文档文本内容
专题二 不等式
课标解读
考情分析 备考指导
主题 内容
．了解生活中的不等关系 会从实际问题中
１ ， 从近几年高考情况来 主要命题点有 不等式的性质及应
抽象出一元二次不等式模型． ：（１）
一、不等式及其解法 看 是高考的热点 以 用 常与函数相结合考查 注意不等式
．通过函数图象了解一元二次不等式与相 ， ， ， ，
２ 容易题为主 主要以选 的等价变形 不等式的解法 常与集
应的二次函数 一元二次方程的联系． ， ；（２） ，
、 择题或填空题的形式 合的基本运算相结合考查 一元二
．会从实际问题中抽象出二元一次不等式 组 ． ；（３）
１ （ ） 出现 分值为 分 本 次不等式恒成立问题 常与函数结合考
．了解二元一次不等式的几何意义 能用平 ， ５ ； ，
２ ， 专题内容在高考试题 查 考查线性目标函数的最值 借助
面区域表示二元一次不等式组． ；（４） ，
中多以函数 不等式等 数形结合的思想 将直线在纵轴上的截
．掌握二元一次不等式组表示的平面区域 、 ，
３ 知识为载体 用基本不 距弄清楚 准确作图是解题关键 要清
的判断方法． ， ， ，
二、简单的线性规划 等式解决求最值问题 楚目标函数的最值 最优解的概念 若
．了解线性规划的意义 并会简单应用． 、 ，
４ ， 如 新高考 卷 目标函数不是线性的 则常与线段的长
．了解与线性规划有关的概念 约束条件 目标 （ ２０２０ Ⅰ ，
５ （ ， 第 题 天津卷 度 直线的斜率等有关 考查利用基
函数 可行解 可行域 最优解 ． １１ 、２０２０ 、 ；（５）
， ， ， ） 第 题 ．在与集合的 本不等式求最值 证明不等式 求参数
．会用图解法解决线性目标函数的最值问题． １４ ） 、 、
６ 交 并 补运算结合的 的取值范围等 常与函数结合命题 解
．掌握线性规划实际问题的解决方法． 、 、 ， ，
７ 问题中 一般是求出不 题时要注意应用基本不等式的三个前
三、基本不等式与不等式 了解基本不等式的证明过程 会用基本不等 ，
， 等式的解集． 提条件．
的综合应用 式解决简单的最大 小 值问题．
（ ）
命题立意 ( ) ２ 易错警示
ａ １ １ １ 当且仅当ａ ｂ
必备知识 不等式的性质 基本不等 ＋１＝２ － ＋ ≥ ， ＝ 统一变量时 忽略变量的范围． 用基
（１） ： 、 ２ ２ ２ ① ， ②
式
、
指数
、
对数的运算性质与指数
、
对数函
＝ １ 时 ， 取等号 ，Ａ 正确 ；
本不等式求最值时
，
忽略等号成立的条件．
数的性质． ２
对于 选项 ａ ｂ ａ ａ ａ 知能拓展
思想方法 化归转化法 数形结合法． Ｂ ， － ＝ －（１－ ）＝２ －１，
（２） ： ， 方法拓展 求解两个变量的最值问题
（３） 核心素养 ： 逻辑推理 、 数学运算． ∵０＜ ａ ＜１，∴－１＜２ ａ －１＜１，∴ １ ＜２ ２ ａ－１ ＜２， （ 其 １ 中 ） 一种方法 ： 就是统一成一个变量 需要 ，
２ ，
解题指导 注意变量的范围 另一种方法就是通过
ａ－ｂ １ 成立 正确 ，
运用消元法与配方法得选项 正确 运用 ∴２ ＞ ，Ｂ ； 拆 添项或配凑法构造出基本不等式的形
Ａ ， ２ 、
不等式的性质与指数函数的性质得选项 式 利用基本不等式求解．
对于 选项 ａｂ １ ａ ｂ ，
正确 运用基本不等式 对数运算的性 Ｃ ，∵０＜ ≤ ， ＞０， ＞０， 总结提升 利用基本不等式求最值 设
Ｂ ， 、 ４ （２） ： ，
质
本
与
不
对
等
数
式
函
及
数
不
的
等
性
式
质
性
得
质
选
得选
项
项
Ｃ 错
正
误
确
， 用
．
基 ∴ｌｏｇ２ ａ ＋ｌｏｇ２ ｂ ＝ｌｏｇ２（ ａｂ ）≤ｌｏｇ２ １
４
＝－２，Ｃ ａ
ａ
， ｂ
ｂ
∈
时
（０，
取
＋∞
等
）
号
， 则
．一
ａ ＋
般
ｂ ≥
地
２ ａｂ
已
（ 当
知
且
ａ
仅
ｂ
当
Ｄ 不正确 ＝ ， ） ，① ， ∈
； 若ａ ｂ Ｐ 定值 当且仅当ａ
解题过程 对于 选项 ａ ｂ ２ ａ ｂ ａｂ （０，＋∞）， ＋ ＝ （ ）， ＝
Ｄ ，∵（ ＋ ） ＝ ＋ ＋２ ＝
∵
ａ
＞０，
ｂ
＞０，
ａ
＋
ｂ
＝１，∴０＜
ａ
＜１，０＜
ｂ
＜１，
ｂ
＝ ａｂ ａ ｂ ａ ｂ 成立
ｂ时
，
积ａｂ有最大值
，
是 １ Ｐ２
；②
已知ａ
，
ｂ
ａ．ａｂ
(ａ
＋
ｂ)
２ １ ．
１＋
正
２
确．故
≤
选
１＋ ＋
．
＝２，∴ ＋ ≤ ２ ，
若ａｂ Ｓ 定
４
值 当且仅当ａ
１－ ≤ ＝ Ｄ ＡＢＤ ∈（０，＋∞）， ＝ （ ），
２ ４ ｂ时 和ａ ｂ有最小值 是 Ｓ．
对于 选项 ａ２ ｂ２ ａ２ ａ ２ ａ２ ａ ＝ ， ＋ ， ２
Ａ ， ＋ ＝ ＋（１－ ） ＝２ －２
３６ ５年高考３年模拟 Ａ版（教师用书）专题二 不等式 ３７
真题多维细目表
考题 涉分 题型 难度 考点 考向 解题方法 核心素养
多项
２０２０新高考Ⅰ，１１ 中 不等式的概念和性质 比较大小 逐项判断法 数学运算
５ 选择题
２０２０课标Ⅰ，文１３，理１３ 填空题 中 简单的线性规划 求线性目标函数的最值 数形结合法 数学运算
５
配凑法
２０２０天津，１４ 填空题 易 基本不等式 利用基本不等式求最值 数学运算
５ 公式法
命题规律与探究
．从近几年高考情况来看 本专题内容的考题以容易题为主 主要以选择题或填空题的形式出现 分值为 分．
１ ， ， ， ５
．本专题内容在高考试题中多以函数 不等式等知识为载体 用基本不等式解决求最值问题 如 年新高考 卷第 题
２ 、 ， （ ２０２０ Ⅰ １１ 、
年天津卷第 题 ．
２０２０ １４ ）
．在与集合的交 并 补集运算结合的问题中 常需要求出不等式的解集 如 年课标 卷理数第 题．
３ 、 、 ， ， ２０２０ Ⅰ ２
．本章重点考查的核心素养为数学运算．
４
命题变化与趋势
．考查不等式的性质 不等式的解法 基本不等式 形式比较稳定 新高考中 本专题内容变化较大 删除了简单的线性规划 新课
１ 、 、 ， ， ， ， （
程标准 因此高考对不等式的概念和性质以及不等式的解法的考查力度会加大．
），
．建议复习时以基础题为主 同时要注意不等式与其他章节知识的综合 这部分难度相对较大 比较有区分度 但从近几年考题
２ ， ， ， ，
分析 总体上高考在这一章考查形式比较稳定 复习有章可循．
， ，
真题典例
核心考点 不等式的性质及基本不等式 量的范围． 正 二定 三相等 的原则．
、 、 ”
的应用． ．在用基本不等式求最值时 忽略等号 思想方法 求解有两个变量的最值问
２ ，
储备知识 ．基本不等式． 成立的条件． 题 其中一个方法就是统一成一个变
１ ，
．二次函数求最值． 方法总结 利用基本不等式求最值时 量 需要注意变量的范围 另一个方法
２ ， ， ；
．指数 对数的运算性质． 要熟悉利用拆 添项或配凑因式 构造 就是通过拆 添项或配凑法构造出基本
