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数学_高考数学知识点总结及解题思路_122页_高中九科知识点归纳。_数学

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                            高中数学第一章-集合
榆林教学资源网 http://www.ylhxjx.com
考试内容：
集合、子集、补集、交集、并集．
逻辑联结词．四种命题．充分条件和必要条件．
考试要求： 榆林教学资源网 http://www.ylhxjx.com
（1）理解集合、子集、补集、交集、并集的概念；了解空集和全集的意义；了解属于、包含、相等
关系的意义；掌握有关的术语和符号，并会用它们正确表示一些简单的集合．
（2）理解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义理解四种命题及其相互关系；掌握充分条
件、必要条件及充要条件的意义．
§01. 集集合合与与简简易易逻逻辑辑 知知识识要要点点
一、知识结构:
本章知识主要分为集合、简单不等式的解法（集合化简）、简易逻辑三部分：
二、知识回顾：
（一） 集合
1. 基本概念：集合、元素；有限集、无限集；空集、全集；符号的使用.
2. 集合的表示法：列举法、描述法、图形表示法.
集合元素的特征：确定性、互异性、无序性.
集合的性质：
①任何一个集合是它本身的子集，记为A A；
②空集是任何集合的子集，记为 A；
③空集是任何非空集合的真子集；
如果A B，同时B  A，那么A = B.
如果a 0.
[注]：①Z= {整数}（√） Z ={全体整数} （×）
②已知集合S 中A的补集是一个有限集，则集合A也是有限集（. ×）（例：S=N； A=N，则
CA= {0}）
s
③ 空集的补集是全集.
第 1 页 共 165 页④若集合A=集合B，则C A = ， C B =  C（C B）= D （ 注 ：C B = ）.
B A S A A
3. ①{（x，y）|xy =0，x∈R，y∈R}坐标轴上的点集.

②{（x，y）|xy＜0，x∈R，y∈R 二、四象限的点集.
③{（x，y）|xy＞0，x∈R，y∈R} 一、三象限的点集.
[注]：①对方程组解的集合应是点集.
xy3
例：  解的集合{(2，1)}.
2x3y1
②点集与数集的交集是. （例：A ={(x，y)| y =x+1} B={y|y =x2+1} 则A∩B =）
4. ①n个元素的子集有2n个. ②n个元素的真子集有2n －1个. ③n个元素的非空真子
集有2n－2个.
5. ⑴①一个命题的否命题为真，它的逆命题一定为真. 否命题逆命题.
②一个命题为真，则它的逆否命题一定为真. 原命题逆否命题.
例：①若ab 5，则a  2或b 3应是真命题.
解：逆否：a = 2且 b = 3，则a+b = 5，成立，所以此命题为真.
②x 1且y  2， x y 3.
解：逆否：x + y =3 x = 1或y = 2.
x 1且y  2 x y 3,故x y 3是x 1且y  2的既不是充分，又不是必要条
件.
⑵小范围推出大范围；大范围推不出小范围.
3. 例：若x  5， x  5或x  2.
4. 集合运算：交、并、补.
交：A B{x|xA,且xB}

并：A B {x|xA或xB}

补：CA{xU,且xA}
U
5. 主要性质和运算律
（1） 包含关系：
A A, A,AU,CAU,
U
A B,BC  AC;A B A,A B B;A B  A,A B B.
   
（2） 等价关系：A B A  B  A A  B  B C U A  B U
（3） 集合的运算律：
交换律：A

B  B

A;A

B  B

A.
第 2 页 共 165 页结合律:(A

B)

C  A

(B

C);(A

B)

C  A

(B

C)
分配律:.A

(B

C) (A

B)

(A

C);A

(B

C) (A

B)

(A

C)
0-1律：

A,

A A,U

A A,U

AU
等幂律：A

A A,A

A A.
求补律：A∩CA=φ A∪CA=U CU=φ Cφ=U
U U  U  U
反演律：C(A∩B)= (CA)∪(CB) C(A∪B)= (CA)∩(CB)
U U U U U U
6. 有限集的元素个数
定义：有限集A的元素的个数叫做集合A的基数，记为card( A)规定 card(φ) =0.
基本公式：
(1)card(A B)card(A)card(B)card(A B)
 
(2)card(A B C)card(A)card(B)card(C)
 
card(A B)card(B C)card(C A)
  
card(A B C)
 
(3) card( A)= card(U)- card(A)
U
(二)含绝对值不等式、一元二次不等式的解法及延伸
1.整式不等式的解法
根轴法（零点分段法）
①将不等式化为a(x-x)(x-x)…(x-x)>0(<0)形式，并将各因式x的系数化“+”；
0 1 2 m
(为了统一方便)
②求根，并在数轴上表示出来；
③由右上方穿线，经过数轴上表示各根的点（为什么？）；
④若不等式（x的系数化“+”后）是“>0”,则找“线”在x轴上方的区间；若不等式
是“<0”,则找“线”在x轴下方的区间.
+ +
x 1 x 2 x 3 x m-3 - x m-2 x m-1 - x m x
（自右向左正负相间）
则不等式a xn a xn1 a xn2  a 0(0)(a 0)的解可以根据各区间的符号
0 1 2  n 0
确定.
特例① 一元一次不等式ax>b解的讨论；
②一元二次不等式ax2+box>0(a>0)解的讨论.
 0  0  0
第 3 页 共 165 页二次函数
y  ax2 bxc
（a 0）的图象
一元二次方程 有两相等实根
ax2 bxc 0 有两相异实根 b
x ,x (x  x ) x  x  无实根
 a 0 的根 1 2 1 2 1 2 2a
ax2 bxc 0    b 
xx x或x x xx   
(a 0)的解集 1 2  2a R
ax2 bxc0
 
xx  xx 
(a0)的解集 1 2 
2.分式不等式的解法
f(x) f(x) f(x) f(x)
（1）标准化：移项通分化为 >0(或 <0)； ≥0(或 ≤0)的形式，
g(x) g(x) g(x) g(x)
f(x) f(x) f(x)g(x)0
（2）转化为整式不等式（组） 0  f(x)g(x) 0; 0  
g(x) g(x)
g(x)  0
3.含绝对值不等式的解法
（1）公式法： axb c,与 axb c(c 0)型的不等式的解法.
（2）定义法：用“零点分区间法”分类讨论.
（3）几何法：根据绝对值的几何意义用数形结合思想方法解题.
4.一元二次方程根的分布
一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)
（1）根的“零分布”：根据判别式和韦达定理分析列式解之.
（2）根的“非零分布”：作二次函数图象，用数形结合思想分析列式解之.
（三）简易逻辑
1、命题的定义：可以判断真假的语句叫做命题。
2、逻辑联结词、简单命题与复合命题：
“或”、“且”、“非”这些词叫做逻辑联结词；不含有逻辑联结词的命题是简单命
题；由简单命题和逻辑联结词“或”、“且”、“非”构成的命题是复合命题。
构成复合命题的形式：p或q(记作“p∨q” )；p且q(记作“p∧q” )；非p(记作
“┑q” ) 。
3、“或”、 “且”、 “非”的真值判断
原命题 互 逆 逆命题
（1）“非p”形式复合命题的真假与F的真假相
若p则q 若q则p
互
反； 为 否
互 逆 互
否 逆 否
为
否
互
第 4 页 共 165 页 否命题 逆否命题
若┐p则┐q 互 逆 若┐q则┐p（2）“p且q”形式复合命题当P与q同为真时为真，其他情况时为假；
（3）“p或q”形式复合命题当p与q同为假时为假，其他情况时为真．
4、四种命题的形式：
原命题：若P则q； 逆命题：若q则p；
否命题：若┑P则┑q；逆否命题：若┑q则┑p。
(1)交换原命题的条件和结论，所得的命题是逆命题；
(2)同时否定原命题的条件和结论，所得的命题是否命题；
(3)交换原命题的条件和结论，并且同时否定，所得的命题是逆否命题．
5、四种命题之间的相互关系：
一个命题的真假与其他三个命题的真假有如下三条关系：(原命题逆否命题)
①、原命题为真，它的逆命题不一定为真。
②、原命题为真，它的否命题不一定为真。
③、原命题为真，它的逆否命题一定为真。
6、如果已知pq那么我们说，p是q的充分条件，q是p的必要条件。
若pq且qp,则称p是q的充要条件，记为p⇔q.
7、反证法：从命题结论的反面出发（假设），引出(与已知、公理、定理…)矛盾，从而否
定假设证明原命题成立，这样的证明方法叫做反证法。
高中数学第二章-函数
考试内容：
映射、函数、函数的单调性、奇偶性．
反函数．互为反函数的函数图像间的关系．
指数概念的扩充．有理指数幂的运算性质．指数函数．
对数．对数的运算性质．对数函数．
函数的应用．
考试要求：
（1）了解映射的概念，理解函数的概念．
（2）了解函数单调性、奇偶性的概念，掌握判断一些简单函数的单调性、奇偶性的方法．
（3）了解反函数的概念及互为反函数的函数图像间的关系，会求一些简单函数的反函数．
（4）理解分数指数幂的概念，掌握有理指数幂的运算性质，掌握指数函数的概念、图像 和
性质．
（5）理解对数的概念，掌握对数的运算性质；掌握对数函数的概念、图像和性质．
（6）能够运用函数的性质、指数函数和对数函数的性质解决某些简单的实际问题．
§02. 函函数数 知知识识要要点点
一、本章知识网络结构：
第 5 页 共 165 页
定义 F:A B
反函数
一般研究 图像
映射
性质
函数
二次函数
具体函数 指数 指数函数
对数函数
对数
二、知识回顾：
（一） 映射与函数
1. 映射与一一映射
2.函数
函数三要素是定义域，对应法则和值域，而定义域和对应法则是起决定作用的要素，因为
这二者确定后，值域也就相应得到确定，因此只有定义域和对应法则二者完全相同的函数才
是同一函数.
3.反函数
反函数的定义
设函数y  f(x)(xA)的值域是C，根据这个函数中x,y 的关系，用y把x表示出，
得到x=  (y). 若对于y在C中的任何一个值，通过x=  (y)，x在A中都有唯一的值和它
对应，那么，x=  (y)就表示y是自变量，x是自变量y的函数，这样的函数x=  (y) (yC)
叫做函数y  f(x)(xA)的反函数，记作x  f 1(y),习惯上改写成y  f 1(x)
第 6 页 共 165 页（二）函数的性质
⒈函数的单调性
定义：对于函数f(x)的定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值x,x
1 2,
⑴若当xf(x),则说f(x) 在这个区间上是减函数.
1 2 1 2
若函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，则就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格
的）单调性，这一区间叫做函数y=f(x)的单调区间.此时也说函数是这一区间上的单调函数.
2.函数的奇偶性
偶函数的定义：如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有
f(-x)=f(x),那么函数f(x)就叫做偶函数.
奇函数的定义：如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有
f(-x)=-f(x),那么函数f(x)就叫做奇函数.
正确理解奇、偶函数的定义。必须把握好两个问题：
（1）定义域在数轴上关于原点对称是函数 f(x)为奇
函数或偶函数的必要不充分条件；（2）f(x)f(x)或
f(x)f(x)是定义域上的恒等式。
2．奇函数的图象关于原点成中心对称图形，偶函数
的图象关于 轴成轴对称图形。反之亦真，因此，也
y
可以利用函数图象的对称性去判断函数的奇偶性。
3.奇函数在对称区间同增同减；偶函数在对称区间增
减性相反.
4．如果 f(x)是偶函数，则 f(x)f(x||，)反之亦成立。
若奇函数在 x0时有意义，则 f(0)0。
7. 奇函数，偶函数：
⑴偶函数： f(x) f(x)
第 7 页 共 165 页设（a,b）为偶函数上一点，则（a,b）也是图象上一点.
偶函数的判定：两个条件同时满足
①定义域一定要关于y轴对称，例如：yx2 1在[1,1)上不是偶函数.
f(x)
②满足 f(x) f(x)，或 f(x) f(x)0，若 f(x)0时， 1.
f(x)
⑵奇函数： f(x)f(x)
设（a,b）为奇函数上一点，则（a,b）也是图象上一点.
奇函数的判定：两个条件同时满足
①定义域一定要关于原点对称，例如：yx3在[1,1)上不是奇函数.
f(x)
②满足 f(x)f(x)，或 f(x) f(x)0，若 f(x)0时， 1.
f(x)
8. 对称变换：①y = f（x）y轴  对  称 y f（x）
②y =f（x）x轴对  称 yf（x）
③y =f（x） 原  点  对  称 yf（x）
9. 判断函数单调性（定义）作差法：对带根号的一定要分子有理化，例如：
在进行讨论.
10. 外层函数的定义域是内层函数的值域.
x
例如：已知函数（f x）= 1+ 的定义域为A，函数f[（f x）]的定义域是B，则集合A与集合B
1 x
之间的关系是 .
解：f(x)的值域是 f(f(x))的定义域B，f(x)的值域R，故BR，而Ax|x1 ，故B A.
11. 常用变换：
f(x)
① f(xy) f(x)f(y) f(xy) .
f(y)
f(y)
证： f(xy)  f(x) f[(xy)y] f(xy)f(y)
f(x)
x
② f( ) f(x) f(y) f(xy) f(x) f(y)
y
x x
证： f(x) f( y) f( ) f(y)
y y
12. ⑴熟悉常用函数图象：
|x2| |x| |x2|
1 1 1
例：y2|x|→|x|关于y轴对称. y  →y  →y 
2 2 2
第 8 页 共 165 页▲
y
x
▲
y
(0,1)
x
▲
y
(-2,1)
x
▲y
y|2x2 2x1|→| y|关于x轴对称.
x
⑵熟悉分式图象：
2x1 7
例 ： y 2 定 义 域 {x|x3,xR}，
x3 x3
值域{y| y2,yR}→值域 x前的系数之比.
（三）指数函数与对数函数
第 9 页 共 165 页指数函数y  ax(a  0且a 1)的图象和性质
a>1 00时，y>1;x<0时，00时，01.
（5）在 R上是增函数 （5）在R上是减函数
对数函数y=log x的图象和性质:
a
对数运算：
第 10 页 共 165 页（log以 a (上MM N)0  ,lNog a 0M,a l0o,ga a N1(,1)b  0,b1,c  0,c1,a 1 ,a 2 ...a n  0且1）
M
log log M log N
a a a
N
log Mn nlog M12)
a a
1
log n M  log M
a a
n
alog a N N
log N
换底公式：log N  b
a
log a
b
推论：log blog clog a1
a b c
log a log a ...log a log a
a 2 a 3 a n a n
1 2 n1 1
第 11 页 共 165 页a>1 01
a
图
象 O
x
x=1
a<1
（1）定义域：（0，+∞）
（2）值域：R
（3）过点（1，0），即当x=1时，y=0
性
质 （4）x(0,1)时 y 0 x(0,1)时 y 0
x(1,)时 y>0 x(1,)时y 0
（5）在（0，+∞）上是增函数 在（0，+∞）上是减函数
第 12 页 共 165 页注⑴：当a,b

0时，log(ab)log(a)log(b).
⑵：当M

0时，取“+”，当n是偶数时且M

0时，Mn

0，而M

0，故取“—”.
例如：log x22log x (2log x中x＞0而log x2中x∈R）.
a a  a a
⑵yax（a

0,a1）与ylog
a
x互为反函数.
当a  1时，ylog a x的a值越大，越靠近x轴；当0  a  1时，则相反.
（四）方法总结
⑴.相同函数的判定方法：定义域相同且对应法则相同.
⑴对数运算：
log (M N)log M log N(1)
a a a
M
log log M log N
a a a
N
log Mn nlog M12)
a a
1
log n M  log M
a a
n
alog a N N
log N
换底公式：log N  b
a
log a
b
推论：log blog clog a1
a b c
log a log a ...log a log a
a 2 a 3 a n a n
1 2 n1 1
（以上M

0,N

0,a

0,a1,b

0,b1,c

0,c1,a
1
,a
2
...a
n 
0且1）
注⑴：当a,b

0时，log(ab)log(a)log(b).
⑵：当M

0时，取“+”，当n是偶数时且M

0时，Mn

0，而M

0，故取“—”.
例如：log x22log x (2log x中x＞0而log x2中x∈R）.
a a  a a
⑵yax（a

0,a1）与ylog
a
x互为反函数.
当a  1时，ylog a x的a值越大，越靠近x轴；当0  a  1时，则相反.
⑵.函数表达式的求法：①定义法；②换元法；③待定系数法.
⑶.反函数的求法：先解x,互换x、y，注明反函数的定义域(即原函数的值域).
⑷.函数的定义域的求法：布列使函数有意义的自变量的不等关系式，求解即可求得函数
的定义域.常涉及到的依据为①分母不为0；②偶次根式中被开方数不小于0；③对数的真数
大于0，底数大于零且不等于1；④零指数幂的底数不等于零；⑤实际问题要考虑实际意义等.
第 13 页 共 165 页⑸.函数值域的求法：①配方法(二次或四次)；②“判别式法”；③反函数法；④换元法；
⑤不等式法；⑥函数的单调性法.
⑹.单调性的判定法：①设x ,x 是所研究区间内任两个自变量，且x ＜x ；②判定f(x
1 2 1 2
)与f(x )的大小；③作差比较或作商比较.
1 2
⑺.奇偶性的判定法：首先考察定义域是否关于原点对称，再计算f(-x)与f(x)之间的关
系：①f(-x)=f(x)为偶函数；f(-x)=-f(x)为奇函数；②f(-x)-f(x)=0为偶；f(x)+f(-x)=0
为奇；③f(-x)/f(x)=1是偶；f(x)÷f(-x)=-1为奇函数.
⑻.图象的作法与平移：①据函数表达式，列表、描点、连光滑曲线；②利用熟知函数的图
象的平移、翻转、伸缩变换；③利用反函数的图象与对称性描绘函数图象.
高中数学 第三章 数列
考试内容：
数列．
等差数列及其通项公式．等差数列前n项和公式．
等比数列及其通项公式．等比数列前n项和公式．
考试要求：
（1）理解数列的概念，了解数列通项公式的意义了解递推公式是给出数列的一种方法，并能
根据递推公式写出数列的前几项．
（2）理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式与前n项和公式，并能解决简单的实际
问题．
（3）理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前n项和公式，井能解决简单的实际
问题．
§03. 数数 列列 知知识识要要点点
数列的定义 项
数列的有关概念 项数
数列
数列的通项 通项
数列与函数的关系
等比数列的定义
等差数列的定义
等比数列的通项
等差数列的通项
等比数列
等差数列
等比数列的性质
等差数列的性质
等比数列的前 n 项
等差数列的前 n 项
和
和
第 14 页 共 165 页1. ⑴等差、等比数列：
等差数列 等比数列
定义 a n1 a n d a n1 q(q0)
a
n
递 推 公 a n a n1 d ；a n a mn md a n a n1 q；a n a m qnm
式
通 项 公 a n a 1 (n1)d a n a 1 qn1（a 1 ,q0）
式
中项 A a nk a nk （ G a nk a nk (a nk a nk  0)（
2
n,kN*,n k 0）
n,kN*,n k 0）  
 
前 n项 S  n (a a ) na 1 (q1)
n 1 n   
和 2 S a 1qn a a q
n(n1) n  1  1 n (q2)
S n na 1  d  1q 1q
2
重 要 性
质
等差数列 等比数列
定义 {a }为AP  a a  d(常数） a
n n1 n {a }为GP  n1  q(常数）
n
a
n
通项公 a =a +（n-1）d=a +（n-k）d=dn+a - a  a qn1  a qnk
n 1 k 1 n 1 k
式
d
求和公 n(a a ) n(n1) na (q 1)
s  1 n  na  d 1
式 n 1 
2 2 s  a (1qn) a a q
d d n 1  1 n (q 1)
 n2 (a  )n 
2 1 2  1q 1q
中项公 ab G2  ab。推广：a 2  a a
式 A= 2 推广：2a n =a nm a nm n nm nm
性 1 若m+n=p+q则 a a  a a 若m+n=p+q，则a a  a a 。
m n p q m n p q
质
2 若{k }成A.P（其中k N ）则{a } 若{k }成等比数列 （其中k N ），
n n k n n n
也为A.P。 则{a }成等比数列。
k
n
3 ．s ,s s ,s s 成等差数列。 s ,s s ,s s 成等比数列。
n 2n n 3n 2n n 2n n 3n 2n
4 a a a a a a
d  n 1  m n (m  n) qn1  n ， qnm  n
n1 mn a a
1 m
(m  n)
5
⑵看数列是不是等差数列有以下三种方法：
第 15 页 共 165 页①a a d(n2,d为常数)
n n1
②2a a a (n2)
n n1 n1
③a knb(n,k为常数).
n
⑶看数列是不是等比数列有以下四种方法：
①a a q(n2,q为常数,且0)
n n1
②a
n
2 a
n1
a
n1
(n2，a
n
a
n1
a
n1
0)①
注①：i. b ac ，是a、b、c成等比的双非条件，即b ac a、b、c等比数列.
ii. b ac （ac＞0）→为a、b、c等比数列的充分不必要.
iii. b ac→为a、b、c等比数列的必要不充分.
iv. b ac 且ac  0→为a、b、c等比数列的充要.
注意：任意两数a、c不一定有等比中项，除非有ac＞0，则等比中项一定有两个.
③a cqn( c,q为非零常数).
n
④正数列{a
n
}成等比的充要条件是数列{log
x
a
n
}（x

1）成等比数列.
s a (n1)
⑷数列{a }的前n项和S 与通项a 的关系：a  1 1
n n n n s
n
s
n1
(n2)
[注]： ①a a n1d nda d （d 可为零也可不为零→为等差数列充要条件（即常数
n 1 1
列也是等差数列）→若d 不为0，则是等差数列充分条件）.
d  d d
②等差{a }前n项和S  An2Bn n2a  n → 可以为零也可不为零→为等差
n n 1
2  2 2
的充要条件→若d 为零，则是等差数列的充分条件；若d 不为零，则是等差数列的充分条件.
③非零常数列既可为等比数列，也可为等差数列.（不是非零，即不可能有等比数列）
2. ① 等 差 数 列 依 次 每 k 项 的 和 仍 成 等 差 数 列 ， 其 公 差 为 原 公 差 的 k2 倍
S ,S S ,S S ...；
k 2k k 3k 2k
②若等差数列的项数为2n  nN  ，则S
偶
S
奇
nd， S
S
奇 
a
a n ；
偶 n1
③若等差数列的项数为2n1  nN  ，则S 2n1a ，且S S a ， S 奇  n
2n1 n 奇 偶 n S n1
偶
代入n到2n1得到所求项数.
nn1
3. 常用公式：①1+2+3 …+n =
2
nn12n1
②122232 n2

6
第 16 页 共 165 页nn1

2
③132333 n3
  
 2 
5 
[注]：熟悉常用通项：9，99，999，…a 10n 1； 5，55，555，…a  10n 1 .
n n 9
4. 等比数列的前n项和公式的常见应用题：
⑴生产部门中有增长率的总产量问题. 例如，第一年产量为a，年增长率为r，则每年的产量
成等比数列，公比为1r . 其中第n年产量为a(1r)n1，且过n年后总产量为：
a[a(1r)n]
aa(1r)a(1r)2 ...a(1r)n1  .
1(1r)
⑵银行部门中按复利计算问题. 例如：一年中每月初到银行存a元，利息为r，每月利息按复
利计算，则每月的a元过n个月后便成为a(1r)n元. 因此，第二年年初可存款：
a(1r)[1(1r)12]
a(1r)12 a(1r)11a(1r)10 ...a(1r)= .
1(1r)
⑶分期付款应用题：a为分期付款方式贷款为a元；m为m个月将款全部付清；r为年利率.
x1rm 1 ar1rm
a1rm x1rm1x1rm2 ......x1rxa1rm  x
r 1rm 1
5. 数列常见的几种形式：
⑴a  pa qa （p、q为二阶常数）用特证根方法求解.
n2 n1 n
具体步骤：①写出特征方程x2Pxq（x2对应a
n2
，x对应a
n1
），并设二根x
1
,x
2
②若
x x 可设a c xnc xn ，若x x 可设a (c c n)xn；③由初始值a ,a 确定c ,c .
1 2 n. 1 1 2 2 1 2 n 1 2 1 1 2 1 2
⑵a Pa r（P、r为常数）用①转化等差，等比数列；②逐项选代；③消去常数n转化为
n n1
a Pa qa 的形式，再用特征根方法求a ；④a c c Pn1（公式法），c ,c 由a ,a 确
n2 n1 n n n 1 2 1 2 1 2
定.
r
①转化等差，等比：a xP(a x)a Pa Pxxx .
n1 n n1 n
P1
r r
②选代法：a Pa r P(Pa r)r  a (a  )Pn1 (a x)Pn1x
n n1 n2  n 1 1
P1 P1
Pn1a Pn2r Prr .
1 
a Pa r
③用特征方程求解： n1 n 相减， a a Pa Pa a （P1）a Pa .
a
n
Pa
n1
r n1 n n n1 n1 n n1
r r r r
④由选代法推导结果：c  ，c a  ，a c Pn1c （a  ）Pn1 .
1 2 1 n 2 1 1
1P P1 P1 1P
6. 几种常见的数列的思想方法：
第 17 页 共 165 页⑴等差数列的前n项和为S
n
，在d

0时，有最大值. 如何确定使S
n
取最大值时的n值，有两
种方法：
d d
一是求使a n 0,a n1  0，成立的n值；二是由S n  n2 (a 1  )n利用二次函数的性质求n
2 2
的值.
⑵如果数列可以看作是一个等差数列与一个等比数列的对应项乘积，求此数列前n项和可依
1 1 1
照等比数列前n项和的推倒导方法：错位相减求和. 例如：1 ,3 ,...(2n1) ,...
2 4 2n
⑶两个等差数列的相同项亦组成一个新的等差数列，此等差数列的首项就是原两个数列的
第一个相同项，公差是两个数列公差d ，d 的最小公倍数.
1 2
2. 判断和证明数列是等差（等比）数列常有三种方法：(1)定义法:对于n≥2的任意自然数,验
a
证a a ( n )为同一常数。(2)通项公式法。(3)中项公式法:验证2a  a a
n n1 a n1 n n2
n1
(a2  a a )nN 都成立。
n1 n n2
a 0
3. 在等差数列｛a ｝中,有关S 的最值问题：(1)当a >0,d<0时，满足 m 的项数m使
n n 1 a 0

m1
a 0
得s 取最大值. (2)当a <0,d>0时，满足 m 的项数m使得s 取最小值。在解含绝对
m 1 a 0 m

m1
值的数列最值问题时,注意转化思想的应用。
（三）、数列求和的常用方法
1. 公式法:适用于等差、等比数列或可转化为等差、等比数列的数列。
 c 
2.裂项相消法:适用于 其中{ a }是各项不为0的等差数列，c为常数；部分
a a n
 
n n1
无理数列、含阶乘的数列等。
3.错位相减法:适用于  a b  其中{ a }是等差数列，  b  是各项不为0的等比数列。
n n n n
4.倒序相加法: 类似于等差数列前n项和公式的推导方法.
5.常用结论
n(n1)
1）: 1+2+3+...+n =
2
2） 1+3+5+...+(2n-1) =n2
2
1 
3）13 23  n3  n(n1)
  
2 
1
4） 12 22 32 

n2  n(n1)(2n1)
6
第 18 页 共 165 页1 1 1 1 1 1 1
5）    (  )
n(n1) n n1 n(n2) 2 n n2
1 1 1 1
6）  (  ) (p  q)
pq q p p q
高中数学第四章-三角函数
考试内容：
角的概念的推广．弧度制．
任意角的三角函数．单位圆中的三角函数线．同角三角函数的基本关系式.正弦、余弦的诱导
公式．
两角和与差的正弦、余弦、正切．二倍角的正弦、余弦、正切．
正弦函数、余弦函数的图像和性质．周期函数．函数y=Asin(ωx+φ)的图像．正切函数的图像和
性质．已知三角函数值求角．
正弦定理．余弦定理．斜三角形解法．
考试要求：
（1）理解任意角的概念、弧度的意义能正确地进行弧度与角度的换算．
（2）掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义；了解余切、正割、余割的定义；掌握同角三角函数
的基本关系式；掌握正弦、余弦的诱导公式；了解周期函数与最小正周期的意义．
（3）掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式；掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式．
（4）能正确运用三角公式，进行简单三角函数式的化简、求值和恒等式证明．
（5）理解正弦函数、余弦函数、正切函数的图像和性质，会用“五点法”画正弦函数、余弦函
数和函数y=Asin(ωx+φ)的简图，理解A.ω、φ的物理意义．
（6）会由已知三角函数值求角，并会用符号arcsinx\arc-cosx\arctanx表示．
（7）掌握正弦定理、余弦定理，并能初步运用它们解斜三角形．
（8）“同角三角函数基本关系式：sin2α+cos2α=1，sinα/cosα=tanα,tanα•cosα=1”．
§04. 三三角角函函数数 知知识识要要点点
1. ① 与（0°≤＜360°）终边相同的角的集合（角与角 的终边重合）：
 
|k360 ,kZ
 
②终边在x轴上的角的集合： |k180,kZ
 
③终边在y轴上的角的集合： |k180 90,kZ
 
④终边在坐标轴上的角的集合： |k90,kZ
第 19 页 共 165 页 
⑤终边在y=x轴上的角的集合： |k180 45,kZ
 
⑥终边在yx轴上的角的集合： |k180 45,kZ
⑦若角与角的终边关于x轴对称，则角与角的关系：360k
⑧若角与角的终边关于y轴对称，则角与角的关系：360k180 
⑨若角与角的终边在一条直线上，则角与角的关系：180k
⑩角与角的终边互相垂直，则角与角的关系：360k90
2. 角度与弧度的互换关系：360°=2 180°= 1°=0.01745 1=57.30°=57°18′
注意：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零.
180 
、弧度与角度互换公式： 1rad＝ °≈57.30°=57°18ˊ． 1°＝ ≈0.01745（rad）
 180
1 1
3、弧长公式： l ||r . 扇形面积公式：s  lr  ||r2
扇形 2 2
4、三角函数：设是一个任意角，在的终边上任取（异于 原
y
y a的终边
点的）一点P（x,y）P与原点的距离为r，则 sin ；
r P（x,y)
r
x y x r
o
cos ； tan ； cot ； sec ；. x
r x y x
r
csc .
y
5、三角函数在各象限的符号：（一全二正弦，三切四余弦）
y
T
P
O M Ax
y y y
- +
+ + - +
o
o x o
x - + x
- - + -
正弦、余割 余弦、正割 正切、余切
第 20 页 共 165 页6、三角函数线
16. 几个重要结论:
正弦线：MP; 余弦线：OM; 正切线：
(1) y (2) y
|sinx|>|cosx|
AT.
sinx>cosx
|cosx|>|sinx| |cosx|>|sinx|
O x O x
7. 三角函数的定义域： cosx>sinx
|sinx|>|cosx|

(3) 若 o0时, a与a同向; a (x,y)
向    
  (ab)ab
量 <0时, a与a异向;
   
  a//b a b
=0时, a 0.
     
ab是一个数 abba
向          
量 1.a 0或b0时， (a)ba(b)(ab)
的 a  b  0. a  b   x x  y y (a  b  )c  a  c  b  c 
数     1 2 1 2
量 a 0且b0时， a 2 |a  |2即|a  |= x2  y2
2.
积        
a  b|a||b|cos(a,b) |ab||a||b|
4.重要定理、公式
(1)平面向量基本定理
e，e 是同一平面内两个不共线的向量，那么，对于这个平面内任一向量，有且仅有一对
1 2
实数λ，
1
λ，使a＝λe＋λe.
2 1 1 2 2
(2)两个向量平行的充要条件
a∥ba＝λb(b≠0)xy－xy＝O.
1 2 2 1
(3)两个向量垂直的充要条件
a⊥ba·b＝Oxx＋yy＝O.
1 2 1 2
(4)线段的定比分点公式
设点P分有向线段PP 所成的比为λ，即PP＝λPP ，则
1 2 1 2
1 1
OP＝ OP ＋ OP (线段的定比分点的向量公式)
1 1 1 2
 x x
x  1 2 ,

 1
 (线段定比分点的坐标公式)
y y
 y  1 2 .

 1
当λ＝1时，得中点公式：
 x  x
x  1 2 ,

1  2
OP＝ （OP ＋OP ）或
2 1 2 y  y
 y  1 2 .

