文档文本内容
2.7 对数运算与对数函数的图像与性质
目录
01 课标要求...........................................................................................................................................2
02 落实主干知识...................................................................................................................................3
一、对数运算........................................................................................................................................3
二、对数函数的图像与性质................................................................................................................3
常用二级结论........................................................................................................................................4
03 探究核心题型...................................................................................................................................5
题型一：对数运算................................................................................................................................5
题型二：对数运算的实际应用............................................................................................................6
题型三：对数函数的概念与图象........................................................................................................9
题型四：对数式大小比拼..................................................................................................................13
题型五：解简单的对数方程或不等式..............................................................................................15
题型六：对数函数性质的综合应用..................................................................................................17
题型七：对数型糖水不等式..............................................................................................................22
题型八：恒成立与有解问题..............................................................................................................24
题型九：利用反函数的性质求解......................................................................................................28
04 好题赏析（一题多解）.................................................................................................................33
05 数学思想方法.................................................................................................................................36
①数形结合..........................................................................................................................................36
②转化与化归......................................................................................................................................38
③分类讨论..........................................................................................................................................39
06 课时精练（真题、模拟题）.........................................................................................................42
基础过关篇..........................................................................................................................................42
能力拓展篇..........................................................................................................................................51
1、理解
数的概念及运算性
，能用
底公式将一般
数
化成自然
数或常用
数
对
质
换
对
转
对
对
.
2、掌握
数运算在
中的
用
对
实际问题
应
.
3、通
例，了解
数函数的概念，会画
数函数的
象，理解
数函数的
性与特殊点
过实
对
对
图
对
单调
.
4、了解指数函数
与
数函数
对
互
反函数
为
.
一、对数运算
1、如果
（
，且
），那么数
叫做以
为底
的对数，记作
．
2、
（
，且
）．
①
；②
；③
；④
．
3、对数的运算性质(
，且
，
，
)：若
，则
.（两边取对数）
（1）
；
（2）
；
（3）
．
4、换底公式：
；(其中，
，且
，
，且
)
推论：①
；②
；③
．
二、对数函数的图像与性质
1、对数函数的概念：函数
（
，且
）叫做对数函数，其中
是自变量.
2、图像与性质
图象
定义域
值域
R
过定点
奇偶性
非奇非偶
单调性
在
上是增函数
在
上是减函数
变化对图像
在第一象限内，
越大图象越靠低；
的影响
在第四象限内，
越大图象越靠高．
常用二级结论
1、底数变化与图象变化的规律
在同一坐标系内，当
时，随
的增大，对数函数的图象愈靠近
轴；当
时，对数函数的
图象随
的增大而远离
轴．
y
x
1
1
a增大
a增大
x
x
x
x
a4
a3
a2
a1
log
log
log
log
O
2、与对数函数有关的奇函数
奇函数：①
，更一般地，
②
，更一般地，
3、设函数
，记
．
①若
的定义域为
，即
恒成立，则
或
②若
的值域为
，即
取遍一切正实数，则
或
题型一：对数运算
【例1】（2025·江西萍乡·三模）已知
，则
.
【答案】
【解析】依题意，
，故
.
故答案为：
.
【解题总结】
解决对数运算问题的常用方法
(1)将真数化为底数的指数幂的形式进行化简.
(2)将同底对数的和、差、倍合并.
(3)利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用
及变形应用.
【变式1-1】若等比数列
中的
，
是方程
的两个根，则
．
【答案】
/
【解析】由题意得
．
因为
，
，…，
，
，
所以
．
因为
，所以
，
则
．
故答案为：
.
【变式1-2】已知
且
，若
，则
.
【答案】10
【解析】由
得
且
，
，
所以
，即
.
故答案为：
【变式1-3】（2025·高三·上海静安·期中）已知
，则
．（请用含
的代数式表达）
【答案】
【解析】由题意得，
.
故答案为：
.
【变式1-4】（2025·广东深圳·三模）已知实数
，且满足
，则
．
【答案】2
【解析】设
，则
，因为
，所以
.
由
或
（舍去）.
所以
.
故答案为：2
题型二：对数运算的实际应用
【例2】（2025·福建泉州·一模）如图，假定两点
以相同的初速度运动．点
沿射线
做匀速运动，
；点
沿线段
（长度为
单位）运动，它在任何一点的速度值等于它尚未经过的距离
．
令
与
同时分别从
出发，则数学家纳皮尔定义
为
的对数中，
与
的对应关系就是
，
其中e 为自然对数的底．若点
从线段
的中点运动到靠近
的四等分点，点
同时从
运动到
，则
．
【答案】
/0.5
【解析】令
，则
，整理得
，即
，
令
，则
，整理得
，即
，
所以
.
故答案为：
.
【解题总结】
利用对数运算解决实际问题时认清所给函数模型、变量、参数，利用待定系数法确定参
数的值，然后解决问题.
【变式2-1】人们通常以分贝（符号是dB）为单位来表示声音强度的等级，其中0dB 是人能听到的等级最
低的声音，一般地，如果强度为x 的声音对应的等级为
，则有
，给出下列四个
结论：
①等级为0dB 的声音的强度为
；
②函数
在定义域上是增函数；
③等级为80dB 的声音与70dB 的声音强度之比是10；
④等级为60dB 的声音与90dB 的声音强度之比是1000.