３ 、 、 ， 、
易错警示 ．在统一一个变量时 忽略变 基本不等式形式的技巧 同时注意 一 不等式的形式．
１ ， ， “
３８ ５年高考３年模拟 Ａ版（教师用书）
２．１ 不等式及其解法
§
有关分式的性质 若ａ ｂ ｍ 则
（２） ： ＞ ＞０， ＞０，
ｂ ｂ ｍ ｂ ｂ ｍ
＋ － ｂ ｍ ．
（ｉ） ａ ＜ａ ｍ； ａ ＞ａ ｍ（ － ＞０）
＋ －
考点一 不等式的性质 ａ ａ ｍ ａ ａ ｍ
＋ － ｂ ｍ ．
１．不等式的基本性质 （ｉｉ） ｂ ＞ｂ ｍ； ｂ ＜ｂ ｍ（ － ＞０）
＋ －
性质 内容 注意
考点二 不等式的解法
对称性 ａ ｂ ｂ ａ １．一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的
＞ ⇔ ＜ ⇔
关系
传递性 ａ ｂ ｂ ｃ ａ ｃ
＞ ， ＞ ⇒① ＞ ⇒
判别式
可加性 ａ ｂ ａ ｃ ｂ ｃ
＞ ⇔ ＋ ＞ ＋ ⇔ Δ Δ Δ
Δ ｂ２ ａｃ ＞０ ＝０ ＜０
ａ ｂ} ＝ －４
＞ ａｃ ｂｃ
ｃ ⇒ ＞
可乘性 ② ＞０ ｃ的符号
ａ ｂ} ④ 二次函数 ｙ ＝
ｃ ＞ ⇒ ａｃ ＜ ｂｃ ａｘ２ ＋ ｂｘ ＋ ｃ（ａ ＞０ ）
③ ＜０ 的图象
ａ ｂ}
同向可加性 ＞ ａ ｃ ｂ ｄ
ｃ ｄ ⇒ ＋ ＞ ＋ ⇒
＞
一元二次方程 有两个相异实 有两个相等实
同向同正 ａ ｂ }
可乘性 ｃ
＞
ｄ
＞０
⇒⑤
ａｃ
＞
ｂｄ
⇒
ａｘ２
＋
ｂｘ
＋
ｃ
＝０
（ａ 根 ｘ
１，
ｘ
２（
ｘ
１ ＜ 根ｘ ｘ
ｂ 没有实根
＞ ＞０ ）的根 ｘ １＝ ２＝－ ａ
可乘方性 ａ ｂ ａｎ ｂｎ ｎ Ｎ ｎ ＞０ ２） ２
＞ ＞０⇒ ＞ （ ∈ ， ≥２）
可开方性
ａ
＞
ｂ
＞０⇒⑥
ｎａ
＞
ｎｂ 同正 ａｘ２
＋
ｂｘ
＋
ｃ
＞０
（ａ
＞ ⑧
｛ｘ
｜
ｘ
＜
ｘ
１
或ｘ {
ｘ ｘ
ｂ }
Ｒ
ｎ Ｎ∗ ｎ ）的解集 ｘ ｝ ≠－ ａ
（ ∈ ， ≥２） ０ ＞ ２ ２
２．两个实数比较大小的方法
{ａ － ｂ ＞０⇔ ａ ＞ ｂ ， ａｘ２ ＋ ｂｘ ＋ ｃ ＜０ （ａ ＞ ⑨ ｛ｘ ｜ ｘ １＜ ｘ ＜
（１）
作差法
（
ａ
，
ｂ
∈
Ｒ
）：
ａ
－
ｂ
＝０⇔
ａ
＝
ｂ
， ０
）的解集 ｘ
２
｝ ⌀ ⌀
ａ ｂ ａ ｂ．
－ ＜０⇔ ＜ 在不等式ａｘ２ ｂｘ ｃ ａ 中 如果二次项系数ａ 则可
ìａ ＋ ＋ ＞０（ ≠０） ， ＜０，
ï ａ ｂ 先根据不等式的性质 将其转化为正数 再对照上表求解．
ïｂ ＞１⇔ ＞ ， ， ，
２．分式不等式的解法
ïａ
作商法 ａ Ｒ ｂ í ａ ｂ ｆ ｘ
（２） （ ∈ ， ＞０）：ïｂ ＝１⇔ ＝ ， （ ） ｆ ｘ ｇ ｘ
（１）ｇ ｘ ＞０（＜０）⇔（ ）· （ ）＞０（＜０）；
ïａ （ ）
ï ａ ｂ． ｆ ｘ {ｆ ｘ ｇ ｘ
îｂ ＜１⇔ ＜ （ ） （ ）· （ ）⑩ ≥ ０（≤０），
（２）ｇ ｘ ≥０（≤０）⇔ ｇ（ｘ） ．
３．不等式的倒数和分式性质 （ ） ≠０
３．绝对值不等式的解法
（１） 倒数性质 ：（ｉ） ａ ＞ ｂ ， ａｂ ＞０⇒⑦ １ ａ ＜ １ ｂ ； （１）｜ ｆ （ ｘ ）｜＞｜ ｇ （ ｘ ）｜⇔［ ｆ （ ｘ ）］ ２ ＞［ ｇ （ ｘ ）］ ２ ；
ｆ ｘ ｇ ｘ ｆ ｘ ｇ ｘ 或ｆ ｘ ｇ ｘ
（２）｜ （ ）｜＞ （ ）⇔（ ）＞ （ ） （ ）＜－ （ ）；
ａ ｂ １ １ ．
（ｉｉ） ＜０＜ ⇒ ａ ＜ ｂ （３）｜ ｆ （ ｘ ）｜＜ ｇ （ ｘ ）⇔－ ｇ （ ｘ ）＜ ｆ （ ｘ ）＜ ｇ （ ｘ ）；
含两个或两个以上绝对值符号的不等式可用零点分区
（４）
间的方法脱去绝对值符号求解 也可以用图象法求解．
，
ａ ｂ ａ ｂ
Ｃ． ｄ ＞ ｃ Ｄ． ｄ ＜ ｃ
答案 Ｄ
考点一 不等式的性质 ２．已知ａ ａ 记Ｍ ａ ａ Ｎ ａ ａ 则Ｍ与Ｎ的大
１， ２∈（０，１）， ＝ １ ２， ＝ １＋ ２－１，
１．若ａ ｂ ｃ ｄ 则一定有 小关系是
＞ ＞０， ＜ ＜０， （ ） （ ）
ａ ｂ ａ ｂ Ｍ Ｎ Ｍ Ｎ
Ａ． ＜ Ｂ． ＞
Ａ． ｃ ＞ ｄ Ｂ． ｃ ＜ ｄ Ｍ Ｎ 不确定
Ｃ． ＝ Ｄ．
答案 Ｂ
专题二 不等式 ３９
３．已知ｘ ｙ ｚ ｘ ｙ ｚ 则下列不等式成立的是 { }
＞ ＞ ， ＋ ＋ ＝０， （ ） 不等式 ｘ２ ｘ 的解集是 ｘ ｘ ２ 或ｘ １
ｘｙ ｙｚ ｘｚ ｙｚ Ｂ． －６ － ＋２≤０ ≤－ ≥
Ａ． ＞ Ｂ． ＞ ３ ２
ｘｙ ｘｚ ｘ ｙ ｚ ｙ 若不等式ａｘ２ ａｘ 的解集是 ｘ ｘ 则ａ的值
Ｃ． ＞ Ｄ． ｜ ｜＞ ｜ ｜ Ｃ． ＋８ ＋２１＜０ ｛ ｜－７＜ ＜－１｝，
答案 Ｃ 是
３
若关于ｘ的不等式ｘ２ ｐｘ 的解集是 ｑ 则ｐ ｑ的值
Ｄ． ＋ －２＜０ （ ，１）， ＋
考点二 不等式的解法 为
－１
４．不等式ｘ２ ｘ 的解集为 答案 ＢＣＤ
＋２ －３≥０ （ ）
ｘ ｘ 或ｘ ｘ ｘ ７．（多选题）已知关于ｘ的不等式ｋｘ２ ｘ ｋ ｋ 则下列
Ａ．｛ ｜ ≤－３ ≥１｝ Ｂ．｛ ｜－１≤ ≤３｝ －２ ＋６ ＜０（ ≠０），
ｘ ｘ 或ｘ ｘ ｘ 说法正确的是
Ｃ．｛ ｜ ≤－１ ≥３｝ Ｄ．｛ ｜－３≤ ≤１｝ （ ）
答案 Ａ
若不等式的解集为 ｘ ｘ 或ｘ 则ｋ ２
５．若关于ｘ的不等式ａｘ２ ｂｘ 的解集是 ｘ ｘ 则不等 Ａ． ｛ ｜ ＜－３ ＞－２｝， ＝－
＋ －１＞０ ｛ ｜１＜ ＜２｝， ５
式ｂｘ２ ａｘ 的解集是 { }
＋ －１＜０ （ ） 若不等式的解集为 ｘ ｘ Ｒ ｘ １ 则ｋ ６
{ } { } Ｂ． ∈ ， ≠ ｋ ， ＝
ｘ ｘ ２ ｘ ｘ 或ｘ ２ ６
Ａ． －１＜ ＜ Ｂ． ＜－１ ＞
３ ３
{ } { } 若不等式的解集为Ｒ 则ｋ ６
Ｃ． ， ＜－
ｘ ２ ｘ ｘ ｘ ２ 或ｘ ６
Ｃ． － ＜ ＜１ Ｄ． ＜－ ＞１
３ ３
答案 Ｃ 若不等式的解集为 则ｋ ６
Ｄ． ⌀， ≥
６．（多选题）下列说法正确的是 ６
（ ） 答案 ＡＣＤ
不等式 ｘ２ ｘ 的解集是 ｘ ｘ 或ｘ
Ａ． ２ － －１＞０ ｛ ｜ ＞２ ＜１｝
４．（２０１９广东清远期末，１０）已知 １ １ 给出下列三个结
ａ ＜ ｂ ＜０，
ｂ ａ
论 ａ２ ｂ２ ａ２ ａｂ ．正确结论的序号是
考点一 不等式的概念和性质 ：① ＜ ；② ａ ＋ ｂ ＞２；③ｌｇ ＞ｌｇ（ ）
１．（２０１９福建厦门期末，３）实数ｘ ｙ满足ｘ ｙ 则下列不等式成 （ ）
， ＞ ，
立的是 Ａ．①② Ｂ．①③
（ ）
ｙ ｘ ｙ Ｃ．②③ Ｄ．①②③
－ －
Ａ． ｘ ＜１ Ｂ．２ ＜２ 答案 Ａ 因为 １ １ 所以ｂ ａ ．
ａ ＜ ｂ ＜０， ＜ ＜０
ｘ ｙ ｘ２ ｙ２
Ｃ．
答
