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第三章 导数及其应用
真题多维细目表
考题 涉分 题型 难度 考点 考向 解题方法 核心素养
２０２１新高考 ７ ５ 单项选择题 中 导数的概念和运算 比较大小 直接法 数学运算
Ⅰ，
数学运算
直接法
２０２１新高考 １６ ５ 填空题 难 导数的概念和运算 导数的几何意义 数学抽象
Ⅱ， 转化法
逻辑推理
利用导数研究函数的 数学运算
２０２１新高考 １５ ５ 填空题 中 利用导数求函数的最值 直接法
Ⅰ， 极值、最值 数学抽象
数学运算
求解函数的单调性、
２０２１新高考 ２２ １２ 解答题 难 利用导数证明不等式 直接法 直观想象
Ⅰ， 极值点的偏移问题
逻辑推理
利用导数研究函数 函数的单调区间的求解、 定义法 数学运算
２０２１新高考 ２２ 解答题 难
Ⅱ， 的零点问题 函数的零点个数的判断 直接法 逻辑推理
利用导数研究函数 逻辑推理
２０２１全国乙理 １０ ５ 单项选择题 中 由极值求参数的大小 图象法
， 的极值、最值 直观想象
利用导数研究函数 逻辑推理
２０２１全国乙理 １２ ５ 单项选择题 难 比较大小 构造函数法
， 的单调性 数学运算
利用导数研究函数 由极值点求参数、 定义法 逻辑推理
２０２１全国乙理 ２０ １２ 解答题 难
， 的极值、最值 证明不等式 导数法 数学运算
数学运算
曲线的切线、面积问题、 定义法
２０２０新高考 ２１ １２ 解答题 难 利用导数证明不等式 逻辑推理
Ⅰ， 恒成立问题 分类讨论
数学抽象
命题规律与备考策略
考查内容 本章内容主要体现在以下几个方面 以函数的平均变化 复习建议 分题型归类掌握．复习过程中需要关注同一类型问题的处
：①
率为导入 得到导数的概念 函数ｆ ｘ 在ｘ ｘ 处的导数与函数ｆ ｘ 的 理思路和策略 同时加强对重点题型和重点思路的掌握 例如 导数与
， 、 （ ） ＝ ０ （ ） ， ， ，
导函数的求解 导数的运算 常见函数的导数公式 求导法则和复合 函数的零点问题 含参函数的单调性问题 含参函数的恒成立问题等．
；② ， 、 、 、
函数的求导法则与应用 利用导数求解含参函数的单调区间与已知 复习过程中可以结合函数的基本性质进行整体复习与掌握．
；③
函数的单调性求参数问题 极值与最值的概念与求解 含参函数求 备考策略 突出重点 强化难点 关注热点 ． 重点内容 导数的
；④ 、 “ 、 、 ” （１） ：①
极值与最值问题． 几何意义 函数的单调性问题的讨论 函数的最值与恒成立问题
；② ；③ ；
题型赋分 本章内容是高考必考内容之一 一般考查 道或 道选择 不等式的证明与应用． 难点内容 构造法求解参数的取值范围
， １ ２ ④ （２） ：①
题或填空题和 道解答题 解答题多为最后一题 难度较大 分值大概 问题 函数思想证明不等式问题 函数的综合问题． 热点内容
１ ， ， ， ；② ；③ （３） ：
为 分． 与单函数 单范围问题有关的恒成立问题 与双函数 双范围问题
２０ ① 、 ；② 、
命题特点 重点考查利用导数判断函数的图象 利用导数的几何意义 有关的存在性问题等．
、
求解曲线的切线方程 利用导数判断或证明函数的单调性 极值和最
、 、
值问题 题目难度比较大．试题情境主要为课程学习情境 主要考查的
， ，
核心素养为数学运算 逻辑推理 数学抽象．
、 、第三章 导数及其应用 ８ ９
§３．１ 导数的概念和运算
导数的概念和运算 学生用书Ｐ４３ 求曲线ｙ ｆ ｘ 过坐标原点的切线与曲线ｙ ｆ ｘ 的公共
（２） ＝ （ ） ＝ （ ）
点的坐标．
１．（２０２１新高考 ，７，５分）若过点 ａ ｂ 可以作曲线ｙ ｘ 的两
Ⅰ （ ， ） ＝ｅ １１． 解题指导 由题设求出函数ｆ（ｘ）的导函数ｆ ′（ｘ），因为参
条切线 则
， （ ）
ｂ ａ ａ ｂ ａ ｂ ｂ ａ 数ａ影响了判别式，故对 ａ 进行分类讨论，设出切点 Ｐ（ｘ ，
Ａ．ｅ ＜ Ｂ．ｅ ＜ Ｃ．０＜ ＜ｅ Ｄ．０＜ ＜ｅ ０
１． 答案 Ｄ ｙ ０ ），结合导数的几何意义求出切线方程，再由切点在曲线ｙ ＝
２．（２０２０课标 理，６，５ 分）函数ｆ ｘ ｘ４ ｘ３ 的图象在点
ｆ（ｘ）上、切线经过原点列出关于ｘ 的方程，进而求解．
Ⅰ （ ）＝ －２ （１， ０
ｆ 处的切线方程为 解析 由ｆ ｘ ｘ３ ｘ２ ａｘ 可得ｆ ′ ｘ ｘ２ ｘ ａ
（１）） （ ） （１） （ ）＝ － ＋ ＋１ （ ）＝３ －２ ＋ ，
ｙ ｘ ｙ ｘ 对于 ｘ２ ｘ ａ Δ ａ．
Ａ． ＝－２ －１ Ｂ． ＝－２ ＋１ ３ －２ ＋ ＝０， ＝４－１２
ｙ ｘ ｙ ｘ
Ｃ． ＝２ －３ Ｄ． ＝２ ＋１ 当ａ １ 时 Δ 即ｆ ′ ｘ 在Ｒ上恒成立 此时ｆ ｘ
２． 答案 Ｂ ① ≥ ， ≤０， （ ）≥０ ， （ ）
３
３．（２０１９课标 ，文７，理５，５分）已知曲线ｙ ａ ｘ ｘ ｘ在点 在Ｒ上单调递增．
Ⅲ ＝ ｅ ＋ ｌｎ （１，
ａ 处的切线方程为ｙ ｘ ｂ 则
ｅ） ＝２ ＋ ， （ ） 当 ａ １ 时 Δ 方程 ｘ２ ｘ ａ 的两个根为 ｘ
ａ ｂ ａ ｂ ② ＜ ３ ， ＞０， ３ －２ ＋ ＝０ １ ＝
Ａ． ＝ｅ， ＝－１ Ｂ． ＝ｅ， ＝１
Ｃ． ａ ＝ｅ －１ ， ｂ ＝１ Ｄ． ａ ＝ｅ －１ ， ｂ ＝－１ １－ １－３ ａ ｘ １＋ １－３ ａ 故当 ｘ æ ç １－ １－３ ａö ÷
３． 答案 Ｄ ， ２ ＝ ， ∈è－∞， ø∪
３ ３ ３
４．（２０１８课标理，５，５分）设函数ｆ ｘ ｘ３ ａ ｘ２ ａｘ．若ｆ ｘ 为奇 ( ａ ) ( ａ
Ⅰ （ ）＝ ＋（ －１） ＋ （ ） １＋ １－３ 时 ｆ ′ ｘ 当 ｘ １－ １－３
函数 则曲线ｙ ｆ ｘ 在点 处的切线方程为 ，＋∞ ， （ ） ＞０， ∈ ，
， ＝ （ ） （０，０） （ ） ３ ３
ｙ ｘ ｙ ｘ ｙ ｘ ｙ ｘ ａ )
Ａ． ＝－２ Ｂ． ＝－ Ｃ． ＝２ Ｄ． ＝ １＋ １－３ 时 ｆ ′ ｘ
４． 答案 Ｄ ， （ ）＜０，
３
５．（２０１９课标 Ⅱ 文，１０，５分）曲线ｙ ＝２ｓｉｎ ｘ ＋ｃｏｓ ｘ在点 （π，－１） 处 所以ｆ ｘ 在 æ ç １－ １－３ ａö ÷ æ ç１＋ １－３ ａ ö ÷上单调递
的切线方程为 （ ） è－∞， ø，è ，＋∞ø
（ ） ３ ３
ｘ ｙ ｘ ｙ
Ａ． － －π－１＝０ Ｂ．２ － －２π－１＝０ æ ａ ａö
Ｃ．２ ｘ ＋ ｙ －２π＋１＝０ Ｄ． ｘ ＋ ｙ －π＋１＝０ 增 ， 在 è ç１－ １－３ ， １＋ １－３ ø ÷上单调递减．
５． 答案 Ｃ ３ ３
设过原点的切线与曲线ｙ ｆ ｘ 相切于点Ｐ ｘ ｙ
６．（２０２１新高考 ，１６，５分）已知函数ｆ ｘ ｘ ｘ ｘ （２） ＝ （ ） （ ０， ０），
函数ｆ ｘ 的 Ⅱ 图象在点Ａ ｘ ｆ ｘ （ 和 ） 点 ＝ Ｂ ｜ｅ ｘ －１｜ ｆ ， ｘ １＜０， 处 ２ 的 ＞ 则切线的斜率为ｆ ′ （ ｘ ０）＝３ ｘ２ ０－２ ｘ ０＋ ａ ，
０， （ ） （ １， （ １）） （ ２， （ ２）） 故以点Ｐ为切点的切线方程为ｙ ｘ２ ｘ ａ ｘ ｘ ｙ ．
ＡＭ ＝（３ ０－２ ０＋ ）（ － ０）＋ ０
两条切线互相垂直 且分别交ｙ轴于Ｍ Ｎ两点 则｜ ｜的取 由ｙ ｘ３ ｘ２ ａｘ 且切线过原点 得 ｘ３ ｘ２ 即 ｘ
， ， ， ＢＮ ０＝ ０－ ０＋ ０＋１， ， ２ ０－ ０－１＝０， （ ０－
值范围是 ．
｜ ｜
１）（２
ｘ２
０＋
ｘ
０＋１）＝０，
解得ｘ
０＝１，
从而
{ｙ
得Ｐ
（１
ａ
，１
ｘ
＋
ａ
）
．
６． 答案 所以切线方程为ｙ ａ ｘ 联立 ＝（１＋ ） ，
７．（２０２１全 国
（０
甲
，１
理
）
，１３，５分）曲线ｙ ２
ｘ
－１在点 处的切
＝（１＋ ） ， ｙ
＝
ｘ３
－
ｘ２
＋
ａｘ
＋１，
＝ ｘ （－１，－３） 消去ｙ得ｘ３ ｘ２ ｘ
＋２ － － ＋１＝０，
线方程为 ． 即 ｘ ２ ｘ ｘ 或
（ －１） （ ＋１）＝０，∴ ＝１ －１，
７． 答案 ｙ ｘ 公共点为 ａ 与 ａ ．
＝５ ＋２ ∴ （１，１＋ ） （－１，－１－ ）
８．（２０２０课标 文，１５，５分）曲线ｙ ｘ ｘ 的一条切线的斜 疑难点拨 单调性问题的本质为解不等式，利用导函数的
Ⅰ ＝ｌｎ ＋ ＋１
率为 则该切线的方程为 ． 图象确定符号，当参数影响到导函数的符号时，对其分类讨
２，
８． 答案 ｙ ｘ 论；切线问题的核心是切点，而切线与曲线的公共点不一定
＝２
ｘ 只有切点，这是一个易错点．
９．（２０２０课标 文，１５，５分）设函数ｆ ｘ ｅ ．若ｆ ′ ｅ 则
Ⅲ （ ）＝ｘ ａ （１）＝ ，
＋ ４ １２．（２０１９北京文，２０，１４分）已知函数ｆ ｘ １ ｘ３ ｘ２ ｘ．
ａ ． （ ）＝ － ＋
＝ ４
９． 答案 求曲线ｙ ｆ ｘ 的斜率为 的切线方程
１ （１） ＝ （ ） １ ；
１０．（２０１９江苏，１１，５分）在平面直角坐标系ｘＯｙ中 点Ａ在曲线 当ｘ 时 求证 ｘ ｆ ｘ ｘ
， （２） ∈［－２，４］ ， ： －６≤（ ）≤ ；
ｙ ｘ上 且该曲线在点Ａ处的切线经过点 为自 设Ｆ ｘ ｆ ｘ ｘ ａ ａ Ｒ 记Ｆ ｘ 在区间
