北京曲一线图书策划有限公司 2024版《5年高考3年模
拟》A版
2.2 基本不等式及不等式的应用
基础篇
考点一 基本不等式及其应用
1.(2022广东深圳外国语学校月考,6)在下列函数中,最小值为2的是( )
1
A.y=x+
x
1
B.y=lg x+ (1<x<10)
lgx
x2−2x+2
C.y= (x>1)
x−1
1 ( π)
D.y=sin x+ 0<x<
sinx 2
答案 C
2.(2022重庆西南大学附中月考)已知x,y>0,x+9y+xy=7,则3xy的最大值为 ( )
A.1 B.2 C.3 D.4
答案 C
3.(多选)(2023届山东潍坊五县联考,9)设a>0,b>0,a+b=1,则下列不等式中一定成立的
是( )
1
A.ab≤ B.√a+√b≥√2
4
b 4
C.2a+2b≥2√2D. + ≥8
a b
答案 ACD
4.(多选)(2022沈阳二中月考)已知a>0,b>0,且ab=4,则 ( )
a2 b2
A.√a+√b≤2√2B. + ≥4
b a
a2+b2 1
C.log ≥1 D.2a(a-b)>
2 a+b 8
答案 BC
5.(多选)(2022新高考Ⅱ,12,5分)若x,y满足x2+y2-xy=1,则 ( )
A.x+y≤1 B.x+y≥-2
C.x2+y2≤2 D.x2+y2≥1
答案 BC北京曲一线图书策划有限公司 2024版《5年高考3年模
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1 4
6.(2023届湖北摸底联考,14)若函数f(x)=ax+bx(a>0,b>0,a≠1,b≠1)是偶函数,则 + 的
a b
最小值为 .
答案 4
1
7.(2018天津,13,5分)已知a,b∈R,且a-3b+6=0,则2a+ 的最小值为 .
8b
1
答案
4
(x+1)(2y+1)
8.(2019天津理,13,5分)设x>0,y>0,x+2y=5,则 的最小值为 .
√xy
答案 4√3
(1 5)
9.(2021浙江湖州中学月考)函数y=√2x−1+√5−2x <x< 的最大值是 .
2 2
答案 2√2
考点二 应用基本不等式求解最值
考向一 配凑法求最值
1.(2023届辽宁鞍山质量监测,8)权方和不等式作为基本不等式的一个变化,经常应用于
a2 b2 (a+b) 2
高中数学竞赛,主要用来处理分式不等式.其表述如下:设a,b,x,y>0,则 + ≥ ,
x y x+ y
a b
当且仅当 = 时等号成立.根据权方和不等式可以比较容易得出,函数f(x)=
x y
2 9 ( 1)
+ 0<x< 的最小值为 ( )
x 1−2x 2
A.16 B.25 C.36 D.49
答案 B
a2 b2
2.(2022山东平邑一中开学考,6)实数a,b满足a>0,b>0,a+b=4,则 + 的最小值
a+1 b+1
是( )
3 8
A.4 B.6 C. D.
2 3
答案 D
3.(2023届福建龙岩一中月考,15)已知正实数a,b满足ab+a+b=3,则2a+b的最小值为
.
答案 4√2-3北京曲一线图书策划有限公司 2024版《5年高考3年模
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x−y
4.(2022天津南开中学模拟,13)若实数x,y满足x>y>0,且xy=4,则 的最大值为
(x+ y) 2
.
1
答案
8
2 1
5.(2022湖南湘潭三模,14)已知正数a,b满足a+b=5,则 + 的最小值为 .
a+1 2b
3
答案
4北京曲一线图书策划有限公司 2024版《5年高考3年模
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考向二 常数代换法求最值
2 1
1.(2022河北邢台入学考,7)已知a>0,b>0,且a+b=2,则 + 的最小值是 ( )
a 2b
9 9
A.1 B.2 C. D.
4 2
答案 C
2.(2022辽宁六校联考,7)已知定义在R上的偶函数f(x)=|x-m+1|-2,若正实数a、b满足
2 3
f(a)+f(2b)=m,则 + 的最小值为 ( )
a b
8 8+4√3 8√3 2√10
A. B. C. D.
5 5 5 5
答案 B
1 4
3.(多选)(2021山东潍坊四中检测,10)已知a>1,b>0,且 + =1,则下列命题正确的
a−1 b
是( )
A.a>2
B.ab-b的最小值为16
C.a+b的最小值为9
1 9
D. + 的最小值为2
a−2 b
答案 ABD
1 9
4.(2021天津二模,14)已知正实数x,y满足x+y= + +6,则x+y的最小值是 .
x y
答案 8
1 1 8
5.(2020天津,14,5分)已知a>0,b>0,且ab=1,则 + + 的最小值为 .
