(461)--选填04板书_01.2026考研数学有道武忠祥刘金峰全程班_01.2026考研数学武忠祥刘金峰全程班_00.书籍和讲义_{2}--资料

26选填题速成(4) (高等数学) 主讲 武忠祥第三章 一元函数积分学 一. 定积分的概念及性质 二. 变上限积分函数 三. 反常积分的敛散性 四. 不定积分 定积分 反常积分 面积 体积计算第三章 一元函数积分学 一. 定积分的概念及性质 n b （一）定积分的定义  f (x)d x  lim  f ( )x k k a 0 k1 连续 （二）定积分的存在性 1）必要条件 f ( x) 有界； 可积 存在原函数 2）充分条件 (1) 在 上连续； f ( x) [a,b] (2) f ( x) 在 [a,b] 上有界且只有有限个间断点； (3) f ( x) 在 [a,b] 上仅有有限个第一类间断点；（三）定积分的性质 1) 不等式 b b (1) 若 f (x)  g(x), 则  f (x)d x   g(x)d x. a a （2) 若 在 上连续，则 f ( x) [a,b] b m(b  a)   f (x)d x  M(b  a). a b b （3)  f (x)d x   | f (x) |d x. a a 2) 中值定理 （1）若 f ( x) 在 [a,b] 上连续，则 b  f (x)d x  f (c)(b  a),a  c  b a （2）若 在 上连续， 不变号，则 f (x), g(x) [a,b] g( x) b b  f (x)g(x)d x  f (c)  g(x)d x, a  c  b a a1 【例1】（2021年1,2）设函数 f (x) 在区间 [0,1] 上连续,则  f (x)dx  ( ) 0 n  2k  1 1 n  2k  1 1 （A）  （B）  lim f   lim f   n  2n  2n n  2n  n k1 k1 2n  k  1 1 2n  k  2 （C）  （D）  lim f   lim f   n  2n  n n  2n  n k1 k1 【解1】直接法 【解2】排除法2 2 2  1   2   n  【例2】(2004年2） 等于（ ） lim ln n 1   1   1   n  n   n   n  2 2 （A）  2 （B）  ln x d x 2 ln x d x 1 1 2 2 （C） 2  ln(1  x)d x （D）  ln 2 (1  x)d x 1 1 2 2 2  1   2   n  2 1 2 n 【解】 lim ln n 1   1   1    lim [ln(1  )  ln(1  )    ln(1  )] n  n   n   n  n n n n nk n e n   【例3】 lim  __________ . arctane 2k 4 n k1 n  ne n 【解】3 n n  【例4】 lim 3 (n  k)(n  k  1)  ( ) C 2 n n k1 3 1 （A） 2 3 2 （B） 2 3 2  1 （C） [2 3 4  1] （D） [ 3 2  1] 5 2 n 2 3 n n 1 k 1 【解】 lim  3 (n  k) 2  lim  3 (1  ) 2   (1  x)3dx n n 2 n n k1 n 0 k1 3  [23 4  1] 5n x 3 【例5】 lim  dx  ( ) n 1 1  x 2    （A） （B） （C） （D） 12 2 6 3 【解1】夹逼  3 1 dx   3 n x dx  32 1 n  3 1 dx 1 1  x 2 1 1  x 2 1 1  x 2 1  3  dx  1 1  x 2 12 【解2】积分中值 3 n x 3 1 3 1  lim  dx  lim n c  dx   dx  n 1 1  x 2 n n 1 1  x 2 1 1  x 2 12的下列四条性质 【例6】考虑一元函数 f ( x) （1） f ( x) 在 [a,b] 上连续 （2） f ( x) 在 [a,b] 上可积 连续 （3） f ( x) 在 [a,b] 上存在原函数 （4） f ( x) 在 [a,b] 上可导,则 可积 存在原函数 （A）(1)  （2）  （3） （B）(1)  （3）  （4） （C）(4)  （1）  （2） （D）(4)  （3）  （1） 【解】【例7】设 是 在 上的一个原函数，则函数 f (x) (a,b) F(x) f (x)  F(x) 在 (a,b) 上（ ） （A）可导 （B）连续 （C）存在原函数 （D）可积 【解】  tan x x 【例8】(2003年2）设 则 I   4 dx, I   4 dx, 1 2 0 x 0 tan x （A） I  I  1. （B） 1  I  I . 