＝ｌｎ ， （－ｅ，－１）（ｅ （３） （ ）＝ ｜ （ ）－（ ＋ ）｜（ ∈ ）， （ ） ［－２，
然对数的底数 则点Ａ的坐标是 ． 上的最大值为Ｍ ａ ．当Ｍ ａ 最小时 求ａ的值．
）， ４］ （ ） （ ） ，
１０． 答案 １２． 解析 本题考查利用导数求三次函数图象的切线 及函数
（ｅ，１） ，
１１．（２０２１全国乙文，２１，１２分）已知函数ｆ ｘ ｘ３ ｘ２ ａｘ ． 的最大值 最小值 考查分类讨论的思想 要求学生有良好的
（ ）＝ － ＋ ＋１ 、 ， ，
讨论ｆ ｘ 的单调性 逻辑推理和运算求解能力．
（１） （ ） ；
９ ０ ５年高考３年模拟 Ｂ版（教师用书）
（１） 由ｆ （ ｘ ）＝ １ ｘ３ － ｘ２ ＋ ｘ得ｆ ′ （ ｘ ）＝ ３ ｘ２ －２ ｘ ＋１ ． ＝ １ · （ ｙ １ ｘ － ｙ ２ ｘ ＋２） ２ ＝ １ · （－ｌｎ ｘ １ ｘ －ｌｎ ｘ ｘ ２＋２） ２
４ ４ ２ １＋ ２ ２ １＋ ２
ｘ ｘ
令ｆ ′
（
ｘ
）＝１，
即 ３ ｘ２
－２
ｘ
＋１＝１， １ ２
４ ｘ ｘ ２
１ ［－ｌｎ（ １ ２）＋２］ １ ４ ２
得ｘ 或ｘ ８ ． ＝ · ｘ ｘ ＝ ·ｘ ｘ ＝ｘ ｘ ，
＝０ ＝ ２ １＋ ２ ２ １＋ ２ １＋ ２
３ 又 ｘ ｘ ｘ ｘ
( ) ∵０＜ １＜１， ２＞１， １ ２＝１，
又ｆ ｆ ８ ８ ｘ ｘ ｘ ｘ
（０）＝０， ３ ＝ ２７ ， ∴ １＋ Ｓ ２＞２ ．故 １ 选 ２ ＝２ ． ，
所以曲线ｙ ｆ ｘ 的斜率为 的切线方程是ｙ ｘ与ｙ ８ ｘ ∴０＜ △ ＰＡＢ＜１ Ａ
＝ （ ） １ ＝ － ＝ － 思路分析 设出点Ｐ ，Ｐ 的坐标，进而根据已知表示出ｌ ，
２７ １ ２ １
ｌ ，然后求出点Ａ、Ｂ的坐标及ｘ ，最后利用点在曲线上及垂直
８ 即ｙ ｘ与ｙ ｘ ６４． ２ Ｐ
， ＝ ＝ － 的条件求出面积表达式，从而求出面积的取值范围．
３ ２７
证明 令ｇ ｘ ｆ ｘ ｘ ｘ ． 评析 本题考查了利用导数求切线问题，及考生的运算能力．
（２） ： （ ）＝ （ ）－ ， ∈［－２，４］
２．（２０１４课标 理，８，５分）设曲线ｙ ａｘ ｘ 在点 处
由ｇ ｘ １ ｘ３ ｘ２ 得ｇ′ ｘ ３ ｘ２ ｘ． Ⅱ ＝ －ｌｎ（ ＋１） （０，０）
（ ）＝ － （ ）＝ －２ 的切线方程为ｙ ｘ 则ａ
４ ４ ＝２ ， ＝ （ ）
令ｇ′ ｘ 得ｘ 或ｘ ８ ． Ａ．０ Ｂ．１ Ｃ．２ Ｄ．３
（ ）＝０， ＝０ ＝
３ 答案 Ｄ ｙ′ ａ １ 当ｘ 时 ｙ′ ａ ａ 故选 ．
ｇ′ ｘ ｇ ｘ 的情况如下 ＝ －ｘ ， ＝０ ， ＝ －１＝２，∴ ＝３， Ｄ
（ ）， （ ） ： ＋１
( ) ( ) ｘ
ｘ ８ ８ ８ ３．（２０１９天津文，１１，５分）曲线ｙ ｘ 在点 处的切线
－２ （－２，０） ０ ０， ，４ ４ ＝ｃｏｓ － （０，１）
３ ３ ３ ２
方程为 ．
ｇ′ ｘ
（ ） ＋ － ＋ 答案 ｘ ｙ
＋２ －２＝０
ｇ ｘ ６４ 解析 本题通过求曲线在某点处的切线 考查学生对基本初
（ ） －６ ↗ ０ ↘ － ↗ ０ ，
２７
等函数的导数公式 导数的运算法则 导数的几何意义的理解
所以ｇ ｘ 的最小值为 最大值为 ． 、 、
（ ） －６， ０ 和掌握程度．
故 ｇ ｘ 即ｘ ｆ ｘ ｘ．
－６≤ （ ）≤０， －６≤（ ）≤
ｘ
由 知 ｙ ｘ ｙ′ ｘ １ ｙ′ １ 即曲线在
（
当
３）
ａ
（２
时
）
Ｍ
，
ａ Ｆ ｇ ａ ａ
∵ ＝ｃｏｓ －
２
，∴ ＝－ｓｉｎ －
２
，∴ ｜ｘ ＝０＝－
２
， （０，
＜－３ ， （ ）≥ （０）＝ ｜ （０）－ ｜＝－ ＞３；
当ａ 时 Ｍ ａ Ｆ ｇ ａ ａ 处的切线斜率为 １ 切线方程为ｙ １ ｘ 即ｘ
＞－３ ， （ ）≥ （－２）＝ ｜ （－２）－ ｜＝６＋ ＞３； １） － ，∴ －１＝－ （ －０）， ＋
当ａ 时 Ｍ ａ ． ２ ２
＝－３ ， （ ）＝３ ｙ ．
综上 当Ｍ ａ 最小时 ａ ． ２ －２＝０
， （ ） ， ＝－３ 方法总结 求曲线在某点处（注意：该点必为切点）切线的方
解后反思 利用导数证明不等式时，常涉及构造函数，然
法： 求导函数； 把该点横坐标代入，求出该点处导数值，即为切
后结合函数的最值与导数的关系证明． ① ②
线的斜率； 用点斜式写出切线方程．
③
以下为教师用书专用（１—１３） ４．（２０１８课标 理，１３，５分）曲线ｙ ｘ 在点 处的切
Ⅱ ＝２ｌｎ（ ＋１） （０，０）
１．（２０１６ 四川理，９，５ 分）设直线 ｌ ｌ 分别是函数 ｆ ｘ 线方程为 ．
１， ２ （ ）＝
{ ｘ ｘ 答案 ｙ ｘ
－ｌｎ ，０＜ ＜１，图象上点Ｐ Ｐ 处的切线 ｌ 与ｌ 垂直相交于 ＝２
ｘ ｘ １， ２ ， １ ２ 解析 本题主要考查导数的几何意义．
ｌｎ ， ＞１
点Ｐ 且ｌ ｌ 分别与ｙ轴相交于点Ａ Ｂ 则 ＰＡＢ的面积的取
值范
，
围是
１，２ ， ， △ 因为ｙ′
＝ｘ
２
，
所以ｙ′
｜ｘ ＝０＝２，
又
（０，０）
为切点
，
（ ） ＋１
所以曲线在点 处的切线方程为ｙ ｘ．
Ａ．（０，１） Ｂ．（０，２） Ｃ．（０，＋∞） Ｄ．（１，＋∞） （０，０） ＝２
答案 Ａ 设ｌ 是ｙ ｘ ｘ 的切线 切点 Ｐ ｘ ５．（２０１８课标 文，１３，５分）曲线ｙ ｘ在点 处的切线
１ ＝－ｌｎ （０＜ ＜１） ， １（ １， Ⅱ ＝２ｌｎ （１，０）
ｙ ｌ 是ｙ ｘ ｘ 的切线 切点Ｐ ｘ ｙ 方程为 ．
１），２ ＝ｌｎ （ ＞１） ， ２（ ２， ２），
答案 ｘ ｙ
ｌ ｙ ｙ １ ｘ ｘ ２ － －２＝０
１： － １＝－ｘ （ － １），① 解析 本题主要考查导数的几何性质．
１
ｌ ｙ ｙ １ ｘ ｘ 由ｙ ｘ得ｙ′ ２ ．因为ｋ ｙ′ 点 为切点
２： － ２＝ｘ （ － ２），② ＝２ｌｎ ＝ ｘ ＝ ｜ｘ ＝１＝２， （１，０） ，
２
ｙ ｙ 所以切线方程为ｙ ｘ 即 ｘ ｙ ．
①－②
得ｘ
Ｐ＝
１－ ２＋２
， ６．（２０１８课标 理，１４
＝
，
２
５
（
分
－
）
１
曲
），
线ｙ
２ －
ａ
－
ｘ
２＝０
ｘ 在点 处的
１ １ Ⅲ ＝（ ＋１）ｅ （０，１）
ｘ ＋ｘ 切线的斜率为 则ａ ．
１ ２ －２， ＝
易知Ａ ｙ Ｂ ｙ 答案
（０， １＋１）， （０， ２－１）， －３
解析 本题考查导数的综合应用．
ｌ ｌ １ １ ｘ ｘ
∵ １⊥２，∴ －ｘ ·ｘ ＝－１，∴ １ ２＝１， 设ｆ ｘ ａｘ ｘ 则ｆ′ ｘ ａｘ ａ ｘ 所以曲线在点
１ ２ （ ）＝（ ＋１）ｅ ， （ ）＝（ ＋ ＋１）ｅ ， （０，
ｙ ｙ 处的切线的斜率ｋ ｆ ′ ａ 解得ａ ．
Ｓ １ ＡＢ ｘ １ ｙ ｙ ｜ １－ ２＋２｜ １） ＝ （０）＝ ＋１＝－２， ＝－３
∴ △ ＰＡＢ＝ ｜ ｜·｜ Ｐ｜＝ ｜ １－ ２＋２｜·
２ ２
ｘ
１
＋ｘ
１ ７．（２０１７课标
Ⅰ
文，１４，５分）曲线ｙ
＝
ｘ２
＋
１
ｘ
在点
（１，２）
处的切线
１ ２
第三章 导数及其应用 ９ １
方程为 ． 线方程为ｙ ａ ａ ｘ 又此切线过点
－（ ＋２）＝（３ ＋１）（ －１）， （２，７），
答案 ｘ ｙ ａ ａ 解得ａ ．
－ ＋１＝０ ∴７－（ ＋２）＝（３ ＋１）（２－１）， ＝１
解析 本题考查导数的几何意义． １１．（２０１５课标 文，１６，５分）已知曲线ｙ ｘ ｘ在点 处
Ⅱ ＝ ＋ｌｎ （１，１）
的切线与曲线ｙ ａｘ２ ａ ｘ 相切 则ａ ．
∵
ｙ
＝
ｘ２
＋
１
ｘ ，∴
ｙ′
＝２
ｘ
－ｘ
１
２，∴
ｙ′
｜ｘ ＝１＝２－１＝１，∴
所求切线方程
答案
＝ ＋（ ＋２） ＋１ ， ＝
８
为ｙ ｘ 即ｘ ｙ ．
－２＝ －１， － ＋１＝０ 解析 令ｆ ｘ ｘ ｘ 求导得ｆ ′ ｘ １ ｆ ′
８．（２０１７天津文，１０，５分）已知ａ Ｒ 设函数ｆ ｘ ａｘ ｘ的图 （ ）＝ ＋ｌｎ ， （ ）＝ １＋ ｘ ， （１）＝ ２，
∈ ， （ ）＝ －ｌｎ
象在点 ｆ 处的切线为 ｌ 则 ｌ 在 ｙ 轴上的截 又ｆ 所以曲线ｙ ｘ ｘ在点 处的切线方程为ｙ
（１， （１）） ， （１）＝１， ＝ ＋ｌｎ （１，１）
距为 ． ｘ 即ｙ ｘ ．设直线ｙ ｘ 与曲线ｙ ａｘ２ ａ
－１＝２（ －１）， ＝２ －１ ＝２ －１ ＝ ＋（ ＋
答案 ｘ 的切点为Ｐ ｘ ｙ 则ｙ′ ａｘ ａ 得ａ ｘ
１ ２） ＋１ （ ０， ０）， ｜ｘ ＝ ｘ ０ ＝２ ０＋ ＋２＝２， （２ ０
解析 本题主要考查导数的几何意义以及直线方程与截距．
ａ 或 ｘ １ 又 ａｘ２ ａ ｘ ｘ 即
＋１）＝０，∴ ＝０ ０＝－ ， ０＋（ ＋２） ０＋１＝２ ０－１，
由题意可知ｆ ′ ｘ ａ １ 所以ｆ ′ ａ ２
（ ）＝ － ｘ ， （１）＝ －１，
ａｘ２ ａｘ 当ａ 时 显然不满足此方程 ｘ １ 此
因为ｆ ａ 所以切点坐标为 ａ ０＋ ０＋２＝０， ＝０ ， ，∴ ０＝－ ，
（１）＝ ， （１， ）， ２
所以切线ｌ的方程为ｙ ａ ａ ｘ 时ａ ．
－ ＝（ －１）（ －１）， ＝８
即ｙ ａ ｘ ． 评析 本题主要考查导数的几何意义，能够利用点斜式求出
＝（ －１） ＋１
令ｘ 得ｙ 即直线ｌ在ｙ轴上的截距为 ． 切线方程是解题关键．
＝０， ＝１， １