其中所有正确结论的序号是 .
【答案】①②③
【解析】对于①，由
即
，可得
，
因此等级为0dB 的声音强度为
，故①正确；
对于②，令
，则
，易知
和
在
上单调递增，
由复合函数的单调性可知
在定义域上是增函数，故②正确；
对于③，设
，则
，解得
．
设
，同理可得
．
因此所求两种等级声音的强度之比为
，故③正确；
对于④，设
，则
，解得
．
设
，同理可得
．
因此所求两种等级声音的强度之比为
，故④错误.
故答案为：①②③.
【变式2-2】（2025·云南昆明·模拟预测）根据统计数据可将某池塘里浮萍的面积
单位：
与时间
单
位：月的关系近似表示为如图所示函数关系，已知第1 个月时，浮萍面积为
，第5 个月时，浮萍面积
就会超过
，下列函数模型：①
，②
，③
，④
中，最符合浮萍面积y 与时间t 关系的模型是 填写序号，若浮萍蔓延到
，所经过的时间
.
【答案】 ③
【解析】
为线性增长，
的增长速度会逐渐变慢，
由图象可知，模型①④不符合，
将
，
代入模型②③，得
，
，即模型②
，模型③
，
当
时，模型②，
不符合，
当
时，模型③，
，选模型③；
由
，解得
故答案为：③；
【变式2-3】研究发现，某昆虫释放信息素t 秒后，在距释放处x 米的地方测得的信息素浓度y 满足
，其中
为非零常数；已知释放1 秒后，在距释放处2 米的地方测得信息素浓度为
m，则释放信息素4 秒后，距释放处的 米的位置，信息素浓度为
.
【答案】4
【解析】因为释放1 秒后，在距释放处2 米的地方测得信息素浓度为m，
所以
，所以
，即
当
时，
，
整理得
即
，
所以
，因为
，所以
.
故答案为:4.
【变式2-4】2021 年10 月16 日0 时23 分，搭载神舟十三号载人飞船的长征二号F 遥十三运载火箭，在酒
泉卫星发射中心点火升空.约582 秒后，载人飞船与火箭成功分离，进入预定轨道，发射取得圆满成功.此次
航天飞行任务中，火箭起到了非常重要的作用.火箭质量是箭体质量与燃料质量的和，在不考虑空气阻力的
条件下，燃料质量不同的火箭的最大速度之差与火箭质量的自然对数之差成正比.已知某火箭的箭体质量为
mkg，当燃料质量为mkg 时，该火箭的最大速度为2ln2km/s，当燃料质量为
时，该火箭最大速
度为2km/s.若该火箭最大速度达到第一宇宙速度7.9km/s，则燃料质量是箭体质量的 倍.（参考数据：
）
【答案】51
【解析】设燃料质量不同的火箭的最大速度之差与火箭质量的自然对数之差成正比的比例系数为k，
则
，
解得
，
设当该火箭最大速度达到第一宇宙速度7.9km/s 时，燃料质量是箭体质量的a 倍，
则
，得
，
则燃料质量是箭体质量的51 倍
故答案为：51.
题型三：对数函数的概念与图象
【例3】（2025·海南·模拟预测）若函数
的值域为
，则实数
的取值范围是（
）
A．
B．
C．（0，1）
D．
【答案】B
【解析】当
时，
的值域为
，
所以要使
的值域为
，当
时，
的值域需取到
的所有值.
若
，则
的值域为
，
所以只须
，解得
，
所以当
时，
的值域为
；
若
，则
的值域为
，
此时
的值域不可能取到
的所有值，
综上，实数
的取值范围是
.
故选：B
【解题总结】
对数函数图象的识别及应用方法
(1)在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交
点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项.
(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解.
【变式3-1】已知函数
，且
的图象恒过点
，则
（ ）
A．
B．
C．1
D．2
【答案】B
【解析】令
，解得
，又
，
所以函数
，且
）的图象恒过点
，
即
，所以
．
故选：B．
【变式3-2】已知函数
在
上单调递增，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】设
，由题意知
，可得
，
由
在
上单调递增，可得
在
上单调递减，
又
在
上单调递减，所以
，解得
或
，
故则
的取值范围是
.
故选：C.
【变式3-3】（2025·高三·重庆荣昌·开学考试）已知函数
，若
在
存
在最小值，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】当
时，
单调递增，所以当
时，
有最小值
，
当
时，
单调递减，所以
，无最小值，
因为
在
存在最小值，所以
，
令
，因为
和
在
上均单调递增，
所以
在
上均单调递增，又因为
，
所以当
时，
，即
成立，
所以
的解集为
.
故选：D.
【变式3-4】（2025·全国·模拟预测）已知函数
在区间
上有最大值或最小值，
则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】要使函数
在区间
上有最大值或最小值，
由于
开口向上，
故需函数
在区间
上有最小值，且
．
该函数图像的对称轴为直线
，所以
，
解得
，
所以
，且
，即实数
的取值范围为
．
故选：B．
【变式3-5】若函数
在
上的最大值是2，则
的值为（ ）．
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】令
，则
，
故当
时，
在
上取得最小值为
，
又因为函数
在
上的最大值是2，
所以
且
，即
，解得
．
故选：C.
