北京曲一线图书策划有限公司 2022版《5年高考3年模拟 A版》
模块卷(一)
时间:120分钟 分值:145分
集合、常用逻辑用语、函数、导数、不等式
一、选择题:本题共7小题,每小题5分,共35分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
x+1 a
1.(2020浙江嘉兴期末,3)设曲线y= 在点(1,-2)处的切线与直线ax+by+c=0垂直,则 = ( )
x-2 b
1 1
A. B.- C.3 D.-3
3 3
x-2-(x+1) -3 x+1
答案 B y'= = ,y'| =-3,因为曲线y= 在点(1,-2)处的切线与直线ax+by+c=0
(x-2)2 (x-2)2 x=1 x-2
垂直,
所以(-3)·( a)=-1,解得a=-1,故选B.
-
b b 3
3 6
2.(2020新疆昌吉期中,6)若a>0,b>0,a+2b=3,则 + 的最小值为 ( )
a b
A.5 B.6 C.8 D.9
答案 D 本题考查基本不等式在求最值中的应用,考查了数学运算的核心素养.
∵a>0,b>0,a+2b=3,∴3+6=1(3 6)(a+2b)
+
a b 3 a b
= 1( 3+ 6b + 6a +12 )≥ 1 ×( 15+2 √6b · 6a)=9,
3 a b 3 a b
6b 6a
当且仅当 = ,即a=b=1时取等号,
a b
3 6
所以 + 的最小值为9.故选D.
a b
π
3.(2019天津耀华中学一模,2)已知f(x)是定义在R上的周期为2的奇函数,当x∈(0,1)时, f(x)=sin x,则f
2
( 5)+f(1)+f(2)= ( )
-
2
√2 √2 √2 √2
A.-2- B.-1- C.- D.1-
2 2 2 2
答案 C ∵f(x)是定义在R上的周期为2的奇函数,
∴f(0)=0, f(1)=f(-1)=-f(1),∴f(1)=0,
∴f( 5)+f(1)+f(2)=-f(5)+f(1)+f(0)
-
2 2
=-f(1)+0+0=-sin π=-√2.
2 4 2
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4.(2020北京,9,4分)已知α,β∈R,则“存在k∈Z使得α=kπ+(-1)kβ”是“sin α=sin β”的 ( )
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
答案 C (1)充分性:已知存在k∈Z使得α=kπ+(-1)kβ,
(i)若k为奇数,则k=2n+1,n∈Z,此时α=(2n+1)π-β,n∈Z,sin α=sin(2nπ+π-β)=sin(π-β)=sin β;
(ii)若k为偶数,则k=2n,n∈Z,此时α=2nπ+β,n∈Z,
sin α=sin(2nπ+β)=sin β.由(i)(ii)知,充分性成立.
(2)必要性:若sin α=sin β成立,则角α与β的终边重合或角α与β的终边关于y轴对称,即α=β+2mπ或
α+β=2mπ+π,m∈Z,
即存在k∈Z使得α=kπ+(-1)kβ,必要性也成立,故选C.
5.(2017山东文,9,5分)设f(x)={ √x,0<x<1, 若f(a)=f(a+1),则f(1)= ( )
2(x-1),x≥1. a
A.2 B.4 C.6 D.8
答案 C 本题考查分段函数与函数值的计算.
解法一:当0<a<1时,a+1>1,∴f(a)= , f(a+1)=2(a+1-1)=2a.由f(a)=f(a+1)得 =2a,∴a=1.此时f(1)
√a √a
4 a
=f(4)=2×(4-1)=6.当a≥1时,a+1>1,∴f(a)=2(a-1), f(a+1)=2(a+1-1)=2a.由f(a)=f(a+1)得2(a-1)=2a,无解.综上, f
(1)=6,故选C.解法二:∵当0<x<1时, f(x)= ,为增函数,当x≥1时, f(x)=2(x-1),为增函数,又f(a)=f(a+1),∴
√x √a
a
=2(a+1-1),∴a=1.∴f(1)=f(4)=6.