易错警示 不能正确求解函数的导数，而导致不能正确求 １２．（２０１５陕西理，１５，５分）设曲线ｙ ｘ 在点 处的切线与曲
＝ｅ （０，１）
解切线ｌ的斜率．
线ｙ １ ｘ 上点Ｐ处的切线垂直 则Ｐ的坐标为 ．
＝ ｘ （ ＞０） ，
９．（２０１６课标 理，１６，５分）若直线ｙ ｋｘ ｂ是曲线ｙ ｘ 的
Ⅱ ＝ ＋ ＝ｌｎ ＋２ 答案
切线 也是曲线ｙ ｘ 的切线 则ｂ ． （１，１）
， ＝ｌｎ（ ＋１） ， ＝ 解析 函数ｙ ｘ 的导函数为ｙ′ ｘ
答案 ∵ ＝ｅ ＝ｅ ，
解析 直 １－ 线 ｌｎ ｙ ２
＝
ｋｘ
＋
ｂ与曲线ｙ
＝ｌｎ
ｘ
＋２，
ｙ
＝ｌｎ（
ｘ
＋１）
均相切
，
∴ 曲线ｙ ＝ｅ ｘ 在点 （０，１） 处的切线的斜率ｋ １＝ｅ ０ ＝１ ．
设Ｐ ｘ ｙ ｘ 函数ｙ １ 的导函数为ｙ′ １
设切点分别为Ａ
（
ｘ
１，
ｙ
１），
Ｂ
（
ｘ
２，
ｙ
２），
由ｙ
＝ｌｎ
ｘ
＋２
得ｙ′
＝
１
ｘ ，
由 （ ０， ０）（ ０＞０），∵ ＝ ｘ ＝－ｘ２，
曲线ｙ １ ｘ 在点Ｐ处的切线的斜率ｋ １
ｙ
＝ｌｎ（
ｘ
＋１）
得ｙ′
＝ｘ
１
，∴
ｋ
＝ ｘ
１
＝ｘ
１
，∴
ｘ
１＝
１
ｋ ，
ｘ
２＝
１
ｋ －１，
∴ ＝ ｘ （ ＞０） ２＝－ｘ２，
＋１ ( １ ２＋１ ) ( ) æ ö ０
∴ ｙ １＝－ｌｎ ｋ ＋２， ｙ ２＝－ｌｎ ｋ．即Ａ １ ｋ ，－ｌｎ ｋ ＋２ ， Ｂ １ ｋ －１，－ｌｎ ｋ ， 则有ｋ １ ｋ ２＝－１， 即 １·è ç －ｘ １ ２ ø ÷ ＝－１， 解得ｘ２ ０＝１， 又ｘ ０＞０，
０
ì
ï ｋ ｋ １ ｂ ｘ ．又 点Ｐ在曲线ｙ １ ｘ 上 ｙ 故点Ｐ的
ï２－ｌｎ ＝ · ｋ ＋ ， {ｂ ∴ ０＝１ ∵ ＝ ｘ （ ＞０） ，∴ ０＝１，
Ａ Ｂ在直线ｙ ｋｘ ｂ上 í ＝１－ｌｎ２，
∵ 、 ＝ ＋ ，∴ ï ï ｋ ｋ ( １ ) ｂ ⇒ ｋ ＝２ ． 坐标为 （１，１） ．
î－ｌｎ ＝ · ｋ －１ ＋ １３．（２０１２课标文，１３，５分）曲线ｙ ｘ ｘ 在点 处的
＝ （３ｌｎ ＋１） （１，１）
评析 解决本题的关键是知道切点既在曲线上，又在切线上． 切线方程为 ．
１０．（２０１５课标
Ⅰ
文，１４，５分）已知函数ｆ
（
ｘ
）＝
ａｘ３
＋
ｘ
＋１
的图象在 答案 ｙ
＝４
ｘ
－３
点 ｆ 处的切线过点 则ａ ．
（１， （１）） （２，７）， ＝ 解析 ｙ′ ｘ ｘ ３ ｘ ｋ ｙ′ 切线方程
答案 ＝３ｌｎ ＋１＋ · ｘ ＝３ｌｎ ＋４， ＝ ｜ｘ ＝１＝４，
１
解析 由题意可得ｆ ′
（
ｘ
）＝３
ａｘ２
＋１，∴
ｆ ′
（１）＝３
ａ
＋１，
为ｙ
－１＝４（
ｘ
－１），
即ｙ
＝４
ｘ
－３
．
又ｆ
（１）＝
ａ
＋２，∴
ｆ
（
ｘ
）＝
ａｘ３
＋
ｘ
＋１
的图象在点
（１，
ｆ
（１））
处的切 评析 本题考查了导数的几何意义，考查了运算求解能力．
学生用书Ｐ４３
ｆ ′（ｘ ） ．相应地 切线方程为ｙ ｆ ｘ ｆ ′ ｘ ｘ ｘ ．
考点 导数的概念和运算 ① ０ ， －（ ０）＝ （ ０）（ － ０）
２．导数的运算
基本初等函数的导数公式
１．导数的概念及几何意义 （１）
原函数 导函数
导数的概念 称函数 ｆ ｘ 在 ｘ ｘ 处的瞬时变化率
（１） ： （ ） ＝ ０ ｆ ｘ Ｃ Ｃ为常数 ｆ′ ｘ
ｙ ｆ ｘ ｘ ｆ ｘ （ ）＝ （ ） （ ）＝０
Δ ｌｉｘ → ｍ ０ Δ Δ ｘ＝ Δ ｌｉｘ → ｍ ０ （ ０＋Δ Δ ） ｘ －（ ０）为函数 ｆ （ ｘ ） 在 ｘ ＝ ｘ ０ 处的导数 ， 记 ｆ （ ｘ ）＝ ｘ ｆ α （ ｘ α ∈ Ｑ ， 且 ｘ α ≠０） ｆ′ ｆ （ ′ ｘ ） ｘ ＝② αｘα ｘ － １
ｆ ｘ ｘ ｆ ｘ （ ）＝ｓｉｎ （ ）＝ｃｏｓ
作ｆ ′ ｘ 或ｙ′ 即ｆ ′ ｘ （ ０＋Δ ）－（ ０）． ｆ ｘ ｘ ｆ′ ｘ ｘ
（ ０） ｜ｘ ＝ ｘ ０， （ ０）＝ Δ ｌｉｘ → ｍ ０ Δ ｘ ｆ ｘ ａ （ ｘ ） ａ ＝ｃｏｓ 且ａ ｆ （ ′ ） ｘ ＝③ ａ － ｘ ｓｉｎ ａ
导数的几何意义 函数ｙ ｆ ｘ 在点ｘ 处的导数ｆ ′ ｘ （ ）＝ （ ＞０， ≠１） （ ）＝ ｌｎ
（２） ： ＝ （ ） ０ （ ０） 续表
就是曲线 ｙ ｆ ｘ 在点 Ｐ ｘ ｙ 处的切线的斜率 即 ｋ
＝ （ ） （ ０， ０） ， ＝
９ ２ ５年高考３年模拟 Ｂ版（教师用书）
复合函数的导数
原函数 导函数 （３）
复合函数ｙ ｆ ｇ ｘ 的导数和函数ｙ ｆ ｕ ｕ ｇ ｘ 的导
ｆ ｘ ｘ ｆ′ ｘ ｘ ＝ （ （ ）） ＝ （ ）， ＝ （ ）
（ ）＝ｅ （ ）＝④ ｅ 数间的关系为ｙ′ ｙ′ ｕ′ 即ｙ对ｘ的导数等于ｙ对ｕ的导数与
ｘ＝ ｕ· ｘ，
ｆ ｘ ｘ ａ 且ａ ｆ′ ｘ １ ｕ对ｘ的导数的乘积．
（ ）＝ｌｏｇａ （ ＞０， ≠１） （ ）＝ｘ ａ
ｌｎ
ｆ ｘ ｘ ｆ′ ｘ １
（ ）＝ｌｎ （ ）＝⑤ ｘ
导数的运算法则
（２）
运算 法则
加减 ｆ ｘ ｇ ｘ ′ ｆ′ ｘ ｇ′ ｘ
［ （ ）± （ ）］ ＝ （ ）± （ ）
积 ｆ ｘ ｇ ｘ ′ ｆ′（ｘ）ｇ（ｘ） ｆ（ｘ）ｇ′（ｘ）
［ （ ） （ ）］ ＝⑥ ＋
[ｆ ｘ ] ｆ′ ｘ ｇ ｘ ｆ ｘ ｇ′ ｘ
商 （ ） ′ （ ） （ ）－（ ） （ ） ｇ ｘ
ｇ ｘ ＝ ｇ ｘ ２ （ （ ）≠０）
（ ） ［ （ ）］
学生用书Ｐ４４
利用导数的几何意义求曲线的切线方程及参数的方法 ｍ 切点坐标为
∴ ＝１，∴ （１，２），
１．求过切点问题的基本思路 ｂ ｂ ．
∴２＝ｌｎ１＋ ，∴ ＝２
( )
设曲线 ｙ ｆ ｘ 在点 ｘ ｙ 处的切线为 ｌ 则根
{ｋ ｆ ′ ｘ
＝ （ ） （ ０， ０） ，
（２）
设切点为 ｘ
０，
１ ｘ３
０＋
４
，
因为ｆ ′
（
ｘ
）＝
ｘ２
，
所以ｆ ′
（
ｘ
０）
切＝ （ ０）， ３ ３ ( )
据 切
切
点
点
在
在
切
曲
线
线上
ｌ上
，
建立方程组求解．
＝
ｘ２
０，
从而得到切点处的切线方程为ｙ
－
３
１ ｘ３
０＋
３
４
＝
ｘ２
０（
ｘ
－
ｘ
０），
２．过非切点的切线的求法 将 （２，４） 代入 ， 化简得到ｘ３ ０－３ ｘ２ ０＋４＝０， 即 （ ｘ ０＋１）（ ｘ ０－２） ２ ＝０， 解
得ｘ 或ｘ ．
设出切点坐标为 ｘ ｆ ｘ 先求出在 ｘ ｘ 处的切线方 ０＝－１ ０＝２
（ ０， （ ０））， ＝ ０ 当ｘ 时 切线方程为ｘ ｙ 当ｘ 时 切线方程
程 然后把所过点的坐标代入即可求出ｘ 从而得出切线方程． ０＝－１ ， － ＋２＝０； ０＝２ ，
， ０， 为 ｘ ｙ ．
３．由曲线的切线求参数的方法 ４ － －４＝０
答案 Ｃ ｘ ｙ 或 ｘ ｙ
已知曲线在某点处的切线求参数问题主要用方程思想来破 （１） （２） － ＋２＝０ ４ － －４＝０
１－１ 已知函数ｆ ｘ ｘ ｘ ａ ｘ２ ａｘ ａ 若函数 ｙ
解．先求出函数的导数 从而求出在某点处的导数值 再根据导数 （ ）＝ ｃｏｓ ＋（ －１） ＋ ＋ ， ＝
， ； ｆ ｘ ａ是奇函数 则曲线 ｙ ｆ ｘ 在点 ｆ 处的切线方
的几何意义与已知条件 建立关于参数的方程 组 通过解方程 （ ）－ ， ＝ （ ） （０， （０））
， （ ）， 程是
组 求出参数的值． （ ）
（ ） ｘ ｙ ｘ ｙ
例 若曲线ｙ ｘ 在ｘ 处的切线也是曲线ｙ ｘ ｂ Ａ． － ＋１＝０ Ｂ．２ － ＋１＝０
（１） ＝ｅ ＝０ ＝ｌｎ ＋ ｘ ｙ ｘ ｙ
的切线 则ｂ Ｃ．２ ＋ －１＝０ Ｄ． －２ ＋２＝０
， ＝ （ ） １－１． 答案 Ｂ
Ａ．－１ Ｂ．１ Ｃ．２ Ｄ．ｅ １－２ 已知过点Ａ ａ 作曲线Ｃ ｙ ｘ ｘ 的切线有且仅有两
（ ，０） ： ＝ ｅ
设函数ｆ ｘ １ ｘ３ ４ 则曲线ｙ ｆ ｘ 过Ｐ 的切 条 则实数ａ的取值范围是
（２） （ ）＝ ＋ ， ＝ （ ） （２，４） ， （ ）
３ ３
线方程为 ． Ａ．（－∞，－４）∪（０，＋∞） Ｂ．（０，＋∞）
解析 令ｙ ｆ ｘ ｘ ｆ ′ ｘ ｘ Ｃ．（－∞，－１）∪（１，＋∞） Ｄ．（－∞，－１）
（１） ＝ （ ）＝ｅ ，∴ （ ）＝ｅ ， １－２． 答案 Ａ
ｆ ′
∴ ｆ （０）＝１， 曲线ｙ ｘ 在ｘ 处的切线方程为ｙ ｘ ． １－３ 若ｆ （ ｘ ）＝ｌｎ ｘ与ｇ （ ｘ ）＝ ｘ２ ＋ ａｘ的图象有一条与直线ｙ ＝
∵ （０）＝１，∴ ＝ｅ ＝０ ＝ ＋１
ｘ平行的公共切线 则ａ
设切线ｙ ｘ 与曲线ｙ ｘ ｂ的切点坐标为 ｍ ｍ ， ＝ （ ）
＝ ＋１ ＝ｌｎ ＋ （ ， ＋１），
或
Ａ．１ Ｂ．２ Ｃ．３ Ｄ．３ －１
∵ ｙ′ ＝ １ ｘ ，∴ ｙ′ ｜ｘ ＝ ｍ＝ ｍ １ ＝１， １－３． 答案 Ｄ
第三章 导数及其应用 ９ ３
Ａ 组 考点基础题组 学生用书Ｐ４４
导数的概念和运算 ｘ３ ｘ２ 上的点 曲线Ｃ在点Ｐ处的切线与直线ｙ ｘ 平
－ ＋１ ， ＝８ －１１
行 则
１．（２０２１湖南永州二模，７）曲线ｆ ｘ ｘ在ｘ ｔ处的切线ｌ过 ， （ ）
（ ）＝２ｌｎ ＝
原点 则ｌ的方程是 ｘ ｘ ４
， （ ） Ａ． ０＝２ Ｂ． ０＝－