 2
(5)平移公式
设点P(x，y)按向量a＝（ｈ，ｋ）平移后得到点P′（x′，y′），
第 28 页 共 165 页x xh,
则OP＝OP+a或
y yk.
曲线y＝f（x）按向量a＝（ｈ，ｋ）平移后所得的曲线的函数解析式为：
y－ｋ＝f（x－ｈ)
(6)正、余弦定理
a b c
正弦定理：    2R.
sin A sinB sinC
余弦定理：a2＝b2＋c2－2bccosA，
b2＝c2＋a2－2cacosB，
c2＝a2＋b2－2abcosC.
（7）三角形面积计算公式：
设△ABC的三边为a，b，c，其高分别为h，h，h，半周长为P，外接圆、内切圆的半径为R，r.
a b c
①S =1/2ah=1/2bh=1/2ch ②S =Pr ③S =abc/4R
△ a b c △ △
④S =1/2sinC·ab=1/2ac·sinB=1/2cb·sinA ⑤S = PPaPbPc [海伦公式]
△ △
⑥S =1/2（b+c-a）r[如下图]=1/2（b+a-c）r=1/2（a+c-b）r
△ a c b
[注]：到三角形三边的距离相等的点有4个，一个是内心，其余3个是旁心.
如图：
图1 图2 图3
图4
图1中的I为S 的内心， S =Pr
△ABC △
图2中的I为S 的一个旁心，S =1/2（b+c-a）r
△ABC △ a
附：三角形的五个“心”；
重心：三角形三条中线交点.
外心：三角形三边垂直平分线相交于一点.
内心：三角形三内角的平分线相交于一点.
垂心：三角形三边上的高相交于一点.
旁心：三角形一内角的平分线与另两条内角的外角平分线相交一点.
第 29 页 共 165 页abc
⑸已知⊙O是△ABC的内切圆，若BC=a，AC=b，AB=c [注：s为△ABC的半周长,即 ]
2
则：①AE=sa=1/2（b+c-a）
②BN=sb=1/2（a+c-b）
③FC=sc=1/2（a+b-c）
综合上述：由已知得，一个角的邻边的切线长，等于半周长减去对边（如图4）.
abc ab
特例：已知在Rt△ABC，c为斜边，则内切圆半径r=  （如图3）.
2 abc
⑹在△ABC中，有下列等式成立tanAtanBtanC tanAtanBtanC.
tanAtanB
证明：因为ABC,所以tanABtanC ，所以 tanC，结论！
1tanAtanB
AC2BDAB2BC
⑺在△ABC中，D是BC上任意一点，则AD2  BDDC.
BC
证明：在△ABCD中，由余弦定理，有AD2 AB2BD22ABBDcosB ①

AB2BC2AC2
在△ABC中，由余弦定理有cosB ②，②代入①，化简

2ABBC
AC2BDAB2BC
可得，AD2  BDDC（斯德瓦定理）
BC
1
①若AD是BC上的中线，m  2b2 2c2 a2 ；
a
2
2
②若AD是∠A的平分线，t  bcppa，其中p为半周长；
a
bc
2
③若AD是BC上的高，h  ppapbpc，其中p为半周长.
a
a
⑻△ABC的判定：

c2a2b2△ABC为直角△∠A + ∠B =
2

c2＜a2b2△ABC为钝角△∠A + ∠B＜
2

c2＞a2b2△ABC为锐角△∠A + ∠B＞
2
a2b2c2
附 ： 证 明 ： cosC ， 得 在 钝 角 △ ABC 中 ，
2ab
cosC 0 a2b2c2 0,a2b2 c2
  
⑼平行四边形对角线定理：对角线的平方和等于四边的平方和.
ab2ab2 2(a2b2)
空间向量
1．空间向量的概念：
第 30 页 共 165 页新疆
王新敞
奎屯
具有大小和方向的量叫做向量
新疆
王新敞
奎屯
注：⑴空间的一个平移就是一个向量
第 31 页 共 165 页新疆
王新敞
奎屯
⑵向量一般用有向线段表示 同向
等 长 的 有 向 线 段 表 示 同 一 或 相 等 的 向 量
新疆
王新敞
奎屯
⑶ 空 间 的 两 个 向 量 可 用 同 一 平 面 内 的 两 条 有 向 线 段 来 表 示
第 32 页 共 165 页新疆
王新敞
奎屯
2．空间向量的运算
定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘向量运算如下
 
OB OA AB  ab


BAOAOB  ab

OP a(R)
运算律：⑴加法交换律：a  b  b  a
⑵加法结合律：(ab  )c  a(b  c)
 
⑶数乘分配律：(ab) ab
第 33 页 共 165 页新疆
王新敞
奎屯
3 共线向量
表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平
行向量．a  平行于b  记作a//b  ．
     
当我们说向量a、b 共线（或a//b ）时，表示a、b 的有向线段所在的直线可能是同一
直线，也可能是平行直线．
4．共线向量定理及其推论：
     
共线向量定理：空间任意两个向量a、b（b ≠0），a//b 的充要条件是存在实数λ，使
 
a＝λb .

推论：如果l为经过已知点A且平行于已知非零向量a的直线，那么对于任意一点O，点
P在直线l上的充要条件是存在实数t满足等式

OP OA t a．

其中向量a叫做直线l的方向向量.
5．向量与平面平行：
已知平面和向量a  ，作O  A  a  ，如果直线OA平行于或在内，那么我们说向量a 
平行于平面，记作：a  //．
通 常 我 们 把 平 行 于 同 一 平 面 的 向 量 ， 叫 做 共 面 向 量
第 34 页 共 165 页新疆
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奎屯
说 明 ： 空 间 任 意 的 两 向 量 都 是 共 面 的
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6．共面向量定理：
如果两个向量 a  ,b  不共线， p  与向量 a  ,b  共面的充要条件是存在实数 x,y 使
第 35 页 共 165 页新疆
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  
p  xa yb
奎屯
x,y
推论：空间一点 P位于平面 MAB内的充分必要条件是存在有序实数对 ，使
      
MP xMA yMB或对空间任一点O，有OPOM xMA yMB ①
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MAB
奎屯
①式叫做平面 的向量表达式
第 36 页 共 165 页新疆
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7 空间向量基本定理：
如果三个向量a  ,b  ,c  不共面，那么对空间任一向量 p  ，存在一个唯一的有序实数组
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
x,y,z p   xa   yb zc 
奎屯
，使
推论：设O,A,B,C 是不共面的四点，则对空间任一点P，都存在唯一的三个
有 序 实 数 x,y,z， 使    
OP xOA yOBzOC
第 37 页 共 165 页新疆
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8 空间向量的夹角及其表示：
已知两非零向量a  ,b  ，在空间任取一点O，作O  A  a  ,O  B  b  ，则AOB叫做向量a  与
        
b 的夹角，记作 a,b ；且规定 0a,b ，显然有 a,b b,a ；若
a  ,b    ，则称a  与b  互相垂直，记作：a  b  .
2
9．向量的模：
设O  A  a ，则有向线段O  A  的长度叫做向量a  的长度或模，记作：|a  |.
     
10．向量的数量积： ab |a||b |cosa,b ．
第 38 页 共 165 页已知向量  A  B  a  和轴l，e  是l上与l同方向的单位向量，作点A在l上的射影A，作
点B在l上的射影B，则  A    B  叫做向量  A  B  在轴l上或在e  上的正射影.
可以证明  A    B  的长度|  A    B  ||  A  B  |cosa  ,e  |a  e  |．
11．空间向量数量积的性质：
（1）a  e  |a  |cosa  ,e  ．（2）a  b   a  b  0．（3）|a  |2a  a  ．
12．空间向量数量积运算律：
（1）(a  )b  (a  b  )a  (b  )．（2）a  b  b  a  （交换律）（3）a  (b  c  )a  b  a  c  （分
配律）．
空间向量的坐标运算
一．知识回顾：
（1）空间向量的坐标：空间直角坐标系的x轴是横轴（对应为横坐标），y轴是纵轴（对应为纵
轴），z轴是竖轴（对应为竖坐标）.
①令a=(a
1
,a
2
,a
3
),b(b
1
,b
2
,b
3
)，则
ab(a b ,a b ,a b )a(a ,a ,a )(R) aba b a b a b a∥
1 1 2 2 3 3 1 2 3 1 1 2 2 3 3
a a a
ba b ,a b ,a b (R)  1  2  3 aba b a b a b 0
1 1 2 2 3 3 b b b 1 1 2 2 3 3
1 2 3
a  aa  a 2a 2a 2 (用到常用的向量模与向量之间的转化： a2aa a  aa )
1 2 3
cosa  ,b   a  b   a 1 b 1 a 2 b 2 a 3 b 3
 
|a||b| a2 a2 a2  b2 b2 b2
1 2 3 1 2 3
②空间两点的距离公式：d  (x x )2 (y y )2 (z z )2 .
2 1 2 1 2 1
（2）法向量：若向量a所在直线垂直于平面，则称这个向量垂直于平面，记作a，如果
a那么向量a叫做平面的法向量.
（3）用向量的常用方法：
①利用法向量求点到面的距离定理：如图，设n是平面的法向量，AB是平面的一条射线，
|ABn|
其中A，则点B到平面的距离为 .
|n|
②利用法向量求二面角的平面角定理：设 分别是二面角 中平面 的法向量，
n ,n l ,
1 2
则 所成的角就是所求二面角的平面角或其补角大小（ 方向相同，则为补角，
n ,n n ,n
1 2 1 2
第 39 页 共 165 页反方，则为其夹角）.
n ,n
1 2
③证直线和平面平行定理：已知直线a 平面，ABa,CD，且CDE三点不共线，
则a∥的充要条件是存在有序实数对使ABCDCE .（常设ABCDCE 求解
,若,存在即证毕，若,不存在，则直线AB与平面相交）.
A B
B
▲
n
n
 ▲ 1 C D
 n
2  E
A
C

第 40 页 共 165 页高中数学第六章-不等式
考试内容：
不等式．不等式的基本性质．不等式的证明．不等式的解法．含绝对值的不等式．
考试要求：
（1）理解不等式的性质及其证明．
（2）掌握两个（不扩展到三个）正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，并会简单
的应用．
（3）掌握分析法、综合法、比较法证明简单的不等式．
（4）掌握简单不等式的解法．
（5）理解不等式│a│-│b│≤│a+b│≤│a│+│b│
§06. 不不 等等 式式 知知识识要要点点
1. 不等式的基本概念
（1） 不等（等）号的定义：ab 0  a b;ab 0 a b;ab0  a b.
（2） 不等式的分类：绝对不等式；条件不等式；矛盾不等式.
（3） 同向不等式与异向不等式.
（4） 同解不等式与不等式的同解变形.
2.不等式的基本性质
（1）a b  b a（对称性）
（2）a b,b c a c（传递性）
（3）a b ac bc（加法单调性）
（4）a b,c  d  ac bd （同向不等式相加）
（5）a b,c  d  ac bd （异向不等式相减）
（6）a.b,c 0 ac bc
（7）a b,c 0 ac bc（乘法单调性）
（8）a b 0,c  d 0 ac bd （同向不等式相乘）
a b
(9) a b0,0cd   （异向不等式相除）
c d
1 1
(10) ab,ab0  （倒数关系）
a b
（11）a b 0 an bn(nZ,且n 1)（平方法则）
（12）a b 0 n a  n b(nZ,且n 1)（开方法则）
3.几个重要不等式
（1）若aR,则|a|0,a2 0
第 41 页 共 165 页（2）若a、bR,则a2 b2  2ab(或a2 b2  2|ab| 2ab)（当仅当a=b时取等号）
ab
（3）如果a,b都是正数，那么 ab  .（当仅当a=b时取等号）
2
极值定理：若x,yR,x y S,xy  P,则：
如果P是定值, 那么当x=y时，S的值最小；
如果S是定值, 那么当x=y时，P的值最大.
利用极值定理求最值的必要条件： 一正、二定、三相等.
abc
(4)若a、b、cR,则  3 abc （当仅当a=b=c时取等号）
3
b a
(5) 若ab0,则  2（当仅当a=b时取等号）
a b
(6)a 0时，|x|a  x2 a2  xa 或 xa; |x|a x2 a2  a x a
（7）若a、bR,则||a||b|||ab||a||b|
4.几个著名不等式
2 ab a2 b2
 ab   .
（1）平均不等式： 如果a,b都是正数，那么 1 1 2 2 （当仅当

a b
a=b时取等号）即：平方平均≥算术平均≥几何平均≥调和平均（a、b为正数）：
ab a2b2 ab a2b2
特别地，ab( ) 2 （当a = b时，( ) 2 ab）
2 2 2 2
a2 b2 c2 abc 2
  (a,b,cR,a b c时取等)
3  3 
1
幂平均不等式：a2 a2 ...a2  (a a ...a )2
1 2 n n 1 2 n
注：例如：(acbd) 2(a2b2)(c2d2).
1 1 1 1 1 1 1
常用不等式的放缩法：①       (n2)
n n1 n(n1) n2 n(n1) n1 n
1 1 1
② n1 n     n n1(n1)
n n1 2 n n  n1
（ 2 ） 柯 西 不 等 式 ：
第 42 页 共 165 页若a ,a ,a , ,a R,b ,b ,b ,b R;则
1 2 3  n 1 2 3 n
（a b a b a b  a b )2 (a2 a2 a2  a2)(b2 b2 b2  b2)
1 1 2 2 3 3  n n 1 2 3  n 1 2 3  n
a a a a
当且仅当 1  2  3   n 时取等号

b b b b
1 2 3 n
（3）琴生不等式（特例）与凸函数、凹函数
若定义在某区间上的函数f(x),对于定义域中任意两点x ,x (x  x ),有
1 2 1 2
x x f(x ) f(x ) x x f(x ) f(x )
f( 1 2) 1 2 或 f( 1 2) 1 2 .
2 2 2 2
则称f(x)为凸（或凹）函数.
5.不等式证明的几种常用方法
比较法、综合法、分析法、换元法、反证法、放缩法、构造法.
6.不等式的解法
（1）整式不等式的解法（根轴法）.
步骤：正化，求根，标轴，穿线（偶重根打结），定解.
特例① 一元一次不等式ax>b解的讨论；
②一元二次不等式ax2+bx+c>0(a≠0)解的讨论.
（2）分式不等式的解法：先移项通分标准化，则
f(x) f(x) f(x)g(x)0
0 f(x)g(x)0; 0 
g(x) g(x) g(x)0
（3）无理不等式：转化为有理不等式求解
f(x)0

定义域
f(x)  g(x)  g(x)0

f(x) g(x)
f(x)0
 f(x)0
f(x)  g(x)  g(x)0 或 
 f(x) [g(x)]2
g(x)0
f(x)0

f(x)  g(x)  g(x)0
 f(x)[g(x)]2
（4）.指数不等式：转化为代数不等式
af(x) ag(x)(a 1) f(x) g(x); af(x) ag(x)(0a1) f(x) g(x)
af(x) b(a 0,b0) f(x)lga lgb
（5）对数不等式：转化为代数不等式
f(x)0 f(x)0
 
log f(x)log g(x)(a 1) g(x)0 ; log f(x)log g(x)(0a1) g(x)0
a a a a
 
f(x) g(x) f(x) g(x)
 
（6）含绝对值不等式
第 43 页 共 165 页应用分类讨论思想去绝对值； 应用数形思想；
应用化归思想等价转化
g(x) 0
| f(x)| g(x)  
g(x) f(x) g(x)
g(x) 0
| f(x)| g(x)  g(x)0(f(x),g(x)不同时为0)或 
f(x) g(x)或f(x)  g(x)
注：常用不等式的解法举例（x为正数）：
1 1 2 4
①x(1x) 2 2x(1x)(1x) ( ) 3
2 2 3 27
2x2(1x2)(1x2) 1 2 4 2 3
②y  x(1x2) y 2  ( ) 3  y
2 2 3 27 9
类 似 于 y sinxcos2xsinx(1sin 2x)， ③
1 1 1
|x ||x|| |(x与 同号，故取等)2
x x x
第 44 页 共 165 页高中数学第七章-直直线线和和圆圆的的方方程程
考试内容：
直线的倾斜角和斜率，直线方程的点斜式和两点式．直线方程的一般式．
两条直线平行与垂直的条件．两条直线的交角．点到直线的距离．
用二元一次不等式表示平面区域．简单的线性规划问题．
曲线与方程的概念．由已知条件列出曲线方程．
圆的标准方程和一般方程．圆的参数方程．
考试要求：
（1）理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线的斜率公式，掌握直线方程的点斜
式、两点式、一般式，并能根据条件熟练地求出直线方程．
（2）掌握两条直线平行与垂直的条件，两条直线所成的角和点到直线的距离公式能够根据直
线的方程判断两条直线的位置关系．
（3）了解二元一次不等式表示平面区域．
（4）了解线性规划的意义，并会简单的应用．
（5）了解解析几何的基本思想，了解坐标法．
（6）掌握圆的标准方程和一般方程，了解参数方程的概念。理解圆的参数方程．
§07. 直直线线和和圆圆的的方方程程 知知识识要要点点
一、直线方程.
1. 直线的倾斜角：一条直线向上的方向与x轴正方向所成的最小正角叫做这条直线的倾斜角，
其 中 直 线 与 x轴 平 行 或 重 合 时 ， 其 倾 斜 角 为 0 ， 故 直 线 倾 斜 角 的 范 围 是
0

180(0

).
注：①当90或x
2
x
1
时，直线l垂直于x轴，它的斜率不存在.
②每一条直线都存在惟一的倾斜角，除与x轴垂直的直线不存在斜率外，其余每一条直线都
有惟一的斜率，并且当直线的斜率一定时，其倾斜角也对应确定.
2. 直线方程的几种形式：点斜式、截距式、两点式、斜切式.
特别地，当直线经过两点(a,0),(0,b)，即直线在x轴，y轴上的截距分别为a,b(a0,b0)时，
x y
直线方程是：  1.
a b
2 2
注：若 y x2是一直线的方程，则这条直线的方程是 y x2，但若
3 3
2
y x2(x0)则不是这条线.
3
附：直线系：对于直线的斜截式方程ykxb，当k,b均为确定的数值时，它表示一条确定的
直线，如果k,b变化时，对应的直线也会变化.①当b为定植，k变化时，它们表示过定点（0，
b）的直线束.②当k为定值，b变化时，它们表示一组平行直线.
3. ⑴两条直线平行：
l
1
∥l
2
k
1
k
2
两条直线平行的条件是：①l
1
和l
2
是两条不重合的直线. ②在l
1
和l
2
的斜率
都存在的前提下得到的. 因此，应特别注意，抽掉或忽视其中任一个“前提”都会导致结论
的错误.
（一般的结论是：对于两条直线l ,l ，它们在y轴上的纵截距是b ,b ，则l ∥l k k ，且
1 2 1 2 1 2 1 2
b b 或l ,l 的斜率均不存在，即A B B A 是平行的必要不充分条件，且C C ）
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
第 45 页 共 165 页推论：如果两条直线l ,l 的倾斜角为, 则l ∥l  .
1 2 1 2 1 2 1 2
⑵两条直线垂直：
两条直线垂直的条件：①设两条直线l 和l 的斜率分别为k 和k ，则有l l k k 1这
1 2 1 2 1 2 1 2
里的前提是l
1
,l
2
的斜率都存在. ②l
1
l
2
k
1
0，且l
2
的斜率不存在或k
2
0，且l
1
的斜率不
存在. （即A B A B 0是垂直的充要条件）
1 2 2 1
4. 直线的交角：
⑴直线l 到l 的角（方向角）；直线l 到l 的角，是指直线l 绕交点依逆时针方向旋转到与
1 2 1 2 1
k k
l 重合时所转动的角，它的范围是(0,)，当90时tan 2 1 .
2 1k k
1 2
⑵两条相交直线l 与l 的夹角：两条相交直线l 与l 的夹角，是指由l 与l 相交所成的四个
1 2 1 2 1 2
 
角中最小的正角，又称为l 1 和l 2 所成的角，它的取值范围是   0, 2   ，当90，则有
k k
tan 2 1 .
1k k
1 2
l :A xB yC 0
5. 过两直线 1 1 1 1 的交点的直线系方程A xB yC (A xB yC )0(
l
2
:A
2
xB
2
yC
2
0 1 1 1 2 2 2
为参数，A xB yC 0不包括在内）
2 2 2
6. 点到直线的距离：
⑴点到直线的距离公式：设点P(x ,y )，直线l:AxByC 0,P到l的距离为d ，则有
0 0
Ax By C
0 0
d  .
A2B2
注：
1. 两点P(x,y)、P(x,y)的距离公式：| PP | (x x )2 (y  y )2 .
1 1 1 2 2 2 1 2 2 1 2 1
特例：点P(x,y)到原点O的距离：|OP| x2  y2
 
2. 定比分点坐标分式。若点 P(x,y)分有向线段 PP所成的比为即PP PP ,其中
1 2 1 2
x x y y
P(x,y),P (x,y).则 x  1 2 ,y  1 2
1 1 1 2 2 2
1 1
特例，中点坐标公式；重要结论，三角形重心坐标公式。
3. 直线的倾斜角（0°≤＜180°）、斜率:k  tan
y  y
4. 过两点P(x ,y ),P (x ,y )的直线的斜率公式：k  2 1 . (x  x )
1 1 1 2 2 2 x x 1 2
2 1
当 （即直线和 x 轴垂直）时，直线的倾斜角 ＝ ，没有斜率
x  x ,y  y  90
1 2 1 2
第 46 页 共 165 页新疆
王新敞
学案
⑵两条平行线间的距离公式：设两条平行直线l :AxByC 0,l :AxByC 0(C C )，
1 1 2 2 1 2
C C
1 2
它们之间的距离为d ，则有d  .
A2B2
注；直线系方程
1. 与直线：Ax+By+C= 0平行的直线系方程是：Ax+By+m=0.( m∊R, C≠m).
2. 与直线：Ax+By+C= 0垂直的直线系方程是：Bx-Ay+m=0.( m∊R)
3. 过定点（x,y）的直线系方程是： A(x-x)+B(y-y)=0 (A,B不全为0)
1 1 1 1
4. 过直线l、l 交点的直线系方程：（Ax+B y+C ）+λ( A x+B y+C ）=0 (λ∊R） 注：该直线系
1 2 1 1 1 2 2 2
不含l.
2
7. 关于点对称和关于某直线对称：
⑴关于点对称的两条直线一定是平行直线，且这个点到两直线的距离相等.
⑵关于某直线对称的两条直线性质：若两条直线平行，则对称直线也平行，且两直线到对称
直线距离相等.
若两条直线不平行，则对称直线必过两条直线的交点，且对称直线为两直线夹角的角平分线.
⑶点关于某一条直线对称，用中点表示两对称点，则中点在对称直线上（方程①），过两对称
点的直线方程与对称直线方程垂直（方程②）①②可解得所求对称点.
注：①曲线、直线关于一直线（yxb）对称的解法：y换x，x换y. 例：曲线f(x ,y)=0关于
直线y=x–2对称曲线方程是f(y+2 ,x –2)=0.
②曲线C: f(x ,y)=0关于点(a ,b)的对称曲线方程是f(a – x, 2b – y)=0.
二、圆的方程.
1. ⑴曲线与方程：在直角坐标系中，如果某曲线C上的 与一个二元方程 f(x,y)0的实数建
第 47 页 共 165 页立了如下关系：
①曲线上的点的坐标都是这个方程的解.
②以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点.
那么这个方程叫做曲线方程；这条曲线叫做方程的曲线（图形）.
⑵曲线和方程的关系，实质上是曲线上任一点M(x,y)其坐标与方程 f(x,y)0的一种关系，
曲线上任一点(x,y)是方程 f(x,y)0的解；反过来，满足方程 f(x,y)0的解所对应的点是
曲线上的点.
注：如果曲线C的方程是f(x ,y)=0，那么点P(x ,y)线C上的充要条件是f(x ,y)=0
0 0 0 0
2. 圆的标准方程：以点C(a,b)为圆心，r为半径的圆的标准方程是(xa)2(yb)2r2.
特例：圆心在坐标原点，半径为r的圆的方程是：x2y2r2.
注：特殊圆的方程：①与x轴相切的圆方程(xa)2(yb)2b2 [r  b,圆心(a,b)或(a,b)]
②与y轴相切的圆方程(xa)2(yb)2a2 [r  a,圆心(a,b)或(a,b)]
③与x轴y轴都相切的圆方程(xa)2(ya)2a2 [r  a,圆心(a,a)]
3. 圆的一般方程：x2y2DxEyF 0 .
当D2E24F  0时，方程表示一个圆，其中圆心C 


D
2 ,
E
2  

，半径r 
D2
2
E24F
.
 D E
当D2E24F 0时，方程表示一个点 , .
 2 2
当D2E24F 0时，方程无图形（称虚圆）.

xarcos
注：①圆的参数方程： （为参数）.
ybrsin
② 方 程 Ax2 BxyCy2 DxEyF 0表 示 圆 的 充 要 条 件 是 ： B0且 AC 0且
D2E24AF 0.

③圆的直径或方程：已知A(x ,y )B(x ,y )(xx )(xx )(yy )(yy )0（用向量可征）.
1 1 2 2 1 2 1 2
4. 点和圆的位置关系：给定点M(x ,y )及圆C:(xa)2(yb)2r2.
0 0
①M 在圆C内(x a)2(y b)2 r2
0 0 
②M 在圆C上（x a)2(y b)2r2
0 0
③M 在圆C外(x a)2(y b)2 r2
0 0 
5. 直线和圆的位置关系：
设圆圆C：(xa)2(yb)2r2(r 0)； 直线l：AxByC 0(A2B20)；

第 48 页 共 165 页AaBbC
圆心C(a,b)到直线l的距离d  .
A2B2
①d r时，l与C相切；
 x2y2D xE yF 0
附：若两圆相切，则 1 1 1 相减为公切线方程.
x2y2D
2
xE
2
yF
2
0
②d r时，l与C相交；

附：公共弦方程：设
有两个交点，则其公共弦方程为(D D )x(E E )y(F F )0.
1 2 1 2 1 2
③d r时，l与C相离.

 x2y2D xE yF 0
附：若两圆相离，则 1 1 1 相减为圆心O O 的连线的中与线方程.
x2y2D
2
xE
2
yF
2
0 1 2
(xa)2(yb)2r2
由代数特征判断：方程组 用代入法，得关于x（或y）的一元二次方程，
AxBxC 0
其判别式为，则：
0l与C相切；
 0l 与C相交；

 0l 与C相离.

注：若两圆为同心圆则x2y2D xE yF 0，x2y2D xE yF 0相减，不表示直线.
1 1 1 2 2 2
6. 圆 的 切 线 方 程 ： 圆 x2y2r2的 斜 率 为 k的 切 线 方 程 是 ykx 1k2r过 圆
x2y2DxEyF 0
xx yy
上一点P(x
0
,y
0
)的切线方程为：x
0
xy
0
yD 0 E 0 F 0.
2 2
①一般方程若点(x ,y)在圆上，则(x – a)(x – a)+(y – b)(y – b)=R2. 特别地，过圆x2y2r2上
0 0 0 0
一点P(x
0
,y
0
)的切线方程为x
0
xy
0
yr2.
y y k(x x )
1 0 1 0

②若点(x 0 ,y 0 )不在圆上，圆心为(a,b)则 R by 1 k(ax 1 ) ，联立求出k切线方程.


R21
7. 求切点弦方程：方法是构造图，则切点弦方程即转化为公共弦方程. 如图：ABCD四类共
圆 . 已 知 O的 方 程 x2y2DxEyF 0… ① 又 以 ABCD 为 圆 为 方 程 为
(xx )(xa)(yy )(xb)k2…②
A A
第 49 页 共 165 页(x a)2(y b)2
R2 A A …③，所以BC的方程即③代②，①②相切即为所求.
4
三、曲线和方程
1.曲线与方程：在直角坐标系中，如果曲线C和方程f(x,y)=0的实数解建立了如下的关系：
1） 曲线C上的点的坐标都是方程f(x,y)=0的解（纯粹性）；
2） 方程f(x,y)=0的解为坐标的点都在曲线C上（完备性）。则称方程f(x,y)=0为曲线C的方
程，曲线C叫做方程f(x,y)=0的曲线。
2.求曲线方程的方法：.
1）直接法：建系设点，列式表标,简化检验; 2）参数法; 3）定义法， 4）待定系数法.
第 50 页 共 165 页高中数学第八章-圆锥曲线方程
考试内容：
椭圆及其标准方程．椭圆的简单几何性质．椭圆的参数方程．
双曲线及其标准方程．双曲线的简单几何性质．
抛物线及其标准方程．抛物线的简单几何性质．
考试要求：
（1）掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质，了解椭圆的参数方程．
（2）掌握双曲线的定义、标准方程和双曲线的简单几何性质．
（3）掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线的简单几何性质．
（4）了解圆锥曲线的初步应用．
§08. 圆锥曲线方程 知识要点
一、椭圆方程.
1. 椭圆方程的第一定义：
PF  PF 2a F F 方程为椭圆,
1 2  1 2
PF  PF 2a F F 无轨迹,
1 2  1 2
PF  PF 2a  F F 以F ,F 为端点的线段
1 2 1 2 1 2
⑴①椭圆的标准方程：
x2 y2
i. 中心在原点，焦点在 x轴上：  1(a b 0). ii. 中心在原点，焦点在 y轴上：
 
a2 b2
y2 x2
 1(a

b

0).
a2 b2
x2 y2
②一般方程：Ax2By21(A 0,B 0).③椭圆的标准参数方程：  1的参数方程为
 
a2 b2
xacos 


ybsin
（一象限应是属于0


 2
）.
⑵①顶点：(a,0)(0,b)或(0,a)(b,0).②轴：对称轴：x轴，y轴；长轴长2a，短轴长2b.③焦
a2 a2
点：(c,0)(c,0)或(0,c)(0,c).④焦距：F F 2c,c a2b2 .⑤准线：x 或y .
1 2 c c
c
⑥离心率：e (0

e

1).⑦焦点半径：
a
x2 y2
i. 设P(x ,y )为椭圆  1(a b 0)上的一点，F ,F 为左、右焦点，则
0 0   1 2
a2 b2
由椭圆方程的第二定义可以推出.
x2 y2
ii.设P(x ,y )为椭圆  1(a b 0)上的一点，F ,F 为上、下焦点，则
0 0   1 2
b2 a2
由椭圆方程的第二定义可以推出.
a2 a2
由椭圆第二定义可知： pF e(x  )aex (x 0), pF e( x )ex a(x 0)归
1 0 c 0 0 2 c 0 0 0
结起来为“左加右减”.
注意：椭圆参数方程的推导：得N(acos,bsin)方程的轨迹为椭圆.
第 51 页 共 165 页2b2 b2 b2
⑧通径：垂直于x轴且过焦点的弦叫做通经.坐标：d  (c, )和(c, )
a2 a a
x2 y2 c
⑶共离心率的椭圆系的方程：椭圆  1(a b 0)的离心率是e (c a2b2)，方程
 
a2 b2 a
x2 y2 c
 t(t是大于0的参数，a  b  0)的离心率也是e 我们称此方程为共离心率的椭
a2 b2 a
圆系方程.
x2 y2
⑸若P是椭圆：  1上的点.F ,F 为焦点，若F PF ，则PF F 的面积为
1 2 1 2 1 2
a2 b2
 
b2tan （用余弦定理与 PF 1  PF 2 2a可得）. 若是双曲线，则面积为b2cot .
2 2
二、双曲线方程.
1. 双曲线的第一定义：
PF  PF 2a F F 方程为双曲线
1 2  1 2
PF  PF 2a F F 无轨迹
1 2  1 2
PF  PF 2a F F 以F ,F 的一个端点的一条射线
1 2 1 2 1 2
x2 y2 y2 x2
⑴ ① 双 曲 线 标 准 方 程 ：  1(a,b  0),  1(a,b  0). 一 般 方 程 ：
a2 b2 a2 b2
Ax2Cy21(AC

0).
⑵①i. 焦点在x轴上：
a2 x y
顶点：(a,0),(a,0) 焦点：(c,0),(c,0) 准线方程 x 渐近线方程：  0或
c a b
x2 y2
 0
a2 b2
a2
ii. 焦点在y轴上：顶点：(0,a),(0,a). 焦点：(0,c),(0,c). 准线方程：y . 渐近线方程：
c
y x y2 x2 xasec xbtan
 0或  0，参数方程： 或 .
a b a2 b2 ybtan yasec
c 2a2
②轴x,y为对称轴，实轴长为2a, 虚轴长为2b，焦距2c. ③离心率e . ④准线距
a c
（两准线的距离）；通径
2b2
. ⑤参数关系c2a2b2,e
c
. ⑥焦点半径公式：对于双曲线
a a
x2 y2
方程  1（F ,F 分别为双曲线的左、右焦点或分别为双曲线的上下焦点）
1 2
a2 b2
“长加短减”原则：
MF ex a MF ex a
1 0 构成满足 MF  MF 2a 1 0 （与椭圆焦半径不同，椭圆焦半
MF ex a 1 2 MF ex a
2 0 2 0
径要带符号计算，而双曲线不带符号）
第 52 页 共 165 页MF ey a
1 0
MF ey a
2 0

