文档文本内容
2.9 函数的零点与方程的解
目录
01 课标要求...........................................................................................................................................2
02 落实主干知识...................................................................................................................................3
一、函数的零点....................................................................................................................................3
二、二分法............................................................................................................................................3
常用二级结论........................................................................................................................................4
03 探究核心题型...................................................................................................................................5
题型一：函数零点所在区间的判定....................................................................................................5
题型二：函数零点个数的判定............................................................................................................7
题型三：根据函数零点个数求参数..................................................................................................11
题型四：根据函数零点的范围求参数..............................................................................................14
题型五：用二分法求方程的近似解..................................................................................................17
题型六：半分离参数法求零点问题..................................................................................................19
题型七：嵌套函数与零点问题..........................................................................................................23
题型八：共零点问题..........................................................................................................................28
题型九：零点比大小问题..................................................................................................................33
题型十：不动点问题..........................................................................................................................37
题型十一：等值线问题......................................................................................................................40
题型十二：已知函数只有一个零点，求参数的具体值..................................................................43
04 好题赏析（一题多解）.................................................................................................................46
05 数学思想方法.................................................................................................................................51
①数形结合..........................................................................................................................................51
②转化与化归......................................................................................................................................55
③分类讨论..........................................................................................................................................57
06 课时精练（真题、模拟题）.........................................................................................................61
基础过关篇..........................................................................................................................................61
能力拓展篇..........................................................................................................................................73
1、理解函数的零点与方程的解的联系.
2、理解函数零点存在定理，并能简单应用.
3、了解用二分法求方程的近似解.
一、函数的零点
（1）函数零点的概念
对于函数
，使
的实数
叫做函数的零点.
（2）方程根与函数零点的关系
方程
有实数根
函数
有零点
函数
的图象与
轴有交点，且交点横
坐标为
.
（3）方程
有实数根
函数
与函数
有交点，且交点横坐标为
.
（4）零点存在性定理
如果函数
在
上的图象是连续不断的，且
，那么函数
在
至少
有一个零点
，即存在
，使得
，这个
也就是方程
的解.
注意：①符合该定理的条件，能确定
在区间
内有零点，但零点不一定唯一.
②并不是所有的零点都可以用该定理来判定.不满足该定理的函数也可能有零点.
函数的零点有“变号零点”和“不变号零点”，零点存在性定理只适用“不变号零点”.
③若
在区间
内有零点，且在区间
上单调，则
在
内有唯一零点.
④设
，若
在
上有零点，则
；
二、二分法
①二分法的概念
对于在区间
上连续不断且
的函数
，通过不断地把它的零点所在区间一分
为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法.
②用二分法求方程近似解的步骤
（1）确定区间
，验证
，给定精确度
；
（2）求区间
的中点
；
（3）计算
，
（i）若
，则
就是函数的零点；
（ii）若
，则令
（iii）若
，则令
（4）判断是否达到精确度
：即若
，则得到零点近似值为
（或
）；否则重复（2）~
（4）
常用二级结论
(1)若连续不断的函数
在定义域上是单调函数，则
至多有一个零点.函数的零点不是一个
“点”，而是方程
的实数解.
(2)图象连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号.
(3)连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号.
题型一：函数零点所在区间的判定
【例1】（2025·湖北十堰·模拟预测）函数
的零点所在的区间是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】函数
的定义域为
，因为
在
上连续且为增函数．
且
，则
．
由零点存在定理可知，函数
的零点所在的区间是
．
故选：C.
【解题总结】
确定函数零点所在区间的常用方法
(1)利用函数零点存在定理
(2)数形结合法：通过画函数图象,观察图象与x 轴在给定区间上是否有交点来判断.
【变式1-1】（2025·湖南长沙·模拟预测）已知函数
，若
，则（ ）
A．
B．
C．
D．以上都不对
【答案】B
【解析】求导得
，
当
时，
，所以
在区间
上单调递增，
当
时，
，所以
在区间
上单调递减，
根据
，
，
当
时，
，可作出图象：
所以当
时，
，
根据图象可知
，
，
所以恒有
，故B 正确，
由于
，
，所以
，故C 错误，
故选：B.
【变式1-2】已知实数
是函数
的一个零点，实数
满足
，
且
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
，
其为
上的单调递减函数，
其中
，
，
故
只有一个零点
，
又
，
，
又
，所以
，
或
，
若
，则
，
若
，则
，
故
，D 正确，C 错误；
或
，AB 错误.
故选：D
【变式1-3】函数
的零点
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】函数
是连续增函数，
，
，
所以函数
的零点在
内，所以
，
故选：C．
【变式1-4】方程
的根所在的区间为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】令
，
故函数
为定义在
上的连续函数，且显然为增函数，
因为
，
，
，
由零点存在定理可知，方程
的根所在的区间为
.
故选：C.
题型二：函数零点个数的判定
【例2】（2025·吉林·模拟预测）函数
的零点个数为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由
的零点，
转化为
的零点，
因为
均为减函数，
在
上单调递减且
，
又
，
，
若存在
，使得
，只需
，
则
即可，存在
值，
在
上有且只有一个零点，即
有且只有一个零点.
故选：B
【解题总结】
求解函数零点个数的基本方法
(1)直接法：令
,方程有多少个不同的实数根,则
有多少个零点.
(2)定理法：利用函数零点存在定理时往往还要结合函数的单调性、奇偶性等.
(3)图象法：一般是把函数拆分为两个简单函数,依据两函数图象的交点个数得出函数的零
点个数.
【变式2-1】（2025·高三·四川·期中）已知实数
满足
，则函数
的零点个
数为（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3
【答案】D
【解析】由题设
，则
或
时，
时，
，
所以
在
上递增，在
上递减，且
，
由
，即
，而
在R 上递增，
在R 上递减，
显然
，故
，
所以
，又
趋向
时
趋向
趋向
时
趋向
，
综上，
共有3 个零点．
故选：D
【变式2-2】函数
在定义域内的零点个数是（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3
【答案】B
【解析】函数
分别是R 上的减函数和增函数，则函数
是减函数，
而
，
，
所以函数
在R 上的零点个数是1.
故选：B
【变式2-3】已知函数
，则函数
的零点个数是（ ）
A．4
B．3
C．2
D．1
【答案】C
【解析】当
时，易知
单调递增，则
；
当
时，
，则
，
令
，解得
，令
，解得
，
当
时，
，令
，
令
，由函数
与函数
在
上单调递增，
则函数
在
上单调递增，所以
，
故函数
在
上无零点；
当
时，
，
令
，则
，化简可得
，
，由对称轴
，
当
时，
，当
时，
，
所以方程
在
有两个不相等的实数根，
故函数
在
上有两个零点；
当
时，
，令
，
整理可得
，易知该函数在
上单调递减，则
，
可得
，由函数
与函数
在
上单调递增，
则
在
上单调递增，所以
，
故
在
上无零点.
综上所述，函数
在其定义域内有两个零点.
故选：C.
【变式2-4】（2025·高三·黑龙江哈尔滨·期末）已知函数
，则函数
的零点个数为
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】当
时，
，
据此可得函数在区间
上单调递增，在区间
上单调递减，在区间
上单调递增，
由函数的解析式易知函数在区间
上单调递减，
绘制函数图像如图所示，
注意到
，
故方程
的
，
则原问题转化为求方程
时解的个数之和，
由函数图像易知满足题意的零点个数为7 个.
本题选择B 选项.
