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第一章 集合与常用逻辑用语 １ １
§１．２ 常用逻辑用语
４．（２０１３陕西文，６，５分）设ｚ是复数 则下列命题中的假命题是
命题及其关系 学生用书Ｐ５ ，
∙
（ ）
１．（２０１７北京，１３，５分）能够说明 设ａ ｂ ｃ是任意实数．若ａ ｂ 若ｚ２ 则ｚ是实数
“ ， ， ＞ ＞ Ａ． ≥０，
ｃ
，
则ａ
＋
ｂ
＞
ｃ
”
是假命题的一组整数ａ
，
ｂ
，
ｃ的值依次为 ．
Ｂ．
若ｚ２
＜０，
则ｚ是虚数
１． 答案
－１，－２，－３（
答案不唯一
） Ｃ．
若ｚ是虚数
，
则ｚ２
≥０
２．（２０１８北京，１３，５分）能说明
“
若ｆ
（
ｘ
）＞
ｆ
（０）
对任意的ｘ
∈（０， Ｄ．
若ｚ是纯虚数
，
则ｚ２
＜０
２］
都成立
，
则ｆ
（
ｘ
）
在
［０，２］
上是增函数
”
为假命题的一个函数 答案 Ｃ 举反例说明
，
若ｚ
＝ｉ，
则ｚ２
＝－１＜０，
故选
Ｃ
．
是 ．
２． 答案 ｆ （ ｘ ）＝ｓｉｎ ｘ ， ｘ ∈［０，２］（ 答案不唯一 ） 充分条件与必要条件 学生用书Ｐ５
以下为教师用书专用（１—４）
１．（２０２１浙江，３，４分）已知非零向量ａ ｂ ｃ 则 ａ ｃ ｂ ｃ 是
， ， ， “ · ＝ · ”
１．（２０１５山东文，５，５分）设ｍ ∈ Ｒ ， 命题 “ 若ｍ ＞０， 则方程ｘ２ ＋ ｘ － ｍ “ ａ ＝ ｂ ” 的 （ ）
有实根 的逆否命题是
＝０ ” （ ） 充分不必要条件 必要不充分条件
Ａ． Ｂ．
Ａ．
若方程ｘ２
＋
ｘ
－
ｍ
＝０
有实根
，
则ｍ
＞０ 充分必要条件 既不充分也不必要条件
Ｃ． Ｄ．
Ｂ． 若方程ｘ２ ＋ ｘ － ｍ ＝０ 有实根 ， 则ｍ ≤０ １． 答案 Ｂ
Ｃ． 若方程ｘ２ ＋ ｘ － ｍ ＝０ 没有实根 ， 则ｍ ＞０ ２．（２０２１北京，３，４分）设函数ｆ ｘ 的定义域为 则 函数
Ｄ．
若方程ｘ２
＋
ｘ
－
ｍ
＝０
没有实根
，
则ｍ
≤０ ｆ ｘ 在 上单调递增 是
（
函
）
数ｆ ｘ 在
［０，１
上
］，
的最
“
大值
答案 Ｄ 命题
“
若ｍ
＞０，
则方程ｘ２
＋
ｘ
－
ｍ
＝０
有实根
”
的逆
为
（
ｆ
） ［０
的
，１］ ” “ （ ） ［０，１］
否命题是
“
若方程ｘ２
＋
ｘ
－
ｍ
＝０
没有实根
，
则ｍ
≤０”，
故选
Ｄ
．
充
（１
分
）”
而不必要条件 必要而不充分条件
（ ）
２．（２０１４陕西理，８，５ 分）原命题为 若 ｚ ｚ 互为共轭复数 则 Ａ． Ｂ．
ｚ ｚ 关于其逆命题 否命题 “ 逆否 １， 命 ２ 题真假性的判断 ， 依 Ｃ． 充分必要条件 Ｄ． 既不充分也不必要条件
次
｜ １
如
｜＝
下
｜ ２
正
｜”
确
，
的是
， ， ２． 答案 Ａ
， （ ） ３．（２０２０天津，２，５分）设ａ Ｒ 则 ａ 是 ａ２ ａ 的
．真 假 真 ．假 假 真 ．真 真 假 ．假 假 假 ∈ ， “ ＞１” “ ＞ ” （ ）
Ａ ， ， Ｂ ， ， Ｃ ， ， Ｄ ， ， 充分不必要条件 必要不充分条件
答案 Ｂ 先证原命题为真 当ｚ ｚ 互为共轭复数时 设ｚ Ａ． Ｂ．
： １， ２ ， １ 充要条件 既不充分也不必要条件
Ｃ． Ｄ．
ａ ｂ ａ ｂ Ｒ 则ｚ ａ ｂ 则 ｚ ｚ ａ２ ｂ２ 原命 ３． 答案 Ａ
＝ ＋ ｉ（ ， ∈ ）， ２＝ － ｉ， ｜ １｜＝｜ ２｜＝ ＋ ，∴
题为真 故其逆否命题为真 再证其逆命题为假 取ｚ ｚ ４．（２０２０浙江，６，４分）已知空间中不过同一点的三条直线ｌ ｍ
， ； ： １＝１， ２＝ ， ，
ｉ， 满足 ｜ ｚ １｜＝｜ ｚ ２｜， 但是ｚ １， ｚ ２ 不互为共轭复数 ，∴ 其逆命题为 ｎ． “ ｌ ， ｍ ， ｎ共面 ” 是 “ ｌ ， ｍ ， ｎ两两相交 ” 的 （ ）
假 故其否命题也为假．故选 ． 充分不必要条件 必要不充分条件
， Ｂ Ａ． Ｂ．
３．（２０１３天津理，４，５分）已知下列三个命题
充分必要条件 既不充分也不必要条件
：
Ｃ． Ｄ．
若一个球的半径缩小到原来的１ 则其体积缩小到原来的１ ４． 答案 Ｂ
① ， ；
２ ８ ５．（２０２０北京，９，４分）已知α β Ｒ 则 存在ｋ Ｚ使得α ｋ
若两组数据的平均数相等 则它们的标准差也相等 ， ∈ ， “ ∈ ＝ π＋
② ， ； ｋβ 是 α β 的
（－１） ” “ｓｉｎ ＝ｓｉｎ ” （ ）
③
直线ｘ
＋
ｙ
＋１＝０
与圆ｘ２
＋
ｙ２
＝
１ 相切．
Ａ．
充分而不必要条件
Ｂ．
必要而不充分条件
２ 充分必要条件 既不充分也不必要条件
其中真命题的序号是 Ｃ． Ｄ．
（ ） ５． 答案 Ｃ
Ａ．① 答 ② 案 ③ Ｃ 对 Ｂ 于 ．① 命 ② 题 设原 Ｃ 球 ．① 的 ③ 半径和体积 Ｄ． 分 ② 别 ③ 为ｒ Ｖ 变 ６．（２０１９北京理，７，５分）设点Ａ ， Ｂ ， Ｃ不共线 ， 则 “ →ＡＢ与→ＡＣ的夹角
①， ， ，
为锐角 是 →ＡＢ →ＡＣ Ｂ→Ｃ 的
化后的球的半径和体积分别为ｒ′ Ｖ′ 则ｒ′ １ ｒ 由球的体积公 ” “｜ ＋ ｜＞｜ ｜” （ ）
， ， ＝ ， 充分而不必要条件 必要而不充分条件
２ Ａ． Ｂ．
( )
３ 充分必要条件 既不充分也不必要条件
式可知Ｖ′ ４ ｒ′３ ４ １ ｒ １ ４ ｒ３ １ Ｖ 所以命 Ｃ． Ｄ．
＝ π ＝ π· ＝ × π ＝ ， ６． 答案 Ｃ
３ ３ ２ ８ ３ ８
题 为真命题 命题 显然为假命题 如两组数据 和 ７．（２０１８浙江，６，４分）已知平面α 直线ｍ ｎ满足ｍ α ｎ α
① ； ② ， ：１，２，３ ２，
， ， ⊄ ， ⊂ ，
则 ｍ ｎ 是 ｍ α 的
它们的平均数都是 但前者的标准差为 ６ 而后者的标 “ ∥ ” “ ∥ ” （ ）
２，２， ２， ， 充分不必要条件
３ Ａ．
必要不充分条件
准差为 对于命题 易知圆心到直线的距离ｄ ｜０＋０＋１｜ Ｂ．
０； ③， ＝ ＝
２ ２ 充分必要条件
１ ＋１ Ｃ．
既不充分也不必要条件
１ ｒ 所以直线与圆相切 命题 为真命题．故选 ． Ｄ．
＝ ， ， ③ Ｃ ７． 答案 Ａ
２
１ ２ ５年高考３年模拟 Ｂ版（教师用书）
８．（２０１８北京文，４，５分）设ａ ｂ ｃ ｄ是非零实数 则 ａｄ ｂｃ 是 ( )
， ， ， ， “ ＝ ” θ １ θ ｋ ７π ｋ π ｋ Ｚ
ａ ｂ ｃ ｄ成等比数列 的 ｓｉｎ ＜ ⇔ ∈ ２ π－ ，２ π＋ ， ∈ ，
“ ， ， ， ” （ ） ２ ６ ６
充分而不必要条件 ( ) ( )
Ａ． π ｋ ７π ｋ π ｋ Ｚ
必要而不充分条件 ０， ⫋ ２ π－ ，２ π＋ ， ∈ ，
Ｂ． ６ ６ ６
充分必要条件
Ｃ． θ π π 是 θ １ 的充分而不必要条件．
既不充分也不必要条件 ∴ “ － ＜ ” “ｓｉｎ ＜ ”
Ｄ． １２ １２ ２
８． 答案 Ｂ ５．（２０１６天津理，５，５分）设 ｛ ａ ｎ｝ 是首项为正数的等比数列 ， 公比
为ｑ 则 ｑ 是 对任意的正整数ｎ ａ ａ 的
以下为教师用书专用（１—１３） ， “ ＜０” “ ， ２ ｎ －１＋ ２ ｎ＜０” （ ）
