北京曲一线图书策划有限公司 2023版《5年高考3年模拟》A版
2.2 基本不等式及不等式的应用
基础篇 固本夯基
考点 基本不等式及其应用
1 2
1.(2022届河北邢台“五岳联盟”10月联考,7)函数f(x)=4x+ + 的最小值为( )
2x (√2) x
A.2√2 B.2√3 C.4 D.3√2
答案 C
2.(2022届广东深圳外国语学校月考,6)在下列函数中,最小值为2的是( )
1
A.y=x+
x
1
B.y=lg x+ (1<x<10)
lgx
x2-2x+2
C.y= (x>1)
x-1
D.y=sin x+ 1 ( π)
0<x<
sinx 2
答案 C
x 2y
3.(2022届重庆南开中学质检一,5)若x>0,y>0且x+y=xy,则 + 的最小值为( )
x-1 y-1
5
A.3 B. +√6 C.3+√6 D.3+2√2
2
答案 D
2
4.(2022届辽宁六校联考,7)已知定义在R上的偶函数f(x)=|x-m+1|-2,若正实数a、b满足f(a)+f(2b)=m,则 +
a
3
的最小值为( )
b
8 8+4√3 8√3 2√10
A. B. C. D.
5 5 5 5
答案 B
1 9
5.(2020湖北八校第一次联考,5)已知x>0,y>0,且 + =1,则x+y的最小值为( )
x y
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A.12 B.16 C.20 D.24
答案 B
4 1
6.(2020山东淄博二模,5)已知曲线y=ax-1+1(a>0,且a≠1)过定点(k,b),若m+n=b,且m>0,n>0,则 + 的最小值
m n
为( )
9 5
A. B.9 C.5 D.
2 2
答案 A
2 1
7.(2022届河北邢台入学考,7)已知a>0,b>0,且a+b=2,则 + 的最小值是( )
a 2b
9 9
A.1 B.2 C. D.
4 2
答案 C
8.(多选)(2022届沈阳二中月考)已知a>0,b>0,且ab=4,则( )
a2 b2 a2+b2 1
A.√a+√b≤2√2 B. + ≥4 C.log ≥1 D.2a(a-b)>
b a 2 a+b 8
答案 BC
9.(多选)(2021山东济宁鱼台一中月考,11)给出下面四个推断,其中正确的为( )
b a
A.若a,b∈(0,+∞),则 + ≥2
a b
B.若x,y∈(0,+∞),则lg x+lg y≥2√lgx·lg y
4
C.若a∈R,a≠0,则 +a≥4
a
x y
D.若x,y∈R,xy<0,则 + ≤-2
y x
答案 AD
1 1 8
10.(2020天津,14,5分)已知a>0,b>0,且ab=1,则 + + 的最小值为 .
2a 2b a+b
答案 4
(x+1)(2y+1)
11.(2019天津理,13,5分)设x>0,y>0,x+2y=5,则 的最小值为 .
√xy
答案 4√3
1 4
12.(2020江苏扬州江都大桥高级中学月考,6)已知x,y为正数,且 + =1,则x+y的最小值为 .
2+x y
答案 7
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综合篇 知能转换
考法一 应用基本不等式求解最值
1.(2022届重庆西南大学附中月考)已知x,y>0,x+9y+xy=7,则3xy的最大值为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
答案 C
a2 b2
2.(2022届山东平邑一中开学考,6)实数a,b满足a>0,b>0,a+b=4,则 + 的最小值是( )
a+1 b+1
3 8
A.4 B.6 C. D.
2 3
答案 D
1 n+3
3.(2020河北衡水中学第九次调研,6)设m,n为正数,且m+n=2,则 + 的最小值为( )
m+1 n+2
3 5 7 9
A. B. C. D.
2 3 4 5
答案 D
4.(多选)(2022届广东福田一中月考)设正实数x,y满足2x+y=1,则( )
A.x∈( 1) B.xy的最大值为1
0,
2 4
1
C.x2+y2的最小值为 D.4x+2y的最小值为4
5
答案 AC
5.(多选)(2022届山东师范大学附中月考)下列说法正确的是( )
b a
A.若a>b>0,c<d<0,则一定有 >
c d
b(3-b)
B.若a>0,b≥0,且a+b=1,则 的最小值为0
a
C.若x>0,y>0,xy+x+y=8,则x+y的最小值为4
D.若关于x的不等式ax2-x-b<0的解集是(2,3),则a+b=1
答案 ABC
1 4
6.(多选)(2021山东潍坊四中检测,10)已知a>1,b>0,且 + =1,则下列命题正确的是( )
a-1 b
A.a>2
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B.ab-b的最小值为16
C.a+b的最小值为9
1 9
D. + 的最小值为2
a-2 b
答案 ABD
4
7.(2019江苏,10,5分)在平面直角坐标系xOy中,P是曲线y=x+ (x>0)上的一个动点,则点P到直线x+y=0的
x
距离的最小值是 .