ｘ ｙ ｘ ｙ ３
Ａ．２ －ｅ ＝０ Ｂ．２ ＋ｅ ＝０
ｘ ｙ ｘ ｙ ｘ 或ｘ ４ ｘ 或ｘ ４
Ｃ．ｅ －２ ＝０ Ｄ．ｅ ＋２ ＝０ Ｃ． ０＝２ ０＝－ Ｄ． ０＝－２ ０＝
１． 答案 Ａ ３ ３
４． 答案 Ｂ
２．（２０２０山东百师联盟测试二，３）已知函数ｆ ｘ ｘ３ ｘｆ ′
（ ）＝ ＋２ （１）－ ５．（２０２１湖南衡阳联考（一），１４）定义在Ｒ上的函数ｆ ｘ 满足
则ｆ ′ （ ）
１， （１）＝ （ ） ｆ ｘ ｆ ｘ ｆ ｘ 的导函数为 ｆ ′ ｘ 则 ｆ ′
（ ）＋（２－ ）＝１， （ ） （ ）， （－２ ０１９）－
３ ３ ｆ ′ ．
Ａ． Ｂ．３ Ｃ．－３ Ｄ．－ （２０２１）＝
２ ２ ５． 答案
２． 答案 Ｃ ０
ｘ ６．（２０２１百校大联考（六），１４）函数ｙ ＝ ｘ ｅ ２ ｘ的图象在点 （１， ｍ ） 处
３．（２０２１辽宁百校联盟质检，３）函数ｆ ｘ ｅ －２的图象在点 的切线方程为 ．
（ ）＝ ｘ （１，
ｆ 处的切线方程为 ６． 答案 ３ｅ ２ｘ － ｙ －２ｅ ２ ＝０
（１）） （ ） ７．（２０２０广东佛山质量检测（一），１５）函数ｆ ｘ ｘ和ｇ ｘ
ｘ ｙ ｘ ｙ （ ）＝ｌｎ （ ）＝
Ａ．２ ＋ ＋ｅ－４＝０ Ｂ．２ ＋ －ｅ＋４＝０ ａｘ２ ｘ的图象有公共点Ｐ 且在点Ｐ处的切线相同 则这条切
ｘ ｙ ｘ ｙ － ， ，
Ｃ．２ － ＋ｅ－４＝０ Ｄ．２ － －ｅ＋４＝０ 线的方程为 ．
３． 答案 Ｃ
７． 答案 ｙ ｘ
４．（２０２０广东广州综合测试一，１０）已知点Ｐ ｘ ｙ 是曲线Ｃ ｙ ＝ －１
（ ０， ０） ： ＝
Ｂ 组 综合应用题组 学生用书Ｐ４５ ６０分钟 ６０分
一、单项选择题（每小题５分，共１５分） 在两条斜率为 的不同切线 且切点的横坐标都大于零 则实
３ ， ，
数ａ可能的取值为
１．（２０２１广东肇庆二模，６）曲线ｆ ｘ ｘ １ 在 ｆ 处的 （ ）
（ ）＝ｌｎ － ｘ （１， （１））
１９ １０ ９
切线方程为 Ａ． Ｂ．３ Ｃ． Ｄ．
（ ） ６ ３ ２
ｘ ｙ ｘ ｙ ｘ ｙ ｘ ｙ ４． 答案 ＡＣ
Ａ．２ － －３＝０ Ｂ．２ － －１＝０ Ｃ．２ ＋ －３＝０ Ｄ．２ ＋ －１＝０
１． 答案 Ａ 三、填空题（每小题５分，共２５分）
２．（２０１９河北廊坊第一次联考，１２）已知函数ｆ
（
ｘ
）＝５
ａ２
ｌｎ
ｘ
－３
ａｘ
， ５．（２０２１湖北九师联盟２ 月质量检测，１４）已知函数 ｆ ｘ ｘ２
ｇ
（
ｘ
）＝
ｘ２
－
ｂ
，
若两曲线ｙ
＝
ｆ
（
ｘ
），
ｙ
＝
ｇ
（
ｘ
）
有公共点
，
且在该点处
ｘ ｘ的图象在点 ｆ 处的切线与直线ｘ ａｙ
（ ）
平
＝
行
＋
它们的切线相同 则当ａ 时 ｂ的最大值为 ｌｎ （１， （１）） － －１＝０ ，
， ∈（０，＋∞） ， （ ） 则实数ａ ．
＝
Ａ． ５ ｅ ３ ５ Ｂ． ３ ｅ ３ ２ Ｃ．２ｅ ３ ５ Ｄ． ３ ｅ ３ ５ ５． 答案 １
２ ２ ２
２． 答案 Ａ ３
６．（２０２０广东、福建等省联考，１４）已知函数ｆ ｘ 是奇函数 当ｘ
（ ） ， ＞
３．（２０１９河北廊坊第一次联考，１１）已知函数ｆ
（
ｘ
）＝－
１ ｘ３
－
１ ｘ２
０
时
，
ｆ
（
ｘ
）＝
ｘ
ｅ
ｘ
＋１，
则ｆ
（
ｘ
）
的图象在点
（－１，
ｆ
（－１））
处的切线
３ ２ 斜率为 ．
ａｘ ｂ的图象在ｘ 处的切线方程为 ｘ ｙ ａ 若关于ｘ的
＋ － ＝０ ２ － － ＝０， ６． 答案
方程ｆ
（
ｘ２
）＝
ｍ有四个不同的实数解
，
则ｍ的取值范围为
７．（２０２１辽 宁
２ｅ
沈阳市郊联体一模，１５）已知函数 ｆ ｘ ａｘ２ ｘ
（ ）＝ ＋ｌｎ
（ ） ｆ ｆ ｘ
[ ) [ ) 满足 （１）－（１－２Δ ） 则 曲 线 ｙ ｆ ｘ 在 点
Ａ． － ３２ ，－ ５ Ｂ． －２，－ ５ Δ ｌｉｘ → ｍ ０ ３Δ ｘ ＝ ２， ＝ （ ）
３ ６ ６ ( ( ))
( ) ( ) １ ｆ １ 处的切线斜率为 ．
３２ ５ ５ ，
Ｃ． － ，－ Ｄ． －２，－ ２ ２
３ ６ ６ ７． 答案
３． 答案 Ｄ ３
８．（２０２１广东韶关一模，１６）若曲线Ｃ ｙ ａｘ２ ａ 与曲线Ｃ ｙ
１： ＝ （ ＞０） ２：
二、多项选择题（共５分） ｘ 存在公共切线 则ａ的取值范围为 ．
＝ｅ ，
[ )
２
４．（２０２０山东青岛三模，１１）已知曲线ｆ ｘ ２ ｘ３ ｘ２ ａｘ 上存 ８． 答案 ｅ
（ ）＝ － ＋ －１ ，＋∞
３ ４
９ ４ ５年高考３年模拟 Ｂ版（教师用书）
( ) ( 则ｇ ｘ ｇ ｘ 所以ｇ ｘ 为偶函数．
９．（２０２０广东深圳统测，１６）已知点Ｍ ｍ ｍ １ 和点Ｎ ｎ ｎ （－ ）＝ （ ）， （ ）
， － ， － 故只要求当ｘ 时 使 ｇ ｘ 恒成立的 ａ 的取值范围
２ ≥０ ， （ ）≥０
) 即可．
１ ｍ ｎ 若线段ＭＮ上的任意一点Ｐ都满足 经过点 Ｐ
２ （ ≠ ）， ： 对ｇ （ ｘ ） 求导得ｇ′ （ ｘ ）＝ｅ ｘ －ｅ － ｘ －２ ａｘ ，
的所有直线中恰好有两条直线与曲线Ｃ ｙ １ ｘ２ ｘ ｘ 设ｈ （ ｘ ）＝ ｇ′ （ ｘ ）＝ｅ ｘ －ｅ － ｘ －２ ａｘ （ ｘ ≥０）， 故ｈ′ （ ｘ ）＝ｅ ｘ ＋ｅ － ｘ －２ ａ （ ｘ
： ＝ ＋ （－１≤ ≤
２
≥０），
３） 相切 ， 则 ｜ ｍ － ｎ ｜ 的最大值为 ． 设Ｈ ｘ ｈ′ ｘ ｘ － ｘ ａ ｘ 则Ｈ′ ｘ ｘ － ｘ ｘ
（ ）＝ （ ）＝ｅ ＋ｅ －２ （ ≥０）， （ ）＝ｅ －ｅ （ ≥
９． 答案 ４
０），
３ 显然Ｈ′ ｘ 为 上的增函数 故Ｈ′ ｘ Ｈ′
（ ） ［０，＋∞） ， （ ）≥ （０）＝０，
四、解答题（共１５分） 即Ｈ ｘ 在 上单调递增 Ｈ ａ．
（ ） （０，＋∞） ， （０）＝２－２
１０．（２０２１河北承德二模，２１）已知函数ｆ
（
ｘ
）＝ｅ
ｘ
－
ａｘ２
－２
． 当ａ
≤１
时
，
Ｈ
（０）＝２－２
ａ
≥０，
则有ｈ
（
ｘ
）
在
［０，＋∞）
上单调递
当ａ 时 求曲线ｙ ｆ ｘ 在点 ｆ 处的切线与两 增 故ｈ ｘ ｈ 则ｇ ｘ 在 上单调递增
（１） ＝ｅ ， ＝ （ ） （１， （１）） ， （ ）≥ （０）＝０， （ ） ［０，＋∞） ，
坐标轴围成的三角形的面积 故ｇ ｘ ｇ 符合题意
； （ ）≥ （０）＝０， ；
（２） 若ｆ （ ｘ ）＋ｅ － ｘ ≥０ 恒成立 ， 求实数ａ的取值范围． 当ａ 时 Ｈ ａ 又Ｈ ａ １ 故存在ｘ
１０． 解析
（１）
由题意
，
当ａ
＝ｅ
时有ｆ
（
ｘ
）＝ｅ
ｘ
－ｅ
ｘ２
－２，
＞１ ， （０）＝２－２ ＜０， （ｌｎ ２ ）＝
２
ａ＞０， ０∈
所以ｆ ′ ｘ ｘ ｘ 故ｋ ｆ ′ ． ａ 使得Ｈ ｘ 故ｈ ｘ 在 ｘ 上单调递减 在
（ ）＝ｅ －２ｅ ， ＝ （１）＝－ｅ （０，ｌｎ２ ）， （ ０）＝０， （ ） ［０， ０） ，
又ｆ 所以切点坐标为 ｘ 上单调递增．
（１）＝－２， （１，－２）， （ ０，＋∞）
故曲线ｙ ｆ ｘ 在点 ｆ 处的切线方程为ｙ ｘ 当ｘ ｘ 时 ｈ ｘ ｈ 故ｇ ｘ 在 ｘ 上单调递
＝ （ ） （１， （１）） ＋２＝－ｅ（ － ∈［０， ０） ， （ ）＜ （０）＝０， （ ） ［０， ０）
即 ｘ ｙ 减 故ｇ ｘ ｇ 与ｇ ｘ 恒成立矛盾．
１）， ｅ ＋ ＋２－ｅ＝０， ， （ ）＜ （０）＝０， （ ）≥０
( ) 综上所述 实数ａ的取值范围为 ．
所以切线与两坐标轴交点坐标分别为 ｅ－２ ， （－∞，１］
（０，ｅ－２）， ，０ ， 思路分析 （ ）利用导数的几何意义求出切线方程，然后
ｅ １
２ ２ 根据切线与横轴、纵轴的交点坐标求解三角形面积；（ ）构造
故所求三角形面积为 １ ｅ－２ （ｅ－２） ｅ －４ｅ＋４ ２
２
（ｅ－２）·
ｅ
＝
２ｅ
＝
２ｅ
＝ 函数ｇ（ｘ）
＝ｅ
ｘ
＋ｅ
－ ｘ
－
ａｘ２
－２
，判断其奇偶性，再进行等价转化即
可求解．
ｅ ２ ．
２
＋
ｅ
－２ 解题关键 本题解题关键是构造函数，利用函数的奇偶性
（２） 由ｆ （ ｘ ）＋ｅ － ｘ ≥０ 恒成立 ， 得 ｅ ｘ ＋ｅ － ｘ － ａｘ２ －２≥０ 恒成立． 进行转化．
令ｇ ｘ ｘ － ｘ ａｘ２ ｘ
（ ）＝ｅ ＋ｅ － －２， ∈（－∞，＋∞），
Ｃ 组 教师专用题组
一、单项选择题
ｆ １ １ ．
∴ （－１）＝－ －１＋１＝－
１．（２０２１ 青海海东一模，３）函数 ｆ ｘ １ 的图象在点 ３ ３
（ ）＝ １＋ ｘ ３．（２０２１黑龙江顶级名校二模，６）已知函数ｆ ｘ 为偶函数 当ｘ
（ ） ， ＜
( ( )) 时 ｆ ｘ ｘ２ ｘ 则曲线ｙ ｆ ｘ 在ｘ 处的切线方程为
１ ｆ １ 处的切线斜率为 ０ ， （ ）＝ －ｌｎ（－ ）， ＝ （ ） ＝１
， （ ）
２ ２ （ ）
ｘ ｙ ｘ ｙ
Ａ．２ Ｂ．－２ Ｃ．４ Ｄ．－４ Ａ． － ＝０ Ｂ． － －２＝０
( )
ｘ ｙ ｘ ｙ
答案 Ｄ 因为ｆ ｘ １ 所以ｆ ′ ｘ １ ｆ ′ １ Ｃ． ＋ －２＝０ Ｄ．３ － －２＝０
（ ）＝１＋ ｘ ， （ ）＝－ｘ２， ＝ 答案 Ａ 解法一 当 ｘ 时 ｘ ｆ ｘ 为偶函数