ｌｇ（
案
－ ）
Ｂ
＞０
由ｘ ｙ 得 ｘ ｙ
Ｄ
指
．
数
＞
函数ｙ ｘ 是定义域Ｒ上 ①
ａ２
－
ｂ２
＝（
ａ
＋
ｂ
）（
ａ
－
ｂ
）＜０，
所以ａ２
＜
ｂ２
，
正确
；
＞ ， － ＜－ ， ＝２ ｂ ａ
的单调递增函数 ， 所以 ２ － ｘ ＜２ － ｙ ， 故选 Ｂ． ② 因为ａ ， ｂ同号 ， 且ａ ≠ ｂ ， 所以 ａ ＋ ｂ ＞２， 正确 ；
２．已知实数ａ ＝ ｌｎ２ ， ｂ ＝ ｌｎ３ ， ｃ ＝ ｌｎ５ ， 则ａ ， ｂ ， ｃ的大小关系是 ③ ａ２ － ａｂ ＝ ａ （ ａ － ｂ ）＜０， 所以ａ２ ＜ ａｂ ，
２ ３ ５ 所以 ａ２ ａｂ 错误．
ｌｇ ＜ｌｇ（ ），
（ ） ｂ２ ａ２
５．若ａ ｂ 则ｐ 与ｑ ａ ｂ的大小关系为 ．
ａ ｂ ｃ ｃ ａ ｂ ｃ ｂ ａ ｂ ａ ｃ ＜０， ＜０， ＝ ａ ＋ ｂ ＝ ＋
Ａ． ＜ ＜ Ｂ． ＜ ＜ Ｃ． ＜ ＜ Ｄ． ＜ ＜
答案 ｐ ｑ
答案 Ｂ ｂ ａ ｌｎ３ ｌｎ２ ２ｌｎ３－３ｌｎ２ ｌｎ９－ｌｎ８ ≤
∵ － ＝
３
－
２
＝
６
＝
６
＞０，
解析
(ｂ２ ａ２ )
ａ ｂ
(ｂ２
ａ
) (ａ２
ｂ
) (
１ １
)
ｂ２
ａ ＋ ｂ －（ ＋ ）＝ ａ － ＋ ｂ － ＝ ａ － ｂ （
ｂ ａ 又ａ ｃ ｌｎ２ ｌｎ５ ５ｌｎ２－２ｌｎ５ ｌｎ３２－ｌｎ２５
∴ ＞ ； － ＝ － ＝ ＝ ＞０， ｂ ａ ２ ｂ ａ
２ ５ １０ １０ ａ２ （ － ） （ ＋ ）
ａ ｃ ｂ ａ ｃ 即ｃ ａ ｂ．选 － ）＝ ａｂ ，
∴ ＞ ，∴ ＞ ＞ ， ＜ ＜ Ｂ．
３．（２０１９河北衡水第十三中学质检（四），５）设ｂ ａ ｃ Ｒ 则 又ａ ｂ 所以ｂ ａ ａｂ ｂ ａ ２
＞ ＞０， ∈ ， ＜０， ＜０， ＋ ＜０， ＞０，（ － ） ≥０，
下列不等式中不一定成立的是 (ｂ２ ａ２ )
（ ） 所以 ａ ｂ 所以ｐ ｑ．
ａ ＋ ｂ －（ ＋ ）≤０， ≤
ａ１ ２ ｂ１ ２ １ ｃ １ ｃ
Ａ． ＜ Ｂ． ａ － ＞ ｂ －
考点二 不等式的解法
ａ ａ
＋２ ａｃ２ ｂｃ２ １．（２０１９上海复旦附中４月模拟，１３）下列不等式中 与不等式
Ｃ．ｂ ＞ ｂ Ｄ． ＜ ，
＋２
ｘ
答案 Ｄ 因为ｙ ＝ ｘ１ ２在 （０，＋∞） 上是增函数 ， 所以ａ１ ２ ＜ ｂ１ ２． －３ ｘ≥０ 同解的是 （ ）
２－
因为ｙ ＝ １ ｘ － ｃ在 （０，＋∞） 上是减函数 ， 所以 １ ａ － ｃ ＞ １ ｂ － ｃ． Ａ．（ ｘ －３）（２－ ｘ ）≥０ Ｂ．（ ｘ －３）（２－ ｘ ）＞０
ｘ ｘ
２－ ３－
ａ ａ ｂ ａ ａ ａ Ｃ．ｘ ≥０ Ｄ．ｘ ≥０
因为 ＋２ ２（ － ） 所以 ＋２ ． －３ －２
ｂ － ｂ ＝ ｂ ｂ＞０， ｂ ＞ ｂ ｘ ｘ ｘ
＋２ （ ＋２） ＋２ 答案 Ｄ 不等式 －３ 等价于－（３－ ） ３－ 故选 ．
当ｃ 时 ａｃ２ ｂｃ２ 所以 不成立 选 ｘ≥０ ｘ ＝ｘ ≥０， Ｄ
＝０ ， ＝ ， Ｄ ， Ｄ． ２－ －（ －２） －２
４０ ５年高考３年模拟 Ａ版（教师用书）
２．（２０１９湖北黄冈元月调研，３）关于ｘ的不等式ａｘ ｂ 的解集 ｘ ｘ ．故选
＋ ＞０ ｛ ｜１＜ ＜２｝ Ｃ．
是 则关于ｘ的不等式 ａｘ ｂ ｘ 的解集是 ３．（２０２０黑龙江哈尔滨三中第二次调研，８）已知函数 ｆ ｘ
（１，＋∞）， （ ＋ ）（ －２）＜０ （ ）＝
( )ｘ
（ ） １ 则不等式ｆ ａ２ ｆ ａ 的解集为
， （ －４）＞（３ ） （ ）
Ａ．（－∞，１）∪（２，＋∞） Ｂ．（－１，２） ２
Ｃ．（１，２） Ｄ．（－∞，－１）∪（２，＋∞） Ａ．（－４，１） Ｂ．（－１，４） Ｃ．（１，４） Ｄ．（０，４）
答案 Ｃ 关于ｘ的不等式ａｘ ｂ 的解集是 ( )ｘ
∵ ＋ ＞０ （１，＋∞）， 答案 Ｂ 因为函数ｆ ｘ １ 在定义域Ｒ上为减函数
ｂ （ ）＝ ，
ａ 且 关于 ｘ 的不等式 ａｘ ｂ ｘ 可化为 ２
∴ ＞０， － ａ ＝１， （ ＋ ）（ －２）＜０ 所以由ｆ ａ２ ｆ ａ 可得ａ２ ａ 整理得ａ２ ａ 解
（ －４）＞（３ ）， －４＜３ ， －３ －４＜０，
( ｂ ) 得 ａ 所以不等式的解集为 ．故选 ．
ｘ ｘ 即 ｘ ｘ 不等式的解集为 －１＜ ＜４， （－１，４） Ｂ
＋ ａ （ －２）＜０， （ －１）（ －２）＜０，∴
例 （２０１８湖南衡阳一模，４）若ａ ｂ ｃ为实数 且ａ ｂ
， ， ， ＜ ＜０，
则下列结论正确的是
（ ）
ｂ ａ
考法一 不等式性质的应用 ａｃ２ ｂｃ２ １ １ ａ２ ａｂ ｂ２
Ａ． ＜ Ｂ． ａ ＜ ｂ Ｃ． ａ ＞ ｂ Ｄ． ＞ ＞
例１ （多选题）（２０２０ 山东泰安期末，６）已知ａ ｂ ｃ ｄ
， ， ， 解析 选项 ， ｃ为实数， 取ｃ ，得ａｃ２ ，ｂｃ２ ，此
均为实数 则下列命题正确的是 Ａ ∵ ∴ ＝０ ＝０ ＝０
， （ ） ｂ ａ
若ａ ｂ ｃ ｄ 则ａｃ ｂｄ 时ａｃ２ ｂｃ２，故选项 不正确；选项 ， １ １ － ， ａ ｂ ，
Ａ． ＞ ， ＞ ， ＞ ＝ Ａ Ｂ ａ － ｂ ＝ ａｂ ∵ ＜ ＜０
ｃ ｄ
若ａｂ ｂｃ ａｄ 则 ｂ ａ
Ｂ． ＞０， － ＞０， ａ － ｂ ＞０ ｂ ａ ，ａｂ ， － ，即１ １，故选项 不正确；选项 ，
∴ － ＞０ ＞０ ∴ ａｂ＞０ ａ ＞ ｂ Ｂ Ｃ ∵
若ａ ｂ ｃ ｄ 则ａ ｄ ｂ ｃ
Ｃ． ＞ ， ＞ ， － ＞ － ｂ ａ ｂ ａ
ａ ｂ ａ ｂ ， 取ａ ，ｂ ，则 －１ １， ，此时 ，故
若ａ ｂ ｃ ｄ 则 ＜ ＜０ ∴ ＝－２ ＝－１ ａ ＝ ＝ ｂ ＝２ ａ ＜ ｂ
Ｄ． ＞ ， ＞ ＞０， ｄ ＞ ｃ －２ ２
选项 不正确；选项 ， ａ ｂ ， ａ２ ａｂ ａ（ａ ｂ） ， ａ２ ａｂ，又
解题导引 观察本题条件与选项的特点 能想到考点清单 Ｃ Ｄ ∵ ＜ ＜０ ∴ － ＝ － ＞０ ∴ ＞
， ａｂ ｂ２ ｂ（ａ ｂ） ， ａｂ ｂ２，故选项 正确，故选
∵ － ＝ － ＞０ ∴ ＞ Ｄ Ｄ．
中的哪个知识点 能否想到不等式的性质及数比较大小的方
？ 答案 Ｄ
法 作为选择题还可以用特值法求解．
？
解析 对于 ，若ａ ｂ， ｃ ｄ，则ａｃ ｂｄ，故 不正确； 考法二 不等式的解法
Ａ ＞０＞ ０＞ ＞ ＜ Ａ
对于 Ｂ ，若ａｂ ＞０ ，ｂｃ － ａｄ ＞０ ，则 ｂｃ ａ － ｂ ａｄ ＞０ ，化简得 ａ ｃ － ｄ ｂ ＞０ ，故 例２ 已知不等式ａｘ２ ＋ ｂｘ ＋ ｃ ＞０ 的解集是 ｛ ｘ ｜ α ＜ ｘ ＜ β ｝（ α ＞
则不等式ｃｘ２ ｂｘ ａ 的解集是
正确； ０）， ＋ ＋ ＜０ （ ）
Ｂ { } { }
对于 ，若ｃ ｄ，则 ｄ ｃ，又ａ ｂ，则ａ ｄ ｂ ｃ，故 正确，此 ｘ １ ｘ １ ｘ ｘ １ 或ｘ １
