
(2)图象连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号.
(3)连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号.
题型一：函数零点所在区间的判定
【例1】（2025·湖北十堰·模拟预测）函数
的零点所在的区间是（ ）
A．
B．
C．
D．
【解题总结】
确定函数零点所在区间的常用方法
(1)利用函数零点存在定理
(2)数形结合法：通过画函数图象,观察图象与x 轴在给定区间上是否有交点来判断.
【变式1-1】（2025·湖南长沙·模拟预测）已知函数
，若
，则（ ）
A．
B．
C．
D．以上都不对
【变式1-2】已知实数
是函数
的一个零点，实数
满足
，
且
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1-3】函数
的零点
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1-4】方程
的根所在的区间为（ ）
A．
B．
C．
D．
题型二：函数零点个数的判定
【例2】（2025·吉林·模拟预测）函数
的零点个数为（ ）
A．
B．
C．
D．
【解题总结】
求解函数零点个数的基本方法
(1)直接法：令
,方程有多少个不同的实数根,则
有多少个零点.
(2)定理法：利用函数零点存在定理时往往还要结合函数的单调性、奇偶性等.
(3)图象法：一般是把函数拆分为两个简单函数,依据两函数图象的交点个数得出函数的零
点个数.
【变式2-1】（2025·高三·四川·期中）已知实数
满足
，则函数
的零点个
数为（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3
【变式2-2】函数
在定义域内的零点个数是（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3
【变式2-3】已知函数
，则函数
的零点个数是（ ）
A．4
B．3
C．2
D．1
【变式2-4】（2025·高三·黑龙江哈尔滨·期末）已知函数
，则函数
的零点个数为
A．
B．
C．
D．
题型三：根据函数零点个数求参数
【例3】（2025·辽宁鞍山·模拟预测）已知
，若
有唯一解，则
的取值范围为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【解题总结】
根据函数零点的情况求参数的三种常用方法
(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式(组),再通过解不等式确定参数(范围).
(2)分离参数法：先将参数分离,转化成求函数值域确定参数范围.
(3)数形结合法：先对解析式变形,在同一平面直角坐标系中画出函数的图象,然后利用数形结合法求解.
【变式3-1】（2025·甘肃白银·模拟预测）已知函数
有且仅有3 个零点，则m 的取值范
围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式3-2】（2025·北京昌平·二模）已知函数
恰有三个零点，则实数
的取值范围是
（ ）．
A．
B．
C．（
，1）
D．
【变式3-3】（2025·湖南邵阳·三模）设
，
是定义在
上的两个周期函数，
的周期为8，
的周期为4，且
是奇函数．当
时，
，
，
若在区间
上，函数
恰有8 个零点，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
题型四：根据函数零点的范围求参数
【例4】（2025·辽宁抚顺·模拟预测）函数
在区间
内有零点，则实数
的取值范
围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【解题总结】
根据函数零点的情况求参数的三种常用方法
(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式(组),再通过解不等式确定参数(范围).
(2)分离参数法：先将参数分离,转化成求函数值域确定参数范围.
(3)数形结合法：先对解析式变形,在同一平面直角坐标系中画出函数的图象,然后利用数形结合法求解.
【变式4-1】已知函数
，若
有且只有一个零点
，且
，则实数
的取值范围
是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式4-2】（2025·高三·江西抚州·期中）若函数
在区间
上有零点，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式4-3】函数
在
上存在零点，则实数a 的取值范围是（ ）
A．
B．
或
C．
D．
或
题型五：用二分法求方程的近似解
【例5】用二分法求函数
在区间
内的零点时，需要的条件是（ ）
①
在区间
上是连续不断的；②
；③
；④
．
A．①②
B．①③
C．①④
D．②③
【解题总结】
所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点的近似值的方法
叫做二分法.求方程
的近似解就是求函数
零点的近似值.