1 2 1 2 （C） I  I  1. （D） 1  I  I . 2 1 2 1  【解1】 sin x  x  tan x (0  x  ) 2   x tan x x   I  I I   4 dx   4 1dx   1 tan x x 1 2 2 0 tan x 0 4  【解2】 sin x  x  tan x (0  x  ) 2 x tan x tan x 1    tan x x sin x cos x   dx  4  ln(sec x  tan x) 4  ln(1  2)  ln e  1 0 cos x 0  tan x x 【例8】(2003年2）设 则 I   4 dx, I   4 dx, 1 2 0 x 0 tan x （A） I  I  1. （B） 1  I  I . 1 2 1 2 （C） I  I  1. （D） 1  I  I . 2 1 2 1  4 【解3】 1   4 dx  0 x tan x 4 x tan x   4  4 x    4 4 4 【解4】  x  0 1 1    sin x cos x sin x cos x 【例9】设 I   2 d x, I   2 d x ， I   2 d x ，则( ) 1 0 1  x 2 2 0 1  x 2 3 0 1  x 2 （A） I  I  I （B） I  I  I 1 2 3 1 2 3 （C） I  I  I （D） I  I  I 2 3 1 2 1 3 【解】【例10】设 在 上连续且单调增，则对任意的 f (x) [0,1] a,b(0  a  b  1), 下列结论正确的是（ ） a b a 1 （A）b  f (x)dx  a  f (x ) d x . （B） f (x)dx  a  f (x)dx. 0 0 0 0 b 1 b 1 （C）  f (x)dx  b  f ( x ) d x . （D） (1  a)  f (x)dx  b  f (x)dx. 0 0 0 a b 1  f (x)dx  f (x)dx 【解1】直接法 0 a b 1  a 【解2】排除法 f (x)  x【例11】(2017年2）设二阶可导函数 满足 f (x) f (1)  f (1)  1, f (0)  1, 且 f  (x)  0, 则（ ） (B) 1 1 （A） f (x)dx  0. （B）  f (x)dx  0. 1 1 0 1 0 1 （C） f (x)dx   f (x)dx. （D）  f (x)dx   f (x)dx. 1 0 1 0 【解1】几何法 【解2】排除法 f (x)  2x 2  1【例12】设 f (x) 在 [0,1] 上有二阶可导，则下列命题正确的是（ ） 1 1 ① 若 f  (x)  0, 则  f (x)dx  f ( ). 0 2 1 1 ② 若 f  (x)  0, 则  f (x)dx  f ( ). 0 2 A 1 1 ③ 若 f  (x)  0, 则  f (x)dx  f ( ). 0 2 1 1 ④ 若 f  (x)  0, 则  f (x)dx  f ( ). 0 2 （A）①④ （B）②③ （C）②④ （D）①③ 【解1】几何法 【解2】排除法【例13】(2022年1,2,3） x ln(1  x) 2x 1 1 1 设 I   dx, I   dx, I   dx, 则（ ） 1 0 2(1  cos x) 2 0 1  cos x 3 0 1  sin x （A） I  I  I （B） I  I  I 2 3 1 1 2 3 A （C） （D） I  I  I I  I  I 1 3 2 2 1 3 【解1】 【解2】二. 变上限积分函数x 1) 连续性 f (x) 在 [a,b] 可积,则  f (t)d t 在 [a,b] 上连续. a 2) 可导性 x x 定理 设 f (x) 在 [a,b] 上连续, 则  f (t)d t 在 [a,b] 上可导且 (  f (t)d t)   f (x). a a x 有关 F ( x)   f (t)dt 在一点处的可导性的结论 a 如果 f (x) 在 [a,b] 上除点 x  x (a,b) 外均连续,则在点 x  x 处 0 0 x f (x) F(x)   f (t)dt a 1) 连续  可导,且 F  (x )  f (x ) 0 0 2) 可去  可导,且 F  (x )  lim f (x) 0 xx 0 3) 跳跃  连续但不可导,且 F  (x )  f (x  ) F  (x )  f (x  )  0 