答案 4
1
8.(2018天津,13,5分)已知a,b∈R,且a-3b+6=0,则2a+ 的最小值为 .
8b
1
答案
4
9 b+3
9.(2022届湖北九师联盟11月质量检测,16)已知a>0,b≠0,且a+|b|=3,则 + 的最小值为 .
a |b|
答案 3+2√3
4 9
10.(2021沈阳市郊联体一模,14)已知a>0,b>0,a+4b=4,则 + 的最小值为 .
a b
答案 16
考法二 不等式的恒成立、能成立、恰成立等问题的解题策略
1.(2021陕西咸阳质检三,5)已知f(x)=ln(x2+1),g(x)=(1) x -m,若∀x
1
∈[0,3],∃x
2
∈[1,2],使得f(x
1
)≥g(x
2
),则实
2
数m的取值范围是( )
A.[1 ) B.( 1]
,+∞ -∞,
4 4
C.[1 ) D.( 1]
,+∞ -∞,-
2 2
答案 A
2.(2020北京诊断,6)已知关于x的不等式ax2-2x+3a<0在(0,2]上有解,则实数a的取值范围是( )
A.( √3) B.( 4)
-∞, -∞,
3 7
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C.(√3 ) D.(4 )
,+∞ ,+∞
3 7
答案 A
3.(2021广东云浮月考,15)已知f(x)=x2-2x+4,g(x)=ax(a>0且a≠1),若对任意的x∈[1,2],都存在x∈[-1,2],使得
1 2
f(x)<g(x)成立,则实数a的取值范围是 .
1 2
答案 ( 1)∪(2,+∞)
0,
4
4.(2022届湖北九师联盟10月质量检测,19)已知函数f(x)=x2+ax+a.
(1)若a∈R,解关于x的不等式f(x)>0;
(2)若存在x∈(-1,+∞),使得f(x)<0成立,求整数a的最大值.
0 0
解析 (1)由f(x)>0,得x2+ax+a>0,Δ=a2-4a,当Δ>0,即a>4或a<0时,x2+ax+a=0的根为x =-a±√a2-4a.
1,2
2
-a+√a2-4a -a-√a2-4a
原不等式的解集为 x x> 或x< ;当Δ=0,即a=4或a=0时,x2+ax+a=0的根
2 2
为x =-a,原不等式的解集为{ -a };
x|x≠
1,2 2 2
当Δ<0,即0<a<4时,原不等式的解集为R.
x2
(2)由x2+ax+a<0,得-a(x+1)>x2,因为x>-1,所以-a> ,所以存在x∈(-1,+∞),使得f(x)<0成立等价于-a>
x+1 0 0
( x2 ) .而 x2 =(x+1)+ 1 -2≥2√ 1 -2=0(当且仅当x=0时等号成立),所以-a>0,解得
(x+1)·
x+1 x+1 x+1 x+1
min
a<0,故整数a的最大值为-1.
应用篇 知行合一
应用 基本不等式在实际问题中的应用
1.(2017江苏,10,5分)某公司一年购买某种货物600吨,每次购买x吨,运费为6万元/次,一年的总存储费用为
4x万元.要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则x的值是 .
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答案 30
2.(2014湖北,16,5分)某项研究表明:在考虑行车安全的情况下,某路段车流量F(单位时间内经过测量点的车
辆数,单位:辆/小时)与车流速度v(假设车辆以相同速度v行驶,单位:米/秒)、平均车长l(单位:米)的值有关,其
76 000v
公式为F= .
v2+18v+20l
(1)如果不限定车型,l=6.05,则最大车流量为 辆/小时;
(2)如果限定车型,l=5,则最大车流量比(1)中的最大车流量增加 辆/小时.
答案 (1)1 900 (2)100
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