【变式3-6】若不等式
（
，且
）在
内恒成立，则实数
的取值范围为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】若
，此时
，
，而
，故
无解；
若
，此时
，
，而
，
令
，
，画出两函数图象，如下：
故要想
在
内恒成立，则要
，
解得：
．
故选：B．
题型四：对数式大小比拼
【例4】（多选题）（2025·安徽六安·模拟预测）已知
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABD
【解析】对于A，
，因
，则
，故A 正确；
对于B，由
，
，可得
，则
，故
，故B 正确；
对于C，由B 项可得
，则
，故C 错误；
对于D，因
，故D 正确.
故选：ABD.
【解题总结】
【变式4-1】（多选题）（2025·河南鹤壁·二模）设
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AC
【解析】因为
，所以
，所以
，
因为
，
，所以
，所以选项B、D 错误，
A、C 正确.
故选：AC.
【变式4-2】（多选题）若
，则下列结论正确的有（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AD
【解析】先证明结论：对任意
，
，有
；
证明如下：因为
，所以
为减函数，
所以
，即
，
设
，即
，则
为减函数，
所以
，即
，
从而
，也就是
，
当
时，可得
，A 正确，B 错误；
应用上面的结论可得：
，故D 正确，C 错误.
故选：AD
【变式4-3】（多选题）已知正数
满足
，则下列不等关系正确的有（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ACD
【解析】令
，则
，
，
，
.
A 选项：
，故A 正确；
B 选项：
，故B 错误；
C 选项：
，故
；
，故
；从而
，
故C 正确；
D 选项：由A 知
，则
，故D 正确.
故选：ACD.
【变式4-4】（多选题）若
，
，则下列选项正确的有（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BC
【解析】对于选项A，
，又易知
在
上单调递增，所以
，故选项A 错误，
对于选项B，因为
，
，则
，
，
又
，
，
所以
，故选项B 正确，
对于选项C，易知
，
，所以
，故选项C 正确，
对于选项D，由选项C 知
，
，所以
，故选项D 错误，
故选：BC.
题型五：解简单的对数方程或不等式
【例5】（2025·江苏苏州·模拟预测）已知函数
则不等式
的解
集为 .
【答案】
【解析】由函数
，
当
时，可得
且
，则
此时不等式
，即为
，
即
，
令
，可得函数
在
上为单调递增函数，
且
，所以
，所以
的解集为
；
当
时，不等式
，即为
，此时不等式不成立，舍去；
当
时，可得
且
，则
此时不等式
，可得
，
令
，可得函数
在
上为单调递减函数，
且
，所以
，所以
的解集为
，
综上可得，不等式
的解集为
.
故答案为：
.
【解题总结】
【变式5-1】（2025·福建宁德·三模）设函数
，则满足
的
的取值范围是 .
【答案】
【解析】由
可得
，
则
，解得
，所以定义域为
，
当
时，
，
由
可得
，即
，无解；
当
时，
，
由
可得
，即
，
即
，解得
，
又
，所以
，
即不等式的解集为
.
故答案为：
【变式5-2】不等式
的解集为 ．
【答案】
【解析】由
，得
，
所以
，即
，
所以不等式
的解集为
．
故答案为：
.
【变式5-3】（2025·湖南邵阳·三模）已知减函数
（
，且
）的图象过点
，且
，
分别是方程
的两个实数根，则
的值为 ．
【答案】4
【解析】由方程
，解得：
或
，
解得
或
，
当
，
时，
，得
，此时函数为增函数，故舍去；
当
，
时，
，又
，得
，此时
,
故答案为： 4
【变式5-4】已知
分别是方程
与
的实数解，则
的值为 ．
【答案】10
【解析】由
可得
，由
可得
，
不妨记
，
依题意，
为
与
的交点
的横坐标，
为
与
的交点
的横坐标，作出这些函数的图象如下：
因函数
与
是一对反函数，图象关于直线
对称，
而直线
与直线
垂直，故也关于直线
对称，
则点
与点
也关于直线
对称，
故得
，化简得：
，即
.
故答案为：10.
题型六：对数函数性质的综合应用
【例6】（2025·上海·三模）设
且
，已知函数
．
(1)判断
是否为偶函数，并说明理由；
(2)令函数
，解关于
的不等式
．
【解析】（1）
是偶函数.
理由如下：
因为
，
且
，即定义域为
，定义域关于原点对称.
，
是偶函数.
（2）
为偶函数，
令
.
当
时，
在
上单调递增，
在区间
上单调递减，
由
，得
且
，解得
.
当
时，
在
上单调递减，
在区间
上单调递增，
由
，得
且
，解得
.
综上所述：当
时，不等式的解集为
；
当
时，不等式的解集为
.
【解题总结】
求与对数函数有关的函数值域和复合函数的单调性问题，必须弄清三个问题：一是定义
域；二是底数与1 的大小关系；三是复合函数的构成.