２ ： ＞０ ，－ ＜０，∵ （ ） ，
．故选 ．
－４ Ｄ ｆ ｘ ｆ ｘ ｘ ２ ｘ ｘ２ ｘ ｘ ｆ ′ ｘ ｘ １
∴ （ ）＝ （－ ）＝（－ ） －ｌｎ ＝ －ｌｎ （ ＞０），∴ （ ）＝２ － ｘ
２．（２０２１四川眉山二模，９）下列图象中有一个是函数ｆ ｘ １ ｘ３
（ ）＝ ＋ ｘ ｆ′ 又ｆ 曲线ｙ ｆ ｘ 在ｘ 处的切
３ （ ＞０），∴ （１）＝１， （１）＝１，∴ ＝ （ ） ＝１
ａｘ２ ａ２ ｘ ａ Ｒ ａ 的导函数的图象 则ｆ 线方程为ｙ ｘ 即ｘ ｙ 故选 ．
＋（ －１） ＋１（ ∈ ， ≠０） ， （－１）＝ （ ） －１＝ －１， － ＝０， Ａ
解法二 当ｘ 时 ｆ ′ ｘ ｘ １ ｆ ′ １
： ＜０ ， （ ）＝２ － ｘ ，∴ （－１）＝２×（－１）－ ＝
－１
．又ｆ ｘ 为偶函数 ｆ ′ ｘ 为奇函数 ｆ ′ ｆ ′
－１ （ ） ，∴ （ ） ，∴ （１）＝－ （－１）＝
．又ｆ ２ ｆ ｆ 曲线ｙ ｆ
１ （－１）＝（－１） －ｌｎ １＝１，∴ （１）＝ （－１）＝ １，∴ ＝
ｘ 在ｘ 处的切线方程为ｙ ｘ 故选 ．
（ ） ＝１ ＝ ， Ａ
４．（２０２１河南安阳重点中学４月月考，４）若曲线ｆ ｘ ｘ ｃｘ
（ ）＝ｌｎ － ＋
① ② ③ { ｘ ｘ
Ａ．－ ３ １ Ｂ． １ ３ Ｃ． ７ ３ Ｄ．－ ３ １ 或 ５ ３ ２ １ ｘ２ 存在垂直于 ｙ 轴的切线 ， ｇ （ ｘ ）＝ ｌ ｘ ｏ ＋ ｇ （ ３ ａ ， ＋ ｂ ＞ ） ０ ３ ， ， ｘ ≤０， 且有
答案 Ａ 由题意知ｆ ′ （ ｘ ）＝ ｘ２ ＋２ ａｘ ＋ ａ２ －１＝（ ｘ ＋ ａ ） ２ －１， ｇ ［ ｇ （１）］＝１， 则ａ ＋ ｂ ＋ ｃ的最小值为 （ ）
ａ ｆ ′ ｘ 图象的对称轴ｘ ａ 且开口向上
∵ ≠０，∴ （ ） ＝－ ≠０， ， Ａ．１ Ｂ． ２ Ｃ． ２＋１ Ｄ．３
图 是ｆ ′ ｘ 的图象 此时ｆ ′ ａ２ 答案 Ｄ 由题意 知函数ｆ ｘ 的定义域为 且ｆ ′
∴ ③ （ ） ， （０）＝ －１＝０， ， （ ） （０，＋∞），
又 ａ ａ 故ａ ．
－ ＞０，∴ ＜０， ＝－１
第三章 导数及其应用 ９ ５
ｘ １ ｃ ｘ
（ ）＝ ｘ － ＋ ，
因为曲线ｆ ｘ 存在垂直于ｙ轴的切线 所以存在ｘ 使得ｆ′
（ ） ， ０＞０，
ｘ １ ｃ ｘ 有解
（ ０）＝ ｘ － ＋ ０＝０ ，
０
所以ｃ １ ｘ １ ｘ 当且仅当 １ ｘ 即ｘ 时
＝ｘ ＋ ０≥２ ｘ · ０ ＝２， ｘ ＝ ０， ０＝１ ，
０ ０ ０
等号成立
，
又ｇ ｇ ｇ ｇ ａ ｂ ３ 所以ａ ｂ 则ａ
［ （１）］＝ （ｌｏｇ３１）＝ （０）＝（ ＋ ） ＝１， ＋ ＝１， ＋
ｂ ｃ ｃ ．故ａ ｂ ｃ的最小值为 ．
＋ ＝１＋ ≥１＋２＝３ ＋ ＋ ３
解题关键 将问题转化为 ｘ （ ， ）， ｆ ′（ｘ ） 有解
是解决本题的 关键．
∃ ０∈ ０ ＋∞ ０ ＝０
ｆ ｘ ｍ 的解集中恰有两个整数等价于ｆ ｘ
ｘ２
＋３
ｘ
＋１的图
（ ）－ ＜０ （ ）＝ ｘ
５．（２０２１陕西宝鸡模拟，１１）已知直线ｙ ｋｘ ｋ 和曲线ｆ ｘ ｘ ｅ
＝ （ ＞０） （ ）＝ 象在直线ｙ ｍ下方的图象只有 个横坐标为整数的点 结合
ａ ｘ ａ 相切 则ａ的取值范围是 ＝ ２ ，
－ ｌｎ （ ≠０） ， （ ） 函数图象可得ｆ ｍ 则 ｍ
（－１）＜ ≤０， －ｅ＜ ≤０，
Ａ．（－∞，０）∪（０，ｅ） Ｂ．（０，ｅ） 所以当 ｍ 时 ｆ ｘ ｍ 的解集中恰有两个整数
－ｅ＜ ≤０ ， （ ）－ ＜０ －１，
Ｃ．（０，１）∪（１，ｅ） Ｄ．（－∞，０）∪（１，ｅ） 故实数ｍ的取值范围是 ．
答案 Ａ 设直线ｙ ｋｘ与曲线ｆ ｘ ｘ ａ ｘ ａ 相切 －２， （－ｅ，０］
＝ （ ）＝ － ｌｎ （ ≠０） ７．（２０２１浙江 ９联考，５）若函数ｙ ｆ′ ｘ 的图象
于点 ｘ ｋｘ Ａ ＝ （ ）
{ｋ （ ｘ ０＝ ０， ｘ ０－ ０ ａ ） ｌ ， ｎ ｘ ０， {ｘ ｋ ａ ｘ 如图所示 ， 则ｙ ＝ ｆ （ ｘ ） 的图象可能是 （ ）
则 ａ 则 ０（ －１）＝－ ｌｎ ０，
ｋ ｆ ′ ｘ ｘ ｋ ａ
＝ （ ０）＝１－ｘ ， ０（ －１）＝－ ，
０
即 ａ ａ ｘ 解得ｘ ．
－ ＝－ ｌｎ ０， ０＝ｅ
ａ ａ
ｋ ａ 即 即ａ
∵ ＞０， ≠０， １－ｘ ＝１－ ＞０， ＜ｅ，
０ ｅ
ａ ．故选 ．
∴ ∈（－∞，０）∪（０，ｅ） Ａ
６．（２０２１河南顶级名校３月月考，１２）已知函数ｆ ｘ 的导函数为
（ ）
ｆ ′ ｘ 且对任意的实数ｘ都有ｆ ′ ｘ － ｘ ｘ ｆ ｘ 是
（ ）， （ ）＝ｅ （２ ＋３）－ （ ）（ｅ
自然对数的底数 且ｆ 若关于ｘ的不等式ｆ ｘ ｍ
）， （０）＝１， （ ）－ ＜０
的解集中恰有两个整数 则实数ｍ的取值范围是 答案 Ｃ 由题图可知在 ｂ 上 ｆ ′ ｘ 则ｆ ｘ 在
， （ ） （０， ） ， （ ）＞０， （ ） （０，
ｂ 上单调递增 又ｆ ′ 所以曲线ｙ ｆ ｘ 在ｘ 处的切
Ａ．［－ｅ，０） Ｂ．［－ｅ ２ ，０） ） ， （０）＝０， ＝ （ ） ＝０
线的斜率为 故选 ．
Ｃ．（－ｅ，０］ Ｄ．（－ｅ ２ ，０］ ０， Ｃ
ｘ ８．（２０２１浙江新高考研究卷（三），９）已知函数ｆ ｘ ｘ － ｔ与函数
答案 Ｃ ｆ ′ ｘ ２ ＋３ ｆ ｘ 即 ｘ ｆ ′ ｘ ｆ ｘ ｘ （ ）＝ｅ
（ ）＝ ｘ －（ ） ｅ ［ （ ）＋（ ）］＝２ ＋３， ｇ ｘ ｔｘ 的图象有两个不同的交点 则实数ｔ的取值范围
ｅ （ ）＝ｌｎ ＋１ ，
所以
［ｅ
ｘｆ
（
ｘ
）］
′
＝ ２
ｘ
＋３，
则
ｅ
ｘｆ
（
ｘ
）＝
ｘ２
＋３
ｘ
＋
ｃ
，
所以 ｆ
（
ｘ
）
为
（ ）
( )
ｘ２
＋３
ｘ
＋
ｃ
． ． １ ． ．
＝ ｘ ， Ａ（０，＋∞） Ｂ ，＋∞ Ｃ（１，＋∞） Ｄ（ｅ，＋∞）
ｅ ｅ
因为ｆ 所以ｆ
ｃ
ｃ 所以ｆ ｘ
ｘ２
＋３
ｘ
＋１
答案 Ｃ 解法一
：
令ｈ
（
ｘ
）＝ｅ
ｘ － ｔ
－ｌｎ
ｔｘ
－１
．
（０）＝１， （０）＝ ｅ ０ ＝ ＝１， （ ）＝ ｅ ｘ ， 若ｔ ＜０， 则ｈ （ ｘ ） 在 （－∞，０） 上单调递增 ， ｈ （ ｘ ） 不存在两个零点．
则 ｆ ′ ｘ （２ ｘ ＋３）ｅ ｘ －ｅ ｘ （ ｘ２ ＋３ ｘ ＋１） －（ ｘ２ ＋ ｘ －２） 若ｔ 则ｈ′ ｘ ｘ － ｔ １ 在 上单调递增
（ ） ＝ ２ ｘ ＝ ｘ ＞０， （ ）＝ｅ － ｘ （０，＋∞） ，
ｅ ｅ
－（ ｘ ＋２）（ ｘ －１） 当ｘ →０ ＋时 ， ｈ′ （ ｘ ）→－∞，
由
＝
ｆ ′ ｘ
ｅ ｘ
得
，
ｘ 此时ｆ ｘ 单调递增
又ｈ′
（
ｔ
＋１）＝ｅ－ｔ
＋
１
１
＞０，
故存在唯一实数ｘ
０∈（０，
ｔ
＋１），
使
ｅ
ｘ ０－ ｔ
＝
（ ）＞０ －２＜ ＜１， （ ） ，
由ｆ ′ ｘ 得ｘ 或ｘ 此时ｆ ｘ 单调递减 １ 即 ｘ ｔ ｘ ．
（ ）＜０ ＜－２ ＞１， （ ） ， ｘ ， ｌｎ ０＝ － ０
所以ｘ 时 ｆ ｘ 取得极大值ｆ ５ 则 ０ ｈ ｘ 在 ｘ 上单调递减 在 ｘ 上单调递增
＝１ ， （ ） （１）＝
ｅ
， （ ） （０， ０） ， （ ０，＋∞） ，
当 又因 ｘ ＝ 为 －２ ｆ （ 时 －１ ， ） ｆ ＝ （ ｘ － ） ｅ 取 ＜０ 得 ， 极 ｆ （０ 小 ） 值 ＝１ ｆ ＞ （－ ０， ２） ｆ （ ＝ － － ３ ｅ ） ２ ＜ ＝ ０ ｅ ， ３ ＞０， 且ｘ ＞０ 时 ， 且 若ｈ ｘ → （ ｘ ０ ） ＋ 在 时 （ ， ０ ｈ ， （ ＋ ｘ ∞ ）→ ） 上 ＋∞ 有 ， 两 ｘ → 个 ＋ 零 ∞ 点 时 ， ， 则 ｈ （ ｈ ｘ （ ） ｘ → ０） ＋ ＜ ∞ ０， ． 即 ｅ ｘ ０－ ｔ －ｌｎ ｔｘ ０－
ｆ ｘ 故ｆ ｘ 的大致图象如图． １ ｔ ｘ ｔ 也即 ｔ ｔ １ ｘ 所以 ｔ ｔ
（ ）＞０， （ ） １＝ｘ －ｌｎ －１＋ ０－ ＜０， ｌｎ ＋ ＋１＞ｘ ＋ ０， ｌｎ ＋ ＋１＞２，
０ ０
解得ｔ ．故选 ．
＞１ Ｃ
解法二 函数ｙ ｘ 与ｙ ｘ的图象关于直线ｙ ｘ对称．
： ＝ｅ ＝ｌｎ ＝
若ｔ 则ｆ ｘ ｘ － ｔ与ｇ ｘ ｔｘ 的图象仅有一个交点．
＜０， （ ）＝ｅ （ ）＝ｌｎ ＋１
若ｔ 则ｆ ｘ ｘ － ｔ的图象可看作由函数ｙ ｘ 的图象向右平
＞０， （ ）＝ｅ ＝ｅ
移ｔ个单位得到．
９ ６ ５年高考３年模拟 Ｂ版（教师用书）
选 ．
当 ｔ １ 时 ｇ ｘ ｘ ｔ 的图象由函数ｙ ｘ的图象 Ｂ
０＜ ＜ ， （ ）＝ｌｎ ＋ｌｎ ＋１ ＝ｌｎ
ｅ １２．（２０２１四川内江一模，１１）已知函数ｆ ｘ ２ ｘ 其
向下平移 ｔ 个单位得到 （ ）＝ ｘ ＋ｓｉｎ ，
｜ｌｎ ＋１｜ ， ２０２０ ＋１
中ｆ ′ ｘ 为函数 ｆ ｘ 的导数 则 ｆ ｆ
当ｔ １ 时 ｇ ｘ ｘ ｔ 的图象由函数ｙ ｘ的图象向 （ ） （ ） ， （２ ０２０）＋ （－２ ０２０）＋
≥ ， （ ）＝ｌｎ ＋ｌｎ ＋１ ＝ｌｎ ｆ ′ ｆ ′
ｅ （２０２１）－ （－２０２１）＝ （ ）
上平移 ｔ 个单位得到．所以当ｔ 时 两曲线相切
