(460)--选填03板书_01.2026考研数学有道武忠祥刘金峰全程班_01.2026考研数学武忠祥刘金峰全程班_00.书籍和讲义_{2}--资料

26选填题速成(3)
(高等数学)
主讲 武忠祥f (x)
【例6】(2022年1) 设 lim  1, 则（ ）
x1 ln x
（A） f (1)  0. （B） lim f (x)  0.
x1
（C） f  (1)  1. （D） lim f  (x)  1.
x1
【解1】直接法
ln x, x  1,
【解2】排除法 排除 A,C.
f (x)  
 1, x  1.
1
f (x)  ln x  (x  1) 2 sin 排除 D.
x  1【例7】(1996年2）设函数 在区间 内有定义,若当
f ( x) (,)
x  (,) 时，恒有 | f ( x) | x 2 , 则 x  0 必是 f ( x) 的
（A）间断点；
(B) 连续而不可导的点；
(C) 可导的点,且 f  (0)  0;
(D) 可导的点且 f  (0)  0.
【解1】直接法
【解2】排除法 f (x)
 , x  a,
【例8】设 f  (a) 存在,且 f (a)  0, g(x)   x  a 则 g(x) 在 x  a 处（ ）

 f  (a), x  a,
(A) 不连续 (B) 连续但不可导
(C) 可导但导函数不连续 (D) 导函数连续
f (x) f (x)  f (a)
【解1】直接法 lim g(x)  lim  lim  f  (a)  g(a)
xa xa x  a xa x  a
f (x)
 f  (a)
g(x)  g(a) x  a f (x)  (x  a) f  (a) f  (x)  f  (a) f  (a)
g  (a)  lim  lim  lim  lim 
xa x  a xa x  a xa (x  a) 2 xa 2(x  a) 2
(x  a) f  (x)  f (x) (x  a) f  (x)  (x  a) f  (a)  (x  a) f  (a)  f (x)

lim g (x)  lim  lim
xa xa (x  a) 2 xa (x  a) 2

f (a)
【解2】排除法 f (x)  x  a 
2 1
 x  sin , x  0,
【例9】(2015年2）设 f (x)    （ 0, 0),
x
  0, x  0.
若 f  (x) 在 x  0 处连续,则
 1
(A)     1 (B) 0     1  x n sin , x  0,
g(x)  
x
  0, x  0.
(C)    2 (D) 0    2
 0 连续
 1
 x  sin , x  0,
【解】 f (x)    （ 0, 0), 在 x  0 处
x 可导
 1
  0, x  0.
   1 f  (x) 连续
1 1
x  0, f  (x) x 1 sin  x 1 cos
 