4 a
6.(2020浙江镇海中学分校检测,6)已知函数f(x)= 的定义域是R,则实数a的取
√a·4x+a·2x+3a-6
值范围是 ( )
A.[2,+∞) B.[24 ) C.( 24] D.( 24]
,+∞ 0, -∞,
11 11 11
6 6 6
答案 A 令t=2x(t>0),则at2+at+3a-6≥0对t>0恒成立,所以a≥ ,又 < =2,所以a≥2.故选
t2+t+3 t2+t+3 3
A.
7.(2020新高考Ⅰ,8,5分)若定义在R的奇函数f(x)在(-∞,0)单调递减,且f(2)=0,则满足xf(x-1)≥0的x的取值范
围是( )
A.[-1,1]∪[3,+∞) B.[-3,-1]∪[0,1]
C.[-1,0]∪[1,+∞) D.[-1,0]∪[1,3]
答案 D ∵f(x)是定义在R上的奇函数,∴f(x-1)的图象关于点(1,0)中心对称,又∵f(x)在(-∞,0)上单调递减,
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∴f(x-1)在(-∞,1)上单调递减,在(1,+∞)上也单调递减,且过(-1,0)和(3,0),f(x-1)的大致图象如图:
当-1≤x≤0时,f(x-1)≤0,
∴xf(x-1)≥0;当1≤x≤3时,f(x-1)≥0,∴xf(x-1)≥0.
综上,满足xf(x-1)≥0的x的取值范围是[-1,0]∪[1,3].故选D.
二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得
5分,有选错的得0分,部分选对的得2分.
8.(2020山东百师联盟测试五,11)常数a≠0,下列有关方程x3+x2-x-a=0的根的说法正确的是 ( )
A.可以有三个负根
B.可以有两个负根和一个正根
C.可以有两个正根和一个负根
D.可以有三个正根
答案 BC 方程x3+x2-x-a=0可化为x3+x2-x=a.令函数f(x)=x3+x2-x,则f '(x)=3x2+2x-1=(3x-1)(x+1).当x<-1或x>
1时, f '(x)>0,当-1<x<1时, f '(x)<0,故f(x)在(-∞,-1),(1 )上为单调增函数,在( 1)上为单调减
,+∞ -1,
3 3 3 3
函数,且f(-1)>0, f(1)<0,作出f(x)的图象如图,从而方程x3+x2-x-a=0可以有两个正根和一个负根,也可以有两
3
个负根和一个正根,但不会有三个负根,也不会有三个正根.故选BC.
9.(多选题)(2020山东枣庄、滕州期末)如图所示,一座小岛距离海岸线上最近的P点的距离是2 km,从P点沿
海岸正东12 km处有一个城镇.假设一个人驾驶的小船的平均速度为3 km/h,步行的速度为5 km/h,时间
t(单位:h)表示他从小岛到城镇的时间,x(单位:km)表示此人将船停在海岸处距P点的距离.设u= +x,v=
√x2+4
-x,则 ( )
√x2+4
A.函数v=f(u)为减函数
B.15t-u-4v=32
C.当x=1.5时,此人从小岛到城镇花费的时间最少
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D.当x=4时,此人从小岛到城镇花费的时间不超过3 h
u+v u-v 4
答案 AC A.∵u=√x2+4+x,v=√x2+4-x,∴√x2+4= ,x= ,uv=4,易知v= 在(0,+∞)上是减函数,
2 2 u
A正确.
B.t=√x2+4+12-x=u+v+12-u-v,整理得15t=u+4v+36,B错误;
3 5 6 5 10
16 √ 16 16
C.由A、B得15t=u+ +36≥2 u· +36=44,当且仅当u= ,即u=4时取等号,由√x2+4+x=4,解得x=
u u u
3
=1.5,C正确;
2
2√5 8 2√5 7 10√5-21 √500-√441
D.x=4时,t= + ,t-3= - = = >0,t>3,D错误.故选AC.