【变式6-1】（2025·江苏苏州·三模）已知函数
．
(1)若
，解关于
的不等式
；
(2)证明：关于
的方程
有且仅有一个实根；
(3)证明：
的充要条件是
．
【解析】（1）
，令
．
因为
和
均单调递增，所以易得
单调递增．
因为
，所以
，等价于
，所以
．
（2）令
．
由
，可得
，
当
时，
，当
时，
，
则
在
上单调递减，在
上单调递增．
（ⅰ）当
时，
，
因为
，所以
．
令
，显然
单调递增，且
，
，
所以
在
上有唯一解，即
有唯一实根．
（ⅱ）当
时，
．
令
，因为
，所以
在
上单调递增，
所以
，即
，所以
，
所以
，所以
无解．
综上所述，
有唯一实根．
（3）先证必要性：因为
，所以
，即
，
因为
单调递增，所以
．
再证充分性：因为
，所以
，即
．
综上所述，命题得证．
【变式6-2】（2025·上海宝山·三模）已知
，函数
.
(1)若
，求函数
的表达式及定义域；
(2)若关于
的方程
的解集中恰好只有一个元素，求实数
的取值范围.
【解析】（1）
，令
，
则
因为
，所以
，又
得，解得
或
，
则函数
的定义域为
；
（2）由（1）得
方程
，
即
可转化为
，且
①当
即
时，
，符合题意；
②当
即
时，
（i）当
时，
符合题意
（ii）当
时，
且
时，要满足题意，则有
或
无解
综上可得，
的取值范围
.
【变式6-3】已知
.
(1)当
时，方程
恰有一个解，求
的取值范围；
(2)当
时，解不等式
；
(3)当
时，已知函数
在
上至少有3 个零点，请求出
的取值范围.
【解析】（1）
时，
，
画出函数图象，如下：
数形结合可得：
或
；
（2）
，
由于
，故
，
，即
，
变形为
，
即
，
故
解得
，故
，
又
，故
，
所以原不等式的解集为
；
（3）令
，即
，故
，
当
时，
在
上至少有3 个零点，
故
在
上至少有3 个根，
因为
，所以
在
上单调递增，
故当
时，
，
又
开口向上，对称轴为
，
且
时，
，
时，
，
所以
在
上单调递增，
则
，
因为
，
当
时，
，故
无解，
令
，由
，得
，
解得
或
，而
，
由于
在R 上至少有3 个零点，
只需
，又
，
解得
，此时
，故
至少对应一个根，满足要求，
当
时，解得
，负值舍去，
此时
对应一个根，
，
对应两个根，
从而
有3 个根，符合题意，
因此
.
所以
的取值范围是
.
题型七：对数型糖水不等式
【例7】已知
则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】因为
，所以
，
因为
，
所以
，则
，
所以
；
因为
，
所以
，则
，
所以
；
综上，
.
故选：A.
【解题总结】
设
，
，则有
.
上式的倒数形式：设
，
，则有
.
【变式7-1】设
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】依题意，
，
，
，
所以
.
故选：D
【变式7-2】关于下列两个命题的正确的判断是（ ）
甲：
；
乙：
.
A．甲乙都成立
B．仅甲成立
C．仅乙成立
D．甲乙都不成立
【答案】D
【解析】构造函数
，则
在
上单
调递减，
所以
所以
所以
构造函数
则
令
可得
，当
时，
在
上单调递减，所以
即
所以
所以
又因为
为增函数，所以
故选：D.
【变式7-3】设
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】①因为
，而
，所以
．
② 因为
，则
，即
，即
，
因为
，则
，即
，即
，
故
．
③ 因为
，则
，即
，即
，
因为
，则
，即
，即
，
所以
，
故
．
故选：A.
【变式7-4】已知
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
，所以
，
又
，
所以
.
故选：A
题型八：恒成立与有解问题
【例8】已知函数
，
，
，
；
(1)当
时，求函数
的值域；
(2)当
时，
恒成立，求
的取值范围；
(3)若存在
，使得不等式
对任意
，
恒成立，求
的取值范围.
【解析】（1）当
时，
，且
在
上单调递增，
又
在
上单调递减，在
上单调递增，
故
在
上单调递减，在
上单调递增，
因为
，
，
，
所以
（2）令
，因为
，所以
，
依题意可得
在
上恒成立，
即
在
上恒成立，
又函数
在
上单调递增，
所以当
时
，
所以
.
（3）由（1）知，
在
上的最大值为
，
所以
对任意
，
恒成立，即
，
令
，
，
①
，即
时，
在
上单调递增，
所以
，
所以
，所以
；
②
，即
时，
在
上单调递减，在
上单调递增，
所以
，
所以
，所以
；
③
，即
时，
在
上单调递减，在
上单调递增，
所以
，
所以
，所以
；
④
，即
时，
在
上单调递减，
所以
，
所以
，所以
综上可得，
的取值范围为
.