题型三：根据函数零点个数求参数
【例3】（2025·辽宁鞍山·模拟预测）已知
，若
有唯一解，则
的取值范围为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
，
，
为偶函数，
，
设
，
，
则
在
有唯一零点．
，当且仅当
取等号．
若
,
时，
，则
在
单调递增，
又因为
，所以
在
有唯一零点
若
,
时，令
得
，即
，
解得
或
，
其中
，满足要求，
，
其中
，故
在
时恒成立，
所以
，即
，不合要求，
当
时，
，则
在
单调递减，
所以
，
时，
，
故
在
有1 个零点．
又
，所以
在
上有两个零点，不满足题意，
故
的取值范围为
．
故选：C.
【解题总结】
根据函数零点的情况求参数的三种常用方法
(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式(组),再通过解不等式确定参数(范围).
(2)分离参数法：先将参数分离,转化成求函数值域确定参数范围.
(3)数形结合法：先对解析式变形,在同一平面直角坐标系中画出函数的图象,然后利用数形结合法求解.
【变式3-1】（2025·甘肃白银·模拟预测）已知函数
有且仅有3 个零点，则m 的取值范
围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由
，得
，令函数
，其定义域为
，
，函数
为奇函数，
依题意，直线
与函数
的图象有且仅有3 个交点，
求导得
，函数
在
上单调递减，
曲线
在点
处的切线方程为
，令
，
求导得
，函数
在
上单调递减，
当
时，
；当
时，
，
即当
时，
；当
时，
；当
时，
，
作出
的图象，如图：
观察图象知，当
时，直线
与函数
的图象有且仅有3 个交点，
所以m 的取值范围是
.
故选：B.
【变式3-2】（2025·北京昌平·二模）已知函数
恰有三个零点，则实数
的取值范围是
（ ）．
A．
B．
C．（
，1）
D．
【答案】B
【解析】因为
，
若
时，
，则
有且仅有一个零点
，不符合题意；
若
，当
时，
，
则
在
上单调递增，且
，
当
时，
，
所以
在
上单调递增，在
上单调递减，且
，
要使
恰有三个零点，则
，解得
；
若
，当
时，
，
则
在
上单调递增，在
上单调递减，且
，
当
时，
，
所以
在
上单调递增，且
，
要使
恰有三个零点，则
，解得
；
综上可得实数
的取值范围是
.
故选：B
【变式3-3】（2025·湖南邵阳·三模）设
，
是定义在
上的两个周期函数，
的周期为8，
的周期为4，且
是奇函数．当
时，
，
，
若在区间
上，函数
恰有8 个零点，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】当
时，令
，即
且
，
故
图象是以
为圆心，2 为半径的半圆，
又
的周期为8，若直线
过
时，即
，
在同一坐标系
，
在区间
上的图象如下，恰有8 个交点，
当直线
与半圆
且
相切时，
，
所以
，可得
，结合图知
，
当
与半圆
且
相交时，只有一个交点，
此时，
上
，
恰有5 个交点，
综上，实数
的取值范围是
.
故选：C
题型四：根据函数零点的范围求参数
【例4】（2025·辽宁抚顺·模拟预测）函数
在区间
内有零点，则实数
的取值范
围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】当
时，由
可得
，
令
，
因为函数
、
在
上均为增函数，
故函数
在
上为增函数，
因为函数
在区间
内有零点，则函数
在区间
内有零点，
所以，
，解得
，
因此，实数
的取值范围是
.
故选：D.
【解题总结】
根据函数零点的情况求参数的三种常用方法
(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式(组),再通过解不等式确定参数(范围).
(2)分离参数法：先将参数分离,转化成求函数值域确定参数范围.
(3)数形结合法：先对解析式变形,在同一平面直角坐标系中画出函数的图象,然后利用数形结合法求解.
【变式4-1】已知函数
，若
有且只有一个零点
，且
，则实数
的取值范围
是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】显然
，否则函数
有
两个零点，不符合题意，
函数
，求导得
，
当
时，由
，得
或
，函数
在
上单调递增，
，则函数
在
上有一个零点，不符合题意；
当
时，由
，得
或
，由
，得
，
函数
在
上单调递减，在
上单调递增，
当
时，
取得极小值
，当
时，
取得极大值
，
而
，则
在
上有唯一零点，
因为
有且只有一个零点
，且
，则当且仅当
，于是
，
所以实数
的取值范围是
.
故选：A
【变式4-2】（2025·高三·江西抚州·期中）若函数
在区间
上有零点，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由题意，函数
，
设为函数
在
上的零点，则
，
即
，即点
在直线
上，
又
表示点
到原点的距离的平方，则
，即
，
令
，则
，
因为
，所以
，
在
单调递增.
所以
最小值为
.
故选：A
【变式4-3】函数
在
上存在零点，则实数a 的取值范围是（ ）
A．
B．
或
C．
D．
或
【答案】B
【解析】令
，
因为
，
所以函数图象与
轴有两个交点，
因为函数
在
上存在零点，且函数图象连续，
所以
，或
，
所以
，或
，
解得
或
故选：B
题型五：用二分法求方程的近似解
【例5】用二分法求函数
在区间
内的零点时，需要的条件是（ ）
①
在区间
上是连续不断的；②
；③
；④
．
A．①②
B．①③
C．①④
D．②③
【答案】A
【解析】根据二分法定义得①②正确．
【解题总结】
所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点的近似值的方法
叫做二分法.求方程
的近似解就是求函数
零点的近似值.
【变式5-1】设
，某同学用二分法求方程
的近似解（精确度为0.5），列
出了对应值表如下：
0.125
0.4375
0.75
2
0.49
3.58
依据此表格中的数据，得到的方程近似解
可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由表格数据可知，
，又因为函数
在
上连续，且函数
在
上单调递增，所以函数
在区间
上存在一个零点.又因为
，所以方程
的近似解（精确度为0.5）可以是区间
上的任意一
个数，观察四个选项可知C 正确.
【变式5-2】已知函数
的一个零点
，在用二分法求精确度为
的
的一个值时，需判断各
区间中点的函数值的符号最少（
）（ ）
A．5 次
B．6 次
C．7 次
D．8 次
【答案】C
【解析】判断n 次时，区间长度为
，由
，得
，得
，即
．
【变式5-3】（2025·广东汕头·模拟预测）用二分法求函数
在
内的零点近似值，若
精确度要求为
，则需重复相同步骤的次数至少为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】原始区间长度为
，
第一次，区间长度减半，为
，
第二次，区间长度减半，为
，
第三次，区间长度减半，为
，
第四次，区间长度减半，为
，
故至少需要重复四次.
故选：B.
【变式5-4】下列函数零点不能用二分法求出的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】对于A 选项，
在
上单调递增，且与
轴有唯一交点，
交点两侧的函数值异号，则可用二分法求解，A 正确；
对于B 选项，当
时，
，
当且仅当
时，等号成立，无零点；
当
时
，当且仅当
时，等号成立，
在
上单调递减，在
上单调递增，
此时有两个零点
，且函数值在零点两侧异号，故可用二分法求零点，B 正确；
对于C 选项，由题意可知
只有一个零点
，
且在该零点左右两边的函数值都大于零，故不宜用二分法求解该零点，C 错误；
对于D 选项，
，
在
单调递增，
单调递减，所以
，
则零点处的两侧函数值异号，可用二分法求解，D 正确.
故选：C
题型六：半分离参数法求零点问题
【例6】已知函数
，若
有且只有两个整数解，则k 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由题设，
定义域为
，则
可得
，
令
，则
，
所以
时
，即
递增，值域为
；
时
，即
递减，值域为
；
而
恒过
，函数图象如下：
要使
有且只有两个整数解，则
与
必有两个交点，
若交点的横坐标为
，则
，
所以
，即
.