Ｃ ＞ － ＞－ ＞ － ＞ － Ｃ Ａ． β ＜ ＜α Ｂ． ＜ β ＞α
时用到了不等式的同向可加性；
ｘ α ｘ β ｘ ｘ α或ｘ β
ａ ｂ ａ Ｃ．｛ ｜ ＜ ＜ ｝ Ｄ．｛ ｜ ＜ ＞ ｝
对于 ，若ａ ，ｂ ，ｃ ，ｄ ，则 ， ， 解题导引 由题设可知ａ 且α β是方程ａｘ２ ｂｘ ｃ 的
Ｄ ＝－１ ＝－２ ＝２ ＝１ ｄ ＝－１ ｃ ＝－１ ｄ ＝ ＜０， ， ＋ ＋ ＝０
ì ｂ
ｂ ï α β
，故 不正确．故选 ï－ ａ ＝ ＋ ，
ｃ ＝－１ Ｄ ＢＣ． 两根 由根与系数的关系可得出í 注意ｃ 再把方程
， ïｃ ＜０，
答案 ＢＣ ï αβ
îａ ＝ ，
ｃｘ２ ｂｘ ａ 的根用α β表示出来即可求得结果．
＋ ＋ ＝０ ，
例 （２０１９北京一零一中学高一第二次统练，１）已知ａ
，
解析 由不等式ａｘ２
＋
ｂｘ
＋
ｃ
＞０
的解集是｛ｘ
｜
α
＜
ｘ
＜
β｝（α
＞０
），
ｂ ， ｃ满足ｃ ＜ ｂ ＜ ａ ， 且ａｃ ＜０， 那么下列选项中不一定成立的是 得α，β是一元二次方程ａｘ２ ＋ ｂｘ ＋ ｃ ＝０ 的实数根，且ａ ＜０ ， ∴ α ＋ β ＝
ａｂ ａｃ ｃ ｂ ａ
（ ）
－ ａ
ｂ ，αβ
＝ ａ
ｃ ．不等式 ｃｘ２
＋
ｂｘ
＋
ａ
＜０
可化为
ａ
ｃ ｘ２
＋ ａ
ｂ ｘ
＋１＞０
，
Ａ． ＞ Ｂ． （ － ）＞０
ｃｂ２ ａｂ２ ａｃ ａ ｃ
Ｃ． ＜ Ｄ． （ － ）＜０ αβｘ２ （α β）ｘ ，化为（αｘ ）（βｘ ） ，又 α β， １
解析 ｃ ｂ ａ，ａｃ ， ａ ，ｃ ， ∴ － ＋ ＋１＞０ －１ －１ ＞０ ０＜ ＜ ∴ α ＞
∵ ＜ ＜ ＜０ ∴ ＞０ ＜０
对于 Ａ ， ∵ ｂ ＞ ｃ，ａ ＞０ ， ∴ ａｂ ＞ ａｃ， β １ ＞０ ， ｃ ＝ ａαβ ＜ ０ ， ∴ 不等式 ｃｘ２ ＋ ｂｘ ＋ ａ ＜ ０ 的解集为
对于 ， ｂ ａ ，ｃ ， ｃ（ｂ ａ） ，
Ｂ ∵ － ＜０ ＜０ ∴ － ＞０ { }
对于 ， ａｃ ，ａ ｃ ， ａｃ（ａ ｃ） ， ｘ ｘ １ 或ｘ １ ，故选 ．
Ｄ ∵ ＜０ － ＞０ ∴ － ＜０ ＜ β ＞α Ｂ
对于 ，当ｂ 时，ｃｂ２ ａｂ２ ，故 不一定成立．
Ｃ ＝０ ＝ ＝０ Ｃ 答案 Ｂ
答案 Ｃ
专题二 不等式 ４１
例３ 解关于ｘ的不等式ａｘ２
－２≥２
ｘ
－
ａｘ
（
ａ
∈
Ｒ
）
． 当ａ
＝－２
时，不等式的解集为｛
－１
｝；
{ }
解析 原不等式可化为ａｘ２ （ａ ）ｘ ． 当ａ 时，不等式的解集为 ｘ ｘ ２ ．
＋ －２ －２≥０ ＜－２ －１≤ ≤ ａ
当ａ 时，原不等式可化为 ｘ ，即ｘ ，解得ｘ
① ＝０ －２ －２≥０ ＋１≤０ 方法总结 １．若一元二次不等式ａｘ２ ｂｘ ｃ 或 的解
． ＋ ＋ ＞０（ ＜０）
≤－１
( ) 集为 ｘ ｘ ｘ 或ｘ ｘ ｘ ｘ 则ａ 或ａ Δ 且ｘ ｘ
当ａ 时，原不等式可化为 ｘ ２ （ｘ ） ，解得ｘ ｛ ｜ ＞ ２ ＜ １｝（ １＜ ２）， ＞０（ ＜０）， ＞０ １， ２
② ＞０ － ａ ＋１ ≥０ ≥ 是方程ａｘ２ ｂｘ ｃ ａ 的两个实根 若一元二次不等式ａｘ２
＋ ＋ ＝０（ ≠０） ； ＋
ｂｘ ｃ 或 的解集为 ｘ ｘ ｘ ｘ ｘ ｘ 则ａ 或ａ
２ 或ｘ ． ＋ ＞０（ ＜０） ｛ ｜ １＜ ＜ ２｝（ １＜ ２）， ＜０（ ＞０），
ａ ≤－１ Δ 且ｘ ｘ 是方程ａｘ２ ｂｘ ｃ ａ 的两个实根．
＞０ １， ２ ＋ ＋ ＝０（ ≠０）
( ) ２．含有参数的不等式的求解 往往需要对参数进行分类讨
当ａ 时，原不等式可化为 ｘ ２ （ｘ ） ． ，
③ ＜０ － ａ ＋１ ≤０ 论．常遵循如下讨论层次 先看二次项系数 再看是否有根 实质
， 、 （
是看判别式的符号 最后在有根的情况下再比较根的大小．具
当 ２ ，即ａ 时，解得 ｘ ２ ； ）、
ａ ＞－１ ＜－２ －１≤ ≤ ａ 体分类按如下两种情况讨论
：
当 ２ ａ ＝－１ ，即ａ ＝－２ 时，解得ｘ ＝－１ 满足题意； （１） 若二次项系数为常数 ， 首先确定二次项系数是不是正
数 再考虑分解因式 对参数进行分类讨论 若不易分解因式 则
， ， ， ，
当 ２ ，即 ａ 时，解得 ２ ｘ ． 可依据判别式符号进行分类讨论
ａ ＜－１ －２＜ ＜０ ａ ≤ ≤－１ ；
若二次项系数为参数 则应先考虑二次项系数是不是
综上所述，当ａ 时，不等式的解集为｛ｘ ｘ ｝； （２） ，
＝０ ｜ ≤－１ 零 确定不等式是不是二次不等式 然后再讨论二次项系数不为
{ } ， ，
当ａ 时，不等式的解集为 ｘ ｘ ２ 或ｘ ； 零的情形 以便确定解集．
＞０ ≥ ａ ≤－１ ，
{ }
当 ａ 时，不等式的解集为 ｘ ２ ｘ ；
－２＜ ＜０ ａ ≤ ≤－１
答案 Ｄ
考法二 不等式的解法
考法一 不等式性质的应用 ４．（２０２０北京昌平高考模拟，５）已知关于ｘ的不等式ａｘ ｂ
－ ≤０
１．（２０２０山东日照校际联考，３）已知ａ ｂ ｃ 则下列不等式 的解集是 则关于ｘ的不等式ａｘ２ ａ ｂ ｘ ｂ 的
＞ ＞０， ＞１， ［２，＋∞）， ＋（３ － ） －３ ＜０
成立的是 解集是
（ ） （ ）
ａ ｂ ａｃ ｂｃ
Ａ．ｌｎ ＜ｌｎ Ｂ． ＜ Ａ．（－∞，－３）∪（２，＋∞） Ｂ．（－３，２）
ｃ ｃ
ｃａ ｃｂ －１ －１ Ｃ．（－∞，－２）∪（３，＋∞） Ｄ．（－２，３）
Ｃ． ＞ Ｄ． ｂ ＜ ａ 答案 Ａ
答案 Ｃ ５．（２０１９广东梅州３月模拟，６）关于ｘ的不等式ｘ２ ｍ ｘ
－（ ＋２） ＋
２．（多选题）（２０２０山东滨州三校联考，４）设ａ ｂ ｂ ｍ 的解集中恰有 个正整数 则实数ｍ的取值范围为
＞１＞ ＞－１， ≠０， ２ ＜０ ３ ，
则下列不等式中恒成立的是
（ ） （ ）
１ １ １ １ ａ ｂ２ ａ２ ｂ２ Ａ．（５，６］ Ｂ．（５，６） Ｃ．（２，３］ Ｄ．（２，３）
Ａ． ａ ＜ ｂ Ｂ． ａ ＞ ｂ Ｃ． ＞ Ｄ． ＞ 答案 Ａ
答案 ＣＤ ６．（２０２０浙江慈溪期中，１３）已知ａ
，
ｂ
，
ｃ
∈
Ｒ
，
若
｛
ｘ
｜
ａｘ２
＋
ｂｘ
＋
ｃ
＞０｝
３．（２０２０北京顺义期末检测，５）若ｂ
＞
ａ
＞１，
则下列不等式一定正
＝｛
ｘ
｜１＜
ｘ
＜２｝，
则ａ
０（
填
“＜”“＞”
或
“＝”）
．若记
｛
ｘ
｜
ｃｘ２
确的是 ｂｘ ａ Ｐ 则 Ｐ 用描述法表示集合 ．
（ ） ＋ ＋ ＜０｝＝ ， ∁Ｒ ＝ （ ）
ａｂ ａ ｂ { }
Ａ． ＞２ Ｂ． ＋ ＜２ 答案 ｘ １ ｘ
ｂ ａ ＜； ≤ ≤１
１ １ ２
Ｃ． ａ ＜ ｂ Ｄ． ａ ＋ ｂ ＞２
ａ ｂ时 １ １ 错误．对于 当ａ ｂ 时 ａｂ ｂ２
＜０＜ ， ａ ＜ ｂ ，∴ Ｂ Ｃ， ＜ ＜０ ， ＞ ，∴ Ｃ
错误．对于 ｆ ｘ ｘ３ 在Ｒ上是增函数 且ａ ｂ ａ３ ｂ３ 即
