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第三章 函数的概念与基本初等函数
5/
1
真题多维细目表
考题 考点 考向 情境载体 关键能力 考查要求 核心素养
新 高 考 函数奇偶性与周 利用奇偶性求函 数学运算
２０２２ 数学原理习得 运算求解 综合性
ꎬ 期性 数值 逻辑推理
Ⅰ １２
新 高 考 函数奇偶性与周 数学运算
２０２２ 利用周期性求值 数学原理习得 运算求解 创新性
ꎬ 期性 逻辑推理
Ⅱ ８
新 高 考 函数奇偶性与周 利用奇偶性求解
２０２１ 数学运算学习 运算求解 基础性 数学运算
ꎬ 期性 参数的值
Ⅰ １３
全 国 乙 函数奇偶性与周
２０２１ 判断函数奇偶性 数学运算学习 运算求解 基础性 数学运算
理ꎬ 期性
４
新 高 考 函数奇偶性与周
２０２０ 解不等式 数学运算学习 运算求解 综合性 数学运算
ꎬ 期性
Ⅰ ８
新 高 考 函数的单调性与 利用单调性求参
２０２０ 数学运算学习 运算求解 综合性 数学运算
ꎬ 最值 数的取值范围
Ⅱ ７
2
命题规律与备考策略
本章内容一般不会出现单一知识点的考题 常综合 综合应用 其次对常见的结论或方法要加强记忆与
ꎬ ꎬ
函数的单调性 奇偶性 周期性命制 或将函数的性质融 理解 例如 基本初等函数的解析式 常见函数
、 、 ꎬ ꎬ :① ꎻ②
入函数的图象进行考查 函数的零点是考查的热点之 定义域的求法 函数解析式的求法 函数图象的
ꎬ ꎻ③ ꎻ④
一 需要结合导数 不等式等知识进行求解. 变换 周期函数的常用结论 函数零点的常见求
ꎬ 、 ꎻ⑤ ꎻ⑥
针对本章的知识特点 备考时首先将学习重点放在 法等 最后 要注重函数知识与不等式 方程 导数知
ꎬ ꎬ ꎬ 、 、
以下几方面 函数的基本性质 二次函数与幂函数 指数 识的综合问题 对于函数模型及综合应用则需掌握
: 、 、 ꎬ
函数与对数函数 函数的零点与方程的根 函数模型及 解题思路与常见的几类函数模型.
、 、3.1 函数的概念及表示
考点清单
学生用书P9 知识结构化 考点清单化
考点一 函数的有关概念 考点二 分段函数
１.函数的定义 一般地 设Ａ Ｂ是非空的实数集 如果对于集合 若函数在其定义域的不同子集上 因对应关系不同而分别
: ꎬ 、 ꎬ ꎬ
Ａ中的一个数ｘ 按照某种确定的对应关系ｆ 在集合Ｂ中都有 用几个不同的式子来表示 这种函数称为分段函数.分段函数
ꎬ ꎬ ꎬ
唯一确定的数ｙ和它对应 那么就称ｆ Ａ Ｂ为从集合Ａ到集 的定义域等于各段函数的定义域的并集 其值域等于各段函数
ꎬ : → ꎬ
合Ｂ的一个函数 记作ｙ ｆ ｘ ｘ Ａ. 的值域的并集 分段函数虽由几个部分组成 但它表示的是一
ꎬ ＝ ( )ꎬ ∈ ꎬ ꎬ
２.函数的三要素 定义域 值域和对应关系. 个函数.