3 5 3 5 15 15
10.(2020山东夏季高考模拟,12)函数f(x)的定义域为R,且f(x+1)与f(x+2)都为奇函数,则 ( )
A. f(x)为奇函数 B. f(x)为周期函数
C. f(x+3)为奇函数 D. f(x+4)为偶函数
答案 ABC 本题主要考查函数的奇偶性,周期性,考查逻辑推理的核心素养.
∵f(x+1)为奇函数,∴f(-x+1)=-f(x+1),
∴f(-x)=-f(x+2),
又∵f(x+2)为奇函数,∴f(-x+2)=-f(x+2),
∴f(-x)=-f(x+4),∴-f(x+2)=-f(x+4),
∴f(x+2)=f(x+4),即f(x+2)=f(x),
∴f(x)是周期为2的奇函数,∴f(x+4)是奇函数.
由于f(x)的周期为2,且f(x+1)是奇函数,
∴f(x+3)=f(x+1)是奇函数,故A,B,C均正确.
11.(多选题)(2020海南调研测试,12)已知函数f(x)=x+sin x-xcos x的定义域为[-2π,2π),则 ( )
A. f(x)为奇函数 B. f(x)在[0,π)上单调递增
C. f(x)恰有4个极大值点 D. f(x)有且仅有4个极值点
答案 BD 因为f(x)的定义域为[-2π,2π),所以f(x)是非奇非偶函数. f '(x)=1+cos x-(cos x-xsin x)=1+xsin x,当
1 1
x∈[0,π)时, f '(x)>0,则f(x)在[0,π)上单调递增,显然f '(0)≠0,令f '(x)=0,得sin x=- ,分别作出y=sin x,y=- 在
x x
区间[-2π,2π)上的图象,由图可知,这两个函数的图象在区间[-2π,2π)上共有4个公共点,且两图象在这些公共点
上都不相切,故f(x)在区间[-2π,2π)上的极值点的个数为4,且f(x)只有2个极大值点,故选BD.
三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.
12.(2020浙江“七彩阳光”联盟4月模考,11)集合A={x|-1≤x≤2},B={x|1<x<4},则A∩B= ;A∩(∁R B)=
.
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答案 (1,2];[-1,1]
解析 本题考查集合的基本运算.
A=[-1,2],B=(1,4),所以A∩B=(1,2],∁R B=(-∞,1]∪[4,+∞),所以A∩(∁R B)=[-1,1].
1 1 8
13.(2020天津,14,5分)已知a>0,b>0,且ab=1,则 + + 的最小值为 .
2a 2b a+b
答案 4
1 1 8 a+b 8 a+b 8 √a+b 8 a+b 8
解析 + + = + = + ≥2 × =4,当且仅当 = ,即
2a 2b a+b 2ab a+b 2 a+b 2 a+b 2 a+b
(a+b)2=16,也即a+b=4时取等号.
又∵ab=1,∴{a=2+√3,或{a=2-√3,时取等号,
b=2-√3 b=2+√3
1 1 8
∴ + + 的最小值为4.
2a 2b a+b
{
lnx,x>0,
14.(2020浙江嘉兴二模,16)已知函数f(x)= (1) x 若f(f(a))≤0,则实数a的取值范围为
-2,x≤0,
2
.
答案 [-log3,0]∪[1 ]
2 ,e
e
解析 本题考查分段函数和不等式的求解,属于基础题.
{(1) x
令f(x)≤0,即{lnx≤0,
或
-2≤0,
解得0<x≤1或-1≤x≤0,所以f(f(a))≤0等价于0<f(a)≤1
2
x>0
x≤0,
{ (1) a
或-1≤f(a)≤0,所以{0<lna≤1,
或
0< -2≤1, 或{-1≤lna≤0,
2
a>0 a>0
a≤0
{ (1) a
-1≤ -2≤0, 1
或 解得-log3≤a≤0或 ≤a≤e.