Ｄ，∵ （ ）＝ ， ＜ ，∴ ＜ ，
考法一 不等式性质的应用 ａ３ ｂ３ 正确．故选 ．
－ ＜０，∴ Ｄ Ｄ
１．已知非零实数ａ ｂ满足ａ ｂ 则下列不等式中一定成立的是 ２．（２０１９新疆昌吉教育共同体联考，３）若ａ ｂ 则下列不等式
， ＜ ， ＜ ＜０，
关系中 不能成立的是
（ ） ， （ ）
∙∙
ａ ｂ １ １ １ １ １ １ ａ２ ３ ｂ２ ３ １ １
Ａ． ＋ ＞０ Ｂ． ａ ＞ ｂ Ａ． ａ ＞ ｂ Ｂ． ａ ＞ａ
－
ｂ Ｃ． ＞ Ｄ．ａ２＞ｂ２
ａｂ ｂ２ ａ３ ｂ３
Ｃ． ＜ Ｄ． － ＜０ 答案 Ｄ ａ ｂ １ １ 故 项正确
答案 Ｄ 对于 当ａ ｂ 时 ａ ｂ 错误．对于 当 ∵ ＜ ＜０，∴ ａ ＞ ｂ ， Ａ ；
Ａ， ＜ ＜０ ， ＋ ＜０，∴ Ａ Ｂ，
４２ ５年高考３年模拟 Ａ版（教师用书）
ａ ｂ ａ ｂ ａ ｂ ａ 将ａ ａ ｂ两边同时除以ａ ａ ｂ 可 的运用，考查运算能力，属于基础题．
∵ ＜ ＜０，∴ － ＜０， － ＞ ， ＜ － （ － ）
５．（２０１９浙江高考数学仿真卷，２）已知 ａ ｂ －０ ． ７ ｃ
得１ １ 故 项正确 根据幂函数的单调性可知 项正确 ＝ｌｏｇ２３， ＝８ ， ＝
ａ ＞ａ ｂ， Ｂ ； ，Ｃ ；
－ １６ 则ａ ｂ ｃ的大小关系是
ｓｉｎ π， ， ， （ ）
ａ ｂ ａ２ ｂ２ 故 １ １ 不成立．故选 ５
∵ ＜ ＜０，∴ ＞ ， ａ２＞ｂ２ Ｄ． ａ ｃ ｂ ａ ｂ ｃ ｂ ａ ｃ ｃ ｂ ａ
Ａ． ＞ ＞ Ｂ． ＞ ＞ Ｃ． ＞ ＞ Ｄ． ＞ ＞
ｃ３ ｃ３ 答案 Ｂ 由题意得ａ ｂ ｃ 所以ａ ｂ ｃ 故选
３．（２０１８河北衡水中学十五模）已知 则下列选项中错 ＞１，０＜ ＜１， ＜０， ＞ ＞ ， Ｂ．
ａ ＜ ｂ ＜０， ６．（２０１８北京东城一模，３）已知ａ ｂ Ｒ 且ａ ｂ 则下列不等式
， ∈ ， ＞ ，
误的是 一定成立的是
（ ） （ ）
Ａ．｜
ｂ
｜＞｜
ａ
｜ Ｂ．
ａｃ
＞
ｂｃ
Ａ．
ａ２
－
ｂ２
＞０ Ｂ．ｃｏｓ
ａ
－ｃｏｓ
ｂ
＞０
ａ ｂ ａ
Ｃ． － ｃ ＞０ Ｄ．ｌｎ ｂ ＞０ Ｃ． １ ａ － １ ｂ ＜０ Ｄ．ｅ － ａ －ｅ － ｂ ＜０
ｃ３ ｃ３ 答案 Ｄ ａ ｂ ａ ｂ．由ｙ ｘ 在Ｒ上单调递增可知
答案 Ｄ 当ｃ 时 １ １ 即ｂ ａ ｂ ∵ ＞ ，∴ － ＜－ ＝ｅ ，
ａ ＜ ｂ ＜０， ＜０ ， ａ ＞ ｂ ＞０， ＞ ＞０，∴ ｜ ｜ － ａ － ｂ － ａ － ｂ 故选 ．
ｅ ＜ｅ ，∴ ｅ －ｅ ＜０， Ｄ
ａ ｂ ａ ａ
ａ ａｃ ｂｃ － 成立 此时 ．同理 当ｃ ７．若 １ １ 则下列结论正确的是
＞｜ ｜， ＞ ， ｃ ＞０ ， ０＜ ｂ ＜１，∴ ｌｎ ｂ ＜０ ， ＞ ａ ＜ ｂ ＜０， （ ）
时 错误．故选 ． ( )ｂ ( )ａ
４．（
０
２０１
，Ｄ
９北京杨镇一
Ｄ
中月考文，４）已知ａ ｂ Ｒ 若ａ ｂ 则 Ａ．
ａ２
＞
ｂ２
Ｂ．１＞
１
＞
１
， ∈ ， ＜ ， ２ ２
ｂ ａ
（ ） ａ ｂ ｂ ａ
ａ ｂ ａｂ ｂ２ Ｃ． ａ ＋ ｂ ＜２ Ｄ． ｅ ＞ ｅ
Ａ． ＜２ Ｂ． ＜
Ｃ． 答 ａ１ ２ 案 ＜ ｂ１ ２ Ｄ ａ ｂ Ｒ 且ａ ｂ 选 Ｄ． 项 ａ３ ＜ ｂ３ 中 若ｂ 则ａ ｂ ｂ 答案 ( Ｄ ) 由 ｘ 题意可得ｂ ＜ ａ ＜０， 则ａ ( ２ ＜ ｂ ) ２ ， ｂ Ａ ( 错误 ) ； ａ
， ∈ ， ＜ ， Ａ ， ＝０， ＜ ＝２ ； 函数ｙ １ 在Ｒ上为减函数 则 １ １ 错误
＝ ， ＞ ＞１，Ｂ ；
若ｂ 则ａ ｂ ｂ 若ｂ 则ｂ ｂ ａ与 ｂ的大小关系无法确 ２ ２ ２
＞０， ＜ ＜２ ； ＜０， ＞２ ， ２
ｂ ａ
定 故 错误．选项 中 若ｂ 则ａｂ ｂ２ 若ｂ 则ａｂ ｂ２ 错误
， Ａ Ｂ ， ＝０， ＝ ； ＞０， ＜ ； ａ ＋ ｂ ＞２，Ｃ ；
若ｂ ＜０， 则ａｂ ＞ ｂ２ ， 故 Ｂ 错误．选项 Ｃ 中 ， 若 ０＜ ａ ＜ ｂ ， 则ａ１ ２ ＜ ｂ１ ２ ， 若 ｂ ａ ａ ｂ ｂ ａ 由不等式同向同正可乘性可
ａ
，
ｂ中有负的
，
则不成立
，
故
Ｃ
错误．选项
Ｄ
中
，
函数ｙ
＝
ｘ３ 在Ｒ ∵
知
＜
ｂ ａ
＜０，
ａ
∴
ｂ
ｅ ＞ｅ
ｂ
＞
ａ
０
ａ
，－
ｂ
＞－
正
＞
确
０，
故选 ．
上单调递增 若ａ ｂ 则ａ３ ｂ３ 故 正确．故选 ． － ｅ ＞－ ｅ ，∴ ｅ ＜ ｅ ，Ｄ ， Ｄ
， ＜ ， ＜ ， Ｄ Ｄ
评析 本题考查两式的大小比较，考查作差法和函数的单调性
考点一 不等式的性质
考点二 不等式的解法
１．（２０１８课标Ⅲ，１２，５分）设ａ ． ｂ ． 则
＝ｌｏｇ０ ． ２０３， ＝ｌｏｇ２０３， （ ） ３．（２０２０浙江，９，４分）已知ａ ｂ Ｒ且ａｂ 对于任意ｘ 均
ａ ｂ ａｂ ａｂ ａ ｂ ， ∈ ≠０， ≥０
Ａ． ＋ ＜ ＜０ Ｂ． ＜ ＋ ＜０
有 ｘ ａ ｘ ｂ ｘ ａ ｂ 则
ａ ｂ ａｂ ａｂ ａ ｂ （ － ）（ － ）（ －２ － ）≥０， （ ）
Ｃ． ＋ ＜０＜ Ｄ． ＜０＜ ＋
答案 Ｂ Ａ． ａ ＜０ Ｂ． ａ ＞０ Ｃ． ｂ ＜０ Ｄ． ｂ ＞０
答案 Ｃ
２．（２０１７山东，７，５分）若ａ ｂ 且ａｂ 则下列不等式成立的是
＞ ＞０， ＝１， ４．（２０１８北京，８，５分）设集合Ａ ｘ ｙ ｘ ｙ ａｘ ｙ ｘ
＝｛（ ， ）｜ － ≥１， ＋ ＞４， －
（ ）
ａｙ 则
ｂ ≤２｝， （ ）
．ａ １ ａ ｂ
Ａ ＋ ｂ ＜ ａ＜ｌｏｇ２（ ＋ ）
Ａ．
对任意实数ａ
，（２，１）∈
Ａ
２
对任意实数ａ Ａ
ｂ
Ｂ． ，（２，１）∉
． ａ ｂ ａ １
Ｂ
２
ａ＜ｌｏｇ２（ ＋ ）＜ ＋ ｂ
Ｃ．
当且仅当ａ
＜０
时
，（２，１）∉
Ａ
．ａ １ ａ ｂ ｂ 当且仅当ａ ３ 时 Ａ
Ｃ ＋ ｂ ＜ｌｏｇ２（ ＋ ）＜ ａ Ｄ． ≤
２
，（２，１）∉
２ 答案 Ｄ
ｂ
Ｄ ． ｌｏｇ２（ ａ ＋ ｂ ）＜ ａ ＋ １ ｂ ＜ ａ ５．（２０１９天津，１０，５分）设ｘ
∈
Ｒ
，
使不等式
３
ｘ２
＋
ｘ
－２＜０
成立的ｘ
２
答案 Ｂ 的取值范围为 ．
( )
答案 ２
－１，
３
专题二 不等式 ４３
考点一 不等式的性质 答案 Ｂ 用粉刷费用最低的涂料粉刷面积最大的房间 且
，
１．（２０１９课标Ⅰ理，４，５分）古希腊时期 人们认为 用粉刷费用最高的涂料粉刷面积最小的房间 这样所需总费用
， ，
最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长 最低 最低总费用为 ａｚ ｂｙ ｃｘ 元 故选 ．
， （ ＋ ＋ ） ， Ｂ
度之比是 ５－１ ( ５－１ ． 称为黄金分割比 ３．（２０１５ 北京文，１０，５ 分） ２ －３ ，３ １ ２ ，ｌｏｇ２５ 三个数中最大的数