充要条件 充分而不必要条件
Ａ． Ｂ．
１．（２０１９天津文，３，５分）设ｘ ∈ Ｒ ， 则 “０＜ ｘ ＜５” 是 “｜ ｘ －１｜＜１” 的 必要而不充分条件 既不充分也不必要条件
Ｃ． Ｄ．
充分而不必要条件 必要而不充分条件 （ ） 答案 Ｃ 若对任意的正整数ｎ ， ａ ２ ｎ －１＋ ａ ２ ｎ＜０， 则ａ １＋ ａ ２＜０， 又
Ａ． Ｂ． ａ
充要条件 既不充分也不必要条件 ａ 所以ａ 所以ｑ ２ ．若ｑ 可取ｑ ａ 则
Ｃ． Ｄ． １＞０， ２＜０， ＝ａ ＜０ ＜０， ＝－１， １＝１，
答案 Ｂ ｘ ｘ ｘ ． １
当 ｘ 时 必 ｜ 有 －１｜＜１ ｘ ⇔－１＜ －１＜１⇔０＜ ＜２ ａ １＋ ａ ２＝１－１＝０， 不满足对任意的正整数ｎ ， ａ ２ ｎ －１＋ ａ ２ ｎ＜０ ．所以 “ ｑ
反之 ０＜ 不 ＜２ 成立 ， ． ０＜ ＜５； ＜０” 是 “ 对任意的正整数ｎ ， ａ ２ ｎ －１＋ ａ ２ ｎ＜０” 的必要而不充分条件．
， 故选 ．
所以 ｘ 是 ｘ 的必要而不充分条件． Ｃ
，“０＜ ＜５” “｜ －１｜＜１” 评析 本题以等比数列为载体，考查了充分条件、必要条件的
一题多解 因为｛ｘ
｜｜
ｘ
－１｜＜１
｝
＝
｛ｘ
｜０＜
ｘ
＜２
｝
⫋
｛ｘ
｜０＜
ｘ
＜５
｝， 判定 方法，属中档题．
所以“ ０＜ ｘ ＜５ ”是“ ｜ ｘ －１｜＜１ ”的必要而不充分条件． ６．（２０１５重庆理，４，５分） “ ｘ ＞１” 是 “ｌｏｇ１ ２（ ｘ ＋２）＜０” 的 （ ）
２．（２０１８天津，理４，文３，５分）设ｘ
∈
Ｒ
，
则
“
ｘ
－
１
＜
１
”
是
“
ｘ３
＜ Ａ
．充要条件
Ｂ
．充分而不必要条件
２ ２ ．必要而不充分条件 ．既不充分也不必要条件
的 Ｃ Ｄ
１” 充分而不必要条件 必要而不充分条件 （ ） 答案 Ｂ 当ｘ ＞１ 时 ， ｘ ＋２＞３＞１， 又ｙ ＝ｌｏｇ１ ２ ｘ是减函数 ，
Ａ． 充要条件 Ｂ． 既不充分也不必要条件 ∴ ｌｏｇ１ ２（ ｘ ＋２）＜ｌｏｇ１ ２１＝０， 则ｘ ＞１⇒ｌｏｇ１ ２（ ｘ ＋２）＜０； 当 ｌｏｇ１ ２（ ｘ ＋２）
Ｃ． 答案 Ａ 本题主要考查解 Ｄ． 不等式和充分 必要条件的 ＜０ 时 ， ｘ ＋２＞１， ｘ ＞－１， 则 ｌｏｇ１ ２（ ｘ ＋２）＜０⇒ ／ ｘ ＞１ ．故 “ ｘ ＞１” 是
、 ｘ 的充分而不必要条件．选 ．
判断． “ｌｏｇ１ ２（ ＋２）＜０” Ｂ
７．（２０１５天津理，４，５分）设ｘ Ｒ 则 ｘ 是 ｘ 的
∈ ， “１＜ ＜２” “｜ －２｜＜１”
由 ｘ １ １ 得 １ ｘ １ １ 解得 ｘ ．
－ ＜ － ＜ － ＜ ， ０＜ ＜１ （ ）
２ ２ ２ ２ ２ 充分而不必要条件 必要而不充分条件
由ｘ３ 得ｘ ．当 ｘ 时能得到ｘ 一定成立 当ｘ 时 Ａ． Ｂ．
＜１ ＜１ ０＜ ＜１ ＜１ ； ＜１ ， 充要条件 既不充分也不必要条件
Ｃ． Ｄ．
ｘ 不一定成立．所以 ｘ １ １ 是 ｘ３ 的充分而不 答案 Ａ 因为 ｘ 等价于 ｘ 即 ｘ 由于
０＜ ＜１ “ － ＜ ” “ ＜１” ｜ －２｜＜１ －１＜ －２＜１， １＜ ＜３，
２ ２ 所以 ｘ 是 ｘ 的充分而不必要
必要条件． （１，２）⫋（１，３）， “１＜ ＜２” “｜ －２｜＜１”
条件 故选 ．
方法总结 （ ）充分、必要条件的判断．解决此类问题应分 ， Ａ
１ ８．（２０１５湖南理，２，５分）设Ａ Ｂ是两个集合 则 Ａ Ｂ Ａ 是 Ａ
三步： 确定条件是什么，结论是什么； 尝试从条件推结论， ， ， “ ∩ ＝ ” “
① ② Ｂ 的
从结论推条件； 确定条件和结论是什么关系． ⊆ ” （ ）
③ 充分不必要条件 必要不充分条件
（ ）探究某结论成立的充要、充分、必要条件．解答此类题目， Ａ． Ｂ．
２ 充要条件 既不充分也不必要条件
可先从结论出发，求出使结论成立的必要条件，然后验证得到 Ｃ． Ｄ．
答案 Ｃ 若Ａ Ｂ Ａ 任取ｘ Ａ 则ｘ Ａ Ｂ
的必要条件是否满足充分性． ∩ ＝ ， ∈ ， ∈ ∩ ，
ｘ Ｂ 故Ａ Ｂ 若Ａ Ｂ 任取ｘ Ａ 都有ｘ Ｂ
３．（２０１７北京理，６，５分）设ｍ ｎ为非零向量 则 存在负数λ 使 ∴ ∈ ， ⊆ ； ⊆ ， ∈ ， ∈ ，
， ， “ ， ｘ Ａ Ｂ Ａ Ａ Ｂ 又Ａ Ｂ Ａ显然成立 Ａ Ｂ Ａ．
得ｍ λｎ 是 ｍ ｎ 的 ∴ ∈ ∩ ，∴ ⊆（ ∩ ）， ∩ ⊆ ，∴ ∩ ＝
＝ ” “ · ＜０” （ ） 综上 Ａ Ｂ Ａ 是 Ａ Ｂ 的充要条件 故选 ．
充分而不必要条件 必要而不充分条件 ，“ ∩ ＝ ” “ ⊆ ” ， Ｃ
Ａ． Ｂ． ９．（２０１５陕西理，６，５分） α α 是 α 的
充分必要条件 既不充分也不必要条件 “ｓｉｎ ＝ｃｏｓ ” “ｃｏｓ２ ＝０” （ ）
Ｃ． Ｄ． 充分不必要条件 必要不充分条件
答案 Ａ 由存在负数λ 使得ｍ λｎ 可得ｍ ｎ共线且反 Ａ． Ｂ．
， ＝ ， 、 充分必要条件 既不充分也不必要条件
向 夹角为 ° 则ｍ ｎ ｍ ｎ 故充分性成立．由ｍ Ｃ． Ｄ．
， １８０ ， · ＝－｜ ｜｜ ｜＜０， · 答案 Ａ 由 α α 得 α ２α ２α 即充
ｎ 可得 ｍ ｎ 的夹角为钝角或 ° 故必要性不成立．故 ｓｉｎ ＝ｃｏｓ ， ｃｏｓ ２ ＝ｃｏｓ －ｓｉｎ ＝０，
＜０， ， １８０ ， 分性成立．
选 ．
Ａ 由 α 得 α α 即必要性不成立．故选 ．
ｃｏｓ２ ＝０， ｓｉｎ ＝±ｃｏｓ ， Ａ
４．（２０１７天津理，４，５ 分）设 θ Ｒ 则 θ π π 是 θ １０．（２０１４课标 文，３，５分）函数ｆ ｘ 在ｘ ｘ 处导数存在．若ｐ
∈ ， “ － １２ ＜ １２ ” “ｓｉｎ ＜ ｆ ′ ｘ Ⅱ ｑ ｘ ｘ 是ｆ ｘ 的极 （ 值 ） 点 则 ＝ ０ ：
１ 的 ． （ ｐ是 ０） ｑ ＝ 的 ０； 充 ： 分 ＝ 必 ０ 要条件 （ ） ， （ ）
” （ ）
Ａ
２
充分而不必要条件 必要而不充分条件 ．ｐ是ｑ的充分条件 但不是ｑ的必要条件
Ａ． Ｂ． Ｂ ，
充要条件 既不充分也不必要条件 ．ｐ是ｑ的必要条件 但不是ｑ的充分条件
Ｃ． Ｄ． Ｃ ，
答案 Ａ 本题考查不等式的解法及充分必要条件的判断． ．ｐ既不是ｑ的充分条件 也不是ｑ的必要条件
Ｄ ，
答案 Ｃ ｆ ｘ 在ｘ ｘ 处可导 若ｘ ｘ 是ｆ ｘ 的极
θ π π π θ π π θ π ∵ （ ） ＝ ０ ，∴ ＝ ０ （ ）
∵ － ＜ ⇔－ ＜ － ＜ ⇔０＜ ＜ ， 值点 则ｆ ′ ｘ ｑ ｐ 故ｐ是ｑ的必要条件 反之 以ｆ
１２ １２ １２ １２ １２ ６ ， （ ０）＝０，∴ ⇒ ， ； ，
第一章 集合与常用逻辑用语 １ ３
ｘ ｘ３ 为例 ｆ ′ 但ｘ 不是极值点 ｐ ／ｑ 故ｐ不 命题 从而¬ ｐ为假命题 ¬ ｑ为真命题．故ｐ ｑ为假命题 ｐ
（ ）＝ ， （０）＝０， ＝０ ，∴ ⇒ ， ， ， ∧ ， ∨
是ｑ的充分条件．故选 ． ｑ为真命题 ｐ ¬ ｑ 为真命题 ¬ ｐ ｑ为假命题 故选 ．
Ｃ ， ∧（ ） ，（ ）∨ ， Ｃ