【变式5-1】设
，某同学用二分法求方程
的近似解（精确度为0.5），列
出了对应值表如下：
0.125
0.4375
0.75
2
0.49
3.58
依据此表格中的数据，得到的方程近似解
可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式5-2】已知函数
的一个零点
，在用二分法求精确度为
的
的一个值时，需判断各
区间中点的函数值的符号最少（
）（ ）
A．5 次
B．6 次
C．7 次
D．8 次
【变式5-3】（2025·广东汕头·模拟预测）用二分法求函数
在
内的零点近似值，若
精确度要求为
，则需重复相同步骤的次数至少为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式5-4】下列函数零点不能用二分法求出的是（ ）
A．
B．
C．
D．
题型六：半分离参数法求零点问题
【例6】已知函数
，若
有且只有两个整数解，则k 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【解题总结】
半分离参数法
【变式6-1】（2025·河南·模拟预测）已知函数
，若存在唯
一的整数
，使得
，则实数
的取值范围是 .
【变式6-2】设函数
，
,若存在唯一的整数
，使得
，则
的取值范围是
【变式6-3】（2025·北京大兴·三模）已知函数
，则
的最小值是 ，若关于
的方程
有且仅有四个不同的实数解，则整数
的一个取值为 .
【变式6-4】若关于
的不等式
的解集为
(
)，且
中只有一个整数，则实数
的取值范围是 ．
题型七：嵌套函数与零点问题
【例7】（2025·山东临沂·三模）已知函数
，若函数
有8 个零点，则实
数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【解题总结】
（1）针对多个根的取值范围问题，需构建新函数以明确取值区间。
（2）以二次函数作外函数时，可借助参变分离简化运算，但需具备扎实函数基础。
【变式7-1】已知三次函数
有两个零点，若方程
有四个实数根，
则实数a 的范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式7-2】（2025·湖北十堰·模拟预测）若函数
，关于
的方程
的根的个数为（ ）
A．7
B．8
C．9
D．10
【变式7-3】（2025·山西吕梁·三模）已知函数
有三个零点，则三个零
点之和为（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3
【变式7-4】（2025·宁夏银川·三模）若函数
，则
的
零点个数为（ ）.
A．2
B．3
C．4
D．5
【变式7-5】（2025·高三·湖北武汉·期中）已知函数
，若关于
的函数
有8 个不同的零点，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式7-6】已知函数
，若关于x 的方程
有8 个不相等的
实数根，则实数a 的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式7-7】已知函数
，关于
的方程
有8 个不相等
的实数根，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
题型八：共零点问题
【例8】对于任意的
，不等式
恒成立，则实数
（ ）
A．
B．
C．1
D．
【解题总结】
共零点问题：此类问题往往是
的形式，其特征是两个函数具备相同的零点．
【变式8-1】设函数
，若
恒成立，则
的最小值为 ．
【变式8-2】已知
，
，若关于
的不等式
在
恒成立．则
的最
小值为（ ）
A．4
B．
C．8
D．
【变式8-3】设函数
，若
在
上恒成立，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式8-4】（2025·高三·四川成都·期中）已知
，若关于
的不等式
在
上恒成立，则
的最小值是（ ）
A．
B．
C．
D．
题型九：零点比大小问题
【例9】已知函数
，若当
时，
恒成立，则
的最大值为
（ ）
A．2
B．1
C．
D．
【解题总结】
针对双参数比值型问题，可采用零点比大小法求解。具体而言，先将曲线与直线分离，
分别绘制二者图像并确定其零点。需留意，直线零点往往对应待求双参数比值，当直线零点
与曲线零点重合之际，该双参数比值可取得最值。
【变式9-1】已知
，若不等式
对任意实数
恒成立，则
的最大值为 .
【变式9-2】已知不等式
对任意的实数t 恒成立，则
的最大值为 ．
【变式9-3】（2025·高三·安徽宿州·期末）若不等式
（是自然对数的底数）对任意
恒成立，则当
取最大值时，实数
.