故选：C
【解题总结】
半分离参数法
【变式6-1】（2025·河南·模拟预测）已知函数
，若存在唯
一的整数
，使得
，则实数
的取值范围是 .
【答案】
【解析】函数
存在唯一的整数
，使得
，
设
与
,
即存在唯一的整数
，使得
在直线
上方,
，当
时，
,
在
上单调递增；当
时，
,
在
上单调递减，
,
，
若要存在唯一的整数
，使得
在直线
上方，
则
或
，代入得
或
，
解得
,
故答案为：
.
【变式6-2】设函数
，
,若存在唯一的整数
，使得
，则
的取值范围是
【答案】
【解析】函数
的大致图像如图所示，
当
时，
，
无解，
，
不止一个整数解，不合题意；
当
时，如①所示，
，
不止一个整数解，不合题意；
当
时，若直线
经过点
时，
此时
，
无整数解，故当
时，恰有一个整数解
，而此时
，
无解，符合题意；
若直线
经过点
时，此时
，
无整数解，
时，
无整数解，
若直线
经过点
时，此时
，
无整数解，
时，
恰有一个
整数解
，即
，
综上，
的取值范围是
.
【变式6-3】（2025·北京大兴·三模）已知函数
，则
的最小值是 ，若关于
的方程
有且仅有四个不同的实数解，则整数
的一个取值为 .
【答案】
1（答案不唯一，
即可）
【解析】当
时，
，
易知当
时，
有最小值
；
当
时，
，
由
，得
，则
，此时
最小值为；
综上：函数
的最小值为
.
因为方程
有且仅有四个不同的实数解,即函数
的图像与函数
的图像有四个不同的
交点，
作出函数
的图像，由于a 为整数，如图所示，只有函数
和
的图像与函数
的图像有四
个不同的交点，
所以整数a 的取值可以为
中的一个.
故答案为：
；1（答案不唯一，
即可）
【变式6-4】若关于
的不等式
的解集为
(
)，且
中只有一个整数，则实数
的取值范围是 ．
【答案】
【解析】由
，得
，
设
，
，由题设原不等式有唯一整数解，
即
在直线
下方，
，
在
递减，在
递增，
故
，
恒过定点
，
结合函数图像得
，即
．
故答案为：
题型七：嵌套函数与零点问题
【例7】（2025·山东临沂·三模）已知函数
，若函数
有8 个零点，则实
数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】⑴ 当
，
时，
，对称轴为
，
所以
在
单调递增，函数图象如下：
令
，
，解得
或
，
即
或
，根据图象
有2 个解，
有1 个解，
所以此时
有3 个零点，不符合题意；
当
，
时，
，对称轴为
，
所以
在
单调递增，在
单调递减，函数图像如下：
令
，
，解得
或
或
，
根据图象
有2 个解，
有3 个解，
又
有8 个零点，所以
要有3 个解，
即
，解得
，
故选：D.
【解题总结】
（1）针对多个根的取值范围问题，需构建新函数以明确取值区间。
（2）以二次函数作外函数时，可借助参变分离简化运算，但需具备扎实函数基础。
【变式7-1】已知三次函数
有两个零点，若方程
有四个实数根，
则实数a 的范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由
，则
得
或
三次函数
有两个零点，且程
有四个实数根，
所以只需
或
共有四个根即可，
所以
或
.
又方程
有四个实数根，则
或
共有四个根.
在
,
上单调递增，在
单调递减.
当
时，
，要满足条件，作出函数的大致图像.(如图①)
则
，即
，解得
.
当
，得
，要满足条件，作出函数的大致图像.(如图②)
则
，即
，解得
.
综上所述，当
时，方程
有四个实数根.
故选：C
【变式7-2】（2025·湖北十堰·模拟预测）若函数
，关于
的方程
的根的个数为（ ）
A．7
B．8
C．9
D．10
【答案】D
【解析】由
得
，解得
或
，
画出
的大致图象如图所示，由图可知，此时方程有10 个交点．（图中只显示了6 个交点，当
或
时，
和
与图象还有4 个交点，）
故选：D.
【变式7-3】（2025·山西吕梁·三模）已知函数
有三个零点，则三个零
点之和为（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3
【答案】D
【解析】令
，则
，函数
可转化为
.
因为函数
有三个零点，所以函数
也有三个零点.
是偶函数，其图象关于
轴对称.
因为
有三个零点，根据偶函数的性质可知，必有一个零点为
.
将
代入
中，可得
，即
，因式分解得
.
因为
，所以
，解得
.
当
时，
.
当
时，
，令
，即
，因式分解得
，解得
或
.
因为
是偶函数，所以当
时，
，令
，即
，因式分解得
，解得
或
.
所以
的三个零点为
，
，.
因为
，
，所以当
时，
；当
时，
；当
时，
.
即
的三个零点为
，，
.
三个零点之和为
.
故选：D.
【变式7-4】（2025·宁夏银川·三模）若函数
，则
的
零点个数为（ ）.
A．2
B．3
C．4
D．5
【答案】D
【解析】令
，则
，所以
，
解得
，解得
或
，
当
时，
，求导得
，
令
，则
，解得
，
若
时，
，若
，
，
所以
在
上单调递增，在
上单调递减，
且
，
，
当
时，
在
上单调递增，且
，
所以
有3 个解，
有2 个解，
所以
的零点个数为5 个.
故选：D.
【变式7-5】（2025·高三·湖北武汉·期中）已知函数
，若关于
的函数
有8 个不同的零点，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
的图象如图：
方程
有8 个不同的根，令
，则
有两个不同的根
，
，且
，
的
范围是
，所以
，解得
.
故选：C.
【变式7-6】已知函数
，若关于x 的方程
有8 个不相等的
实数根，则实数a 的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】令
，则方程
化为
，
作出函数
的图象，如图所示：
因为方程
有8 个不相等的实数根，
所以方程
，在
上有两个不相等的实数根，
令
，
则
，
解得
，
故选：B
【变式7-7】已知函数
，关于
的方程
有8 个不相等
的实数根，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】令
，由
，得
，
设关于的二次方程
的两根分别为
、
，
如下图所示：
由于关于
的方程
有8 个不等的实数根，
则
，
，设
，
则
，解得
.
因此，实数
的取值范围是
.
故选：D.
题型八：共零点问题
【例8】对于任意的
，不等式
恒成立，则实数
（ ）
A．
B．
C．1
D．
【答案】C
【解析】令
，易知
在
上单调递增，且
，
所以当
时，
，当
时，
，
令
，则
在
上连续，
因为不等式
恒成立，
所以当
时，
，当
时，
，
由零点存在性定理可知
，即
，
令
，则
，
当
时，
，
在
上单调递增，
当
时，
，
在
上单调递减，
所以
，则
，
所以
，解得
，
故选：C
【解题总结】
共零点问题：此类问题往往是
的形式，其特征是两个函数具备相同的零点．
【变式8-1】设函数
，若
恒成立，则
的最小值为 ．
【答案】2
【解析】令
，则
，令
，则
，
当
时，
恒成立，此时不符合
恒成立；
当
时，令
，则
，因为
恒成立，
所以
，所以
，
令
，则
，
令
，则
，令
，则
，
所以
在
上单调递减，在
上单调递增，
所以
，所以
.
故答案为：2
【变式8-2】已知
，
，若关于
的不等式
在
恒成立．则
的最
小值为（ ）
A．4
B．
C．8
D．
【答案】B
【解析】设
.
由已知
，
在
单调递增，
当
时，
；当
时，
.
由
图象开口向上，
，可知方程
有一正根一负根，
即函数
在
有且仅有一个零点，且为异号零点；
由题意
，则当
时，
；当
时，
.