１１．（２０１４安徽理，２，５分） ｘ 是 ｘ 的 ２．（２０１４辽宁理，５，５分）设ａ ｂ ｃ是非零向量．已知命题ｐ 若ａ
“ ＜０” “ｌｎ（ ＋１）＜０” （ ） ， ， ：
充分不必要条件 必要不充分条件 ｂ ｂ ｃ 则ａ ｃ 命题ｑ 若ａ ｂ ｂ ｃ 则ａ ｃ．则
Ａ． Ｂ． · ＝０， · ＝０， · ＝０； ： ∥ ， ∥ ， ∥
充分必要条件 既不充分也不必要条件 下列命题中真命题是
Ｃ． Ｄ． （ ）
答案 Ｂ ｘ ｘ ｘ ｘ 而ｘ ｐ ｑ ｐ ｑ
ｌｎ（ ＋１）＜０⇔０＜ ＋１＜１⇔－１＜ ＜０⇒ ＜０； ＜０ Ａ． ∨ Ｂ． ∧
／ ｘ 故选 ． ¬ ｐ ¬ ｑ ｐ ¬ ｑ
⇒－１＜ ＜０， Ｂ Ｃ．（ ）∧（ ） Ｄ． ∨（ ）
１２．（２０１４浙江理，２，５分）已知 是虚数单位 ａ ｂ Ｒ 则 ａ ｂ 答案 Ａ 由题意知命题ｐ为假命题 命题ｑ为真命题 所
ｉ ， ， ∈ ， “ ＝ ＝ ， ，
是 ａ ｂ ２ 的 以ｐ ｑ为真命题．故选 ．
１” “（ ＋ ｉ） ＝２ｉ” （ ） ∨ Ａ
充分不必要条件 必要不充分条件 ３．（２０１４重庆文，６，５分）已知命题ｐ 对任意ｘ Ｒ 总有 ｘ
Ａ． Ｂ． ： ∈ ， ｜ ｜≥０；
充分必要条件 既不充分也不必要条件 ｑ ｘ 是方程ｘ 的根．则下列命题为真命题的是
Ｃ． Ｄ． ： ＝１ ＋２＝０ （ ）
答案 Ａ 当ａ ｂ 时 有 ２ 即充分性成立．当 ｐ ¬ ｑ ¬ ｐ ｑ ¬ ｐ ¬ ｑ ｐ ｑ
＝ ＝１ ， （１＋ｉ） ＝２ｉ， Ａ． ∧ Ｂ． ∧ Ｃ． ∧ Ｄ． ∧
{ａ２ ｂ２ 答案 Ａ 由题意知 命题ｐ为真命题 命题ｑ为假命题 故
ａ ｂ ２ 时 有ａ２ ｂ２ ａｂ 得 － ＝０，解得ａ ｂ ， ， ，
（ ＋ ｉ） ＝２ｉ ， － ＋２ ｉ＝２ｉ， ａｂ ＝ ＝ ¬ ｑ为真命题 所以ｐ ¬ ｑ为真命题．
＝１， ， ∧
或ａ ｂ 即必要性不成立 故选 ． ４．（２０１３课标 文，５，５分）已知命题ｐ ｘ Ｒ ｘ ｘ 命题ｑ
１ ＝ ＝－１， ， Ａ Ⅰ ：∀ ∈ ，２ ＜３ ； ：
评析 本题考查复数的运算，复数相等的概念，充分条件与 ｘ Ｒ ｘ３ ｘ２ 则下列命题中为真命题的是
∃ ∈ ， ＝１－ ， （ ）
必要条件的判定，属于容易题． ｐ ｑ ｐ ｑ
Ａ． ∧ Ｂ． ∧
１３．（２０１４北京理，５，５分）设 ａ 是公比为ｑ的等比数列．则 ｑ ｐ ｑ ｐ ｑ
｛ ｎ｝ “ ＞ Ｃ． ∧ Ｄ． ∧
是 ａ 为递增数列 的
１” “｛ ｎ｝ ” （ ） 答案 Ｂ 对于命题ｐ 由于ｘ 时 －１ １ １ －１ 所
充分而不必要条件 必要而不充分条件 ， ＝－１ ，２ ＝ ＞ ＝３ ，
Ａ． Ｂ． ２ ３
充分必要条件 既不充分也不必要条件 以是假命题 故 ｐ是真命题
Ｃ． Ｄ． ， ；
答案 Ｄ 若ｑ ＞１， 则当ａ １＝－１ 时 ， ａ ｎ＝－ ｑｎ －１ ，｛ ａ ｎ｝ 为递减 对于命题ｑ ， 设ｆ （ ｘ ）＝ ｘ３ ＋ ｘ２ －１， 由于ｆ （０）＝－１＜０， ｆ （１）＝１＞０，
数列 所以 ｑ ／ ａ 为递增数列 若 ａ 为递增数列 所以ｆ ｘ 在区间 上有解 即存在ｘ Ｒ ｘ３ ｘ２ 故
， “ ＞１”⇒“｛ ｎ｝ ”； ｛ ｎ｝ ， （ ）＝０ （０，１） ， ∈ ， ＝１－ ，
( )ｎ 命题ｑ是真命题．
则当ａ １ 时 ａ １ ｑ １ 即 ａ 为递增数
ｎ＝－ ， １＝－ ， ＝ ＜１， “｛ ｎ｝ 综上 ｐ ｑ是真命题 故选 ．
２ ２ ２ ， ∧ ， Ｂ
列 ／ ｑ ．故选 ．
”⇒“ ＞１” Ｄ
全称量词与存在量词 学生用书Ｐ５
逻辑联结词 学生用书Ｐ５
（２０１６浙江理，４，５分）命题 ｘ Ｒ ｎ Ｎ∗ 使得ｎ ｘ２
“∀ ∈ ，∃ ∈ ， ≥ ”
１．（２０２１全国乙，理３，文３，５分）已知命题ｐ ｘ Ｒ ｘ 命 的否定形式是
：∃ ∈ ，ｓｉｎ ＜１； （ ）
题ｑ ：∀ ｘ ∈ Ｒ ，ｅ ｜ ｘ ｜ ≥１， 则下列命题中为真命题的是 （ ） Ａ．∀ ｘ ∈ Ｒ ，∃ ｎ ∈ Ｎ∗ ， 使得ｎ ＜ ｘ２
ｐ ｑ ¬ ｐ ｑ ｘ Ｒ ｎ Ｎ∗ 使得ｎ ｘ２
Ａ． ∧ Ｂ． ∧ Ｂ．∀ ∈ ，∀ ∈ ， ＜
ｐ ¬ ｑ ¬ ｐ ｑ ｘ Ｒ ｎ Ｎ∗ 使得ｎ ｘ２
Ｃ． ∧ Ｄ． （ ∨ ） Ｃ．∃ ∈ ，∃ ∈ ， ＜
１． 答案 Ａ ｘ Ｒ ｎ Ｎ∗ 使得ｎ ｘ２
Ｄ．∃ ∈ ，∀ ∈ ， ＜
２．（２０１７山东，３，５分）已知命题ｐ ｘ ｘ 命题ｑ 若 答案 Ｄ
：∀ ＞０，ｌｎ（ ＋１）＞０； ：
ａ
＞
ｂ
，
则ａ２
＞
ｂ２．下列命题为真命题的是
（ ） 以下为教师用书专用（１—５）
．ｐ ｑ ．ｐ ¬ ｑ ．¬ ｐ ｑ ．¬ ｐ ¬ ｑ
Ａ ∧ Ｂ ∧ Ｃ ∧ Ｄ ∧ １．（２０１５课标 理，３，５分）设命题ｐ ｎ Ｎ ｎ２ ｎ 则¬ ｐ为
２． 答案 Ｂ Ⅰ ：∃ ∈ ， ＞２ ，
３．（２０２０课标 ，文１６，理１６，５分）设有下列四个命题 （ ）
Ⅱ ： ｎ Ｎ ｎ２ ｎ ｎ Ｎ ｎ２ ｎ
ｐ 两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内． Ａ．∀ ∈ ， ＞２ Ｂ．∃ ∈ ， ≤２
１： ｎ Ｎ ｎ２ ｎ ｎ Ｎ ｎ２ ｎ
ｐ 过空间中任意三点有且仅有一个平面． Ｃ．∀ ∈ ， ≤２ Ｄ．∃ ∈ ， ＝２
２： 答案 Ｃ 根据特称命题的否定为全称命题 知¬ ｐ ｎ
ｐ 若空间两条直线不相交 则这两条直线平行． ， ：∀ ∈
３： ， Ｎ ｎ２ ｎ 故选 ．
ｐ 若直线ｌ 平面α 直线ｍ 平面α 则ｍ ｌ． ， ≤２ ， Ｃ
４： ⊂ ， ⊥ ， ⊥ ２．（２０１５浙江理，４，５分）命题 ｎ Ｎ∗ ｆ ｎ Ｎ∗且ｆ ｎ
则下述命题中所有真命题的序号是 ． “∀ ∈ ， （ ）∈ （ ）≤
ｎ 的否定形式是
ｐ ｐ ｐ ｐ ” （ ）
① １∧ ４ ② １∧ ２ ｎ Ｎ∗ ｆ ｎ Ｎ∗且ｆ ｎ ｎ
¬ ｐ ｐ ¬ ｐ ¬ ｐ Ａ．∀ ∈ ， （ ）∉ （ ）＞
③ ２∨ ３ ④ ３∨ ４ ｎ Ｎ∗ ｆ ｎ Ｎ∗或ｆ ｎ ｎ
３． 答案 Ｂ．∀ ∈ ， （ ）∉ （ ）＞
①③④ ｎ Ｎ∗ ｆ ｎ Ｎ∗且ｆ ｎ ｎ
Ｃ．∃ ０∈ ， （ ０）∉ （ ０）＞ ０
以下为教师用书专用（１—４） ｎ Ｎ∗ ｆ ｎ Ｎ∗或ｆ ｎ ｎ
Ｄ．∃ ０∈ ， （ ０）∉ （ ０）＞ ０
１．（２０１４湖南理，５，５分）已知命题ｐ 若ｘ ｙ 则 ｘ ｙ 命题ｑ 若 答案 Ｄ ｆ ｎ Ｎ∗且ｆ ｎ ｎ 的否定为 ｆ ｎ Ｎ∗或
： ＞ ， － ＜－ ； ： “ （ ）∈ （ ）≤ ” “ （ ）∉
ｘ ｙ 则ｘ２ ｙ２．在命题 ｐ ｑ ｐ ｑ ｐ ¬ ｑ ¬ ｐ ｑ ｆ ｎ ｎ 全称命题的否定为特称命题 故选 ．
＞ ， ＞ ① ∧ ；② ∨ ；③ ∧（ ）；④（ ）∨ （ ）＞ ”， ， Ｄ
中 真命题是 ３．（２０１４湖北文，３，５分）命题 ｘ Ｒ ｘ２ ｘ 的否定是
， （ ） “∀ ∈ ， ≠ ” （ ）
ｘ Ｒ ｘ２ ｘ ｘ Ｒ ｘ２ ｘ
Ａ．①③ Ｂ．①④ Ａ．∀ ∉ ， ≠ Ｂ．∀ ∈ ， ＝
ｘ Ｒ ｘ２ ｘ ｘ Ｒ ｘ２ ｘ
Ｃ．②③ Ｄ．②④ Ｃ．∃ ∉ ， ≠ Ｄ．∃ ∈ ， ＝