2 2
e
a≤0,
15.(2018江苏,11,5分)若函数f(x)=2x3-ax2+1(a∈R)在(0,+∞)内有且只有一个零点,则f(x)在[-1,1]上的最大值与
最小值的和为 .
答案 -3
解析 本题考查利用导数研究函数的极值和最值.
∵f(x)=2x3-ax2+1,∴f '(x)=6x2-2ax=2x(3x-a).
若a≤0,则x>0时, f '(x)>0,∴f(x)在(0,+∞)上为增函数,又f(0)=1,∴f(x)在(0,+∞)上没有零点,∴a>0.
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当0<x<a时, f '(x)<0, f(x)为减函数;当x>a时, f '(x)>0, f(x)为增函数,∴x>0时, f(x)有极小值,为f(a)=-a3
3 3 3 27
+1.
∵f(x)在(0,+∞)内有且只有一个零点,
∴f(a)=0,∴a=3.
3
∴f(x)=2x3-3x2+1,则f '(x)=6x(x-1).
x -1 (-1,0) 0 (0,1) 1
f '(x) + -
f(x) -4 增 1 减 0
∴f(x)在[-1,1]上的最大值为1,最小值为-4.
∴最大值与最小值的和为-3.
四、解答题:共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
16.(10分)(2019安徽黄山模拟,18)已知函数f(x)=log 2 ( 1 +a ).
2x
(1)若函数f(x)是R上的奇函数,求a的值;
(2)若函数f(x)的定义域是一切实数,求a的取值范围;
(3)若函数f(x)在区间[0,1]上的最大值与最小值的差不小于2,求实数a的取值范围.
解析 (1)因为函数f(x)是R上的奇函数,
所以f(0)=0,求得a=0. (2分)
当a=0时,f(x)=-x是R上的奇函数.
所以a=0为所求. (4分)
(2)因为函数f(x)的定义域是一切实数,
1 1 1
所以 +a>0恒成立.即a>- 恒成立,由于- ∈(-∞,0), (6分)
2x 2x 2x
故只要a≥0即可. (7分)
(3)由已知得函数f(x)是减函数,故f(x)在区间[0,1]上的最大值是f(0)=log
2
(1+a),最小值是f(1)=log 2(1
+a
).(8
2
分)
{ 1
由题设得log
2
(1+a)-log 2(1
+a
)≥2⇒ a+
2
>0, (11分)
2
a+1≥4a+2.
1 1
故- <a≤- . (12分)
2 3
17.(12分)已知函数f(x)=(x- )·e-x( 1).
√2x-1 x≥
2
(1)求f(x)的导函数;
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(2)求f(x)在区间[1 )上的取值范围.
,+∞
2
解析 本题主要考查函数的最大(小)值,导数的运算及其应用,同时考查分析问题和解决问题的能力.
1
(1)因为(x-√2x-1)'=1- ,(e-x)'=-e-x,
√2x-1
所以f '(x)=( 1 )e-x-(x- )e-x
1- √2x-1
√2x-1
=(1-x)(√2x-1-2)e-x ( 1).
x>
√2x-1 2
(1-x)(√2x-1-2)e-x
(2)由f '(x)= =0,
√2x-1
5
解得x=1或x= .
2
因为
1 (1 ) ( 5) 5 (5 )
x
,1
1
1, ,+∞
2 2 2 2 2
f '(x) - 0 + 0 -
1 5
1 - 1 -
f(x) e 2 ↘ 0 ↗ e 2 ↘
2 2
1
又f(x)= (√2x-1-1)2e-x≥0,
2
所以f(x)在区间[1
,+∞
)上的取值范围是 [
0,
1
e
- 1
2
] .
2 2
18.(12分)(2019山西晋中模拟,18)已知f(x)=ax2-2x+1-a,a∈R.