0  0 0 x 3) 奇偶性 1）若 f ( x) 为奇函数，则  f (t)dt 为偶函数. 0 x 2）若 f ( x) 为偶函数，则  f (t)dt 为奇函数. 0x 2 , 0  x  1, 【例1】(1993年3）已知 f (x)   设 1, 1  x  2, x F(x)   f (t)d t (0  x  2) ，则 F(x) 为（ ）． (D) 1 1 1 1  x 3 , 0  x  1,  x 3  , 0  x  1, （Ａ） （B）   3 3 3  x, 1  x  2  x, 1  x  2 1 1 1  x 3 , 0  x  1,  x 3  , 0  x  1, （C）  （D） 3  3 3  x  1, 1  x  2  x  1, 1  x  2 【解1】直接法 【解2】排除法d x 【例2】(1998年1）设 f ( x) 连续, 则  tf ( x 2  t 2 )dt  dx 0 （A） x f ( x 2 ) （B)  xf ( x 2 ) （C) 2 x f ( x 2 ) （D)  2xf (x 2 ) 【解1】直接法 【解2】排除法x 【例3】(2001年3）设 g(x)   f (u)du, 其中 0 1 (x 2  1), 若 0  x  1,   2 f (x)   1  (x  1), 若 1  x  2,   3 则 g( x) 在区间（0,2）内 （A）无界 （B）递减 （C）不连续 （D）连续 【解】【例4】（2006年2）设 f ( x) 是奇函数,除 x  0 外处处连续， x x  0 是第一类间断点，则  f (t)d t 是： . 0 (A)连续的奇函数; (B)在 x  0 间断的奇函数; (C)连续的偶函数; (D)在 x  0 间断的偶函数. 【解】1, x  0,  x 【例5】(2004年）设 f (x)  0, x  0, F(x)   f (t)d t ,则（ ）.  0   1, x  0, （A） F(x) 在 x  0 点不连续 （B） F(x) 在 (,) 内连续，在 x  0 点不可导 （C）F(x) 在 (,) 内可导，且满足 F  (x)  f (x) （D） F(x) 在 (,) 内可导，但不一定满足 F  (x)  f (x) 【解】【例6】(2013年2） sin x, 0  x  , x 设函数 f (x)   F(x)   f (t)dt, 则  2,   x  2, 0 （A） 是函数 的跳跃间断点； x  F(x) （B） 是函数 的可去间断点； x  F(x) （C） 在 处连续但不可导； F(x) x  （D） 在 处可导. F(x) x  【解】 1 e x  , x  0,  2 x  x 【例7】设 f (x)   1, x  0. F(x)   f (t)dt ,则 F  (0) ( ) 1  x ln x, x  0    （A）不存在 （B）等于1 （C）等于0 （D）等于2 C 【解】e x  x 2 , x  0,  ， x 【例8】设 f (x)   a, x  0 F(x)   f (t)dt ,则下列结论 1  x 2  b, x  0.  正确的是( ) （A） 是 的原函数; F(x) f (x) （B） F(x) 在 x  0 处连续但不可导； （C）若 a  b, 则 F(x) 在 x  0 处可导； （D）若 b  1, 则 F(x) 在 x  0 处可导； 【解】【例9】(2007年1,2,3）如图，连续函数 y  f (x) 在区间 [3,2], [2,3] 上的图形分 别是直径为1的上、下半圆周，在区间 [2,0], [0,2] 的图形分别是直径为 2的下、 x 上半圆周. 设 F(x)   f (t)d t ,则下列结论正确的是（ ）. 0 3 5 （A） F(3)   F(2) （B） F(3)  F(2) 4 4 3 5 （C） （D） F(3)  F(2) F(3)   F(2) 4 4 【解】x 【例10】设 F(x)   (2t  x) f (t)dt, f (x) 可导，且 f  (x)  0, 则（ ） 0 (A) 是 的极大值 F(0) F(x) (B) 是 的极小值 F(0) F(x) (C) F(0) 不是 F(x) 的极值,点 (0, F(0)) 是曲线 y  F(x) 的拐点 (D) F(0) 不是 F(x) 的极值,点 (0, F(0)) 也不是曲线 y  F(x) 的拐点 x x 【解1】直接法 F(x)  2  tf (t)dt  x  f (t)dt 0 0 x F  (x)  xf (x)   f (t)dt 0 F  (x)  xf  (x) 3 x 【解2】排除法 f (x)  