MF ey a
1 0

MF ey a
2 0
⑶等轴双曲线：双曲线x2y2a2称为等轴双曲线，其渐近线方程为yx，离心率e
2.
⑷共轭双曲线：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线，叫做已知双曲线的共轭
x2 y2 x2 y2 x2 y2
双曲线.  与  互为共轭双曲线，它们具有共同的渐近线：  0.
a2 b2 a2 b2 a2 b2
x2 y2 x2 y2
⑸共渐近线的双曲线系方程：  (0)的渐近线方程为  0如果双曲线的
a2 b2 a2 b2
x y x2 y2
渐近线为  0时，它的双曲线方程可设为  (0).
a b a2 b2
1 1
例如：若双曲线一条渐近线为y x且过p(3, )，求双曲线的方程？
2 2
x2 1 x2 y2
解：令双曲线的方程为： y2(0)，代入(3, )得  1.
4 2 8 2
⑹直线与双曲线的位置关系：
区域①：无切线，2条与渐近线平行的直线，合计2条；
区域②：即定点在双曲线上，1条切线，2条与渐近线平行的直线，合计3条；
区域③：2条切线，2条与渐近线平行的直线，合计4条；
区域④：即定点在渐近线上且非原点，1条切线，1条与渐近线平行的直线，合计2条；
区域⑤：即过原点，无切线，无与渐近线平行的直线.
小结：过定点作直线与双曲线有且仅有一个交点，可以作出的直线数目可能有0、2、3、4条.
（2）若直线与双曲线一支有交点，交点为二个时，求确定直线的斜率可用代入“”法与渐近
线求交和两根之和与两根之积同号.
x2 y2
⑺若P在双曲线  1，则常用结论1：P到焦点的距离为m = n，则P到两准线的距离
a2 b2
比为m︰n.
PF
1
简证： d 1  e = m .
d PF n
2 2
e
常用结论2：从双曲线一个焦点到另一条渐近线的距离等于b.
三、抛物线方程.
3. 设p  0，抛物线的标准方程、类型及其几何性质：
y22px y22px x22py x22py
第 53 页 共 165 页图形 ▲ ▲ ▲ ▲
y y y y
x x
O O
x x
O O
焦点 p p p p
F( ,0) F( ,0) F(0, ) F(0, )
2 2 2 2
准线 p p p p
x x y y
2 2 2 2
范围 x0,yR x0,yR xR,y0 xR,y0
对称轴 x轴 y轴
顶点 （0，0）
离心率 e1
焦点 p p p p
PF  x PF   x PF  y PF   y
2 1 2 1 2 1 2 1
4acb2 b
注：①ay2bycx顶点(  ).
4a 2a
P P
②y22px(p0)则焦点半径 PF  x ;x22py(p0)则焦点半径为 PF  y .
2 2
③通径为2p，这是过焦点的所有弦中最短的.
x2pt2 x2pt
④y22px（或x22py）的参数方程为 （或 ）（t为参数）.
y2pt y2pt2
四、圆锥曲线的统一定义..
4. 圆锥曲线的统一定义：平面内到定点F和定直线l的距离之比为常数e的点的轨迹.
当0

e

1时，轨迹为椭圆；
当e1时，轨迹为抛物线；
当e 1时，轨迹为双曲线；

c
当e0时，轨迹为圆（e ，当c0,ab时）.
a
5. 圆锥曲线方程具有对称性. 例如：椭圆的标准方程对原点的一条直线与双曲线的交点是
关于原点对称的.
因为具有对称性，所以欲证AB=CD, 即证AD与BC的中点重合即可.
第 54 页 共 165 页注：椭圆、双曲线、抛物线的标准方程与几何性质
椭圆 双曲线 抛物线
定义 1．到两定点F,F 的距离 1．到两定点F,F 的距
1 2 1 2
之和为定值2a(2a>|F F|) 离之差的绝对值为定值
1 2
的点的轨迹 2a(0<2a<|F F|)的点的
1 2
轨迹
2．与定点和直线的距离 2．与定点和直线的距离 与定点和直线的距离相等
之比为定值e的点的轨 之比为定值e的点的轨 的点的轨迹.
迹.（01）
图形
标准 x2 y2 x2 y2
方程  1(a b>0)  1(a>0,b>0) y2=2px
方 a2 b2 a2 b2
参数 x  acos x  asec x  2pt2
程 方程   y bsin   y btan   y  2pt (t为参数)
(参数为离心角） (参数为离心角）
范围 ─axa，─byb |x|  a，yR x0
中心 原点O（0，0） 原点O（0，0）
顶点 (a,0), (─a,0), (0,b) , (a,0), (─a,0) (0,0)
(0,─b)
对称轴 x轴，y轴； x轴，y轴; x轴
长轴长2a,短轴长2b 实轴长2a, 虚轴长2b.
焦点 F(c,0), F(─c,0) F(c,0), F(─c,0) p
1 2 1 2
F( ,0)
2
焦距 2c （c= a2 b2 ） 2c （c= a2 b2 ）
离心率 c c e=1
e  (0e1) e  (e 1)
a a
准线 a2 a2 p
x= x= x  
c c 2
渐近线 b
y=± x
a
焦半径 r  aex r  (exa) p
r  x
2
通径 2b2 2b2
2p
a a
焦参数 a2 a2
P
c c
1. 椭圆、双曲线、抛物线的标准方程的其他形式及相应性质.
2. 等轴双曲线
3. 共轭双曲线
第 55 页 共 165 页5. 方程y2=ax与x2=ay的焦点坐标及准线方程.
6.共渐近线的双曲线系方程.
高中数学第九章-立体几何
考试内容
平面及其基本性质．平面图形直观图的画法．
平行直线．对应边分别平行的角．异面直线所成的角．异面直线的公垂线．异面直线的距离．
直线和平面平行的判定与性质．直线和平面垂直的判定与性质．点到平面的距离．斜线在平
面上的射影．直线和平面所成的角．三垂线定理及其逆定理．
平行平面的判定与性质．平行平面间的距离．二面角及其平面角．两个平面垂直的判定与性
质．
多面体．正多面体．棱柱．棱锥．球．
考试要求
（1）掌握平面的基本性质，会用斜二测的画法画水平放置的平面图形的直观图;能够画出空间
两条直线、直线和平面的各种位置关系的图形，能够根据图形想像它们的位置关系．
（2）掌握两条直线平行与垂直的判定定理和性质定理，掌握两条直线所成的角和距离的概念，
对于异面直线的距离，只要求会计算已给出公垂线时的距离．
（3）掌握直线和平面平行的判定定理和性质定理；掌握直线和平面垂直的判定定理和性质定
理；掌握斜线在平面上的射影、直线和平面所成的角、直线和平面的距离的概念掌握三垂线
定理及其逆定理．
（4）掌握两个平面平行的判定定理和性质定理，掌握二面角、二面角的平面角、两个平行平面
间的距离的概念，掌握两个平面垂直的判定定理和性质定理．
（5）会用反证法证明简单的问题．
（6）了解多面体、凸多面体的概念，了解正多面体的概念．
（7）了解棱柱的概念，掌握棱柱的性质，会画直棱柱的直观图．
（8）了解棱锥的概念，掌握正棱锥的性质，会画正棱锥的直观图．
（9）了解球的概念，掌握球的性质，掌握球的表面积、体积公式．
9（B）．直线、平面、简单几何体
考试内容：
平面及其基本性质．平面图形直观图的画法．
平行直线．
直线和平面平行的判定与性质．直线和平面垂直的判定．三垂线定理及其逆定理．
两个平面的位置关系．
空间向量及其加法、减法与数乘．空间向量的坐标表示．空间向量的数量积．
直线的方向向量．异面直线所成的角．异面直线的公垂线．异面直线的距离．
直线和平面垂直的性质．平面的法向量．点到平面的距离．直线和平面所成的角．向量在平面
内的射影．
平行平面的判定和性质．平行平面间的距离．二面角及其平面角．两个平面垂直的判定和性
质．
多面体．正多面体．棱柱．棱锥．球．
考试要求：
第 56 页 共 165 页（1）掌握平面的基本性质。会用斜二测的画法画水平放置的平面图形的直观图：能够画出空
间两条直线、直线和平面的各种位置关系的图形.能够根据图形想像它们的位置关系．
（2）掌握直线和平面平行的判定定理和性质定理；理解直线和平面垂直的概念.掌握直线和平
面垂直的判定定理；掌握三垂线定理及其逆定理．
（3）理解空间向量的概念，掌握空间向量的加法、减法和数乘．
（4）了解空间向量的基本定理；理解空间向量坐标的概念.掌握空间向量的坐标运算．
（5）掌握空间向量的数量积的定义及其性质：掌握用直角坐标计算空间向量数量积的公式；
掌握空间两点间距离公式．
（6）理解直线的方向向量、平面的法向量、向量在平面内的射影等概念．
（7）掌握直线和直线、直线和平面、平面和平面所成的角、距离的概念.对于异面直线的距离，
只要求会计算已给出公垂线或在坐标表示下的距离掌握直线和平面垂直的性质定理掌握两
个平面平行、垂直的判定定理和性质定理．
（8）了解多面体、凸多面体的概念。了解正多面体的概念．
（9）了解棱柱的概念，掌握棱柱的性质，会画直棱柱的直观图．
（10）了解棱锥的概念，掌握正棱锥的性质。会画正棱锥的直观图．
（11）了解球的概念.掌握球的性质.掌握球的表面积、体积公式．
（考生可在9（A）和9（B）中任选其一）
§09. 立立体体几几何何 知知识识要要点点
一、 平面.
1. 经过不在同一条直线上的三点确定一个面.
注：两两相交且不过同一点的四条直线必在同一平面内.
2. 两个平面可将平面分成 3 或 4 部分.（①两个平面平行，②两个平面相交）
3. 过三条互相平行的直线可以确定 1 或 3 个平面（. ①三条直线在一个平面内平行，②三条直
线不在一个平面内平行）
[注]：三条直线可以确定三个平面，三条直线的公共点有 0 或 1 个.
4. 三个平面最多可把空间分成 8 部分.（X、Y、Z三个方向）
二、 空间直线.
1. 空间直线位置分三种：相交、平行、异面. 相交直线—共面有反且有一个公共点；平行直线
—共面没有公共点；异面直线—不同在任一平面内
[注]：①两条异面直线在同一平面内射影一定是相交的两条直线（. ×）（可能两条直线平行，
也可能是点和直线等）
②直线在平面外，指的位置关系：平行或相交
③若直线a、b异面，a平行于平面，b与的关系是相交、平行、在平面内.
④两条平行线在同一平面内的射影图形是一条直线或两条平行线或两点.
⑤在平面内射影是直线的图形一定是直线（. ×）（射影不一定只有直线，也可以是其他图形）
⑥在同一平面内的射影长相等，则斜线长相等.（×）（并非是从平面外一点向这个平面所引
的垂线段和斜线段）
⑦a,b是夹在两平行平面间的线段，若ab，则a,b的位置关系为相交或平行或异面.
2. 异面直线判定定理：过平面外一点与平面内一点的直线和平面内不经过该点的直线是异
面直线.（不在任何一个平面内的两条直线）
3. 平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行.
4. 等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相
等（如下图）.
第 57 页 共 165 页 
（二面角的取值范围 0,180 ）
 
（直线与直线所成角 0,90 ）
 
（斜线与平面成角 0,90 ）
 
（直线与平面所成角 0,90 ）
（向量与向量所成角[0,180])
推论：如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成锐角（或直角）相
等.
5. 两异面直线的距离：公垂线的长度.
空间两条直线垂直的情况：相交（共面）垂直和异面垂直.
l ,l 是异面直线，则过l ,l 外一点P，过点P且与l ,l 都平行平面有一个或没有，但与l ,l
1 2 1 2 1 2 1 2
距离相等的点在同一平面内. （L 或L 在这个做出的平面内不能叫L 与L 平行的平面）
1 2 1 2
三、 直线与平面平行、直线与平面垂直.
1. 空间直线与平面位置分三种：相交、平行、在平面内.
2. 直线与平面平行判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内一条直线平行，那么这条直
线和这个平面平行.（“线线平行，线面平行”）
[注]：①直线a与平面内一条直线平行，则a∥. （×）（平面外一条直线）
②直线a与平面内一条直线相交，则a与平面相交. （×）（平面外一条直线）
③若直线a与平面平行，则内必存在无数条直线与 a 平行. （√）（不是任意一条直线，
可利用平行的传递性证之）
④两条平行线中一条平行于一个平面，那么另一条也平行于这个平面. （×）（可能在此平面
内）
⑤平行于同一直线的两个平面平行.（×）（两个平面可能相交）
⑥平行于同一个平面的两直线平行.（×）（两直线可能相交或者异面）
⑦直线l与平面、所成角相等，则∥.（×）（、可能相交）
3. 直线和平面平行性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平
面相交，那么这条直线和交线平行.（“线面平行，线线平行”）
4. 直线与平面垂直是指直线与平面任何一条直线垂直，过一点有且只有一条直线和一个平
面垂直，过一点有且只有一个平面和一条直线垂直.
 若PA ⊥，a⊥AO，得a⊥PO（三垂线定理），
得不出⊥PO. 因为a⊥PO，但PO不垂直OA.
 三垂线定理的逆定理亦成立.
直线与平面垂直的判定定理一：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这
两条直线垂直于这个平面.（“线线垂直，线面垂直”）
直线与平面垂直的判定定理二：如果平行线中一条直线垂直于一个平面，那么另一条也垂直
于这个平面.
推论：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行.
[注]：①垂直于同一平面的两个平面平行.（×）（可能相交，垂直于同一条直线的两个平面平
行）
②垂直于同一直线的两个平面平行.（√）（一条直线垂直于平行的一个平面，必垂直于另一
第 58 页 共 165 页个平面）
③垂直于同一平面的两条直线平行.（√）
5. ⑴垂线段和斜线段长定理：从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段中，①射影相
等的两条斜线段相等，射影较长的斜线段较长；②相等的斜线段的射影相等，较长的斜线段
射影较长；③垂线段比任何一条斜线段短.
[注]：垂线在平面的射影为一个点. [一条直线在平面内的射影是一条直线.（×）]
⑵射影定理推论：如果一个角所在平面外一点到角的两边的距离相等，那么这点在平面内的
射影在这个角的平分线上
四、 平面平行与平面垂直.
1. 空间两个平面的位置关系：相交、平行.
2. 平面平行判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，哪么这两个平
面平行.（“线面平行，面面平行”）
推论：垂直于同一条直线的两个平面互相平行；平行于同一平面的两个平面平行.
[注]：一平面间的任一直线平行于另一平面.
3. 两个平面平行的性质定理：如果两个平面平行同时和第三个平面相交，那么它们交线平行.
（“面面平行，线线平行”）
4. 两个平面垂直性质判定一：两个平面所成的二面角是直二面角，则两个平面垂直.
两个平面垂直性质判定二：如果一个平面与一条直线垂直，那么经过这条直线的平面垂直于
这个平面.（“线面垂直，面面垂直”）
注：如果两个二面角的平面对应平面互相垂直，则两个二面角没有什么关系.
5. 两个平面垂直性质定理：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线也
垂直于另一个平面.
推论：如果两个相交平面都垂直于第三平面，则它们交线垂直于第三平面.
证明：如图，找O作OA、OB分别垂直于l ,l ，
1 2
因为PM ,OA,PM ,OB则PM OA,PM OB.
6. 两异面直线任意两点间的距离公式：l  m2 n2 d2 2mncos（为锐角取加，为钝
 
取减，综上，都取加则必有0, ）
 2
7. ⑴最小角定理：coscos cos （为最小角，如图）
1 2 1
⑵最小角定理的应用（∠PBN为最小角）
简记为：成角比交线夹角一半大，且又比交线夹角补角一半长，一定有4条.
成角比交线夹角一半大，又比交线夹角补角小，一定有2条.
成角比交线夹角一半大，又与交线夹角相等，一定有3条或者2条.
成角比交线夹角一半小，又与交线夹角一半小，一定有1条或者没有.
五、 棱锥、棱柱.
1. 棱柱.
⑴①直棱柱侧面积：S Ch（C为底面周长，h是高）该公式是利用直棱柱的侧面展开图为矩
形得出的.
②斜棱住侧面积：S C l（C 是斜棱柱直截面周长，l是斜棱柱的侧棱长）该公式是利用斜棱
1 1
柱的侧面展开图为平行四边形得出的.
⑵{四棱柱}  {平行六面体}  {直平行六面体}  {长方体}  {正四棱柱}  {正方体}.
{直四棱柱}  {平行六面体}={直平行六面体}.
第 59 页 共 165 页底面是 侧棱垂直 底面是 底面是 侧面与
四棱柱 平行六面体 直平行六面体 长方体 正四棱柱 正方体
平行四边形 底面 矩形 正方形 底面边长相等
⑶棱柱具有的性质：
①棱柱的各个侧面都是平行四边形，所有的侧棱都相等；直棱柱的各个侧面都是矩形；正棱
柱的各个侧面都是全等的矩形.
②棱柱的两个底面与平行于底面的截面是对应边互相平行的全等多边形.
③过棱柱不相邻的两条侧棱的截面都是平行四边形.
注：①棱柱有一个侧面和底面的一条边垂直可推测是直棱柱. （×）
（直棱柱不能保证底面是钜形可如图）
②（直棱柱定义）棱柱有一条侧棱和底面垂直.
⑷平行六面体：
定理一：平行六面体的对角线交于一点，并且在交点处互相平分.
[注]：四棱柱的对角线不一定相交于一点.
定理二：长方体的一条对角线长的平方等于一个顶点上三条棱长的平方和.
推论一：长方体一条对角线与同一个顶点的三条棱所成的角为,,，则
cos2cos2cos21.
推论二：长方体一条对角线与同一个顶点的三各侧面所成的角为 ,,，则
cos2cos2cos22.
[注]：①有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱.（×）（斜四面体的两个平行的平面可以为矩形）
②各侧面都是正方形的棱柱一定是正棱柱.（×）（应是各侧面都是正方形的直棱柱才行）
③对角面都是全等的矩形的直四棱柱一定是长方体（. ×）（只能推出对角线相等，推不出底面
为矩形）
④棱柱成为直棱柱的一个必要不充分条件是棱柱有一条侧棱与底面的两条边垂直. （两条边
可能相交，可能不相交，若两条边相交，则应是充要条件）
2. 棱锥：棱锥是一个面为多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形.
[注]：①一个棱锥可以四各面都为直角三角形.
②一个棱柱可以分成等体积的三个三棱锥；所以V Sh3V .
棱柱 棱柱
⑴①正棱锥定义：底面是正多边形；顶点在底面的射影为底面的中心.
[注]：i. 正四棱锥的各个侧面都是全等的等腰三角形.（不是等边三角形）
ii. 正四面体是各棱相等，而正三棱锥是底面为正△侧棱与底棱不一定相等
iii. 正棱锥定义的推论：若一个棱锥的各个侧面都是全等的等腰三角形（即侧棱相等）；底面
为正多边形.
1
②正棱锥的侧面积：S Ch'（底面周长为C，斜高为h'）
2
S
③棱锥的侧面积与底面积的射影公式：S  底 （侧面与底面成的二面角为  ）
侧 cos
附： 以知c⊥l，cosab，为二面角alb.
1 1
则 S  al①，S  lb②，cosab③ ①②③得
1 2 2 2
S
S  底 .
侧
cos
第 60 页 共 165 页注：S为任意多边形的面积（可分别多个三角形的方法）.
⑵棱锥具有的性质：
①正棱锥各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形，各等腰三角形底边上的高相等（它叫
做正棱锥的斜高）.
②正棱锥的高、斜高和斜高在底面内的射影组成一个直角三角形，正棱锥的高、侧棱、侧棱在
底面内的射影也组成一个直角三角形.
⑶特殊棱锥的顶点在底面的射影位置：
①棱锥的侧棱长均相等，则顶点在底面上的射影为底面多边形的外心.
②棱锥的侧棱与底面所成的角均相等，则顶点在底面上的射影为底面多边形的外心.
③棱锥的各侧面与底面所成角均相等，则顶点在底面上的射影为底面多边形内心.
④棱锥的顶点到底面各边距离相等，则顶点在底面上的射影为底面多边形内心.
⑤三棱锥有两组对棱垂直，则顶点在底面的射影为三角形垂心.
⑥三棱锥的三条侧棱两两垂直，则顶点在底面上的射影为三角形的垂心.
⑦每个四面体都有外接球，球心0是各条棱的中垂面的交点，此点到各顶点的距离等于球半
径；
⑧每个四面体都有内切球，球心I 是四面体各个二面角的平分面的交点，到各面的距离等于
半径.
[注]：i. 各个侧面都是等腰三角形，且底面是正方形的棱锥是正四棱锥（. ×）（各个侧面的等腰
三角形不知是否全等）
ii. 若一个三角锥，两条对角线互相垂直，则第三对角线必然垂直.
简证：AB⊥CD，AC⊥BD BC⊥AD. 令ABa,ADc,AC b
   
得BC  ACABba,ADcBCADbcac，已知a cb 0,b ac 0
acbc0则BCAD0.
iii. 空间四边形OABC且四边长相等，则顺次连结各边的中点的四边形一定是矩形.
iv. 若是四边长与对角线分别相等，则顺次连结各边的中点的四边是一定是正方形.
简证：取AC中点O'，则oo AC,BO AC AC 平面OOB AC BOFGH 90°易
知EFGH为平行四边形EFGH为长方形.若对角线等，则EF FGEFGH 为正方形.
3. 球：⑴球的截面是一个圆面.
①球的表面积公式：S 4R2.
4
②球的体积公式：V  R3 .
3
⑵纬度、经度：
①纬度：地球上一点P的纬度是指经过P点的球半径与赤道面所成的角的度数.
②经度：地球上A,B两点的经度差，是指分别经过这两点的经线与地轴所确定的二个半平面
的二面角的度数，特别地，当经过点A的经线是本初子午线时，这个二面角的度数就是B点
的经度.
附：①圆柱体积：V r2h（r为半径，h为高）
1
②圆锥体积：V  r2h（r为半径，h为高）
3
1
③锥形体积：V  Sh（S 为底面积，h为高）
3
第 61 页 共 165 页6 3 3
4. ①内切球：当四面体为正四面体时，设边长为a，h a，S  a2，S  a2
3 底 4 侧 4
3 6 3 1 3 2 4 2 6
得 a2 a a2R  a2RR a/ 3  a 3  a.
4 3 4 3 4 4 3 4 4
1 1
注：球内切于四面体：V  S R3 S R S h
BACD 3 侧 3 底 底
②外接球：球外接于正四面体，可如图建立关系式.
六. 空间向量.
1.（ 1）共线向量：共线向量亦称平行向量，指空间向量的有向线段所在直线互相平行或重合.
注：①若a与b共线，b与c共线，则a与c共线.（×） [当b0时，不成立]
②向量a,b,c共面即它们所在直线共面.（×） [可能异面]
③若a∥b，则存在小任一实数，使ab.（×）[与b0不成立]
④若a为非零向量，则0a0.（√）[这里用到b(b0)之积仍为向量]
（2）共线向量定理：对空间任意两个向量a,b(b0)，a ∥b的充要条件是存在实数（具有
唯一性），使ab.
（3）共面向量：若向量a使之平行于平面或a在内，则a与的关系是平行，记作a∥.
（4）①共面向量定理：如果两个向量a,b不共线，则向量P与向量a,b共面的充要条件是存在
实数对x、y使Pxayb.
②空间任一点O和不共线三点A、B、C，则OPxOAyOBzOC(xyz1)是PABC四点
共面的充要条件.（简证：OP(1yz)OAyOBzOC AP yABzACP、A、B、C四点
共面）
注：①②是证明四点共面的常用方法.
2. 空间向量基本定理：如果三个向量a,b,c不共面，那么对空间任一向量 P ，存在一个唯一的
有序实数组x、y、z，使pxaybzc.
推论：设O、A、B、C是不共面的四点，则对空间任一点P, 都存在唯一的有序实数组x、y、z使
OPxOAyOBzOC(这里隐含x+y+z≠1).
注：设四面体ABCD的三条棱，ABb,AC c,ADd,其
第 62 页 共 165 页1
中Q是△BCD的重心，则向量AQ (abc)用AQ AM MQ即证.
3
3.（ 1）空间向量的坐标：空间直角坐标系的x轴是横轴（对应为横坐标），y轴是纵轴（对应为
纵轴），z轴是竖轴（对应为竖坐标）.
①令a=(a
1
,a
2
,a
3
),b(b
1
,b
2
,b
3
)，则
ab(a b ,a b ,a b )a(a ,a ,a )(R) aba b a b a b a∥
1 1 2 2 3 3 1 2 3 1 1 2 2 3 3
a a a
ba b ,a b ,a b (R)  1  2  3 aba b a b a b 0
1 1 2 2 3 3 b b b 1 1 2 2 3 3
1 2 3
a  aa  a 2a 2a 2 (用到常用的向量模与向量之间的转化： a2aa a  aa )
1 2 3
cosa  ,b   a  b   a 1 b 1 a 2 b 2 a 3 b 3
 
|a||b| a2 a2 a2  b2 b2 b2
1 2 3 1 2 3
②空间两点的距离公式：d  (x x )2 (y y )2 (z z )2 .
2 1 2 1 2 1
（2）法向量：若向量a所在直线垂直于平面，则称这个向量垂直于平面，记作a，如果
a那么向量a叫做平面的法向量.
（3）用向量的常用方法：
①利用法向量求点到面的距离定理：如图，设n是平面的法向量，AB是平面的一条射线，
|ABn|
其中A，则点B到平面的距离为 .
|n|
②利用法向量求二面角的平面角定理：设n ,n 分别是二面角l中平面,的法向量，
1 2
则n ,n 所成的角就是所求二面角的平面角或其补角大小（n ,n 方向相同，则为补角，
1 2 1 2
n ,n 反方，则为其夹角）.
1 2
③证直线和平面平行定理：已知直线a 平面，ABa,CD，且CDE三点不共线，则
a∥的充要条件是存在有序实数对使ABCDCE .（常设ABCDCE 求解
,若,存在即证毕，若,不存在，则直线AB与平面相交）.
A B
B
▲
n
n
 ▲ 1 C D
 n
2  E
A
C

第 63 页 共 165 页II. 竞赛知识要点
一、四面体.
1. 对照平面几何中的三角形，我们不难得到立体几何中的四面体的类似性质：
①四面体的六条棱的垂直平分面交于一点，这一点叫做此四面体的外接球的球心；
②四面体的四个面组成六个二面角的角平分面交于一点，这一点叫做此四面体的内接球的
球心；
③四面体的四个面的重心与相对顶点的连接交于一点，这一点叫做此四面体的重心，且重心
将每条连线分为3︰1；
④12个面角之和为720°，每个三面角中任两个之和大于另一个面角，且三个面角之和为
180°.
2. 直角四面体：有一个三面角的三个面角均为直角的四面体称为直角四面体，相当于平面几
何的直角三角形. （在直角四面体中，记V、l、S、R、r、h分别表示其体积、六条棱长之和、表面
积 、 外 接 球 半 径 、 内 切 球 半 径 及 侧 面 上 的 高 ） ， 则 有 空 间 勾 股 定 理 ：
S2 +S2 +S2 =S2
△ABC △BCD △ABD △ACD.
3. 等腰四面体：对棱都相等的四面体称为等腰四面体，好象平面几何中的等腰三角形.根据
定义不难证明以长方体的一个顶点的三条面对角线的端点为顶点的四面体是等腰四面体，
反之也可以将一个等腰四面体拼补成一个长方体.
（在等腰四面体ABCD中，记BC = AD =a，AC = BD = b，AB = CD = c，体积为V，外接球半
径为R，内接球半径为r，高为h），则有
1 b2c2a2 c2a2b2 a2b2c2
①等腰四面体的体积可表示为V    ；
3 2 2 2
2
②等腰四面体的外接球半径可表示为R a2b2c2 ；
4
2
③等腰四面体的四条顶点和对面重心的连线段的长相等，且可表示为m a2b2c2 ；
3
④h = 4r.
二、空间正余弦定理.
空间正弦定理：sin∠ABD/sin∠A-BC-D=sin∠ABC/sin∠A-BD-C=sin∠CBD/sin∠C-BA-D
空间余弦定理：cos∠ABD=cos∠ABCcos∠CBD+sin∠ABCsin∠CBDcos∠A-BC-D
立体几何知识要点
一、知识提纲
（一）空间的直线与平面
⒈平面的基本性质 ⑴三个公理及公理三的三个推论和它们的用途． ⑵斜二测画法．
⒉空间两条直线的位置关系：相交直线、平行直线、异面直线．
⑴公理四（平行线的传递性）．等角定理．
⑵异面直线的判定：判定定理、反证法．
⑶异面直线所成的角：定义（求法）、范围．
⒊直线和平面平行 直线和平面的位置关系、直线和平面平行的判定与性质．
⒋直线和平面垂直
⑴直线和平面垂直：定义、判定定理．
⑵三垂线定理及逆定理．
第 64 页 共 165 页5.平面和平面平行
两个平面的位置关系、两个平面平行的判定与性质．
6.平面和平面垂直
互相垂直的平面及其判定定理、性质定理．
（二）直线与平面的平行和垂直的证明思路（见附图）
（三）夹角与距离
7.直线和平面所成的角与二面角
⑴平面的斜线和平面所成的角：三面角余弦公式、最小角定理、斜线和平
面所成的角、直线和平面所成的角．
⑵二面角：①定义、范围、二面角的平面角、直二面角．
②互相垂直的平面及其判定定理、性质定理．
8.距离
⑴点到平面的距离．
⑵直线到与它平行平面的距离．
⑶两个平行平面的距离：两个平行平面的公垂线、公垂线段．
⑷异面直线的距离：异面直线的公垂线及其性质、公垂线段．
（四）简单多面体与球
9.棱柱与棱锥
⑴多面体．
⑵棱柱与它的性质：棱柱、直棱柱、正棱柱、棱柱的性质．
⑶平行六面体与长方体：平行六面体、直平行六面体、长方体、正四棱柱、
正方体；平行六面体的性质、长方体的性质．
⑷棱锥与它的性质：棱锥、正棱锥、棱锥的性质、正棱锥的性质．
⑸直棱柱和正棱锥的直观图的画法．
10.多面体欧拉定理的发现
⑴简单多面体的欧拉公式．
⑵正多面体．
11.球
⑴球和它的性质：球体、球面、球的大圆、小圆、球面距离．
⑵球的体积公式和表面积公式．
二、常用结论、方法和公式
1.从一点O出发的三条射线OA、OB、OC，若∠AOB=∠AOC，则点A在平面∠BOC上
的射影在∠BOC的平分线上；
2. 已知:直二面角M－AB－N中，AE  M，BF  N,∠EAB=,∠ABF= ，异面直
1 2
线AE与BF所成的角为，则coscos cos;
1 2
A
3.立平斜公式：如图，AB和平面所成的角是，AC在平面内，BC和AB的射影BA
A
1 1
成 ，设∠ABC=  ,则coscos =cos ；
2 3 1 2 3 B
A
1
D
4.异面直线所成角的求法：  C
（1）平移法：在异面直线中的一条直线中选择一特殊点，作另一条的平行线；
（2）补形法：把空间图形补成熟悉的或完整的几何体，如正方体、平行六面体、长方体等，
第 65 页 共 165 页其目的在于容易发现两条异面直线间的关系；
5.直线与平面所成的角
斜线和平面所成的是一个直角三角形的锐角，它的三条边分别是平面的垂线段、斜线段
及斜线段在平面上的射影。通常通过斜线上某个特殊点作出平面的垂线段，垂足和斜足
的连线，是产生线面角的关键；
6.二面角的求法
（1）定义法：直接在二面角的棱上取一点（特殊点），分别在两个半平面内作棱的垂线，
得出平面角，用定义法时，要认真观察图形的特性；
（2）三垂线法：已知二面角其中一个面内一点到一个面的垂线，用三垂线定理或逆定理
作出二面角的平面角；
（3）垂面法：已知二面角内一点到两个面的垂线时，过两垂线作平面与两个半平面的交
线所成的角即为平面角，由此可知，二面角的平面角所在的平面与棱垂直；
（4）射影法：利用面积射影公式S ＝S cos,其中为平面角的大小，此法不必在图形
射 原
中画出平面角；
特别:对于一类没有给出棱的二面角，应先延伸两个半平面，使之相交出现棱，然后再选
用上述方法（尤其要考虑射影法）。
7.空间距离的求法
（1）两异面直线间的距离，高考要求是给出公垂线，所以一般先利用垂直作出公垂线，然
后再进行计算；
（2）求点到直线的距离，一般用三垂线定理作出垂线再求解；
（3）求点到平面的距离，一是用垂面法，借助面面垂直的性质来作，因此，确定已知面的
垂面是关键；二是不作出公垂线，转化为求三棱锥的高，利用等体积法列方程求解；
8.正棱锥的各侧面与底面所成的角相等，记为，则S cos=S ；
侧 底
9.已知:长方体的体对角线与过同一顶点的三条棱所成的角分别为,,,因此有cos2 
+cos2+cos2  =1; 若长方体的体对角线与过同一顶点的三侧面所成的角分别为,,,
则有cos2  +cos2 +cos2  =2;
10.正方体和长方体的外接球的直径等与其体对角线长；
11.欧拉公式：如果简单多面体的顶点数为V,面数为F,棱数为E.那么V+F－E=2；并且棱
数E＝各顶点连着的棱数和的一半＝各面边数和的一半；
12.柱体的体积公式：柱体（棱柱、圆柱）的体积公式是V =Sh.其中S是柱体的底面积，h是
柱体
柱体的高.
13.直棱柱的侧面积和全面积
S 直棱柱侧 = c (c表示底面周长，表示侧棱长) S 棱柱全 =S 底 +S 侧
1
14．棱锥的体积:V = Sh，其中S是棱锥的底面积，h是棱锥的高。
棱锥
3
4
15.球的体积公式V= R3，表面积公式S  4R2；掌握球面上两点A、B间的距离求
3
法：（1）计算线段AB的长，（2）计算球心角∠AOB的弧度数；(3)用弧长公式计算劣弧
AB的长；
第 66 页 共 165 页高中数学第十章-排列组合二项定理
考试内容：
分类计数原理与分步计数原理．
排列．排列数公式．
组合．组合数公式．组合数的两个性质．
二项式定理．二项展开式的性质．
考试要求：
（1）掌握分类计数原理与分步计数原理，并能用它们分析和解决一些简单的应用问题．
（2）理解排列的意义，掌握排列数计算公式，并能用它解决一些简单的应用问题．
（3）理解组合的意义，掌握组合数计算公式和组合数的性质，并能用它们解决一些简单的应
用问题．
（4）掌握二项式定理和二项展开式的性质，并能用它们计算和证明一些简单的问题．
§10. 排排列列组组合合二二项项定定理理 知知识识要要点点
一、两个原理.
1. 乘法原理、加法原理.
2. 可以有重复元素的排列.
从m个不同元素中，每次取出n个元素，元素可以重复出现，按照一定的顺序排成一排，那么
第一、第二……第n位上选取元素的方法都是m个，所以从m个不同元素中，每次取出n个
元素可重复排列数m·m·… m = mn.. 例如：n件物品放入m个抽屉中，不限放法，共有多少种
不同放法？ （解：mn种）
二、排列.
1. ⑴对排列定义的理解.
定义：从n个不同的元素中任取m(m≤n)个元素，按照一定顺序排成一列，叫做从n个不同元
素中取出m个元素的一个排列.
⑵相同排列.
如果；两个排列相同，不仅这两个排列的元素必须完全相同，而且排列的顺序也必须完全相
同.
⑶排列数.
从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素排成一列，称为从n个不同元素中取出m个元素的一
个排列. 从n个不同元素中取出m个元素的一个排列数，用符号Am表示.
n
⑷排列数公式：
n!
Amn(n1) (nm1) (mn,n,mN)