【解题总结】
分离参数
【变式8-1】已知函数
的图象与函数
的图象关于直线
对称．
(1)求函数
的解析式；
(2)若
．
（i）求
的值域；
（ii）若对于
，使得
恒成立，求所有满足条件的
的取值范围．
【解析】（1）由题意知，
与
互为反函数．
将
替换为
，
替换为
得：
，即
，
所以
．
（2）（i）对于
，
由
，
，则
，
，
所以
的值域为
．
（ii）∵
，使得
恒成立，
∴
．
即
在
上恒成立，得：
在
上恒成立，
参变分离得：
．
∵
在
上单调递增，∴
．∴
，
∴
的取值范围为
．
【变式8-2】已知
是偶函数，
，且
在
上单调递增．
(1)比较
与2 的大小；
(2)求不等式
的解集；
(3)若函数
，且
，且不等式
在
上恒成立，求
的取值范围．
【解析】（1）因为
是偶函数，所以
．
又
在
上单调递增，所以
在
上单调递减，
则
，即
．
（2）由
，得
，
得
，解得
或
，
即不等式
的解集为
．
（3）当
时，
在
上单调递减，
在
值域为
，所以不等式
不恒
成立．
当
时，
在
上单调递减，
在
上单调递增，
要使不等式
在
上恒成立，则
，得
，得
，即
．
综上，
的取值范围为
．
【变式8-3】已知
，函数
的最大值为4，最小值为0.
(1)求
的值
(2)若不等式
在
上有解，求实数
的取值范围.
【解析】（1）
，
由
得
，
，
又a＞0，因此
的最大值为
，
最小值为
，解得
．
（2）
，
又
，
，
而
在
上单调递减，在
上单调递增．
因为
，
，所以
．
由不等式
在
上有解，
得：
．
因此，
的取值范围是
．
题型九：利用反函数的性质求解
【例9】（2025·吉林·三模）已知正实数
满足
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】设
，则
，
当
时，
，当
时，
，
故
在
上递增，在
上递减，故
，
所以
，故
，故
，
故
的图像在
的下方.
∵
∴
，
如图，
为函数
与函数
图象交点
的横坐标，
为函数
与函数
图象交点
的横坐标，
为函数
与函数
图象交点
的横坐标，
由图知，
，而
，
由
为增函数得
，故
，故A，B 选项错误.
由
得，
．
∵
与
的图象关于直线
对称，
∴点
和
关于
对称，且
，
，
∴
且
，
∴
，故C 选项错误.
∵
，∴
，故D 选项正确．
故选：D.
【解题总结】
利用反函数的性质求解
【变式9-1】（2025·高三·广东广州·开学考试）已知函数
，
，若
，
则下列各式成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由题可得
，即
，
在同一坐标系中分别绘出函数
，
，
的图象，
由
，可知
，由
，可得
，
联立
，解得
，
因为函数
与
互为反函数，所以由反函数性质知
、
关于对称，
则
，
，且
，
，
对于A，
，故A 错误；
对于B，由
，
，
则
，故B 正确；
对于C，因为
，故C 错误；
对于D，
，故D 错误.
故选：B.
【变式9-2】已知函数
，若存在
使得
，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】设
的反函数为
，由
可得
，
所以题干等价为
与
的图象在区间
有交点，
因为
与
的图象关于直线
对称，
所以两函数图象交点必在
上，
故
图象与直线
在区间
有交点，
则
在区间
有解，则
，
令
，则
，
则
在区间
单调递增，又
，
则
的取值范围为
．
故选：D
【变式9-3】已知函数
，若
有且只有两个不等根，则
的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】方程
可化为：
，
也即
有且只有两个不同交点，
又
与
互为反函数，图象关于
对称，
也即要使
有且只有两个不同交点，
只需
与
有两个不同交点，有两函数的图象结构可知
才有可能，
下面先求
取何值，
与
的图象相切，
设切点坐标为
，可得
，解得：
也即当
即
与
的图象相切.（如下图）
结合图象可知当
有两个交点.
所以
的取值范围是
，
故选：C
【变式9-4】（2025·四川绵阳·模拟预测）已知函数
方程
有两个不同的根，分别是
则
（ ）
A．
B．3
C．6
D．9
【答案】B
【解析】由题意得：
为R 上的增函数，且
当
时，
，
，
当
时，
，
，
方程
有两个不同的根等价于函数
与
的图象有两个交点，
作出函数
与
的图象如下图所示：
由图可知
与
图象关于
对称，
则
两点关于
对称，中点
在
图象上，
由
，解得：
.
所以
.
故选：B
【变式9-5】（2025·广东佛山·模拟预测）已知
，
分别是关于
的方程
，
的根，
则下面为定值2023 的是（ ）
A．
B．
C．
D．
E．均不是
【答案】C
【解析】由已知条件可知，
，
，
令
，
，
，
如图所示，
曲线
与曲线
关于直线
对称，曲线
关于直线
对称，
设曲线
分别与曲线
，
交于点
，
，
则点
，
关于直线
对称，
而点
关于直线
对称的点为
，即为点
，
则
，即
.
故选：C.
1．已知
，
.设
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】（方法一）因为
，所以
，所以
，即
.
因为
，所以
，所以
，即
，所以
.
（方法二）因为
，所以
，所以
，即
.
因为
，所以
，所以
，即
，所以
.
（方法三）因为
，
，即
，
，又因为
，
，
所以
，即
，
，
的大小比较可参考方法一、二.
所以
.
故选：B.
