(461)--选填04板书_01.2026考研数学有道武忠祥刘金峰全程班_01.2026考研数学武忠祥刘金峰全程班_00.书籍和讲义_{2}--资料

26选填题速成(4)
(高等数学)
主讲 武忠祥第三章 一元函数积分学
一. 定积分的概念及性质
二. 变上限积分函数
三. 反常积分的敛散性
四. 不定积分 定积分 反常积分 面积 体积计算第三章 一元函数积分学
一. 定积分的概念及性质
n
b
（一）定积分的定义  f (x)d x  lim  f ( )x
k k
a 0
k1
连续
（二）定积分的存在性
1）必要条件 f ( x) 有界；
可积 存在原函数
2）充分条件
(1) 在 上连续；
f ( x) [a,b]
(2) f ( x) 在 [a,b] 上有界且只有有限个间断点；
(3) f ( x) 在 [a,b] 上仅有有限个第一类间断点；（三）定积分的性质
1) 不等式
b b
(1) 若 f (x)  g(x), 则  f (x)d x   g(x)d x.
a a
（2) 若 在 上连续，则
f ( x) [a,b]
b
m(b  a)   f (x)d x  M(b  a).
a
b b
（3)  f (x)d x   | f (x) |d x.
a a
2) 中值定理
（1）若 f ( x) 在 [a,b] 上连续，则
b
 f (x)d x  f (c)(b  a),a  c  b
a
（2）若 在 上连续， 不变号，则
f (x), g(x) [a,b] g( x)
b b
 f (x)g(x)d x  f (c)  g(x)d x, a  c  b
a a1
【例1】（2021年1,2）设函数 f (x) 在区间 [0,1] 上连续,则  f (x)dx  ( )
0
n  2k  1 1 n  2k  1 1
（A）  （B） 
lim f   lim f  
n  2n  2n n  2n  n
k1 k1
2n  k  1 1 2n  k  2
（C）  （D） 
lim f   lim f  
n  2n  n n  2n  n
k1 k1
【解1】直接法
【解2】排除法2 2 2
 1   2   n 
【例2】(2004年2） 等于（ ）
lim ln n 1   1   1  
n  n   n   n 
2 2
（A）  2 （B） 
ln x d x 2 ln x d x
1 1
2 2
（C） 2  ln(1  x)d x （D）  ln 2 (1  x)d x
1 1
2 2 2
 1   2   n  2 1 2 n
【解】 lim ln n 1   1   1    lim [ln(1  )  ln(1  )    ln(1  )]
n  n   n   n  n n n n nk
n e n
 
【例3】 lim  __________ . arctane
2k 4
n
k1 n  ne n
【解】3 n n

【例4】 lim 3 (n  k)(n  k  1)  ( )
C
2
n n
k1
3 1
（A） 2 3 2 （B） 2 3 2  1 （C） [2 3 4  1] （D） [ 3 2  1]
5 2
n 2
3 n n 1 k 1
【解】 lim  3 (n  k) 2  lim  3 (1  ) 2   (1  x)3dx
n n 2 n n
k1
n 0
k1
3
 [23 4  1]
5n x
3
【例5】 lim  dx  ( )
n 1 1  x 2
 

（A） （B） （C） （D）
12
2 6
3
【解1】夹逼  3 1 dx   3 n x dx  32 1 n  3 1 dx
1 1  x 2 1 1  x 2 1 1  x 2
1 
3
 dx 
1 1  x 2 12
【解2】积分中值
3 n x 3 1 3 1 
lim  dx  lim n c  dx   dx 
n 1 1  x 2 n n 1 1  x 2 1 1  x 2 12的下列四条性质
【例6】考虑一元函数 f ( x)
（1） f ( x) 在 [a,b] 上连续 （2） f ( x) 在 [a,b] 上可积 连续
（3） f ( x) 在 [a,b] 上存在原函数
（4） f ( x) 在 [a,b] 上可导,则 可积 存在原函数
（A）(1)  （2）  （3） （B）(1)  （3）  （4）
（C）(4)  （1）  （2） （D）(4)  （3）  （1）
【解】【例7】设 是 在 上的一个原函数，则函数
f (x) (a,b)
F(x)
f (x)  F(x) 在 (a,b) 上（ ）
（A）可导 （B）连续 （C）存在原函数 （D）可积
【解】 
tan x x
【例8】(2003年2）设 则
I   4 dx, I   4 dx,
1 2
0 x 0 tan x
（A） I  I  1. （B） 1  I  I .
1 2 1 2
（C） I  I  1. （D） 1  I  I .
2 1 2 1