(nm)!
注意：nn!(n1)!n! 规定0! = 1
A mAmAmCm1AmmAm1 Am  nAm1 规定C0Cn1
n1 n m n n n n n1 n n
2. 含有可重元素的排列问题.
对含有相同元素求排列个数的方法是：设重集S有k个不同元素a，a,…...a 其中限重复数为
1 2 n
n!
n、n……n，且n = n +n+……n , 则S的排列个数等于n  .
1 2 k 1 2 k n !n !...n !
1 2 k
第 67 页 共 165 页(12)!
例如：已知数字3、2、2，求其排列个数n  3又例如：数字5、5、5、求其排列个数？
1!2!
3!
其排列个数n 1.
3!
三、组合.
1. ⑴组合：从n个不同的元素中任取m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m
个元素的一个组合.
Am n(n1) (nm1) n!
⑵组合数公式：Cm n   Cm
n Am m! n m!(nm)!
m
⑶两个公式：①CmCnm; ②Cm1CmC m
n n n n n1
①从n个不同元素中取出m个元素后就剩下n-m个元素，因此从n个不同元素中取出 n-m
个元素的方法是一一对应的，因此是一样多的就是说从n个不同元素中取出n-m个元素的唯
一的一个组合.
（或者从n+1个编号不同的小球中，n个白球一个红球，任取m个不同小球其不同选法，分二
类，一类是含红球选法有Cm1C1Cm1一类是不含红球的选法有Cm）
n 1 n n
②根据组合定义与加法原理得；在确定n+1个不同元素中取m个元素方法时，对于某一元素，
只存在取与不取两种可能，如果取这一元素，则需从剩下的n个元素中再取m-1个元素，所
m1 m
以有C
n
，如果不取这一元素，则需从剩余n个元素中取出m个元素，所以共有C
n
种，依分
类原理有Cm1CmC m.
n n n1
⑷排列与组合的联系与区别.
联系：都是从n个不同元素中取出m个元素.
区别：前者是“排成一排”，后者是“并成一组”，前者有顺序关系，后者无顺序关系.
⑸①几个常用组合数公式
C0C1C2 n2n
n n n n
C0C2C4 C1C3C5 2n1
n n n  n n n 
CmC mC m C mC m1
n m1 m2 mn mn1
kCk nCk1
n n1
1 1
Ck Ck1
k 1 n n1 n1
②常用的证明组合等式方法例.
1 2 3 n 1 n1 1 1
i. 裂项求和法. 如：     1 （利用   ）
2! 3! 4! (n1)! (n1)! n! (n1)! n!
ii. 导数法. iii. 数学归纳法. iv. 倒序求和法.
v. 递推法（即用CmCm1C m递推）如：C3C3C3 C3C 4.
n n n1 3 4 5  n n1
vi. 构造二项式. 如：(C0)2(C1)2 (Cn)2C n
n n  n 2n
第 68 页 共 165 页证明：这里构造二项式(x1)n(1x)n(1x)2n其中xn的系数，左边为
C0CnC1Cn1C2Cn2 CnC0(C0)2(C1)2 (Cn)2，而右边C n
n n n n n n  n n n n  n 2n
四、排列、组合综合.
1. I. 排列、组合问题几大解题方法及题型：
①直接法. ②排除法.
③捆绑法：在特定要求的条件下，将几个相关元素当作一个元素来考虑，待整体排好之后再
考虑它们“局部”的排列.它主要用于解决“元素相邻问题”，例如，一般地，n个不同元素
排成一列，要求其中某m(mn)个元素必相邻的排列有An
n


m
m


1
1
Am
m
个.其中An
n


m
m


1
1
是一个“整
体排列”，而Am则是“局部排列”.
m
又例如①有n个不同座位，A、B两个不能相邻，则有排列法种数为A2 A 1A2 .
n n1 2
②有n件不同商品，若其中A、B排在一起有An1A2
.
n1 2
③有n件不同商品，若其中有二件要排在一起有A2An1
.
n n1
注：①③区别在于①是确定的座位，有A2
种；而③的商品地位相同，是从n件不同商品任取
2
的2个，有不确定性.
④插空法：先把一般元素排列好，然后把待定元素插排在它们之间或两端的空档中，此法主
要解决“元素不相邻问题”.
例如：n个元素全排列，其中m个元素互不相邻，不同的排法种数为多少？AnmA m（插
nm nm1
n1
空法），当n – m+1≥m, 即m≤ 时有意义.
2
⑤占位法：从元素的特殊性上讲，对问题中的特殊元素应优先排列，然后再排其他一般元素；
从位置的特殊性上讲，对问题中的特殊位置应优先考虑，然后再排其他剩余位置.即采用“先
特殊后一般”的解题原则.
⑥调序法：当某些元素次序一定时，可用此法.解题方法是：先将n个元素进行全排列有An种，
n
m(m  n)个元素的全排列有Am m 种，由于要求m个元素次序一定，因此只能取其中的某一种
排法，可以利用除法起到去调序的作用，即若n个元素排成一列，其中m个元素次序一定，共
An
n
有 种排列方法.
Am
m
例如：n个元素全排列，其中m个元素顺序不变，共有多少种不同的排法？
解法一：（逐步插空法）（m+1）（m+2）…n = n！/ m！；解法二：（比例分配法）An/Am .
n m
第 69 页 共 165 页C nC n Cn
kn (k1)n n
⑦平均法：若把kn个不同元素平均分成k组，每组n个，共有 .
Ak
k
C2
例如：从1，2，3，4中任取2个元素将其平均分成2组有几种分法？有 4 3（平均分组就用
2!
不着管组与组之间的顺序问题了）又例如将200名运动员平均分成两组，其中两名种子选手
必在一组的概率是多少？
C8C2
（P 18 2 ）
C10 /2!
20
注意：分组与插空综合. 例如：n个元素全排列，其中某m个元素互不相邻且顺序不变，共有
n1
多少种排法？有AnmA m/Am，当n – m+1 ≥m, 即m≤ 时有意义.
nm nm1 m 2
⑧隔板法：常用于解正整数解组数的问题.
例如：x x x x 12的正整数解的组数就可建立组合模型将12个完全相同的球排成
1 2 3 4
一列，在它们之间形成11个空隙中任选三个插入3块摸板，把球分成4个组.每一种方法所
得球的数目依次为x ,x ,x ,x 显然x x x x 12，故（x ,x ,x ,x ）是方程的一组解.
1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4
反之，方程的任何一组解(y ,y ,y ,y )，对应着惟一的一种在12个球之间插入隔板的方式
1 2 3 4
（如图
所示）故方程的解和插板的方法一一对应. 即方程的解的组数等于插隔板
的方法数C 3 .
11
注 意 ： 若 为 非 负 数 解 的 x 个 数 ， 即 用 a ,a ,...a 中 a 等 于 x 1， 有
1 2 n i i
x x x ...x  Aa 1a 1...a 1 A，进而转化为求a的正整数解的个数为Cn1
1 2 3 n 1 2 n An
.
⑨定位问题：从n个不同元素中每次取出k个不同元素作排列规定某r个元素都包含在内，
并且都排在某r个指定位置则有ArAkr.
r nr
例如：从n个不同元素中，每次取出m个元素的排列，其中某个元素必须固定在（或不固定
在）某一位置上，共有多少种排法？
固定在某一位置上： Am1 ；不在某一位置上：AmAm1 或A mA 1Am1（一类是不取出
n1 n n1 n1 m1 n1
A m
特殊元素a，有
n1
，一类是取特殊元素a，有从m-1个位置取一个位置，然后再从n-1个元素
中取m-1，这与用插空法解决是一样的）
⑩指定元素排列组合问题.
i. 从n个不同元素中每次取出k个不同的元素作排列（或组合），规定某r个元素都包含在内
。先C后A策略，排列CrCkrAk；组合CrCkr.
r nr k r nr
第 70 页 共 165 页ii. 从n个不同元素中每次取出k个不同元素作排列（或组合），规定某r个元素都不包含在
内。先C后A策略，排列C kAk；组合C k.
nr k nr
iii 从n个不同元素中每次取出k个不同元素作排列（或组合），规定每个排列（或组合）都只
包含某r个元素中的s个元素。先C后A策略，排列CsCksAk；组合CsCks.
r nr k r nr
II. 排列组合常见解题策略：
①特殊元素优先安排策略；②合理分类与准确分步策略；③排列、组合混合问题先选后排的
策略（处理排列组合综合性问题一般是先选元素，后排列）；④正难则反，等价转化策略；⑤相
邻问题插空处理策略；
⑥不相邻问题插空处理策略；⑦定序问题除法处理策略；⑧分排问题直排处理的策略；
⑨“小集团”排列问题中先整体后局部的策略；⑩构造模型的策略.
2. 组合问题中分组问题和分配问题.
①均匀不编号分组：将n个不同元素分成不编号的m组，假定其中r组元素个数相等，不管是
否分尽，其分法种数为A/Ar
（其中A为非均匀不编号分组中分法数）.如果再有K组均匀分
r
Ak
组应再除以 k .
例：10人分成三组，各组元素个数为2、4、4，其分法种数为C 2C4C4/A21575.若分成六组，
10 8 4 2
各组人数分别为1、1、2、2、2、2，其分法种数为C 1C 1C2C2C2C2/A2A4
10 9 8 6 4 2 2 4
②非均匀编号分组: n个不同元素分组，各组元素数目均不相等，且考虑各组间的顺序，其分
AAm
法种数为
m
例：10人分成三组，各组人数分别为2、3、5，去参加不同的劳动，其安排方法为：
C 2C3C5A3种.
10 8 5 3
若从10人中选9人分成三组，人数分别为 2、3、4，参加不同的劳动，则安排方法有
C 2C3C4A3 种
10 8 5 3
③均匀编号分组：n个不同元素分成m组，其中r组元素个数相同且考虑各组间的顺序，其分
法种数为A/ArAm
.
r m
C 2C4C4
例：10人分成三组，人数分别为2、4、4，参加三种不同劳动，分法种数为 10 8 4 A3
A2 3
2
④非均匀不编号分组：将n个不同元素分成不编号的m组，每组元素数目均不相同，且不考
虑各组间顺序，不管是否分尽，其分法种数为ACm n 1 Cm n- 2 m1 …Cm n- k (m1m2...mk-1)
例：10人分成三组，每组人数分别为2、3、5，其分法种数为C 2C3C5 2520若从10人中选
10 8 5
出6人分成三组，各组人数分别为1、2、3，其分法种数为C 1C2C312600.
10 9 7
第 71 页 共 165 页五、二项式定理.
1. ⑴二项式定理：(ab)nC0anb0C1an1b Cranrbr Cna0bn.
n n  n  n
展开式具有以下特点：
① 项数：共有n1项；
② 系数：依次为组合数C n 0,C n 1,C n 2,  ,C n r,  ,Cn n ;
③ 每一项的次数是一样的，即为n次，展开式依a的降幕排列，b的升幕排列展开.
⑵二项展开式的通项.
（ab)n展开式中的第r1项为：T Cranrbr(0rn,rZ).
r1 n
⑶二项式系数的性质.
①在二项展开式中与首未两项“等距离”的两项的二项式系数相等；
②二项展开式的中间项二项式系数最大.
n n
I. 当n是偶数时，中间项是第 1项，它的二项式系数 最大；
C2
2 n
n1 n1 n1 n1
II. 当n是奇数时，中间项为两项，即第 项和第 1项，它们的二项式系数
2 2 C 2 n C 2 n
最大.
③系数和：
C0C1 Cn2n
n n  n
C0C2C4 C1C3 2n1
n n n  n n 
附：一般来说(axby)n(a,b为常数）在求系数最大的项或最小的项时均可直接根据性质二求
A A , A A
解. 当 a 1或b 1时，一般采用解不等式组 k k1 或 k k1(A 为T 的系数或系数
A
k
A
k1
A
k
A
k1
k k1
的绝对值）的办法来求解.
⑷如何来求 (abc)n展开式中含 apbqcr的系数呢？其中 p,q,rN,且 pqr n把
(abc)n[(ab)c]n视为二项式，先找出含有 Cr的项Cr(ab)nrCr，另一方面在
n
(ab)nr中含有 bq的项为 C qanrqbqC qapbq，故在 (abc)n中含 apbqcr的项为
nr nr
n! (nr)! n!
C n rC nr qapbqcr.其系数为C n rC n q r  r!(nr)!  q!(nrq)!  r!q!p! C n pC np qCr r.
2. 近似计算的处理方法.
当a的绝对值与1相比很小且n不大时，常用近似公式(1a)n1na，因为这时展开式的后
面部分C2a2C3a3 Cnan很小，可以忽略不计。类似地，有(1a)n1na但使用这两个公
n n  n
式时应注意a的条件，以及对计算精确度的要求.
第 72 页 共 165 页高中数学第十一章-概率
考试内容：
随机事件的概率．等可能性事件的概率．互斥事件有一个发生的概率．相互独立事件同时发
生的概率．独立重复试验．
考试要求：
（1）了解随机事件的发生存在着规律性和随机事件概率的意义．
（2）了解等可能性事件的概率的意义，会用排列组合的基本公式计算一些等可能性事件的概
率。
（3）了解互斥事件、相互独立事件的意义，会用互斥事件的概率加法公式与相互独立事件的
概率乘法公式计算一些事件的概率．
（4）会计算事件在n次独立重复试验中恰好发生κ次的概率．
§11. 概概率率 知知识识要要点点
1. 概率：随机事件A的概率是频率的稳定值，反之，频率是概率的近似值.
2. 等可能事件的概率：如果一次试验中可能出现的结果有年n个，且所有结果出现的可能性
1
都相等，那么，每一个基本事件的概率都是 ，如果某个事件A包含的结果有m个，那么事
n
m
件A的概率P(A) .
n
3. ①互斥事件：不可能同时发生的两个事件叫互斥事件. 如果事件A、B互斥，那么事件A+B
发生(即A、B中有一个发生)的概率，等于事件A、B分别发生的概率和，即P(A+B)=P(A)
+P(B)，推广：P(A
1
A
2


A
n
)P(A
1
)P(A
2
)

P(A
n
).
②对立事件：两个事件必有一个发生的互斥事件叫对立事件. 例如：从1～52张扑克牌中任
取一张抽到“红桃”与抽到“黑桃”互为互斥事件，因为其中一个不可能同时发生，但又不
能保证其中一个必然发生，故不是对立事件.而抽到“红色牌”与抽到黑色牌“互为对立事
件，因为其中一个必发生.
注意：i.对立事件的概率和等于1：P(A)P(A)P(AA)1.
ii.互为对立的两个事件一定互斥，但互斥不一定是对立事件.
③相互独立事件：事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率没有影响.这样的两个事
件叫做相互独立事件. 如果两个相互独立事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的
积，即P(A·B)=P(A)·P(B). 由此，当两个事件同时发生的概率P（AB）等于这两个事件发生概
率之和，这时我们也可称这两个事件为独立事件.例如：从一副扑克牌（52张）中任抽一张设
A：“抽到老K”；B：“抽到红牌”则 A应与B互为独立事件[看上去A与B有关系很有可能
4 1 26 1 1
不是独立事件，但P(A)  ,P(B)  ,P(A)P(B) .又事件AB表示“既抽到老
52 13 52 2 26
2 1
K 对抽到红牌”即“抽到红桃老 K 或方块老 K”有 P(AB)  ，因此有
52 26
P(A)P(B)P(AB).
推广：若事件A 1 ,A 2 ,  ,A n 相互独立，则P(A 1 A 2 A n )P(A 1 )P(A 2 )  P(A n ).
第 73 页 共 165 页注意：i. 一般地，如果事件A与B相互独立，那么A 与B,A与B，A与B也都相互独立.
ii. 必然事件与任何事件都是相互独立的.
iii. 独立事件是对任意多个事件来讲，而互斥事件是对同一实验来讲的多个事件，且这多个事
件不能同时发生，故这些事件相互之间必然影响，因此互斥事件一定不是独立事件.
④独立重复试验：若n次重复试验中，每次试验结果的概率都不依赖于其他各次试验的结果，
则称这n次试验是独立的. 如果在一次试验中某事件发生的概率为P，那么在n次独立重复
试验中这个事件恰好发生k次的概率：P (k)CkPk(1P)nk .
n n
4. 对任何两个事件都有P(AB)P(A)P(B)P(AB)
第十二章-概率与统计
考试内容：
抽样方法.总体分布的估计．
总体期望值和方差的估计．
考试要求：
（1）了解随机抽样了解分层抽样的意义，会用它们对简单实际问题进行抽样．
（2）会用样本频率分布估计总体分布．
（3）会用样本估计总体期望值和方差．
§12. 概率与统计 知知识识要要点点
一、随机变量.
1. 随机试验的结构应该是不确定的.试验如果满足下述条件：
①试验可以在相同的情形下重复进行；②试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个；
③每次试验总是恰好出现这些结果中的一个，但在一次试验之前却不能肯定这次试验会出
现哪一个结果.
它就被称为一个随机试验.
2. 离散型随机变量：如果对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机
变量叫做离散型随机变量.若ξ是一个随机变量，a，b是常数.则ab也是一个随机变量.
一般地，若ξ是随机变量，f(x)是连续函数或单调函数，则 f()也是随机变量.也就是说，随
机变量的某些函数也是随机变量.
设离散型随机变量ξ可能取的值为：x
1
,x
2
,

,x
i
,

ξ取每一个值x 1 (i1,2,  )的概率P(x i )p i ，则表称为随机变量ξ的概率分布，简称ξ的分
布列.
 x x … x …
1 2 i
P p p … p …
1 2 i
有性质①p 1 0,i1,2, ； ②p 1 p 2   p i   1.
注意：若随机变量可以取某一区间内的一切值，这样的变量叫做连续型随机变量.例如：
[0,5]即可以取0～5之间的一切数，包括整数、小数、无理数.
3. ⑴二项分布：如果在一次试验中某事件发生的概率是P，那么在n次独立重复试验中这个
事件恰好发生k次的概率是：P(ξk)Ckpkqnk[其中k 0,1,

,n,q1 p]
n
于是得到随机变量ξ的概率分布如下：我们称这样的随机变量ξ服从二项分布，记作～B
（n·p ），其中n，p为参数，并记Ckpkqnkb(k;np).
n
⑵二项分布的判断与应用.
第 74 页 共 165 页①二项分布，实际是对n次独立重复试验.关键是看某一事件是否是进行n次独立重复，且每
次试验只有两种结果，如果不满足此两条件，随机变量就不服从二项分布.
②当随机变量的总体很大且抽取的样本容量相对于总体来说又比较小，而每次抽取时又只
有两种试验结果，此时可以把它看作独立重复试验，利用二项分布求其分布列.
4. 几何分布：“k”表示在第k次独立重复试验时，事件第一次发生，如果把k次试验时
事件A发生记为A ，事A不发生记为A ,P(A )q，那么P(ξk)P(A A A A ).根据
k k k 1 2 k1 k
相互独立事件的概率乘法分式：P(ξk)P(A 1 )P(A 2 )  P(A k1 )P(A k ) qk1p (k 1,2,3,  )于
是得到随机变量ξ的概率分布列.
 1 2 3 … k …
P q qp q2p … qk1p …
我们称ξ服从几何分布，并记g(k,p)qk1p，其中q1 p. k 1,2,3

5. ⑴超几何分布：一批产品共有N件，其中有M（M＜N）件次品，今抽取n(1nN)件，则
其 中 的 次 品 数 ξ 是 一 离 散 型 随 机 变 量 ， 分 布 列 为
C kC nk
P(ξk) M NM (0kM,0nkNM)〔. 分子是从M件次品中取k件，从N-M件正
Cn
N
品中取n-k件的取法数，如果规定m＜r时C r0，则k的范围可以写为k=0，1，…，n.〕
m
⑵超几何分布的另一种形式：一批产品由 a件次品、b件正品组成，今抽取n件（1≤n≤a+b），
CkCnk
则次品数ξ的分布列为P(ξk) a b k0,1,

,n..
C n
ab
⑶超几何分布与二项分布的关系.
设一批产品由a件次品、b件正品组成，不放回抽取n件时，其中次品数ξ服从超几何分布.若
放回式抽取，则其中次品数的分布列可如下求得：把ab个产品编号，则抽取n次共有
(ab)n个 可 能 结 果 ， 等 可 能 ： (ηk)含 Ckakbnk 个 结 果 ， 故
n
Ckakbnk a a a
P(ηk)
(
n
ab)n
Ck
n
(
ab
)k(1
ab
)nk,k0,1,2,

,n，即～B(n
ab
).[我们先为k个
次品选定位置，共Ck种选法；然后每个次品位置有a种选法，每个正品位置有b种选法] 可以
n
证明：当产品总数很大而抽取个数不多时，P(ξk)P(ηk)，因此二项分布可作为超几何分
布的近似，无放回抽样可近似看作放回抽样.
二、数学期望与方差.
1. 期望的含义：一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布为
 x x … x …
1 2 i
P p p … p …
1 2 i
则称Ex 1 p 1 x 2 p 2   x n p n  为ξ的数学期望或平均数、均值.数学期望又简称期望.数学
期望反映了离散型随机变量取值的平均水平.
2. ⑴随机变量ab的数学期望：EE(ab)aEb
①当a0时，E(b)b，即常数的数学期望就是这个常数本身.
第 75 页 共 165 页②当a1时，E(b)Eb，即随机变量ξ与常数之和的期望等于ξ的期望与这个常数的
和.
③当b0时，E(a)aE，即常数与随机变量乘积的期望等于这个常数与随机变量期望的
乘积.
⑵单点分布：Ec1c其分布列为：P(1)c.
ξ 0 1
⑶两点分布：E0q1p p，其分布列为：（p
P q p
+ q = 1）
n!
⑷二项分布：Ek pkqnknp 其分布列为～B(n,p).（P为发生的概率）
k!(nk)!
1
⑸几何分布：E 其分布列为～q(k,p).（P为发生的概率）
p
3.方差、标准差的定义：当已知随机变量ξ的分布列为P(x
k
)p
k
(k 1,2,

)时，则称
D(x 1 E)2p 1 (x 2 E)2p 2   (x n E)2p n   为 ξ 的 方 差 . 显 然 D0， 故
 D. 为ξ的根方差或标准差.随机变量ξ的方差与标准差都反映了随机变量ξ取值
的稳定与波动，集中与离散的程度.D越小，稳定性越高，波动越小.
4.方差的性质.
⑴随机变量ab的方差D()D(ab)a2D.（a、b均为常数）
⑵单点分布：D0 其分布列为P(1) p
ξ 0 1
D pq
⑶两点分布： 其分布列为：（p + q =
P q p
1）
⑷二项分布：Dnpq
q
⑸几何分布：D
p2
5. 期望与方差的关系.
⑴如果E和E都存在，则E()EE
⑵设ξ和是互相独立的两个随机变量，则E()EE,D()DD
⑶期望与方差的转化：DE2(E)2 ⑷E(E)E()E(E)（因为E为一常数）
EE0.
三、正态分布.（基本不列入考试范围）
1.密度曲线与密度函数：对于连续型随机变量ξ，位于x轴上方，ξ落在任一区间[a,b)内的概
率等于它与x轴.直线xa与直线xb所围成的曲边梯形的面积
（如图阴影部分）的曲线叫ξ的密度曲线，以其作为
图像的函数 f(x)叫做ξ的密度函数，由于“x(,)”
是必然事件，故密度曲线与x轴所夹部分面积等于1.
2. ⑴ 正态分布与正态曲线：如果随机变量 ξ 的概率密度为： 1 
(x)2
. （
f(x) e 22
2
第 76 页 共 165 页为常数，且 ），称ξ服从参数为 的正态分布，用 ～ 表示. 的
xR,, 

0 ,  N(,2) f(x)
表达式可简记为 ，它的密度曲线简称为正态曲线.
N(,2)
⑵正态分布的期望与方差：若～N(,2)，则ξ的期望与方差分别为：E,D2.
⑶正态曲线的性质.
①曲线在x轴上方，与x轴不相交.
②曲线关于直线x对称.
③当x时曲线处于最高点，当x向左、向右远离时，曲线不断地降低，呈现出“中间高、两
边低”的钟形曲线.
④当x＜时，曲线上升；当x＞时，曲线下降，并且当曲线向左、向右两边无限延伸时，以
x轴为渐近线，向x轴无限的靠近.
⑤当一定时，曲线的形状由确定，越大，曲线越“矮胖”.表示总体的分布越分散；
越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中.
1 
x2
3. ⑴标准正态分布：如果随机变量ξ的概率函数为(x) e 2 (

x

)，则称ξ服
2
从标准正态分布. 即～N(0,1)有(x)P(x)，(x)1(x)求出，而P（a＜ξ≤b）的计
算则是P(a

b)(b)(a).
注意：当标准正态分布的(x)的X取0时，有(x)0.5当(x)的X取大于0的数时，有
0.5 0.5
(x)  0.5.比如( )0.0793  0.5则 必然小于0，如图.
 
⑵正态分布与标准正态分布间的关系：若～N(,2)则ξ的分布函数通
xμ
常用F(x)表示，且有P(ξx)F(x)( ).
σ
4.⑴“3”原则.
假设检验是就正态总体而言的，进行假设检验可归结为如下三步：①提出统计假设，统计假
设里的变量服从正态分布 N(,2).② 确定一次试验中的取值 a是否落入范围
(3,3).③ 做 出 判 断 ： 如 果 a(3,3)， 接 受 统 计 假 设 . 如 果
a(3,3)，由于这是小概率事件，就拒绝统计假设.
⑵“3”原则的应用：若随机变量ξ服从正态分布N(,2)则 ξ落在(3,3)内的概率
为99.7％ 亦即落在(3,3)之外的概率为0.3％，此为小概率事件，如果此事件发生
了，就说明此种产品不合格（即ξ不服从正态分布）.
第 77 页 共 165 页高中数学第十三章-极极 限限
考试内容：
教学归纳法．数学归纳法应用．
数列的极限．
函数的极限．根限的四则运算．函数的连续性．
考试要求：
（1）理解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题．
（2）了解数列极限和函数极限的概念．
（3）掌握极限的四则运算法则；会求某些数列与函数的极限．
（4）了解函数连续的意义，了解闭区间上连续函数有最大值和最小值的性质．
§13. 极极 限限 知知识识要要点点
1. ⑴第一数学归纳法：①证明当n取第一个n 时结论正确；②假设当nk（kN,k n ）
0 0
时，结论正确，证明当nk1时，结论成立.
⑵第二数学归纳法：设P(n)是一个与正整数n有关的命题，如果
①当nn （n N）时，P(n)成立；
0 0
②假设当nk （kN,k n ）时，P(n)成立，推得nk1时，P(n)也成立.
0
那么，根据①②对一切自然数nn 时，P(n)都成立.
0
2. ⑴数列极限的表示方法：
lim a a
① n
n
②当n时，a
n
a.
⑵几个常用极限：
① limC C （C为常数）
n
1
② lim 0 (kN,k是常数)
nnk
③对于任意实常数，
当|a|

1时，
liman0
n
当 a 1时，若a = 1，则 liman1；若a1，则 liman lim(1)n 不存在
n n n
当 a  1时， liman 不存在
n
⑶数列极限的四则运算法则：
lima a,limb b
如果 n b ，那么
n n
lim(a b )ab
① n n
n
第 78 页 共 165 页lim(a b )ab
② n n
n
a a
③ lim n  (b0)
nb b
n
特别地，如果C是常数，那么
lim(Ca ) limClima Ca
n n .
n n n
⑷数列极限的应用：
a
求无穷数列的各项和，特别地，当 q  1时，无穷等比数列的各项和为S  1 (q  1).
1q
（化循环小数为分数方法同上式）
注：并不是每一个无穷数列都有极限.
3. 函数极限；
⑴当自变量x无限趋近于常数x （但不等于x ）时，如果函数 f(x)无限趋进于一个常数a，
0 0
就是说当x趋近于x 时，函数 f(x)的极限为a.记作 lim f(x)a 或当xx 时， f(x)a.
0 xx 0
0
注：当xx 时， f(x)是否存在极限与 f(x)在x 处是否定义无关，因为xx 并不要求
0 0 0
xx .（当然，f(x)在x 是否有定义也与 f(x)在x 处是否存在极限无关.函数 f(x)在x
0 0 0 0
lim f(x)
有定义是 存在的既不充分又不必要条件.）
xx
0
如P(x)  
x1 x

1
在x1处无定义，但 limP(x) 存在，因为在x1处左右极限均等于零.
x1 x

1 x1
⑵函数极限的四则运算法则：
lim f(x)a, lim g(x)b
如果 ，那么
xx xx
0 0
lim(f(x)g(x))ab
①
xx
0
lim(f(x)g(x))ab
②
xx
0
f(x) a
③ lim  (b0)
xx g(x) b
0
特别地，如果C是常数，那么
lim(C f(x))C lim f(x)
.
xx xx
0 0
lim[f(x)]n [lim f(x)]n （nN）
xx xx
0 0
注：①各个函数的极限都应存在.
②四则运算法则可推广到任意有限个极限的情况，但不能推广到无限个情况.
⑶几个常用极限：
1
① lim 0
n x
② lim ax 0（0＜a＜1）； lim ax 0（a＞1）
x x
第 79 页 共 165 页sinx x
③lim 1 lim 1
x0 x x0sinx
1 1
④ lim(1 )x e，lim(1x)x e（e2.71828183）
x x x0
4. 函数的连续性：
f(x)
⑴如果函数f（x），g（x）在某一点xx 连续，那么函数 f(x)g(x), f(x)g(x), (g(x)0)
0 g(x)
在点xx 处都连续.
0
⑵函数f（x）在点xx 处连续必须满足三个条件：
0
lim f(x)
①函数f（x）在点xx 处有定义；② 存在；③函数f（x）在点xx 处的极限值等于
0 xx 0
0
lim f(x) f(x )
该点的函数值，即 0 .
xx
0
⑶函数f（x）在点xx 处不连续（间断）的判定：
0
如果函数f（x）在点xx 处有下列三种情况之一时，则称x 为函数f（x）的不连续点.
0 0
lim f(x) lim f(x)
①f（x）在点xx 处没有定义，即 f(x )不存在；② 不存在；③ 存在，但
0 0 xx xx
0 0
lim f(x) f(x )
0 .
xx
0
5. 零点定理，介值定理，夹逼定理：
⑴零点定理：设函数 f（x）在闭区间[a,b]上连续，且 f(a) f(b)  0.那么在开区间(a,b)内至
少有函数 f(x)的一个零点，即至少有一点（a＜＜b）使 f()0.
⑵介值定理：设函数 f(x)在闭区间[a,b]上连续，且在这区间的端点取不同函数值，
f(a) A, f(b)B，那么对于A,B之间任意的一个数C，在开区间(a,b)内至少有一点，使
得 f()C （a＜＜b）.
⑶夹逼定理：设当0  |xx 0 |  时，有g(x)≤ f(x)≤h(x)，且 x l  im x g(x) x l  im x h(x) A ，则必
0 0
lim f(x) A.
有
xx
0
注：|xx
0
|：表示以x
0
为的极限，则|xx
0
|就无限趋近于零.（为最小整数）
6. 几个常用极限：
① lim qn0, q  1
n
an
② lim 0(a 0)

n n!
nk
③ lim 0(a 1,k 为常数）

nan
lnn
④ lim 0
n n
(lnn)k
⑤ lim 0( 0,k为常数）

n n
第 80 页 共 165 页高中数学第十四章
导导 数数
考试内容：
导数的背影．
导数的概念．
多项式函数的导数．
利用导数研究函数的单调性和极值．函数的最大值和最小值．
考试要求：
（1）了解导数概念的某些实际背景．
（2）理解导数的几何意义．
（3）掌握函数，y=c(c为常数)、y=xn(n∈N+)的导数公式，会求多项式函数的导数．
（4）理解极大值、极小值、最大值、最小值的概念，并会用导数求多项式函数的单调区间、极
大值、极小值及闭区间上的最大值和最小值．
（5）会利用导数求某些简单实际问题的最大值和最小值．
§14. 导导 数数 知知识识要要点点
导数的概念 导数的几何意义、物理意义
常见函数的导数
导
导数的运算
数
导数的运算法则
函数的单调性
导数的应用 函数的极值
函数的最值
1. 导数（导函数的简称）的定义：设x 是函数y f(x)定义域的一点，如果自变量x在x 处有
0 0
增 量 x， 则 函 数 值 y也 引 起 相 应 的 增 量 y f(x x) f(x )； 比 值
0 0
y f(x x) f(x )
 0 0 称为函数 y f(x)在点x 到x x之间的平均变化率；如果极限
0 0
x x
y f(x x) f(x )
lim  lim 0 0 存在，则称函数y f(x)在点x 处可导，并把这个极限叫做
0
x0x x0 x
y f(x)在x 0 处的导数，记作 f '(x 0 )或y' | xx ，即 f '(x 0 )= lim y  lim f(x 0 x) f(x 0 ) .
0 x0x x0 x
注：①x是增量，我们也称为“改变量”，因为x可正，可负，但不为零.
②以知函数y f(x)定义域为A，y f '(x)的定义域为B，则A与B关系为AB.
2. 函数y f(x)在点x 处连续与点x 处可导的关系：
0 0
第 81 页 共 165 页⑴函数y f(x)在点x
0
处连续是y f(x)在点x
0
处可导的必要不充分条件.
可以证明，如果y f(x)在点x
0
处可导，那么y f(x)点x
0
处连续.
事实上，令xx x，则xx 相当于x0.
0 0
lim f(x) lim f(x x) lim[f(xx ) f(x ) f(x )]
于是 0 0 0 0
xx x0 x0
0
f(x x) f(x ) f(x x) f(x )
 lim[ 0 0 x f(x )] lim 0 0  lim lim f(x ) f '(x )0 f(x ) f(x ).
0 0 0 0 0
x0 x x0 x x0 x0
⑵如果y f(x)点x
0
处连续，那么y f(x)在点x
0
处可导，是不成立的.
y |x|
例： f(x)|x|在点x 0处连续，但在点x 0处不可导，因为  ，当x＞0时，
0 0 x x
y y y
1；当x＜0时， 1，故 lim 不存在.
x x x0x
注：①可导的奇函数函数其导函数为偶函数.
②可导的偶函数函数其导函数为奇函数.
3. 导数的几何意义：
函数y f(x)在点x 处的导数的几何意义就是曲线y f(x)在点(x , f(x))处的切线的斜率，
0 0
也就是说，曲线 y f(x)在点 P(x
0
, f(x))处的切线的斜率是 f '(x
0
)，切线方程为
yy  f '(x)(xx ).
0 0
4. 求导数的四则运算法则：
(uv)' u' v'  y f (x) f (x)... f (x) y'  f '(x) f '(x)... f '(x)
1 2 n 1 2 n
(uv)' vu' v'u(cv)' c'vcv' cv'（c为常数）
u ' vu' v'u
   (v0)
v v2
注：①u,v必须是可导函数.
②若两个函数可导，则它们和、差、积、商必可导；若两个函数均不可导，则它们的和、差、积、
商不一定不可导.
2 2
例如：设 f(x)2sinx ，g(x)cosx ，则 f(x),g(x)在x0处均不可导，但它们和
x x
f(x)g(x)
sinxcosx在x0处均可导.
5. 复合函数的求导法则： f x '((x)) f '(u)'(x)或y' x  y' u u' x
复合函数的求导法则可推广到多个中间变量的情形.
6. 函数单调性：
⑴函数单调性的判定方法：设函数y f(x)在某个区间内可导，如果 f '(x)＞0，则y f(x)为
增函数；如果 f '(x)＜0，则y f(x)为减函数.
⑵常数的判定方法；
第 82 页 共 165 页如果函数y f(x)在区间I 内恒有 f '(x)=0，则y f(x)为常数.
注：① f(x)  0是（f x）递增的充分条件，但不是必要条件，如y2x3在(,)上并不是都有
f(x)  0，有一个点例外即x=0时f（x） = 0，同样 f(x)  0是f（x）递减的充分非必要条件.
②一般地，如果（f x）在某区间内有限个点处为零，在其余各点均为正（或负），那么（f x）在该
区间上仍旧是单调增加（或单调减少）的.
7. 极值的判别方法：（极值是在x 附近所有的点，都有 f(x)＜ f(x )，则 f(x )是函数 f(x)的
0 0 0
极大值，极小值同理）
当函数 f(x)在点x 处连续时，
0
①如果在x 附近的左侧 f '(x)＞0，右侧 f '(x)＜0，那么 f(x )是极大值；
0 0
②如果在x 附近的左侧 f '(x)＜0，右侧 f '(x)＞0，那么 f(x )是极小值.
0 0
也就是说x
0
是极值点的充分条件是x
0
点两侧导数异号，而不是 f '(x)=0①. 此外，函数不
可导的点也可能是函数的极值点②. 当然，极值是一个局部概念，极值点的大小关系是不确定
的，即有可能极大值比极小值小（函数在某一点附近的点不同）.
注①： 若点x
0
是可导函数 f(x)的极值点，则 f '(x)=0. 但反过来不一定成立. 对于可导函数，
其一点x
0
是极值点的必要条件是若函数在该点可导，则导数值为零.
例如：函数y f(x)x3，x0使 f '(x)=0，但x0不是极值点.
②例如：函数y f(x)|x|，在点x0处不可导，但点x0是函数的极小值点.
8. 极值与最值的区别：极值是在局部对函数值进行比较，最值是在整体区间上对函数值进行
比较.
注：函数的极值点一定有意义.
9. 几种常见的函数导数：
1
I.C' 0（C为常数） (sinx)' cosx (arcsinx)' 
1x2
1
(xn)' nxn1（nR） (cosx)' sinx (arccosx)' 
1x2
1 1 1
II. (lnx)'  (log x)'  log e (arctanx)' 
x a x a x2 1
1
(ex)' ex (ax)' ax lna (arccotx)' 
x2 1
III. 求导的常见方法：
1
①常用结论：(ln|x|)'  .
x
(xa )(xa )...(xa )
②形如y(xa )(xa )...(xa )或y 1 2 n 两边同取自然对数，可转化
1 2 n (xb )(xb )...(xb )
1 2 n
求代数和形式.
第 83 页 共 165 页③无理函数或形如yxx 这类函数，如yxx 取自然对数之后可变形为lnyxlnx，对两边
y' 1
求导可得 lnxx  y'  ylnx y y'  xx lnxxx .
y x
高中数学第十五章 复数
考试内容：
复数的概念．
复数的加法和减法．
复数的乘法和除法．
数系的扩充．
考试要求：
（1）了解复数的有关概念及复数的代数表示和几何意义．
（2）掌握复数代数形式的运算法则，能进行复数代数形式的加法、减法、乘法、除
法运算．
（3）了解从自然数系到复数系的关系及扩充的基本思想．
§15. 复复 数数 知知识识要要点点
1. ⑴复数的单位为i，它的平方等于－1，即i21.
⑵复数及其相关概念：
① 复数—形如a + bi的数（其中a，bR）；
② 实数—当b = 0时的复数a + bi，即a；
③ 虚数—当b0时的复数a + bi；
④ 纯虚数—当a = 0且b0时的复数a + bi，即bi.
⑤ 复数a + bi的实部与虚部—a叫做复数的实部，b叫做虚部（注意a，b都是实数）
⑥ 复数集C—全体复数的集合，一般用字母C表示.
⑶两个复数相等的定义：
abicdiac且bd（其中，a，b，c，d，R）特别地abi0ab0.
⑷两个复数，如果不全是实数，就不能比较大小.
注：①若z 1 ,z 2 为复数，则1若z 1 z 2  0，则z 1  z 2 .（×）[z 1 ,z 2 为复数，而不是实数]
2若z
1 
z 2，则z
1
z
2 
0.（√）
②若 a,b,cC，则 (ab)2 (bc)2 (ca)2 0是 abc的必要不充分条件.（当
(ab)2 i2
，
(bc)2 1,(ca)2 0时，上式成立）
2. ⑴复平面内的两点间距离公式：d  z z .
1 2
其中z ，z 是复平面内的两点z 和z 所对应的复数，d表示z 和z 间的距离.
1 2 1 2 1 2
由上可得：复平面内以z 0 为圆心，r为半径的圆的复数方程： zz 0 r（r  0） .
⑵曲线方程的复数形式：
第 84 页 共 165 页① zz
0
r表示以z
0
为圆心，r为半径的圆的方程.
② zz
1
 zz
2
表示线段z
1
z
2
的垂直平分线的方程.
③ zz 1  zz 2 2a（a  0且2a  z 1 z 2 ）表示以Z 1 ，Z 2 为焦点，长半轴长为a的椭圆的方程
（若2a z 1 z 2 ，此方程表示线段 Z 1 ，Z 2）.
④ zz 1  zz 2 2a（0  2a  z 1 z 2 ），表示以 Z 1 ，Z 2为焦点，实半轴长为a的双曲线方程
（若2a z z ，此方程表示两条射线）.
1 2
⑶绝对值不等式：
设z ，z 是不等于零的复数，则
1 2
① z  z  z z  z  z .
1 2 1 2 1 2
左边取等号的条件是z
2
z
1
（R，且