所以
是方程
的根，则
，即
，且
，
所以
，
当且仅当
，即
时等号成立.
则
的最小值是
.
故选：B.
【变式8-3】设函数
，若
在
上恒成立，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】令函数
，
（1）
和
与
轴的交点都在原点左侧，如图：
此时，当
时，
，
，
恒成立，
∴
，即
∴
，
；
（2）
和
与
轴的交点不在原点同侧，如图：
或
有图可知，均存在区间
或
使得函数
，故舍去；
（3）
和
与
轴的交点都在原点右侧，
①当两个零点不重合时，如图：
或
显然此时，存在
或
使得
，故舍去；
②当两个零点重合且，
时，如图：
此时，当
时，
恒成立，
故，
∴
∴
综上所述：
，
故选：B
【变式8-4】（2025·高三·四川成都·期中）已知
，若关于
的不等式
在
上恒成立，则
的最小值是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】设
，
.
因为
，所以
在
上单调递增.
当
时，
；当
时，
.
因为
的图象开口向上，
，所以方程
有一正根一负根，
即函数
在
上有且仅有一个零点，且为异号零点.
由题意可得，
，则当
时，
；当
时，
，
所以
是方程
的根，则
，即
，且
，
所以
，当且仅当
时等号成立.
故选：A.
题型九：零点比大小问题
【例9】已知函数
，若当
时，
恒成立，则
的最大值为
（ ）
A．2
B．1
C．
D．
【答案】D
【解析】依题意，
，
，
设函数
，
，
函数
在
上单调递增，
，则当
时，
；
令
，则
，若
恒成立，则
，否则
，
下面验证
时存在
满足题意，
不妨令
，则
，在
处
的导数值为
，取
，此时
，
设函数
，要证
恒成立，只需证
恒成立，
，当
时，
，
当
时，
，函数
在
上单调递减，在
上单调递增，
因此
，所以
的最大值为e.
故选：D
【解题总结】
针对双参数比值型问题，可采用零点比大小法求解。具体而言，先将曲线与直线分离，
分别绘制二者图像并确定其零点。需留意，直线零点往往对应待求双参数比值，当直线零点
与曲线零点重合之际，该双参数比值可取得最值。
【变式9-1】已知
，若不等式
对任意实数
恒成立，则
的最大值为 .
【答案】
/
【解析】令
，由不等式
对任意实数
恒成立等价于
，
所以
，令
有
，令
，
由
有
，
有
，所以
在
单调递增，在
单调递减，
所以
，
所以
，
令
，
所以
，令
有
，
由
有
，由
有
，
所以
在
单调递增，在
上单调递减，
所以
，
所以
，
故答案为：
.
【变式9-2】已知不等式
对任意的实数t 恒成立，则
的最大值为 ．
【答案】
【解析】依题意可知
对任意的实数t 恒成立．
设
，则
．
当
时，
，
在R 上单调递增，当
时，
，不合题意．
当
时，由
可得
，
当
时，
，
单调递减，
当
时，
，
单调递增，
所以当
时，
．
因为
对任意的实数t 恒成立，
故
恒成立，
即
恒成立，
则
恒成立．
令
，
，
则
，
当
时，
，
单调递增，
当
时，
，
单调递减．
故
，
故
，当
，
时等号成立，故
的最大值为
．
故答案为：
【变式9-3】（2025·高三·安徽宿州·期末）若不等式
（是自然对数的底数）对任意
恒成立，则当
取最大值时，实数
.
【答案】
【解析】由题意可知
，令
，
当
时，研究函数
与
的图象，
因为
，当
时，
，所以函数
单调递减，
当
时，
，所以函数
单调递增，
所以函数
有最小值为
，
而
为单调递减的直线，如图，
此时
不恒成立，不符合题意；
当
时，
，
令
，
，
易知
在
上单调递减，在
上单调递增，
且由于函数
有最小值为
，所以当
时，方程
有解，
设解为
，则
，且
，
所以函数
在
上单调递减，在
上单调递增，
所以
的最小值为
，
由题意
恒成立，所以
，
所以
，
当且仅当
时取等号，此时
.
【变式9-4】若
，对
，均有
恒成立，则
的最小值为
【答案】
【解析】设
，原题转化为求的最小值，
原不等式可化为对任意的
，
，
不妨代入
，得
，得
，
当
时，原不等式可化为
，
即
，
观察可知，当
时，
对
一定成立，当且仅当
取等号，
此时，
，说明
时，
均可取到，满足题意，
故
的最小值为
.
故答案为：
【变式9-5】（2025·高三·湖北·期末）已知
，若不等式
恒成立，则
的最大
值为 ．
【答案】
【解析】
，则
，
所以不等式
恒成立，即
，
恒成立，
，
，所以
设
，
，得
，
当
，
，
单调递增，当
，
，
单调递减，
所以当
时，函数
取值最大值
，
所以
，即
，
当
时，
，
当
时，
，
设
，
，
，得
，
当
，
，
单调递增，当
，
，
单调递减，
所以当
时，函数
取得最大值
，
所以
的最大值为
.
故答案为：
题型十：不动点问题
【例10】设函数
，若曲线
上存在点
使得
，则a
的取值范围是
A．［ln3－6，0］
B．［ln3－6，ln2－2］
C．［2ln2－12，0］
D．［2ln2－12，ln2－2］
【答案】A
【解析】根据题意曲线
上存在点
, 使得
，即
．
下面证明
假设
，则
，不满足
，同理假设
，不满足
，
所以
，
那么函数
，即函数
在
有解；
所以
，
令
，则
由
可得
或
（舍）
当
时，
，
在
上单调递减；
所以
，即
故选A．
【解题总结】
1、
有解
有解．特别地，当函数
单递增时，
的解与
的解相同．
2、
无解
无解．
3、
有解
有解．
4、
无解
无解．
【变式10-1】已知函数
，若曲线
上存在点
使得
，则
实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由题意可得，函数
为增函数.若
，则
；
同理，若
，则
，均与题设条件不符.
由
可得
，且
.
因此，关于
的方程
在
上有解，
整理得
在
上有解.
设
，则
为
上的减函数，
注意到
，故
，从而函数
在
上单调递增.
所以，
.
因此，实数
的取值范围是
.
故选：D.
【变式10-2】设
是函数
定义域内的一个子区间，若存在
，使
，则称
是
的一个“次不动点”，也称
在区间
上存在次不动点，若函数
在区间
上存在次不动点，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由题意，存在
，使
，
解得
，设
，
则由
，得
（舍去）或
，
则
在
上递减，在
上递增，
又
，
，
，
所以
在
的值域为
，
即
的取值范围是
.
故选：B.
【变式10-3】已知函数
，若曲线
上存在点
，使得
，则实
数
的取值范围是 ．
【答案】
【解析】依题意，
，而
，即函数
是奇函数，
由曲线
上存在点
，使得
，
得存在
，使得
成立，函数
在定义域内单调递增，
下面证明：
成立，
假设
，则
，不满足
，假设不成立，
假设
，则
，不满足
，假设不成立，
因此
，
则原问题等价于“
在
上有解”，即“
在
上有解”，
设
，
，求导得
，
令
，求导得
，由
，解得
，
当
时，
；当
时，
，
在
上递减，在
递增，
因此
，函数
在
上单调递增，
于是
的值域为
，即
，则
，
所以实数
的取值范围是
.
故答案为：
题型十一：等值线问题
【例11】（2025·河北·模拟预测）已知函数
，方程
有4 个不同的根
，且满
足
，则
的最小值为 .
