文档内容
重难点 05 导数常考经典压轴小题全归类【十大题型】
【新高考专用】
【题型1 函数切线问题】..........................................................................................................................................3
【题型2 导数中函数的单调性问题】......................................................................................................................3
【题型3 导数中函数的极值问题】..........................................................................................................................4
【题型4 导数中函数的最值问题】..........................................................................................................................5
【题型5 函数零点（方程根）个数问题】..............................................................................................................5
【题型6 利用导数解不等式】..................................................................................................................................6
【题型7 导数中的不等式恒成立问题】..................................................................................................................6
【题型8 任意存在性问题】......................................................................................................................................6
【题型9 函数零点嵌套问题】..................................................................................................................................7
【题型10 双变量问题】............................................................................................................................................8
导数是高考数学的必考内容，是高考常考的热点内容，主要涉及导数的运算及几何意义，利用导数研
究函数的单调性，函数的极值和最值问题等，考查分类讨论、数形结合、转化与化归等思想.
从近三年的高考情况来看，导数的计算和几何意义是高考命题的热点，多以选择题、填空题形式考查，
难度较小；利用导数研究函数的单调性、极值、最值多在选择题、填空题靠后的位置考查，难度中等偏上，
属综合性问题，解题时要灵活求解．
【知识点1 切线方程的求法】
1.求曲线“在”某点的切线方程的解题策略：
①求出函数y=f(x)在x=x 处的导数，即曲线y=f(x)在点(x,f(x))处切线的斜率；
0 0 0
②在已知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线方程为y=y+f'(x)(x-x).
0 0 0
2.求曲线“过”某点的切线方程的解题通法：
①设出切点坐标T(x,f(x))(不出现y)；
0 0 0
②利用切点坐标写出切线方程：y=f(x)+f'(x)(x-x)；
0 0 0
③将已知条件代入②中的切线方程求解.
【知识点2 导数中函数单调性问题的解题策略】
1.确定函数单调区间的步骤；
(1)确定函数f(x)的定义域；
(2)求f'(x)；(3)解不等式f'(x)>0，解集在定义域内的部分为单调递增区间；
(4)解不等式f'(x)<0，解集在定义域内的部分为单调递减区间.
2.含参函数的单调性的解题策略：
(1)研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论.
(2)若导函数为二次函数式，首先看能否因式分解，再讨论二次项系数的正负及两根的大小；若不能因
式分解，则需讨论判别式△的正负，二次项系数的正负，两根的大小及根是否在定义域内.
3.根据函数单调性求参数的一般思路：
(1)利用集合间的包含关系处理：y=f(x)在(a,b)上单调，则区间(a,b)是相应单调区间的子集.
(2)f(x)为增(减)函数的充要条件是对任意的x∈(a,b)都有f'(x)≥0(f'(x)≤0)，且在(a,b)内的任一非空子区间
上，f'(x)不恒为零，应注意此时式子中的等号不能省略，否则会漏解.
(3)函数在某个区间上存在单调区间可转化为不等式有解问题.
【知识点3 函数的极值与最值问题的解题思路】
1.运用导数求函数f(x)极值的一般步骤：
(1)确定函数f(x)的定义域；
(2)求导数f'(x)；
(3)解方程f'(x)=0，求出函数定义域内的所有根；
(4)列表检验f'(x)在f'(x)=0的根x 左右两侧值的符号；
0
(5)求出极值.
2.根据函数极值求参数的一般思路：
已知函数极值，确定函数解析式中的参数时，要注意：根据极值点的导数为0和极值这两个条件列方
程组，利用待定系数法求解.
3.利用导数求函数最值的解题策略：
(1)利用导数求函数f(x)在[a,b]上的最值的一般步骤：
①求函数在(a,b)内的极值；
②求函数在区间端点处的函数值f(a)，f(b)；
③将函数f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.
(2)求函数在无穷区间(或开区间)上的最值的一般步骤：
求函数在无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性
和
极值情况，画出函数的大致图象，然后借助图象观察得到函数的最值.