0），右边取等号的条件是z
2
z
1
（R，

0）.
② z  z  z z  z  z .
1 2 1 2 1 2
左边取等号的条件是z
2
z
1
（R，

0），右边取等号的条件是z
2
z
1
（R，

0）.
注：A A A A A A  A A  A A .
1 2 2 3 3 4  n1 n 1 n
3. 共轭复数的性质：
zz z 1 z 2 z 1 z 2
zz2a，zz2bi（za + bi） zz|z|2|z|2
▲
y
(-2,1)
x
z z z z
1 2 1 2
 z  z


 z
1
2 



z
1
2
（z
2
0） zn (z)n
注：两个共轭复数之差是纯虚数. （×）[之差可能为零，此时两个复数是相等的]
第 85 页 共 165 页zn zzz...z(nN)

n
4 ⑴①复数的乘方：
②对任何z，z ,z C及m,nN 有
1 2 
③zmznzmn,(zm)nzmn,(z z )nznzn
1 2 1 2
注：①以上结论不能拓展到分数指数幂的形式，否则会得到荒谬的结果，如i21,i41若由
1 1
i2(i4)212 1
就会得到11的错误结论.
②在实数集成立的|x|x2 . 当x为虚数时，|x| x2 ，所以复数集内解方程不能采用两边平方
法.
⑵常用的结论：
i21,i4n1i,i4n21,i4n3i,i4n1
inin1in2in30,(nZ)
1i 1i
(1i)22i, i, i
1i 1i
若 是 1 的 立 方 虚 数 根 ， 即  1  3 i， 则
2 2
.
5. ⑴复数z是实数及纯虚数的充要条件：
①zR zz.
②若z0，z是纯虚数 zz0.
⑵模相等且方向相同的向量，不管它的起点在哪里，都认为是相等的，而相等的向量表示同
一复数. 特例：零向量的方向是任意的，其模为零.
注：|z||z|.
第 86 页 共 165 页6. ⑴复数的三角形式：zr(cosisin).
辐角主值：适合于0≤＜2的值，记作argz.
注：①z为零时，argz可取[0,2)内任意值.
②辐角是多值的，都相差2 的整数倍.
 3
③设aR,则arga0,arg(a),argai ,arg(ai) .
2 2
⑵复数的代数形式与三角形式的互化：
a b
abir(cosisin)，r  a2 b2 ，cos ,sin .
r r
⑶几类三角式的标准形式：
r(cosisin)r[cos()isin()]
r(cosisin)r[cos()isin()]
r(cosisin)r[cos()isin()]
 
r(sinicos)r[cos( )isin( )]
2 2
7. 复数集中解一元二次方程：
在复数集内解关于x的一元二次方程ax2 bxc0(a0)时，应注意下述问题：
b 
①当a,b,cR时，若＞0，则有二不等实数根x  ；若=0，则有二相等实数根
1,2
2a
b b ||i
x
1,2