≈０ ６１８， 是 ．
２ ２
)
答案
例
，
著名的
“
断臂维纳斯
”
便是如此．此外
，
最美 ｌｏｇ２５
人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之 解析 ∵２ －３ ＝ １ ＜１，１＜３ １ ２ ＜２，ｌｏｇ２５ ＞２，
８
这三个数中最大的数为 ．
比也是 ５－１．若某人满足上述两个黄金分割比例 ∴ ｌｏｇ２５
，
２
且腿长为 头顶至脖子下端的长度为 则其身高 考点二 不等式的解法
１０５ ｃｍ， ２６ ｃｍ，
可能是 {ｘ ｘ
（ ） １．（２０１４大纲全国文，３，５分）不等式组 （ ＋２）＞０，的解集为
ｘ
Ａ．１６５ ｃｍ Ｂ．１７５ ｃｍ Ｃ．１８５ ｃｍ Ｄ．１９０ ｃｍ ｜ ｜＜１
答案 Ｂ 本题主要考查学生的数学应用意识 抽象概括能
、 （ ）
力 运算求解能力 以及方程思想 考查的核心素养为数学抽 ｘ ｘ ｘ ｘ
、 ， ； Ａ．｛ ｜－２＜ ＜－１｝ Ｂ．｛ ｜－１＜ ＜０｝
象 数学建模以及数学运算． ｘ ｘ ｘ ｘ
、 Ｃ．｛ ｜０＜ ＜１｝ Ｄ．｛ ｜ ＞１｝
由人体特征可知 头顶至咽喉的长度应小于头顶至脖子下端的 答案 Ｃ 由ｘ ｘ 得ｘ 或ｘ
， （ ＋２）＞０ ＞０ ＜－２；
由 ｘ 得 ｘ
长度 故咽喉至肚脐的长度应小于 ２６ 可得到此人 ｜ ｜＜１ －１＜ ＜１，
， ． ≈４２ ｃｍ， 所以不等式组的解集为 ｘ ｘ
０６１８ ｛ ｜０＜ ＜１｝，
故选 ．
的身高应小于 ２６＋４２ Ｃ
２６＋４２＋ ０ ． ６１８ ≈１７８ ｃｍ； ２．（２０１４浙江文，７，５分）已知函数 ｆ ｘ ｘ３ ａｘ２ ｂｘ ｃ 且
（ ）＝ ＋ ＋ ＋ ， ０＜
同理 肚脐至足底的长度应大于腿长 故此人的身高应
， １０５ ｃｍ， ｆ ｆ ｆ 则
（－１）＝ （－２）＝ （－３）≤３， （ ）
大于 ． 结合选项可知 只有 选项符
１０５＋１０５×０６１８≈１７０ ｃｍ， ， Ｂ ｃ ｃ
合题意 故选 ． Ａ． ≤３ Ｂ．３＜ ≤６
， Ｂ ｃ ｃ
一题多解 用线段代替人
，
如图． Ｃ．
答
６＜
案
≤９
Ｃ 由 ｆ ｆ
Ｄ． ＞
ｆ
９
得
０＜（－１）＝ （－２）＝ （－３）≤３，
ａ ｂ ｃ ａ ｂ ｃ ａ ｂ ｃ
０＜－１＋ － ＋ ＝－８＋４ －２ ＋ ＝－２７＋９ －３ ＋ ≤３，
由 ａ ｂ ｃ ａ ｂ ｃ 得 ａ ｂ
－１＋ － ＋ ＝－８＋４ －２ ＋ ， ３ － －７＝０①，
由 ａ ｂ ｃ ａ ｂ ｃ 得 ａ ｂ
－１＋ － ＋ ＝－２７＋９ －３ ＋ ， ４ － －１３＝０②，
由 解得ａ ｂ
①②， ＝６， ＝１１，
ｃ 即 ｃ 故选 ．
∴０＜ －６≤３， ６＜ ≤９， Ｃ
３．（２０１３重庆，７，５分）关于ｘ的不等式ｘ２ ａｘ ａ２ ａ 的
－２ －８ ＜０（ ＞０）
解集为 ｘ ｘ 且ｘ ｘ 则ａ
（ １， ２）， ２－ １＝１５， ＝ （ ）
５ ７ １５ １５
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
ａ ｃ ２ ２ ４ ２
已知 ５－１ ． ｃ ｂ ｃ ｄ ａ 设此人身高 答案 Ａ 解法一 不等式ｘ２ ａｘ ａ２ 的解集为 ｘ
ｂ ＝ ｄ ＝ ≈０６１８， ＜２６， ＞１０５， ＋ ＝ ， ：∵ －２ －８ ＜０ （ １，
２
{ｂ
ｘ
２），∴
ｘ
１，
ｘ
２
是方程ｘ２
－２
ａｘ
－８
ａ２
＝０
的两根．
为ｈ 则ａ ｂ ｈ 由 ＞１０５， ａ ． {ｘ ｘ ａ
ｃｍ， ＋ ＝ ， ａ ． ｂ⇒ ＞６４８９， 由根与系数的关系知 １＋ ２＝２ ，
≈０６１８
由
{ｃ
＜２６， ｄ ．
ｘ
１
ｘ
２＝－８
ａ２
，
ｃ ． ｄ⇒ ＜４２０７， ｘ ｘ ｘ ｘ ２ ｘ ｘ ａ ２ ａ２
≈０６１８ ∴ ２－ １＝ （ １＋ ２） －４ １ ２ ＝ （２ ） －４（－８ ）＝１５，
所以ｃ ｄ ． ． 即ａ ．
＋ ＜２６＋４２０７＝６８０７， ＜６８０７， 又 ａ ａ ５ 故选 ．
{ａ ． ∵ ＞０，∴ ＝ ， Ａ
由 ＜６８０７， ｂ ． ２
ａ ． ｂ⇒ ＜１１０１５， 解法二 由ｘ２ ａｘ ａ２ 得 ｘ ａ ｘ ａ ａ
≈０６１８ ： －２ －８ ＜０， （ ＋２ ）（ －４ ）＜０，∵ ＞０，
整理可得 ． ａ ｂ ． ． 不等式ｘ２ ａｘ ａ２ 的解集为 ａ ａ
６４８９＋１０５＜ ＋ ＜６８０７＋１１０１５， ∴ －２ －８ ＜０ （－２ ，４ ），
即 ． ｈ ． 单位 ．故选 ． 又 不等式ｘ２ ａｘ ａ２ 的解集为 ｘ ｘ
１６９８９＜ ＜１７８２２（ ：ｃｍ） Ｂ ∵ －２ －８ ＜０ （ １， ２），
２．（２０１５浙江文，６，５分）有三个房间需要粉刷 粉刷方案要求 ｘ ａ ｘ ａ．
， ： ∴ １＝－２ ， ２＝４
每个房间只用一种颜色 且三个房间颜色各不相同．已知三个 ｘ ｘ ａ ａ
， ∵ ２－ １＝１５，∴４ －（－２ ）＝１５，
房间的粉刷面积 单位 ２ 分别为ｘ ｙ ｚ 且ｘ ｙ ｚ 三种颜色
（ ：ｍ ） ， ， ， ＜ ＜ ， 解得ａ ５ 故选 ．
涂料的粉刷费用 单位 元／ ２ 分别为ａ ｂ ｃ 且ａ ｂ ｃ．在不同 ＝ ， Ａ
（ ： ｍ ） ， ， ， ＜ ＜ ２
的方案中 最低的总费用 单位 元 是 ４．（２０１５江苏，７，５分）不等式 ｘ２－ ｘ 的解集为 ．
， （ ： ） （ ） ２ ＜４
ａｘ ｂｙ ｃｚ ａｚ ｂｙ ｃｘ 答案 ｘ ｘ
Ａ． ＋ ＋ Ｂ． ＋ ＋ ｛ ｜－１＜ ＜２｝
ａｙ ｂｚ ｃｘ ａｙ ｂｘ ｃｚ 解析 不等式 ｘ２－ ｘ 可转化为 ｘ２－ ｘ ２ 利用指数函数ｙ ｘ
Ｃ． ＋ ＋ Ｄ． ＋ ＋ ２ ＜４ ２ ＜２ ， ＝２
４４ ５年高考３年模拟 Ａ版（教师用书）
的性质可得
，
ｘ２
－
ｘ
＜ ２，
解得
－ １＜
ｘ
＜ ２，
故所求解集为 ì
ï５ １
ｘ ｘ ． ïａ ＝ ，
｛ ｜－１＜ ＜２｝ 从而有í ３ 此方程组无解．
５．（２０１５ 广东，１１，５ 分）不等式
－
ｘ２
－３
ｘ
＋４＞０
的解集为 ï
ï １ ５
． 用区间表示 î－ ａ ＝－ ，
（ ） ３ ( )
答案
（－４，１） 当ａ 时 不等式的解集为 ５ １
解析 不等式 ｘ２ ｘ 等价于ｘ２ ｘ 解得 ｘ ． ＜０ ， ａ ，－ ａ ，
－ －３ ＋４＞０ ＋３ －４＜０， －４＜ ＜１
６．（２０１４湖南文，１３，５分）若关于ｘ的不等式 ａｘ 的解集 ì ï５ ５
{ } ｜ －２｜＜３ ïａ ＝－ ，
从而有í ３ 解得ａ ．
为 ｘ － ５ ＜ ｘ ＜ １ ， 则ａ ＝ ． ï ï １ １ ＝－３
３ ３ î－ ａ ＝ ，
答案 ３
解析 依
－３
题意 知ａ ． ａｘ ａｘ ａｘ
７．（２０１３广东理，９，５分）不等式ｘ２