答案 Ｃ 由不等式性质知 命题ｐ为真命题 命题ｑ为假 答案 Ｄ 原命题的否定为 ｘ Ｒ ｘ２ ｘ．故选 ．
： ， ∃ ∈ ， ＝ Ｄ
１ ４ ５年高考３年模拟 Ｂ版（教师用书）
４．（２０１３重庆理，２，５分）命题 对任意ｘ Ｒ 都有ｘ２ 的否定为 题 则实数ｍ的最小值为 ．
“ ∈ ， ≥０” ，
答案
（ ） １
对任意ｘ Ｒ 都有ｘ２ 不存在ｘ Ｒ 使得ｘ２ [ ]
Ａ． ∈ ， ＜０ Ｂ． ∈ ， ＜０ 解析 ｘ π ｘ ｘ π ｘ
存在ｘ Ｒ 使得ｘ２ 存在ｘ Ｒ 使得ｘ２ ∵０≤ ≤ ，∴０≤ｔａｎ ≤１，∵ “∀ ∈ ０， ，ｔａｎ
Ｃ． ０∈ ， ０≥０ Ｄ． ０∈ ， ０＜０ ４ ４
答案 Ｄ 全称命题的否定是特称命题． 对任意ｘ Ｒ 都 ｍ 是真命题 ｍ ． 实数ｍ的最小值为 ．
“ ∈ ， ≤ ” ，∴ ≥１∴ １
有ｘ２ 的否定为 存在ｘ Ｒ 使得ｘ２ 故选 ．
≥０” “ ０∈ ， ０＜０”， Ｄ
[ ]
５．（２０１５山东理，１２，５ 分）若 ｘ π ｘ ｍ 是真命
“∀ ∈ ０， ，ｔａｎ ≤ ”
４
学生用书Ｐ６
1 3
考点 命题及其关系 考点 逻辑联结词
１．四种命题的结构 １．逻辑联结词有 或 且 非 ．
“ ”“ ”“ ”
２．复合命题 ｐ ｑ ｐ ｑ ¬ ｐ 的真假判断如下表
命题 表述形式 “ ∨ ”“ ∧ ”“ ” ：
ｐ ｑ ｐ∨ｑ ｐ∧ｑ ¬ ｐ
原命题 若ｐ 则ｑ
， 真 真 真 真
假
真 假 真 假
逆命题 若ｑ 则ｐ
，
假 真 真 假
真
否命题 若¬ ｐ 则¬ ｑ 假 假 假 假
，
逆否命题 若¬ ｑ 则¬ ｐ 4
， 考点 全称量词与存在量词
２．四种命题的关系
１．全称量词与存在量词
名称 常见量词 符号
全称量词 所有 一切 任意 全部 每一个等
、 、 、 、 ⑤ ∀
存在量词 存在一个 至少一个 有些 某些等
、 、 、 ⑥ ∃
３．四种命题间的真假关系
２．全称命题与特称命题（新教材中称为全称量词命题与存
在量词命题）
两个命题互为逆否命题 它们的真假性相同．
（１） ，
两个命题互为逆命题或者互为否命题 它们的真假性没
（２） ， 名称 结构 符号表示
有关系．
2 全称命题 对Ｍ中任意一个ｘ 有ｐ ｘ 成立 ｘ Ｍ ｐ ｘ
， （ ） ∀ ∈ ， （ ）
考点 充分条件与必要条件
特称命题 存在Ｍ中的一个ｘ 使ｐ ｘ 成立 ｘ Ｍ ｐ ｘ
１．充分条件与必要条件 ０， （ ０） ∃ ０∈ ， （ ０）
如果ｐ ｑ 则ｐ是ｑ的充分条件 ｑ是ｐ的 必要条件．
（１） ⇒ ， ， ①
如果ｐ ｑ ｑ ｐ 则ｐ是ｑ的 充要条件 ． 存在量词命 存在Ｍ中的一个ｘ 使ｐ ｘ 成立 ｘ Ｍ ｐ ｘ
（２） ⇒ ， ⇒ ， ② 题 新教材 ， （ ） ∃ ∈ ， （ ）
２．充分条件与必要条件的两种判断方法 （ ）
：
集合法：Ａ ｘ ｐ ｘ ３．命题的否定
条件 定义法 ＝｛ ｜ （ ）｝，
Ｂ ｘ ｑ ｘ 命题的否定 即 非ｐ 只是否定命题ｐ的结论．
＝｛ ｜ （ ）｝ “ ” “ ”，
ｐ是ｑ的充分条件 ｐ ｑ Ａ Ｂ ４．含有量词的命题的否定
⇒ ⊆
ｐ是ｑ的必要条件 ｑ ｐ Ａ Ｂ 必须否定命题所含的量词 对于隐含量词的命题要结合命
⇒ ③ ⊇ ，
ｐ是ｑ的充要条件 ｐ ⇒ ｑ且ｑ ⇒ ｐ Ａ ＝ Ｂ 题的含义显现量词 再进行否定．
，
ｐ是ｑ的充分不必要条件 ｐ ｑ且ｑ ／ ｐ Ａ Ｂ
⇒ ⇒ ④ ⫋
ｐ是ｑ的必要不充分条件 ｐ ／ ｑ且ｑ ｐ Ａ Ｂ
⇒ ⇒ ⫌
ｐ是ｑ的既不充分
ｐ ／ ｑ且ｑ ／ ｐ Ａ Ｂ且Ａ Ｂ
也不必要条件 ⇒ ⇒ ⊈ ⊉
第一章 集合与常用逻辑用语 １ ５
学生用书Ｐ７
一、命题及其真假的判断方法
１－１ 已知命题ｐ 函数ｙ ２ ｘ ｘ 的最小值为
： ＝ ｘ＋ｓｉｎ ， ∈（０，π）
１．含逻辑联结词的命题真假的判断方法 ｓｉｎ
命题ｑ 若向量ａ ｂ满足ａ ｂ ｂ ｃ 则ａ ｃ．下列命题为真
２ ２； ： ， · ＝ · ， ＝
命题的是
（ ）
¬ ｐ ｑ ｐ ｑ
Ａ．（ ）∧ Ｂ． ∨
ｐ ¬ ｑ ¬ ｐ ¬ ｑ
Ｃ． ∧（ ） Ｄ．（ ）∧（ ）
１－１． 答案 Ｄ
１－２ （多选题）（２０２１ 百校联盟全程精练模拟（辽宁卷）
ａｂ
（二），１０）命题ｐ 存在ａ ｂ 使得 ａｂ ２ 命题ｑ
２．已知含逻辑联结词的命题的真假求参数的取值范围的 ： ， ∈（０，＋∞）， ≤ａ ＋ ｂ； ：
步骤 对任意ａ ｂ
ｂ３ ａ３
ａ２ ｂ２ 命题ｒ 若ａ ｂ ｃ ｄ 则ａｃ
， ∈（０，＋∞）， ａ ＋ ｂ ≥ ＋ ； ： ＞ ， ＞ ，
求出当命题ｐ ｑ为真命题时所含参数的取值范围
（１） ， ； ｂｄ 则
根据复合命题的真假判断命题ｐ ｑ的真假 ＞ ， （ ）
（２） ， ； ｐ ｑ为真命题
根据命题ｐ ｑ的真假情况 利用集合的交集 并集和补 Ａ． ∧
（３） ， ， 、 ｐ ｑ为真命题
集的运算求解参数的取值范围． Ｂ． ∨
¬ ｐ ¬ ｒ 为假命题
{ ｘ ｙ Ｃ．（ ）∧（ ）
２ ＋ －３≤０， ¬ ｐ ¬ ｒ 为假命题
例１ 不等式组 ｘ ｙ 的解集记为 Ｍ 命题 ｐ ｘ Ｄ．（ ）∨（ ）
３ － ＋３≥０， ， １：∀（ ， １－２． 答案 ＡＢＣ
ｘ ｙ
－２ ＋１≤０
ｙ Ｍ ｘ ｙ 命题ｐ ｘ ｙ Ｍ ｘ ｙ ．给出下面 二、充分条件与必要条件的判断及应用
）∈ ，２ ＋３ ≥－１； ２：∃（ ， ）∈ ，２ －５ ≥－３
四个命题 ｐ ｐ ｐ ¬ ｐ ¬ ｐ ｐ ¬ ｐ １．充分、必要条件的判断方法
：① １∨ ２；② １∨（ ２）；③（ １）∧ ２；④（ １）∧
¬ ｐ ． 定义法 根据ｐ ｑ ｑ ｐ是否成立进行判断．
（ ２） （１） ： ⇒ ， ⇒
这四个命题中 所有真命题的编号是 集合法 根据 ｐ ｑ 成立与对应的集合间的关系进行
， （ ） （２） ： ，
判断．
Ａ．①③ Ｂ．①② Ｃ．②③ Ｄ．③④
解题思路 ２．根据充分 必要条件求解参数取值范围需抓住“两”
、
关键
先判断命题ｐ 及命题ｐ 的真假 再利用 含逻辑联结词的
１ ２ ， “ 把充分 必要条件转化为集合之间的关系．
命题真假的判断方法 进行判断． （１） 、
” 根据集合之间的关系列出关于参数的不等式 组 求解．
{ ｘ ｙ （２） （ ）
２ ＋ －３≤０， 例２ （２０１９天津理，３，５ 分）设 ｘ Ｒ 则 ｘ２ ｘ 是
解析 作出不等式组 ｘ ｙ 所表示的平面区域 （１） ∈ ， “ －５ ＜０”
３ － ＋３≥０， ， ｘ 的
ｘ ｙ “｜ －１｜＜１” （ ）
－２ ＋１≤０ 充分而不必要条件
如图中阴影部分所示 其中Ａ Ｂ Ａ．
， （０，３）， （－１，０）， 必要而不充分条件
Ｂ．
充要条件
Ｃ．
既不充分也不必要条件
Ｄ．
（２０１９北京文，６，５分）设函数ｆ ｘ ｘ ｂ ｘ ｂ为
（２） （ ）＝ｃｏｓ ＋ ｓｉｎ （
常数 则 ｂ 是 ｆ ｘ 为偶函数 的
）， “ ＝０” “ （ ） ” （ ）
充分而不必要条件 必要而不充分条件
Ａ． Ｂ．
充分必要条件 既不充分也不必要条件
Ｃ． Ｄ．
解析 集合法 由ｘ２ ｘ 得 ｘ
（１）（ ） －５ ＜０ ０＜ ＜５，
记Ａ ｘ ｘ
{ ｘ ｙ {ｘ ＝｛ ｜０＜ ＜５｝，