2a
；若＜0，则有二相等复数根x
1,2

2a
（x 1,2为共轭复数）.
②当a,b,c不全为实数时，不能用方程根的情况.
③不论a,b,c为何复数，都可用求根公式求根，并且韦达定理也成立.
8. 复数的三角形式运算：
r (cos isin )r (cos isin )rr [cos(  )isin(  )]
1 1 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2
r (cos isin ) r
1 1 2  1 [cos(  )isin(  )]
1 2 1 2
r (cos isin ) r
2 2 2 2
棣莫弗定理：[r(cosisin)]n rn(cosnisinn)
第 87 页 共 165 页第 88 页 共 165 页目 录
前言 ……………………………………………………… 2
第一章 高中数学解题基本方法 ……………………… 3
一、 配方法 ……………………………………… 3
二、 换元法 ……………………………………… 7
三、 待定系数法 ………………………………… 14
四、 定义法 ……………………………………… 19
五、 数学归纳法 ………………………………… 23
六、 参数法 ……………………………………… 28
七、 反证法 ……………………………………… 32
八、 消去法 ………………………………………
九、 分析与综合法 ………………………………
十、 特殊与一般法 ………………………………
十一、 类比与归纳法 …………………………
十二、 观察与实验法 …………………………
第二章 高中数学常用的数学思想 …………………… 35
第 89 页 共 165 页一、 数形结合思想 ……………………………… 35
二、 分类讨论思想 ……………………………… 41
三、 函数与方程思想 …………………………… 47
四、 转化（化归）思想 ………………………… 54
第三章 高考热点问题和解题策略 …………………… 59
一、 应用问题 …………………………………… 59
二、 探索性问题 ………………………………… 65
三、 选择题解答策略 …………………………… 71
四、 填空题解答策略 …………………………… 77
附录 ………………………………………………………
一、 高考数学试卷分析 …………………………
二、 两套高考模拟试卷 …………………………
三、 参考答案 ……………………………………
前 言
美国著名数学教育家波利亚说过，掌握数学就意味着要善于解题。而当我们
解题时遇到一个新问题，总想用熟悉的题型去“套”，这只是满足于解出来，只
有对数学思想、数学方法理解透彻及融会贯通时，才能提出新看法、巧解法。高考
试题十分重视对于数学思想方法的考查，特别是突出考查能力的试题，其解答过
程都蕴含着重要的数学思想方法。我们要有意识地应用数学思想方法去分析问题
解决问题，形成能力，提高数学素质，使自己具有数学头脑和眼光。
高考试题主要从以下几个方面对数学思想方法进行考查：
① 常用数学方法：配方法、换元法、待定系数法、数学归纳法、参数法、消去法等；
第 90 页 共 165 页② 数学逻辑方法：分析法、综合法、反证法、归纳法、演绎法等；
③ 数学思维方法：观察与分析、概括与抽象、分析与综合、特殊与一般、类比、归纳和演绎
等；
④ 常用数学思想：函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化（化归）思想等。
数学思想方法与数学基础知识相比较，它有较高的地位和层次。数学知识是
数学内容，可以用文字和符号来记录和描述，随着时间的推移，记忆力的减退，将
来可能忘记。而数学思想方法则是一种数学意识，只能够领会和运用，属于思维
的范畴，用以对数学问题的认识、处理和解决，掌握数学思想方法，不是受用一阵
子，而是受用一辈子，即使数学知识忘记了，数学思想方法也还是对你起作用。
数学思想方法中，数学基本方法是数学思想的体现，是数学的行为，具有模
式化与可操作性的特征，可以选用作为解题的具体手段。数学思想是数学的灵魂
它与数学基本方法常常在学习、掌握数学知识的同时获得。
可以说，“知识”是基础，“方法”是手段，“思想”是深化，提高数学素质
的核心就是提高学生对数学思想方法的认识和运用，数学素质的综合体现就是
“能力”。
为了帮助学生掌握解题的金钥匙，掌握解题的思想方法，本书先是介绍高考
中常用的数学基本方法：配方法、换元法、待定系数法、数学归纳法、参数法、消去
法、反证法、分析与综合法、特殊与一般法、类比与归纳法、观察与实验法，再介绍
高考中常用的数学思想：函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化
（化归）思想。最后谈谈解题中的有关策略和高考中的几个热点问题，并在附录部
分提供了近几年的高考试卷。
在每节的内容中，先是对方法或者问题进行综合性的叙述，再以三种题组的
形式出现。再现性题组是一组简单的选择填空题进行方法的再现，示范性题组进
行详细的解答和分析，对方法和问题进行示范。巩固性题组旨在检查学习的效果
起到巩固的作用。每个题组中习题的选取，又尽量综合到代数、三角、几何几个部
分重要章节的数学知识。
第二章 高中数学解题基本方法
一、配方法
配方法是对数学式子进行一种定向变形（配成“完全平方”）的技巧，通过配方找到已知
和未知的联系，从而化繁为简。何时配方，需要我们适当预测，并且合理运用“裂项”与“添
项”、“配”与“凑”的技巧，从而完成配方。有时也将其称为“凑配法”。
最常见的配方是进行恒等变形，使数学式子出现完全平方。它主要适用于：已知或者未知
中含有二次方程、二次不等式、二次函数、二次代数式的讨论与求解，或者缺xy项的二次曲
线的平移变换等问题。
第 91 页 共 165 页配方法使用的最基本的配方依据是二项完全平方公式(a＋b) ＝a ＋2ab＋b ，将这个公
式灵活运用，可得到各种基本配方形式，如：
a ＋b ＝(a＋b) －2ab＝(a－b) ＋2ab；
a ＋ab＋b ＝(a＋b) －ab＝(a－b) ＋3ab＝(a＋ ) ＋（ b） ；
a ＋b ＋c ＋ab＋bc＋ca＝ [(a＋b) ＋(b＋c) ＋(c＋a) ]
a ＋b ＋c ＝(a＋b＋c) －2(ab＋bc＋ca)＝(a＋b－c) －2(ab－bc－ca)＝…
结合其它数学知识和性质，相应有另外的一些配方形式，如：
1＋sin2α＝1＋2sinαcosα＝（sinα＋cosα） ；
x ＋ ＝(x＋ ) －2＝(x－ ) ＋2 ；…… 等等。
Ⅰ、再现性题组：
1. 在正项等比数列{a }中，a a +2a a +a a =25，则 a ＋a ＝_______。
2. 方程x ＋y －4kx－2y＋5k＝0表示圆的充要条件是_____。
A. 1 C. k∈R D. k＝ 或k＝1
3. 已知sin α＋cos α＝1，则sinα＋cosα的值为______。
A. 1 B. －1 C. 1或－1 D. 0
4. 函数y＝log (－2x ＋5x＋3)的单调递增区间是_____。
A. （－∞, ] B. [ ,+∞) C. (－ , ] D. [ ,3)
5. 已知方程x +(a-2)x+a-1=0的两根x 、x ，则点P(x ,x )在圆x +y =4上，则实数a
＝_____。
【简解】 1小题：利用等比数列性质a a ＝a ，将已知等式左边后配方（a ＋a ）
易求。答案是：5。
2小题：配方成圆的标准方程形式(x－a) ＋(y－b) ＝r ，解r >0即可，选B。
3小题：已知等式经配方成(sin α＋cos α) －2sin αcos α＝1，求出sinαcosα，
然后求出所求式的平方值，再开方求解。选C。
4小题：配方后得到对称轴，结合定义域和对数函数及复合函数的单调性求解。选D。
5小题：答案3－ 。
Ⅱ、示范性题组：
例1. 已知长方体的全面积为11，其12条棱的长度之和为24，则这个长方体的一条对角
线长为_____。
A. 2 B. C. 5 D. 6
【 分 析 】 先 转 换 为 数 学 表 达 式 ： 设 长 方 体 长 宽 高 分 别 为 x,y,z ， 则
,而欲求对角线长 ，将其配凑成两已知式的组合形
式可得。
第 92 页 共 165 页【解】设长方体长宽高分别为x,y,z，由已知“长方体的全面积为11，其12条棱的长度之
和为24”而得： 。
长方体所求对角线长为： ＝ ＝ ＝5
所以选B。
【注】本题解答关键是在于将两个已知和一个未知转换为三个数学表示式，观察和分析三
个数学式，容易发现使用配方法将三个数学式进行联系，即联系了已知和未知，从而求解。这
也是我们使用配方法的一种解题模式。
例2. 设方程x ＋kx＋2=0的两实根为p、q，若( ) +( ) ≤7成立，求实数k的取值范
围。
【解】方程x ＋kx＋2=0的两实根为p、q，由韦达定理得：p＋q＝－k，pq＝2 ,
( ) +( ) ＝ ＝ ＝ ＝
≤7， 解得k≤－ 或k≥ 。
又 ∵p、q为方程x ＋kx＋2=0的两实根， ∴ △＝k －8≥0即k≥2 或k≤－2
综合起来，k的取值范围是：－ ≤k≤－ 或者 ≤k≤ 。
【注】 关于实系数一元二次方程问题，总是先考虑根的判别式“Δ”；已知方程有两根时，
可以恰当运用韦达定理。本题由韦达定理得到p＋q、pq后，观察已知不等式，从其结构特征
联想到先通分后配方，表示成p＋q与pq的组合式。假如本题不对“△”讨论，结果将出错，
即使有些题目可能结果相同，去掉对“△”的讨论，但解答是不严密、不完整的，这一点我们
要尤为注意和重视。
例3. 设非零复数a、b满足a ＋ab＋b =0，求( ) ＋( ) 。
【分析】 对已知式可以联想：变形为( ) ＋( )＋1＝0，则 ＝ω （ω为1的立方虚
根）；或配方为(a＋b) ＝ab 。则代入所求式即得。
【解】由a ＋ab＋b =0变形得：( ) ＋( )＋1＝0 ，
设ω＝ ，则ω ＋ω＋1＝0，可知ω为1的立方虚根，所以： ＝ ，ω ＝ ＝1。
又由a ＋ab＋b =0变形得：(a＋b) ＝ab ，
所以 ( ) ＋( ) ＝( ) ＋( ) ＝( ) ＋( ) ＝ω ＋
＝2 。
【注】 本题通过配方，简化了所求的表达式；巧用1的立方虚根，活用ω的性质，计算表
达式中的高次幂。一系列的变换过程，有较大的灵活性，要求我们善于联想和展开。
第 93 页 共 165 页【另解】由a ＋ab＋b ＝0变形得：( ) ＋( )＋1＝0 ，解出 ＝ 后，化成三
角形式，代入所求表达式的变形式( ) ＋( ) 后，完成后面的运算。此方法用于只是未
联想到ω时进行解题。
假如本题没有想到以上一系列变换过程时，还可由a ＋ab＋b ＝0解出：a＝
b，直接代入所求表达式，进行分式化简后，化成复数的三角形式，利用棣莫佛定理完成最后
的计算。
Ⅲ、巩固性题组：
1. 函数y＝(x－a) ＋(x－b) （a、b为常数）的最小值为_____。
A. 8 B. C. D.最小值不存在
2. α、β是方程x －2ax＋a＋6＝0的两实根，则(α-1) +(β-1) 的最小值是_____。
A. － B. 8 C. 18 D.不存在
3. 已知x、y∈R ，且满足x＋3y－1＝0，则函数t＝2 ＋8 有_____。
A.最大值2 B.最大值 C.最小值2 B.最小值
4. 椭圆x －2ax＋3y ＋a －6＝0的一个焦点在直线x＋y＋4＝0上，则a＝_____。
A. 2 B. －6 C. －2或－6 D. 2或6
5. 化简：2 ＋ 的结果是_____。
A. 2sin4 B. 2sin4－4cos4 C. －2sin4 D. 4cos4－2sin4
6. 设F 和F 为双曲线 －y ＝1的两个焦点，点P在双曲线上且满足∠F PF ＝90°，
则△F PF 的面积是_________。
7. 若x>－1，则f(x)＝x ＋2x＋ 的最小值为___________。
8. 已知 〈β<α〈 π，cos(α-β)＝ ，sin(α+β)＝－ ，求sin2α的值。(92年
高考题)
9. 设二次函数f(x)＝Ax ＋Bx＋C，给定m、n（m0；
② 是否存在一个实数t，使当t∈(m+t,n-t)时，f(x)<0 ？若不存在，说出理由；若存在，
指出t的取值范围。
10. 设s>1，t>1，m∈R，x＝log t＋log s，y＝log t＋log s＋m(log t＋log s),
① 将y表示为x的函数y＝f(x)，并求出f(x)的定义域；
② 若关于x的方程f(x)＝0有且仅有一个实根，求m的取值范围。
第 94 页 共 165 页二、换元法
解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简
化，这叫换元法。换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变
换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问
题简单化，变得容易处理。
换元法又称辅助元素法、变量代换法。通过引进新的变量，可以把分散的条件联系
起来，隐含的条件显露出来，或者把条件与结论联系起来。或者变为熟悉的形式，把复杂的计
算和推证简化。
它可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式、化超越式为代数式，在研
究方程、不等式、函数、数列、三角等问题中有广泛的应用。
第 95 页 共 165 页换元的方法有：局部换元、三角换元、均值换元等。局部换元又称整体换元，是在
已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候
要通过变形才能发现。例如解不等式：4 ＋2 －2≥0，先变形为设2 ＝t（t>0），而变为熟悉
的一元二次不等式求解和指数方程的问题。
三角换元，应用于去根号，或者变换为三角形式易求时，主要利用已知代数式中
与三角知识中有某点联系进行换元。如求函数y＝ ＋ 的值域时，易发现x∈[0,1]，
设x＝sin α ，α∈[0, ]，问题变成了熟悉的求三角函数值域。为什么会想到如此设，其
中主要应该是发现值域的联系，又有去根号的需要。如变量x、y适合条件x ＋y ＝r（r>0）
时，则可作三角代换x＝rcosθ、y＝rsinθ化为三角问题。
均值换元，如遇到x＋y＝S形式时，设x＝ ＋t，y＝ －t等等。
我们使用换元法时，要遵循有利于运算、有利于标准化的原则，换元后要注重新
变量范围的选取，一定要使新变量范围对应于原变量的取值范围，不能缩小也不能扩大。如
上几例中的t>0和α∈[0, ]。
Ⅰ、再现性题组：
1.y＝sinx·cosx＋sinx+cosx的最大值是_________。
2.设f(x ＋1)＝log (4－x ) （a>1），则f(x)的值域是_______________。
3.已知数列{a }中，a ＝－1，a ·a ＝a －a ，则数列通项a ＝___________。
4.设实数x、y满足x ＋2xy－1＝0，则x＋y的取值范围是___________。
5.方程 ＝3的解是_______________。
6.不等式log (2 －1) ·log (2 －2)〈2的解集是_______________。
【简解】1小题：设sinx+cosx＝t∈[－ , ]，则y＝ ＋t－ ，对称轴t＝－1，当t
＝ ，y ＝ ＋ ；
2小题：设x ＋1＝t (t≥1)，则f(t)＝log [-(t-1) ＋4]，所以值域为(－∞,log 4]；
3小题：已知变形为 － ＝－1,设b ＝ ，则b ＝－1,b ＝－1＋(n－1)(-1)＝
－n，所以a ＝－ ；
4小题：设x＋y＝k，则x －2kx＋1＝0, △＝4k －4≥0,所以k≥1或k≤－1；
5小题：设3 ＝y，则3y ＋2y－1＝0,解得y＝ ，所以x＝－1；
6小题：设log (2 －1)＝y，则y(y＋1)<2，解得－20，求f(x)＝2a(sinx＋cosx)－sinx·cosx－2a 的最大值和最小值。
【解】 设sinx＋cosx＝t，则t∈[- , ]，由(sinx＋cosx)
y
＝1＋2sinx·cosx得：sinx·cosx＝ , ,
－ x
∴ f(x)＝g(t)＝－ (t－2a) ＋ （a>0），t∈[- , ]
t＝- 时，取最小值：－2a －2 a－
当2a≥ 时，t＝ ，取最大值：－2a ＋2 a－ ；
当0<2a≤ 时，t＝2a，取最大值： 。
∴ f(x)的最小值为－2a －2 a－ ，最大值为 。
【注】 此题属于局部换元法，设sinx＋cosx＝t后，抓住sinx＋cosx与sinx·cosx的内
在联系，将三角函数的值域问题转化为二次函数在闭区间上的值域问题，使得容易求解。换
元过程中一定要注意新的参数的范围（t∈[- , ]）与sinx＋cosx对应，否则将会出错。
本题解法中还包含了含参问题时分类讨论的数学思想方法，即由对称轴与闭区间的位置关
系而确定参数分两种情况进行讨论。
一般地，在遇到题目已知和未知中含有sinx与cosx的和、差、积等而求三角式的最大值
和最小值的题型时，即函数为f(sinx±cosx，sinxcsox)，经常用到这样设元的换元法，转化
为在闭区间上的二次函数或一次函数的研究。
例4. 设对所于有实数x，不等式x log ＋2x log ＋log >0恒
成立，求a的取值范围。（87年全国理）
【分析】不等式中log 、 log 、log 三项有何联系？进行对数式
的有关变形后不难发现，再实施换元法。
【解】 设log ＝t，则log ＝log ＝3＋log ＝3－log
＝3－t，log ＝2log ＝－2t，
代入后原不等式简化为（3－t）x ＋2tx－2t>0，它对一切实数x恒成立，所以：
第 99 页 共 165 页，解得 ∴ t<0即log <0
0< <1，解得00恒成立，求k的范围。
【分析】由已知条件 ＋ ＝1，可以发现它与a ＋b ＝1有相似之处，于是
实施三角换元。
【解】由 ＋ ＝1，设 ＝cosθ， ＝sinθ，
即： 代入不等式x＋y－k>0得：
3cosθ＋4sinθ－k>0，即k<3cosθ＋4sinθ＝5sin(θ+ψ)
第 100 页 共 165 页所以k<-5时不等式恒成立。
【注】本题进行三角换元，将代数问题（或者是解析几何问题）化为了含参三角不等式恒
成立的问题，再运用“分离参数法”转化为三角函数的值域问题，从而求出参数范围。一般
地，在遇到与圆、椭圆、双曲线的方程相似的代数式时，或者在解决圆、椭圆、双曲线等有关问
题时，经常使用“三角换元法”。
本题另一种解题思路是使用数形结合法的思想方法：在平面直角坐标系，不等式ax＋by
＋c>0 (a>0)所表示的区域为直线ax＋by＋c＝0所分平面成两部分中含x轴正方向的一部
分。此题不等式恒成立问题化为图形问题：椭圆上的
y
点始终位于平面上x＋y－k>0的区域。即当直线x＋y x
－k＝0在与椭圆下部相切的切线之下时。当直线与椭
圆 相 切 时 ， 方 程 组
x＋y－k>0
k 平面区域
有相等的一组实
数解，消元后由△＝0可求得k＝－3,所以k<-3时原
不等式恒成立。
Ⅲ、巩固性题组：
1. 已知f(x )＝lgx (x>0)，则f(4)的值为_____。
A. 2lg2 B. lg2 C. lg2 D. lg4
2. 函数y＝(x＋1) ＋2的单调增区间是______。
A. [-2,+∞) B. [-1,+∞) D. (-∞,+∞) C. (-∞,-1]
3. 设等差数列{a }的公差d＝ ，且S ＝145，则a ＋a ＋a ＋……＋a 的值为_____。
A. 85 B. 72.5 C. 60 D. 52.5
4. 已知x ＋4y ＝4x，则x＋y的范围是_________________。
5. 已知a≥0，b≥0，a＋b＝1，则 ＋ 的范围是____________。
6. 不等式 >ax＋ 的解集是(4,b)，则a＝________，b＝_______。
7. 函数y＝2x＋ 的值域是________________。
8. 在等比数列{a }中，a ＋a ＋…＋a ＝2，a ＋a ＋…＋a ＝12，求a ＋a ＋…
＋a 。
9. 实数m在什么范围内取值，对任意实数x，不等式sin x＋2mcosx＋4m－1<0恒成立。
10. 已知矩形ABCD，顶点C(4,4)，A点在曲线x ＋y
＝2 (x>0,y>0)上移动，且AB、AD始终平行 y D C x轴、
y轴，求矩形ABCD的最小面积。 A B
O x
第 101 页 共 165 页三、待定系数法
要确定变量间的函数关系，设出某些未知系数，然后根据所给条件来确定这些未知系数
的方法叫待定系数法，其理论依据是多项式恒等，也就是利用了多项式f(x) g(x)的充要条
件是：对于一个任意的a值，都有f(a) g(a)；或者两个多项式各同类项的系数对应相等。
待定系数法解题的关键是依据已知，正确列出等式或方程。使用待定系数法，就是把具有
某种确定形式的数学问题，通过引入一些待定的系数，转化为方程组来解决，要判断一个问
题是否用待定系数法求解，主要是看所求解的数学问题是否具有某种确定的数学表达式，如
果具有，就可以用待定系数法求解。例如分解因式、拆分分式、数列求和、求函数式、求复数、
解析几何中求曲线方程等，这些问题都具有确定的数学表达形式，所以都可以用待定系数法
求解。
使用待定系数法，它解题的基本步骤是：
第一步，确定所求问题含有待定系数的解析式；
第二步，根据恒等的条件，列出一组含待定系数的方程；
第三步，解方程组或者消去待定系数，从而使问题得到解决。
如何列出一组含待定系数的方程，主要从以下几方面着手分析：
①利用对应系数相等列方程；
②由恒等的概念用数值代入法列方程；
③利用定义本身的属性列方程；
④利用几何条件列方程。
比如在求圆锥曲线的方程时，我们可以用待定系数法求方程：首先设所求方程的形式，其
中含有待定的系数；再把几何条件转化为含所求方程未知系数的方程或方程组；最后解所得
的方程或方程组求出未知的系数，并把求出的系数代入已经明确的方程形式，得到所求圆锥
曲线的方程。
Ⅰ、再现性题组：
1. 设f(x)＝ ＋m，f(x)的反函数f (x)＝nx－5，那么m、n的值依次为_____。
A. , －2 B. － ， 2 C. , 2 D. － ，－2
2. 二次不等式ax ＋bx＋2>0的解集是(－ , )，则a＋b的值是_____。
A. 10 B. －10 C. 14 D. －14
3. 在(1－x )（1＋x） 的展开式中，x 的系数是_____。
A. －297 B.－252 C. 297 D. 207
4. 函数y＝a－bcos3x (b<0)的最大值为 ，最小值为－ ，则y＝－4asin3bx的最小正
周期是_____。
5. 与直线L：2x＋3y＋5＝0平行且过点A(1,-4)的直线L’的方程是_______________。
6. 与双曲线x － ＝1有共同的渐近线，且过点(2,2)的双曲线的方程是____________。
第 102 页 共 165 页【简解】1小题：由f(x)＝ ＋m求出f (x)＝2x－2m，比较系数易求，选C；
2小题：由不等式解集(－ , )，可知－ 、 是方程ax ＋bx＋2＝0的两根，代入两根，
列出关于系数a、b的方程组，易求得a＋b，选D；
3小题：分析x 的系数由C 与(－1)C 两项组成，相加后得x 的系数，选D；
4小题：由已知最大值和最小值列出a、b的方程组求出a、b的值，再代入求得答案 ；
5小题：设直线L’方程2x＋3y＋c＝0，点A(1,-4)代入求得C＝10，即得2x＋3y＋10＝
0；
6小题：设双曲线方程x － ＝λ，点(2,2)代入求得λ＝3，即得方程 － ＝1。
Ⅱ、示范性题组：
例1. 已知函数y＝ 的最大值为7，最小值为－1，求此函数式。
【分析】求函数的表达式，实际上就是确定系数m、n的值；已知最大值、最小值实际是就
是已知函数的值域，对分子或分母为二次函数的分式函数的值域易联想到“判别式法”。
【解】 函数式变形为： (y－m)x －4 x＋(y－n)＝0， x∈R, 由已知得y－m≠0
∴ △＝(－4 ) －4(y－m)(y－n)≥0 即： y －(m＋n)y＋(mn－12)≤0 ①
不等式①的解集为(-1,7)，则－1、7是方程y －(m＋n)y＋(mn－12)＝0的两根，
代入两根得： 解得： 或
∴ y＝ 或者y＝
此题也可由解集(-1,7)而设(y＋1)(y－7)≤0,即y －6y－7≤0，然后与不等式①比较系
数而得： ，解出m、n而求得函数式y。
【注】 在所求函数式中有两个系数m、n需要确定，首先用“判别式法”处理函数值域问
题，得到了含参数m、n的关于y的一元二次不等式，且知道了它的解集，求参数m、n。两种方
法可以求解，一是视为方程两根，代入后列出m、n的方程求解；二是由已知解集写出不等式，
比较含参数的不等式而列出m、n的方程组求解。本题要求对一元二次不等式的解集概念理
解透彻，也要求理解求函数值域的“判别式法”：将y视为参数，函数式化成含参数y的关于
x的一元二次方程，可知其有解，利用△≥0,建立了关于参数y的不等式，解出y的范围就是
值域，使用“判别式法”的关键是否可以将函数化成一个一元二次方程。
例2. 设椭圆中心在(2,-1)，它的一个焦点与短轴两端连线互相垂直，且此焦点与长轴
较近的端点距离是 － ，求椭圆的方程。
【分析】求椭圆方程，根据所给条件，确定几何数据a、b、c之值，问题就全部解决了。设
a、b、c后，由已知垂直关系而联想到勾股定理建立一个 方
y B’
程，再将焦点与长轴较近端点的距离转化为a－c的值后 列
x
出第二个方程。
【解】 设椭圆长轴2a、短轴2b、焦距2c，则|BF’|＝ a
A F O’ F’ A’
B
第 103 页 共 165 页∴ 解得：
∴ 所求椭圆方程是： ＋ ＝1
也可有垂直关系推证出等腰Rt△BB’F’后，由其性质推证出等腰Rt△B’O’F’，再进行如
下列式： ，更容易求出a、b的值。
【注】 圆锥曲线中，参数（a、b、c、e、p）的确定，是待定系数法的生动体现；如何确定，要
抓住已知条件，将其转换成表达式。在曲线的平移中，几何数据（a、b、c、e）不变，本题就利用
了这一特征，列出关于a－c的等式。
一般地，解析几何中求曲线方程的问题，大部分用待定系数法，基本步骤是：设方程（或
几何数据）→几何条件转换成方程→求解→已知系数代入。
例3. 是否存在常数a、b、c，使得等式1·2 ＋2·3 ＋…＋n(n＋1) ＝ (an ＋
bn＋c)对一切自然数n都成立？并证明你的结论。 （89年全国高考题）
【分析】是否存在，不妨假设存在。由已知等式对一切自然数n都成立，取特殊值n＝1、2、
3列出关于a、b、c的方程组，解方程组求出a、b、c的值，再用数学归纳法证明等式对所有自
然数n都成立。
【解】假设存在a、b、c使得等式成立，令：n＝1，得4＝ (a＋b＋c)；n＝2，得22＝ (4a
＋2b＋c)；n＝3，得70＝9a＋3b＋c。整理得：
,解得 ，
于是对n＝1、2、3，等式1·2 ＋2·3 ＋…＋n(n＋1) ＝ (3n ＋11n＋10)成立，
下面用数学归纳法证明对任意自然数n，该等式都成立：
假设对n＝k时等式成立，即1·2 ＋2·3 ＋…＋k(k＋1) ＝ (3k ＋11k＋10)；
当n＝k＋1时，1·2 ＋2·3 ＋…＋k(k＋1) ＋(k＋1)(k＋2) ＝ (3k ＋11k＋
10) ＋(k＋1)(k＋2) ＝ (k＋2)（3k＋5）＋(k＋1)(k＋2) ＝ （3k ＋
5k＋12k＋24）＝ [3(k＋1) ＋11(k＋1)＋10]，
也就是说，等式对n＝k＋1也成立。
综上所述，当a＝8、b＝11、c＝10时，题设的等式对一切自然数n都成立。
【注】建立关于待定系数的方程组，在于由几个特殊值代入而得到。此种解法中，也体现
了方程思想和特殊值法。对于是否存在性问题待定系数时，可以按照先试值、再猜想、最后归
纳证明的步骤进行。本题如果记得两个特殊数列1 ＋2 ＋…＋n 、1 ＋2 ＋…＋n 求和的公
式，也可以抓住通项的拆开，运用数列求和公式而直接求解：由n(n＋1) ＝n ＋2n ＋n得S
＝1·2 ＋2·3 ＋…＋n(n＋1) ＝(1 ＋2 ＋…＋n )＋2(1 ＋2 ＋…＋n )＋(1＋2＋…＋
n)＝ ＋2× ＋ ＝ (3n ＋11n＋10)，综上所述，
当a＝8、b＝11、c＝10时，题设的等式对一切自然数n都成立。
第 104 页 共 165 页例4. 有矩形的铁皮，其长为30cm，宽为14cm，要从四角上剪掉边长为xcm的四个小正方
形，将剩余部分折成一个无盖的矩形盒子，问x为何值时，矩形盒子容积最大，最大容积是多
少？
【分析】实际问题中，最大值、最小值的研究，先由已知条件选取合适的变量建立目标函
数，将实际问题转化为函数最大值和最小值的研究。
【解】 依题意，矩形盒子底边边长为(30－2x)cm，底边宽为(14－2x)cm，高为xcm。
∴ 盒子容积 V＝(30－2x)(14－2x)x＝4(15－x)(7－x)x ，
显然:15－x>0，7－x>0，x>0。
设V＝ (15a－ax)(7b－bx)x (a>0,b>0）
要使用均值不等式，则
解得：a＝ ， b＝ ， x＝3 。
从而V＝ ( － )( － x)x≤ ( ) ＝ ×27＝576。
所以当x＝3时，矩形盒子的容积最大，最大容积是576cm 。
【注】均值不等式应用时要注意等号成立的条件，当条件不满足时要凑配系数，可以用
“待定系数法”求。本题解答中也可以令V＝ (15a－ax)(7－x)bx 或 (15－x)(7a－
ax)bx，再由使用均值不等式的最佳条件而列出方程组，求出三项该进行凑配的系数，本题也
体现了“凑配法”和“函数思想”。
Ⅲ、巩固性题组：
1. 函数y＝log x的x∈[2,+∞)上恒有|y|>1，则a的取值范围是_____。
A. 2>a> 且a≠1 B. 02或01 C. a>0 D. a<－1或a>1
第 106 页 共 165 页4.椭圆 ＋ ＝1上有一点P，它到左准线的距离为 ，那么P点到右焦点的距离为
_____。
A. 8 C. 7.5 C. D. 3
5. 奇函数f(x)的最小正周期为T，则f(－ )的值为_____。
A. T B. 0 C. D. 不能确定
6. 正三棱台的侧棱与底面成45°角，则其侧面与底面所成角的正切值为_____。
【简解】1小题：利用并集定义，选B；
2小题：利用三角函数线定义，作出图形，选B；
3小题：利用复数模的定义得 < ，选A；
4小题：利用椭圆的第二定义得到 ＝e＝ ，选A；
5小题：利用周期函数、奇函数的定义得到f(－ )＝f( )＝－f(－ )，选B；
6小题：利用线面角、面面角的定义，答案2。
Ⅱ、示范性题组：
例1. 已知z＝1＋ｉ， ① 设w＝z ＋3 －4，求w的三角形式； ② 如果
＝1－ｉ，求实数a、b的值。（94年全国理）
【分析】代入z进行运算化简后，运用复数三角形式和复数相等的定义解答。
【解】由z＝1＋ｉ，有w＝z ＋3 －4＝(1＋ｉ) ＋3 －4＝2ｉ＋3(1－ｉ)－4＝－
1－ｉ，w的三角形式是 （cos ＋ｉsin ）；
由z＝1＋ｉ，有 ＝ ＝ ＝(a＋2)－(a＋
b)ｉ。
由题设条件知：(a＋2)－(a＋b)ｉ＝1＋ｉ；
根据复数相等的定义，得： ，
解得 。
【注】求复数的三角形式，一般直接利用复数的三角形式定义求解。利用复数相等的定义，
由实部、虚部分别相等而建立方程组，这是复数中经常遇到的。
例2. 已知f(x)＝－x ＋cx，f(2)＝－14，f(4)＝－252，求y＝log f(x)的定义域，判
定在( ,1)上的单调性。
第 107 页 共 165 页【分析】要判断函数的单调性，必须首先确定n与c的值求出函数的解析式，再利用函数
的单调性定义判断。
【解】 解得：
∴ f(x)＝－x ＋x 解f(x)>0得：0 ， x +x > ∴ (x +x )( x +x )〉 × ＝1
∴ f(x )－f(x )>0即f(x)在( ,1)上是减函数
∵ <1 ∴ y＝log f(x) 在( ,1)上是增函数。
【注】关于函数的性质：奇偶性、单调性、周期性的
A’ A
判断，一般都是直接应用定义解题。本题还在求n、c
D
的过程中，运用了待定系数法和换元法。
C’ C
例3. 如图，已知A’B’C’—ABC是正三棱柱，D
O H
是AC中点。
B’ B
① 证明：AB’∥平面DBC’；
② 假设AB’⊥BC’，求二面角D—BC’—C的度
数。（94年全国理）
【分析】 由线面平行的定义来证①问，即通过证AB’平行平面DBC’内的一条直线而得；
由二面角的平面角的定义作出平面角，通过解三角形而求②问。
【解】 ① 连接B’C交BC’于O, 连接OD
∵ A’B’C’—ABC是正三棱柱
∴ 四边形B’BCC’是矩形
∴ O是B’C中点
△AB’C中， D是AC中点 ∴ AB’∥OD
∴ AB’∥平面DBC’
② 作DH⊥BC于H，连接OH ∴ DH⊥平面BC’C
∵ AB’∥OD, AB’⊥BC’ ∴ BC’⊥OD
∴ BC’⊥OH 即∠DOH为所求二面角的平面角。
设AC＝1，作OE⊥BC于E，则DH＝ sin60°＝ ，BH＝ ，EH＝ ；
Rt△BOH中，OH ＝BH×EH＝ ，
∴ OH＝ ＝DH ∴∠DOH＝45°，即二面角D—BC’—C的度数为45°。
第 108 页 共 165 页【注】对于二面角D—BC’—C的平面角，容易误认为∠DOC即所求。利用二面角的平面角
定义，两边垂直于棱，抓住平面角的作法，先作垂直于一面的垂线DH，再证得垂直于棱的垂线
DO，最后连接两个垂足OH，则∠DOH即为所求，其依据是三垂线定理。本题还要求解三角形十
分熟练，在Rt△BOH中运用射影定理求OH的长是计算的关键。
此题文科考生的第二问为：假设AB’⊥BC’，BC＝2，求AB’在侧面BB’C’C的 射影长。
解答中抓住斜线在平面上的射影的定义，先作平面的垂线，连接垂足和斜足而得到射影。其
解法如下：作AE⊥BC于E，连接B’E即所求，易得到OE∥B’B，所以 ＝ ＝ ，EF＝
B’E。在Rt△B’BE中，易得到BF⊥BE,由射影定理得：B’E×EF＝BE 即 B’E ＝1，所以
B’E＝ 。
y
例4. 求过定点M(1,2)，以x轴为准线，离心率为 的椭圆的 下
M F
顶点的轨迹方程。 A x
【分析】运动的椭圆过定点M，准线固定为x轴，所以M到准线 距
离为2。抓住圆锥曲线的统一性定义，可以得到 ＝ 建立一个方程，再由离心率的定义
建立一个方程。
【解】设A(x,y)、F(x,m)，由M(1,2)，则椭圆上定点M到准线距离为2，下顶点A到准线距
离为y。根据椭圆的统一性定义和离心率的定义，得到：
，消m得：（x－1） ＋ ＝1，
所以椭圆下顶点的轨迹方程为（x－1） ＋ ＝1。
【注】求曲线的轨迹方程，按照求曲线轨迹方程的步骤，设曲线上动点所满足的条件，根
据条件列出动点所满足的关系式，进行化简即可得到。本题还引入了一个参数m,列出的是所
满足的方程组，消去参数m就得到了动点坐标所满足的方程，即所求曲线的轨迹方程。在建
立方程组时，巧妙地运用了椭圆的统一性定义和离心率的定义。一般地，圆锥曲线的点、焦点、
准线、离心率等问题，常用定义法解决；求圆锥曲线的方程，也总是利用圆锥曲线的定义求解，
但要注意椭圆、双曲线、抛物线的两个定义的恰当选用。
Ⅲ、巩固性题组：
1．函数y＝f(x)＝a ＋k的图像过点(1,7)，它的反函数的图像过点(4,0)，则f(x)的表
达式是___。
2. 过抛物线焦点F的直线与抛物线相交于A、B两点，若A、B在抛物线准线上的射影分
别为A 、B ,则∠A FB 等于_____。
A. 45° B. 60° C. 90° D. 120°
3. 已知A＝{0,1}，B＝{x|x A}，则下列关系正确的是_____。
A. A B B. A B C. A∈B D. A B
4. 双曲线3x －y ＝3的渐近线方程是_____。
第 109 页 共 165 页A. y＝±3x B. y＝± x C. y＝± x D. y＝± x
5. 已知定义在R上的非零函数f(x)满足f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，则f(x)是_____。
A.奇函数 B.偶函数 C.非奇非偶函数 D.既奇既偶函数
6. C ＋C ＝________。
7. Z＝4(sin140°－ｉcos140°)，则复数 的辐角主值是__________。
8. 不等式ax ＋bx＋c>0的解集是(1,2)，则不等式bx ＋cx＋a<0解集是__________。
9. 已知数列{a }是等差数列，求证数列{b }也是等差数列，其中b ＝ (a ＋a ＋…＋
a )。
10. 已知F 、F 是椭圆 ＋ ＝1 (a>b>0)的两个焦点，其中F 与抛物线y ＝
12x的焦点重合，M是两曲线的一个焦点，且有cos∠M F F ·cos∠MF F ＝ ，求椭圆方程。
五、数学归纳法
归纳是一种有特殊事例导出一般原理的思维方法。归纳推理分完全归纳推理与不完全归
纳推理两种。不完全归纳推理只根据一类事物中的部分对象具有的共同性质，推断该类事物
全体都具有的性质，这种推理方法，在数学推理论证中是不允许的。完全归纳推理是在考察
了一类事物的全部对象后归纳得出结论来。
数学归纳法是用来证明某些与自然数有关的数学命题的一种推理方法，在解数学题中有
着广泛的应用。它是一个递推的数学论证方法，论证的第一步是证明命题在 n＝1(或n )时
成立，这是递推的基础；第二步是假设在n＝k时命题成立，再证明n＝k＋1时命题也成立，
这是无限递推下去的理论依据，它判断命题的正确性能否由特殊推广到一般，实际上它使命
题的正确性突破了有限，达到无限。这两个步骤密切相关，缺一不可，完成了这两步，就可以
断定“对任何自然数（或n≥n 且n∈N）结论都正确”。由这两步可以看出，数学归纳法是由
递推实现归纳的，属于完全归纳。
第 110 页 共 165 页运用数学归纳法证明问题时，关键是n＝k＋1时命题成立的推证，此步证明要具有目标
意识，注意与最终要达到的解题目标进行分析比较，以此确定和调控解题的方向，使差异逐
步减小，最终实现目标完成解题。
运用数学归纳法，可以证明下列问题：与自然数n有关的恒等式、代数不等式、三角不等
式、数列问题、几何问题、整除性问题等等。
Ⅰ、再现性题组：
1. 用数学归纳法证明(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2 ·1·2…(2n－1) （n∈N），从“k到
k＋1”，左端需乘的代数式为_____。
A. 2k＋1 B. 2(2k＋1) C. D.
2. 用数学归纳法证明1＋ ＋ ＋…＋ 1)时，由n＝k (k>1)不等式成立，
推证n＝k＋1时，左边应增加的代数式的个数是_____。
A. 2 B. 2 －1 C. 2 D. 2 ＋1
3. 某个命题与自然数n有关，若n＝k (k∈N)时该命题成立，那么可推得n＝k＋1时该
命题也成立。现已知当n＝5时该命题不成立，那么可推得______。 (94年上海高考)
A.当n＝6时该命题不成立 B.当n＝6时该命题成立
C.当n＝4时该命题不成立 D.当n＝4时该命题成立
4. 数列{a }中，已知a ＝1，当n≥2时a ＝a ＋2n－1，依次计算a 、a 、a 后，猜想
a 的表达式是_____。
A. 3n－2 B. n C. 3 D. 4n－3
5. 用数学归纳法证明3 ＋5 (n∈N)能被14整除，当n＝k＋1时对于式子3
＋5 应变形为_______________________。
6. 设 k 棱柱有 f(k)个对角面，则 k＋1 棱柱对角面的个数为 f(k+1)＝f(k)＋
_________。
【简解】1小题：n＝k时，左端的代数式是(k＋1)(k＋2)…(k＋k),n＝k＋1时，左端的代
数式是(k＋2)(k＋3)…(2k＋1)(2k＋2)，所以应乘的代数式为 ，选B；
2小题：（2 －1）－（2 －1）＝2 ，选C；
3小题：原命题与逆否命题等价，若n＝k＋1时命题不成立，则n＝k命题不成立，选C。
4小题：计算出a ＝1、a ＝4、a ＝9、a ＝16再猜想a ，选B；
5小题：答案（3 ＋5 ）3 ＋5 （5 －3 ）；
6小题：答案k－1。
Ⅱ、示范性题组：
例1.已知数列 ，得，…， ，…。S 为其前n项和，求S 、S
、S 、S ，推测S 公式，并用数学归纳法证明。 （93年全国理）
【解】 计算得S ＝ ，S ＝ ，S ＝ ，S ＝ ，
第 111 页 共 165 页猜测S ＝ (n∈N)。
当n＝1时，等式显然成立；
假设当n＝k时等式成立，即：S ＝ ，
当n＝k＋1时，S ＝S ＋
＝ ＋
＝
＝ ＝ ,
由此可知，当n＝k＋1时等式也成立。
综上所述，等式对任何n∈N都成立。
【注】 把要证的等式S ＝ 作为目标，先通分使分母含有(2k＋3) ，再考
虑要约分，而将分子变形，并注意约分后得到（2k＋3）－1。这样证题过程中简洁一些，有效
地确定了证题的方向。本题的思路是从试验、观察出发，用不完全归纳法作出归纳猜想，再用
数学归纳法进行严格证明，这是关于探索性问题的常见证法，在数列问题中经常见到。 假如
猜想后不用数学归纳法证明，结论不一定正确，即使正确，解答过程也不严密。必须要进行三
步：试值 → 猜想 → 证明。
【另解】 用裂项相消法求和：
由a ＝ ＝ － 得，
S ＝（1－ ）＋（ － ）＋……＋ － ＝1－
＝ 。
此种解法与用试值猜想证明相比，过程十分简单，但要求发现 ＝
－ 的裂项公式。可以说，用试值猜想证明三步解题，具有一般性。
例2. 设a ＝ ＋ ＋…＋ (n∈N),证明： n(n＋1) k(k＋1)＋(k＋1)＝ (k＋1)(k＋3)> (k＋1)(k＋2)，