＋
ｘ
－２＜０
的解集为 ．
， ≠０ ｜ ( －２｜＜３⇔ ) －３＜ －２＜３⇔－１＜ ＜５， 答案 ｘ ｘ
｛ ｜－２＜ ＜１｝
当ａ
＞０
时
，
不等式的解集为
－ ａ
１
，
５
ａ ，
解析 ｘ２
＋
ｘ
－２＝（
ｘ
＋２）（
ｘ
－１）＜０，
解得
－２＜
ｘ
＜１，
故不等式的
解集是 ｘ ｘ ．
｛ ｜－２＜ ＜１｝
时间： 分钟 分值： 分
２５ ４５
一、单项选择题 每题 分 共 分 ５．（２０１９湖南湘潭３月联考，４）若不等式 ｘ２ ａｘ 的解集
（ ５ ， ２５ ） ４ ＋ ＋４＞０
１．（２０２１届山东师范大学附中一模，４）若不等式ａｘ２ ｂｘ ｃ 的 为Ｒ 则实数ａ的取值范围是
＋ ＋ ＞０ ， （ ）
解集为 ｘ ｘ 则不等式ａ ｘ２ ｂ ｘ ｃ ａｘ的解
｛ ｜－１＜ ＜２｝， （ ＋１）＋ （ －１）＋ ＜２ Ａ．（－１６，０） Ｂ．（－１６，０］ Ｃ．（－∞，０） Ｄ．（－８，８）
集为 答案 Ｄ
（ ）
ｘ ｘ ｘ ｘ 或ｘ
Ａ．｛ ｜－２＜ ＜１｝ Ｂ．｛ ｜ ＜－２ ＞１｝ 二、多项选择题 每题 分 共 分
ｘ ｘ 或ｘ ｘ ｘ （ ５ ， ２０ ）
Ｃ．｛ ｜ ＜０ ＞３｝ Ｄ．｛ ｜０＜ ＜３｝ ６．（２０２１届江苏如皋中学９月阶段检测，１０）给出四个选项 能
答案 Ｃ ，
２．（２０２１届湖北襄阳五校（宜城、枣阳、襄州、曾都、南漳一中）期 推出 １ １ 的是
ａ ＜ ｂ （ ）
中，３）下列命题为真命题的是
（ ） ｂ ａ ａ ｂ ａ ｂ ａ ｂ
Ａ． ＞０＞ Ｂ．０＞ ＞ Ｃ． ＞０＞ Ｄ． ＞ ＞０
若ａ ｂ 则 １ １ 答案 ＡＢＤ
Ａ． ＜ ＜０， ａ ＜ ｂ
７．（２０２１届广东深圳实验学校１１月月考，９）设ａ ｂ ｃ为实数
Ｂ．
若ａ
＞
ｂ
＞０，
则ａｃ２
＞
ｂｃ２
且ａ ｂ 则下列不等式中正确的是
， ， ，
ａ ｂ ＞ ＞０， （ ）
若ｃ ａ ｂ 则
Ｃ． ＞ ＞ ＞０， ｃ ａ＜ｃ ｂ １ １ ａｃ２ ｂｃ２
－ － Ａ． ａ ＜ ｂ Ｂ． ＞
若ａ ｂ ｃ 则 ａ ａ ＋ ｃ ( )ａ ( )ｂ
Ｄ． ＞ ＞ ＞０， ｂ ＞ｂ ｃ １ １ ａ２ ａｂ
＋ Ｃ． ＜ Ｄ．ｌｇ ＞ｌｇ（ ）
答案 Ｄ ２ ２
答案 ＡＣＤ
３．（２０２０山东青岛二模，６）已知非零实数 ａ ｘ ｙ 满足 ｘ
ｙ 则下列关系式恒成立的是
， ， ｌｏｇａ２＋１ ＜ ８．（２０２１届山东青岛期初调研检测，１１）若ａ
＞０，
ｂ
＞０，
ａ
＋
ｂ
＝２，
则
ｌｏｇａ２＋１ ＜０， （ ） 下列不等式正确的有
ｙ ｘ （ ）
１ １ ｘ ｙ ａｂ ａ ｂ
Ａ．ｘ２ ＜ｙ２ Ｂ． ＋ ＞ ｘ ＋ ｙ Ａ． ≤１ Ｂ． ＋ ≤ ２
＋１ ＋１
(
１
)ｘ (
１
)ｙ
ｙｘ ｘｙ Ｃ．
ａ２
＋
ｂ２
≥２ Ｄ．
１
ａ ＋
１
ｂ ≥２
Ｃ． ａ ＜ ａ Ｄ． ＞
｜ ｜＋１ ｜ ｜＋１ 答案 ＡＣＤ
答案 Ｄ
９．（２０２０山东德州期中，１１）对于实数 ａ ｂ ｃ 下列命题中正确
４．（２０１９河南新乡一模，１０）定义 区间 ａ ｂ ａ ｂ ａ ｂ ａ ｂ ， ， ，
： ［ ， ］，（ ， ］，（ ， ），［ ， ） 的是
（ ）
的长度均为ｂ
－
ａ
，
若不等式
ｘ
１
＋ｘ
２
≥
５ 的解集是互不相交区间
Ａ．
若ａ
＞
ｂ
，
则ａｃ
＜
ｂｃ
Ｂ．
若ａ
＜
ｂ
＜０，
则ａ２
＞
ａｂ
＞
ｂ２
－１ －２ ４ ａ ｂ
的并集 则该不等式的解集中所有区间的长度之和为 若ｃ ａ ｂ 则 若ａ ｂ １ １ 则ａ ｂ
， （ ） Ｃ． ＞ ＞ ＞０， ｃ ａ＞ｃ ｂ Ｄ． ＞ ， ａ ＞ ｂ ， ＞０， ＜０
－ －
５ １２ ２０９ ５ ２０９ 答案 ＢＣＤ
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
１２ ５ ５ ２０９
答案 Ｂ
专题二 不等式 ４５
１．（２０２０湖南衡阳一中第一次月考，１）设集合Ａ ｘ ｘ ｘ２ ｙ２ ｘ２ ｙ２ ｘｙ
＝｛ ｜－１≤２ ＋１ Ｃ． ≥ Ｄ． ＋ ≥２
{ ｘ } 答案 ＡＤ 对于 由指数函数的性质可知 ｘ ｙ 故选项
Ｂ ｘ ＋１ 则Ａ Ｂ Ａ， ，２ ≥２ ，
≤３｝， ＝ ｘ ≤０ ， ∩（∁Ｒ ）＝ （ ） 一定正确 对于 ｘ ｙ可能均为负数 此时 不成立 故选项
Ａ ； Ｂ， ， ， Ｂ ，
不一定正确 对于 若ｙ为负值 且 ｘ ｙ 则 不成立
Ａ．（０，１］ Ｂ．［－１，０］ Ｃ．［－１，０） Ｄ．［０，１］ Ｂ ； Ｃ， ， ｜ ｜＜｜ ｜， Ｃ ，
答案 Ｄ Ｂ { ｘ ｘ ＋１ } ｘ ｘ ｘ 且ｘ 故选项 Ｃ 不一定正确 ； 对于 Ｄ， 由ｘ ≥ ｙ ， 得ｘ － ｙ ≥０， 则 （ ｘ － ｙ ） ２ ≥
∵ ＝ ｘ ≤０ ＝｛ ｜（ ＋１） ≤０， ≠０｝＝ 则ｘ２ ｙ２ ｘｙ 故选项 一定正确．故选 ．
０， ＋ ≥２ ， Ｄ ＡＤ
ｘ ｘ ７．（多选题）（２０２０山东青岛五十八中期中）下列命题为真命题
｛ ｜－１≤ ＜０｝，
∴ ∁Ｒ Ｂ ＝｛ ｘ ｜ ｘ ＜－１ 或ｘ ≥０｝， 又 ∵ Ａ ＝｛ ｘ ｜－１≤２ ｘ ＋１≤３｝＝｛ ｘ ｜－２ 的是 （ ）
≤２ ｘ ≤２｝＝｛ ｘ ｜－１≤ ｘ ≤１｝，∴ Ａ ∩（∁Ｒ Ｂ ）＝｛ ｘ ｜０≤ ｘ ≤１｝ ．故 Ａ． 若ａ ＞ ｂ ＞０， 则ａｃ２ ＞ ｂｃ２
选
Ｄ
．
Ｂ．
若ａ
＜
ｂ
＜０，
则ａ２
＞
ａｂ
＞
ｂ２
２．（２０２０黑龙江哈尔滨六中第一次调研，３）已知 ａ ｂ ｃ ｃ
３ ＝ｅ， ＝ｌｏｇ３５ 若ａ ｂ 且ｃ 则
ｃ 则ａ ｂ ｃ的大小关系为 Ｃ． ＞ ＞０， ＜０， ａ２＞ｂ２
－ｌｏｇ３２， ＝２ｌｎ ３， ， ， （ ）
ａ ｃ ｂ ｂ ｃ ａ
Ａ． ＞ ＞ Ｂ． ＞ ＞ 若ａ ｂ 则 １ １
ｃ ａ ｂ ｃ ｂ ａ Ｄ． ＞ ， ａ ＜ ｂ
Ｃ． ＞ ＞ Ｄ． ＞ ＞
答案 Ｃ 考查利用对数函数的单调性比较大小 考查了数 答案 ＢＣ 对于 当ｃ 时 ａｃ２ ｂｃ２ 不成立
， Ａ， ＝０ ， ＞ ；
学运算及逻辑推理的核心素养． ａ ａ ．ｂ 对于 ａ２ ａｂ ａ ａ ｂ ａ ｂ ａ ｂ 又ａ ａ ａ ｂ
∵ ３ ＝ｅ，∴ ＝ｌｏｇ３ｅ ＝ｌｏｇ３５－ Ｂ， － ＝ （ － ），∵ ＜ ，∴ － ＜０， ＜０，∴ （ － ）＞
ａ２ ａｂ．ａｂ ｂ２ ｂ ａ ｂ ａ ｂ ａ ｂ 又ｂ ｂ ａ ｂ
５ ｃ １ ２ ．又 ５ ５ ０，∴ ＞ － ＝ （ － ），∵ ＜ ，∴ － ＜０， ＜０，∴ （ － ）
ｌｏｇ３２＝ｌｏｇ３ ， ＝２ｌｎ３ ＝ｌｎ３ ∵ ＜ｅ＜３，∴ ｌｏｇ３ ＜ｌｏｇ３ｅ＜ ａｂ ｂ２ ａ２ ａｂ ｂ２
２ ２ ２ ＞０，∴ － ＞０，∴ ＞ ＞ ；
又 ｃ ａ ｂ 故选 ． ｃ ｃ
１， ｌｎ３＞１，∴ ＞ ＞ ， Ｃ 对于 ａ ｂ ａ２ ｂ２ １ １ 又 ｃ