x, F(x)  6x2 【例11】(1997年1，2）设 F(x)   e sint  sintdt ,则 F ( x) x A)为正常数 B) 为负常数 C) 为0 D) 不是常数 【解】由于 F  (x)  e sin(x2) sin(x  2)  e sinx sin x  0 知 F(x)  C x2 2 F(x)   e sint sin t dt   e sint sin t dt  C x 0 2 F(0)   e sint sin tdt 0k 【例12】（2012年1,2）设 I   e x 2 sin xdx(k  1,2,3) ，则有 k 0 （A） I  I  I . （B） I  I  I . 1 2 3 3 2 1 （C） I  I  I . （D） I  I  I . 2 1 3 2 3 1 【解】三. 反常积分的敛散性  t 1）定义  f ( x)dx  lim  f (x)dx a t a b b  f (x)dx  lim  f (x)dx a ta  t 2）比较法 P  1 收敛  1 3）P积分  dx  (a  0) a x P P  1 发散 1 1 P  1 收敛 b b   dx, dx  a (x  a) P a (b  x) P P  1 发散【例1】 (2018年2,3)下列反常积分中发散的是（ ） D   A.   x B.   x 2 xe dx. xe dx. 0 0  arctan x  x C.  D.  dx. dx. 0 1  x 2 0 1  x 2 【解】【例2】下列反常积分收敛的是（ ） B  x 1 A.  dx B.  ln(1  x 2 )dx  1  x 2 0  dx  xdx C.  D.  0 1  x sin x 1 ln 2 x 【解】 1 , 1  x  e,  (x  1) 1 【例3】(2013年2）设函数 f (x)   1  , x  e.  x ln 1 x  若反常积分  收敛，则 f (x)dx 1 （B） （A）  2.  2. D （D） （C）  2  0. 0  2. 【解】  arctan x 【例4】反常积分  dx ( 0) 收敛的充要条件是( ) (B)  0 x 1  x 1 1 (A)  1 (B)  ,   1 2 2 (C)  1,   1 (D)  1,   2 【解】【例5】(2022年2) ln x 1 设 p 为常数，若反常积分  dx 收敛，则 p 的取值范围是（ ） 0 x p (1  x) 1 p （A） (1,1) （B） (1,2) （C） (,1) （D） (,2) A 【解1】 【解2】【例6】(2024年2)设非负函数 f (x) 在 [0,) 上连续,给出以下3个命题：   ① 若  f 2 (x)dx 收敛,则  f (x)dx 收敛； 0 0  ② 若存在 p  1, 使得 lim x p f (x) 存在,则  f (x)dx 收敛； x 0  ③ 若  f (x)dx 收敛,则存在 p  1, 使得 lim x p f (x) 存在. 0 x 其中真命题个数为（ ） （A） （B） （C） （D） 0. 1. 2. 3. 【解】四. 不定积分 定积分 反常积分 面积 体积计算 方法： 1）计算不定积分和反常积分 （1）换元法 （2）分部积分 2）计算定积分 b 2）换元法 1)  f (x)d x  F (b)  F(a) a 4）利用奇偶性，周期性 3）分部积分法 5）利用公式n  1 n  3 1  , n偶    n n  2 2 2 (1)  2 sin n x d x   2 cos n x d x   n  1 n  3 2 0 0   , n奇  n n  2 3  π  (2)  x f (sin x)d x   f (sin x)d x 0 2 0 3）计算面积 S   1d D 4）计算体积 V  2 r(x, y)d D【例1】(2018年3)  e x arcsin 1  e 2x dx  _________ . [exarcsin 1e2x  1e2x C] 【解】2  【例2】(2012年1)  x 2x  x 2 dx  _________ . [ ] 2 0 【解1】 【解2】 【例3】(2001年2)  2 (x 3  sin 2 x)cos 2 x d x  ______ . [  ]  8  2 【解】 【例4】(2017年3)  (sin 3 x  2  x 2 )dx  ______ . [ 3 ] 2  【解】2 【例5】(2010年1)  x cos x d x  _________ . [4] 0 【解】2 ln x e 【例6】(2022年1)  dx  ______ . 