(k＋1) ＋ ＝ (k＋1) ＋ < (k＋1) ＋(k＋ )＝ (k＋2) ，
所以 (k＋1)(k＋2) n可得，a >1＋2＋3＋…＋n
＝ n(n＋1)；由 n
(n>1且n∈N)
第 115 页 共 165 页六、参数法
参数法是指在解题过程中，通过适当引入一些与题目研究的数学对象发生联系的新变量
（参数），以此作为媒介，再进行分析和综合，从而解决问题。直线与二次曲线的参数方程都是
用参数法解题的例证。换元法也是引入参数的典型例子。
辨证唯物论肯定了事物之间的联系是无穷的，联系的方式是丰富多采的，科学的任务就
是要揭示事物之间的内在联系，从而发现事物的变化规律。参数的作用就是刻画事物的变化
状态，揭示变化因素之间的内在联系。参数体现了近代数学中运动与变化的思想，其观点已
经渗透到中学数学的各个分支。运用参数法解题已经比较普遍。
参数法解题的关键是恰到好处地引进参数，沟通已知和未知之间的内在联系，利用参数
提供的信息，顺利地解答问题。
Ⅰ、再现性题组：
1. 设2 ＝3 ＝5 >1，则2x、3y、5z从小到大排列是________________。
2. （理）直线 上与点A(-2,3)的距离等于 的点的坐标是________。
（文）若k<－1，则圆锥曲线x －ky ＝1的离心率是_________。
3. 点 Z 的虚轴上移动，则复数 C＝z ＋1＋2 ｉ在复平面上对应的轨迹图像为
____________________。
4. 三棱锥的三个侧面互相垂直，它们的面积分别是6、4、3，则其体积为______。
5. 设函数f(x)对任意的x、y∈R，都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，且当x>0时，f(x)<0，则
f(x)的R上是______函数。(填“增”或“减”)
6. 椭圆 ＋ ＝1上的点到直线x＋2y－ ＝0的最大距离是_____。
A. 3 B. C. D. 2
【简解】1小题：设2 ＝3 ＝5 ＝t，分别取2、3、5为底的对数，解出x、y、z，再用“比较
法”比较2x、3y、5z，得出3y<2x<5z；
2小题：（理）A(-2,3)为t＝0时，所求点为t＝± 时，即(-4,5)或(0,1)；（文）已知曲
线为椭圆，a＝1，c＝ ，所以e＝－ ；
3小题：设z＝bｉ，则C＝1－b ＋2ｉ，所以图像为：从(1,2)出发平行于x轴向右的射线；
4小题：设三条侧棱x、y、z，则 xy＝6、 yz＝4、 xz＝3,所以xyz＝24,体积为4。
5小题：f(0)＝0，f(0)＝f(x)＋f(-x)，所以f(x)是奇函数，答案：减；
6小题：设x＝4sinα、y＝2cosα，再求d＝ 的最大值，选C。
Ⅱ、示范性题组：
例1. 实数a、b、c满足a＋b＋c＝1，求a ＋b ＋c 的最小值。
第 116 页 共 165 页【分析】由a＋b＋c＝1 想到“均值换元法”，于是引入了新的参数，即设a＝ ＋t ，b＝
＋t ，c＝ ＋t ，代入a ＋b ＋c 可求。
【解】由a＋b＋c＝1，设a＝ ＋t ，b＝ ＋t ，c＝ ＋t ，其中t ＋t ＋t ＝0，
∴ a ＋b ＋c ＝（ ＋t ）＋（ ＋t ）＋( ＋t ) ＝ ＋ (t ＋t ＋t )＋t ＋t
＋t ＝ ＋t ＋t ＋t ≥
所以a ＋b ＋c 的最小值是 。
【注】由“均值换元法”引入了三个参数，却将代数式的研究进行了简化，是
本题此种解法的一个技巧。
本题另一种解题思路是利用均值不等式和“配方法”进行求解，解法是：a ＋b ＋c ＝
(a＋b＋c) －2(ab＋bc＋ac)≥1－2(a ＋b ＋c )，即a ＋b ＋c ≥ 。
两种解法都要求代数变形的技巧性强，多次练习，可以提高我们的代数变形能力。
例2. 椭圆 ＋ ＝1上有两点P、Q，O为原点。连OP、OQ，若k ·k ＝－ ，
①．求证：|OP| ＋|OQ| 等于定值； ②.求线段PQ中点M的轨迹方程。
【分析】 由“换元法”引入新的参数，即设 （椭圆参数方程），参数θ
、θ 为P、Q两点，先计算k ·k 得出一个结论，再计算|OP| ＋|OQ| ，并运用“参数
法”求中点M的坐标，消参而得。
【解】由 ＋ ＝1，设 ，P(4cosθ ,2sinθ )，Q(4cosθ ,2sinθ
),
则k ·k ＝ ＝－ ，整理得到：
cosθ cosθ ＋sinθ sinθ ＝0,即cos（θ －θ ）＝0。
∴ |OP| ＋|OQ| ＝16cos θ ＋4sin θ ＋16cos θ ＋4sin θ ＝8＋12(cos θ ＋
cos θ )＝20＋6（cos2θ ＋cos2θ )＝20＋12cos（θ ＋θ ）cos（θ －θ ）＝20，
即|OP| ＋|OQ| 等于定值20。
由中点坐标公式得到线段PQ的中点M的坐标为 ，
所以有( ) ＋y ＝2＋2(cosθ cosθ ＋sinθ sinθ )＝2,
即所求线段PQ的中点M的轨迹方程为 ＋ ＝1。
第 117 页 共 165 页【注】由椭圆方程，联想到a ＋b ＝1,于是进行“三角换元”，通过换元引入新的参数，
转化成为三角问题进行研究。本题还要求能够熟练使用三角公式和“平方法”，在由中点坐
标公式求出M点的坐标后，将所得方程组稍作变形，再平方相加，即（cosθ ＋ cosθ ）＋
（sinθ ＋sinθ ），这是求点M轨迹方程“消参法”的关键一步。一般地，求动点的轨迹方
程运用“参数法”时，我们可以将点的x、y坐标分别表示成为一个或几个参数的函数，再运
用“消去法”消去所含的参数，即得到了所求的轨迹方程。
本题的第一问，另一种思路是设直线斜率k，解出P、Q两点坐标再求：
设直线OP的斜率k，则OQ的斜率为－ ，由椭圆与直线OP、OQ相交于PQ两点有：
，消y得(1＋4k )x ＝16,即|x |＝ ；
，消y得(1＋ )x ＝16，即|x |＝ ；
所以|OP| ＋|OQ| ＝( ) ＋（ ）
＝ ＝20。即|OP| ＋|OQ| 等于定值20。
在此解法中，利用了直线上两点之间的距离公式|AB|＝ |x －x |求|OP|和|
OQ|的长。
例3.已知正四棱锥S—ABCD的侧面与底面的夹角为 S
β，相邻两侧面的夹角为α,求证：cosα=-cos β。
【分析】要证明cosα=-cos β，考虑求出α、β的 E
余弦，则在α和β所在的三角形中利用有关定理求解。
D C
【解】连AC、BD交于O，连SO；取BC中点F，连SF、OF；
O F
作BE⊥SC于E，连DE。则∠SFO＝β，∠DEB＝α。
A B
设BC＝a (为参数)， 则SF＝ ＝ ,
SC＝ ＝
＝
又 ∵BE＝ ＝ ＝
第 118 页 共 165 页在△DEB中，由余弦定理有：cosα＝ ＝ ＝－cos β。
所以cosα＝－cos β。
【注】 设参数a而不求参数a，只是利用其作为中间变量辅助计算，这也是在参数法中参
数可以起的一个作用，即设参数辅助解决有关问题。
Ⅲ、巩固性题组：
1. 已知复数 z 满足|z|≤1，则复数 z＋2 ｉ在复平面上表示的点的轨迹是
________________。
2. 函数y＝x＋2＋ 的值域是________________。
3. 抛物线y＝x －10xcosθ＋25＋3sinθ－25sin θ与x轴两个交点距离的最大值为
_____
A. 5 B. 10 C. 2 D. 3
4. 过点M(0,1)作直线L，使它与两已知直线L ：x－3y＋10＝0及L ：2x＋y－8＝0所截
得的线段被点P平分，求直线L方程。
5. 求半径为R的球的内接圆锥的最大体积。
6. f(x)＝(1－ cos x)sinx，x∈[0,2π)，求使f(x)≤1的实数a的取值范围。
7. 若关于x的方程2x ＋xlg ＋lg ( )＋lg ＝0有模为1的虚根，
求实数a的值及方程的根。
8. 给定的抛物线y ＝2px (p>0)，证明：在x轴的正向上一定存在一点M，使得对于抛
物线的任意一条过点M的弦PQ，有 ＋ 为定值。
第 119 页 共 165 页七、反证法
与前面所讲的方法不同，反证法是属于“间接证明法”一类，是从反面的角度思考问题
的证明方法，即：肯定题设而否定结论，从而导出矛盾推理而得。法国数学家阿达玛
(Hadamard)对反证法的实质作过概括：“若肯定定理的假设而否定其结论，就会导致矛盾”。
具体地讲，反证法就是从否定命题的结论入手，并把对命题结论的否定作为推理的已知条件，
进行正确的逻辑推理，使之得到与已知条件、已知公理、定理、法则或者已经证明为正确的命
题等相矛，矛盾的原因是假设不成立，所以肯定了命题的结论，从而使命题获得了证明。
反证法所依据的是逻辑思维规律中的“矛盾律”和“排中律”。在同一思维过程中，两
个互相矛盾的判断不能同时都为真，至少有一个是假的，这就是逻辑思维中的“矛盾律”；
两个互相矛盾的判断不能同时都假，简单地说“A或者非A”，这就是逻辑思维中的“排中
律”。反证法在其证明过程中，得到矛盾的判断，根据“矛盾律”，这些矛盾的判断不能同时
为真，必有一假，而已知条件、已知公理、定理、法则或者已经证明为正确的命题都是真的，所
以“否定的结论”必为假。再根据“排中律”，结论与“否定的结论”这一对立的互相否定
的判断不能同时为假，必有一真，于是我们得到原结论必为真。所以反证法是以逻辑思维的
基本规律和理论为依据的，反证法是可信的。
反证法的证题模式可以简要的概括我为“否定→推理→否定”。即从否定结论开始，经
过正确无误的推理导致逻辑矛盾，达到新的否定，可以认为反证法的基本思想就是“否定之
否定”。应用反证法证明的主要三步是：否定结论 → 推导出矛盾 → 结论成立。实施的具
体步骤是：
第一步，反设：作出与求证结论相反的假设；
第二步，归谬：将反设作为条件，并由此通过一系列的正确推理导出矛盾；
第三步，结论：说明反设不成立，从而肯定原命题成立。
在应用反证法证题时，一定要用到“反设”进行推理，否则就不是反证法。用反证法证题
时，如果欲证明的命题的方面情况只有一种，那么只要将这种情况驳倒了就可以，这种反证
法又叫“归谬法”；如果结论的方面情况有多种，那么必须将所有的反面情况一一驳倒，才
能推断原结论成立，这种证法又叫“穷举法”。
在数学解题中经常使用反证法，牛顿曾经说过：“反证法是数学家最精当的武器之一”。
一般来讲，反证法常用来证明的题型有：命题的结论以“否定形式”、“至少”或“至多”、
“唯一”、“无限”形式出现的命题；或者否定结论更明显。具体、简单的命题；或者直接证
明难以下手的命题，改变其思维方向，从结论入手进行反面思考，问题可能解决得十分干脆。
Ⅰ、再现性题组：
1.已知函数f(x)在其定义域内是减函数，则方程f(x)＝0 ______。
A.至多一个实根 B.至少一个实根 C.一个实根 D.无实根
2.已知a<0,－1ab> ab B. ab >ab>a C. ab>a> ab D. ab> ab >a
3.已知α∩β＝l，a α，b β，若a、b为异面直线，则_____。
A. a、b都与l相交 B. a、b中至少一条与l相交
C. a、b中至多有一条与l相交 D. a、b都与l相交
4. 四面体顶点和各棱的中点共10个，在其中取4个不共面的点，不同的取法有_____。
(97年全国理)
A. 150种 B. 147种 C. 144种 D. 141种
第 120 页 共 165 页【简解】1小题：从结论入手，假设四个选择项逐一成立，导出其中三个与特例矛盾，选A；
2小题：采用“特殊值法”，取a＝－1、b＝－0.5，选D；
3小题：从逐一假设选择项成立着手分析，选B；
4小题：分析清楚结论的几种情况，列式是：C －C ×4－3－6,选D。
Ⅱ、示范性题组：
S
例1. 如图，设SA、SB是圆锥SO的两条母线，O是底面 圆
心，C是SB上一点。求证：AC与平面SOB不垂直。
C
【分析】结论是“不垂直”，呈“否定性”，考虑使用 反
证法，即假设“垂直”后再导出矛盾后，再肯定“不垂
A O
直”。
B
【证明】 假设AC⊥平面SOB，
∵ 直线SO在平面SOB内， ∴ AC⊥SO，
∵ SO⊥底面圆O， ∴ SO⊥AB，
∴ SO⊥平面SAB， ∴平面SAB∥底面圆O，
这显然出现矛盾，所以假设不成立。
即AC与平面SOB不垂直。
【注】否定性的问题常用反证法。例如证明异面直线，可以假设共面，再把假设作为已知
条件推导出矛盾。
例2. 若下列方程：x ＋4ax－4a＋3＝0， x ＋(a－1)x＋a ＝0, x ＋2ax－2a＝0至少
有一个方程有实根。试求实数a的取值范围。
【分析】 三个方程至少有一个方程有实根的反面情况仅有一种：三个方程均没有实根。先
求出反面情况时a的范围，再所得范围的补集就是正面情况的答案。
【解】 设三个方程均无实根，则有：
, 解 得
,即－ b>1 D. b>a>1
7.如果|x|≤ ,那么函数f(x)＝cos x＋sinx的最小值是_____。 (89年全国文)
A. B. － C. －1 D.
8.如果奇函数f(x)在区间[3,7]上是增函数且最小值是5，那么f(x)的[-7,-3]上是
____。(91年全国)
A.增函数且最小值为－5 B.增函数且最大值为－5
C.减函数且最小值为－5 D.减函数且最大值为－5
第 123 页 共 165 页9.设全集I＝{(x,y)|x,y∈R}，集合M＝{(x,y)| ＝1}，N＝{(x,y)|y≠x＋1}，那
么 等于_____。 (90年全国)
A. φ B. {(2,3)} C. (2,3) D. {(x,y)|y＝x＋1
10. 如果θ是第二象限的角，且满足cos －sin ＝ ,那么 是_____。
A.第一象限角 B.第三象限角 C.可能第一象限角，也可能第三象限角 D.第
二象限角
11. 已知集合E＝{θ|cosθ乙，选A;
2小题：由已知画出对数曲线，选B；
3小题：设sinx＝t后借助二次函数的图像求f(x)的最小值，选D；
4小题：由奇函数图像关于原点对称画出图像，选B；
5小题：将几个集合的几何意义用图形表示出来，选B；
6小题：利用单位圆确定符号及象限；选B；
7小题：利用单位圆，选A；
8小题：将复数表示在复平面上，选B；
9小题：转化为圆上动点与原点连线的斜率范围问题；选D；
10小题：利用复平面上复数表示和两点之间的距离公式求解,答案－ ＋ ｉ。
【注】 以上各题是历年的高考客观题，都可以借助几何直观性来处理与数有关的问题，即
借助数轴（①题）、图像（②、③、④、⑤题）、单位圆（⑥、⑦题）、复平面（⑧、⑩题）、方程曲线
（⑨题）。
Ⅱ、示范性题组：
例1. 若方程lg(－x ＋3x－m)＝lg(3－x)在x∈(0,3) y 内
4 y=1-m
有唯一解，求实数m的取值范围。
1
【分析】将对数方程进行等价变形，转化为一元二次方程 在
O 2 3 x
某个范围内有实解的问题，再利用二次函数的图像进行解决。
【解】 原方程变形为
即：
设曲线y ＝(x－2) , x∈(0,3)和直线y ＝1－m，图像如图所示。由图可知：
第 124 页 共 165 页① 当1－m＝0时，有唯一解，m＝1;
②当1≤1－m<4时，有唯一解，即－30),椭圆中心D(2＋ ,0)，焦点在x轴上，长半轴
为2，短半轴为1，它的左顶点为A。问p在什么范围内取值，椭圆上有四个不同的点，它们中
每一个点到点A的距离等于该点到直线L的距离？
【分析】 由抛物线定义，可将问题转化成：p为何值时，以A为焦点、L为准线的抛物线与
椭圆有四个交点，再联立方程组转化成代数问题（研究方程组解的情况）。
【解】 由已知得：a＝2，b＝1, A( ,0)，设椭圆与双曲线方程并联立有：
，消y得：x －(4－7p)x＋(2p＋ )＝0
所以△＝16－64p＋48p >0,即6p －8p＋2>0，解得：p< 或p>1。
结合范围( ,4+ )内两根，设f(x)＝x －(4－7p)x＋(2p＋ )，
所以 < <4+ 即p< ，且f( )>0、f(4+ )>0即p>－4＋3 。
结合以上，所以－4＋3 0,故③式不可能有实数解。
所以不存在a、b，使得A∩B≠φ与(a,b)∈C同时成立
Ⅲ、巩固性题组：
1. 已知5x＋12y＝60，则 的最小值是_____。
A. B. C. D. 1
2. 已知集合P＝{(x,y)|y＝ }、Q＝{(x,y)|y＝x＋b}，若P∩Q≠φ，则b的取值
范围是____。
A. |b|<3 B. |b|≤3 C. －3≤b≤3 D. －3|x－1|＋|x＋1|的解集是非空数集，那么实数m的取值范围是_________。
6. 设z＝cosα＋ ｉ且|z|≤1,那么argz的取值范围是____________。
7. 若方程x －3ax＋2a ＝0的一个根小于1，而另一根大于1，则实数a的取值范围是
______。
8. sin 20°＋cos 80°＋ sin20°·cos80°＝____________。
9. 解不等式： >b－x
10.设A＝{x|<1x<3}，又设B是关于x的不等式组 的解集，试确定
a、b的取值范围，使得A B。 （90年高考副题）
11. 定义域内不等式 〉x＋a恒成立，求实数a的取值范围。
12. 已知函数y＝ ＋ ，求函数的最小值及此时x的值。
第 127 页 共 165 页13. 已知z∈C，且|z|＝1，求|(z＋1)(z－ｉ)|的最大值。
14. 若方程lg(kx)＝2lg(x＋1)只有一个实数解，求常数k的取值范围。
二、分类讨论思想方法
第 128 页 共 165 页在解答某些数学问题时，有时会遇到多种情况，需要对各种情况加以分类，并逐类求解，
然后综合得解，这就是分类讨论法。分类讨论是一种逻辑方法，是一种重要的数学思想，同时
也是一种重要的解题策略，它体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法。有关分
类讨论思想的数学问题具有明显的逻辑性、综合性、探索性，能训练人的思维条理性和概括
性，所以在高考试题中占有重要的位置。
引起分类讨论的原因主要是以下几个方面：
① 问题所涉及到的数学概念是分类进行定义的。如|a|的定义分a>0、a＝0、a<0三种情
况。这种分类讨论题型可以称为概念型。
② 问题中涉及到的数学定理、公式和运算性质、法则有范围或者条件限制，或者是分类
给出的。如等比数列的前n项和的公式，分q＝1和q≠1两种情况。这种分类讨论题型可以称
为性质型。
③ 解含有参数的题目时，必须根据参数的不同取值范围进行讨论。如解不等式ax>2时
分a>0、a＝0和a<0三种情况讨论。这称为含参型。
另外，某些不确定的数量、不确定的图形的形状或位置、不确定的结论等，都主要通过分
类讨论，保证其完整性，使之具有确定性。
进行分类讨论时，我们要遵循的原则是：分类的对象是确定的，标准是统一的，不遗漏、
不重复，科学地划分，分清主次，不越级讨论。其中最重要的一条是“不漏不重”。
解答分类讨论问题时，我们的基本方法和步骤是：首先要确定讨论对象以及所讨论对象
的全体的范围；其次确定分类标准，正确进行合理分类，即标准统一、不漏不重、分类互斥（没
有重复）；再对所分类逐步进行讨论，分级进行，获取阶段性结果；最后进行归纳小结，综合得
出结论。
Ⅰ、再现性题组：
1．集合A＝{x||x|≤4,x∈R}，B＝{x||x－3|≤a，x∈R}，若A B，那么a的范围是_____。
A. 0≤a≤1 B. a≤1 C. a<1 D. 00且a≠1，p＝log (a ＋a＋1)，q＝log (a ＋a＋1)，则p、q的大小关系是_____。
A. p＝q B. pq D.当a>1时，p>q；当00、a＝0、a<0三种情况讨论，选B；
2小题：对底数a分a>1、00、x<0两种情况，选B；
6小题：分侧面矩形长、宽分别为2和4、或4和2两种情况，选D；
7小题：分截距等于零、不等于零两种情况，选C。
Ⅱ、示范性题组：
例1. 设00且a≠1，比较|log (1－x)|与|log (1＋x)|的大小。
【分析】 比较对数大小，运用对数函数的单调性，而单调性与底数a有关，所以对底数a
分两类情况进行讨论。
【解】 ∵ 01
① 当00，log (1＋x)<0，所以
|log (1－x)|－|log (1＋x)|＝log (1－x)－[－log (1＋x)]＝log (1－x )>0;
② 当a>1时，log (1－x)<0，log (1＋x)>0，所以
|log (1－x)|－|log (1＋x)|＝－log (1－x) －log (1＋x)＝－log (1－x )>0；
由①、②可知，|log (1－x)|>|log (1＋x)|。
【注】本题要求对对数函数y＝log x的单调性的两种情况十分熟悉，即当a>1时其是增
函数，当00，使得 ＝lg（S －c）成立？
并证明结论。(95年全国理)
【分析】 要证的不等式和讨论的等式可以进行等价变形；再应用比较法而求解。其中在应
用等比数列前n项和的公式时，由于公式的要求，分q＝1和q≠1两种情况。
第 130 页 共 165 页【解】 设{a }的公比q，则a >0，q>0
①．当q＝1时，S ＝na ，从而S S －S ＝na (n＋2)a －(n＋1) a ＝－a <0；
当q≠1时，S ＝ ，从而
S S －S ＝ － ＝－a q <0；
由上可得S S 0, 使得 ＝lg（S －c）成立。
【注】 本例由所用公式的适用范围而导致分类讨论。该题文科考生改问题为：证明
>log S ，和理科第一问类似，只是所利用的是底数是0.5时，
对数函数为单调递减。
例1、例2、例3属于涉及到数学概念、定理、公式、运算性质、法则等是分类讨论的问题或
者分类给出的，我们解决时按要求进行分类，即题型为概念、性质型。
第 131 页 共 165 页例4. 设函数f(x)＝ax －2x＋2，对于满足10，求实数a的
取值范围。
【分析】 含参数的一元二次函数在有界区间上的最大 值、
最小值等值域问题，需要先对开口方向讨论，再对其抛物 线
对称轴的位置与闭区间的关系进行分类讨论，最后综合得 解。
1 4 x
【解】当a>0时，f(x)＝a（x－ ） ＋2－
∴ 或
1 4 x
或
∴ a≥1或  ；
当a<0时， ，解得φ；
当a＝0时，f(x)＝－2x＋2, f(1)＝0，f(4)＝－6， ∴不合题意
由上而得，实数a的取值范围是a> 。
【注】本题分两级讨论，先对决定开口方向的二次项系数a分a>0、a<0、a＝0三种情况，再
每种情况结合二次函数的图像，在a>0时将对称轴与闭区间的关系分三种，即在闭区间左边、
右边、中间。本题的解答，关键是分析符合条件的二次函数的图像，也可以看成是“数形结合
法”的运用。
例5. 解不等式 >0 (a为常数，a≠－ )
【分析】 含参数的不等式，参数a决定了2a＋1的符号和两根－4a、6a的大小，故对参数
a分四种情况a>0、a＝0、－ 0时，a>－ ； －4a<6a时，a>0 。 所以分以下四种情况讨论：
当a>0时，(x＋4a)(x－6a)>0，解得：x<－4a或x>6a；
当a＝0时，x >0，解得：x≠0；
当－ 0，解得: x<6a或x>－4a；
当a>－ 时，(x＋4a)(x－6a)<0，解得： 6a0时，x<－4a或x>6a；当a＝0时，x≠0；当－ －4a；
当a>－ 时，6a0)， ∴ －y ＋2y＝a 解得：y＝1±
（0≤a≤ 1）
由上可得，z＝±(－1＋ )或±(1± )ｉ
【注】本题用标准解法（设z＝x＋yｉ再代入原式得到一个方程组，再解方程组）过程十分
繁难，而挖掘隐含，对z分两类讨论则简化了数学问题。
【另解】 设z＝x＋yｉ，代入得 x －y ＋2 ＋2xyｉ＝a；
∴
当y＝0时，x ＋2|x|＝a，解得x＝±(－1＋ )，所以z＝±(－1＋ )；
当x＝0时，－y ＋2|y|＝a，解得y＝±(1± )，所以±(1± )ｉ。
由上可得，z＝±(－1＋ )或±(1± )ｉ
【注】此题属于复数问题的标准解法，即设代数形式求解。其中抓住2xy＝0而分x＝0和y
＝0两种情况进行讨论求解。实际上，每种情况中绝对值方程的求解，也渗透了分类讨论思想。
例7. 在xoy平面上给定曲线y ＝2x，设点A(a,0)，a∈R，曲线上的点到点A的距离的最
小值为f(a)，求f(a)的函数表达式。 （本题难度0.40）
【分析】 求两点间距离的最小值问题，先用公式建立目标函数，转化为二次函数在约束条
件x≥0下的最小值问题，而引起对参数a的取值讨论。
【解】 设M(x,y)为曲线y ＝2x上任意一点，则
|MA| ＝(x－a) ＋y ＝(x－a) ＋2x＝x －2(a－1)x＋a ＝[x－(a－1)] ＋(2a－1)
由于y ＝2x限定x≥0，所以分以下情况讨论：
当a－1≥0时，x＝a－1取最小值，即|MA} ＝2a－1；
当a－1<0时，x＝0取最小值，即|MA} ＝a ；
综上所述，有f(a)＝ 。
【注】本题解题的基本思路是先建立目标函数。求二次函数的最大值和最小值问题我们十
分熟悉，但含参数a，以及还有隐含条件x≥0的限制，所以要从中找出正确的分类标准，从而
得到d＝f(a)的函数表达式。
Ⅲ、巩固性题组：
1. 若log <1，则a的取值范围是_____。
A. (0, ) B. ( ,1) C. (0, )∪(1,+∞) D. ( ,+∞)
2. 非零实数a、b、c，则 ＋ ＋ ＋ 的值组成的集合是_____。
A. {-4,4} B. {0,4} C. {-4,0} D. {-4,0,4}
3. f(x)＝(a－x)|3a－x|，a是正常数，下列结论正确的是_____。
A.当x＝2a时有最小值0 B.当x＝3a时有最大值0
C.无最大值，且无最小值 D.有最小值但无最大值
第 133 页 共 165 页4. 设f (x,y)＝0是椭圆方程，f (x,y)＝0是直线方程，则方程f (x,y)＋λf (x,y)＝
0 （λ∈R）表示的曲线是_____。
A.只能是椭圆 B.椭圆或直线 C.椭圆或一点 D.还有上述外的其它情况
5. 函数f(x)＝ax －2ax＋2＋b (a≠0)在闭区间[2,3]上有最大值5，最小值2，则a、b
的值为_____。
A. a＝1,b＝0 B. a＝1，b＝0或a＝－1,b＝3
C. a＝－1，b＝3 D. 以上答案均不正确
6.方程(x －x－1) ＝1的整数解的个数是_____。
A. 1 B. 3 C. 4 D. 5
7. 到空间不共面的4个点距离相等的平面的个数是_____。
A. 7 B. 6 C. 5 D. 4
8.z∈C，方程z －3|z|＋2＝0的解的个数是_____。
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
9.复数z＝a＋aｉ (a≠0)的辐角主值是______________。
10.解关于x的不等式： 2log (2x－1)>log (x －a) (a>0且a≠1)
11.设首项为1，公比为q (q>0)的等比数列的前n项和为S ，又设T ＝ ，求 T
。
12. 若复数z、z 、z 在复平面上所对应三点A、B、C组成直角三角形，且|z|＝2，求z 。
13. 有卡片9张，将0、1、2、…、8这9个数字分别写在每张卡片上。现从中任取3张排成
三位数，若6可以当作9用，问可组成多少个不同的三位数。
14. 函数f(x)＝(|m|－1)x －2(m＋1)x－1的图像与x轴只有一个公共点，求参数m的
值及交点坐标。
第 134 页 共 165 页三、函数与方程的思想方法
函数思想，是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题。方程思想，是从
问题的数量关系入手，运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型（方程、不等式、或方程
与不等式的混合组），然后通过解方程（组）或不等式（组）来使问题获解。有时，还实现函数
与方程的互相转化、接轨，达到解决问题的目的。
笛卡尔的方程思想是：实际问题→数学问题→代数问题→方程问题。宇宙世界，充斥着等
式和不等式。我们知道，哪里有等式，哪里就有方程；哪里有公式，哪里就有方程；求值问题是
通过解方程来实现的……等等；不等式问题也与方程是近亲，密切相关。而函数和多元方程
没有什么本质的区别，如函数y＝f(x)，就可以看作关于x、y的二元方程f(x)－y＝0。可以
说，函数的研究离不开方程。列方程、解方程和研究方程的特性，都是应用方程思想时需要重
点考虑的。
函数描述了自然界中数量之间的关系，函数思想通过提出问题的数学特征，建立函数关
系型的数学模型，从而进行研究。它体现了“联系和变化”的辩证唯物主义观点。一般地，函
数思想是构造函数从而利用函数的性质解题，经常利用的性质是：f(x)、f (x)的单调性、奇
偶性、周期性、最大值和最小值、图像变换等，要求我们熟练掌握的是一次函数、二次函数、幂
函数、指数函数、对数函数、三角函数的具体特性。在解题中，善于挖掘题目中的隐含条件，构
造出函数解析式和妙用函数的性质，是应用函数思想的关键。对所给的问题观察、分析、判断
比较深入、充分、全面时，才能产生由此及彼的联系，构造出函数原型。另外，方程问题、不等
式问题和某些代数问题也可以转化为与其相关的函数问题，即用函数思想解答非函数问题。
函数知识涉及的知识点多、面广，在概念性、应用性、理解性都有一定的要求，所以是高
考中考查的重点。我们应用函数思想的几种常见题型是：遇到变量，构造函数关系解题；有关
的不等式、方程、最小值和最大值之类的问题，利用函数观点加以分析；含有多个变量的数学
问题中，选定合适的主变量，从而揭示其中的函数关系；实际应用问题，翻译成数学语言，建
立数学模型和函数关系式，应用函数性质或不等式等知识解答；等差、等比数列中，通项公式、
前n项和的公式，都可以看成n的函数，数列问题也可以用函数方法解决。
Ⅰ、再现性题组：
1.方程lgx＋x＝3的解所在的区间为_____。
A. (0,1) B. (1,2) C. (2,3) D. (3,+∞)
2.如果函数f(x)＝x ＋bx＋c对于任意实数t，都有f(2＋t)＝f(2－t)，那么_____。
A. f(2)0），则 ＋ ＝ ，解出x＝2，再用万能公式，选A；
5小题：利用 是关于n的一次函数，设S ＝S ＝m， ＝x，则（ ,p）、( ,q)、(x，
p+q)在同一直线上，由两点斜率相等解得x＝0，则答案：0；
6小题：设cosx＝t，t∈[-1,1]，则a＝t －t－1∈[－ ,1]，所以答案：[－ ,1]；
7小题：设高h，由体积解出h＝2 ，答案：24 ；
8小题：设长x，则宽 ，造价y＝4×120＋4x×80＋ ×80≥1760，答案：1760。
Ⅱ、示范性题组：
例1. 设a>0，a≠1，试求方程log (x－ak)＝log (x －a )有实数解的k的范围。(89
年全国高考)
【分析】由换底公式进行换底后出现同底，再进行等价转化为方程组，分离参数后分析式
子特点，从而选用三角换元法，用三角函数的值域求解。
【解】 将原方程化为：log (x－ak)＝log ， 等价于
（a>0,a≠1）
∴ k＝ － ( | |>1 ）,
设 ＝cscθ， θ∈(－ ,0)∪(0, )，则 k＝f(θ)＝cscθ－|ctgθ|
当θ∈(－ ,0)时，f(θ)＝cscθ＋ctgθ＝ctg <－1，故k<－1；
当θ∈(0, )时，f(θ)＝cscθ－ctgθ＝tg ∈(0,1)，故00)，设曲线C ：y＝x－ak，曲线C ：y＝ (y>0)，如
图所示。
由图可知，当－ak>a或－a<－ak<0时曲线C 与C 有交点，即方程有实解。所以k的取值
范围是：k<－1或0ak，即 －k>0，通分得
<0，解得k<－1或0m(x －1)对满足|m|≤2的一切实数m的取值都成立。求x的取值
范围。
【分析】 此问题由于常见的思维定势，易把它看成关于x的不等式讨论。然而，若变换一
个角度以m为变量，即关于m的一次不等式(x －1)m－(2x－1)<0在[-2,2]上恒成立的问题。
对此的研究，设f(m)＝(x －1)m－(2x－1)，则问题转化为求一次函数（或常数函数）f(m)的
值在[-2,2]内恒为负值时参数x应该满足的条件 。
【解】问题可变成关于m的一次不等式：(x －1)m－(2x－1)<0在[-2,2] 恒成立，设f(m)
＝(x －1)m－(2x－1),
则
解得x∈（ , ）
【注】 本题的关键是变换角度，以参数m作为自变量而构造函数式，不等式问题变成函数
在闭区间上的值域问题。本题有别于关于x的不等式2x－1>m(x －1)的解集是[-2,2]时求m
的值、关于x的不等式2x－1>m(x －1)在[-2,2]上恒成立时求m的范围。
一般地，在一个含有多个变量的数学问题中，确定合适的变量和参数，从而揭示函数关系，
使问题更明朗化。或者含有参数的函数中，将函数自变量作为参数，而参数作为函数，更具有
灵活性，从而巧妙地解决有关问题。
例3. 设等差数列{a }的前n项的和为S ，已知a ＝12，S >0，S <0 。
①.求公差d的取值范围； ②.指出S 、S 、…、S 中哪一个值最大，并说明理由。(92年
全国高考)
【分析】 ①问利用公式a 与S 建立不等式，容易求解d的范围；②问利用S 是n的二次
函数，将S 中哪一个值最大，变成求二次函数中n为何值时S 取最大值的函数最值问题。
【解】① 由a ＝a ＋2d＝12,得到a ＝12－2d，所以
第 137 页 共 165 页S ＝12a ＋66d＝12(12－2d)＋66d＝144＋42d>0，
S ＝13a ＋78d＝13(12－2d)＋78d＝156＋52d<0。
解得：－ 0、a <0 ，即：由d<0知道a >a >…>a ，由S ＝13a <0
得a <0，由S ＝6(a ＋a )>0得a >0。所以，在S 、S 、…、S 中，S 的值最大。
例4. 如图，AB是圆O的直径，PA垂直于圆O所在平面，C是圆周上任一点，设∠BAC＝
θ，PA＝AB=2r，求异面直线PB和AC的距离。
【分析】 异面直线PB和AC的距离可看成求直线PB上任意一点到AC的距离的最小值，
从而设定变量，建立目标函数而求函数最小值。
【解】 在PB上任取一点M，作MD⊥AC于D，MH⊥AB于H，
P
设MH＝x，则MH⊥平面ABC，AC⊥HD 。
∴MD ＝x ＋[(2r－x)sinθ] ＝(sin ＋1)x －4rsin θx M
＋4r sin θ A H B
D C
＝(sin θ＋1)[x－ ] ＋
即当x＝ 时，MD取最小值 为两异面直线的距离。
【注】 本题巧在将立体几何中“异面直线的距离”变成“求异面直线上两点之间距离的
最小值”，并设立合适的变量将问题变成代数中的“函数问题”。一般地，对于求最大值、最
小值的实际问题，先将文字说明转化成数学语言后，再建立数学模型和函数关系式，然后利
用函数性质、重要不等式和有关知识进行解答。比如再现性题组第8题就是典型的例子。
例5. 已知△ABC三内角A、B、C的大小成等差数列，且tgA·tgC＝2＋ ，又知顶点C的
对边c上的高等于4 ,求△ABC的三边a、b、c及三内角。
【分析】已知了一个积式，考虑能否由其它已知得到一个和式，再用方程思想求解。
【解】 由A、B、C成等差数列，可得B＝60°；
第 138 页 共 165 页由△ABC中tgA＋tgB＋tgC＝tgA·tgB·tgC，得
tgA＋tgC＝tgB(tgA·tgC－1)＝ (1＋ )
设tgA、tgC是方程x －( ＋3)x＋2＋ ＝0的两根，解得x ＝1，x ＝2＋
设A0
在x∈(-∞,1]上恒成立的不等式问题。
【解】 由题设可知，不等式1＋2 ＋4 a>0在x∈(-∞,1]上恒成立，
即：( ) ＋( ) ＋a>0在x∈(-∞,1]上恒成立。
设t＝( ) , 则t≥ ， 又设g(t)＝t ＋t＋a，其对称轴为t＝－
∴ t ＋t＋a＝0在[ ,+∞)上无实根， 即 g( )＝( ) ＋ ＋a>0，得a>－
所以a的取值范围是a>－ 。
【注】对于不等式恒成立，引入新的参数化简了不等式后，构造二次函数利用函数的图像
和单调性进行解决问题，其中也联系到了方程无解，体现了方程思想和函数思想。一般地，我
们在解题中要抓住二次函数及图像、二次不等式、二次方程三者之间的紧密联系，将问题进
行相互转化。
在解决不等式( ) ＋( ) ＋a>0在x∈(-∞,1]上恒成立的问题时，也可使用“分离
参数法”： 设t＝( ) , t≥ ，则有a＝－t －t∈(－∞,－ ]，所以a的取值范围是a>
－ 。其中最后得到a的范围，是利用了二次函数在某区间上值域的研究，也可属应用“函
数思想”。
Ⅲ、巩固性题组：
1. 方程sin2x＝sinx在区间(0,2π)内解的个数是_____。
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
2. 已知函数f(x)＝|2 －1|，af(c)>f(b)，则_____。
A. a<0,b<0,c>0 B. a<0,b>0,c>0 C. 2 <2 D. 2 ＋2 <2
3. 已知函数f(x)＝log (x －4x＋8)， x∈[0,2]的最大值为－2，则a＝_____。
A. B. C. 2 D. 4
4.已知{a }是等比数列，且a ＋a ＋a ＝18，a ＋a ＋a ＝－9，S ＝a ＋a ＋…＋a ，
那么 S 等于_____。
A. 8 B. 16 C. 32 D. 48
5.等差数列{a }中，a ＝84，前n项和为S ,已知S >0，S <0，则当n＝______时，S 最
大。
6. 对于满足0≤p≤4的所有实数p，使不等式x ＋px〉4x＋p－3成立的x的取值范围是
________。
第 140 页 共 165 页7.若关于 x 的方程|x －6x＋8|＝a 恰有两个不等实根，则实数 a 的取值范围是
____________。
8.已知点A(0,1)、B(2,3)及抛物线y＝x ＋mx＋2，若抛物线与线段AB相交于两点，求实
数m的取值范围。
9.已知实数x、y、z满足等式x＋y＋z＝5和xy＋yz＋zx＝3,试求z的取值范围。
10.已知lg －4·lg ·lg ＝0，求证：b是a、c的等比中项。
11.设α、β、γ均为锐角，且cos α＋cos β＋cos γ＋2cosα·cosβ·cosγ＝1，
求证：α＋β＋γ＝π 。
12.当p为何值时，曲线y ＝2px (p>0)与椭圆 (x―2― ) ＋y ＝1有四个交点。(88
年全国高考)
13.已知关于x的实系数二次方程x ＋ax＋b＝0有两个实数根α、β。证明：
①. 如果|α|<2，|β|<2，那么2|a|<4＋b且|b|<4；
②. 如果2|a|<4＋b且|b|<4，那么|α|<2，|β|<2 。 （93年全国理）
14.设f(x)是定义在区间(-∞,+∞)上以2为周期的函数，对k∈Z，用I 表示区间
(2k-1,2k+1]，已知当x∈I 时，f(x)＝x 。 ①.求f(x)在I 上的解析表达式； ②.对自
然数k，求集合M ＝{a|使方程f(x)＝ax在I 上有两个不相等的实根}。 （89年全国理）
第 141 页 共 165 页四、等价转化思想方法
等价转化是把未知解的问题转化到在已有知识范围内可解的问题的一种重
要的思想方法。通过不断的转化，把不熟悉、不规范、复杂的问题转化为熟悉、规
范甚至模式法、简单的问题。历年高考，等价转化思想无处不见，我们要不断培养
和训练自觉的转化意识，将有利于强化解决数学问题中的应变能力，提高思维能
力和技能、技巧。
转化有等价转化与非等价转化。等价转化要求转化过程中前因后果是充分必要的，才保
证转化后的结果仍为原问题的结果。非等价转化其过程是充分或必要的，要对结论进行必要
的修正（如无理方程化有理方程要求验根），它能给人带来思维的闪光点，找到解决问题的突
破口。我们在应用时一定要注意转化的等价性与非等价性的不同要求，实施等价转化时确保
其等价性，保证逻辑上的正确。
著名的数学家，莫斯科大学教授C.A.雅洁卡娅曾在一次向数学奥林匹克参赛者发表《什
么叫解题》的演讲时提出：“解题就是把要解题转化为已经解过的题”。数学的解题过程，就
是从未知向已知、从复杂到简单的化归转换过程。
等价转化思想方法的特点是具有灵活性和多样性。在应用等价转化的思想方法去解决数
学问题时，没有一个统一的模式去进行。它可以在数与数、形与形、数与形之间进行转换；它
可以在宏观上进行等价转化，如在分析和解决实际问题的过程中，普通语言向数学语言的翻
译；它可以在符号系统内部实施转换，即所说的恒等变形。消去法、换元法、数形结合法、求值
求范围问题等等，都体现了等价转化思想，我们更是经常在函数、方程、不等式之间进行等价
转化。可以说，等价转化是将恒等变形在代数式方面的形变上升到保持命题的真假不变。由
于其多样性和灵活性，我们要合理地设计好转化的途径和方法，避免死搬硬套题型。
在数学操作中实施等价转化时，我们要遵循熟悉化、简单化、直观化、标准化的原则，即
把我们遇到的问题，通过转化变成我们比较熟悉的问题来处理；或者将较为繁琐、复杂的问
题，变成比较简单的问题，比如从超越式到代数式、从无理式到有理式、从分式到整式…等；
或者比较难以解决、比较抽象的问题，转化为比较直观的问题，以便准确把握问题的求解过
程，比如数形结合法；或者从非标准型向标准型进行转化。按照这些原则进行数学操作，转化
过程省时省力，有如顺水推舟，经常渗透等价转化思想，可以提高解题的水平和能力。
Ⅰ、再现性题组：
1. f(x)是R上的奇函数，f(x＋2)＝f(x)，当0≤x≤1时，f(x)＝x，则f(7.5)等于_____。
A. 0.5 B. －0.5 C. 1.5 D. －1.5
2.设f(x)＝3x－2，则f [f(x)]等于______。
A. B. 9x－8 C. x D.
3. 若m、n、p、q∈R且m ＋n ＝a，p ＋q ＝b，ab≠0，则mp＋nq的最大值是______。
A. B. C. D.
4. 如果复数z满足|z＋ｉ|＋|z－ｉ|＝2，那么|z＋ｉ＋1|的最小值为______。
A. 1 B. C. 2 D.
第 142 页 共 165 页5. 设椭圆 ＋ ＝1 （a>b>0）的半焦距为c，直线l过(0,a)和(b,0)，已知原点到l的