【知识点4 导数的综合应用】
1.导数中函数的零点（方程的根）的求解策略
(1)利用导数研究方程根（函数零点）的技巧
①研究方程根的情况，可以通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等．
②根据题目要求，画出函数图象的走势规律，标明函数极（最）值的位置．
③利用数形结合的思想去分析问题，可以使问题的求解有一个清晰、直观的整体展现．
(2)已知函数零点个数求参数的常用方法
①分离参数法：首先分离出参数，然后利用求导的方法求出构造的新函数的最值，根据题设条件构建
关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围．②分类讨论法：结合单调性，先确定参数分类的标准，在每个小范围内研究零点的个数是否符合题意，
将满足题意的参数的各小范围并在一起，即为所求参数范围．
2.导数中恒成立、存在性问题的求解策略
恒成立（或存在性）问题常常运用分离参数法，转化为求具体函数的最值问题．
如果无法分离参数，可以考虑对参数或自变量进行分类讨论，利用函数性质求解，常见的是利用函数
单调性求解函数的最大、最小值；当不能用分离参数法或借助于分类讨论解决问题时，还可以考虑利用函
数图象来求解，即利用数形结合思想解决恒成立（或存在性）问题，此时应先构造函数，结合函数图象，
利用导数来求解．
【题型1 函数切线问题】
【例1】（2023·全国·模拟预测）若曲线y=(1−x)ex有两条过点A(a,0)的切线，则a的取值范围是（ ）
A．(−∞,−1)∪(3,+∞) B．(−3,1)
C．(−∞,−3) D．(−∞,−3)∪(1,+∞)
1
【变式1-1】（2023·陕西咸阳·校考模拟预测）已知函数f (x)= −1，则曲线y=f (x)在点(−1,f (−1))处
ex
的切线方程为（ ）
A．ex+ y+1=0 B．ex−y+1=0
C．ex+ y−1=0 D．ex−y−1=0
【变式1-2】（2023·四川雅安·统考一模）若直线y=kx与曲线y=lnx相切，则k=（ ）
1 2 1 2
A． B． C． D．
e2 e2 e e
1
【变式1-3】（2023·四川凉山·统考一模）函数f (x)= x2+alnx在区间(1,2)的图象上存在两条相互垂直的
2
切线，则a的取值范围为（ ）
A．(−2,1) B．(−2,−1) C．(−2,0) D．(−3,−2)
【题型2 导数中函数的单调性问题】
【例2】（2023·吉林长春·长春吉大附中实验学校校考模拟预测）下列函数中，既是偶函数，又在区间
(0,+∞)上单调递增的是（ ）
1
A．y= B．y=e−2x C．y=−x2+1 D．y=lg|x|
x2
【变式2-1】（2023·陕西商洛·统考一模）已知函数f (x)=2(x−1)ex−x2−ax在R上单调递增，则a的最大值是（ ）
1
A．0 B． C．e D．3
e
5 24 4 1
【变式2-2】（2023·全国·模拟预测）已知x=ln ，y= ln ，z=− ，则（ ）
6 25 5 6
A．yx B．x >x C．x ≥x D．x ≥x
1 2 2 1 1 2 2 1
π
【变式3-3】（2023·广东广州·广州校考模拟预测）设函数f (x)=sin( ωx+ ) (ω>0)，已知f (x)在
5
[0,2π]有且仅有5个零点，下述四个结论错误的是（ ）
[12 29)
A．ω的取值范围是 ,
5 10
π
( )
B．f (x)在 0, 单调递增
103π 16
C．若x= 是f (x)在(0,2π)上的第一个极值点，则ω= ；
25 5
3π 5 4π
D．若x= 是f (x)在(0,2π)上的第一个极值点，y=− x+ 是f (x)的切线
25 2 5
【题型4 导数中函数的最值问题】
【例4】（2023·陕西宝鸡·统考二模）函数f (x)=x2+(a−1)x−3lnx在(1,2)内有最小值，则实数a的取值
范围为（ ）
( 3 ) [ 3 ]
A． − ,2 B． − ,2
2 2
( 4 ) ( 4 ]
C． − ,2 D． − ,1
3 3