（ｌｎ ＋１） ＝１ ， ； Ａ．０ Ｂ．２ Ｃ．２０２０ Ｄ．２０２１
当ｔ 时 两曲线有两个交点．故选 ．
＞１ ， Ｃ 答案 Ｂ ｆ ｘ ｆ ｘ ２ ｘ ２
９．（２０２１陕西宝鸡三模，８）若函数ｆ （ ｘ ）＝ｅ ｘ － ａｘ ＋ ｂ在ｘ ＝０ 处的切 （ ）＋ （－ ）＝ ２０２０ ｘ ＋１ ＋ｓｉｎ ＋ ２０２０ － ｘ ＋１ ＋
线方程为ｙ ｘ 则满足 ｆ ｘ 的ｘ的取值范围为 ｘ
＝ ， ０≤（ ）≤１ （ ） ｓｉｎ（－ ），
[ ] [ ] ｘ ｘ
１ １ ２ ２×２０２０ ２×（２０２０ ＋１）
Ａ．［０，ｌｎ２］ Ｂ． ，２ Ｃ． ，ｅ Ｄ．［１，１＋ｌｎ２］ ｘ ＋ ｘ ＝ ｘ ＝２，
ｅ ｅ ２０２０ ＋１ ２０２０ ＋１ ２０２０ ＋１
答案 Ａ 因为ｆ ｘ ｘ ａｘ ｂ 则ｆ ′ ｘ ｘ ａ 所以ｆ ｆ
（ ）＝ｅ － ＋ ， （ ）＝ｅ － ， （２０２０）＋（－２０２０）＝２，
{ｆ ｂ ｘ ′ ｘ
由题意可得 （０）＝１＋ ＝０， 解得ａ ｂ 所以ｆ ｘ ｘ ｆ ′ ｘ ｘ －２（２０２０ ＋１） ｘ ２×ｌｎ２０２０×２０２０
ｆ ′ （０）＝１－ ａ ＝１， ＝０， ＝－１， （ ）＝ｅ － （ ）＝ｃｏｓ ＋ （２０２０ ｘ ＋１） ２ ＝ｃｏｓ － （２０２０ ｘ ＋１） ２ ，
由 ｆ ｘ 可得 ｘ 即 ｘ 解得 ｘ
１， ０≤（ ）≤１ ０≤ｅ －１≤１， １≤ｅ ≤２， ０≤ ≤ １
．故选 ． － ｘ ２×ｌｎ２０２０× ｘ
ｌｎ２ Ａ ｆ′ ｘ ｘ ２×ｌｎ２０２０×２０２０ ｘ ２０２０
１０．（２０２１湘豫名校联盟４ 月联考，９）设曲线 ｙ ｘ 与 ｙ ｘ （－ ）＝ｃｏｓ － － ｘ ２ ＝ｃｏｓ － æ ö２
＝ｌｎ ＝（ ＋ （２０２０ ＋１） ç １ ÷
ａ ２ 有一条斜率为 的公切线 则ａ è ｘ＋１ø
） １ ， ＝ （ ） ２０２０
ｘ
３ １ ３ ｘ ２×ｌｎ２０２０×２０２０
Ａ．－１ Ｂ．－ Ｃ． Ｄ． ＝ｃｏｓ － ｘ ２ ，
４ ４ ４ （２０２０ ＋１）
答案 Ｂ 设与曲线ｙ ｘ相切的切点为 ｍ ｎ ｙ ｘ 所以ｆ ′ ｘ ｆ ′ ｘ 所以ｆ ′ ｆ ′
＝ｌｎ （ ， ）， ＝ｌｎ （ ）－ （－ ）＝０， （２０２１）－ （－２０２１）＝０，
所以ｆ ｆ ｆ ′ ｆ ′ ．故
的导函数为ｙ′ １ （２０２０）＋ （－２ ０２０）＋ （２ ０２１）－ （－２ ０２１）＝ ２
＝ ｘ ， 选 ．
Ｂ
思路分析 先求出 ｆ（ｘ） ｆ（ ｘ） ，则 ｆ（ ）
由切线的斜率为 可得 １ 即ｍ 则切点为 切 ＋ － ＝ ２ ２ ０２０ ＋
１， ｍ ＝１， ＝１， （１，０）， ｆ（ ） ，再求出ｆ′（ｘ），得到ｆ′（ｘ） ｆ′（ ｘ） ，从而求
－２０２０ ＝２ － － ＝０
线方程为ｙ ＝ ｘ －１， 与ｙ ＝（ ｘ ＋ ａ ） ２ 联立 ， 可得ｘ２ ＋（２ ａ －１） ｘ ＋ ａ２ ＋ 出ｆ ′（ ２０２１ ） － ｆ ′（ －２０２１ ） ＝０ ，即可求出答案．
１＝０， 由Δ ＝（２ ａ －１） ２ －４（ ａ２ ＋１）＝０， 解得ａ ＝－ ３ ， 故选 Ｂ． １３．（２０２１新疆第二次适应性检测，１２）若 ｘ２ １－ｌｎ ｘ １ ｘ ２－２ 则
４ ｙ ＝ ｙ ＝１，
方法总结 利用导数的几何意义求两曲线的公切线． １ ２
ｘ ｘ ２ ｙ ｙ ２ 的最小值是
（ １－ ２） ＋（ １－ ２） （ ）
切点为两曲线的公共 １ ２
① Ａ． Ｂ． Ｃ． ２ Ｄ．２
点，即ｆ（ｘ ） ｇ（ｘ ）； ２ ２
０ ＝ ０ ｘ２ ｘ ｘ
②
切线斜率相同，即 答案 Ｄ 由 １－
ｙ
ｌｎ １
＝
２
ｙ
－２
＝１
得ｙ
１＝
ｘ２
１－ｌｎ
ｘ
１，
ｙ
２＝
ｘ
２－２，
ｆ′（ｘ ０ ） ＝ ｇ′（ｘ ０ ） 则 ｘ ｘ ２ ｙ ｙ １ ２ 表示曲 ２ 线ｆ ｘ ｘ２ ｘ上的点与直线
（ １－ ２） ＋（ １－ ２） （ ）＝ －ｌｎ
ｘ ｙ 上的点之间距离的平方． ｆ ′ ｘ ｘ １ ｘ 令
－ －２＝０ （ ）＝２ － ｘ （ ＞０），
分别写出两曲线的切线
ｆ ′ ｘ 得ｘ 又ｆ
方程，由于重合，则对应 （ ）＝１ ＝１， （１）＝１，
曲线ｆ ｘ 在 ｆ 处的切线方程为 ｘ ｙ 曲线
系数相等，解方程得结果 ∴ （ ） （１， （１）） － ＝０，∴
ｆ ｘ ｘ２ ｘ上的点与直线ｘ ｙ 上的点之间距离的最
（ ）＝ －ｌｎ － －２＝０
小值即为直线ｘ ｙ 与ｘ ｙ 之间的距离 ｘ ｘ ２
－ ＝０ － －２＝０ ，∴ ［（ １－ ２）
１１．（２０２１陕西西安一模，１０）已知点 Ｐ （ ｘ ， ｙ ） 是曲线 ｆ （ ｘ ）＝ ｘ４ － ｙ ｙ ２ æ ç０＋２ ö ÷ ２ ．故选
ｘ ｙ
＋（ １－ ２） ］ｍｉｎ＝è ø ＝２ Ｄ．
ｘ３ 在点 ｆ 处的切线上一点 则 ＋２ ｘ ｙ 的最小值为 ２
２ （１， （１）） ， ｘｙ （ ＞０， ＞０） 二、填空题
（ ） ｘ
１４．（２０２１甘肃顶级名校模拟，１４）函数ｆ ｘ １＋ｌｎ 的图象在ｘ
Ａ．４ Ｂ．９ Ｃ．５ Ｄ．１６ （ ）＝ ｘ
答案 Ｂ 由ｆ ｘ ｘ４ ｘ３ 得ｆ ′ ｘ ｘ３ ｘ２ 则ｆ ′
（ ）＝ －２ （ ）＝４ －６ ， （１）＝ １ 处的切线方程为 ．
３ ２ 又ｆ ＝
４×１ －６×１ ＝－２， （１）＝－１， ｅ
所以ｆ
（
ｘ
）
在点
（１，
ｆ
（１））
处的切线方程为ｙ
－（－１）＝ －２（
ｘ
－
答案 ｙ
＝ｅ
２ｘ
－ｅ
ｘ ｙ ( ) ( ) ｘ ( )
即 ｘ ｙ 当 ｘ ｙ 时 ＋２ ２ １ 解析 由题意得 ｆ １ ｆ ′ ｘ －ｌｎ 则ｆ ′ １
１）， ２ ＋ ＝ １， ＞０， ＞０ ， ｘｙ ＝ ｘ ＋ ｙ ·１＝ ， ＝０， （ ）＝ ｘ２ ， ＝
ｅ ｅ
( ) ｙ ｘ ｙ ｘ
２ １ ｘ ｙ ２ ２ ２ ２ 当且仅 ２ 所以函数 ｆ ｘ 的图象在 ｘ １ 处的切线方程为 ｙ
ｘ ＋ ｙ ·（２ ＋ ）＝５＋ ｘ ＋ ｙ ≥５＋２ ｘ · ｙ ＝９， ｅ ， （ ） ＝ ＝
ｅ
ｙ ｘ ｘ ｙ ( )
当２ ２ 即ｘ ｙ １ 时取 所以 ＋２ 的最小值是 ．故 ２ ｘ １ 即ｙ ２ｘ ．
ｘ ＝ ｙ ， ＝ ＝ “＝”， ｘｙ ９ ｅ － ， ＝ｅ －ｅ
３ ｅ
第三章 导数及其应用 ９ ７
１５．（２０２１安徽宣城调研，１５）曲线ｙ ａ ｘ在点 ａ 处的切 ( ａ )
＝ －２ｌｎ （１， ） 区间为 １－
线与曲线ｙ ｘ 相切 则ａ ． ａ ，＋∞ ；
＝－ｅ ， ＝
答案 ( ａ)
２ｌｎ２－４ 当ａ 时 ｙ ｆ ｘ 的单调递增区间为 １－ 单调递减
＜０ ， ＝ （ ） －∞， ａ ，
解析 对ｙ ＝ ａ －２ｌｎ ｘ求导 ， 得ｙ′ ＝－ ２ ｘ ，∴ ｙ′ ｜ｘ ＝１＝－２，
区间为
(
１－
ａ )
．
则曲线ｙ ａ ｘ在点 ａ 处的切线方程为ｙ ａ ｘ ａ ，＋∞
＝ －２ｌｎ （１， ） － ＝－２（ － 证明 由题得ｆ ′ ｘ ａｘ ａ ｘ．
即ｙ ｘ ａ ． （２） ： （ ）＝（ ＋ －１）ｅ
１）， ＝－２ ＋ ＋２
设 对 直 ｙ ＝ 线 －ｅ ｙ ｘ ＝ 求 －２ 导 ｘ ＋ ， 得 ａ ＋２ ｙ′ 与 ＝－ 曲 ｅ ｘ 线 ， ｙ ＝－ｅ ｘ 相切于点 （ ｘ ０，－ｅ ｘ ０ ）， 设 则 { 直 （ 线 ａｘ ０ ｙ － ＝ １ ａ ） ｘ ｅ ＋ ｘ ０ ａ ＝ 与 ａ （ 曲 ｘ ０ 线 ＋１ ｙ ） ＝ ， ｆ （ ｘ ① ） 相切于点 （ ｘ ０， ｙ ０），
由 又切 －ｅ 点 ｘ ０＝ 在 － 切 ２， 线 得 ｙ ｘ ０ ＝ ＝ － ｌ ２ ｎ ｘ ２ ＋ ， ａ 即 ＋２ 切 上 点 ， 为 ∴ （ － ｌ ２ ｎ ｌｎ ２， ２ － ＋ ２ ａ ） ＋ ， ２＝－２， 由 ① （ － ａ ② ｘ ０＋ 得 ａ － － ａ １ ｅ ） ｘ ｅ ０＝ ｘ ０＝ ａｘ ａ ０ ． ， 即ａ （ｅ ｘ ② ０＋ ｘ ０）＝０ ．
解得ａ ． 若ａ 则ｆ ｘ ｘ ａｘ ａ
＝２ｌｎ２－４ ＝０， （ ）＝－ｅ ， ＋ ＝０，
１６．（２０２１河南焦作三模，１３）已知函数ｆ
（
ｘ
）＝（
ｘ２
＋
ａｘ
＋２）ｅ
ｘ
，
若 直线ｙ
＝０
与曲线ｙ
＝
ｆ
（
ｘ
）
不相切
，
不符合题意
，
所以ａ
≠０
．
ｆ （ ｘ ） 的图象在点 （０， ｆ （０）） 处的切线与直线 ４ ｘ － ｙ ＋３＝０ 平行 ， 所以 ｅ ｘ ０＋ ｘ ０＝０ ． ③
则ａ ． 令φ ｘ ｘ ｘ 则φ′ ｘ ｘ 所以φ ｘ 单调递增．
＝ （ ）＝ｅ ＋ ， （ ）＝ｅ ＋１＞０， （ ）
答案 ( )
２ 因为φ １ １ １ φ －１
解析 由ｆ
（
ｘ
）＝（
ｘ２
＋
ａｘ
＋２）ｅ
ｘ 得ｆ ′
（
ｘ
）＝（
ｘ２
＋
ａｘ
＋２
ｘ
＋
ａ
＋２）ｅ
ｘ
，
－
２
＝
ｅ
－
２
＞０， （－１）＝ｅ －１＜０，
可得ｆ ｘ 的图象在点 ｆ 处的切线的斜率为ｋ ａ ( )
由切线 （ 与 ） 直线 ｘ ｙ （０， 平 （ 行 ０）） 可得ａ 解得ａ ＝ ． ＋２， 所以存在唯一ｘ ０∈ －１，－ １ ， 使得 ｅ ｘ ０＋ ｘ ０＝０ ．
４ － ＋３＝０ ， ＋２＝４， ＝２ ２
１７．（２０２１内蒙古赤峰二中一模，１３）函数 ｙ ｆ ｘ 的图象在点 将 代入 得ａｘ２ ａｘ ｘ ａ ．