【答案】
【解析】在同一平面直角坐标系下，作出函数
和
的图象如下图所示：
依题意得：
，且
，则
.
设
，则
，
，
，
所以
，令
，
，
当且仅当
，即
时，等号成立.
所以
的最小值为
.
故答案为：
.
【解题总结】
数形结合
【变式11-1】（2025·四川·模拟预测）已知函数
若关于
的方程
（
为
实常数）有四个不同的解
，且
，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】根据函数解析式，可得函数大致图象如下，
由图知，
且
，
由
，得
，即
，故
，
由
，则
，由
，则
，
所以
，且在
上
单调递增，
所以
.
故选：A
【变式11-2】已知函数
，若方程
有4 个根分别为
，
，
，
，
且
，则
的取值范围是 .
【答案】
【解析】画出
的图象如下：
因为方程
有4 个根，则函数
的图象与直线
有四个不同的交点，
由图象可得，
；
又由题意可得，
与
是方程
的两根，
与
是方程
的两根，
则
，则
，
则
.
故答案为：
.
【变式11-3】（2025·山东·一模）已知
，若
有
个根
，则
的取值范围是 .
【答案】
【解析】作出
的图象，如图，
不妨设
，根据二次函数的对称性可得
，
由对数函数的性质可得
，
.
若
有
个根，由图可知
，从而易知
，
于是
.
因为
，所以
.
故答案为:
.
题型十二：已知函数只有一个零点，求参数的具体值
【例12】（2025·河南·模拟预测）已知函数
恰有一个零点，则实数
（ ）
A．1
B．
C．0
D．
【答案】A
【解析】由
得
，
而
，
故
为偶函数.
由对称性，
，从而
当
时，
当
时，
，即
无零点，
由对称性，
时，
也无零点，从而
仅有一解
，即
满足题意.
故选：A
【解题总结】
（1）借助零点存在性定理构建相应不等式，进而求解参数的值或取值范围。
（2）通过分离参数，将问题转化为函数值域（最值）问题，以此确定参数的值或范围。
（3）把问题转化为两个熟知函数图像的上、下位置关系问题，构建不等式求解参数。
【变式12-1】已知函数
有唯一零点，则实数
（ ）
A．1
B．
C．2
D．
【答案】D
【解析】当
时，则
，
，
由
知，
，则函数
在区间
单调递增；
当
时，则
，
，
由
知，
，则函数
在区间
单调递减；
所以函数
的最小值为
，且当
无限趋近于无穷大时，
无限趋向于正无穷大，
当
无限趋近于0 时，
无限趋向于正无穷大，
所以函数
有唯一零点，则需
，
所以
.
故选：D
【变式12-2】（2025·湖南岳阳·二模）若函数
有唯一零点，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．1
【答案】C
【解析】由于
有唯一的零点，所以
也有唯一的零点，
由于
均为偶函数，所以
为偶函数，
因此
，故
，
故选：C
【变式12-3】（2025·浙江绍兴·模拟预测）已知函数
有唯一零点，则
（ ）
A．0
B．
C．2
D．
【答案】C
【解析】定义域为
，
，所以函数
为偶函数，
又因为函数
有唯一零点，根据零点关于
轴对称，得出
，所以
，
当
时，函数
有唯一零点，符合题意；
当
时，函数
有零点
，不符合题意舍；
故选：C.
【变式12-4】已知函数
，
分别为定义在
上的偶函数和奇函数，且
，
若函数
有唯一零点，则实数
的值为（ ）
A．
或
B．1 或
C．
或1
D．
或2
【答案】A
【解析】函数
，
分别为定义在
上的偶函数和奇函数，
则
，
，
所以
，解得
，
由
为偶函数，关于
对称，则
关于
对称，
又
为偶函数，关于
对称，则
关于
对称，
所以
关于
对称，
则
有唯一零点一定在
处取得，
故有
，
化简得
，解得
或
.
故选：A.
【变式12-5】（2025·山东·模拟预测）已知函数
有唯一零点，则实数
（ ）
A．1
B．
C．2
D．
【答案】D
【解析】设
，定义域为R,
∴
，
故函数
为偶函数，则函数
的图象关于y 轴对称，
故函数
的图象关于直线
对称，
∵
有唯一零点，
∴
，即
．
故选：D．
1．已知函数
，若方程
有3 个不同的实根，则实数m 取值范围
值是
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】原方程可转化为
，
即
或
，
当
时，
；当
时，
，
方法1：要使得
有3 个不同的实根，则有
或
，
解得
方法2：作出
的图象，如图所示，
当
时，
有1 个实根，
有1 个实根，不符合题意；
当
时，
有1 个实根，
有2 个实根，符合题意；
当
时，
有1 个实根，
有1 个实根，不符合题意；
当
时，
有2 个实根，
有1 个实根，符合题意；
当
时，
有1 个实根，
有1 个实根，不符合题意；
综上，
．
故选
2．已知函数
则方程
为常数且
的不同的实数根的个数为
A．3
B．4
C．5
D．6
【答案】B
【解析】解法一：由
，得
，
，
作出函数
和
的图象如图所示，
易知函数的图象共有4 个不同的交点，
即方程
为常数且
有4 个不同的实数根．
故选
解法二：对于任意的
，方程
的解的个数是确定数，
因此不妨取特殊值
，则
或
令
，
因为
且其两根之积小于零，
所以该方程在
上只有一个解．
令
，因为
且其两根之积大于零，两根之和大于零，
所以该方程在
上有两个不同的解．
令
，因为
，
所以
，
故
无解．
令
，因为
，
所以
，且
在
上单调递增，
故
只有一个解．
综上，方程
为常数且
的不同的实数根的个数为4，
故选
3．已知方程
有四个不同的实数根
，满足
，且在区间
和
上各存在唯一整数，则实数
的取值范围为 ．
【答案】
【解析】方法一
．
令
，则
．所以
为偶函数．
所以只需考虑
时，
有两个零点
，且在区间
上存在唯一的整数即可．
当
时，令
，得
．
令
，则
．
当
时，
，所以
在
上单调递增；
当
时，
0，所以
在
上单调递减．
因为在区间
上存在唯一的整数，
所以
，即
．
所以
的取值范围为
．
方法二：
．
令
，则
，所以
为奇函数．
因为
也是奇函数，
所以只需考虑
时，
与
的图象有两个交点
，且在区间
上
存在唯一的整数．
易知
，当
时，
，所以
在
上单调递增；
当
时，
，所以
在
上单调递减．
当直线
过点
时，
；
当直线
过点
时，
．
因为
与
的图象有两个交点，且在区间
上存在唯一的整数，
所以
，所以
的取值范围为
．
方法三：由
，得
．
令
，两函数均为偶函数，
所以只需考虑
时，
与
的图象有两个交点
，
且在区间
上存在唯一整数．
如图，作
的部分图象，根据图象易得
，
所以
解得
，
所以
的取值范围为
．
故答案为：
①数形结合
1．已知函数
设
，若函数
仅有一个零点，则实数a 的取值范
围是
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】因为函数
有两个零点，
所以函数
的图象与函数
的图象有一个不同的交点，
函数
恒过定点
，
，如图所示，
两个函数图象已经有一个交点
，
时，
，其导函数
，
当直线
与函数
相切时，只有一个交点
，
此时
，解得
，
则当
时，有一个交点，
时，
，
其导函数
，
当直线
与函数
相切时，只有一个交点
，
此时
，解得
，
则当
时，有一个交点，
当
时，两个函数图象有一个交点
，
综上，要使函数
有一个零点，
则实数 a 的取值范围是
故选：
2．已知函数
若函数
恰有4 个零点，则k 的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】若函数
恰有4 个零点，
则
有四个根，