x x 1
 x  sin , x  0,
【原题】(2015年2）设 f (x)    （ 0,  0),
x
  0, x  0.
若 f  (x) 在 x  0 处连续,则
(A)     1 (B) 0     1
(C)    2 (D) 0    2 1
 x  cos , x  0;
【例10】(2003年3)设 f (x)   ,其导函数在
x
  0, x  0,
x  0 处连续,则  取值范围是 .
 0 连续
 1
 x  sin , x  0,
【解】 f (x)    （ 0, 0), 在 x  0 处
x 可导
 1
  0, x  0.
   1 f  (x) 连续【例11】函数 f (x)  (x 2  x  2) | x 3  x | 不可导的点的个数是
（A）3. （B）2. （C）1. （D）0.
【解1】 f (x)  (x 2  x  2) x 3  x  (x  2)(x  1) x  1 x  1 x
n  0 f  (a) 不 
f (x)  (x  a) n x  a , n  1 f  (a) 
n  2 f  (a) 
【解2】 f (x) (x  2)(x  1) x  1 x  1 x
注：常用的结论：设 f (x) (x) x  a , 其 ( x) 在 x  a 处连
续,则 f ( x) 在 x  a 处可导的充要条件是 (a)  0.【例12】（2003年3）设 f (x)  x 3  1(x), 其中 (x) 连续,则 (1)  0 是
f (x) 在 x  1 处可导的（ ）
（A）充分条件 （B）必要条件
（C）充分必要条件 （D）既非充分条件又非必要条件
【解】
f (x)  x  1(x 2  x  1)(x),
注：常用的结论：设 f (x) (x) x  a , 其 ( x) 在 x  a 处连
续,则 f ( x) 在 x  a 处可导的充要条件是 (a)  0.【例13】(1992年1,2）设 f (x)  3x 3  x 2 | x | ,则使 f (n) (0)
存在的最高阶数 n 为（ ）
（A）0 （B）1 （C）2 （D）3
【解】
2.设 则  不存在；
f (x)  x , f (0)
3.设 f (x)  x n x , 则 f (n) (0) 存在， f (n1) (0) 不存在；x 3 ln x , x  0,
【例14】设
f (x)   ,则使 f (n) (0)
 0, x  0.
存在的最高阶数 n 为（ ）
（A）0 （B）1 （C）2 （D）3
 3x 2 ln x  x 2 , x  0,
【解】
f  (x)  
 0, x  0.
6x ln x  5x, x  0,
f  (x)  
 0, x  0.
x n ln x , x  0,
【注】设 f (x)   则 f (n1) (0) 存在， f (n) (0) 不存在；
 0, x  0.【例15】设 f ( x) 在点 x  a 处可导，则函数 | f (x) | 在点 x  a
处不可导的充分条件是
A) f (a)  0, 且 f  (a )  0 ; B) f (a)  0, 且 f  (a)  0;
C) f (a)  0, 且 f  (a )  0 ; D) f (a)  0, 且 f  (a)  0.
【解1】直接法（几何）
【解2】直接法 【解3】排除法
【注】
1) f ( x) 可导 f (x) 可导
2) 设 连续，
f ( x)
(1) 当 f (x )  0 时， f (x) 在 x 处可导  f (x) 在 x 处可导
0 0 0
(2) 当 f (x )  0 时， f (x) 在 x 处可导  f  (x )  0.
0 0 0【例16】(2025年2）设函数 连续,给出下列四个条件
f (x)
f (x)  f (0)
（1） 存在；
lim
x0 x
f (x)  f (0)
（2） 存在；
lim
x0 x
f (x)
（3） 存在；
lim
x0 x
f (x)  f (0)
存在；
（4）
lim
x0 x
其中能得到“f (x) 在 x  0 处可导”的条件个数是
（A）1 （B）2 （C）3 （D）4
设 连续 可导 可导
f ( x) f (x) f (x)
(1) 当 f (x )  0 时， f (x) 在 x 处可导  f (x) 在 x 处可导
0 0 0
(2) 当 f (x )  0 时， f (x) 在 x 处可导  f  (x )  0.
0 0 0【例17】(2005年1,2）设函数 f (x)  lim n 1 | x | 3n , 则 f (x) 在 (,)
n
（A）处处可导； （B）恰有一个不可导点；
（C）恰有两个不可导点； （D）至少有三个不可导点。
【解】 本题中 a  1,a  x 3 , 则
1 2
1, x  1

3n
f (x)  limn 1 x  max(a ,a )  
1 2 3
n  x , x  1
【例18】设  与  都存在,则( )
f (x ) f (x )
 0  0
(A) f (x) 在 x  x 处可导；
0
(B) lim f  (x) 和 lim f  (x) 都存在；
xx  xx 
0 0
（C）若 lim f  (x) 和 lim f  (x) 都存在,则 f (x) 在 x  x 处可导；
0
xx  xx 
0 0
（D）若 lim f  (x)  lim f  (x) ,则 f  (x) 在 x  x 处连续.
0
xx  xx 
0 0
f (x)  f (x )
【解1】直接法 f  (x )  lim 0  lim f  (x) f  (x )  lim f  (x)
 0 xx  x  x xx   0 xx 
0 0 0 0
【解2】排除法 排除A,C
f (x)  x  x
0
 1
(x  x ) 2 sin , x  x ,
f (x)   0 x  x 0 排除B
0

 0, x  x .
0【例19】(1996年3）设 处处可导，则（ ）.
f (x)
（A）当 lim f (x)  , 必有 lim f  (x)  
x x
（B）当 lim f  (x)  , 必有 lim f (x)  
x x
（C）当 lim f (x)  , 必有 lim f  (x)  
x x
（D）当 lim f  (x)  , 必有 lim f (x)  
x x
【解1】直接法 若 lim f  (x)  , 则存在 x  0, 当 x  x 时， f  (x)  1,
0 0
x
则当 x  x 时， f (x)  f (x )  f  ()(x  x )  f (x )  (x  x )  
0 0 0 0
0

f (x) f (x)
【解2】直接法 lim  lim   lim f (x)  
x x x 1 x
【解3】排除法 f (x)  x, 排除(A)(C).
f (x)  x 2 , 排除(B).【例20】(2002年1,2)设函数 y  f (x) 在 (0,) 内有界可导,则（ ）.
（A）当 lim f (x)  0 时，必有 lim f  (x)  0
x x
（B）当 lim f  (x) 存在时，必有 lim f  (x)  0
x x
（C）当 lim f (x)  0 时，必有 lim f  (x)  0
 