(1)求f(x)在[0,2]上的最小值g(a);
(2)若关于x的方程f(2x)=(a+1)·4x-a·(2x+1)-2x+1+3有正实数根,求实数a的取值范围.
解析 (1)当a=0时, f(x)=-2x+1在[0,2]上单调递减,故最小值g(a)=f(2)=-3.
1
当a≠0时, f(x)=ax2-2x+1-a是关于x的二次函数,其图象的对称轴为x= .
a
1
①当a<0时,x= <0,此时f(x)在[0,2]上单调递减,
a
故最小值g(a)=f(2)=3a-3;
1
②当a>0时,x= >0,
a
当1∈(0,2),即a>1时,f(x)在( 1)上单调递减,在(1 )上单调递增,故最小值g(a)=f(1)=1-a-1;
0, ,2
a 2 a a a a
1 1
当 ∈[2,+∞),即0<a≤ 时, f(x)在[0,2]上单调递减,
a 2
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故最小值g(a)=f(2)=3a-3.
1
{ 3a-3,a≤ ,
综上所述,g(a)= 2
1 1
1- -a,a> .
a 2
(2)f(2x)=(a+1)4x-a(2x+1)-2x+1+3即a·4x-2x+1+1-a=(a+1)4x-a(2x+1)-2x+1+3,化简得4x-a·2x+2=0,
令t=2x(t>0),则方程变形为t2-at+2=0,
根据题意得,原方程4x-a·2x+2=0有正实数根,
即关于t的一元二次方程t2-at+2=0有大于1的实数根,
2
而方程t2-at+2=0⇔ +t=a在(1,+∞)上有实根,
t
2
令F(t)= +t,t∈(1,+∞),则F(t)在(1,+∞)上的值域为[2√2,+∞),故a∈[2√2,+∞).
t
19.(12分)已知函数f(x)=2x3-ax2+2.
(1)讨论f(x)的单调性;
(2)当0<a<3时,记f(x)在区间[0,1]的最大值为M,最小值为m,求M-m的取值范围.
解析 本题考查导数及其应用的基础知识,考查导数与函数单调性之间的关系以及利用导数求函数最值的
方法,考查学生的运算求解能力、推理论证能力以及分类讨论思想的应用.
(1)f '(x)=6x2-2ax=2x(3x-a).
a
令f '(x)=0,得x=0或x= .
3
若a>0,则当x∈(-∞,0)∪(a )时, f '(x)>0;
,+∞
3
当x∈( a)时, f '(x)<0.
0,
3
故f(x)在(-∞,0),(a )单调递增,在( a)单调递减;
,+∞ 0,
3 3
若a=0, f(x)在(-∞,+∞)单调递增;
若a<0,则当x∈( a)∪(0,+∞)时, f '(x)>0;
-∞,
3
当x∈(a )时, f '(x)<0.
,0
3
故f(x)在( a),(0,+∞)单调递增,在(a )单调递减.
-∞, ,0
3 3
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(2)当0<a<3时,由(1)知, f(x)在( a)单调递减,在(a )单调递增,所以f(x)在[0,1]的最小值为f(a)=-
0, ,1
3 3 3
a3
+2,最大值为f(0)=2或f(1)=4-a.
27
a3 {4-a,0<a<2,
于是m=- +2,M=
27 2,2≤a<3.
{
a3
2-a+ ,0<a<2,
27
所以M-m=
a3
,2≤a<3.
27
当0<a<2时,可知2-a+a3 单调递减,所以M-m的取值范围是( 8 ).
,2
27 27
当2≤a<3时,a3 单调递增,所以M-m的取值范围是[ 8 ).
,1
27 27
综上,M-m的取值范围是[ 8 ).
,2
27
a
20.(12分)(2019苏州期中,18)已知f(x)=ex- 是奇函数.
ex
(1)求实数a的值;
(2)求函数y=e2x+e-2x-2λf(x)在x∈[0,+∞)上的值域;
(3)令g(x)=f(x)-2x,求不等式g(x3+1)+g(1-3x2)<0的解集.