2．（2025·广东·一模）已知曲线
与曲线
只有一个公共点，则
（ ）
A．
B．1
C．e
D．
【答案】B
【解析】方法一：由已知曲线
与曲线
只有一个公共点，
方程
只有一个实数解，而
，则只考虑
，
即
，令
，则
，
而
在
单调递增，且
，
所以
时，
单调递减，
时，
单调递增，
而
时，
；
时，
，
所以
．
方法二：由已知曲线
与曲线
只有一个公共点，
则曲线
与曲线
只有一个公切点，设其坐标为
，
根据函数
的图像与函数
的图像之间的关系，
所以有
，
即
，所以
，
设
，则
在
单调递减，而
，
所以
，所以
．
方法三：由于函数
的反函数为
，两函数关于
对称，
由于
，令
，则
，即函数
与函数
相切于点
，
同理，
，令
，即函数
． 与函数
也相切于点
，
于是函数
与函数
相切于点
，由选项可知，
．
故选：B.
3．若
，则
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】解法一：令
，因为
在
上单调递增，
在
上单调递
增，
所以
在
上单调递增．又
，
所以
，所以
故选B．
解法二：由
，取
，得
令
，
则
在
上单调递增，且
，
，所以
，
在
上存在唯一的零点，所以
，故
，
都不成立，排除A，
取
，得
令
，则
在
上单调递增，且
，
，所以
，
在
上存在唯一的零点，所以
，故
不成立，排除
故选
①数形结合
1．设函数
则满足
的x 的取值范围是
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】作出函数
的图像如图所示，
要使
，
则
或
即
或
因此
故选：
2．已知
，则下列不正确的是
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】因为
，
所以
，
，
所以a，b 分别是
，
与
图象交点的横坐标，
因为
，
的图象关于直线
对称，
也关于直线
对称，
所以两交点
，
关于直线
对称，
所以
，
，所以
，故A 正确；
因为
，
，所以
，故B 正确，D 不正确；
因为
，所以
，故C 正确．
故选：
3．若
，则a，b，c 的大小关系为
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】因为
，而当
时，
，当
时，
，
所以
，
因为
，而当
时，
，所以
，
因为
，而当
时，
，所以
，
由
，得
，
，
所以b 为
和
图象交点的横坐标，c 为
和
图象交点的横坐标，
在同一个平面直角坐标系作出
，
和
的图象，如图所示，
由图可得
综上
，
故选：
②转化与化归
4．已知
，
，则
（ ）
A．10
B．8
C．6
D．4
【答案】B
【解析】由题可知：
，
，
因为
与
互为反函数，它们的图象关于直线
对称，
点
为
的图象与直线
的交点，
点
为
的图象与直线
的交点，
这两点也关于直线
对称，所以
，
所以
故选：
5．已知函数
在区间
上单调递减，则实数a 的取值范围为
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
在区间
上单调递减，
令
，而函数
在定义域内单调递增，
在区间
上单调递减，且
，都有
恒成立，
，
故选：
6 ．已知函数
则满足
的实数a 的取值范围为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】当x
时，
，
，所以
x 在
上单调递增；
当x
时，
x
，
x
，
所以
x 在
上单调递减，
若
，则
，
故
，
所以
的图象关于
对称，
对于
，则
，可得
，
所以
故选：
③分类讨论
7．若不等式
在
上有解，则a 的取值范围是
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】因为
有解，
令
，
，
则在
时，存在
的图像在
的图像的上方，
当
时，由基本函数图像可知，
在
时恒成立；
当
时，
是减函数，
是增函数，
由图象特征可知
，
解得
故选
8．已知
，且
，则函数
的图象一定经过
A．一、二象限
B．一、三象限
C．二、四象限
D．三、四象限
【答案】D
【解析】当
时，
，可得函数
的图象单调递增，且过第一、三、四象限，
由
时，
， 可得函数
的图象单调递减，且过第二、三、四象限，
故选
9．若函数
的定义域为R，则实数m 取值范围是
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由题意，函数
的定义域为一切实数，
等价于
在R 上恒成立，
若
，则
在R 上恒成立，满足条件；
若
，则满足
，即
，解得
综上，实数m 的取值范围是
故选
基础过关篇
1．（2024 年北京高考数学真题）已知
，
是函数
的图象上两个不同的点，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由题意不妨设
，因为函数
是增函数，所以
，即
，
对于选项AB：可得
，即
，
根据函数
是增函数，所以
，故B 正确，A 错误；
对于选项D：例如
，则
，
可得
，即
，故D 错误；
对于选项C：例如
，则
，
可得
，即
，故C 错误，
故选：B.
2．（2024 年北京高考数学真题）生物丰富度指数
是河流水质的一个评价指标，其中
分别表
示河流中的生物种类数与生物个体总数.生物丰富度指数d 越大，水质越好．如果某河流治理前后的生物种
类数没有变化，生物个体总数由
变为
，生物丰富度指数由
提高到
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由题意得
，则
，即
，所以
.
故选：D.
3．（2024 年新课标全国Ⅱ卷数学真题）设函数
，若
，则
的最小值为
（ ）
A．
B．
C．
D．1
【答案】C
【解析】解法一：由题意可知：
的定义域为
，
令
解得
；令
解得
；
若
，当
时，可知
，
此时
，不合题意；
若
，当
时，可知
，
此时
，不合题意；
若
，当
时，可知
，此时
；
当
时，可知
，此时
；
可知若
，符合题意；
若
，当
时，可知
，
此时
，不合题意；
综上所述：
，即
，
则
，当且仅当
时，等号成立，
所以
的最小值为
；
解法二：由题意可知：
的定义域为
，
令
解得
；令
解得
；
则当
时，
，故
，所以
；
时，
，故
，所以
；
故
， 则
，
当且仅当
时，等号成立，
所以
的最小值为
.