【变式4-1】（2023·广西南宁·统考模拟预测）若函数 在 内有且仅有
f(x)=2x3−ax2+1(a∈R) (0,+∞)
一个零点，则f(x)在[−1,1]上的最大值与最小值的和为（ ）
A．1 B．−4 C．−3 D．5
【变式4-2】（2023·广东湛江·校考模拟预测）已知函数 在区间(0，1)上有最小
f(x)=ex+x3+(a−3)x+1
值，则实数a的取值范围是（ ）
A．(-e，2) B．(-e，1-e) C．(1，2) D．(−∞,1−e)
【变式4-3】（2023·浙江嘉兴·校考模拟预测）已知函数f (x)=xlnx，g(x)=xex，若存在t>0，使得
成立，则 的最小值为（ ）
f (x )=g(x )=t x −2x
1 2 1 2
A．2−ln4 B．2+ln4 C．e−ln2 D．e+ln2
【题型5 函数零点（方程根）个数问题】
【例5】（2023·辽宁大连·大连二十四中校考模拟预测）已知函数f (x)=¿，若函数
恰有4个零点，则k的取值范围（ ）
g(x)=f (x)−|kx2−4x|,(k∈R)
A． B．
(−∞,−1)∪(2√5,+∞) (−∞,−√5)∪(0,2)
C． D．
(−∞,0)∪(0,2+2√2) (−∞,0)∪(2+2√5,+∞)
【变式5-1】（2023·海南省直辖县级单位·校联考二模）已知函数f (x)=¿， 若函数g(x)=f (−x)−f (x)，
则函数g(x)的零点个数为（ ）A．1 B．3 C．4 D．5
【变式5-2】（2023·陕西商洛·陕西校考模拟预测）已知函数f (x)=¿，若关于x的方程
f2(x)−(2+t)f (x)+2t=0有3个不同的实数根，则实数t的取值范围为（ ）
( 1) ( 1 ) [ 1 ]
A． −∞,− B． − ,0 C． − ,1 D．(−e,2)
e e e
【变式5-3】（2023·四川泸州·泸县五中校考模拟预测）已知函数 ，若方程 有3
f (x)=(x2−2x)ex f (x)=a
a
个不同的实根x ,x ,x (x 0，且
x
，则不等式 的解集为（ ）
f (1)=1 f (ex)−(x+1)ex>0
A．(0,+∞) B．(1,+∞) C．(−∞,0) D．(−∞,1)
【变式6-1】（2023·全国·模拟预测）若函数 为偶函数，且当 时， ．若
f(x) x≥0 f(x)=x3+2x2+3
，则实数 的取值范围为（ ）
f(−9)≥f (a2−2a+1) a
A．[−2√3,4] B．[−4,2] C．[−2,4] D．[−4,2√3]
【变式6-2】（2023·陕西西安·校联考模拟预测）设函数f′(x)是函数f(x)(x∈R)的导函数，f (3)=e3，且
f′(x)−f (x)>0恒成立，则不等式f (x)−ex>0的解集为（ ）
A．(0,3) B．(1,3) C．(−∞,3) D．(3,+∞)
3
【变式6-3】（2023·四川达州·统考一模）已知f (x)=lnx−ax3，g(x)=xex−lnx−x− ，若不等式
4
f (x)
>0的解集中只含有两个正整数，则a的取值范围为（ ）
g(x)
[ln3 ln2) (ln3 ln2) [ln2 ln3) (ln2 ln3)
A． , B． , C． , D． ,
27 8 27 8 32 27 32 27【题型7 导数中的不等式恒成立问题】
【例7】（2023·全国·模拟预测）已知函数 ，若
f(x)=ln(√x2+1+x)+ex−e−x−2x+3
对于 恒成立，则实数 的取值范围是 ．
f (aex)+f(lna−lnx)>6 x∈(0,+∞) a
【变式7-1】（2023·陕西咸阳·咸阳校考模拟预测）已知f (x),g(x)分别是定义域为R的偶函数和奇函数，且
，若关于 的不等式 在 上恒成立，则实数 的最大值是 ．
f(x)+g(x)=ex x 2f (x)−ag2(x)≥0 (0,ln2) a
【变式7-2】（2023·陕西咸阳·武功校考模拟预测）已知f (x)是定义在(0,+∞)上的可导函数，若
x 1
xf′(x)−f (x)= ，f (1)=− ，且x≥1时，f (xex)≤f (x+lnx−a)恒成立，则a的取值范围是 .