: 、
第
三
章
函
数
的
概
念
与
基
本
初
等
函
数
１９
题型方法
学生用书P9 题型经典 方法实用
一、函数定义域的求法 已知函数ｆ ｘ ｘ ２ｘ 则 ｆ ｘ 的解析
(２) (１＋ｃｏｓ )＝ｃｏｓ ２ －３ｓｉｎ ＋１ꎬ ( )
１.求给定解析式的函数定义域 式为
( )
以函数解析式中所含式子 运算 有意义为准则 列出不等式 ｆ ｘ ｘ２ ｘ ｘ
( ) ꎬ Ａ. ( )＝５ －１０ ＋２ꎬ ∈[０ꎬ２]
组 求解 对于实际问题 定义域应使实际问题有意义. ｆ ｘ ｘ２ ｘ ｘ
( ) ꎻ ꎬ Ｂ. ( )＝５ － ＋１ꎬ ∈[－１ꎬ２]
２.求某些抽象函数的定义域 ｆ ｘ ｘ２ ｘ ｘ
Ｃ. ( )＝２ ＋３ ＋２ꎬ ∈[－２ꎬ２]
若函数ｆ ｘ 的定义域为 ａ ｂ 则复合函数ｆ ｇ ｘ 的定 ｆ ｘ ｘ２ ｘ ｘ
(１) ( ) [ ꎬ ]ꎬ ( ( )) Ｄ. ( )＝５ －１０ ＋２ꎬ ∈[－１ꎬ１]
义域由ａ ｇ ｘ ｂ求出 定义在Ｒ上的函数ｆ ｘ 满足ｆ ｘ ｆ ｘ 当 ｘ
≤ ( )≤ ꎻ (３) ( ) ( ＋１)＝ ３ ( )ꎬ ０≤ ≤１
若函数ｆ ｇ ｘ 的定义域为 ａ ｂ 则 ｆ ｘ 的定义域为 时 ｆ ｘ ｘ ｘ 则当 ｘ 时 ｆ ｘ .
(２) ( ( )) [ ꎬ ]ꎬ ( ) ꎬ ( )＝ (１－ )ꎬ －１≤ <０ ꎬ ( )＝
ｇ ｘ 在ｘ ａ ｂ 上的值域. ( )
( ) ∈[ ꎬ ] 已知函数ｆ ｘ 满足ｆ １ １ ｆ ｘ ｘ ｘ 则ｆ
例1 (２０１９江苏ꎬ４ꎬ５分)函数ｙ ｘ ｘ２的定义域是 (４) ( ) ｘ ＋ ｘ (－ )＝２ ( ≠０)ꎬ (－２)
(１) ＝ ７＋６ －
.
. ＝
解析 由题意设ｆ ｘ ｋｘ ｂ ｋ
已知函数ｆ ｘ 的定义域为 则函数ｆ ｘ 的定义 (１) ( )＝ ＋ ꎬ ≠０ꎬ
(２) ( ) (－１ꎬ０)ꎬ (２ －２) 则 ｆ ｋ ｂ ｆ ｋ ｂ ｆ ｂ ｆ ｋ ｂ
域为 . (２)＝ ２ ＋ ꎬ (１)＝ ＋ ꎬ (０)＝ ꎬ (－１)＝ － ＋ ꎬ
{ ｆ ｆ
解析 要使函数ｙ ｘ ｘ２有意义 则 ｘ ｘ２ ２(２)－３(１)＝５ꎬ
(１) ＝ ７＋６ － ꎬ ７＋６ － ≥０ꎬ ∵ ｆ ｆ
２(０)－(－１)＝１ꎬ
即ｘ２ －６ ｘ －７≤０ꎬ 解之得 －１≤ ｘ ≤７ꎬ 所以函数ｙ ＝ ７＋６ ｘ － ｘ２的 { ｋ ｂ ｋ ｂ
(４ ＋２ )－(３ ＋３ )＝５ꎬ
定义域为 .
[－１ꎬ７] ∴ ｂ ｋ ｂ
２ －(－ ＋ )＝１ꎬ
ｆ ｘ 的定义域为 由 ｘ 解得 １ ｘ 解得ｋ ｂ ｆ ｘ ｘ 故选
(２)∵ ( ) (－１ꎬ０)ꎬ∴ －１<２ －２<０ꎬ < < ＝３ꎬ ＝－２ꎬ∴ ( )＝３ －２ꎬ Ｃ.