故选：C.
4．（2022 年新高考天津数学高考真题）化简
（ ）
A．1
B．
C．2
D．
【答案】C
【解析】原式
，
故选：C
5．（2022 年新高考天津数学高考真题）设
，
，
，则
的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】因为
，故
.
故选：D.
6．（2022 年新高考浙江数学高考真题）已知
，则
（ ）
A．25
B．5
C．
D．
【答案】C
【解析】因为
，
，即
，所以
．
故选：C.
7．（2022 年新高考北京数学高考真题）在北京冬奥会上，国家速滑馆“冰丝带”使用高效环保的二氧化
碳跨临界直冷制冰技术，为实现绿色冬奥作出了贡献．如图描述了一定条件下二氧化碳所处的状态与T 和
的关系，其中T 表示温度，单位是K；P 表示压强，单位是
．下列结论中正确的是（ ）
A．当
，
时，二氧化碳处于液态
B．当
，
时，二氧化碳处于气态
C．当
，
时，二氧化碳处于超临界状态
D．当
，
时，二氧化碳处于超临界状态
【答案】D
【解析】当
，
时，
，此时二氧化碳处于固态，故A 错误.
当
，
时，
，此时二氧化碳处于液态，故B 错误.
当
，
时，
与4 非常接近，故此时二氧化碳处于固态，对应的是非超临界状态，故C 错
误.
当
，
时，因
, 故此时二氧化碳处于超临界状态，故D 正确.
8．（多选题）（2023 年新课标全国Ⅰ卷数学真题）噪声污染问题越来越受到重视．用声压级来度量声音
的强弱，定义声压级
，其中常数
是听觉下限阈值，
是实际声压．下表为不同声
源的声压级：
声源
与声源的距离
声压级
燃油汽车
10
混合动力汽
车
10
电动汽车
10
40
已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车
处测得实际声压分别为
，则（ ）．
A．
B．
C．
D．
【答案】ACD
【解析】由题意可知：
，
对于选项A：可得
，
因为
，则
，即
，
所以
且
，可得
，故A 正确；
对于选项B：可得
，
因为
，则
，即
，
所以
且
，可得
，
当且仅当
时，等号成立，故B 错误；
对于选项C：因为
，即
，
可得
，即
，故C 正确；
对于选项D：由选项A 可知：
，
且
，则
，
即
，可得
，且
，所以
，故D 正确；
故选：ACD.
9．（2024 年高考全国甲卷数学（理）真题）已知
且
，则
．
【答案】64
【解析】由题
，整理得
，
或
，又
，
所以
，故
故答案为：64.
10．（2023 年北京高考数学真题）已知函数
，则
．
【答案】1
【解析】函数
，所以
.
故答案为：1
11．（2025·安徽合肥·模拟预测）放射性物质是指那些能自然地向外界辐射能量，发出射线的物质.在一个
给定的单位时间内，放射性物质的质量会按某个衰减率衰减.一般是用放射性物质质量衰减一半所用的时间
来描述其衰减情况，这个时间被称为半衰期.考古学中常利用生物标本中的碳
元素稳定持续衰减的现象测
定遗址的年代.已知碳
的半衰期为
年.现在实验室测定某遗址内动物标本中碳
含量为正常大气中碳
含量的
.则该遗址大约距今（ ）（
）
A．
年
B．
年
C．
年
D．
年
【答案】C
【解析】不妨设动物标本中碳
含量初始值是个单位，
则经过年动物标本中碳
含量为
，
令
，则
年.
故选：C.
12．（2025·陕西汉中·三模）声音的强弱可以用声波的能流密度来计算，叫做声强.通常人耳能听到声音的
最小声强为
（瓦/平方米）.在某特殊介质的实验中对于一个声音的声强
，用声强
与
比值的常
用对数来表示声强
的“声强级数
”，即
，则“声强级数8”的声强是“声强级数6”的声强的
（ ）
A．2 倍
B．20 倍
C．100 倍
D．1000 倍
【答案】C
【解析】当
时，代入声强级数公式可得
.
可将上式变形为
.
那么
，解得
.
当
时，代入声强级数公式可得
.
则
，可得
，解得
.
.
故“声强级数”的声强是“声强级数
”的声强的100 倍.
故选：C.
13．（2025·广东·模拟预测）实数
满足：
，且
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
，
令
，则
，
，
.
令
得
；令
得
，
∴函数
在
上单调递减，在
上单调递增.
又
，∴
，即
，解得
.
故选：D.
14．（2025·江苏苏州·模拟预测）对数
的第一位小数的值为（ ）
A．4
B．5
C．6
D．7
【答案】B
【解析】设对数
的第一位小数位
，第二位小数及以后的值为，则
，
∴
，又
，
∴
，即
，
所以
，
故选：B.
15．（2025·江西南昌·模拟预测）已知a，b 均为正数，则“
”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】由
，可得
，所以
，即
，
所以
，所以
，所以“
”是“
”的充分条件；
取
，可得
，故“
”是“
”的不必要条件；
所以“
”是“
”的充分不必要条件.
故选：A.