x0 x0
（D）当 lim f  (x) 存在时，必有 lim f  (x)  0
 
x0 x0
f (2x)  f (x)
【解1】直接法  f  ()
x
【解2】直接法 若 lim f  (x)  a  0, 不妨设 a  0, 则存在 x  0, 当 x  x 时，
0 0
x
a
f  (x)  ,
2【例20】(2002年1,2)设函数 y  f (x) 在 (0,) 内有界可导,则（ ）.
（A）当 lim f (x)  0 时，必有 lim f  (x)  0
x x
（B）当 lim f  (x) 存在时，必有 lim f  (x)  0
x x
（C）当 lim f (x)  0 时，必有 lim f  (x)  0
 
x0 x0
（D）当 lim f  (x) 存在时，必有 lim f  (x)  0
 
x0 x0

f (x) f (x)
【解3】直接法
lim  lim  0
x x x 1
2 2
sin x sin x
【解4】排除法 f (x)  f  (x)  2cos x 2  排除(A).
2
x x
f (x)  sin x 排除(C)(D).【例21】(2025年1）设函数 f (x) 在区间 [0,) 上可导,则( )
（A）当 lim f (x) 存在时, lim f  (x) 存在;
x x
（B）当  存在时, 存在;
lim f (x) lim f (x)
x x
x

f (t)dt
（C）当 存在时, 存在;
lim 0 lim f (x)
x x x
x

f (t)dt
（D）当 lim f (x) 存在时, lim 0 存在;
x x x
x

f (t)dt
【解1】直接法
lim 0  lim f (x)
x x x
sin x 2 sin x 2
【解2】排除法 f (x)  ， f  (x)  2cos x 2  排除(A).
x x 2x  2t  t ,
【例22】(2023年1,2）已知 y  f (x) 由 确定，则（ ）

y  t sin t

A. f (x) 连续, f  (0) 不存在. B. f  (0) 存在, f  (x) 在 x  0 处不连续.
C. f  (x) 连续, f  (0) 不存在. D. f  (0) 存在, f  (x) 在 x  0 处不连续.
 x x
 sin , x  0
【解】 f (x)   .
3 3
   x sin x, x  0
1 x x x
sin  cos  0
2
3 3 9 3
1 x x x f  (0)  lim 
sin  cos , x  0   x 9
 x0
3 3 9 3

f  (x)   0, x  0 .  sin x  x cos x
f  (0)  lim  2


 sin x  x cos x, x  0 x0  x

x  2t  t ,
【例22】(2023年1,2）已知 y  f (x) 由

确定，则（ ）
y  t sin t

A. f (x) 连续, f  (0) 不存在. B. f  (0) 存在, f  (x) 在 x  0 处不连续.
C. f  (x) 连续, f  (0) 不存在. D. f  (0) 存在, f  (x) 在 x  0 处不连续.

f (0)

2!
 x x  x 2
 sin , x  0    ， x  0
【解】
f (x)   3 3   9
   x sin x, x  0    x 2  , x  0.

f (0)
f  (0)  0 
2!

f (0)
f (x)  f (0)  f  (0)x  x 2  
2!【例】(1992年1,2）设 f (x)  3x 3  x 2 | x | ,则使 f (n) (0)
存在的最高阶数 n 为（ ）
（A）0 （B）1 （C）2 （D）3二. 导数的计算
[ f (x)  1]sin x 2
【例1】设 f (x) 在 x  0 处连续，且 lim  1, 则 f  (0)  _______ .
x0 x  tan x
[ f (x)  1]sin x 2 [ f (x)  1]x 2 f (x)  1
【解】
1  lim  lim  3lim
x0 x  tan x x0 1 x0 x
 x 3
3
f (x)  f (0)
 3lim
x0 x
 3 f  (0)(1  x 2 ) x x 2  1
【例2】设 f (x)   arctan , 则 f  (1)  _______ .
e
x1
1  x 2
【解】 f (x)  g(x)  h(x) f  (1)  g  (1)  h  (1)
1 1 2
ln g(x)  [ln(1  x 2 )  ln x  x  1] g  (1) 
2 2 4
h(x)  h(1)
h  (1)  lim
x1 x  1
x 2  1
1  x 2
 lim  2
x1 x  1【例3】设 有连续导数, 且当 时，
f (x) f (0)  0, x  0
f (x)
 f (t)dt 与 x 2 是等价无穷小，则 f  (0)  _______ .
0
f (x)

f (t)dt
 
【解1】 f ( f (x)) f (x) f (0)
1  lim 0  lim  [ f ( f (x))] 
2
x0 x
x0 2x 2
x0
f [ f (x)]
 lim f  (x)lim
x0 x0 2x
 