ex e
【变式7-3】（2023·宁夏石嘴山·平罗中学校考模拟预测）已知函数f (x)=ex+ax−2，其中a∈R，若对于
任意的 ，且 ，都有 成立，则实数a的取值范围是
x ,x ∈[2,+∞) x k|f (x )−f (x )| k k
1 2 1 2
A． B． C．( e2−3 ] D．( e2−3)
(−∞,e−2] (−∞,e−2) −∞, −∞,
4 4
x2
【变式8-2】（2023·四川成都·石室中学校考模拟预测）已知函数f (x)= ,x>0.若存在实数a∈[0,1]，使
ex
得f ( 2− 1) ≤a3− 1 a2−2a+e−1 成立，则正实数m的取值范围为（ ）
m 2(1 ] [1 ]
A． ,1 B． ,1 C．(0,1) D．(0,1]
2 2
elnx
【变式8-3】（2023·贵州·校联考二模）已知函数f (x)=xex+2a，g(x)= ，对任意x ∈[1,2]，
x 1
，都有不等式 成立，则a的取值范围是（ ）
∃x ∈[1,3] f (x )≥g(x )
2 1 2
[1−e
)
A．[−e2,+∞) B． ,+∞
2
C． [ − e ,+∞ ) D． [1 −e2,+∞ )
2 2
【题型9 函数零点嵌套问题】
a a
【例9】（2023·四川成都·石室中学校考一模）已知函数f (x)=(lnx) 2− xlnx+ x2有三个零点x 、x 、
2 e 1 2
且 ，则2lnx lnx lnx 的取值范围是（ ）
x x 1 x ,x ,x f(x)=ax−x2
1 2 3
x 2lna 3 2lna
x x
2 2
ex−1 x
【变式9-2】（2023·河南郑州·统考模拟预测）已知函数f (x)= + +a，若f (x)=0有3个不同的
x ex−1+x
解 ， ， 且 ，则2ex 1 ex 2 ex 3的取值范围是（ ）
x x x x 0，则（ ）
1 2
1 3
A．x > B．x < C．x x >1 D．x +x <2
1 2 2 2 1 2 1 2
【变式10-1】（2023·广西河池·校联考模拟预测）若实数 满足 ，则
x,y 4lnx+2ln(2y)≥x2+8 y−4
（ ）
√2
A．xy= B．x+ y=√2
4
C．x+2y=1+√2 D．x2y=1
【变式10-2】（2023下·河南信阳·高二淮滨高中校考阶段练习）设函数 (其中e为自然
f (x)=ex(x−aex)
对数的底数)恰有两个极值点 ，则下列说法中正确的是( ）
x ,x (x 0
2 1 2
【变式10-3】（2023·全国·高三专题练习）已知a>b>0，blna=alnb，有如下四个结论：
①be；③∃a,b满足a⋅be2．
则正确结论的序号是（ ）
A．①③ B．②③ C．①④ D．②④ex
(
e
)
1．（2023·全国·统考高考真题）曲线y= 在点 1, 处的切线方程为（ ）
x+1 2
e e e e e 3e
A．y= x B．y= x C．y= x+ D．y= x+
4 2 4 4 2 4
2．（2023·全国·统考高考真题）已知函数f (x)=aex−lnx在区间(1,2)上单调递增，则a的最小值为
（ ）．
A．e2 B．e C．e−1 D．e−2
3．（2023·全国·统考高考真题）函数f (x)=x3+ax+2存在3个零点，则a的取值范围是（ ）
A．(−∞,−2) B．(−∞,−3) C．(−4,−1) D．(−3,0)
b
4．（2022·全国·统考高考真题）当x=1时，函数f(x)=alnx+ 取得最大值−2，则f′ (2)=（ ）
x
1 1
A．−1 B．− C． D．1
2 2
31 1 1
5．（2022·全国·统考高考真题）已知a= ,b=cos ,c=4sin ，则（ ）
32 4 4
A．c>b>a B．b>a>c C．a>b>c D．a>c>b
6．（2022·全国·统考高考真题）已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为
36π，且3≤l≤3√3，则该正四棱锥体积的取值范围是（ ）
[ 81] [27 81] [27 64]
A． 18, B． , C． , D．[18,27]
4 4 4 4 3
7．（2021·全国·统考高考真题）若过点(a,b)可以作曲线y=ex的两条切线，则（ ）
A．eb0 B．ab>0 C．b2+8ac>0 D．ac<0
10．（2022·全国·统考高考真题）已知函数 ，则（ ）
f(x)=x3−x+1
A．f(x)有两个极值点 B．f(x)有三个零点
C．点(0,1)是曲线y=f(x)的对称中心 D．直线y=2x是曲线y=f(x)的切线11．（2023·全国·统考高考真题）设 ，若函数 在 上单调递增，则a的取
a∈(0,1) f (x)=ax+(1+a) x (0,+∞)
值范围是 .
12．（2022·全国·统考高考真题）已知 和 分别是函数 （ 且 ）的极小值
x=x x=x f(x)=2ax−ex2 a>0 a≠1
1 2
点和极大值点．若x