【解1】 sin x  x  tan x (0  x  )
2
 
x tan x x 
 I  I I   4 dx   4 1dx   1
tan x x 1 2 2 0 tan x 0 4

【解2】 sin x  x  tan x (0  x  )
2
x tan x tan x 1
  
tan x x sin x cos x
 
dx
 4  ln(sec x  tan x) 4  ln(1  2)  ln e  1
0 cos x 0 
tan x x
【例8】(2003年2）设 则
I   4 dx, I   4 dx,
1 2
0 x 0 tan x
（A） I  I  1. （B） 1  I  I .
1 2 1 2
（C） I  I  1. （D） 1  I  I .
2 1 2 1

4
【解3】 1   4 dx

0
x
tan x 4
x tan x 
 4  4
x 
 
4 4
4
【解4】 
x  0 1 1
  
sin x cos x sin x cos x
【例9】设 I   2 d x, I   2 d x ， I   2 d x ，则( )
1 0 1  x 2 2 0 1  x 2 3 0 1  x 2
（A） I  I  I （B） I  I  I
1 2 3 1 2 3
（C）
I  I  I （D） I  I  I
2 3 1 2 1 3
【解】【例10】设 在 上连续且单调增，则对任意的
f (x) [0,1]
a,b(0  a  b  1), 下列结论正确的是（ ）
a b a 1
（A）b  f (x)dx  a  f (x ) d x . （B） f (x)dx  a  f (x)dx.
0 0 0 0
b 1 b 1
（C）  f (x)dx  b  f ( x ) d x . （D） (1  a)  f (x)dx  b  f (x)dx.
0 0 0 a
b 1
 f (x)dx  f (x)dx
【解1】直接法
0 a
b 1  a
【解2】排除法
f (x)  x【例11】(2017年2）设二阶可导函数 满足
f (x)
f (1)  f (1)  1, f (0)  1, 且 f  (x)  0, 则（ ） (B)
1 1
（A） f (x)dx  0. （B）  f (x)dx  0.
1 1
0 1 0 1
（C） f (x)dx   f (x)dx. （D）  f (x)dx   f (x)dx.
1 0 1 0
【解1】几何法
【解2】排除法 f (x)  2x 2  1【例12】设 f (x) 在 [0,1] 上有二阶可导，则下列命题正确的是（ ）
1
1
① 若 f  (x)  0, 则  f (x)dx  f ( ).
0 2
1
1
② 若 f  (x)  0, 则  f (x)dx  f ( ).
0 2
A
1
1
③ 若 f  (x)  0, 则  f (x)dx  f ( ).
0 2
1
1
④ 若 f  (x)  0, 则  f (x)dx  f ( ).
0 2
（A）①④ （B）②③ （C）②④ （D）①③
【解1】几何法
【解2】排除法【例13】(2022年1,2,3）
x ln(1  x) 2x
1 1 1
设 I   dx, I   dx, I   dx, 则（ ）
1 0 2(1  cos x) 2 0 1  cos x 3 0 1  sin x
（A） I  I  I （B） I  I  I
2 3 1
1 2 3
A
（C） （D）
I  I  I I  I  I
1 3 2 2 1 3
【解1】
【解2】二. 变上限积分函数x
1) 连续性 f (x) 在 [a,b] 可积,则  f (t)d t 在 [a,b] 上连续.
a
2) 可导性
x x
定理 设 f (x) 在 [a,b] 上连续, 则  f (t)d t 在 [a,b] 上可导且 (  f (t)d t)   f (x).
a
a
x
有关 F ( x)   f (t)dt 在一点处的可导性的结论
a
如果 f (x) 在 [a,b] 上除点 x  x (a,b) 外均连续,则在点 x  x 处
0 0
x
f (x) F(x)   f (t)dt
a
1) 连续  可导,且 F  (x )  f (x )
0 0
2) 可去  可导,且 F  (x )  lim f (x)
0
xx
0
3) 跳跃  连续但不可导,且 F  (x )  f (x  ) F  (x )  f (x  )
 0 0  0 0
x
3) 奇偶性 1）若 f ( x) 为奇函数，则  f (t)dt 为偶函数.
0
x
2）若 f ( x) 为偶函数，则  f (t)dt 为奇函数.
0x 2 , 0  x  1,
【例1】(1993年3）已知 f (x)   设
1, 1  x  2,
x
F(x)   f (t)d t (0  x  2) ，则 F(x) 为（ ）． (D)
1
1 1 1
 x 3 , 0  x  1,  x 3  , 0  x  1,
（Ａ） （B）
 