即
与
有四个交点，
当
时，
与
图象如下：
两图象有2 个交点，不符合题意，
当
时，
与x 轴交于两点
，
图象如图所示，
两图象有4 个交点，符合题意，
当
时，
与x 轴交于两点
，
在
内两函数图象有两个交点，所以若有四个交点，
只需
与
在
还有两个交点，即可，
即
在
还有两个根，
即
在
还有两个根，
函数
，当且仅当
时，取等号，
所以
，且
，
所以
，
综上所述，k 的取值范围为
故选：
3．已知函数
，则函数
的零点个数是
A．6
B．5
C．4
D．3
【答案】B
【解析】令
，设
，则
等价于
，
因为
的根，即为函数
与
的图象交点的横坐标，
分别作出函数
与
的图象，如图所示，
显然交点有两个，分别设横坐标为
与
，且
，
由图可得
，
，
当
时，观察函数
与
图象，有2 个交点，
当
时，观察函数
与
图象，有3 个交点，
综合可得
与
共有5 个交点，即
的零点个数为5 个．
②转化与化归
4．若函数
在
上有零点，则a 的取值范围为
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由题意可知
在
上单调递减，
所以
，即
，
解得
，
则a 的取值范围为：
故选：
5．设
，函数
，若函数
在区间
内恰有6 个零点，
则a 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
在区间
内恰有6 个零点
又二次方程最多有两个零点，
至少有四个根，
，
令
，即
，
，
，
，
又
，
，
，
即
，
，
①当
时，
，
有4 个零点，即
，
，
有5 个零点，即
，
，
有6 个零点，即
，
②当
时，
，
，
解得
，
当
时，
，
无零点，
当
时，
，
有1 个零点，
当
时，
，
的对称轴
，即
在对称轴的左边，
当
时，即
，
有两个零点，
当
时，即
，
有1 个零点，
综合①②可得，
故选
6．函数
，
，若
有两个零点
，
，
的零点为
，
则关于
的不等式不能成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】令
得
，
则
的零点即为
与
交点的横坐标，
令
得
，
则
的零点即为
与
交点的横坐标，
画出
，
，
的图象，
可得选项B、C、D 可能成立，
故选
③分类讨论
7．已知函数
，若关于x 的方程
恰有两个不同的实数根，则实数k
的取值范围为
．
【答案】
【解析】作出
图象，如图：
令
，则原方程即为
，
记方程
的两根为
，
，可知
，
，
①当
时，
，
当
时，
，此时方程
恰有两个不同的实数根，满足题意；
当
时，
，此时方程
仅有一个实数根，不满足题意；
②当
时，
或
，此时
，不妨设
，
当
时，
，
则方程
有三个不同的实数根，方程
有一个实数根，不满足题意；
当
时，
，
此时方程
和
各有一个实数根且两根不相等，满足题意；
综上可知，实数k 的取值范围为
8．对任意实数x，以
表示不超过x 的最大整数，称它为x 的整数部分，如
，
等．定
义
，x 称它为的小数部分，如
，
等．若直线
与
的
图象有四个不同的交点，则实数k 的取值范围是
．
【答案】
【解析】直线
整理得：
，直线恒过
，
当
时，
，
又因为
是周期为1 的函数，
由
与
图象可知：
①
时，当直线经过点
时，有3 个交点，则
，
当直线经过点
时，有4 个交点，则
，
当
时，直线
与
有4 个不同的交点；
②
时，当直线经过点
时，有3 个交点，则
，
当直线经过点
时，有4 个交点，则
，
当
时，直线
与
有4 个不同的交点，
，
故答案为：
9 ．已知函数
若函数
所有零点的乘积为1 ，则实数a 的取值范围
是
．
【答案】
【解析】令
，
令
得
，故
显然
即：
的所有解的乘积为
数形结合：
的解可看作函数
的图象与直线
的交点的横坐标；
结合
的图象可知：
当
时：函数
的图象与直线
没有交点；
当
时：函数
的图象与直线
有2 个交点，即当
时
有2 个解
，
，
且满足
，故
又
单调递增，且
，此时
与
无交点，故
故
基础过关篇
1．（2025·湖北黄冈·模拟预测）设函数
，
，曲线
与
恰有一个交点，则
（ ）
A．0
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】令函数
，
可得
，
即
，所以函数
的图象关于直线
对称，
因为函数
与
恰有一个交点，所以
，
可得
，解得
.
故选：C.
2．（2025·山东淄博·三模）若关于
的方程
有唯一解，则求得上述关于
的方程
的非零实数解为（ ）
A．
B．1
C．2
D．4
【答案】C
【解析】设
，显然
，
又
，
故
为偶函数，
又
有唯一零点，
由对称性可知
的零点为0，
故
，即
，即
，
解得
或2，
所以上述关于
的方程的非零实数解为2.
故选：C
3．（2025·湖南长沙·模拟预测）已知
是定义在
上的周期函数，其最小正周期为5，设
，
若
在区间
内共有26 个零点，则
在区间
内的零点个数为（ ）
A．8
B．10
C．12
D．15
【答案】B
【解析】令
，则
，当
时，
，所以
在区间
内的零点个数即为
在区间
内的零点个数．
设
在一个周期内的零点个数为
，在
内的零点个数为
，则
在
内有
个零点．
因为
，由已知，
．又
，则
．
因为
在
内有
个零点，在
内有2 个零点，所以
在区间
内有10 个零点．
故选：B.
4．（2025·安徽·模拟预测）已知函数
，则函数
在区间
上的零点个数为
（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】D
【解析】
，
由
，得
或
，即
或
或
，
.
所以函数
在区间
的零点是
4 个.
故选:D
5．（2025·云南·三模）已知定义在
上的函数
与函数
的图象有唯一公共点，
则实数m 的值为（ ）
A．
B．
C．1
D．2
【答案】C
【解析】因为
，则
，
所以
的图象关于
对称，且当
时，
单调递增，当
时，
单调递减；
又
，故可看作由函数
向右平移1 个单位得到，
所以
的图象也关于
对称；
又由于函数
与函数
的图象有唯一公共点，即方程
只有一根，
因为两函数图象都关于
对称，所以方程的根为，即
，解得
.
故选：C．
6．（2025·河北秦皇岛·三模）设函数
，若
在区间
上
有且仅有一个零点，则
（ ）
A．
B．
C．1
D．2
【答案】D
【解析】由函数
，
可得
，
则
，
所以函数
是
上的偶函数，
因为函数
在
上有且仅有一个零点，所以
，即
，解得
．
故选：D．
7．（2025·江西·二模）已知函数
恰有2 个零点，则实数a 的取值范围
为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】令f(x)=0，得
即
令
则
(1-e)t-1=0，
令
则
令
在区间(ln(e-1) ，+∞)上单调递增；
令
在区间
上单调递减，又
1，h(0)=h（1）
=0，则h(x)=0 有且只有两个根，分别为0，1.
当a≥0 时，函数f(x)恰有2 个零点等价于
的图象与直线y=0 和y=1 共有2 个交点.
令p(x)= lnx+ ax，则
则p(x)在区间(0，+∞)上单调递增，又x→0，p(x)→-∞，
x→+∞，p(x)→+∞，即p(x)∈R，则.y= ax+ lnx 的图象与直线y=0 和y=1 各有1 个交点，符合题意.
当a<0 时，函数f(x)恰有2 个零点，等价于函数y=lnx 的图象与直线y=-ax，y=1-ax 的图象共有2 个交点，临
界情况为两条直线分别与y=lnx 的图象相切.