２ 因为ｆ ｘ ２ｘ ２ｘ ２ｘ 令
( ) (２) (１＋ｃｏｓ )＝２ｃｏｓ －１－３(１－ｃｏｓ )＋１＝５ｃｏｓ －３ꎬ １
. 函数ｆ ｘ 的定义域为 １ . ｘ ｔ ｔ 则 ｘ ｔ 从而得ｆ ｔ ｔ ２
１∴ (２ －２) ꎬ１ ＋ｃｏｓ ＝ ꎬ∈[０ꎬ２]ꎬ ｃｏｓ ＝ －１ꎬ ( )＝５( －１) －３＝
２ ｔ２ ｔ 故ｆ ｘ ｘ２ ｘ ｘ 故选 .
( ) ５ －１０ ＋２ꎬ ( )＝５ －１０ ＋２ꎬ ∈[０ꎬ２]ꎬ Ａ
答案 １
(１)[－１ꎬ７] (２) ꎬ１ 由 ｘ 得 ｘ 从而 ｆ ｘ １ ｆ ｘ
２ (３) －１≤ <０ ０≤ ＋１<１ꎬ ( )＝ ( ＋１)＝
二、求函数解析式的常用方法 ３
ｘ２ ｘ
１.待定系数法 已知函数的类型 利用所给条件列出方程 １ ｘ ｘ １ ｘ ｘ 故当 ｘ
: ꎬ ( ＋１)[１－( ＋１)]＝－ ( ＋１)＝－ － ꎬ －１≤ <０
组 用待定系数法确定系数. ３ ３ ３ ３
( )ꎬ ｘ２ ｘ
２.配凑法或换元法 已知复合函数ｆ ｇ ｘ Ｆ ｘ 的解析式 把 时 ｆ ｘ .
: [ ( )]＝ ( ) ꎬ ꎬ ( )＝－ －
Ｆ ｘ 配凑成关于ｇ ｘ 的表达式 再用ｘ代替ｇ ｘ 称为配凑 ( ) ３ ３
( ) ( ) ꎬ ( )ꎬ
法 ꎻ 直接令ｇ ( ｘ )＝ ｔ ꎬ 解方程把ｘ表示成关于ｔ的函数 ꎬ 再代回 ꎬ (４) ｆ １ ｘ ＋ １ ｘ ｆ (－ ｘ )＝２ ｘ ①ꎬ 令 － ｘ ＝ １ ｔ ( ｔ ≠０)ꎬ 则有 １ ｘ ＝－ ｔ ꎬ 代
称为换元法 此时要注意新元ｔ的取值范围. ( ) ( )
ꎬ
入 可得ｆ ｔ ｔｆ １ ２ 即ｆ ｘ ｘｆ １ ２ ３.转化法 已知某区间上的解析式 求其他区间上的解析式 将 ① (－)－ ｔ ＝－ ｔ ꎬ (－ )－ ｘ ＝－ ｘ ②ꎬ
: ꎬ ꎬ
待定 求 变量转化到已知区间上 利用函数满足的等量关系
间接 ( 获得 ) 解析式. ꎬ 由 ①× ｘ ＋②ꎬ 得 ２ ｆ (－ ｘ )＝２ ｘ２ － ２ ｘ ⇒ ｆ (－ ｘ )＝ ｘ２ － １ ｘ ꎬ∴ ｆ (－２)＝２ ２
( )
４.解方程组法 或赋值法 已知关于ｆ ｘ 与ｆ １ 或ｆ ｘ 的 １ ７ .
( ): ( ) ｘ (－ ) － ＝
２ ２
表达式 ꎬ 可通过对自变量赋值构造出不同的等式 ꎬ 通过解方程 答案 Ｃ Ａ ｘ２ ｘ ７
组求出ｆ ｘ . (１) (２) (３)－ － (４)
( ) ３ ３ ２
例2 已知ｆ ｘ 是一次函数 且 ｆ ｆ ｆ 三、分段函数问题的解题策略
(１) ( ) ꎬ ２ (２)－３ (１)＝ ５ꎬ２ (０)－
ｆ 则ｆ ｘ 的解析式为 １.求函数值.弄清自变量所在区间 然后代入对应的解析式.求
(－１)＝１ꎬ ( ) ( ) ꎬ
ｆ ｘ ｘ ｆ ｘ ｘ 层层套 的函数值 要从最内层逐层往外计算.