3 3 3
 x, 1  x  2  x, 1  x  2
1
1 1
 x 3 , 0  x  1,  x 3  , 0  x  1,
（C）  （D）
3 
3 3
 x  1, 1  x  2  x  1, 1  x  2
【解1】直接法
【解2】排除法d
x
【例2】(1998年1）设 f ( x) 连续, 则  tf ( x 2  t 2 )dt 
dx 0
（A） x f ( x 2 ) （B)  xf ( x 2 )
（C) 2 x f ( x 2 ) （D)  2xf (x 2 )
【解1】直接法
【解2】排除法x
【例3】(2001年3）设 g(x)   f (u)du, 其中
0
1
(x 2  1), 若 0  x  1,


2
f (x)  
1

(x  1), 若 1  x  2,


3
则 g( x) 在区间（0,2）内
（A）无界 （B）递减 （C）不连续 （D）连续
【解】【例4】（2006年2）设 f ( x) 是奇函数,除 x  0 外处处连续，
x
x  0 是第一类间断点，则  f (t)d t 是： .
0
(A)连续的奇函数; (B)在 x  0 间断的奇函数;
(C)连续的偶函数; (D)在 x  0 间断的偶函数.
【解】1, x  0,

x
【例5】(2004年）设 f (x)  0, x  0, F(x)   f (t)d t ,则（ ）.
 0
  1, x  0,
（A） F(x) 在 x  0 点不连续
（B） F(x) 在 (,) 内连续，在 x  0 点不可导
（C）F(x) 在 (,) 内可导，且满足 F  (x)  f (x)
（D） F(x) 在 (,) 内可导，但不一定满足 F  (x)  f (x)
【解】【例6】(2013年2）
sin x, 0  x  ,
x
设函数 f (x)   F(x)   f (t)dt, 则
 2,   x  2, 0
（A） 是函数 的跳跃间断点；
x  F(x)
（B） 是函数 的可去间断点；
x  F(x)
（C） 在 处连续但不可导；
F(x) x 
（D） 在 处可导.
F(x) x 
【解】 1
e x

, x  0,
 2
x

x
【例7】设 f (x)   1, x  0. F(x)   f (t)dt ,则 F  (0) ( )
1

x ln x, x  0



（A）不存在 （B）等于1 （C）等于0 （D）等于2
C
【解】e x  x 2 , x  0,

， x
【例8】设 f (x)   a, x  0 F(x)   f (t)dt ,则下列结论
1

x 2  b, x  0.

正确的是( )
（A）
是 的原函数;
F(x) f (x)
（B）
F(x) 在 x  0 处连续但不可导；
（C）若 a  b, 则
F(x)
在 x  0 处可导；
（D）若 b  1, 则 F(x) 在 x  0 处可导；
【解】【例9】(2007年1,2,3）如图，连续函数
y  f (x) 在区间 [3,2], [2,3] 上的图形分
别是直径为1的上、下半圆周，在区间
[2,0], [0,2] 的图形分别是直径为 2的下、
x
上半圆周. 设 F(x)   f (t)d t ,则下列结论正确的是（ ）.
0
3 5
（A） F(3)   F(2) （B） F(3)  F(2)
4 4
3 5
（C） （D）
F(3)  F(2) F(3)   F(2)
4 4
【解】x
【例10】设 F(x)   (2t  x) f (t)dt, f (x) 可导，且 f  (x)  0, 则（ ）
0
(A) 是 的极大值
F(0) F(x)
(B) 是 的极小值
F(0) F(x)
(C) F(0) 不是 F(x) 的极值,点 (0, F(0)) 是曲线 y  F(x) 的拐点
(D) F(0) 不是 F(x) 的极值,点 (0, F(0)) 也不是曲线 y  F(x) 的拐点
x x
【解1】直接法
F(x)  2  tf (t)dt  x  f (t)dt
0 0
x
F  (x)  xf (x)   f (t)dt
0
F  (x)  xf  (x)
3
x
【解2】排除法 f (x)  x, F(x) 
6x2
【例11】(1997年1，2）设 F(x)   e sint  sintdt ,则 F ( x)
x
A)为正常数 B) 为负常数 C) 为0 D) 不是常数
【解】由于 F  (x)  e sin(x2) sin(x  2)  e sinx sin x  0 知 F(x)  C
x2 2
F(x)   e sint sin t dt   e sint sin t dt  C
x 0
2
F(0)   e sint sin tdt
0k
【例12】（2012年1,2）设 I   e x 2 sin xdx(k  1,2,3) ，则有
k
0
（A） I  I  I . （B） I  I  I .
1 2 3 3 2 1
（C） I  I  I . （D） I  I  I .
2 1 3
2 3 1
【解】三. 反常积分的敛散性
 t
1）定义  f ( x)dx  lim  f (x)dx
a t a
b b
 f (x)dx  lim  f (x)dx
a ta  t
2）比较法
P  1 收敛
 1
3）P积分  dx  (a  0)
a x P P  1 发散
1 1 P  1 收敛
b b
 