解析 (1)函数的定义域为R,因为f(x)为奇函数,
所以f(0)=0,所以1-a=0,所以a=1.(3分)
1 1
当a=1时, f(-x)=e-x- =-ex+ =-f(x),
e-x ex
此时f(x)为奇函数. (4分)
1 1
(2)令ex- =t(t≥0),所以e2x+ =t2+2,
ex e2x
所以h(t)=t2-2λt+2,对称轴为直线t=λ. (5分)
①当λ≤0时,h(t)∈[h(0),+∞),所求值域为[2,+∞); (7分)
②当λ>0时,h(t)∈[h(λ),+∞),所求值域为[2-λ2,+∞). (9分)
1
(3)g(x)的定义域为R.因为f(x)=ex- 为奇函数,
ex
所以g(-x)=f(-x)-2(-x)=-f(x)+2x=-g(x),
所以g(x)=f(x)-2x为奇函数,
所以g(x3+1)+g(1-3x2)<0等价于g(x3+1)<g(3x2-1). (10分)
1
又g'(x)=f '(x)-2=ex+ -2≥2-2=0,当且仅当x=0时,等号成立,
ex
所以g(x)=f(x)-2x在R上单调递增,
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所以x3+1<3x2-1,即x3-3x2+2<0, (13分)
即(x-1)(x2-2x-2)<0,
所以x<1-√3或1<x<1+√3.(14分)
所以不等式的解集是(-∞,1-√3)∪(1,1+√3).(15分)
21.(12分)(2020北京房山一模,20)已知函数f(x)=2x3-ax2+2.
(1)求曲线y=f(x)在点(0, f(0))处的切线方程;
(2)讨论函数f(x)的单调性;
(3)若a>0,设函数g(x)=|f(x)|,g(x)在[-1,1]上的最大值不小于3,求a的取值范围.
解析 本题考查导数的几何意义、导数的应用、导数与函数的单调性,考查学生解决问题的能力,渗透逻辑
推理、数学运算的核心素养.
(1)f '(x)=6x2-2ax,
由f '(0)=0, f(0)=2,得曲线y=f(x)在点(0, f(0))处的切线方程为y=2.
(2)函数f(x)的定义域为R, f '(x)=6x2-2ax=2x(3x-a),
a
令f '(x)=0,解得x=0,x= ,
1 2
3
若a=0,则f '(x)=6x2≥0, f(x)在R上单调递增;
a a
若a>0,当x<0时, f '(x)>0, f(x)单调递增,当0<x< 时, f '(x)<0, f(x)单调递减,当x> 时, f '(x)>0, f(x)单调递
3 3
增;
a a
若a<0,当x< 时, f '(x)>0, f(x)单调递增,当 <x<0时, f '(x)<0, f(x)单调递减,当x>0时, f '(x)>0, f(x)单调递
3 3
增.
(3)若a>0,函数f(x)的单调递减区间为( a),单调递增区间为(-∞,0),(a ).
0, ,+∞
3 3
a
当 ≥1,即a≥3时, f(x)在[-1,0]上单调递增,在[0,1]上单调递减,
3
则g(x) =max{|f(-1)|,|f(0)|,|f(1)|}=max{a,2,|4-a|}≥3,则a≥3;
max
当0<a<1,即0<a<3时, f(x)在[-1,0]和[a ]上单调递增,在[ a]上单调递减,
,1 0,
3 3 3
∴f(x)在x=a处取得极小值,极小值为f(a)=2-a3>0,
3 3 27
则g(x) =max{|f(-1)|,|f(0)|,|f(1)|}=max{a,2,4-a},
max
若g(x) ≥3,则4-a≥3,解得a≤1,又0<a<3,∴0<a≤1.
max
综上,a的取值范围为(0,1]∪[3,+∞).
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