Ａ. ( )＝２ ＋３ Ｂ. ( )＝３ ＋２ “ ” ꎬ
ｆ ｘ ｘ ｆ ｘ ｘ ２.求函数最值.分别求出每个区间上的最值 然后比较大小 从
Ｃ. ( )＝３ －２ Ｄ. ( )＝２ －３ ꎬ ꎬ
而得出最值.
ａ 解得ａ 与ａ １ 矛盾 舍去
３.解不等式.根据分段函数中自变量取值范围的界定 代入相 ＝１－３ ＝４ꎬ ＝－１ꎬ >－ ꎬ ꎻ
ꎬ ２
应的解析式求解. 当 １ ａ 即ａ １ 时 ｆ ( ｆ ( １ )) ｆ ( １ ａ ) １ ２－ ａ 则
４.求参数.分段处理 利用代入法列出各区间上的方程或不 － ≥１ꎬ ≤－ ꎬ ＝ － ＝２ ＝４ꎬ
ꎬ ２ ２ ４ ２
等式.
１ ａ 即ａ ３ 满足ａ １ .
{ ｘ ａ ｘ ２ － ＝２ꎬ ＝－ ２ ꎬ ≤－ ２
例3 (２０２１广东肇庆二模ꎬ１４)设函数 ｆ ｘ ２ － ꎬ <１ꎬ若
( )＝ ｘ ｘ 所以ａ ３ .
２ ꎬ ≥１ꎬ ＝－
( ( )) ２
ｆ ｆ １ 则ａ .
＝４ꎬ ＝ 答案 ３
４ －
( ) ２
解析 １ ｆ １ １ ａ １ ａ.
∵ <１ꎬ∴ ＝２× － ＝ －
４ ４ ４ ２
( ( )) ( ) ( )
当 １ ａ 即ａ １ 时 ｆ ｆ １ ｆ １ ａ １ ａ ａ
－ <１ꎬ >－ ꎬ ＝ － ＝２× － －
２ ２ ４ ２ ２
年
高
考
年
模
拟
︵
教
师
用
书
︶
２０
五年 考点式编排 五年 考点式编排 三年 考点基础练 一年 甄选情境素养
高考 题组式训练 高考 题组式训练 模拟 综合提升练 创新 专家独家命制
2018—2022 —
２０１２ ２０１７
考点一 函数的有关概念
学生用书P128 Ａ.(－∞ꎬ－１] Ｂ.(０ꎬ＋∞)
１.(２０１８上海ꎬ１６ꎬ５ 分ꎬ综合性)设Ｄ是含数
１
的有限实数集
ꎬ
Ｃ.(－１ꎬ０) Ｄ.(－∞ꎬ０)
答案 Ｄ
ｆ ｘ 是定义在Ｄ上的函数 若ｆ ｘ 的图象绕原点逆时针旋转π后与 {
( ) ꎬ ( ) ｘ ｘ
６ ２.(２０１７山东文ꎬ９ꎬ５ 分ꎬ综合性)设 ｆ ｘ ꎬ０< <１ꎬ 若
原图象重合 则在以下各项中 ｆ 的可能取值只能是 ( )＝ ｘ ｘ .
ꎬ ꎬ (１) ( ) ２( －１)ꎬ ≥１
( )
３ ３ ｆ ａ ｆ ａ 则ｆ １
Ａ. ３ Ｂ. Ｃ. Ｄ.０ ( )＝ ( ＋１)ꎬ ａ ＝ ( )
２ ３
答案 Ｂ
Ａ.２ Ｂ.４ Ｃ.６ Ｄ.８
答案 Ｃ
２.(２０２２北京ꎬ１１ꎬ５分ꎬ基础性)函数ｆ ｘ １ ｘ的定义
( )＝ ｘ ＋ １－ { ａｘ ｘ ａ
３.(２０２２北京ꎬ１４ꎬ５分ꎬ综合性)设函数ｆ ｘ － ＋１ꎬ < ꎬ 若
域是 . ( )＝ ｘ ２ ｘ ａ.