如图1，当y=-ax 与y=lnx 相切，设对应切点为
，因为
则相应切线方程为
如图2，当y=1-ax 与y= lnx 相切，设对应切点为
，则相应切线方程为
则
综上
故选：D.
8．（2025·浙江·二模）定义在
上的函数
满足
，当
时，
，则函数
在区间
内的零点个数为（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6
【答案】B
【解析】因为
，故
，故
，
即
，
而当
时，
，
故当
时，
，故
，
故
，
当
时，
，
而
在
上为减函数，在
为增函数，
故
在
有有且只有一个实数解为
；
当
时，
，
而
，故
，此时
在
上无解；
故当
时，
，则
，
结合
上
的性质可得
在
上有且只有一个实数解，
且该实数解为
，在
无实数解，
而
且
，
故
在
上的实数解为
，
，
，
，共4 个实数解，
故
共有4 个不同的零点.
故选：B.
9．（2025·天津·高考真题）函数
的零点所在区间是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由指数函数、幂函数的单调性可知：
在
上单调递减，
在
单调递增，
所以
在定义域上单调递减，
显然
，
所以根据零点存在性定理可知
的零点位于
.
故选：B
10．（2024·广东江苏·高考真题）当
时，曲线
与
的交点个数为（ ）
A．3
B．4
C．6
D．8
【答案】C
【解析】因为函数
的最小正周期为
，
函数
的最小正周期为
，
所以在
上函数
有三个周期的图象，
在坐标系中结合五点法画出两函数图象，如图所示：
由图可知，两函数图象有6 个交点.
故选：C
11．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）设函数
，
，当
时，曲线
与
恰有一个交点，则
（ ）
A．
B．
C．1
D．2
【答案】D
【解析】解法一：令
，即
，可得
，
令
，
原题意等价于当
时，曲线
与
恰有一个交点，
注意到
均为偶函数，可知该交点只能在y 轴上，
可得
，即
，解得
，
若
，令
，可得
因为
，则
，当且仅当
时，等号成立，
可得
，当且仅当
时，等号成立，
则方程
有且仅有一个实根0，即曲线
与
恰有一个交点，
所以
符合题意；
综上所述：
.
解法二：令
，
原题意等价于
有且仅有一个零点，
因为
，
则
为偶函数，
根据偶函数的对称性可知
的零点只能为0，
即
，解得
，
若
，则
，
又因为
当且仅当
时，等号成立，
可得
，当且仅当
时，等号成立，
即
有且仅有一个零点0，所以
符合题意；
故选：D.
12．（多选题）（2025·山东临沂·三模）已知
，其中
，则（ ）
A．当
时，直线
与函数
的图象相切
B．当
时，直线
与函数
图象有且只有1 个交点
C．若函数
在
上单调递增，则
的取值范围为
D．若函数
在
上有两个零点，则
的取值范围为
【答案】ACD
【解析】对A：当
时，
，
，
.
设点
为函数
图象上任意一点，则函数
在该点处的切线方程为：
.
由该切线过点
可得：
，
因为
，所以
，所以
.
所以切点为
，所以切线方程为
.故A 正确；
对B：当
时，
，
.
由
.
设
，则
.
由
；由
.
所以
在
上递减，在
上递增.
且
，
，
.
所以方程
在
上有两解.即直线
与函数
图象有两个交点.故B 错误；
对C：函数
在
上单调递增，所以
在
上恒成立.
当
时，
成立；
当
时，
，所以
，
.
设
，
，则
，
由
；由
.
所以
在
上单调递减，在
上单调递增.
所以
，所以
；
当
时，
，所以
，
.
所以
在
上恒成立，即
在
上单调递减.
又当
时，
，所以
.
综上
，故C 正确；
对D：函数
在
上有两个零点，所以
有两解，
因为
，所以方程
，
两解.
设
，
，则
.
由
；由
.
所以函数
在
上单调递增，在
上单调递减.
又
，当
时，
.
所以方程
有两解，可得
.所以
.故D 正确.
故选：ACD
13．（多选题）（2025·河北秦皇岛·三模）已知函数
，则（ ）
A．
的极小值是1
B．
恰有2 个零点
C．方程
恰有1 个实根
D．对任意的
，都有
【答案】ACD
【解析】
，
，
令
，可得
，当
时，
，当
时，
，
所以
是函数
的极小值点，极小值
，故A 正确；
由
在
上单调递减，
上单调递增，且
，
可知
无零点，故B 错误；
令
，则
，即
，
令
，
，
令
，则
，
令
，可得
，令
，可得
，
所以
在
上单调递增，
上单调递减，
，故
，则
，
单调递减，
当
时，
，当
时，
，
所以直线
和曲线
有且只有一个交点，
即方程
恰有1 个实根，故C 正确；
由
，令
，
，
当
时，
，所以
在
上为凹函数，
所以对任意的
，都有
，故D 正确.
故选：ACD.
14．（多选题）（2025·河南·模拟预测）设函数
，则（ ）
A．
的极大值为2
B．当
时，
C．
图象上任意一点
处的切线与
的图象恒有两个公共点
D．方程
有且仅有5 个不同的实根
【答案】ABD
【解析】
，求导数
，
当
或
时，
；当
时，
，
函数
在
上单调递增，在
上单调递减，
对于A，函数
在
处取极大值
， A 正确；
对于B，函数
在
上单调递增，在
上单调递减，
，
，因此
，B 正确；
对于C，
，函数
的图象在
处切线方程为
， 由
解得
，即此函数
的图象在
处与曲线仅有一个公共点， C 错误；
对于D，令
，由
，即
，解得
或
，
当
时，解
得
或
；当
时，而函数
在
处取极小值
，
在
处取极大值
，
，则直线
与函数
的图象有3 个交点，
即方程
有3 个不同实根，因此方程
有且仅有5 个不同的实根，D 正确.
故选：ABD
15．（多选题）（2025·安徽合肥·模拟预测）设函数
有三个不同的零点，从小到大
依次为
，则（ ）
A．
B．函数
的对称中心为
C．过
引曲线
的切线，有且仅有1 条
D．若
成等差数列，则
【答案】ABD
【解析】由
，令
，解得：
或
，
在
上单调递增，
在
上单调递减.
对于A，若
有3 个零点，则
，解得：
，故A 正确；
对于B，令
，则
，令
，
令
，得
，又
所以
对称中心为
，故B 正确；
对于C，结合图象，过
引曲线
的切线有2 条，故C 错误；
对于D，
，
（*）
若
成等差数列，则
，则
，
代入（*）得：
，故D 正确.
故选：ABD.
16．（2025·山东·模拟预测）函数
的零点为 .
【答案】5
【解析】令
，得
，所以
，解得
或
（舍去）.
故答案为：5.
17．（2025·湖北·模拟预测）已知函数
有2 个零点
，
，且
，则实数
的取值范
围是 ．
【答案】
【解析】函数
，
有两个零点，求导得：
.
当
时，
，此时
在
上单调递增，不合题意.
所以
.令
，则
.
为了使得函数有两个零点，则极大值
，所以
.
因为函数
，
有两个零点
，
所以
，即
两式相减得
.
因为
，令
，则
，
那么
，两式相减得
，所以
①.
两式相除可得：
，即
，所以
.
两边同时取对数得到：
，化简得：
②.
①②联立可得：
，所以令
，则
.
因为
，因为
，
设
，则
，故
在
为减函数，
故
，故
为函数，故
.
令
，所以
，所以
在
上单调递减，
又
，所以
，所以
.
所以
的取值范围为
.
令
，则
，所以
在
上单调递增，
所以
.