由 ２ ＋ －３＝０，得 ＝１，即Ｃ ． 由 ｘ 得 ｘ 记Ｂ ｘ ｘ 显然Ｂ Ａ
ｘ ｙ ｙ （１，１） ｜ －１｜＜１ ０＜ ＜２， ＝｛ ｜０＜ ＜２｝， ⫋ ，
－２ ＋１＝０ ＝１， ｘ２ ｘ 是 ｘ 的必要而不充分条件
∴ “ －５ ＜０” “｜ －１｜＜１” ，
对于命题ｐ 因为 故命题ｐ 是假命题
１， ２×（－１）＋３×０＜－１， １ ； 故选 Ｂ ．
对于命题ｐ 定义法 当ｂ 时 ｆ ｘ ｘ为偶函数
２， （２）（ ） ＝０ ， （ ）＝ｃｏｓ ；
因为 故命题ｐ 是真命题． 若ｆ ｘ 为偶函数
２×１－５×１＝－３， ２ （ ） ，
由此可知¬ ｐ 为真 ¬ ｐ 为假． 则ｆ ｘ ｘ ｂ ｘ ｘ ｂ ｘ ｆ ｘ
１ ， ２ （－ ）＝ｃｏｓ（－ ）＋ ｓｉｎ（－ ）＝ｃｏｓ － ｓｉｎ ＝ （ ），
所以ｐ ｐ 为真 ｐ ¬ ｐ 为假 ¬ ｐ ｐ 为真 ｂ ｘ ｂ ｘ对ｘ Ｒ恒成立
１∨ ２ ； １∨（ ２） ；（ １）∧ ２ ； ∴ － ｓｉｎ ＝ ｓｉｎ ∈ ，
¬ ｐ ¬ ｐ 为假． ｂ ．
（ １）∧（ ２） ∴ ＝０
故真命题的编号为 故选 故 ｂ 是 ｆ ｘ 为偶函数 的充分必要条件．
①③， Ａ． “ ＝０” “ （ ） ”
答案 Ａ 故选 ．
Ｃ
１ ６ ５年高考３年模拟 Ｂ版（教师用书）
答案 Ｂ Ｃ ２－２ （２０２０山东泰安期末，８） ａ 是 ｘ Ｒ ａ ｘ
（１） （２） “ ＜－１” “∃ ０∈ ， ｓｉｎ ０＋
２－１ 已知曲线Ｃ
：
ｆ
（
ｘ
）＝
ｘ３
－３
ｘ
，
直线ｌ
：
ｙ
＝
ａｘ
－ ３
ａ
，
则
“
ａ
＝ １＜０”
的
（ ）
是 直线ｌ与曲线Ｃ相切 的 充分不必要条件 必要不充分条件
６” “ ” （ ） Ａ． Ｂ．
充分不必要条件 必要不充分条件 充要条件 既不充分也不必要条件
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
充要条件 既不充分也不必要条件 ２－２． 答案 Ａ
Ｃ． Ｄ．
２－１． 答案 Ａ
Ａ 组 考点基础题组 学生用书Ｐ８
两条不重合的直线 则α β的一个充分不必要条件是
命题及其关系 ， ∥ （ ）
ｌ α ｍ α且ｌ β ｍ β ｌ α ｍ β且ｌ ｍ
Ａ． ⊂ ， ⊂ ∥ ， ∥ Ｂ． ⊂ ， ⊂ ∥
１．（２０２１湖南师大附中阶段统测（七），１）已知命题 若α 则β ｌ α ｍ β且ｌ ｍ ｌ α ｍ β且ｌ ｍ
“ ， ” Ｃ． ⊥ ， ⊥ ∥ Ｄ． ∥ ， ∥ ∥
是真命题 集合Ｍ ｘ ｘ满足α 集合Ｎ ｘ ｘ满足β ．下列 ２． 答案 Ｃ
， ＝｛ ｜ ｝， ＝｛ ｜ ｝
判断正确的是 ３．（２０２１湖北新高考九师联盟２月联考，７）下列命题正确的是
（ ）
Ｍ Ｎ Ｍ Ｎ Ｍ Ｎ Ｍ Ｎ
Ａ． ⊈ Ｂ． ⊆ Ｃ． ＝ Ｄ． ⊇ （ ）
１． 答案 Ｂ
若ｐ ｘ １ ｘ 则¬ ｐ ｘ １ ｘ
２．（２０２１广东珠海一模，７）下列四个叙述中 错误的是 Ａ． ：∃ ＜０， ｘ ＞ ， ：∀ ＞０， ｘ ≤
， （ ）
Ａ．“
ｐ
∨
ｑ为真
”
是
“
ｐ
∧
ｑ为真
”
的必要不充分条件
Ｂ．
若ｐ
：∀
ｘ
＞０，
ｘ２
＞
ｘ
，
则¬ ｐ
：∃
ｘ
＞０，
ｘ２
＜
ｘ
命题ｐ ｘ Ｒ且ｘ ｘ １ 则 ｘ ｘ ｘ
Ｂ． ：“∀ ∈ ≠０， ＋ ｘ ∈（－∞，－２］∪［２，＋∞）”， Ｃ．∃ ＞０，ｓｉｎ ≥
ａ 是 直线ａｘ ｙ 与直线ｘ ａｙ 平行 的充要
Ｄ．“ ＝１” “ ＋ －１＝０ ＋ ＋１＝０ ”
¬ ｐ ｘ Ｒ且ｘ 使得ｘ １ 条件
：“∃ ∈ ≠０， ＋ ｘ ∈（－２，２）”
３． 答案 Ｄ
已知ａ ｂ Ｒ且ａｂ 命题 若ａ ｂ 则 １ １ 的逆命题是
Ｃ． ， ∈ ＞０， “ ＞ ， ａ ＜ ｂ ” ４．（２０２１江苏常州一模，２） α ２ 是 α α 的
“ｓｉｎ ＝ ” “ｓｉｎ ＝ｃｏｓ ” （ ）
２
若 １ １ 则ａ ｂ 充分不必要条件 必要不充分条件
“ ａ ＜ ｂ ， ＞ ”
Ａ． Ｂ．
( )ｘ 充要条件 既不充分也不必要条件
Ｄ．
已知函数ｆ
（
ｘ
）＝
ｘ２
，
函数ｇ
（
ｘ
）＝
１
－
ｍ
，
若对任意ｘ
１∈ ４．
Ｃ．
答案 Ｄ
Ｄ．
２
存在ｘ 使得ｆ ｘ ｇ ｘ 成立 则ｍ的 ５．（２０２１江苏苏州八校联盟第三次适应性检测，４）设Ａ Ｂ Ｃ三
［－１，３］， ２∈［０，１］， （ １）≥ （ ２） ， 、 、
取值范围是 ［１，＋∞） 点不共线 ， 则 “ →ＡＢ与→ＡＣ的夹角是钝角 ” 是 “｜ →ＡＢ ＋ →ＡＣ ｜＜｜ Ｂ→Ｃ ｜” 的
２． 答案 Ｄ
（ ）
３．（２０２１上海崇明二模，１６）已知以下三个陈述句
充分不必要条件 必要不充分条件
：
ｐ 存在 ａ Ｒ 且 ａ 对任意的 ｘ Ｒ 都有 ｆ ｘ ＋ ａ Ａ． 充分必要条件 Ｂ． 既不充分也不必要条件
： ∈ ≠０， ∈ ， （２ ） ＜
ｆ （２ ｘ ）＋ ｆ （ ａ ） 恒成立 ； ５． Ｃ． 答案 Ｃ Ｄ．
ｑ 函数ｙ ｆ ｘ 是减函数 且对任意的ｘ Ｒ 都有ｆ ｘ
ｑ
１：
函数ｙ
＝
ｆ
（
ｘ
）
是增函数
，
且存在ｘ
∈
使得
，
ｆ ｘ
（ ）
．
＞０； ６．（２０２０广东化州二模，３）
“∀
ｘ
∈
Ｒ
，
ｘ２
－
ｂｘ
＋１＞０
成立
”
是
“
ｂ
∈
用
２：
这三个陈
＝
述
（
句
）
组成两个
，
命题 命题
０＜
Ｓ
０，
若ｑ
（
则
０）
ｐ
＝０
命题Ｔ ［０，１］”
的
（ ）
， ：“ １， ”； ： 充分不必要条件 必要不充分条件
若ｑ 则ｐ ．关于命题Ｓ Ｔ 以下说法正确的是 Ａ． Ｂ．
“ ２， ” 、 ， （ ） 充分必要条件 既不充分也不必要条件
只有命题Ｓ是真命题 Ｃ． Ｄ．
Ａ． ６． 答案 Ｂ
只有命题Ｔ是真命题
Ｂ． ７．（２０１９福建福州质检，５）给出下列说法
两个命题Ｓ Ｔ都是真命题 ：
Ｃ． 、
两个命题Ｓ Ｔ都不是真命题 ｘ π 是 ｘ 的充分不必要条件
Ｄ． 、 ①“ ＝ ” “ｔａｎ ＝１” ；
３． 答案 Ｃ ４
定义在 ａ ｂ 上的偶函数 ｆ ｘ ｘ２ ａ ｘ ｂ 的最大值
② ［ ， ］ （ ）＝ ＋（ ＋５） ＋
为
充分条件与必要条件 ３０；
命题 ｘ Ｒ ｘ １ 的否定是 ｘ Ｒ ｘ １ ．
１．（２０２１广东韶关一模，２）命题ｐ ｘ２ ｘ 是命题ｑ ｘ ③ “∃ ０∈ ， ０＋ｘ ≥２” “∀ ∈ ， ＋ ｘ ＞２”
：“ － －２＜０” ：“０＜ ＜ ０
的 其中正确说法的个数为
１” （ ） （ ）
充分不必要条件 必要不充分条件
Ａ． Ｂ． Ａ．０ Ｂ．１ Ｃ．２ Ｄ．３
充分必要条件 既不充分也不必要条件 ７． 答案 Ｃ
Ｃ． Ｄ．
１． 答案 Ｂ ８．（２０２１湖南衡阳联考（一），１３）使得 ｘ ｘ２ 成立的一个充分
“２ ＞４ ”
２．（２０２１上海普陀二模，１５）设α β是两个不重合的平面 ｌ ｍ是 条件是 ．
， ， ，
第一章 集合与常用逻辑用语 １ ７
( )
８． 答案 １ 答案不唯一
０， （ ） 全称量词与存在量词
４
逻辑联结词
１．（２０２１山东枣庄二模，２）命题
：“∀
ｎ
∈
Ｎ
，
ｎ２
－１∈
Ｑ
”
的否定为
（ ）
１．（２０２１宁夏吴忠一模，２）已知命题ｐ