【变式9-4】若
，对
，均有
恒成立，则
的最小值为
【变式9-5】（2025·高三·湖北·期末）已知
，若不等式
恒成立，则
的最大
值为 ．
题型十：不动点问题
【例10】设函数
，若曲线
上存在点
使得
，则a
的取值范围是
A．［ln3－6，0］
B．［ln3－6，ln2－2］
C．［2ln2－12，0］
D．［2ln2－12，ln2－2］
【解题总结】
1、
有解
有解．特别地，当函数
单递增时，
的解与
的解相同．
2、
无解
无解．
3、
有解
有解．
4、
无解
无解．
【变式10-1】已知函数
，若曲线
上存在点
使得
，则
实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式10-2】设
是函数
定义域内的一个子区间，若存在
，使
，则称
是
的一个次不动点，也称
“
”
在区间
上存在次不动点，若函数
在区间
上存在次不动点，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式10-3】已知函数
，若曲线
上存在点
，使得
，则实
数
的取值范围是 ．
题型十一：等值线问题
【例11】（2025·河北·模拟预测）已知函数
，方程
有4 个不同的根
，且满
足
，则
的最小值为 .
【解题总结】
数形结合
【变式11-1】（2025·四川·模拟预测）已知函数
若关于
的方程
（
为
实常数）有四个不同的解
，且
，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式11-2】已知函数
，若方程
有4 个根分别为
，
，
，
，
且
，则
的取值范围是 .
【变式11-3】（2025·山东·一模）已知
，若
有
个根
，则
的取值范围是 .
题型十二：已知函数只有一个零点，求参数的具体值
【例12】（2025·河南·模拟预测）已知函数
恰有一个零点，则实数
（ ）
A．1
B．
C．0
D．
【解题总结】
（1）借助零点存在性定理构建相应不等式，进而求解参数的值或取值范围。
（2）通过分离参数，将问题转化为函数值域（最值）问题，以此确定参数的值或范围。
（3）把问题转化为两个熟知函数图像的上、下位置关系问题，构建不等式求解参数。
【变式12-1】已知函数
有唯一零点，则实数
（ ）
A．1
B．
C．2
D．
【变式12-2】（2025·湖南岳阳·二模）若函数
有唯一零点，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．1
【变式12-3】（2025·浙江绍兴·模拟预测）已知函数
有唯一零点，则
（ ）
A．0
B．
C．2
D．
【变式12-4】已知函数
，
分别为定义在
上的偶函数和奇函数，且
，
若函数
有唯一零点，则实数
的值为（ ）
A．
或
B．1 或
C．
或1
D．
或2
【变式12-5】（2025·山东·模拟预测）已知函数
有唯一零点，则实数
（ ）
A．1
B．
C．2
D．
1．已知函数
，若方程
有3 个不同的实根，则实数m 取值范围
值是
A．
B．
C．
D．
2．已知函数
则方程
为常数且
的不同的实数根的个数为
A．3
B．4
C．5
D．6
3．已知方程
有四个不同的实数根
，满足
，且在区间
和
上各存在唯一整数，则实数
的取值范围为 ．
①数形结合
1．已知函数
设
，若函数
仅有一个零点，则实数a 的取值范
围是
A．
B．
C．
D．
2．已知函数
若函数
恰有4 个零点，则k 的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
3．已知函数
，则函数
的零点个数是
A．6
B．5
C．4
D．3
②转化与化归
4．若函数
在
上有零点，则a 的取值范围为
A．
B．
C．
D．
5．设
，函数
，若函数
在区间
内恰有6 个零点，
则a 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
6．函数
，
，若
有两个零点
，
，
的零点为
，
则关于
的不等式不能成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
③分类讨论
7．已知函数
，若关于x 的方程
恰有两个不同的实数根，则实数k
的取值范围为 ．
8．对任意实数x，以
表示不超过x 的最大整数，称它为x 的整数部分，如
，
等．定
义
，x 称它为的小数部分，如
，
等．若直线
与
的
图象有四个不同的交点，则实数k 的取值范围是 ．