2a 2b a+b
答案 4
考向三 两次及以上使用基本不等式求最值
1 2
+
1.(2022河北邢台“五岳联盟”10月联考,7)函数f(x)=4x+ 的最小值为 (
2x
(√2)
x
)
A.2√2B.2√3C.4D.3√2
答案 C
2.(多选)(2020新高考Ⅰ,11,5分)已知a>0,b>0,且a+b=1,则 ( )
1 1
A.a2+b2≥ B.2a−b>
2 2
C.log a+log b≥-2 D.√a+√b≤√2
2 2北京曲一线图书策划有限公司 2024版《5年高考3年模
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答案 ABD
1 a
3.(2021天津,13,5分)若a>0,b>0,则 + +b的最小值为 .
a b2
答案 2√2
综合篇
考法 不等式的恒成立、能成立、恰成立等问题的解题策略
考向一 恒成立与能成立共存问题
1.(多选)(2022湖南衡阳八中模拟,11)已知函数f(x)=-x-1,x∈[-2,2],g(x)=x2-
2x,x∈[-1,2],下列结论正确的是 ( )
A. x∈[-2,2],f(x)>a恒成立,则实数a的取值范围是a<-3
B. x∈[-2,2], f(x)>a,则实数a的取值范围是a<1
∀
C. x∈[-1,2],g(x)=a,则实数a的取值范围是-1≤a≤3
∃
D. x∈[-2,2], t∈[-1,2],f(x)=g(t)
∃
答案 ABC
∀ ∃
4 [1 ]
2.(2022重庆巴南月考,14)已知函数f(x)=x+ ,g(x)=2x+a,若∀x ∈ ,1 , x ∈[2,3],
x 1 2 2
∃
使得f(x )≤g(x ),则实数a的取值范围是 .
1 2
[1 )
答案 ,+∞
2
考向二 函数最值与不等式结合问题
2 1
1.(2022重庆名校联盟联考,5)已知x>0、y>0,且 + =1,若2x+y>m2+8m恒成立,则实
x y
数m的取值范围为 ( )
A.(-1,9) B.(-9,1)
C.[-9,1] D.(-∞,-1)∪(9,+∞)
答案 B
2.(多选)(2023届重庆南开中学质检,10)已知正数x,y满足x+2y=4,若存在正数x,y使得
1 1
+x≤t−2y− 成立,则实数t的可能取值是( )
2x y
A.2 B.4 C.6 D.8
答案 CD
3.(2021广东佛山南海石门中学模拟,5)已知x,y∈(0,+∞),且x+y=1,若不等式x2+y2+xy>
1 1
m2+ m恒成立,则实数m的取值范围是( )
2 4北京曲一线图书策划有限公司 2024版《5年高考3年模
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( 3 )
A. − ,1
2
[ 3 ]
B. − ,1
2
C.(-2,1)
( 3)
D. −∞,− ∪(1,+∞)
2
答案 A
4.(2021浙江绍兴模拟,4)若关于x的不等式x2+ax-2>0在区间[1,5]上有解,则实数a的
取值范围为 ( )
( 23 ) [ 23 ]
A. − ,+∞ B. − ,1
5 5
( 23)
C.(1,+∞) D. −∞,−
5
答案 A
5.(2021湖南师大附中月考,13)已知函数f(x)=x2+4,g(x)=ax,当x∈[1,4]时,f(x)的图象
总在g(x)图象的上方,则a的取值范围为 .
答案 (-∞,4)
6.(2021广东云浮月考,15)已知f(x)=x2-2x+4,g(x)=ax(a>0且a≠1),若对任意的
x ∈[1,2],都存在x ∈[-1,2],使得f(x )<g(x )成立,则实数a的取值范围是
1 2 1 2
.
( 1)
答案 0, ∪(2,+∞)
4
专题综合检测
一、单项选择题
1.(2022石家庄二中月考,9)下列命题为真命题的是 ( )
A.若a>b>0,则ac2>bc2
B.若a>b,则a2>b2
C.若a<b<0,则a2<ab<b2
1 1
D.若a<b<0,则 >
a b
答案 D
1 1
2.(2022辽宁丹东五校联考,9)设 < <0,则 ( )
a b
A.a2>b2 B.ab>b2北京曲一线图书策划有限公司 2024版《5年高考3年模
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C.a+b≥2√abD.2a+2b>2√2a·2b
答案 D
x x
3.(2022河北曲阳一中月考,4)已知函数f(x)=log ·log2 ,若f(x )=f(x )(其中x ≠x ),
22 8 1 2 1 2
1 9
+
则 的最小值为 ( )
x x
1 2
3 3
A. B.
4 2
C.2 D.4
答案 B
4.(2022石家庄二中月考,6)若正数x,y满足x+3y=5xy,当3x+4y取得最小值时,x+4y的
值为 ( )
A.2 B.3 C.4 D.5
答案 B
4 1
5.(2022重庆涪陵实验中学期中,6)已知x>0,y>-1,且 + =3,则x+y的最小值为
x y+1
( )
A.4 B.3 C.2 D.1
答案 C
二、多项选择题
6.(2022广州执信中学月考,11)设a,b∈R,则下列结论正确的是 ( )
A.若a<b<0,则(a-1)2<(b-1)2
B.若a+b=2,则2a+2b≥4
C.若2a-2b>2-a-2-b,则a>b
D.若a>b>0,且a+b=1,则ab>ba
答案 BCD
7.(2022辽宁六校协作体期中,10)下列说法正确的是 ( )
1
A.当xÎ(0,1)时,x
√1−x2≤
2
2
B.sin2x+ 的最小值为2√2
sin 2x
x2 √2
C. ≤
x4+2 4
1 2√(log a)·[log (2b)]
D.若a>1,b> ,则 2 2 ≤1
2 1+log (ab)
2
答案 ACD