f [ f (x)] f (x) 1
 lim f  (x)lim  [ f  (0)] 3 f  (0)  3 2
x0 x0 2 2
【解2】 f (x)  axx
【例4】设 f (x)   t ln t dt, 则 f  (0)  ________ .
1
x

t ln t dt
f (x)  f (0)
【解1】定义
f  (0)  lim  lim 0  lim x ln x  0
x0 x x0 x x0
【解2】 f  (0)  lim x ln x  0
x0
x
有关 F ( x)   f (t)dt 在一点处的连续性和可导性的结论
a
如果 f (x) 在 [a,b] 上除点 x  x (a,b) 外均连续,则在点 x  x 处
0 0
x
f (x) F(x)   f (t)dt
a
1) 连续  可导,且 F  (x )  f (x )
0 0
2) 可去  可导,且 F  (x )  lim f (x)
0
xx
0
3) 跳跃  连续但不可导,且 F  (x )  f (x  ), F  (x )  f (x  )
 0 0  0 0ln x, x  1, dy
【例5】(2012年3）设函数 f (x)   y  f ( f (x)) ，则  _______ .
2x  1, x  1, dx
xe
1 dy 1 1
【解】 f (e)   f  ( ) f  (e)  2
2 dx 2 2e
xe2
 2x  1 d y
【例6】 设 y  f   ,且 f  (x)  ln 3 x, 则  ________ .
2
 x  1  dx
x1
2x  1
【解】令
 u
x  1
dy du 3
 f  (u)  f  (u)
dx dx (x  1) 2
d 2 y 9  6 2
d y 3 1
 f  (u)  f  (u)
  ln 2
dx 2 (x  1) 4 (x  1) 3 2
dx 8 4
x1
dy du 3 1
 f  (u)  f  (u)  ln u
dx dx (x  1) 2 (x  1) 2【例7】(2022年2）已知函数 y  y( x) 由方程 x 2  xy  y 3  3
31
( )
32
确定, 则 y  (1)  _______ .
【解】 x  t 2  1 d 2 y
【例8】(2020年1,2)设
 ，则  _________ . （ 2)
 y  ln(t  t 2  1) dx 2
t1
【解1】
dy 1 1


【解2】 y  ln( x  x 2  1)  (x 2  1) 2
dx x 2  1
2 3
d y 1 
  (x 2  1) 2  2x
2
dx 2x
【例9】(2013年2)设函数 f (x)   1  e t dt, 则 y  f (x)
1
1
[ ]
dx 1e1
的反函数 x  f 1 ( y) 在 y  0 处的导数  _________ .
dy
y0
dx 1 1
【解】  
dy dy f  (x)
dx【例10】设函数 y  f  x  在 x  1 的某邻域内二阶可导，且
2
d x
f (1)  2, f  (1)  1, f  (1)  2. 则  （ ）
2
dy
y2
1 1
（A）2 （B）-2 （C） （D） 
2 2
dx 1 1
【解】  
dy dy f  (x)
dx
d 2 x d 1 f  (x) dx f  (x)
 ( )    
dy 2 dy f  (x) f 2 (x) dy f 3 (x)
2 
d x f (1)
 
 2
2 3
dy f (1)
y21
【例11】(2017年1)已知函数 f (x)  ，则 f (3) (0)  ________ .
1  x 2
1
【解1】 f (x)  偶函数 f  (x) 奇函数 f  (0)  0
1  x 2
1
【解2】 f (x)  偶函数，在0点泰勒展式只有偶次项， f  (0)  0
1  x 2【例12】(2015年2）函数 f (x)  x 2 2 x 在 x  0 处的 n 阶导数 f (n) (0)  _____ .
n
【解1】 (uv) (n)   C k u (k) v (nk) . f (n) (0)  n(n  1)(ln 2) n2
n
k0
【解2】泰勒
2 n
(ln 2) (ln 2)
f (x)  x 2 2 x  x 2 e xln2  x 2 [1  x ln 2  x 2    x n (x n )]
2! n!
2 n
(ln 2) (ln 2)
 x 2  x 3 ln 2  x 4    x n2 (x n2 )]
2! n!
(n) n2
f (0) (ln 2)