＝ （ ） ③ ① ０＋ ０－ ０＋ ＝０
ｆ ｘ
Ｍ ｆ 处的切线方程是ｙ ｘ 则 （２） ． 所以ａ ０ １ ．
（２， （２）） ＝２ －６， ｆ ′ ＝ ＝ｘ２ ｘ ＝
（２） ０＋ ０＋１ ｘ １
答案 ０＋ｘ ＋１
－１
( )
０
解析 由函数ｙ ｆ ｘ 的图象在点Ｍ ｆ 处的切线方
＝ （ ） （２， （２）） 易知在 １ 内 ｙ ｘ １ 单调递减 且ｘ １
－１，－ ， ＝ ＋ ｘ ＋１ ， ＋ ｘ ＋１＜０，
程是ｙ ｘ ２
＝２ －６， ( )
ｆ 所以ｙ １ 在 １ 内单调递增．
可得ｆ ｆ ′ 所以 （２） －２ ． ＝ －１，－
（２）＝４－６＝－２， （２）＝２， ｆ ′ ＝ ＝－１ ｘ １ ２
（２） ２ ＋ ｘ ＋１
三、解答题 ( ) ( )
因为ｘ １ 所以 ａ ２ 所以ａ ２ ．
１８．（２０２１北京朝阳质量检测一，２０）已知函数 ｆ ｘ ａｘ ｘ ０∈ －１，－ ， －１＜ ＜－ ， ∈ －１，－
（ ）＝（ －１）ｅ ２ ３ ３
ａ Ｒ ． １９．（２０２１北京东城一模，１９）已知函数ｆ ｘ ｘ３ ａｘ２ ａ２ｘ 其
（ ∈ ） （ ）＝ － － ＋１，
求ｆ ｘ 的单调区间 中ａ ．
（１） （ ） ； ＞０
若直线 ｙ ａｘ ａ 与曲线 ｙ ｆ ｘ 相切 求证 ａ 当ａ 时 求ｆ ｘ 的单调区间
（２） ＝ ＋ ＝ （ ） ， ： （１） ＝１ ， （ ） ；
( ) 若曲线ｙ ｆ ｘ 在点 ａ ｆ ａ 处的切线与ｙ轴的交点
２ ． （２） ＝ （ ） （－ ， （－ ））
∈ －１，－
３ 为 ｍ 求ｍ １ 的最小值．
解析 ｆ ′ ｘ ａｘ ａ ｘ． （０， ）， ＋ ａ
（１） （ ）＝（ ＋ －１）ｅ
当ａ 时 ｆ ′ ｘ ｘ ｙ ｆ ｘ 在 上单调 解析 当ａ 时 ｆ ｘ ｘ３ ｘ２ ｘ
＝０ ， （ ）＝ －ｅ ＜０， ＝ （ ） （－∞，＋∞） （１） ＝１ ， （ ）＝ － － ＋１，
递减 ｆ ′ ｘ ｘ２ ｘ ｘ ｘ
； （ ）＝３ －２ －１＝（３ ＋１）（ －１），
ａ
当ａ 时 令ｆ ′ ｘ 得ｘ １－ ． 令ｆ ′ ｘ 得ｘ １ 或ｘ
≠０ ， （ ）＝０， ＝ ａ （ ）＞０， ＜－ ＞１；
３
当ａ 时 ｆ ′ ｘ 和ｆ ｘ 在Ｒ上的变化情况如下
＞０ ， （ ） （ ） ： 令ｆ ′ ｘ 得 １ ｘ
（ ）＜０， － ＜ ＜１，
( ａ) ａ ( ａ ) ３
ｘ １－ １－ １－ ( )
－∞， ａ ａ ａ ，＋∞ 所以ｆ ｘ 的单调递增区间为 １ 和 单调递
（ ） －∞，－ （１，＋∞），
３
ｆ′ （ ｘ ） － ０ ＋ ( )
减区间为 １ ．
ｆ ｘ 极小值 － ，１
（ ） ↘ ↗ ３
当ａ ＜０ 时 ， ｆ ′ （ ｘ ） 和ｆ （ ｘ ） 在Ｒ上的变化情况如下 ： （２） ｆ （ ｘ ）＝ ｘ３ － ａｘ２ － ａ２ｘ ＋１， ｆ ′ （ ｘ ）＝３ ｘ２ －２ ａｘ － ａ２．
所以ｆ ａ ａ３ ａ３ ａ３ ａ３
( ａ) ａ ( ａ ) （－ ）＝－ － ＋ ＋１＝１－ ，
ｘ
－∞，
１－
ａ
１－
ａ
１－
ａ ，＋∞
ｆ ′
（－
ａ
）＝３
ａ２
＋２
ａ２
－
ａ２
＝４
ａ２
，
曲线ｙ ｆ ｘ 在点 ａ ｆ ａ 处的切线方程为 ｙ ａ３
ｆ′ ｘ ＝ （ ） （－ ， （－ ）） －１＋ ＝
（ ） ＋ ０ － ａ２ ｘ ａ 即ｙ ａ２ｘ ａ３．
ｆ ｘ 极大值 ４ （ ＋ ）， ＝４ ＋１＋３
（ ） ↗ ↘
令ｘ 得ｍ ａ３ 此时ｍ １ ａ３ １
综上 当ａ 时 ｙ ｆ ｘ 在 上单调递减 ＝０， ＝１＋３ ， ＋ ａ ＝１＋３ ＋ ａ ，
， ＝０ ， ＝ （ ） （－∞，＋∞） ；
( ａ)
当ａ 时 ｙ ｆ ｘ 的单调递减区间为 １－ 单调递增 令ｇ ａ ａ３ １ 则ｇ′ ａ ａ２ １
＞０ ， ＝ （ ） －∞， ａ ， （ ）＝３ ＋ ａ ＋１， （ ）＝９ －ａ２，
９ ８ ５年高考３年模拟 Ｂ版（教师用书）
令ｇ′ ａ 得ａ ３ ｘ２ １ ａｘ ａ ａ Ｒ ．
（ ）＝０， ＝ ， － － （ ∈ ）
３ ２
当ａ 时 求曲线ｙ ｆ ｘ 在点 ｆ 处的切线方程
（１） ＝１ ， ＝ （ ） （１， （１）） ；
当 ａ ３时 ｇ′ ａ 当ａ ３时 ｇ′ ａ 若函数ｆ ｘ 有两个零点ｘ ｘ ｘ ｘ 正实数λ μ满足
０＜ ＜ ３ ， （ ）＜０； ＞ ３ ， （ ）＞０， （２） λ μ （ μ ） λ 求证 ｆ ′ λｘ １， μ ２（ ｘ １＜ ２ ． ）， ，
ｇ ａ 在区间
æ
ç ３
ö
÷上单调递减 在区间
æ
ç ３
ö
÷上单调
＋ ＝１， ≥ ， ： （ １＋ ２）＜０
（ ） è０， ø ， è ，＋∞ø 解析 当ａ 时 ｆ ｘ ｘ １ ｘ２ １ ｘ ｆ
３ ３ （１） ＝１ ， （ ）＝ｌｎ － － －１， （１）＝－
递增 ２ ２
，
故ｇ （ ａ ） 在ａ ＝ ３处取得最小值 ， ｇ æ è ç ３ ö ø ÷ ＝３× æ è ç ３ ö ø ÷ ３ ＋ １ ＋１＝１ ２， ｆ ′ （ ｘ ）＝ １ ｘ － ｘ － ２ １ ， ｆ ′ （１）＝－ ２ １ ，
３ ３ ３ ３ 所以当ａ ＝１ 时 ， 曲线ｙ ＝ ｆ （ ｘ ） 在点 （１， ｆ （１）） 处的切线方程为
３ ｙ １ ｘ 即ｘ ｙ ．
＋２＝－ （ －１）， ＋２ ＋３＝０
４ ３ 故ｍ １ 的最小值为 ４ ３． ２
＋ ， ＋ ａ １＋ 证明 因为ｆ ｘ 有两个零点ｘ ｘ ｘ ｘ
３ ３ （２） ： （ ） １， ２，０＜ １＜ ２，
间， 思 解 路 ｆ ′ 分 （ｘ 析 ） （ 得 １ ） 递 求 增 出 区 导 间 函 ； 数ｆ ′（ｘ），解ｆ ′（ｘ） ＜０ 得递减区 所以 ì í ï ïｌｎ ｘ １－ ２ １ ｘ２ １－ ２ １ ａｘ １－ ａ ＝０，
＞０
ï
（ ２ ）求导后写出切线方程，从而得ｍ ＝１＋３ ａ３，进而可得ｍ ＋ ａ １ î ï ｌｎ ｘ ２－ ２ １ ｘ２ ２－ ２ １ ａｘ ２－ ａ ＝０，
＝１＋３
ａ３
＋ ａ
１ ，令ｇ（ａ）
＝３
ａ３
＋ ａ
１
＋１
，求导后，先判断函数的单 两式相减得 ｌｎ ｘ １－ｌｎ ｘ ２－
２
１ （ ｘ２ １－ ｘ２ ２）＝
２
１ ａ （ ｘ １－ ｘ ２），
ｘ ｘ
调性，再求最值． 则ａ ２（ｌｎ １－ｌｎ ２） ｘ ｘ ．
２０．（２０２１吉林重点高中联合模拟，２１）已知函数ｆ （ ｘ ）＝ ｘ （ｅ ｘ － ａ ） ． ＝ ｘ １－ ｘ ２ －（ １＋ ２） ｘ ｘ
（
（
１
２
）
）
若
若
曲
１＋
线
ｘ ＋
ｆ
ｌ
（
ｎ
ｘ
ｘ
）
≤
过
ｆ
原
（ ｘ
点
） 恒
的
成
切
立
线
，
的
求
斜
实
率
数
是
ａ的
３，
取
求
值
实
范
数
围
ａ
．
的值 ； ｆ ′ （ λｘ １＋ μｘ ２）＝
ｘ
λｘ
１
１
＋
μ
ｘ
ｘ
２
－
(
（ λｘ １＋ μ
)
ｘ ２）－ ｌｎ ｘ １
１
－
－
ｌ ｘ ｎ
２
２ ＋
２
１ （ ｘ １＋ ｘ ２）
由
解
题
析
意 得
（
ｆ
１
′
）
ｘ
设切点
ｘ
为
（
ｘ
ｘ
０，
ｘ
ａ
０
．
（ｅ
ｘ ０－ ａ
））
．
＝λｘ
１
１
＋
μｘ
２
－
ｌｎ
ｘ
１
１
－
－
ｌ
ｘ
ｎ
２
２
－
λ
－
２
１
（
ｘ
１－
ｘ
２）
．
（ ）＝（ ＋１）ｅ －
则切线方程为ｙ ｘ ｘ ａ ｘ ｘ ａ ｘ ｘ 因为λ μ μ λ 且λ μ 所以 λ １
－ ０（ｅ ０－ ）＝［（ ０＋１）ｅ ０－ ］（ － ０）， ＞０， ＞０， ≥ ， ＋ ＝１， ０＜ ≤ ，
由 ｘ ０＝ 已 ０ 知 ， 因 切 为 线 ｆ 过 ′ （ 原 ｘ ０ 点 ）＝ ， 有 （ ｘ － ０ ｘ ＋ ０ １ （ ） ｅ ｅ ｘ ０ ｘ － ０－ ａ ａ ） ＝ ＝ ３ ［ ， （ 所 ｘ 以 ０＋１ ａ ） ＝ ｅ － ｘ ０ ２ － ． ａ ］（－ ｘ ０）， 解得 此时 ( λ － ２ １ ) （ ｘ １－ ｘ ２）≥０， ２
ｘ ｘ ｆ ｘ 恒成立即 ｘ ｘ ｘ ｘ ａ 恒成立 即ａ ｘ ｘ
（２）１＋ ＋ｌｎ ≤（ ） １＋ ＋ｌｎ ≤ （ｅ － ） ， ≤ 只要证明 １ ｌｎ １－ｌｎ ２ 即可．
ｘ ｘ λｘ μｘ － ｘ ｘ ＜０
ｅ ｘ － １＋ ＋ ｘ ｌｎ 恒成立 ， ｘ １＋ ｘ ２ ｘ １－ ２
令ｇ （ ｘ ）＝ｅ ｘ － １＋ ｘ ＋ ｘ ｌｎ ｘ （ ｘ ＞０）， 则ｇ′ （ ｘ ）＝ ｘ２ ｅ ｘ ｘ ＋ ２ ｌｎ ｘ ， 即证明 ｘ ｌｎ ｘ １ ２ －λｘ １ １ － ＋ μ ２ ｘ ２ ＜０， ｔ
令ｔ １ ｔ ｈ ｔ ｔ －１ 即证明ｈ ｔ ．
令ｈ （ ｘ ）＝ ｘ２ ｅ ｘ ＋ｌｎ ｘ ， 则ｈ′ （ ｘ ）＝ｅ ｘ （ ｘ２ ＋２ ｘ ）＋ １ ｘ ， ＝ｘ ２ ，∈（０，１）， （ ）＝ｌｎ －λｔ ＋ μ， （ ）＜０
ｔ λ２ｔ μ２
易知ｈ′ （ ｘ ）＞０， 因为ｈ′ （ ｔ ）＝ （ － ｔ １） λ （ ｔ μ － ２ ） ＞０，
所以ｈ （ ｘ ）＝ ｘ２ ｅ ｘ ＋ ( ｌｎ ｘ ) 在 （０，＋∞） 上是增函数 ， 所以ｈ （ ｔ ） 在 （０，１ （ ） 上 ＋ 单 ） 调递增 ， 则ｈ （ ｔ ）＜ ｈ （１）＝０，