dx, dx 
a (x  a) P a (b  x) P P  1 发散【例1】 (2018年2,3)下列反常积分中发散的是（ ）
D
 
A.   x B.   x 2
xe dx. xe dx.
0 0
 arctan x  x
C.  D. 
dx. dx.
0 1  x 2 0 1  x 2
【解】【例2】下列反常积分收敛的是（ ）
B
 x 1
A.  dx B.  ln(1  x 2 )dx
 1  x 2 0
 dx  xdx
C.  D. 
0 1  x sin x 1 ln 2 x
【解】 1
, 1  x  e,

(x  1)
1
【例3】(2013年2）设函数
f (x)  
1

, x  e.
 x ln 1 x

若反常积分  收敛，则
f (x)dx
1
（B）
（A）  2.
 2.
D
（D）
（C）  2  0. 0  2.
【解】
 arctan x
【例4】反常积分  dx ( 0) 收敛的充要条件是( )
(B)

0 x 1  x
1 1
(A)  1 (B)  ,   1
2 2
(C)  1,   1 (D)  1,   2
【解】【例5】(2022年2)
ln x
1
设 p 为常数，若反常积分  dx 收敛，则 p 的取值范围是（ ）
0 x p (1  x) 1 p
（A） (1,1) （B） (1,2) （C） (,1) （D） (,2)
A
【解1】
【解2】【例6】(2024年2)设非负函数 f (x) 在 [0,) 上连续,给出以下3个命题：
 
① 若  f 2 (x)dx 收敛,则  f (x)dx 收敛；
0 0

② 若存在 p  1, 使得 lim x p f (x) 存在,则  f (x)dx 收敛；
x 0

③ 若  f (x)dx 收敛,则存在 p  1, 使得 lim x p f (x) 存在.
0 x
其中真命题个数为（ ）
（A） （B） （C） （D）
0. 1. 2. 3.
【解】四. 不定积分 定积分 反常积分 面积 体积计算
方法：
1）计算不定积分和反常积分
（1）换元法 （2）分部积分
2）计算定积分
b
2）换元法
1)  f (x)d x  F (b)  F(a)
a
4）利用奇偶性，周期性
3）分部积分法
5）利用公式n  1 n  3 1
 , n偶
  
n n  2 2 2
(1)  2 sin n x d x   2 cos n x d x  
n  1 n  3 2
0 0
  , n奇
 n n  2 3

π 
(2)  x f (sin x)d x   f (sin x)d x
0 2 0
3）计算面积
S   1d
D
4）计算体积
V  2 r(x, y)d
D【例1】(2018年3)  e x arcsin 1  e 2x dx  _________ .
[exarcsin 1e2x  1e2x C]
【解】2 
【例2】(2012年1)  x 2x  x 2 dx  _________ . [ ]
2
0
【解1】
【解2】
【例3】(2001年2)  2 (x 3  sin 2 x)cos 2 x d x  ______ . [  ]
 8