n! (n  2)!x
【例13】设 f (x)  ln , 则 f (n) (1)  ______ .
1  x
x 2 (1) n1
【解】 ln(1  x)  x     x n (x n )
f (x)  ln x  ln(1  x)
2 n
x  1
 ln[1  (x  1)] ln 2  ln[1  ]
2
(x  1) 2 (1) n1
ln[1  (x  1)]  (x  1)     (x  1) n ((x  1) n )
2 n
x  1 x  1 (x  1) 2 (1) n1
ln[1  ]      (x  1) n ((x  1) n )
2 2 2 2 2 n2 2
1
f (n) (1)  (1) n1 (1  )(n  1)!
n
2【例14】(1990年1,2,3)已知函数 f (x) 具有任意阶导数,且 f  (x)  [ f (x)] 2，
则当 为大于2的正整数时， 的 阶导数 (n) 是（ ）.
n f (x) n f (x)
（A） n1 （B） n1
n![ f (x)] ; n[ f (x)] ;
（C） 2n （D） 2n
[ f (x)] ; n![ f (x)] .
【解1】直接法 f  (x)  2 f (x) f  (x)  2[ f (x)] 3
f  (x)  2 3 f 2 (x) f  (x)  2 3[ f (x)] 4 f (n) (x)  n![ f (x)] n1
【解2】排除法
f  (x)  2 f (x) f  (x)  2[ f (x)] 3
f  (x)  2 3 f 2 (x) f  (x)  2 3[ f (x)] 4【例15】(2020年2) 已知函数 f (x)  x 2 ln(1  x) ，当 n  3 时, f (n) (0)  ( )
n! n! (n  2)! (n  2)!
A.  B. C.  D.
n  2 n  2 n n
x 2 (1) n1
【解1】直接法 ln(1  x)  x     x n (x n )
2 n
2
x 1
f (x)  x 2 ln(1  x)   x 2 [x     x n (x n )]
2 n
f (n) (0) 1 n!
  f (n) (0)  
n! n  2 n  2
【解2】排除法 f (x)   x 3  
f  (0)  6【例16】(2024年2)已知函数 f (x)  x 2 (e x  1), 则 f (5) (1) ___________ .
n
【解1】 f (x)  x 2 e x  x 2 (uv) (n)   C k u (k) v (nk) .
n
k0
f (5) (x)  C 0 x 2 e x  C 1 2xe x  C 2 2e x x 2 e x  10xe x  20e x
5 5 5
f (5) (1)  31e
【解2】泰勒 x  1  t
2 3
t t
x 2 e x  (t  1) 2 e 1t  e(1  2t  t 2 )(1  t    )
2! 3!
1 2 1 1 2 1
e(   ) t 5 f (5) (1)  e(   )5 ！ 31e
5! 4! 3! 5! 4! 3!三. 函数性态（单调性 极值 凹向 拐点 渐近线）
【例1】设函数 在 的某邻域 内有定义,则下列结论正确的是（ ）
f (x) x U(x ,)
0 0
（1）若 x (x , x ) 时, f  (x)  0 ,而 x  (x , x ) 时, f  (x)  0
0 0 0 0  x, x  0

则 在 处取极大值；
f (x) x f (x)    1, x  0
0

（2）若 f (x) 在该邻域 U(x ,) 内可导,且在 x 处取极大值,则当   x, x  0
0
0
;
x (x , x ) 时, f  (x)  0 ,而 x  (x , x ) 时, f  (x)  0
0 0 0 0
（3）若 f (x) 在 x 处取极大值,则 f (x) 在 (x , x ) 内单调增,
0 0 0
 1
而在 (x , x ) 内单调减；  2  x 2 (2  sin ), x  0
f (x)  
0 0 x
  2, x  0

f (x)
（4）若 f  (x ) 存在 , 且 lim  1, 则 f (x) 在 x 处取极大值；
0 xx x  x 0
0
0
f (x)
（4）若 f  (x ) 存在 , 且 lim  1, 则 f (x) 在 x 处取极大值；
0 xx x  x 0
0
0
【解1】 f  (x ) 存在可知， f (x) 在 x 处连续.
0 0

f (x)
lim  1, 在 x 处两侧. f  (x) 由正变负.则 f (x) 在 x 处取极大值；
xx x  x 0 0
0
0
f  (x) f (x)  f (x ) f  (x)
【解2】 lim  1, lim f  (x)  0, f  (x )  lim 0  lim  0
xx x  x xx 0 xx x  x xx 1
0 0 0 0
0 0
f  (x)  f  (x )
 1  lim 0  f  (x )
xx x  x 0
0
0【例2】(1991年3）设函数 f (x) 在 (,) 内有定义， x  0 是
0
函数 的极大点，则（ ）.
f (x)
（A） x 必是 f (x) 的驻点
0
（B）  x 必是  f ( x) 的极小点
0
（C）  x 必是  f ( x) 的极大点
0
（D）对一切 x 都有 f (x)  f (x )
0
【解】【例3】(1990年1,2)已知 f ( x) 在 x  0 的某个邻域内连续,且
f (x)
f (0)  0,lim  2, 则在点 x  0 处 f ( x)
x0 1  cos x
（A）不可导. （B）可导,且 f  (0)  0.
（C）取得极大值. （D）取得极小值.
f (x) f ( x)
【解1】直接法
lim  2  0  0
x0 1  cos x 1  cos x
f (x)  0  f (0)
【解2】排除法 f (x)  x 2
f (x)
【例4】(2001年3）设 f (x) 的导数在 x  a 处连续，又 lim  1 ，则（ ）
xa x  a
（A） x  a 是 f (x) 的极小值点
（B） x  a 是 f (x) 的极大值点
（C） (a, f (a)) 是曲线 y  f (x) 的拐点
（D）x  a 不是 f (x) 的极值点， (a, f (a)) 也不是曲线 y  f (x) 的拐点
 