又ｈ （１）＝ｅ＞０， ｈ １
ｅ
＝
ｅ
１ ２ｅ １ ｅ－１＝ｅ １ ｅ －２ －１＜０，
２２．
所
（２
以
０２１
ｆ
浙
′ （ λ
江
ｘ
金
１＋
华
μｘ ２
十
）＜
校
０
４
恒
月
成
模
立
拟
．
，２２）设ａ ｂ Ｒ 已知函数ｆ ｘ
( ) ， ∈ ， （ ）
因此 ，∃ ｘ ０∈ １ ｅ ，１ ， 使得ｈ （ ｘ ０）＝ ｘ２ ０ｅ ｘ ０＋ｌｎ ｘ ０＝０，① ＝ｅ － ａｘ ＋ ｘ １ ＋ ｂ在点 （０， ｆ （０）） 处的切线方程为ｙ ＝－ ３ ｘ．
所以当ｘ ｘ 时 ｈ ｘ 即ｇ′ ｘ 则ｇ ｘ 在 ｘ 上 ＋１ ２
∈（０， ０） ， （ ）＜０， （ ）＜０， （ ） （０， ０） 求ａ ｂ的值
是减函数 （１） ， ；
， ｘ
当ｘ ｘ 时 ｈ ｘ 即ｇ′ ｘ 则ｇ ｘ 在 ｘ 上 证明 当ｘ 时 ｆ ｘ －３ ．
∈（ ０，＋∞） ， （ ）＞０， （ ）＞０， （ ） （ ０，＋∞） （２） ： ∈（０，６） ， （ ）＜ｘ
＋６
是增函数
， ｘ ｘ 解析 （１） 由题意得ｆ ′ （ ｘ ）＝－ ａ ｅ － ａｘ － １ （ ｘ ＋１） － ３ ２ ，
则ｇ （ ｘ ）ｍｉｎ＝ ｇ （ ｘ ０）＝ｅ ｘ ０－ １＋ ０ ｘ ＋ｌｎ ０ ，② ２
０ 则ｆ ′ ａ １ ３ 解得ａ ．
（０）＝－ － ＝－ ， ＝１
由 ① 得ｘ ０ｅ ｘ ０＝－ｘ １ ｌｎ ｘ ０＝ｘ １ ｌｎ ｘ １ ＝ｌｎ ｘ １ ·ｅ ｌｎｘ１ ０ ， 又ｆ 可得 ２ ｂ ２ ． 分
０ ０ ０ ０ （０）＝０， ＝－２ （５ ）
设φ ｘ ｘ ｘ 易知φ ｘ ｘ ｘ 在 上是增函数 所以ｘ
（ ）＝ ｅ ， （ ）＝ ｅ （０，＋∞） ， ０＝ 证明 由 可知ｆ ｘ － ｘ １ ．
（２） ： （１） （ ）＝ｅ ＋ ｘ －２
１ ＋１
ｌｎ ｘ ，③
０ 先证 ｘ １ ｘ ｘ ．
将 代入 得ｇ ｘ 因此ａ ． （ｉ） ： ＋１≤ ＋１（ ＞０）
③ ② （ ）ｍｉｎ＝０， ≤０ ２
( )
２
２１．（２０２１浙江新高考研究卷（五），２２）已知函数ｆ ｘ ｘ １ ｘ １ ｘ ｘ ２ １ ｘ 即 １ ｘ２
（ ）＝ｌｎ － ＋１≤ ＋１⇔（ ＋１） ≤ ＋１ ， ≥０，
２ ２ ２ ４
第三章 导数及其应用 ９ ９
得证． 分 ｆ ｘ 在点 ｆ 处的切线方程为ｙ ｘ 即ｘ ｙ
（７ ） （ ） （ｅ， （ｅ）） ＋２ｅ＝－（ －ｅ）， ＋ ＋ｅ
．
再证 － ｘ １ ｘ ． ＝０
（ｉｉ） ：ｅ ＜ｘ （ ＞０） 因为ｆ ｘ ｘ ｍ ｘ ｍ Ｒ
＋１ （２） （ ）＝（ｌｎ － －１） （ ∈ ），
－ ｘ １ ｘ ｘ 令ｈ ｘ ｘ ｘ 则ｈ′ ｘ ｘ ． 所以ｘ ｆ ′ ｘ １ ｘ ｘ ｍ ｘ ｍ．
ｅ ＜ｘ ⇔ｅ ＞ ＋１， （ ）＝ｅ － －１， （ ）＝ｅ －１ ＞０， （ ）＝ ｘ · ＋ｌｎ － －１＝ｌｎ －
＋１
当ｘ 时 ｈ′ ｘ 则ｈ ｘ ｘ ｘ 在 上单调递 当ｍ 时 因为ｘ 所以ｆ ′ ｘ ｘ ｍ
＞０ ， （ ）＞０， （ ）＝ｅ － －１ （０，＋∞） ① ≤０ ， ＞１， （ ）＝ｌｎ － ＞０，
增 ｈ ｘ ｈ 即 ｘ ｘ 得证． 分 函数ｆ ｘ 的单调增区间是 无单调减区间 无极值．
，∴ （ ）＞ （０）＝０， ｅ ＞ ＋１， （９ ） （ ） （１，＋∞）， ，
当ｍ 时 令 ｘ ｍ 解得ｘ ｍ
由 可得 ｘ １ ｘ ② ＞０ ， ｌｎ － ＝０， ＝ｅ ，
（ｉｉｉ） （ｉ） ＋１≤ ＋１， 当 ｘ ｍ 时 ｆ ′ ｘ 当ｘ ｍ 时 ｆ ′ ｘ 所以函数ｆ
２ １＜ ＜ｅ ， （ ）＜０； ＞ｅ ， （ ）＞０，
ｘ ｘ ｘ 的单调减区间是 ｍ 单调增区间是 ｍ 在区
即有 ｘ ＋ ＋ １ １ ≤ １ ２ ｘ ＋１， 即 ｘ １ ＋１ ≤ ２ ｘ ＋ ＋ ２ ２ ． （ 间 （ ） １，＋∞） 上的极小 （ 值 １， 为 ｅ ｆ ） （ ， ｅ ｍ ）＝ （ ｍ － ｍ －１ （ ） ｅ ｅ ｍ ， ＝ ＋ － ∞ ｅ ） ｍ ， ， 无极
结合以上结论及 可得 当ｘ 时 大值．
（ｉｉ） ， ＞０ ，
ｆ ｘ ３ ｘ １ ｘ ＋２ ３ ｘ ． （３） 因为对于任意ｘ ∈［ｅ，ｅ ２ ］， 都有ｆ （ ｘ ）＜４ｌｎ ｘ成立 ，
（ ）＋ｘ ＜ｘ ＋ ｘ －２＋ｘ 所以ｆ ｘ ｘ
＋６ ＋１ ２ ＋２ ＋６ （ ）－４ｌｎ ＜０，
令ｇ ｘ １ ｘ ＋２ ３ ｘ ３ ｘ （ ｘ －４） 即问题转化为 （ ｘ －４）ｌｎ ｘ －（ ｍ ＋１） ｘ ＜０ 对于ｘ ∈［ｅ，ｅ ２ ］ 恒成立 ，
（ ）＝ｘ ＋ ｘ －２＋ｘ ＝ ｘ ｘ ，
＋１ ２ ＋２ ＋６ ２（ ＋１）（ ＋６） ｘ ｘ
ｘ 即ｍ ＋１＞ （ －４ ｘ ）ｌｎ 对于ｘ ∈［ｅ，ｅ ２ ］ 恒成立 ，
当 ｘ 时 有ｇ ｘ 则ｆ ｘ ３ ． 分
∴ ０＜ ＜４ ， （ ）＜０， （ ）＜－ｘ （１３ ）
＋６ ｘ ｘ ｘ ｘ
令ｇ ｘ （ －４）ｌｎ 则ｇ′ ｘ ４ｌｎ ＋ －４
当 ｘ 时 ｆ ｘ ３
ｘ
－ ｘ １ ３
ｘ
１ ５
（ ）＝ ｘ ， （ ）＝ ｘ２ ，
（ｉｖ） ４≤ ＜６ ， （ ）＋ｘ ＋６ ＝ｅ ＋ ｘ ＋１ －２＋ｘ ＋６ ＜ ｅ ４ ＋ ５ － 令ｔ ｘ ｘ ｘ ｘ ２ 则ｔ′ ｘ ４
（ ）＝４ｌｎ ＋ －４， ∈［ｅ，ｅ ］， （ ）＝ ｘ ＋１＞０，
１ ． 分
＜０ （１４ ） 所以ｔ ｘ 在区间 ２ 上单调递增
２ （ ） ［ｅ，ｅ ］ ，
综上 原不等式得证． 分 故ｔ ｘ ｔ 进而ｇ′ ｘ
， （１５ ） （ ）ｍｉｎ＝ （ｅ）＝ｅ－４＋４＝ｅ＞０， （ ）＞０，
２３．（２０２１天津红桥一模，２０）已知函数 ｆ ｘ ｘ ｘ ｍ ｍ 所以ｇ ｘ 在区间 ２ 上单调递增
（ ）＝ （ｌｎ － －１）， （ ） ［ｅ，ｅ ］ ，
Ｒ． ｘ ｘ
∈ 函数ｇ ｘ ｇ ２ ８ 要使ｍ （ －４）ｌｎ 对于ｘ
若ｍ 求曲线ｙ ｆ ｘ 在点 ｆ 处的切线方程 （ ）ｍａｘ＝ （ｅ ）＝ ２－ ２， ＋１＞ ｘ ∈
（１） ＝２， ＝ （ ） （ｅ， （ｅ）） ； ｅ
当ｘ 时 求函数ｆ ｘ 的单调区间和极值 ２ 恒成立 只要ｍ ｇ ｘ
（２） ＞１ ， （ ） ； ［ｅ，ｅ ］ ， ＋１＞ （ ）ｍａｘ，
若对于任意ｘ ２ 都有ｆ ｘ ｘ成立 求实数ｍ æ ö
（３） ∈［ｅ，ｅ ］， （ ）＜４ｌｎ ， 所以ｍ ８ 即实数ｍ的取值范围是ç ８ ÷．
的取值范围． ＋１＞２－ ２， è１－ ２，＋∞ø
ｅ ｅ
解析 ｆ ｘ ｘ ｘ ｆ
（１） （ ）＝（ｌｎ －３） ， （ｅ）＝－２ｅ，
ｆ ′ ｘ １ ｘ ｘ ｘ 则ｋ ｆ′ ．所以曲线ｙ
（ ）＝ ｘ · ＋ｌｎ －３＝ｌｎ －２， ＝ （ｅ）＝－１ ＝
学生用书Ｐ４６
１．（２０２１ ５·３原创题）曲线ｙ ｆ ｘ 在点Ｐ ｆ 处的切
＝ （ ） （－１， （－１））
线ｌ如图所示 则ｆ ′ ｆ
， （－１）＋（－１）＝ （ ）
Ａ．２ Ｂ．１ Ｃ．－２ Ｄ．－１
１． 答案 Ｃ
２．（２０ 且 ２１ 平 ５ 行 · 于 ３原 ｙ轴 创 的 题 直 ）设 线 ｆ 与 （ ｘ 函 ）＝ 数 ｅ ａ ｆ ｘ （ ｘ ａ ＞０） ａ ， ｘ的 如 图 图 象 所 的 示 交 ， 过 点 点 为 Ａ Ｐ （ ａ 过 ， Ａ． ｆ （ ｘ ）＝ｅ２ ｘ Ｂ． ｆ （ ｘ ）＝ｅ ｘ
０ Ｐ ） 的切线交ｘ轴于点Ｂ 则当 Ａ （ ＢＰ ）＝ 的 ｅ 面积最小时 函数ｆ ， ｘ Ｃ． ｆ （ ｘ ）＝ｅ ２ ｘ Ｄ． ｆ （ ｘ ）＝ｅ ２ ２ ｘ
， △ ， （ ） ２． 答案 Ｄ
的解析式是
（ ） ３．（多选题）（２０２１ ５·３原创题）过点 作函数ｆ ｘ ｘ３
（－３，２） （ ）＝ ＋
ｘ２ 的图象的切线 则切点的横坐标可能为
３ －２ ， （ ）
Ａ．－２ Ｂ．－２＋ ３ Ｃ．－２－ ３ Ｄ．－３
３． 答案 ＡＢＣ
１ ００ ５年高考３年模拟 Ｂ版（教师用书）
４．（２０２１ ５·３原创题）函数ｆ ｘ ｘ３ ｘ２ ａｘ 与ｇ ｘ ｘ２ ｘ ５． 解析 由已知得ｆ ′ ｘ ｘ ａ 因为ｆ ′ 所以ａ
（ ）＝ －２ － ＋７ （ ）＝ －３ （１） （ ）＝ ２ － ， （３）＝ ３，
的图象在一个公共点处的切线相同 则公切线的方程为 ．
＋３ ， ＝３
． 假设存在ｋ．设直线ｌ与ｆ ｘ ｇ ｘ 的图象相切的切点的横
（２） （ ）， （ ）
４． 答案 ｙ ｘ ì
＝ －１ ï ｘ １ ｋ
５．（２０２１５·３原创题）若函数ｆ ｘ ｘ２ ａｘ ｇ ｘ ｘ和直线 ï２ １－３＝ｘ ＝ ，
（ ）＝ － ＋３， （ ）＝ｌｎ 坐标分别为ｘ ｘ 则有í ２
ｌ
：
ｙ
＝
ｋｘ
－１，
ｆ ′
（３）＝３
． １， ２， ï
ï
ｘ２
１－３
ｘ
１＋３＝
ｋｘ
１－１，
求ａ的值 î ｘ ｋｘ
（１）
是否存在实
；
数ｋ 使得直线ｌ既是函数ｆ ｘ 的图象的切线 解得ｘ ｘ ｋ ．
ｌｎ ２＝ ２－１，
（２） 又是ｇ ｘ 的图象 ， 的切线 如果存在 求 （ 出 ） ｋ的值 如果不 ， 所以存 １ 在 ＝２ ｋ ， ２＝ 使 １， 得 ＝ 直 １ 线ｌ既是函数ｆ ｘ 的图象的切线 又是
（ ） ？ ， ； ＝１， （ ） ，
存在 请说明理由． ｇ ｘ 的图象的切线．
， （ ）