9 ．已知函数
若函数
所有零点的乘积为1 ，则实数a 的取值范围
是 ．
基础过关篇
1．（2025·湖北黄冈·模拟预测）设函数
，
，曲线
与
恰有一个交点，则
（ ）
A．0
B．
C．
D．
2．（2025·山东淄博·三模）若关于
的方程
有唯一解，则求得上述关于
的方程
的非零实数解为（ ）
A．
B．1
C．2
D．4
3．（2025·湖南长沙·模拟预测）已知
是定义在
上的周期函数，其最小正周期为5，设
，
若
在区间
内共有26 个零点，则
在区间
内的零点个数为（ ）
A．8
B．10
C．12
D．15
4．（2025·安徽·模拟预测）已知函数
，则函数
在区间
上的零点个数为
（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
5．（2025·云南·三模）已知定义在
上的函数
与函数
的图象有唯一公共点，
则实数m 的值为（ ）
A．
B．
C．1
D．2
6．（2025·河北秦皇岛·三模）设函数
，若
在区间
上
有且仅有一个零点，则
（ ）
A．
B．
C．1
D．2
7．（2025·江西·二模）已知函数
恰有2 个零点，则实数a 的取值范围
为（ ）
A．
B．
C．
D．
8．（2025·浙江·二模）定义在
上的函数
满足
，当
时，
，则函数
在区间
内的零点个数为（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6
9．（2025·天津·高考真题）函数
的零点所在区间是（ ）
A．
B．
C．
D．
10．（2024·广东江苏·高考真题）当
时，曲线
与
的交点个数为（ ）
A．3
B．4
C．6
D．8
11．（2024·新课标
卷
Ⅱ
·高考真题）设函数
，
，当
时，曲线
与
恰有一个交点，则
（ ）
A．
B．
C．1
D．2
12．（多选题）（2025·山东临沂·三模）已知
，其中
，则（ ）
A．当
时，直线
与函数
的图象相切
B．当
时，直线
与函数
图象有且只有1 个交点
C．若函数
在
上单调递增，则
的取值范围为
D．若函数
在
上有两个零点，则
的取值范围为
13．（多选题）（2025·河北秦皇岛·三模）已知函数
，则（ ）
A．
的极小值是1
B．
恰有2 个零点
C．方程
恰有1 个实根
D．对任意的
，都有
14．（多选题）（2025·河南·模拟预测）设函数
，则（ ）
A．
的极大值为2
B．当
时，
C．
图象上任意一点
处的切线与
的图象恒有两个公共点
D．方程
有且仅有5 个不同的实根
15．（多选题）（2025·安徽合肥·模拟预测）设函数
有三个不同的零点，从小到大
依次为
，则（ ）
A．
B．函数
的对称中心为
C．过
引曲线
的切线，有且仅有1 条
D．若
成等差数列，则
16．（2025·山东·模拟预测）函数
的零点为 .
17．（2025·湖北·模拟预测）已知函数
有2 个零点
，
，且
，则实数
的取值范
围是 ．
18．（2025·山西·三模）已知函数
有两个零点，则实数
的取值范围是 ．
19．（2025·甘肃白银·模拟预测）函数
满足条件：①图象为轴对称图形，②至少有一个最值，③至少
有两个零点，请写出
的一个表达式 ．
能力拓展篇
20．（2025·山东泰安·三模）若函数
满足：存在整数
，实数
，使得
，则称
是滞后的
“
”.已知函数，
不是滞后的，则
“
”
的取值范围是 .
21．（2025·北京通州·一模）设
，函数
，若
为单调函数，则a 的一个
取值为 ；若
有三个零点，则实数a 的取值范围是 .
22．（2025·陕西·模拟预测）激活函数是神经网络模型的重要组成部分，是一种添加到人工神经网络中的
函数.
函数是常用的激活函数之一､其解析式为
.则对于任意实数
，函数
至少有一个零点 .
23．（2025·广东汕头·模拟预测）已知函数
设
，若函数
仅
有一个零点，则实数
的取值范围是 .
24．（2024·全国甲卷·高考真题）曲线
与
在
上有两个不同的交点，则
的
取值范围为 ．
25．（2024·天津·高考真题）设
，函数
.若
恰有一个零点，则
的取
值范围为 ．
26．（2023·天津·高考真题）设
,函数
,若
恰有两个零点，则
的取值
范围为 ．
27．（2023·新课标
卷
Ⅰ
·高考真题）已知函数
在区间
有且仅有3 个零点，则
的取值范围是 ．
28．（2022·天津·高考真题）设
，对任意实数x，用
表示
中的较小者．若函
数
至少有3 个零点，则
的取值范围为 .