f (x) f (x)
【解1】直接法
lim  1  0  0
xa x  a x  a
f  (x) f  (x)  f  (a)
【解2】直接法  1  lim  lim  f  (a)
xa x  a xa x  a
1
【解3】排除法 f (x)   (x  a) 2
2【例5】(2022年2) 设函数 f (x) 在 x  x 处有 阶导数，则（ ）
2
0
（A）当 f (x) 在 x 的某邻域内单调增加时， f  (x )  0.
0 0
（B）当 f  (x )  0. 时， f (x) 在 x 的某邻域内单调增加.
0 0
（C）当 f ( x) 在 x 的某邻域内是凹函数时， f  (x )  0.
0 0
（D）当 f  (x )  0 时， f ( x) 在 x 的某邻域内是凹函数.
0 0
【解1】直接法 f (x) 在 x  x 处有 阶导数知， f  (x) 在 x  x 处连续，
2
0 0
又 f  (x )  0, 在 x 的某邻域内 f  (x)  0.
0 0
 1
【解2】排除法 x  t  2t 2 sin , t  0,
f (x)   g(t)dt g(t)  
t
0
  0, t  0.
 1 1
 1  4x sin  2cos , x  0,
f  (x)  g  (x)  
x x
  1, x  0.【例6】(1997年2)已知函数 y  f (x) 对一切 x 满足
xf  (x)  3x[ f  (x)] 2  1  e x ,若 f  (x )  0 (x  0) 则（ ）.
0 0
(A) f ( x ) 是 f (x) 的极大值； （B) f ( x ) 是 f (x) 的极小值；
0 0
(C) ( x , f ( x )) 是曲线 y  f ( x) 的拐点;
0 0
(D) f ( x ) 不是 f ( x) 的极值，(x , f (x )) 也不是曲线 y  f ( x) 的拐点.
0 0 0
1  e
x
0
【解】 x f  (x )  1  e x 0 f  (x )   0
0 0 0
x
0
若 x  0 ？
0【例7】(2000年2)设函数 f (x) 满足关系式 f  (x)  [ f  (x)] 2  x 且 f  (0)  0 则（ ）
(A) f (0) 是 f (x) 的极大值；
（B) 是 的极小值；
f (0) f (x)
（C) (0, f (0)) 是曲线 y  f ( x) 的拐点;
（D) f (0) 不是 f ( x) 的极值， (0, f (0)) 也不是曲线 y  f ( x) 的拐点.
【解】【例8】(2004年2,3）设 f (x) | x(1  x) | ，则
（A）x  0 是 f ( x) 的极值点，但 (0,0) 不是曲线 y  f (x) 的拐点
（B）x  0 不是 f ( x) 的极值点，但 (0,0) 是曲线 y  f (x) 的拐点
（C）x  0 是 f ( x) 的极值点，且 (0,0) 是曲线 y  f (x) 的拐点
（B）x  0 不是 f ( x) 的极值点， (0,0) 也不是曲线 y  f (x) 的拐点
【解1】分析法  不存在
f (0)
x(x  1), x  0, 2x  1, x  0,  2, x  0,
f (x)   f  (x)   f  (x)  
x(1  x), x  0. 1  2x, x  0.   2, x  0.
【解2】几何法【例9】设 g(x) 在 x  0 的某邻域内连续, f (x) 具有一阶连续导数,且满足
g(x)
1
lim  3, f  (x)  ln(1  x 2 )  x  g(xt)dt, 则（ ）
x0 x 0
(A) x  0 是 f (x) 的极大值点
(B) x  0 是 f (x) 的极小值点
(C) 是曲线 的拐点
(0, f (0)) y  f (x)
(D) x  0 不是 f (x) 的极小值点， (0, f (0)) 也不是曲线 y  f (x) 的拐点
1 x
【解1】直接法 f  (x)  ln(1  x 2 )   g(xt)d(xt)  ln(1  x 2 )   g(u)du
0 0