( －２) ꎬ ≥
答案 ( ꎬ ) ( ꎬ ] ｆ ｘ 存在最小值 则 ａ 的一个取值为 ａ 的最大
－∞ ０ ∪ ０ １ ( ) ꎬ ꎻ
值为 .
３.(２０２０北京ꎬ１１ꎬ５分ꎬ基础性)函数ｆ ｘ １ ｘ的定义域
( )＝ｘ ＋ｌｎ
＋１ 答案 １ ([ ꎬ ]中任意一个实数都可以ꎬ答案不唯一)ꎻ
是 . ０ １ １
２
答案 ( ꎬ ) ４.(２０２１ 浙江ꎬ１２ꎬ４ 分ꎬ综合性)已知 ａ Ｒ 函数 ｆ ｘ
０ ＋∞ ∈ ꎬ ( )＝
４.(２０１８江苏ꎬ５ꎬ５ 分ꎬ基础性)函数 ｆ ｘ ｘ 的定义 {ｘ２ ｘ
域为 .
( )＝ ｌｏｇ２ －１
ｘ
－４ꎬ >
ａ
２ꎬ
ｘ .
若ｆ
(
ｆ
( ６))＝３ꎬ
则ａ
＝
.
｜ －３｜＋ ꎬ ≤２
答案 [ ꎬ ) 答案
２ ＋∞ ２
５
ａ
.(
.
２
若
０１
ｆ
８课标
Ⅰ 则
文
ａ
ꎬ１３ꎬ５分ꎬ基
.
础性)已知函数ｆ
(
ｘ
)＝ｌｏｇ２(
ｘ２
＋
５
{
.
ｘ
(２０
ｘ
１７ 课标
Ⅲ
ꎬ １５ꎬ ５ 分ꎬ
(
综合
)
性) 设函数 ｆ
(
ｘ
) ＝
) (３)＝１ꎬ ＝ ＋１ꎬ ≤０ꎬ则满足 ｆ ｘ ｆ ｘ １ 的 ｘ 的取值范围
答案 ｘ ｘ ( ) ＋ － >１
－７ ２ ꎬ >０ꎬ ２
是 .
考点二 分段函数
学生用书P128
( )
１.(２０１８ 课标 文ꎬ１２ꎬ５ 分ꎬ 综合性) 设函数 ｆ ｘ 答案 １ ꎬ
Ⅰ ( ) ＝ － ＋∞
{ － ｘ ｘ ４
２ ꎬ ≤０ꎬ则满足ｆ ｘ ｆ ｘ 的ｘ的取值范围是
ｘ ( ＋１)<(２ ) ( )
１ꎬ >０ꎬ
三年 考点基础练 五年 考点式编排 三年 考点基础练 一年 甄选情境素养
模拟 综合提升练 高考 题组式训练 模拟 综合提升练 创新 专家独家命制
2020—2022
A组 考点基础题组 学生用书P128
考点一 函数的有关概念 ｆ ｆ
(－２)＋(ｌｏｇ２６)＝ ( )
１.(２０２２ 上海金山一模ꎬ２)函数 ｙ ｘ 的定义域
是 .
＝ｌｏｇ２( －１) Ａ.２
答案 Ｂ
Ｂ.６ Ｃ.８ Ｄ.１０
答案 ( １ ꎬ ＋∞ ) ３ { . ( (２０ ) ２ ｘ ２ 湖南师大附中段考(七)ꎬ５) 已知函数ｆ ( ｘ ) ＝
２.(２０２２海南三模ꎬ１３)已知函数ｆ ｘ ｘ ａ的定义域为 １ ｘ
( )＝ ２ － [２ꎬ ꎬ ≤２ꎬ则ｆ
则ａ . ２ (ｌｏｇ２１２)＝ ( )
＋∞)ꎬ ＝ ｆ ｘ ｘ
答案 ( －１)ꎬ >２ꎬ
４
考点二 分段函数 １ １
Ａ. Ｂ.－６ Ｃ. Ｄ.－３
３ ６
１.(２０２２ 山东省部分学校 ２ 月联考ꎬ３)已知函数 ｆ ( ｘ )＝ 答案 Ａ
{ ｆ ２ ( ｘ ｘ ＋ － １ ３ ꎬ ) ｘ < ꎬ ｘ １ ≥ ꎬ １ꎬ 则ｆ (９)＝ ( ) ４.(２０２２ 河北 唐山一模ꎬ１３)设函数ｆ ( ｘ )＝ {ｘ２ ＋ ｘ １ꎬ ｘ ｘ ≤ . ０ꎬ若ｆ ( ａ )
ｌｇ ꎬ >０
则ａ .