16．（2025·浙江绍兴·三模）已知函数
的图象与函数
的图象关于直线
对称，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】因为
关于直线
对称的点为
，则
的对称点为
，
又
在函数
的图象上，故
，解得
，
故选：
.
17．（2025·四川乐山·三模）已知
，
，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由
可得
，又因为
，
所以
，
故选：B.
18．（2025·甘肃白银·三模）若
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
，
，
所以
．
故选：D.
19．（多选题）（2025·安徽合肥·三模）已知
且
，则函数
的图象一定经
过（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【答案】AB
【解析】由
，
且
，
则
，
即函数
过点
,
当
时，函数
单调递增，过第一、二、三象限；
当
时，函数
单调递减，过第一、二、四象限．
故选：AB．
20．（多选题）（2025·安徽六安·模拟预测）已知
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABD
【解析】对于A，
，因
，则
，故A 正确；
对于B，由
，
，可得
，则
，故
，故B 正确；
对于C，由B 项可得
，则
，故C 错误；
对于D，因
，故D 正确.
故选：ABD.
21．（多选题）（2025·湖北孝感·三模）已知函数
在区间
上单调递增，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AC
【解析】
的定义域为
．
设
，可得函数
在
上单调递减，
在
上单调递增，
根据复合函数的单调性可得
，故A 正确，B 错误；
由
，可得
，
又
在
上单调递减，
则
，故C 正确，D 错误．
故选：AC．
22．（2025·湖南长沙·模拟预测）已知正实数
满足
，则
．
【答案】15
【解析】因为
，则
．
故答案为：15.
能力拓展篇
23．（2025·河南·三模）已知函数
，若存在实数b，使函数
恰有三个零点，
则a 的取值范围为 ．
【答案】
【解析】由
在
上单调递增，且值域为
，
对于
，
当
，则
，而
，此时
最多有两个零点；
当
时，则
，此时
的大致图象如下，
由
在
上单调递增，且
，结合上图，
当
，即
时，
，
恰有三个零点，
当
，即
时，
，
恰有三个零点；
当
时，
在
上单调递增，此时函数
最多有两个零点，不符题意；
综上，
.
故答案为：
24．（2025·河北·模拟预测）已知
且
，若关于x 的不等式
恰有1 个整数解，则a
的取值范围是 ．
【答案】
【解析】不等式
恰有1 个解时，
，
当
时，
，不等式
无整数解；
当
时，
，随着
的增大，函数
比
增长更快，
因此2 是不等式
的唯一整数解，则
，解得
，
所以a 的取值范围是
.
故答案为：
25．（2025·江西景德镇·模拟预测）已知函数
，若
，则
的最大值
为 .
【答案】2
【解析】函数
的定义域为
，
，
函数
在
上单调递增，
在
上单调递增，因此
在
上单调递增，
不妨设
，则
，即
，
因此
，整理得
，则
，
当且仅当
时取等号，则
，即
，
而
，解得
，从而
最大值为2，此时
，
所以
的最大值为2.
故答案为：2
26．（2025·海南·模拟预测）已知函数
在
上单调递增，则实数
的取值范围
是 ．
【答案】
【解析】令
，因为外层函数
为减函数，且原函数
在
上单调递增，
所以内层函数
在
上为减函数，
且对任意的
，
恒成立，
所以
，解得
.
因此，实数
的取值范围是
.
故答案为：
.
27．（2025·浙江宁波·模拟预测）若不等式
对任意的正整数
恒成立，则的取值
范围是 .
【答案】
【解析】原不等式
或
，
而
是正整数，于是
或
，
当
时，由
成立，得
；
当
，
时，由
成立，得
，
令
，函数
在
上都为增函数，则
是
上的增函数，
因此要使
对
，
成立，当且仅当
时成立即可，
当
时，
，于是
，
所以使不等式对任意的正整数
恒成立，的取值范围是
.
故答案为：
28．（2025·广东·模拟预测）已知
满足
，则
．
【答案】3
【解析】因为
，故
，
因为
，故
，所以
，设
则
，故
在
上为增函数，
故
，故
，且
，故
，
故答案为：3.
29．（2025·四川绵阳·一模）已知函数
，m 为正的常数，则
的零点之和为 ．
【答案】
【解析】函数
的定义域为
，
由
，得
，令函数
，
，则函数
的图象关于直线
对称，
在同一坐标系内作出直线
与函数
的图象，如图，
直线
与函数
的图象有4 个交点，令其横坐标从左到右依次为
，
观察图象得
，所以
的零点之和为
.
故答案为：
30．（2025·上海嘉定·模拟预测）已知函数
，若
，且
，则
的取值范围
是 .
【答案】
【解析】
的图象如下：
因为
且
，所以
且
，
所以
，所以
，故
，
由对勾函数
在
上单调递减，所以
，
所以
的取值范围是
.
故答案为：
31．（多选题）（2025·陕西咸阳·模拟预测）已知正数a，b 满足
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ACD
【解析】对于AB，由
得，
，
所以
，
设
，因为
和
在
上单调递增，
所以
在
上单调递增，又
，
所以
，所以A 正确，B 错误；
对于C，因为幂函数
在
上单调递减，所以
，即
，C 正确；
对于D，因为
，所以
，因为
，
所以
，
由选项AB 可知
在
上单调递增，所以
，D 正确.
故选：ACD.