2x f (x) 2 g(x)
f  (x)   g(x) f  (0)  0 lim  lim  lim  5  f  (0)
1  x 2 x0 x x0 1  x 2 x0 x
3 2x
【解2】排除法 g(x)  3x ， f  (x)  ln(1  x 2 )  x 2， f  (x)   3x
2 1  x 2x x
【例10】(2025年1,2,3）已知函数 f (x)   e t 2 sin tdt, g(x)   e t 2 dt  sin 2 x, 则（ ）
0 0
（A） x  0 是 f (x) 的极值点，也是 g(x) 的极值点.
（B） x  0 是 f (x) 的极值点， (0,0) 是曲线 y  g(x) 的拐点.
（C） x  0 是 f (x) 的极值点， (0,0) 是曲线 y  f (x) 的拐点.
（D） (0,0) 是曲线 y  f (x) 的拐点，也是曲线 y  g(x) 的拐点.
【解1】 f  (0)  0, f  (0)  1; g  (0)  0, g  (0)  0, g  (0)  6;
1
x
【解2】 f (x)   [1 (1)][t (t)]dt  x 2 (x 2 ) f  (0)  0, f  (0)  1;
0 2
x
g(x)   [1 (1)]dt [x 2 (x 2 )]  x 3 (x 3 ) g  (0)  0, g  (0)  0, g  (0)  6;
0
x x 1 1
【解3】 f (x)   e t 2 sin tdt ～  tdt  x 2 f (x)  x 2 (x 2 )
0 0 2 2
x x
g(x)   e t 2 dt  sin 2 x ～  dt  x 2  x 3 g(x)  x 3 (x 3 )
0 0
【解4】 f (x) 偶函数 f (2n1) (0)  0 g(x) 奇函数 g (2n) (0)  0x x
【例10】(2025年11,2,3）已知函数 f (x)   e t 2 sin tdt, g(x)   e t 2 dt  sin 2 x, 则（ ）
0 0
（A） x  0 是 f (x) 的极值点，也是 g(x) 的极值点.
可导
f (x)
（B） x  0 是 f (x) 的极值点， (0,0) 是曲线 y  g(x) 的拐点.
极值点和拐点
（C） x  0 是 f (x) 的极值点， (0,0) 是曲线 y  f (x) 的拐点.
不能同时出现
（D） (0,0) 是曲线 y  f (x) 的拐点，也是曲线 y  g(x) 的拐点.
【解5】排除法 f (0)  0, f (x) 为偶函数， x  0 是 f (x) 的极小值点.
排除 C,D.
g(0)  0, g(x) 为奇函数， x  0 不是 g(x) 的极值点.
排除 A【例11】设函数 有连续的二阶导 y
f ( x)
y  f  (x)
数,其导函数  的图形如下图,
f (x)
令函数 y  f ( x) 的驻点的个数为 l,
x
极值点的个数为 m, 曲线 y  f ( x)
的拐点个数为 则
n,
（A） （B）
l  m  n  3 l  m  n  2
（C） （D）
l  3,m  2,n  3 l  3,m  2,n  1
【解】【例12】(2014年1,2）下列曲线中有渐近线的是 （ ）
（A） y  x  si n x （B） y  x 2  sin x
1
1
（C） y  x  sin （D） y  x 2  sin
x
x
【解】
若 y  f ( x)  ax  b ( x) lim( x)  0
x
斜渐近线 y  ax  b1
【例13】(2007年1,2）曲线 y   ln(1  e x ) 渐近线的条数为
x
（A）0. （B）1. （C）2. （D）3.
【解】2
【例14】(2017年2）曲线 y  x(1  arcsin ) 的斜渐近线方程为
x
_____________ .
2
【解】 y  x  x arcsin y  x  2
x
2
 x  2  [x arcsin  2]
x2
x arctan x
【例15】曲线 y  的渐近线的条数为（ ）
x  1
（A）1． （B）2. （C）3. （D）4.
【解1】 x  1 为铅直渐近线.
x  1
x   y  (  arctan ) x  
1 2 x
1 
x
x  1
1 1  1 1 y  (  arctan )
 x(1  ( ))(  ( )) 1 2 x
1 
x x 2 x x
x
  1
 x   1  x( )  
2 2 x y   x   1
2 2
 