所以综上所述，
的取值范围为
.
故答案为：
.
18．（2025·山西·三模）已知函数
有两个零点，则实数
的取值范围是 ．
【答案】
【解析】因为当
时，
解得
，函数
有一个零点；
因此，要使函数
有两个零点，只需
时，函数
有一个零点．
当
时，函数
对称轴为
，
若
，只需
，解得
；
若
，只需
，可得
；
若
，
有且只有一个零点，不满足条件，
综上，
的取值范围为
．
故答案为：
19．（2025·甘肃白银·模拟预测）函数
满足条件：①图象为轴对称图形，②至少有一个最值，③至少
有两个零点，请写出
的一个表达式 ．
【答案】
（答案不唯一，写出一个即可）
【解析】函数
的对称轴为y 轴，有一个最小值－1，两个零点
，
，符合题意．
故答案为：
（答案不唯一，写出一个即可）
能力拓展篇
20．（2025·山东泰安·三模）若函数
满足：存在整数
，实数
，使得
，则称
是“滞后的”.已知函数，
不是“滞后的”，则
的取值范围是 .
【答案】
【解析】由“滞后的”的定义，知单调函数必不为“滞后的”，
当
时，则
，函数
在R 上单调递增，符合题意；
依题意，
，若
在
上存在零点，则
符合“滞后的”定义，
有
，当且仅当
，
时取等号，
当
且
时，
，
，
因此函数
在区间
上一定存在零点，不符合题意；
当
，
时，函数
在区间
上至少存在1 个零点，不符合题意；
当
，
，
，则
，
，
而
不为整数，符合题意，
所以
的取值范围为
.
故答案为：
21．（2025·北京通州·一模）设
，函数
，若
为单调函数，则a 的一个
取值为 ；若
有三个零点，则实数a 的取值范围是 .
【答案】 1（答案不唯一），
【解析】因为
，则
时，
，
在
上单调递增，
此时
时，
，
在
上单调递增，此时
，
故要使得
为单调函数即单调递增函数，则需满足
，
结合
，则
，
故a 的一个取值可为1；
时，
，令
，
则
，解得
或
；
时，
，令
，
则
，解得
，
当
时，
在
时有一解
，在
时，有一解
，不符合题意；
当
时，
在
时有两解
和
，在
时，有一解
，符合题意；
故实数a 的取值范围是
，
故答案为：1（答案不唯一），
22．（2025·陕西·模拟预测）激活函数是神经网络模型的重要组成部分，是一种添加到人工神经网络中的
函数.
函数是常用的激活函数之一､其解析式为
.则对于任意实数
，函数
至少有一个零点 .
【答案】
【解析】
，
由
可得
，可得
，
由
，可得
，解得
，故
函数的值域为
. 即
，则
，
当
时，
，此时，函数
没有零点，故命题错误.
故答案为：.
23．（2025·广东汕头·模拟预测）已知函数
设
，若函数
仅
有一个零点，则实数
的取值范围是 .
【答案】
【解析】因为函数
仅有一个零点，
所以函数
的图象与函数
的图象只有一个交点.
函数
恒过定点
，
，
同一坐标系内作出两函数图象，如图所示，
两个函数图象已经有一个交点
.
时，
，其导函数
，
当直线
与函数
在
处相切时，只有一个交点
，
此时
，解得
，则当
时，有两个交点.
时，
，其导函数
，
当直线
与函数
在
处相切时，只有一个交点
，
此时
，解得
，则当
时，有两个交点.
综上，要使函数
仅有一个零点，则实数
的取值范围是
.
故答案为：
.
24．（2024·全国甲卷·高考真题）曲线
与
在
上有两个不同的交点，则
的
取值范围为 ．
【答案】
【解析】令
，即
，令
则
，令
得
，
当
时，
，
单调递减，
当
时，
，
单调递增，
，
因为曲线
与
在
上有两个不同的交点，
所以等价于
与
有两个交点，所以
.
故答案为：
25．（2024·天津·高考真题）设
，函数
.若
恰有一个零点，则
的取
值范围为 ．
【答案】
【解析】令
，即
，
由题可得
，
当
时，
，有
，则
，不符合要求，舍去；
当
时，则
，
即函数
与函数
有唯一交点，
由
，可得
或
，
当
时，则
，则
，
即
，整理得
，
当
时，即
，即
，
当
，
或
（正值舍去），
当
时，
或
，有两解，舍去，
即当
时，
在
时有唯一解，
则当
时，
在
时需无解，
当
，且
时，
由函数
关于
对称，令
，可得
或
，
且函数
在
上单调递减，在
上单调递增，
令
，即
，
故
时，
图象为双曲线
右支的
轴上方部分向右平移
所得，
由
的渐近线方程为
，
即
部分的渐近线方程为
，其斜率为
，
又
，即
在
时的斜率
，
令
，可得
或
（舍去），
且函数
在
上单调递增，
故有
，解得
，故
符合要求；
当
时，则
，
即函数
与函数
有唯一交点，
由
，可得
或
，
当
时，则
，则
，
即
，整理得
，
当
时，即
，即
，
当
，
（负值舍去）或
，
当
时，
或
，有两解，舍去，
即当
时，
在
时有唯一解，
则当
时，
在
时需无解，
当
，且
时，
由函数
关于
对称，令
，可得
或
，
且函数
在
上单调递减，在
上单调递增，
同理可得：
时，
图象为双曲线
左支的
轴上方部分向左平移
所得，
部分的渐近线方程为
，其斜率为
，
又
，即
在
时的斜率
，
令
，可得
或
（舍去），
且函数
在
上单调递减，
故有
，解得
，故
符合要求；
综上所述，
.
故答案为：
.
26．（2023·天津·高考真题）设
,函数
,若
恰有两个零点，则
的取值
范围为 ．
【答案】
【解析】（1）当
时，
，
即
，
若
时，
，此时
成立；
若
时，
或
，
若方程有一根为
，则
，即
且
；
若方程有一根为
，则
，解得：
且
；
若
时，
，此时
成立．
（2）当
时，
，
即
，
若
时，
，显然
不成立；
若
时，
或
，
若方程有一根为
，则
，即
；
若方程有一根为
，则
，解得：
；
若
时，
，显然
不成立；
综上，
当
时，零点为
，
；
当
时，零点为
，
；
当
时，只有一个零点
；
当
时，零点为
，
；
当
时，只有一个零点
；
当
时，零点为
，
；
当
时，零点为
．
所以，当函数有两个零点时，
且
．
故答案为：
．
27．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知函数
在区间
有且仅有3 个零点，则
的取值范围是 ．
【答案】
【解析】因为
，所以
，
令
，则
有3 个根，
令
，则
有3 个根，其中
，
结合余弦函数
的图像性质可得
，故
，
故答案为：
.
28．（2022·天津·高考真题）设
，对任意实数x，用
表示
中的较小者．若函
数
至少有3 个零点，则
的取值范围为 .
【答案】
【解析】设
，
，由
可得
.
要使得函数
至少有个零点，则函数
至少有一个零点，则
，
解得
或
.
①当
时，
，作出函数
、
的图象如下图所示：
此时函数
只有两个零点，不合乎题意；
②当
时，设函数
的两个零点分别为
、
，
要使得函数
至少有个零点，则
，
所以，
，解得
；
③当
时，
，作出函数
、
的图象如下图所示：
由图可知，函数
的零点个数为，合乎题意；
④当
时，设函数
的两个零点分别为
、
，
要使得函数
至少有个零点，则
，
可得
，解得
，此时
.
综上所述，实数
的取值范围是
.
故答案为：
.