Ａ.２ Ｂ.９ Ｃ.６５ Ｄ.５１３ ＝０ꎬ ＝
答案 Ａ 答案
{ ｘ ｘ １
２.(２０２２广东梅州二模ꎬ３)设函数 ｆ ｘ ｌｏｇ２(６－ )ꎬ <１ꎬ则
( )＝ ｘ －１ ｘ
２ ꎬ ≥１ꎬ
第
三
章
函
数
的
概
念
与
基
本
初
等
函
数
２１
B组 综合应用题组 学生用书P129
10分钟 15分
一、单项选择题(每小题５分ꎬ共１０分)
Ａ.(－１ꎬ０)∪(０ꎬ１)
１. ( ２０２２ 福 建 漳 州 二 模ꎬ ７) 已 知 函 数 ｆ ｘ
( ) ＝ Ｂ.(－∞ꎬ－１)∪(１ꎬ＋∞)
{ ａ ｘ ａ２ ｘ
(１－ ) ＋ ꎬ <１ꎬ与函数ｇ ｘ ｘ的值域相同 则实数ａ的 Ｃ.(－１ꎬ０)∪(１ꎬ＋∞)
ｘ ｘ ( )＝ｌｎ ꎬ
３ ꎬ ≥１ Ｄ.(－∞ꎬ－１)∪(０ꎬ１)
取值范围是 答案 Ｃ
( )
二、填空题(共５分)
Ａ.(－∞ꎬ０) Ｂ.(－∞ꎬ－１]
{ ｘ ｘ
Ｃ.[－１ꎬ１) Ｄ.(－∞ꎬ－１]∪[２ꎬ＋∞) ３.(２０２２江苏泰州二调ꎬ１４)设函数ｆ ｘ －ｅ ꎬ >０ꎬ 若
答案 Ｂ ( )＝ ｘ２ ｘ ｘ
＋２ ＋４ꎬ ≤０ꎬ
{ ｘ ｘ ｆ ｆ ａ 则ａ .
２.(２０２１福州一中期中ꎬ５)设函数ｆ ｘ ｌｏｇ２ ꎬ >０ꎬ 若ｆ ａ ( ( ))＝４ꎬ ＝
( )＝ ｘ ｘ ( )> 答案
ｌｏｇ１ ２(－ )ꎬ <０ꎬ ｌｎ２
ｆ ａ 则实数ａ的取值范围是
(－ )ꎬ ( )
一年 甄选情境素养 五年 考点式编排 三年 考点基础练 一年 甄选情境素养
创新 专家独家命制 高考 题组式训练 模拟 综合提升练 创新 专家独家命制
学生用书P129
１.(２０２２ ５３原创题)若函数ｙ ａ ｘ的定义域为Ｒ 则 { ｘ ＋１ ｘ
＝ －ｓｉｎ ꎬ ２.(２０２２ ５３改编题)设ｆ ｘ ２ －１( ≤３)ꎬ 若ｆ ｘ 则
实数ａ的取值范围为 ( )＝ ｘ２ ｘ ( )＝３ꎬ
( ) ｌｏｇ２( －１)( >３)ꎬ
ｘ的值为
Ａ.(－∞ꎬ－１] Ｂ.(－∞ꎬ１] ( ) 或
Ｃ.[－１ꎬ＋∞) Ｄ.[１ꎬ＋∞) Ａ.３ Ｂ.１ Ｃ.－３ Ｄ.１ ３
答案 Ｄ 答案 Ｂ