：“
ｘ
＞２”
是
“
ｘ２
－３
ｘ
＋２≥０” Ａ．∀
ｘ
∈
Ｎ
，
ｎ２
－１∉
Ｑ
Ｂ．∀
ｎ
∉
Ｎ
，
ｎ２
－１∈
Ｑ
的充分不必要条件
；
命题ｑ
：∀
ｘ
∈
Ｒ
，
ｘ２
＋２
ｘ
＋１＞０，
则下列命题
Ｃ．∃
ｎ
∈
Ｎ
，
ｎ２
－１∉
Ｑ
Ｄ．∃
ｎ
∈
Ｎ
，
ｎ２
－１∈
Ｑ
是真命题的是 １． 答案 Ｃ
（ ）
ｐ ｑ ｐ ｑ ２．（２０２１山东菏泽一模，３）命题 ｘ Ｒ ｘ２ 的否定是
Ａ． ∨ Ｂ． ∧ ：“∀ ∈ ， ≥０”
¬ ｐ ｑ ¬ ｐ ¬ ｑ
Ｃ．（ ）∨ Ｄ．（ ）∧（ ） （ ）
１． 答案 Ａ ｘ Ｒ ｘ２ ｘ Ｒ ｘ２
Ａ．∃ ∈ ， ≥０ Ｂ．∀ ∈ ， ＜０
２．（２０２１四省名校第三次大联考，４）已知命题ｐ ｑ是简单命题 ｘ Ｒ ｘ２ ｘ Ｒ ｘ２
， ， Ｃ．∃ ∈ ， ＜０ Ｄ．∃ ∈ ， ≤０
则 ¬ ｐ是假命题 是 ｐ ｑ是真命题 的 ２． 答案 Ｃ
“ ” “ ∨ ” （ ）
充分不必要条件
Ａ． ３．（２０２１百校大联考第６次联考，３）命题 ｘ Ｒ 使得 ２ ｘ
必要不充分条件 ：“∃ ∈ ， ｘ ＋ｌｎ
Ｂ．
充要条件 的否定是
Ｃ． ≤０” （ ）
既不充分也不必要条件
Ｄ． ｘ Ｒ ２ ｘ ｘ Ｒ ２ ｘ
２． 答案 Ａ Ａ．∀ ∈ ， ｘ ＋ｌｎ ≥０ Ｂ．∀ ∈ ， ｘ ＋ｌｎ ＞０
３．（２０２１内蒙古呼和浩特一模，１６）下面是关于复数ｚ ２ｉ 的四 ｘ Ｒ ２ ｘ ｘ Ｒ ２ ｘ
＝ Ｃ．∃ ∈ ， ｘ ＋ｌｎ ≥０ Ｄ．∃ ∈ ， ｘ ＋ｌｎ ＞０
１＋ｉ
个命题 ｐ ｚ的实部为 ｐ ｚ的虚部为 ｐ ｚ的共轭复数为 ３． 答案 Ｂ
： １： －１； ２： １； ３：
１＋ｉ； ｐ ４：｜ ｚ ｜＝ ２ ．下列命题为真命题的是 （ ） ４．（
ｘ
２０２
ａ
１湖北
是
襄
假
阳
命
部
题
分
则
优
实
质
数
高
ａ
中
的
２
取
月
值
联
范
考
围
，
为
１３）若 “∃ ｘ
．
∈ Ｒ ， ｘ２ －
ｐ ｐ ¬ ｐ ｐ ２ － ＝０” ，
Ａ． １∨ ３ Ｂ．（ ２）∨ ３ ４． 答案
Ｃ．
ｐ
３∧
ｐ
４ Ｄ．
ｐ
２∧
ｐ
４
（－∞，－１）
３． 答案 Ｄ
Ｂ 组 综合应用题组 学生用书Ｐ９ ２５分钟 ３５分
二、多项选择题（共５分）
一、单项选择题（每小题５分，共２０分）
５．（２０２１湖南岳阳一模，１１）以下说法正确的是
１．（２０２
的
１山东德州一模，３）已知ａ
，
ｂ
∈
Ｒ
，
则
“
ａ
＜
ｂ
”
是
“
ａ２
（ｅ
ａ
－ｅ
ｂ
） Ａ．∃ ｘ ０∈ Ｒ ， 使 ｅ ｘ ０ ＜ ｘ ０＋１
（ ）
＜０” （ ） θ Ｒ 函数ｆ ｘ ｘ θ 都不是偶函数
充分不必要条件 必要不充分条件 Ｂ．∀ ∈ ， （ ）＝ｓｉｎ（２ ＋ ）
Ａ． Ｂ． ａ ｂ Ｒ ａ ｂ是ａ ａ ｂ ｂ 的充要条件
充要条件 既不充分也不必要条件 Ｃ． ， ∈ ， ＞ ｜ ｜＞ ｜ ｜
Ｃ． Ｄ．
１． 答案 Ｂ ＡＢＣ中 Ａ Ｂ Ａ Ｂ 是 Ｃ π 的充要条件
Ｄ．△ ，“ｓｉｎ ＋ｓｉｎ ＝ｃｏｓ ＋ｃｏｓ ” “ ＝ ”
２．（２０２１广东深圳一模，４）设α ， β ， γ为三个不同的平面 ， 若α ⊥ ５． 答案 ＣＤ ２
β 则 γ β 是 α γ 的
， “ ∥ ” “ ⊥ ” （ ） 三、填空题（每小题５分，共１０分）
充分不必要条件 充要条件
Ａ． Ｂ．
必要不充分条件 既不充分也不必要条件 ６． （２０２１内蒙古包头一模，１６）设有下列四个命题
Ｃ． Ｄ． ：
２． 答案 Ａ ｐ １： 空间共点的三条直线不一定在同一平面内．
３．（２０２０广东六校联盟第三次联考，３）设ａ ∈ Ｒ ， ｂ ＞０， 则 “３ ａ ＞ ｂ ” ｐ ２： 若两平面有三个不共线的公共点 ， 则这两个平面重合．
是 “ ａ ＞ｌｏｇ３ ｂ ” 的 （ ） ｐ ３： 若三个平面两两相交 ， 则交线互相平行．
Ａ． 充分而不必要条件 Ｂ． 必要而不充分条件 ｐ ４： 若直线ａ ∥ 平面α ， 直线ａ ⊥ 直线ｂ ， 则直线ｂ ⊥ 平面α．
充要条件 既不充分也不必要条件 则下述命题中所有真命题的序号是 ．
Ｃ． Ｄ．
３． 答案 Ｃ ① ｐ １∧ ｐ ４ ② ｐ １∧ ｐ ２
４． （２０２１安徽宿州一模，１１）已知命题ｐ 若空间两平面α ③（ ¬ ｐ ２）∨ ｐ ３ ④（ ¬ ｐ ３）∨ ｐ ４
： ６． 答案
⊥ β ， 直线ａ ∥ α ， 则直线ａ ⊥ β ； 命题ｑ ： 若关于ｘ的方程 ｜ｌｏｇａ ｘ ｜＝ ②④
ｘ
１ ｘ（ ａ ＞０， 且ａ ≠１） 有两个不同实根ｍ ， ｎ ， 则ｍｎ ＜１ ．下列命题为
７．（２０２０山东省实验中学期中）设命题 ｐ
：
２
ｘ －
－
１
１
＜０，
命题 ｑ
：
ｘ２
－
２ ａ ｘ ａ ａ 若ｐ是ｑ的充分不必要条件 则实数ａ
真命题的是 （２ ＋１） ＋ （ ＋１）≤０， ，
（ ） 的取值范围是 ．
ｐ ｑ ¬ ｐ ｑ
Ａ． ∧ Ｂ．（ ）∧ [ ]
ｐ ¬ ｑ ｐ ¬ ｑ ７． 答案 １
Ｃ． ∧（ ） Ｄ． ∨（ ） ０，
４． 答案 Ｂ ２
１ ８ ５年高考３年模拟 Ｂ版（教师用书）
Ｃ 组 教师专用题组
一、单项选择题 若丁是假命题 则甲 乙 丙是真命题 则关于ｘ的方程ｘ２ ａｘ
， 、 、 ， ＋ ＋
１．（２０２１天津部分区一模，２）设ｘ
∈
Ｒ
，
则
“１＜
ｘ
＜２”
是
“
ｘ２
＜４”
的 ｂ
＝０
的两根为
１
和
３，
两根之和为
４，
不符合题意．
综上所述 甲命题为假命题．故选 ．
（ ） ， Ａ
Ａ．
充分不必要条件
Ｂ．
必要不充分条件 ６．（２０２１浙江湖丽衢三地市４月联考，６）
“
关于ｘ的方程
１－
ｘ２
充要条件 既不充分也不必要条件 ｘ ｍ ｍ Ｒ 有解 的一个必要不充分条件是
Ｃ． Ｄ． ＝｜ － ｜（ ∈ ） ” （ ）
答案 Ａ 由
“
ｘ２
＜４”
得
“－２＜
ｘ
＜２”， ．ｍ ．ｍ
则由
“１＜
ｘ
＜２”
能推出
“
ｘ２
＜４”，
Ａ
．ｍ
∈［－２，２］ Ｂ
．ｍ
∈［－ ２， ２］
由 ｘ２ 不能推出 ｘ Ｃ ∈［－１，１］ Ｄ ∈［１，２］
“ ＜４” “１＜ ＜２”， 答案 Ａ ｘ２ ｘ ｍ ｘ２ ｘ ｍ ２ ｘ２ ｍｘ ｍ２
ｘ 是 ｘ２ 的充分不必要条件．故选 ． １－ ＝｜ － ｜⇔１－ ＝（ － ） ⇔２ －２ ＋
∴ “１＜ ＜２” “ ＜４” Ａ
２．（２０２１北京八一学校高三开学考试，３）已知命题ｐ ｘ Ｒ ｘ２ －１＝０，
：∃ ∈ ，
则¬ ｐ是 方程有解等价于Δ ＝４ ｍ２ －８ ｍ２ ＋８≥０， 从而有 － ２≤ ｍ ≤ ２ ．
≥０， （ ）
Ａ．∀
ｘ
∈
Ｒ
，
ｘ２
＜０ Ｂ．∀
ｘ
∉
Ｒ
，
ｘ２
≥０
由充要条件的集合判断法可知
，
仅需找以
［－ ２， ２］
为真子集
ｘ Ｒ ｘ２ ｘ Ｒ ｘ２ 的集合即可 对照选项 可知选 ．
Ｃ．∃ ∈ ， ≥０ Ｄ．∃ ∈ ， ＜０ ， ， Ａ
答案 Ａ 根据存在量词命题的否定是全称量词命题 所以 ( )
， ７．（２０２１浙江名校协作体联考，６）将函数ｙ ｘ π 的图象
¬ ｐ是
∀
ｘ
∈
Ｒ
，
ｘ２
＜０，
故选
Ａ．
＝ｓｉｎ ２ ＋