4 1 x 【解】【例7】设 g(x) 是可微函数 f (x) 的反函数，且 f (2)  0, 2 2 f (x)  xf (x)dx  a, 则  (  g(t)dt)dx  ( ) D 0 0 0 1 （A） 0 (B) a (C) a (D) 2a 2 2 2 f (x) f (x) 2 【解1】直接法  dx  g(t)dt  x  g(t)dt   xg[ f (x)] f  (x)dx 0 0 0 0 0 2 2 2   x 2 df (x)   x 2 f (x)  2  xf (x)dx  2a 0 0 0 【解2】排除法1 1 【例8】(1997年3) 若 f (x)   1  x 2  f (x)d x ，则 1  x 2 0 1  f (x)d x  _______ .  [ ] 0 4 【解】 d x 【例9】(2000年2)   ______ .  [ ] 2 (x  7) x  2 3 【解1】 【解2】 ln(1  x) 【例10】(2013年1,2) dx  _________ . [ln2] 1 (1  x) 2 【解】n1 1 nt  【例11】设 f (x)  lim  dt, 则  f (x)dx  ________ . [ln2] n 01  e xt 0 1 1 1 t n xe xt t n 1 【解】  n dt    dt 0 1  e xt 1  e xt 0 (1  e xt ) 2 0 x 1 xe 1    t n dt 1  e x (1  e x ) 2 0 x 1 xe 1    1  e x (1  e x ) 2 n  1 1   1 f (x)   f (x)dx   dx 1  e x 0 0 1  e x 【例12】(2022年2）已知曲线 的极坐标方程为 r  sin 3(0  ) ，则 L 3 围成的有界区域的面积为 .  L [ ] 12 【解】 x 1  【例13】(2020年3）设平面区域 D  (x, y)  y  ,0  x  1 ，则  2 1  x 2  绕 y 轴旋转所成的旋转体的体积为 . 1 D (ln2 ) 3 【解】【例14】(2021年3）设平面域 由曲线 y  x sinx (0  x  1) D  与 x 轴围成，则 D 绕 x 轴旋转所成旋转体的体积 [ ] 4 【解】2 【例15】(2023年1,2）设连续函数 f (x) 满足 f (x  2)  f (x)  x,  f (x)dx  0, 0 3 则  f (x)dx  ________ . 1 3 2 3 【解1】  f (x)dx   f (x)dx   f (x)dx 1 1 2 3 1 1 1 1 1  f (x)dx x  t  2  f (t  2)dt   f (x  2)dx   [ f (x)  x]dx   f (x)dx  2 0 0 0 0 2 1 1 3 2 1  f (x)dx   f (x)dx   f (x)dx   1 1 0 2 22 【例15】(2023年1,2）设连续函数 f (x) 满足 f (x  2)  f (x)  x,  f (x)dx  0, 0 3 则  f (x)dx  ________ . 1 x2 【解2】令 F(x)   f (t)dt, 则 F  (x)  f (x  2)  f (x)  x x 1 F(x)  x 2  C 2 2 F(0)   f (x)dx  0 0 1 1 3 F(x)  x 2  f (x)dx  F(1)  2 1 2 5 【例16】(2024年3)  dx  _________ . 2 x 4  3x 2  4  (x 2  4)  (x 2  1) 【解】原式   dx 2 (x 2  4)(x 2  1)  1 x  1 1 x  ln  arctan   2 x  1 2 2  2 1   ln 3  2 8【例17】(2025年2）设单位质点 分别位于点 和 处， 从点 P,Q (0,0) (0,1) P (0,0) 出发沿 x 轴正向移动，记 为引力常数，则当点 移动到点 G P (l,0) 时,克服质点 的引力所做的功为（ ） Q l G l Gx （A） dx （B） dx 0 x 2  1 0 (x 2  1) 3 2 l G l G(x  1) （C） dx （D） dx 3 3 0 (x 2  1) 2 0 (x 2  1) 2 【解】设质点 P 移动到点 (x,0) (0  x  l) 所受质点 Q 的引力为  G  G x Gx F(x)  F (x)    x 2  1 x x 2  1 x 2  1 (x 2  1) 3 2 Gx l W   dx 3 0 (x 2  1) 2