y  x   1
2 22
x arctan x
【例15】曲线 y  的渐近线的条数为（ ）
x  1
（A）1． （B）2. （C）3. （D）4.
【解2】 x  1 为铅直渐近线.
1
x   y  (x  1  )arctan x
x  1
 1 1
y  (x  1)(  arctan )  arctan x
2 x x  1
  1 1 1
y  x   x arctan  arctan  ( )arctan x
2 2 x x x  11
【例16】(2023年1,2）曲线y  x ln(e  ) 的斜渐近线方程为（ ）
x  1
1 1
A. y  x  e B. y  x  C. y  x D. y  x 
e e
1
【解】 y  x  x ln(1  )
e(x  1)
1 1 1
 x   [x ln(1  )  ]
e e(x  1) e
1
y  x 
ex  cos 3 t, 
【例17】(2018年2）曲线 在 对应点处的曲率为
 t  __________ .
 y  sin 3 t, 4
y  x   x  y  2
【解1】
K  
3
3
(x 2  y 2 )2

y 2
【解2】
K  
3
3
(1  y 2 )2【例18】(2024年2）曲线 y 2  x 在点 (0,0) 处的曲率圆方程为 _________ .
dx d 2 x
【解】 则
 2 y  0,  2  2,
dy y0 dy 2 y0
y0 y0

x (0)
K   2
3
[1  x 2 (0)]2
1 1 1
则曲率半径为 曲率圆方程为
R  , (x  ) 2  y 2  .
2 2 4四. 方程的根及不等式
1.根的存在性
方法1 零点定理； 方法2 罗尔定理；
2.根的个数
方法1 单调性； 方法2 罗尔定理推论；
罗尔定理推论：若在区间 I 上 f (n) (x)  0, 则方程 f (x)  0
在 上最多 个实根.
I n
3.不等式
1）单调性； 2）最大最小值； 3）拉格朗日中值定理；
4）泰勒公式； 5）凹凸性；【例1】(2005年3)当 a 取下列哪个值时,函数
f (x)  2x 3  9x 2  12x  a 恰有两个不同的零点（ ）
（ Ａ ） （B ） （ C ） （D）
2 4 6 8
【解】 g(x)  2x 3  9x 2  12x
g  (x)  6x 2  18x  12  6(x  1)(x  2)
g  (1)  g  (2)  0
g(1)  5, g(2)  4.b
【例2】(2021年2,3）设函数 f (x)  ax  bln x(a  0) 有两个零点，则
a
（A）（ e ， ） （B） (0,e)
1 1
（C） (0, ) （D） ( ,)
e e
ln x a ln x
【解1】  有两个实根.(x) 
x b x
1  ln x a 1
 (x)  0  
2
x b e
a
【解2】 y  ln x, y  x 有两个交点
b
 a
ln x  x
 a 1
b a 1

 0  
1 a
b e
  b e
 x b【例3】方程 a x  x 有实根的充要条件是（ ）
1
（A）0  a  e （B） 0  a 
e
1
1
（C） 0  a  ee （D） 0  a  ee
【解】 x ln a  ln x
y  ln x, y  x ln a 有交点
ln x  x ln a
 1 1 1
 1 ln a  a  ee 0  a  ee
 ln a
 e
 x【例4】(2020年2)设函数 f (x) 在区间 [2,2] 上可导,且 f  (x)  f (x)  0, 则( )
f (2) f (0) f (1) f (2)
A.  1 B.  e C.  e 2 D.  e 3
f (1) f (1) f (1) f (1)
【解1】直接法 g(x)  e x f (x)
g  (x)  e x [ f  (x)  f (x)]  0
【解2】排除法 f (x)  e 2x【例5】设函数 f (x) 可导,且 f  (x) 单调减, f (0)  0, 则当 x (0,1) 时（ ）
f (x) f (x)
（B）
（A）  f  (0)  f (1)
x x
f (x) f (x)
（C） f (1)   f  (0) （D） f  (0)   f (1)
x x
f (x)
【解1】直接法 g(x) 
x
xf  (x)  f (x) xf  (x)  [ f (x)  f (0)] xf  (x)  xf  ()
g  (x)     0
2 2 2
x x x
f (x) f (t)
0  t  x, f (1)  
x t
【解2】排除法 f (x)   x 2
【解3】几何法f (x)  1
【例6】设函数 f (x) 二阶可导，f (x)  0,lim  1, 且 f (x) f  (x)  [ f  (x)] 2 , 则（ ）
x0 x
（A）e
x
f (x)  1 （B）e
x
f (x)  1
ln f (x) ln f (x)
（C）  1 （D）  1
x x

 f  (x)
【解1】直接法
 0
 
 f (x) 

f (x)
g(x)  ln f (x) g  (x)  g  (x)  0 曲线 y  g(x) 凹.
f (x)
曲线 y  g(x) 在 (0,0) 处的切线 y  x
g(x)  x ln f (x)  x f (x)  e x e x f (x)  1
【解2】排除法
f (x)  e
xx 2