６
３．（２０２１广西贺州、崇左、百色三地重点中学３ 月联考，３）命题 向右平移φ φ 个单位长度后所得图象对应的函数是ｇ ｘ
（ ＞０） （ ），
ｐ
：∃
ｘ
＞０，ｌｎ（
ｘ
＋１）＞
ｘ２
，
则¬ ｐ为
（ ） 则 φ π 是 ｇ ｘ 为偶函数 的
“ ＝ ” “ （ ） ” （ ）
Ａ．∃ ｘ ＞０，ｌｎ（ ｘ ＋１）≤ ｘ２ Ｂ．∀ ｘ ＞０，ｌｎ（ ｘ ＋１）≤ ｘ２ ３
．充分不必要条件 ．必要不充分条件
Ｃ．∀
ｘ
≤０，ｌｎ（
ｘ
＋１）≤
ｘ２
Ｄ．∃
ｘ
≤０，ｌｎ（
ｘ
＋１）＞
ｘ２
Ａ Ｂ
答案 Ｂ 由于特称命题的否定是全称命题 所以改变量 ．充要条件 ．既不充分也不必要条件
Ｃ Ｄ
， ( )
词 ， 否定结论即可．命题 ｐ 的否定¬ ｐ 为 “∀ ｘ ＞０，ｌｎ（ ｘ ＋１）≤ 答案 Ａ 将函数ｙ ＝ｓｉｎ ２ ｘ ＋ π 的图象向右平移φ （ φ ＞０）
ｘ２ 故选 ６
”， Ｂ． [ ]
４．（２０２１河南中原名校联盟３月联考，３）以下有关命题的说法错 个单位长度所得图象对应的函数为ｇ ｘ ｘ φ π ．
（ ）＝ｓｉｎ ２（ － ）＋
误的是 ６
（ ） [ ( ) ] ( )
命题 若ｘ２ ｘ 则ｘ 的逆否命题为 若ｘ 则 当φ π时 ｇ ｘ ｘ π π ｘ π ｘ
Ａ． “ － －２＝０， ＝－１” “ ≠－１， ＝ ， （ ）＝ｓｉｎ ２ － ＋ ＝ｓｉｎ ２ － ＝－ｃｏｓ２
ｘ２ ｘ ３ ３ ６ ２
－ －２≠０” 为偶函数
ｘ２ ｘ 是 ｘ 的必要不充分条件 ；
Ｂ．“ ＋ －２＝０” “ ＝１” [ ] ( )
命题ｐ ｘ Ｒ ｘ２ ｘ 则¬ ｐ ｘ Ｒ ｘ２ ｘ 若ｇ ｘ ｘ φ π ｘ π φ 为偶函数
Ｃ． ：∃ ０∈ ， ０－ ０＋１＜０， ：∀ ∈ ， － ＋１≥０ （ ）＝ｓｉｎ ２（ － ）＋ ＝ｓｉｎ ２ ＋ －２ ，
若ｐ ｑ为真命题 则¬ ｐ与ｑ至少有一个为真命题 ６ ６
Ｄ． ∨ ， ｋ
答案 Ｄ 对于
Ａ，
命题
“
若ｘ２
－
ｘ
－２＝０，
则ｘ
＝－１”
的逆否命 则π
－２
φ
＝
π
＋
ｋ
π，
ｋ
∈
Ｚ
，
所以φ
＝－
π
－
π
，
ｋ
∈
Ｚ．
题为 若ｘ 则ｘ２ ｘ 故 正确 ６ ２ ６ ２
“ ≠－１， － －２≠０”， Ａ ；
对于
Ｂ，
ｘ２
＋
ｘ
－２＝０
时
，
ｘ
＝１
或ｘ
＝－２，
所以
“
ｘ２
＋
ｘ
－２＝０”
是
“
ｘ
＝
综上
，“
φ
＝
π
”
是
“
ｇ
（
ｘ
）
为偶函数
”
的充分不必要条件
，
故选
Ａ
．
的必要不充分条件 故 正确 ３
１” ， Ｂ ；
８．（２０２１江西宜春中学、万载中学、樟树中学第一次联考，６）下列
对于
Ｃ，
命题ｐ
：∃
ｘ
０∈
Ｒ
，
ｘ２
０－
ｘ
０＋１＜０
的否命题¬ ｐ为
∀
ｘ
∈
Ｒ
， 命题错误的是
（ ）
ｘ２ － ｘ ＋１≥０， 故 Ｃ 正确 ； Ａ．“ ｘ ＝２” 是 “ ｘ２ －４ ｘ ＋４＝０” 的充要条件
对于 若ｐ ｑ是真命题 则ｐ与ｑ中至少有一个为真命题
若等比数列 ａ 的公比为ｑ 则 ｑ 是 ａ 为递增数列
Ｄ， ∨ ， ， Ｂ． ｛ ｎ｝ ， “ ＞１” “｛ ｎ｝ ”
如ｐ是真命题 ｑ是假命题 但¬ ｐ与ｑ都是假命题 所以 错
的充要条件
， ， ， Ｄ
误 ， 故选 Ｄ ． 在 ＡＢＣ中 若 Ａ Ｂ 则 Ａ Ｂ
Ｃ． △ ， “ ＞ ”， “ｓｉｎ ＞ｓｉｎ ”
５．（２０２１八省联考，３）关于ｘ的方程ｘ２ ａｘ ｂ 有下列四个命
题 甲 ｘ 是该方程的根 乙 ｘ 是
＋
该方
＋
程
＝
的
０，
根 丙 该方程 Ｄ．
命题
“
若ｍ
≥－
１
，
则方程ｘ２
＋
ｘ
－
ｍ
＝０
有实根
”
的逆命题为真
： ： ＝１ ； ： ＝３ ； ： ４
两根之和为 丁 该方程两根异号．如果只有一个假命题 则 命题
２； ： ，
该命题是 （ ） 答案 Ｂ 对于 Ａ： ｘ２ －４ ｘ ＋４＝０⇔（ ｘ －２） ２ ＝０⇔ ｘ ＝２，∴ Ａ
甲 乙 丙 丁 正确
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． ；
答案 Ａ 若甲是假命题 则乙 丙 丁是真命题 则关于ｘ 对于 数列 是公比ｑ 的数列 但是是递减
， 、 、 ， Ｂ： －１，－２，－４，－８，… ＞１ ，
的方程ｘ２ ａｘ ｂ 的一根为 两根之和为 则该方程的另 数列 故 错误
＋ ＋ ＝０ ３， ２， ， Ｂ ；
一根为 两根异号 符合题意 对于 在 ＡＢＣ中 根据大边对大角 Ａ Ｂ ａ ｂ 又由正弦定
－１， ， ； Ｃ： △ ， ， ＞ ⇔ ＞ ，
若乙是假命题 则甲 丙 丁是真命题 则ｘ 是方程ｘ２ ａｘ ｂ ａ ｂ
， 、 、 ， ＝１ ＋ ＋ 理 得ａ ｂ Ａ Ｂ 所以Ａ Ｂ ａ ｂ Ａ
的一根 两根之和为 则另一根也为 两根同号 不符合 Ａ＝ Ｂ ＞ ⇔ｓｉｎ ＞ｓｉｎ ， ＞ ⇔ ＞ ⇔ｓｉｎ ＞
＝０ ， ２， １， ， ｓｉｎ ｓｉｎ
题意 Ｂ 即若 Ａ Ｂ 则 Ａ Ｂ 故 正确
； ｓｉｎ ， “ ＞ ”， “ｓｉｎ ＞ｓｉｎ ”， Ｃ ；
若丙是假命题 则甲 乙 丁是真命题 则关于ｘ的方程ｘ２ ａｘ
， 、 、 ， ＋ ＋ 对于 命题 若ｍ １ 则方程ｘ２ ｘ ｍ 有实根 的逆命
ｂ 的两根为 和 两根同号 不符合题意 Ｄ： “ ≥－ ， ＋ － ＝０ ”
＝０ １ ３， ， ； ４
第一章 集合与常用逻辑用语 １ ９
ｐ是ｑ的充要条件
题是 若方程ｘ２ ｘ ｍ 有实根 则ｍ １ 方程ｘ２ ｘ ｍ Ｃ． ；
“ ＋ － ＝０ ， ≥－ ”，∵ ＋ － ｐ是ｑ的必要不充分条件．故选 ．
４ Ｄ． ＢＣ
１２．（２０２０山东济宁期末，９）下列命题中的真命题是
有实根 Δ ｍ 解得ｍ １ 故 正确．故选 ． （ ）
＝０ ，∴ ＝１＋４ ≥０， ≥－ ４ ， Ｄ Ｂ Ａ．∀ ｘ ∈ Ｒ ，２ ｘ －１ ＞０ Ｂ．∀ ｘ ∈ Ｎ∗ ，（ ｘ －１） ２ ＞０
９．（２０２１云南师大附中适应性考试，６）命题ｐ 存在实数ａ 使得 ｘ Ｒ ｘ ｘ Ｒ ｘ
： ， Ｃ．∃ ０∈ ，ｌｇ ０＜１ Ｄ．∃ ０∈ ，ｔａｎ ０＝２
对任意实数ｘ ，ｃｏｓ（ ｘ － ａ ）＝－ｃｏｓ ｘ恒成立 ； 命题ｑ ：∀ ｂ ＞０， ｆ （ ｘ ） 答案 ＡＣＤ Ａ．∀ ｘ ∈ Ｒ ，２ ｘ －１ ＞０， 根据ｙ ＝２ ｘ －１的图象知 Ａ
ｂ ｘ 正确
－ 为奇函数 则下列命题是真命题的是
；
＝ｌｎｂ ｘ ， （ ）
＋ ｘ Ｎ∗ ｘ ２ 取ｘ 计算知 ｘ ２ 错误
Ｂ．∀ ∈ ，（ －１） ＞０， ＝１， （ －１） ＝０，Ｂ ；
ｐ ¬ ｑ ¬ ｐ ｑ
Ａ． ∧（ ） Ｂ．（ ）∧ ｘ Ｒ ｘ 取ｘ 计算 ｘ 故 正确
ｐ ｑ ¬ ｐ ¬ ｑ
Ｃ．∃ ０∈ ，ｌｇ ０＜１， ０＝１， ｌｇ ０＝０＜１， Ｃ ；
Ｃ． ∧ Ｄ．（ ）∨（ ） ｘ Ｒ ｘ ｙ ｘ 的值域为 Ｒ 故 正确．故
答案 Ｃ 对于 ｐ 当 ａ 时 ｘ ａ ｘ Ｄ．∃ ０∈ ，ｔａｎ ０ ＝２， ＝ｔａｎ ， Ｄ
， ＝－π ，ｃｏｓ（ － ）＝ ｃｏｓ（ ＋π）＝ 选 ．
ＡＣＤ
ｘ ｐ是真命题．对于ｑ 由ｆ ｘ
ｂ
－
ｘ
ｂ 有意义得