３．（２０１９山西考前适应性训练（三），８）设 ｍ ． ｎ Ｃ，∵ ＞ ＞０，∴ ＞ ＞０，∴ ａ２＜ｂ２， ∵ ＜０，∴ ａ２＞ｂ２；
＝ｌｏｇ０ ． ３０ ６， ＝
１ ． 则 对于 当ａ ｂ 时 １ １ 故选 ．
ｌｏｇ２０６， （ ） Ｄ， ＝１， ＝－１ ， ａ ＞ ｂ ， ＢＣ
２
ｍ ｎ ｍｎ ｍ ｎ ｍｎ ８．（２０２０上海复旦大学附中９月综合练，５）不等式ａｘ２ ｂｘ ｃ
Ａ． ＋ ＞ Ｂ． ＋ ＜ ＋ ＋ ＞０
( )
ｎ ｍ ｍｎ ｍ ｎ ｍｎ
Ｃ． － ＞ Ｄ． － ＜ 的解集是 １ 则不等式 ｃｘ２ ｂｘ ａ 的解集为
－ ，３ ， ＋ ＋ ＜ ０
答案 Ａ ｍ ． ｎ １ ． １ ２
∵ ＝ｌｏｇ０ ． ３０６＞ｌｏｇ０ ． ３１＝０， ＝
２
ｌｏｇ２０ ６＜
２
ｌｏｇ２１＝ ．
( )
ｍｎ １ １ ． ． ． 即 答案 １
０，∴ ＜０，ｍ＋ ｎ ＝ｌｏｇ０ ． ６０ ３＋ｌｏｇ０ ． ６４＝ｌｏｇ０ ． ６１ ２＜ｌｏｇ０ ． ６０ ６＝１， －２，
３
ｍ ｎ 解析 本题主要考查一元二次不等式的解法 根与系数的关
＋ 故ｍ ｎ ｍｎ．故选 ，
ｍｎ ＜１， ＋ ＞ Ａ． 系 考查的核心素养是逻辑推理及数学运算．
，
４．（２０１９福建厦门一模，４）已知ａ ｂ ｘ ａ ｂ ｂ ｙ ｂ ａ ａ ｚ ｂ ( )
＞ ＞０， ＝ ＋ ｅ ， ＝ ＋ ｅ ， ＝ 由已知不等式ａｘ２ ｂｘ ｃ 的解集是 １
ａ ｂ 则 ＋ ＋ ＞０ － ，３ ，
＋ ｅ ， （ ） ２
Ａ． ｘ ＜ ｚ ＜ ｙ Ｂ． ｚ ＜ ｘ ＜ ｙ Ｃ． ｚ ＜ ｙ ＜ ｘ Ｄ． ｙ ＜ ｚ ＜ ｘ ì ï ａ ＜０， ì ï ａ ＜０，
答案 Ａ 解法一
：
由题意
，
令ａ
＝２，
ｂ
＝１，
则ｘ
＝２＋ｅ，
ｙ
＝１＋
ïï ｂ (
１
) ïïｂ
５ ａ
解 ２ｅ 法 ２ ， ｚ 二 ＝ ： １ ａ ＋ ＞ ２ ｂ ｅ ＞ ， 显 ０ 时 然 ， 有 ｅ ａ ＞ １ ｅ ＋ ｂ ２ ， ｅ ∴ ２ ＞ ａ １ ｅ ＋ ａ ＞ ２ｅ ａ ＞ ｅ ｂ ２ ， ＋ ∴ ｅ， ｂ 即 ＋ ａ ｘ ｅ ＜ ａ ＞ ｚ ＜ ｂ ＋ ｙ． ａ ｅ ｂ ，∴ ｙ ＞ ｚ ， 得 î í ï ïï － ａ ｃ ａ ＝ ＝ ３× ３＋ ( － － １ ２ ) ， ，即 î í ï ïïｃ ＝ ＝ － － ３ ２ ａ ， ，因此不等式ｃｘ２ ＋ ｂｘ ＋ ａ ＜０ 可
ｚ ｘ ｂ ａ ａ ｂ ｂ ａ ｂ ｂ ｚ ｘ． ２ ２
∵ － ＝（ － ）＋（ － ）ｅ ＝（ － ）（ｅ －１）＞０，∴ ＞
∴
ｘ
＜
ｚ
＜
ｙ．故选
Ａ．
化为
－
３ ａｘ２
－
５ ａｘ
＋
ａ
＜０，
即
３
ｘ２
＋５
ｘ
－２＜０，
解得
－２＜
ｘ
＜
１
，∴
不
５．（２０１８江西吉安一中、九江一中等八所重点中学联考，４）若ａ ２ ２ ３
{ }
ｃ ｂ 则下列不等式不正确的是 等式ｃｘ２ ｂｘ ａ 的解集为 ｘ ｘ １ ．
＞１，０＜ ＜ ＜１， （ ） ＋ ＋ ＜０ －２＜ ＜
ａ ａ ３
Ａ．ｌｏｇａ２０１８＞ｌｏｇｂ２０１８ Ｂ．ｌｏｇｂ ＜ｌｏｇｃ ａｘ
ｃ ｂ ｃａ ｃ ｂ ｂａ ａ ｃ ａｃ ａ ｃ ａｂ ９．（２０２０上海高桥中学高三开学考试，１４）不等式 的解集
Ｃ．（ － ） ＞（ － ） Ｄ．（ － ） ＞（ － ） ｘ ＜１
答案 Ｄ 解法一 ａ ｃ ｂ －１
：∵ ＞１，０＜ ＜ ＜１，∴ ｌｏｇａ２ ０１８＞０＞ｌｏｇｂ２ 为 则ａ ．
ａ ａ ｃａ ｂａ ｃ ｂ ａｃ ａｂ ａ ｃ ｃ ｂ ｃａ （－∞，１）∪（２，＋∞）， ＝
０１８，ｌｏｇｂ ＜ｌｏｇｃ ，０＜ ＜ ， － ＜０，０＜ ＜ ， － ＞０，∴ （ － ） ＞ 答案 １
ｃ ｂ ｂａ ａ ｃ ａｃ ａ ｃ ａｂ 正确 不正确．故选
（ － ） ，（ － ） ＜（ － ） ，∴ Ａ，Ｂ，Ｃ ，Ｄ Ｄ． ２
ａｘ ａ ｘ
解法二 取ａ ｃ １ ｂ １ 代入四个选项逐一检验 可知 解析 由 得（ －１） ＋１
： ＝２， ＝ ， ＝ ， ， Ｄ ｘ ＜１ ｘ ＜０，
４ ２ －１ －１
不正确 故选 ． 即 ａ ｘ ｘ 易知ａ
， Ｄ ［（ －１） ＋１］（ －１）＜０， －１≠０，
６．（２０２０山东潍坊期中，１１）若ｘ ｙ 则下列不等式中一定正确 ( )
≥ ， 所以 ａ ｘ １ ｘ ．
的是 （ －１） ＋ａ （ －１）＜０
（ ） －１
ｘ ｙ ａｘ
ｘ ｙ ＋ ｘｙ 因为不等式 的解集为
Ａ．２ ≥２ Ｂ． ≥ ｘ ＜１ （－∞，１）∪（２，＋∞），
２ －１
４６ ５年高考３年模拟 Ａ版（教师用书）
范围是 ．
所以ａ 且 １ 解得ａ １ ．
－１＜０， ａ ＝－２， ＝ 答案
－１ ２ （－∞，－１］∪［２，＋∞）
１０．（２０１８河南中原名校联考，１３）已知ｆ ｘ 是定义在Ｒ上的奇 解析 ｆ ｘ 为奇函数 ｆ ｘ ｆ ｘ ．
（ ） ∵ （ ） ，∴ （－ ）＝－（ ）
函数．当ｘ ＞０ 时 ， ｆ （ ｘ ）＝ ｘ２ －２ ｘ ， 则不等式ｆ （ ｘ ）＞ ｘ的解集用区 设ｘ ＜０， 则 － ｘ ＞０， ｆ （－ ｘ ）＝３（－ ｘ ） ２ ＝３ ｘ２ ， 即ｆ （ ｘ ）＝－３ ｘ２ ，
间表示为 ． { ｘ２ ｘ
故ｆ ｘ ３ （ ≥０），
答案
（－３，０）∪（３，＋∞）
（ ）＝
－３
ｘ２
（
ｘ
＜０）
．
解析 设ｘ ＜０， 则 － ｘ ＞０， 因为 ｆ （ ｘ ） 是奇函数 ， 所以 ｆ （ ｘ ）＝ 从而 ｆ ｘ { １２ ｘ２ （ ｘ ≥０）， ｆ ｘ { ３（２ ｘ ） ２ （ ｘ ≥０），
－ ｆ （－ ｘ ）＝－（ ｘ２ ＋２ ｘ ）， 即当ｘ ＜ { ０ ｘ 时 ， ｆ （ ｘ ）＝ { － ｘ ｘ２ －２ ｘ ， 又ｆ （０）＝０， ｆ ４ ｘ （ ） ｆ ＝ ｘ －１２ ｘ２ （ ｘ ＜０）， ４（ ）＝ －３（２ ｘ ） ２ （ ｘ ＜０），
于是不等式ｆ ｘ ｘ等价于 ＞０， 或 ＜０， 解得ｘ ∴４（ ）＝ （２ ），
（ ）＞ ｘ２
－２
ｘ
＞
ｘ
－
ｘ２
－２
ｘ
＞
ｘ
，
＞３ 故不等式ｆ
（
ｘ
＋
ｍ２
）≥４
ｆ
（
ｘ
）
同解于ｆ
（
ｘ
＋
ｍ２
）≥
ｆ
（２
ｘ
），
或
－３＜
ｘ
＜０
．故不等式的解集为
（－３，０）∪（３，＋∞）
． 又ｆ
（
ｘ
）
为Ｒ上的单调增函数
，
故ｘ
＋
ｍ２
≥２
ｘ
，
１１．（２０１９安徽江淮十校第三次联考，１４）已知函数ｆ
（
ｘ
）
是定义 即ｍ２
≥
ｘ对任意的ｘ
∈［
ｍ
，
ｍ
＋２］
恒成立
，
在Ｒ上的奇函数
，
且当ｘ
≥０
时
，
ｆ
（
ｘ
）＝ ３
ｘ２
，
且不等式 ｆ
（
ｘ
＋ ∴
ｍ２
≥
ｍ
＋２，
即ｍ
≤－１
或ｍ
≥２
．
ｍ２ ｆ ｘ 对任意的ｘ ｍ ｍ 恒成立 则实数ｍ的取值
）≥４（ ） ∈［ ， ＋２］ ，