距离等于 c，则椭圆的离心率为_____。
A. B. C. D.
6. 已知三棱锥S-ABC的三条侧棱两两垂直，SA＝5，SB＝4，SC＝3，D为AB的中点，E为AC
的中点，则四棱锥S-BCED的体积为_____。
A. B. 10 C. D.
【简解】1小题：由已知转化为周期为2,所以f(7.5)＝f(-0.5)＝－f(0.5)，选B；
2小题：设f(x)＝y，由互为反函数的值域与定义域的关系，选C；
3小题：由mp＋nq≤ ＋ 容易求解，选A；
4小题：由复数模几何意义利用数形结合法求解，选A；
5小题：ab＝ × ，变形为12e －31e ＋7＝0，再解出e，选B；
6小题：由S ＝ S 和三棱椎的等体积转化容易求，选A。
Ⅱ、示范性题组：
例1. 若x、y、z∈R 且x＋y＋z＝1，求( －1)( －1)( －1)的最小值。
【分析】由已知x＋y＋z＝1而联想到，只有将所求式变形为含代数式x＋y＋z，或者运用
均值不等式后含xyz的形式。所以，关键是将所求式进行合理的变形，即等价转化。
【解】( －1)( －1)( －1)＝ （1－x）(1－y)(1－z)
＝ (1－x－y－z＋xy＋yz＋zx－xyz)＝ (xy＋yz＋zx－xyz)
＝ ＋ ＋ －1≥3 －1＝ －1≥ －1＝9
【注】对所求式进行等价变换：先通分，再整理分子，最后拆分。将问题转化为求 ＋ ＋
的最小值，则不难由平均值不等式而进行解决。此题属于代数恒等变形题型，即代数式在
形变中保持值不变。
例2. 设x、y∈R且3x ＋2y ＝6x，求x ＋y 的范围。
【分析】 设k＝x ＋y ，再代入消去y，转化为关于x的方程有实数解时求参数k范围的
问题。其中要注意隐含条件，即x的范围。
【解】由6x－3x ＝2y ≥0得0≤x≤2。
设k＝x ＋y ，则y ＝k－x ，代入已知等式得：x －6x＋2k＝0 ，
即k＝－ x ＋3x，其对称轴为x＝3。
第 143 页 共 165 页由0≤x≤2得k∈[0,4]。
所以x ＋y 的范围是：0≤x ＋y ≤4。
【另解】 数形结合法（转化为解析几何问题）：
由3x ＋2y ＝6x得(x－1) ＋ ＝1，即表示如图所示椭圆，其一个顶点在坐标原点。x
＋y 的范围就是椭圆上的点到坐标原点的距离的平方。由图可知最小值是 0,距离最大的点
是以原点为圆心的圆与椭圆相切的切点。设圆方程为x ＋y ＝k，代入椭圆中消y得x －6x
＋2k＝0。由判别式△＝36－8k＝0得k＝4,所以x ＋y 的范围是：0≤x ＋y ≤4。
【再解】 三角换元法，对已知式和待求式都可以进行三角换元（转化为三角问题）：
由3x ＋2y ＝6x得(x－1) ＋ ＝1，设 ，则
x ＋y ＝1＋2cosα＋cos α＋ sin α＝1＋ ＋2cosα－ cos α
＝－ cos α＋2cosα＋ ∈[0,4]
所以x ＋y 的范围是：0≤x ＋y ≤4。
【注】本题运用多种方法进行解答，实现了多种角度的转化，联系了多个知识点，有助于
提高发散思维能力。此题还可以利用均值换元法进行解答。各种方法的运用，分别将代数问
题转化为了其它问题，属于问题转换题型。
例3. 求值：ctg10°－4cos10°
【分析】分析所求值的式子，估计两条途径：一是将函数名化为相同，二是将非特殊角化
为特殊角。
【 解 一 】 ctg10° － 4cos10° ＝ － 4cos10° ＝
＝ ＝
＝ ＝ ＝
＝
（基本过程：切化弦→通分→化同名→拆项→差化积→化同名→差化积）
【 解 二 】 ctg10° － 4cos10° ＝ － 4cos10° ＝
＝ ＝
＝ ＝
第 144 页 共 165 页＝ ＝ ＝
（基本过程：切化弦→通分→化同名→特值代入→积化和→差化积）
【 解 三 】 ctg10° － 4cos10° ＝ － 4cos10° ＝
＝ ＝
＝ ＝
＝ ＝
（基本过程：切化弦→通分→化同名→拆角80°→和差角公式）
【注】无条件三角求值问题，是高考中常见题型，其变换过程是等价转化思想的体现。此
种题型属于三角变换型。一般对，对于三角恒等变换，需要灵活运用的是同角三角函数的关
系式、诱导公式、和差角公式、倍半角公式、和积互化公式以及万能公式，常用的手段是：切割
化弦、拆角、将次与升次、和积互化、异名化同名、异角化同角、化特殊角等等。对此，我们要
掌握变换的通法，活用2公式，攻克三角恒等变形的每一道难关。
例4. 已知f(x)＝tgx，x∈(0, )，若x 、x ∈(0, )且x ≠x ，
求证： [f(x )＋f(x )]>f( ) （94年全国高考）
【分析】从问题着手进行思考，运用分析法，一步步探求问题成立的充分条件。
【证明】 [f(x )＋f(x )]>f( ) [tgx ＋tgx ]>tg
( ＋ )> >
1＋cos(x ＋x )>2cosx cosx 1＋cosx cosx ＋sinx sinx >2cosx cosx
cosx cosx ＋sinx sinx <1 cos(x －x )<1
由已知显然cos(x －x )<1成立，所以 [f(x )＋f(x )]>f( )
【注】 本题在用分析法证明数学问题的过程中，每一步 D S N C 实
施的都是等价转化。此种题型属于分析证明型。 B
A M
例5. 如图，在三棱锥S-ABC中，S在底面上的射影N 位
于底面的高CD上，M是侧棱SC上的一点，使截面MAB与底 面
所成角等于∠NSC。求证：SC垂直于截面MAB。（83年全国高 考）
【分析】 由三垂线定理容易证明SC⊥AB，再在平面
SDNC中利用平面几何知识证明SC⊥DM。
第 145 页 共 165 页【证明】由已知可得：SN⊥底面ABC，AB⊥CD，CD是斜线SC在底面AB的射影，
∴ AB⊥SC。
∵ AB⊥SC、AB⊥CD
∴ AB⊥平面SDNC
∴ ∠MDC就是截面MAB与底面所成的二面角
由已知得∠MDC＝∠NSC
又∵ ∠DCM＝∠SCN
∴ △DCM≌△SCM
∴ ∠DMC＝∠SNC＝Rt∠
即 SC⊥DM
所以SC⊥截面MAB。
【注】立体几何中有些问题的证明，可以转化为平面几何证明来解决，即考虑在一个平面
上的证明时运用平面几何知识。
Ⅲ、巩固性题组：
1. 正方形ABCD与正方形ABEF成90°的二面角，则AC与BF所成的角为_____。
A. 45° B. 60° C. 30° D. 90°
2. 函数f(x)＝|lgx|，若0f(b)，则下列各式中成立的是_____。
A. ab≤1 B. ab<1 C. ab>1 D. a>1且b>1
3. [ － ] (n∈N)的值为______。
A. B. C. 0 D. 1
4. (a＋b＋c) 展开式的项数是_____。
A. 11 B. 66 C. 132 D. 3
5. 已知长方体ABCD-A’B’C’D’中，AA’＝AD＝1，AB＝ ，则顶点A到截面A’BD的
距离是_______。
6. 已知点M(3cosx，3sinx)、N(4cosy，4siny)，则|MN|的最大值为_________。
7. 函数y＝ ＋ 的值域是____________。
8. 不等式log （x ＋x＋3）>log (x＋2)的解是____________。
9．设x>0，y>0，求证：(x ＋y ) >(x ＋y ) (86年上海高考)
10. 当x∈[0, ]时，求使cos x－mcosx＋2m－2>0恒成立的实数m的取值范围。
11. 设△ABC的三内角A、B、C的对边分别是a、b、c，若三边a、b、c顺次成等差数列，求
复数z＝[cos(π＋ )＋ｉsin(π＋ )]·[sin( － )＋ｉcos( － )]的辐角
主值argz的最大值。
12. 已知抛物线C：y＝(t ＋t－1)x －2(a＋t) x＋(t ＋3at＋b)对任何实数t都与x
轴交于P(1,0)点，又设抛物线C与x轴的另一交点为Q(m,0)，求m的取值范围。
第 146 页 共 165 页第三章 高考热点问题和解题策略
数学高考坚持以“两个有利”（有利高校选拔新生、有利中学教学）为指导
思想，严格遵循“考试说明”的规定，内容上不超纲，能力上不超规定层次（了解
理解和掌握、灵活和综合运用），在考查三基（基础知识、基本技能、基本技巧）和
四种能力（逻辑思维能力、运算能力、空间想象能力、分析和解决问题的能力）的
同时，侧重考查教材中的主要内容、数学思想方法和应用意识，特别是突出考查
数学学科的思维能力。
函数平均每年占高考总分的13.8％，考查的知识背景为幂、指、对及一般函数的概念、定
义域、值域、反函数；函数的性质、函数的单调性、奇偶性、周期性；函数的图像等。
三角函数平均每年占高考总分的12.6％，考查的知识背景是三角函数的概念、性质、以
及有关公式的应用，以常规题居多。
解（证）不等式平均每年占高考总分的11.2％，考查的知识背景为不等式的性质、定理；
立几、数列中的最值问题以及解几中的范围问题。
数列、极限和数学归纳法平均每年占高考总分的13.8％，考查的知识背景为等差（比）数
列的概念与计算公式；数列、极限的概念与求法。
线面间的位置关系平均每年占高考总分的11.8％，考查的知识背景为线面间的平行、垂
直性质与判定及有关概念。每年均为阅读理解型试题。
圆锥曲线平均每年占高考总分的11.7％，考查的知识背景为圆锥曲线的定义、性质及解
几中的基本数学思想方法。
1993年—1999年高考试题中，常用的数学方法几乎每年考到，常用的数学思想方法考查
的频率明显提高，探索性能力题年年考，对应用性问题的考查力度不断加大，阅读理解能力
多题渗透。
今年高考命题，选择题继续保持14个题题量，仍分为1-5题，每题4分，6-14题每题5分，
但适当降低最后2-3题的难度，控制语言的抽象水平。填空题保持1997-1999年水平，共4个
题左右，每题4分，难度仍将为中等题，以计算题为主，且计算量仍不会加大。相比99年高考，
2000高考将适当降低试卷的难度，进一步加强对思维能力考查。
进一步注重通性通法的考查，继续突出主体内容（函数、方程、不等式、数列和圆锥曲线
等），淡化某些不宜升温的知识（递推数列、复数和立体几何等），做好向新高中教材过渡的准
备。
应用题将适当控制对建模能力难度的考查，减少普通语言转译为数学语言的难度，既注
意贴近生活，又注意靠近课本。探索性综合题和信息迁移题不可能增加难度，如数列综合题
仍以归纳猜想为主要形式。
一、应用问题
应用问题的“考试要求”是考查考生的应用意识和运用数学知识与方法来分析问题解
决问题的能力，这个要求分解为三个要点：
1、要求考生关心国家大事，了解信息社会，讲究联系实际，重视数学在生产、生活及科学
中的应用，明确“数学有用，要用数学”，并积累处理实际问题的经验。
2、考查理解语言的能力，要求考生能够从普通语言中捕捉信息，将普通语言转化为数学
语言，以数学语言为工具进行数学思维与交流。
第 147 页 共 165 页3、考查建立数学模型的初步能力，并能运用“考试说明”所规定的数学知识和方法来求
解。
对应用题，考生的弱点主要表现在将实际问题转化成数学问题的能力上。实际问题转化
为数学问题，关键是提高阅读能力即数学审题能力，审出函数、方程、不等式、等式，要求我们
读懂材料，辨析文字叙述所反应的实际背景，领悟从背景中概括出来的数学实质，抽象其中
的数量关系，将文字语言叙述转译成数学式符号语言，建立对应的数学模型解答。可以说，解
答一个应用题重点要过三关：一是事理关，即读懂题意，需要一定的阅读理解能力；二是文理
关，即把文字语言转化为数学的符号语言；三是数理关，即构建相应的数学模型，构建之后还
需要扎实的基础知识和较强的数理能力。
求解应用题的一般步骤是（四步法）：
1、读题：读懂和深刻理解，译为数学语言，找出主要关系；
2、建模：把主要关系近似化、形式化，抽象成数学问题；
3、求解：化归为常规问题，选择合适的数学方法求解；
4、评价：对结果进行验证或评估，对错误加以调节，最后将结果应用于现实，作出解释或
验证。
在近几年高考中，经常涉及的数学模型，有以下一些类型：数列模型、函数模型、不
等式模型、三角模型、排列组合模型等等。
Ⅰ、再性性题组：
1.某种细菌在培养过程中，每20分钟分裂一次（一个分裂为两个），经过3小时，这种细
菌由1个可繁殖成______。(94年全国高考)
A. 511个 B. 512个 C. 1023个 D. 1024
个
2.如图，以墙为一边，用篱笆围成长方形的场地，并用平 行 于
一边的篱笆隔开，已知篱笆的总长为定值L，这块场地的长为
_______时，场地面积最大，最大面积是_________。(82年全国高考)
3.圆柱轴截面的周长L为定值，那么圆柱体积的最大值是_______。(93年全国高考)
A. ( ) π B. ( ) π C. ( ) π D. 2( ) π
4.在半径为30m的圆形广场中央上空，置一个照明光源，射向地面的光呈圆锥形，且其轴
截面顶角为120°，若要光源恰好照亮整个广场，则其高度应为_______。(精确到0.1m)
(93年全国高考)
5.甲、乙、丙、丁四个公司承包8项工程，甲公司承包3项，乙公司承包1项，丙、丁公司各
承包2项，共有_______种承包方式。(86年全国高考)
【简解】1小题：答案B；
2小题：设长x，面积S＝x× ≤ ( ) ，答案：长为 ，最大面积 ；
3小题：V＝πr ＝πr ( －2r)≤π( ) ，选A；
4小题：由 ＝tg60°得h＝10 ≈17.3；
5小题：C C C ＝1680。
Ⅱ、示范性题组：
第 148 页 共 165 页例1．某地现有耕地10000公顷，规划10年后粮食单产比现有增加22％，人均粮食产量
比现在提高10％，如果人口年增长率为1％，那么耕地每年至多只能减少多少公顷（精确到1
公顷）？ （96年全国高考）
（粮食单产＝ ； 人均粮食产量＝ ）
【分析】此题以关系国计民生的耕地、人口、粮食为背景，给出两组数据，要求考生从两条
线索抽象数列模型，然后进行比较与决策。
【解】1.读题：问题涉及耕地面积、粮食单产、人均粮食占有量、总人口数及三个百分率，
其中人均粮食占有量P＝ ， 主要关系是：P ≥P 。
2.建模：设耕地面积平均每年至多减少x公顷，现在粮食单产为a吨／公顷，现在人口数
为m，则现在占有量为 ，10年后粮食单产为a(1＋0.22)，人口数为m(1＋0.01) ，耕
地面积为（10 －10x）。
∴ ≥ （1＋0.1）
即 1.22（10 －10x）≥1.1×10 ×（1＋0.01）
3.求解： x≤10 － ×10 ×（1＋0.01）
∵ （1＋0.01） ＝1＋C ×0.01＋C ×0.01 ＋C ×0.01 ＋…≈1.1046
∴ x≤10 －995.9≈4（公顷）
4.评价：答案x≤4公顷符合控制耕地减少的国情，又验算无破，故可作答。（答略）
【另解】1.读题：粮食总产量＝单产×耕地面积； 粮食总占有量＝人均占有量×总人口
数；
而主要关系是： 粮食总产量≥粮食总占有量
2.建模：设耕地面积平均每年至多减少x公顷，现在粮食单产为a吨／公顷，现在人口数
为m，则现在占有量为 ，10年后粮食单产为a(1＋0.22)，人口数为m(1＋0.01) ，耕
地面积为（10 －10x）。
∴ a(1＋0.22)×(1O －10x)≥ ×(1＋0.1)×m(1＋0.01)
3.求解： x≤10 － ×10 ×（1＋0.01）
∵ （1＋0.01） ＝1＋C ×0.01＋C ×0.01 ＋C ×0.01 ＋…≈1.1046
∴ x≤10 －995.9≈4（公顷）
4.评价：答案x≤4公顷符合控制耕地减少的国情，又验算无破，故可作答。（答略）
【注】本题主要是抓住各量之间的关系，注重3个百分率。其中耕地面积为等差数列，总人
口数为等比数列模型，问题用不等式模型求解。本题两种解法，虽都是建立不等式模型，但建
立时所用的意义不同，这要求灵活掌握，还要求对指数函数、不等式、增长率、二项式定理应
用于近似计算等知识熟练。此种解法可以解决有关统筹安排、最佳决策、最优化等问题。此种
第 149 页 共 165 页题型属于不等式模型，也可以把它作为数列模型，相比之下，主要求解过程是建立不等式模
型后解出不等式。
在解答应用问题时，我们强调“评价”这一步不可少！它是解题者的自我调节，比如本
题求解过程中若令1.01 ≈1,算得结果为x≤98公顷，自然会问：耕地减少这么多，符合国
家保持耕地的政策吗？于是进行调控，检查发现是错在1.01 的近似计算上。
例2．已知某市1990年底人口为100万，人均住房面积为5m ，如果该市每年人口平均增
长率为2％，每年平均新建住房面积为10万m ，试求到2000年底该市人均住房面积（精确到
0.01）？（91年上海高考）
【分析】城市每年人口数成等比数列，每年住房总面积成等比数列，分别写出2000年后的
人口数、住房总面积，从而计算人均住房面积。
【解】1.读题：主要关系：人均住房面积＝
2.建模：2000年底人均住房面积为
3.求解：化简上式＝ ，
∵ 1.02 ＝1＋C ×0.02＋C ×0.02 ＋C ×0.02 ＋…≈1.219
∴ 人均住房面积为 ≈4.92
4.评价：答案4.92符合城市实际情况，验算正确，所以到2000年底该市人均住房面积为
4.92m 。
【注】一般地，涉及到利率、产量、降价、繁殖等与增长率有关的实际问题，可通过观察、分
析、归纳出数据成等差数列还是等比数列，然后用两个基础数列的知识进行解答。此种题型
属于应用问题中的数列模型。
例3．甲、乙两地相距S千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过c千米／时，已
知汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度 v（千
米／时）的平方成正比，比例系数为b；固定部分为a元。
① 把全程运输成本y（元）表示为速度v（千米／时）的函数，并指出函数的定义域；
② 为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？ （97年全国高考）
【分析】几个变量（运输成本、速度、固定部分）有相互的关联，抽象出其中的函数关系，并
求函数的最小值。
【解】（读题）由主要关系：运输总成本＝每小时运输成本×时间，
（建模）有y＝(a＋bv )
（解题）所以全程运输成本y（元）表示为速度v（千米／时）的函数关系式是：y＝S( ＋
bv)，其中函数的定义域是v∈(0,c]。
整理函数有y＝S( ＋bv)＝S(v＋ )，
由函数y＝x＋ (k>0)的单调性而得：
第 150 页 共 165 页当 q>0，则上述三个方案中______。
A.方案甲提价最多 B.方案乙提价最多 C.方案丙提价最多 D.以上都不
对
6.假设国家收购某种农产品的价格是120元／担，其中征税标准为每100元征8元（叫
税率8个百分点，即8％），计划可收购m万担。为了减轻农民负担，决定把税率降低x个百分
点，预计收购量可增加2x个百分点。 ① 写出税收y（万元）与x的函数关系式； ② 要使
此项税收在税率调节后不低于原计划的78％，试确定x的范围。
7.某单位用分期付款的方式为职工购买40套住房，共需1150万元。购买当天先付150
万元，以后每月的这一天都交付50万元，并加付欠款利息，月利率为1％。若交付150万元后
的第一个月开始算分期付款的第一个月，问分期付款的第 10个月应该付多少钱？全部货款
付清后，买这40套住房实际花了多少钱？
8.公园要建造一个圆形的喷水池，在水池中央垂直于水 面 安
装一个花形柱子OA，O恰在水面中心，OA＝1.25米，安置在柱 子 顶
A
端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛 物 线
路径落下，且在过OA的任一平面上抛物线路径如图所示，为 使 水
流形状较为漂亮，设计成水流在到OA的距离为1米处达到距 O 水面 水 面
最大高度2.25米，如果不计其他因素，那么水池的半径至少 要 多
少米，才能使喷出的水流不致落到池外？（97年上海高考）
9.电灯挂在圆桌的正中央上空，光学定律指出：桌边A处的照度I与射到点A的光线与
桌面的夹角θ的正弦成正比，与点A到光源的距离的平方成反比。已知桌面半径r＝0.5米，
当电灯离桌面1米时，桌边A处的照度为I 。 ① 试把照度I表示为角θ的函数； ② 怎样
选择电灯悬挂的高度h，才能使桌边处最亮？
10.国际足联规定法国世界杯决赛阶段，比赛场地长105米、宽68米，足球门宽7.32米、
高2.44米，试确定边锋最佳射门位置（边锋在足球场地长边上移动，最佳射门位置应使边锋
看足球门的水平视角θ最大）。 （精确到1米）
二、探索性问题
近年来，随着社会主义经济建设的迅速发展，要求学校由“应试教育”向“素质教
第 152 页 共 165 页育”转化，培养全面发展的开拓型、创造型人才。在这种要求下，数学教学中开放型问题随之
产生。于是，探索性问题成了近几年来高考命题中的热点问题，它既是高等学校选拔高素质
人材的需要，也是中学数学教学培养学生具有创造能力、开拓能力的任务所要求的。实际上，
学生在学习数学知识时，知识的形成过程也是观察、分析、归纳、类比、猜想、概括、推证的探
索过程，其探索方法是学生应该学习和掌握的，是今后数学教育的重要方向。
一般地，对于虽给出了明确条件，但没有明确的结论，或者结论不稳定，需要
探索者通过观察、分析、归纳出结论或判断结论的问题（探索结论）；或者虽给出
了问题的明确结论，但条件不足或未知，需要解题者寻找充分条件并加以证明的
问题（探索条件），称为探索性问题。此外，有些探索性问题也可以改变条件，探讨
结论相应发生的变化；或者改变结论，探讨条件相应发生的变化；或者给出一些
实际中的数据，通过分析、探讨解决问题。
探索性问题一般有以下几种类型：猜想归纳型、存在型问题、分类讨论型。
猜想归纳型问题是指在问题没有给出结论时，需要从特殊情况入手，进行猜
想后证明其猜想的一般性结论。它的思路是：从所给的条件出发，通过观察、试验
不完全归纳、猜想，探讨出结论，然后再利用完全归纳理论和要求对结论进行证
明。其主要体现是解答数列中等与n有关数学问题。
存在型问题是指结论不确定的问题，即在数学命题中，结论常以“是否存
在”的形式出现，其结果可能存在，需要找出来，可能不存在，则需要说明理由。
解答这一类问题时，我们可以先假设结论不存在，若推论无矛盾，则结论确定存
在；若推证出矛盾，则结论不存在。代数、三角、几何中，都可以出现此种探讨“是
否存在”类型的问题。
分类讨论型问题是指条件或者结论不确定时，把所有的情况进行分类讨论后
找出满足条件的条件或结论。此种题型常见于含有参数的问题，或者情况多种的
问题。
探索性问题，是从高层次上考查学生创造性思维能力的新题型，正确运用数
学思想方法是解决这类问题的桥梁和向导，通常需要综合运用归纳与猜想、函数
与方程、数形结合、分类讨论、等价转化与非等价转化等数学思想方法才能得到
解决，我们在学习中要重视对这一问题的训练，以提高我们的思维能力和开拓能
力。
Ⅰ、再现性题组：
1.是否存在常数a、b、c，使得等式1·2 ＋2·3 ＋…＋n(n＋1) ＝ (an ＋bn
＋c)对一切自然数n都成立？并证明你的结论。 （89年全国理）
2.已知数列 ， …， ，…。S 为其前n项和，求S
、S 、S 、S ，推测S 公式，并用数学归纳法证明。 （93年全国理）
【简解】1题：令n＝1、2、3代入已知等式列出方程组，解得a＝3、b＝11、c＝10，猜测a、
b、c的值对所有的n∈N都成立，再运用数学归纳法进行证明。（属于是否存在型问题，也可属
于猜想归纳型问题）
2题：计算得到S ＝ 、S ＝ 、S ＝ 、S ＝ ，观察后猜测S ＝ ，再
运用数学归纳法进行证明。
第 153 页 共 165 页Ⅱ、示范性题组：
【例1】已知方程kx ＋y ＝4，其中k为实数，对于不同范围的k值，分别指出方程所代
表图形的类型，并画出曲线简图。（78年全国高考题）
【分析】由圆、椭圆、双曲线等方程的具体形式，结合方程kx ＋y ＝4的特点，对参数k
分k>1、k＝1、01、k＝1、01时，表示椭圆，其中心在原点，焦点在y轴上，a＝2，b＝ ;
② 当k＝1时，表示圆，圆心在原点，r＝2；
③ 当00，解得a ＝2＋4k＝4(k＋1)－2，
所以n＝k＋1时，结论也成立。
综上所述，上述结论对所有的自然数n都成立。
③ 设c ＝b －1＝ （ ＋ ）－1＝ （ ＋ －2）
＝ [（ －1）＋( －1)]＝ －
b ＋b ＋…＋b －n＝c ＋c ＋…＋c ＝（1－ ）+（ － ）＋…＋( － )
＝1－
∴ (b ＋b ＋…＋b －n)＝ (1－ )＝1
【注】本题求数列的通项公式，属于猜想归纳型问题，其一般思路是：从最简单、最特殊的
情况出发，推测出结论，再进行严格证明。第③问对极限的求解，使用了“裂项相消法”，设
立新的数列c 具有一定的技巧性。
此外，本题第②问数列通项公式的求解，属于给出数列中S 与a 的函数关系式求a ，对
此类问题我们还可以直接求解，解答思路是由a ＝S －S 的关系转化为数列通项之间
的递推关系，再发现数列的特征或者通过构造新的数列求解。具体的解答过程是：
由题意有 ＝ ，整理得到S ＝ (a ＋2) ，所以S ＝ (a ＋2) ，
∴ a ＝S －S ＝ [(a ＋2) －(a ＋2) ]
整理得到(a ＋a )( a －a －4)＝0
由题意a >0可以得到：a －a －4＝0,即a －a ＝4
∴数列{a }为等差数列，其中a ＝2，公差d＝4，即通项公式为a ＝4n－2。
【例4】已知x >0，x ≠1，且x ＝ (n∈N)，比较x 与x 的大小。(86年
全国理)
【分析】比较x 与x 的大小，采用“作差法”，判别差式的符号式，分情况讨论。
【解】x －x ＝ －x ＝
第 156 页 共 165 页由x >0及数列{x }的定义可知，x >0，所以x －x 与1－x 的符号相同。
假定x <1，当n＝1时，1－x >0；假设n＝k时1－x >0，那么当n＝k＋1时，
1－x ＝1－[ ] ＝ >0，因此对一切自然数n都有1－x >0,即
x 1，当n＝1时，1－x <0；假设n＝k时1－x <0，那么当n＝k＋1时，
1－x ＝1－[ ] ＝ <0，因此对一切自然数n都有1－x <0,即
x 0，使得 0)，a ＝ (n≥2，n∈N)。
第 157 页 共 165 页① 用a表示a 、a 、a ； ② 猜想a 的表达式，并证明你的结论。
6.在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c， 且
A y
b、a、c成等差数列，b≥c。已知B(-1,0)、C(1,0)。
① 求顶点A的轨迹L；
② 是否存在直线m，使m过点B并与曲线L交于不 B O C x 同
的两点P、Q且|PQ|恰好等于原点O到直线m距离的倒数？ 若
存在，求出m的方程；若不存在，说明理由。
7.如图，已知矩形ABCD，PA⊥平面ABCD，M、N分别是AB、 PC
P
的中点。
N
① 求证：MN⊥AB；
B M A
② 若平面PDC与平面ABCD所成的二面角为θ，能否确 定
C D
θ，使得直线MN是异面直线AB与PC的公垂线？若能确定， 求
出θ的值；若不能确定，说明理由。
第 158 页 共 165 页三、选择题解答策略
近几年来高考数学试题中选择题稳定在14～15道题，分值65分，占总分的43.3%。高考
选择题注重多个知识点的小型综合，渗逶各种数学思想和方法，体现基础知识求深度的考基
础考能力的导向;使作为中低档题的选择题成为具备较佳区分度的基本题型。因此能否在选
择题上获取高分，对高考数学成绩影响重大。解答选择题的基本策略是准确、迅速。
准确是解答选择题的先决条件。选择题不设中间分，一步失误，造成错选，全题无分。
所以应仔细审题、深入分析、正确推演、谨防疏漏；初选后认真检验，确保准确。
迅速是赢得时间获取高分的必要条件。高考中考生不适应能力型的考试，致使“超时失
分”是造成低分的一大因素。对于选择题的答题时间，应该控制在不超过50分钟左右，速度
越快越好，高考要求每道选择题在1～3分钟内解完。
选择题主要考查基础知识的理解、基本技能的熟练、基本计算的准确、基本方法的运用、
考虑问题的严谨、解题速度的快捷等方面，是否达到《考试说明》中的“了解、理解、掌握”三
个层次的要求。历年高考的选择题都采用的是“四选一”型，即选择项中只有一个是正确的。
它包括两个部分：题干，由一个不完整的陈述句或疑问句构成；备选答案，通常由四个选项
A、B、C、D组成。
选择题的特殊结构决定了它具有相应的特殊作用与特点：由于选择题不需写出运算、推
理等解答过程，在试卷上配有选择题时，可以增加试卷容量，扩大考查知识的覆盖面；阅卷简
捷，评分客观，在一定程度上提高了试卷的效度与信度；侧重于考查学生是否能迅速选出正
确答案，解题手段不拘常规，有利于考查学生的选择、判断能力；选择支中往往包括学生常犯
的概念错误或运算、推理错误，所有具有较大的“迷惑性”。
一般地，解答选择题的策略是：① 熟练掌握各种基本题型的一般解法。② 结合高考单项
选择题的结构（由“四选一”的指令、题干和选择项所构成）和不要求书写解题过程的特点，
灵活运用特例法、筛选法、图解法等选择题的常用解法与技巧。③ 挖掘题目“个性”，寻求
简便解法，充分利用选择支的暗示作用，迅速地作出正确的选择。
Ⅰ、示范性题组：
一、直接法：
直接从题设条件出发，运用有关概念、性质、定理、法则等知识，通过推理运算，得出
结论，再对照选择项，从中选正确答案的方法叫直接法。
【例1】（96年高考题）若sin x>cos x,则x的取值范围是______。
A．{x|2k － cos x得cos x－ sin
x<0,即cos2x<0，所以： ＋2kπ<2x< ＋2kπ， 选D；
【另解】数形结合法：由已知得|sinx|>|cosx|，画出单 位圆：
利用三角函数线，可知选D。
【例2】（96年高考题）设f(x)是(－∞，∞)是的奇函数，f(x＋2)＝－f(x)，当0≤x≤1时，
f(x)＝x，则f(7.5)等于______。
A. 0.5 B. －0.5 C. 1.5 D. －1.5
【解】由f(x＋2)＝－f(x)得f(7.5)＝－f(5.5)＝f(3.5)＝－f(1.5)＝f(－0.5)，由
f(x)是奇函数得f(－0.5)＝－f(0.5)＝－0.5，所以选B。
也可由f(x＋2)＝－f(x)，得到周期T＝4，所以f(7.5)＝f(－0.5)＝－f(0.5)＝－0.5。
【例3】（87年高考题）七人并排站成一行，如果甲、乙两人必需不相邻，那么不同的排法
的种数是_____。
A. 1440 B. 3600 C. 4320 D. 4800
【解一】用排除法：七人并排站成一行，总的排法有P 种，其中甲、乙两人相邻的排法有
2×P 种。因此，甲、乙两人必需不相邻的排法种数有：P －2×P ＝3600,对照后应选B；
【解二】用插空法：P ×P ＝3600。
直接法是解答选择题最常用的基本方法，低档选择题可用此法迅速求解。直接法适用的
范围很广，只要运算正确必能得出正确的答案。提高直接法解选择题的能力，准确地把握中
档题目的“个性”，用简便方法巧解选择题，是建在扎实掌握“三基”的基础上，否则一味
求快则会快中出错。
二、特例法：
用特殊值(特殊图形、特殊位置)代替题设普遍条件，得出特殊结论，对各个选项进行检验，
从而作出正确判断的方法叫特例法。常用的特例有特殊数值、特殊数列、特殊函数、特殊图形、
特殊角、特殊位置等。
【例4】(97年高考题)定义在区间(-∞，∞)的奇函数f(x)为增函数，偶函数g(x)在区间
[0,+∞）的图象与f(x)的图象重合，设a>b>0,给出下列不等式①f(b)－f(-a)>g(a)－g(-
b);②f(b)－f(-a)g(b)－g(-a);④f(a)－f(-b)1，排除答案A、C；若a＝2，由2－ax>0得
x<1，这与[0,1]不符合，排除答案C。所以选B。
【例7】（88年高考题）过抛物线y ＝4x的焦点，作直线与此抛物线相交于两点P和Q，那
么线段PQ中点的轨迹方程是______。
A. y ＝2x－1 B. y ＝2x－2 C. y ＝－2x＋1 D. y ＝－2x＋2
【解】筛选法：由已知可知轨迹曲线的顶点为(1,0)，开口向右，由此排除答案A、C、D，所
以选B；
【另解】直接法：设过焦点的直线y＝k(x－1)，则 ，消y得：
k x －2(k ＋2)x＋k ＝0,中点坐标有 ，消k得y ＝2x－2，选B。
筛选法适应于定性型或不易直接求解的选择题。当题目中的条件多于一个时，先根据某
些条件在选择支中找出明显与之矛盾的，予以否定，再根据另一些条件在缩小的选择支的范
围那找出矛盾，这样逐步筛选，直到得出正确的选择。它与特例法、图解法等结合使用是解选
择题的常用方法，近几年高考选择题中约占40％。
四、代入法：
将各个选择项逐一代入题设进行检验，从而获得正确判断的方法叫代入法，又称为验证
法，即将各选择支分别作为条件，去验证命题，能使命题成立的选择支就是应选的答案。
【例8】（97年高考题）函数y=sin( －2x)＋sin2x的最小正周期是_____。
A． B. C. 2 D. 4
【解】代入法：f(x＋ )＝sin[ －2(x＋ )]＋sin[2(x＋ )]＝－f(x)，而
f(x＋π)＝sin[ －2(x＋π)]＋sin[2(x＋π)]＝f(x)。所以应选B；
【另解】直接法：y＝ cos2x－ sin2x＋sin2x＝sin(2x＋ )，T＝π，选B。
第 161 页 共 165 页【例9】（96年高考题）母线长为1的圆锥体积最大时，其侧面展开图的圆心角 等于
_____。
A. B. C. D.
【解】代入法：四个选项依次代入求得r分别为： 、 、 、 ，再求得h分别为：
、 、 、 ，最后计算体积取最大者，选D。
【另解】直接法：设底面半径r，则V＝ πr ＝ π ≤…
其中 ＝ ，得到r＝ ，所以 ＝2π ／1＝ ，选D。
代入法适应于题设复杂，结论简单的选择题。若能据题意确定代入顺序，则能较大提高解
题速度。
五、图解法：
据题设条件作出所研究问题的曲线或有关图形，借助几何图形的直观性作出
正确判断的方法叫图解法或数形结合法。
【例10】（97年高考题）椭图C与椭圆 ＋ ＝1关于直线x＋y＝0对称，椭
圆C的方程是_____。
A． ＋ ＝1 B. ＋ ＝1
C. ＋ ＝1 D. ＋ ＝1
【解】图解法：作出椭圆及对称的椭圆C，由中心及焦点位置，容易得到选A。
【另解】直接法：设椭圆C上动点(x,y)，则对称点(－y，－x)，代入已知椭圆方程得
＋ ＝1，整理即得所求曲线C方程，所以选A。
【例11】（87年高考题）在圆x ＋y ＝4上与直线4x＋3y－12=0距离最小的点的坐标是
_____。
A. （ ， ） B. ( ,－ ) C. (－ , ) D. (－ ,－ )
【解】图解法：在同一直角坐标系中作出圆x ＋y ＝4 和直
线4x＋3y－12=0后，由图可知距离最小的点在第一象限内， y 所以
选A。
O x
【直接法】先求得过原点的垂线，再与已知直线相交而 得。
【例12】已知复数z的模为2，则 |z－ｉ| 的最大值为
_______。 M - i
A. 1 B. 2 C. D. 3 2
【解】图解法：由复数模的几何意义，画出右图，可知当圆 上
的点到M的距离最大时即为|z－ｉ|最大。所以选D；
【另解】不等式法或代数法或三角法：
|z－ｉ|≤|z|＋|ｉ|＝3,所以选D。
数形结合，借助几何图形的直观性，迅速作正确的判断是高考考查的重点之一；97年高
第 162 页 共 165 页考选择题直接与图形有关或可以用数形结合思想求解的题目约占50％左右。
从考试的角度来看，解选择题只要选对就行，不管是什么方法，甚至可以猜测。但平时做
题时要尽量弄清每一个选择支正确理由与错误的原因，这样，才会在高考时充分利用题目自
身的提供的信息，化常规为特殊，避免小题作，真正做到熟练、准确、快速、顺利完成三个层次
的目标任务。
Ⅱ、巩固性题组：
1.（86年高考题）函数y＝（ ） ＋1的反函数是______。
A. y＝log x＋1 （x>0） B. y＝log 5＋1 （x>0且x≠1）
C. y＝log (x－1) (x>1) D. y＝log x－1 (x>1)
2.（90年高考题）已知f(x)＝x ＋ax＋bx－8,且f(－2)＝10，那么f(2)等于_____。
A. －26 B. －18 C. －10 D. 10
3.一个凸多边形的最小内角为 ,各内角成等差数列，公差为 ,则此多边形的边数
为_____。
A. 9 B. 16 C. 9或16 D. 16或25
4.设a、b、c为实数，且cos2x＝acos x＋bcosx＋c恒成立，则a ＋b ＋c ＝______。
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
5.若a、b是任意实数，且a>b，则______。
A. a >b B. <1 C. lg(a－b)>0 D. （ ） <( )
6.如果方程x ＋ky ＝2表示焦点在y轴上椭圆，那么实数k的取值范围是_____。
A. (0,+∞) B. (0,2) C. (1,+∞) D. (0,1)
7.中心在原点，准线方程为x＝±4，离心率为 的椭圆方程是______。
A. ＋ ＝1 B. ＋ ＝1 C. ＋y ＝1 D. x ＋ ＝1
8.已知正三棱台上、下底面边长分别为2和4,高为2 ，它被中截面截得的较大部分体
积是_____。
A. B. C. D.
9.若α＝arg(2＋ｉ)，β＝arg(－3＋ｉ)，则β－α等于______。
A. B. C. － D. －
10. (95年高考题)等差数列{a }、{b }前n项和分别是S 和T ，若 ＝ ，则
等于______。
A. 1 B. C. D.
第 163 页 共 165 页四、填空题解答策略
填空题是一种传统的题型，也是高考试卷中又一常见题型。近几年高考，都有一定数量的
填空题，且稳定了4个小题左右，每题4分，共16分，越占全卷总分的11％。
填空题又叫填充题，是将一个数学真命题，写成其中缺少一些语句的不完整形式，要求学
生在指定的空位上，将缺少的语句填写清楚、准确。它是一个不完整的陈述句形式，填写的可
以是一个词语、数字、符号、数学语句等。
根据填空时所填写的内容形式，可以将填空题分成两种类型：
一是定量型，要求学生填写数值、数集或数量关系，如：方程的解、不等式的解集、函数的
定义域、值域、最大值或最小值、线段长度、角度大小等等。由于填空题和选择题相比，缺少选
择支的信息，所以高考题中多数是以定量型问题出现。
二是定性型，要求填写的是具有某种性质的对象或者填写给定的数学对象的某种性质，
如：给定二次曲线的准线方程、焦点坐标、离心率等等。
填空题不要求学生书写推理或者演算的过程，只要求直接填写结果，它和选择题一样，能
够在短时间内作答，因而可加大高考试卷卷面的知识容量，同时也可以考查学生对数学概念
的理解、数量问题的计算解决能力和推理论证能力。在解答填空题时，基本要求就是：正确、
迅速、合理、简捷。一般来讲，每道题都应力争在1～3分钟内完成。填空题只要求填写结果，
每道题填对了得满分，填错了得零分，所以，考生在填空题上失分一般比选择题和解答题严
重。我们很有必要探讨填空题的解答策略和方法。
Ⅰ、示范性题组：
一、直接推演法：
直接法就是根据数学概念，或者运用数学的定义、定理、法则、公式等，从已知条件出发，
进行推理或者计算得出结果后，将所得结论填入空位处，它是解填空题最基本、最常用的方
法。
【例1】（94年高考题）已知sinθ＋cosθ＝ ，θ∈(0,π)，则ctgθ的值是 。
【解】已知等式两边平方得sinθcosθ＝－ ，解方程组得sinθ＝ ，cosθ＝ ，故答
案为：－ 。
【另解】设tg ＝t，再利用万能公式求解。
【例2】（95年高考题）方程log (x＋1) ＋log (x＋1)＝5的解是 。
【解】由换底公式得4log (x＋1)＋log (x＋1)＝5，即log (x＋1)＝1,解得x＝3。
二、特值代入法：
当填空题已知条件中含有某些不确定的量，但题目暗示答案可能是一个定值时，可以将
变量取一些特殊数值、特殊位置、或者一种特殊情况来求出这个定值，这样，简化了推理、论
证的过程。
【例3】（89年高考题）已知(1－2x) ＝a ＋a x＋a x ＋…＋a x ，那么a ＋a ＋…＋a
＝ 。
第 164 页 共 165 页【解】令x＝1，则有（－1）＝a ＋a ＋a ＋…＋a ＝－1；令x＝0,则有a ＝1。所以a ＋
a ＋…＋a ＝－1－1=－2。
【例4】（90年高考题）在三棱柱ABC—A’B’C’中，若E、F分别为AB、AC的中点，平面
EB’C’F将三棱柱分成体积为V 、V 的两部分，那么V :V ＝ 。
【解】由题意分析，结论与三棱柱的具体形状无关，因此，可取一个特殊的直三棱柱，其底
面积为4，高为1，则体积V＝4，而V ＝ （1＋ ＋4）= ，V ＝V－V ＝ ，则V :V ＝7:5。
三、图解法：
一些计算过程复杂的代数、三角、解析几何问题，可以作出有关函数的图像或者构造适当
的几何图形，利用图示辅助进行直观分析，从而得出结论。这也就是数形结合的解题方法。
【例5】不等式 >x＋1的解集是 。
y
【解】如图，在同一坐标系中画出函数 y＝ 与
y＝x＋1 的图像，由图中可以直观地得到：－ O 2 x ≤x<2，所以
所求解集是[－ ,2)。
【例6】（93年高考题）若双曲线 － ＝1与 圆 x
y
＋y ＝1 没有公共点，则实数 k 的取值范围是 。
O 1 3|k| x
【解】在同一坐标系中作出双曲线 － ＝1 与 圆
x ＋y ＝1，由双曲线的顶点位置的坐标，可以得到| 3k|
>1,故求得实数k的取值范围是k> 或k<－ 。
第 165 页 共 165 页                        
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