ｂ
－
ｘ １３．（２０２０山东百师联盟测试五，１）下列命题是真命题的是
－ｃｏｓ ， ， （ ）＝ｌｎｂ ｘ（ ＞０） ｂ ｘ
＋ ＋
解得 ｂ ｘ ｂ 即函数的定义域为 ｂ ｂ 关于原点对称 （ ）
＞０， － ＜ ＜ ， （－ ， ）， ，
ｂ ｘ ｂ ｘ 若ａｂ ａ ｂ 则 １ １
又ｆ ｘ ＋ － ｆ ｘ 则函数ｆ ｘ 为奇函数 ｑ为 Ａ． ＞０， ＞ ， ａ ＜ ｂ
（－ ）＝ｌｎｂ ｘ＝－ｌｎｂ ｘ＝－ （ ）， （ ） ，
－ ＋ 若ａ ｂ Ｒ 则ａ ａ ｂ ａ ｂ ｂ恒成立
真命题． Ｂ． ， ∈ ， （ － ）≥（ －２ ）
若 ａ ｂ 则ａｂ ｂ２
则ｐ ｑ为真命题 ｐ ¬ ｑ ¬ ｐ ｑ ¬ ｐ ¬ ｑ 均为假 Ｃ． ＞ ， ＞
∧ ， ∧（ ）、（ ）∧ 、（ ）∨（ ） 若ａ ｂ ｃ ｄ 则ａｃ ｂｄ
命题．故选 Ｄ． ＞ ＞０， ＞ ＞０， ＞ ＞０
Ｃ．
方法总结 “ｐ ｑ”“ｐ ｑ”“¬ ｐ”形式命题真假的判断 答案 ＡＢＤ ａｂ 则 １ 又因为ａ ｂ 所以 １ １ 故
∨ ∧ ＞０， ａｂ＞０， ＞ ， ａ ＜ ｂ ，
步骤：
正确．ａ ｂ Ｒ ａ ａ ｂ ａ ｂ ｂ ａ２ ａｂ ａｂ ｂ２ ａ ｂ ２
（ ）确定命题构成形式； Ａ ， ∈ ， （ － ）－（ －２ ） ＝ － － ＋２ ＝（ － ） ＋
１ ｂ２ 即ａ ａ ｂ ａ ｂ ｂ 故 正确． ａ ｂ 当ａ ｂ
（ ）判断命题ｐ，ｑ的真假； ≥０， （ － ）≥（ －２ ） ， Ｂ ＞ ， ＝１， ＝０
２ 时 ａｂ ｂ２ 故 不正确．若ａ ｂ ｃ ｄ 则ａｃ ｂｄ 正
（ ）根据真值表确定“ｐ ｑ”“ｐ ｑ”“¬ ｐ”形式命题的真假． ， ＝ ， Ｃ ＞ ＞０， ＞ ＞０， ＞ ＞０，Ｄ
３ ∨ ∧ 确．故选 ．
ＡＢＤ
二、多项选择题
三、填空题
１０．（２０２１届百师联盟一轮复习联考（二），９）下面命题正确的是
１４．（２０２１东北三省四市教研联合体二模，１４）根据事实 ２
１＝１ ；１＋
（ ） ２ ２ ２ 写出一个含有量词的
３＝２ ；１＋３＋５＝３ ；１＋３＋５＋７＝４ ；……，
ａ 是 １ 的充分不必要条件 全称命题 ．
Ａ．“ ＞１” “ ａ ＜１” ：
答案 ｎ Ｎ∗ ｎ ｎ２
命题 若ｘ 则ｘ２ 的否定是 存在ｘ 使得ｘ２ ∀ ∈ ，１＋３＋５＋…＋（２ －１）＝
Ｂ． “ ＜１， ＜１” “ ＜１， ≥１” 解析 ２ ２ ２
设ｘ ｙ Ｒ 则 ｘ 且ｙ 是 ｘ２ ｙ２ 的必要而不充 １＝１ ，１＋（２×２－１）＝２ ，１＋３＋（２×３－１）＝３ ，１＋３＋５＋
Ｃ． ， ∈ ， “ ≥２ ≥２” “ ＋ ≥４” ２
分条件 （２×４－１）＝４ ，……
由此可归纳得出 ｎ Ｎ∗ ｎ ｎ２．
设ａ ｂ Ｒ 则 ａ 是 ａｂ 的必要不充分条件 ∀ ∈ ，１＋３＋５＋…＋（２ －１）＝
Ｄ． ， ∈ ， “ ≠０” “ ≠０” １５．（２０２１北京丰台二模，１２）能够说明 若ａ ｂ ｍ均为正数 则
“ ， ， ，
答案 ＡＢＤ 选项 由ａ 能推出 １ 但是由 １ ｂ ｍ ｂ
Ａ， ＞１， ａ ＜１， ａ ＜１， ＋ 是假命题的一组整数ａ ｂ的值依次为 ．
ａ ｍ＞ ａ ” ，
＋
不能推出ａ 例如当ａ 时 符合 １ 但是不符合ａ 答案 答案不唯一
＞１， ＜０ ， ａ ＜１， ＞１， １，１（ ）
ｂ ｍ ｂ ｂ ｍ ｂ
选项 正确 解析 若 ＋ 是假命题 则 ＋
Ａ ； ａ ｍ＞ ａ ， ａ ｍ≤ ａ ，
选项
Ｂ，
根据命题的否定的定义可知
：
命题
“
若ｘ
＜１，
则ｘ２
＜１” 又ａ ｂ ｍ都是
＋
正数 ａ ｂ ｍ ｂ
＋
ａ ｍ
的否定是
“
存在ｘ
＜１，
使得ｘ２
≥１”，
选项
Ｂ
正确
； ａｍ
， ，
ｂｍ ａ ｂ
，∴ （ ＋ ）≤ （ ＋ ），
选项
Ｃ，
由ｘ
≥２
且ｙ
≥２
能推出ｘ２
＋
ｙ２
≥４，
而由ｘ２
＋
ｙ２
≥４
推不 ∴ ≤ ，∴ ≤
ｂ
，
ｍ ｂ
出ｘ 且ｙ 选项 不正确 故当ａ
＝
ｂ
＝１
时
，ａ
＋
ｍ＞ ａ
是假命题
，
≥２ ≥２， Ｃ ； ＋
选项 因为ｂ可以等于零 所以由ａ 不能推出ａｂ 而
故答案为 答案不唯一 ．
Ｄ， ， ≠０ ≠０，
１，１（ ）
由ａｂ 能推出ａ 所以 ａ 是 ａｂ 的必要不充分 １６．（２０２１江西宜春重点中学第七次月考，１３）已知命题 存在ｘ
≠０ ≠０， “ ≠０” “ ≠０”
“
条件
，
选项
Ｄ
正确．故选
ＡＢＤ
．
∈
Ｒ
，
使 ａｘ２
－
ｘ
＋２≤０”
是假命题
，
则实数 ａ 的取值范
１１．（２０２１届广东仲元中学、中山一中等七校联合体第一次联考，９）
围是 ．
下列四个条件中 ｐ是ｑ的充分条件的是 ( )
， （ ） 答案 １
ｐ ａ ｂ ｑ ａ２ ｂ２ ∙∙ ，＋∞
Ａ． ： ＞ ， ： ＞ ８
Ｂ．
ｐ
：
ａｘ２
＋
ｂｙ２
＝
ｃ为双曲线
，
ｑ
：
ａｂ
＜０
解析 由题意可知
，“∀
ｘ
∈
Ｒ
，
ａｘ２
－
ｘ
＋２＞０”
是真命题
，
则有
ｐ ａ ｂ ｑ ａ ｂ {ａ
Ｃ． ： ＞ ， ：２ ＞２ ＞０ 解 得 ａ １ 所 以 实 数 ａ 的 取 值 范 围
ｃ ｂ Δ ａ ＞ ，
ｐ ａｘ２ ｂｘ ｃ ｑ ａ ＝１－８ ＜０， ８
Ｄ． ： ＋ ＋ ＞０， ：ｘ２ － ｘ ＋ ＞０ ( )
为 １ ．
答案 ＢＣ ｐ既不是ｑ的充分条件 也不是必要条件 ，＋∞
Ａ． ， ； ８
ｐ是ｑ的充分条件 不是必要条件 １７．（２０２１江西八所重点中学４月联考，１５）给出下列命题
Ｂ． ， ； ：
２ ０ ５年高考３年模拟 Ｂ版（教师用书）
垂直于同一个平面的两个平面平行 ａ ｂ 是 ａ与ｂ
① ；②“ · ＜０” “ ２ 故 正确．
的夹角为钝角 的充分不必要条件 边长为 的正方形的 ×４＝ ２， ③
” ；③ ２ ４
直观图的面积为
２；④
函数ｆ
（
ｘ
）＝
４
２ｘ＋ｓｉｎ
２ｘ的最小值为
４；
对于
④，
令
ｓｉｎ
２ｘ
＝
ｔ
，０＜
ｔ
≤１，
则ｙ
＝
４
ｔ ＋
ｔ
，０＜
ｔ
≤１，
易证ｙ
＝
４
ｔ ＋
ｔ
ｓｉｎ
在 上单调递减 故其最小值为 ．故 错
已知 α ４ α β １ 则 β ． （０，１］ ， ５ ④ ；
⑤ ｔａｎ ＝ ，ｔａｎ（ － ）＝－ ， ｔａｎ ＝３
３ ３ 对于 当 α ４ α β １ 时 β α α
其中正确的有 ． 填上你认为正确命题的序号 ⑤， ｔａｎ ＝ ，ｔａｎ（ － ）＝ － ，ｔａｎ ＝ｔａｎ［ －（ －
（ ） ３ ３
答案 ( )
③⑤ ４ １
解析 对于 直棱柱的侧面都与底面垂直 但侧面之间 α α β － －
①， ， β ｔａｎ －ｔａｎ（ － ） ３ ３ ５ ９ 故
不一定平行 故 错 ）］＝ α α β ＝ ( ) ＝ × ＝３， ⑤
， ① ； １＋ｔａｎ ·ｔａｎ（ － ） ４ １ ３ ５
对于 当ａ与ｂ反向共线时 ａ ｂ 但ａ与ｂ的夹角不是
１＋ × －
３ ３
②， ， · ＜０，
钝角 故充分性不成立 故 错 正确 综上可知 正确命题的序号为 ．
， ， ③⑤
， ， ② ；
对于 由于在斜二测画法中 直观图面积是原图形面积的
③， ，
２ 而边长为 的正方形的面积为 所以其直观图的面积为
， ２ ４，
４