2
【解】
【例4】(2017年3)  (sin 3 x  2  x 2 )dx  ______ . [ 3 ]
2

【解】2
【例5】(2010年1)  x cos x d x  _________ . [4]
0
【解】2 ln x
e
【例6】(2022年1)
 dx  ______ .
4
1 x
【解】【例7】设 g(x) 是可微函数 f (x) 的反函数，且 f (2)  0,
2 2 f (x)
 xf (x)dx  a, 则  (  g(t)dt)dx  ( )
D
0 0 0
1
（A） 0 (B) a (C) a (D) 2a
2
2
2 f (x) f (x) 2
【解1】直接法  dx  g(t)dt  x  g(t)dt   xg[ f (x)] f  (x)dx
0 0 0 0
0
2 2 2
  x 2 df (x)   x 2 f (x)  2  xf (x)dx  2a
0 0 0
【解2】排除法1
1
【例8】(1997年3) 若 f (x)   1  x 2  f (x)d x ，则
1  x 2 0
1
 f (x)d x  _______ . 
[ ]
0 4
【解】 d x
【例9】(2000年2)   ______ . 
[ ]
2 (x  7) x  2 3
【解1】
【解2】 ln(1  x)
【例10】(2013年1,2) dx  _________ . [ln2]
1 (1  x) 2
【解】n1
1 nt 
【例11】设 f (x)  lim  dt, 则  f (x)dx  ________ . [ln2]
n 01  e xt 0
1
1 1 t n xe xt t n
1
【解】  n
dt    dt
0 1  e xt 1  e xt 0 (1  e xt ) 2
0
x
1 xe
1
   t n dt
1  e x (1  e x ) 2 0
x
1 xe 1
  
1  e x (1  e x ) 2 n  1
1   1
f (x)   f (x)dx   dx
1  e x 0 0 1  e x
【例12】(2022年2）已知曲线 的极坐标方程为 r  sin 3(0  ) ，则
L
3
围成的有界区域的面积为 .

L
[ ]
12
【解】 x 1 
【例13】(2020年3）设平面区域 D  (x, y)  y  ,0  x  1 ，则
 2 1  x 2 
绕 y 轴旋转所成的旋转体的体积为 . 1
D (ln2 )
3
【解】【例14】(2021年3）设平面域 由曲线 y  x sinx (0  x  1)
D

与 x 轴围成，则 D 绕 x 轴旋转所成旋转体的体积 [ ]
4
【解】2
【例15】(2023年1,2）设连续函数 f (x) 满足 f (x  2)  f (x)  x,  f (x)dx  0,
0
3
则  f (x)dx  ________ .
1
3 2 3
【解1】  f (x)dx   f (x)dx   f (x)dx
1 1 2
3 1 1 1 1
1
 f (x)dx x  t  2  f (t  2)dt   f (x  2)dx   [ f (x)  x]dx   f (x)dx 
2 0 0 0 0 2
1 1
3 2 1
 f (x)dx   f (x)dx   f (x)dx  
1 1 0 2 22
【例15】(2023年1,2）设连续函数 f (x) 满足 f (x  2)  f (x)  x,  f (x)dx  0,
0
3
则  f (x)dx  ________ .
1
x2
【解2】令 F(x)   f (t)dt, 则 F  (x)  f (x  2)  f (x)  x
x
1
F(x)  x 2  C
2
2
F(0)   f (x)dx  0
0
1 1
3
F(x)  x 2  f (x)dx  F(1) 
2 1 2 5
【例16】(2024年3)  dx  _________ .
2 x 4  3x 2  4
 (x 2  4)  (x 2  1)
【解】原式
  dx
2 (x 2  4)(x 2  1)

1 x  1 1 x
 ln  arctan
 
2 x  1 2 2 
2
1 
 ln 3 
2 8【例17】(2025年2）设单位质点 分别位于点 和 处， 从点
P,Q (0,0) (0,1) P (0,0)
出发沿 x 轴正向移动，记 为引力常数，则当点 移动到点
G P (l,0)
时,克服质点 的引力所做的功为（ ）
Q
l G l Gx
（A）
dx
（B）
dx
0 x 2  1 0 (x 2  1) 3 2
l G l G(x  1)
（C） dx （D） dx
3 3
0 (x 2  1) 2 0 (x 2  1) 2
【解】设质点 P 移动到点 (x,0) (0  x  l) 所受质点 Q 的引力为
 G  G x Gx
F(x)  F (x)   
x 2  1 x x 2  1 x 2  1 (x 2  1) 3 2
Gx
l
W   dx
3
0 (x 2  1) 2