(460)--选填03板书_01.2026考研数学有道武忠祥刘金峰全程班_01.2026考研数学武忠祥刘金峰全程班_00.书籍和讲义_{2}--资料

26选填题速成(3) (高等数学) 主讲 武忠祥f (x) 【例6】(2022年1) 设 lim  1, 则（ ） x1 ln x （A） f (1)  0. （B） lim f (x)  0. x1 （C） f  (1)  1. （D） lim f  (x)  1. x1 【解1】直接法 ln x, x  1, 【解2】排除法 排除 A,C. f (x)    1, x  1. 1 f (x)  ln x  (x  1) 2 sin 排除 D. x  1【例7】(1996年2）设函数 在区间 内有定义,若当 f ( x) (,) x  (,) 时，恒有 | f ( x) | x 2 , 则 x  0 必是 f ( x) 的 （A）间断点； (B) 连续而不可导的点； (C) 可导的点,且 f  (0)  0; (D) 可导的点且 f  (0)  0. 【解1】直接法 【解2】排除法 f (x)  , x  a, 【例8】设 f  (a) 存在,且 f (a)  0, g(x)   x  a 则 g(x) 在 x  a 处（ ）   f  (a), x  a, (A) 不连续 (B) 连续但不可导 (C) 可导但导函数不连续 (D) 导函数连续 f (x) f (x)  f (a) 【解1】直接法 lim g(x)  lim  lim  f  (a)  g(a) xa xa x  a xa x  a f (x)  f  (a) g(x)  g(a) x  a f (x)  (x  a) f  (a) f  (x)  f  (a) f  (a) g  (a)  lim  lim  lim  lim  xa x  a xa x  a xa (x  a) 2 xa 2(x  a) 2 (x  a) f  (x)  f (x) (x  a) f  (x)  (x  a) f  (a)  (x  a) f  (a)  f (x)  lim g (x)  lim  lim xa xa (x  a) 2 xa (x  a) 2  f (a) 【解2】排除法 f (x)  x  a  2 1  x  sin , x  0, 【例9】(2015年2）设 f (x)    （ 0, 0), x   0, x  0. 若 f  (x) 在 x  0 处连续,则  1 (A)     1 (B) 0     1  x n sin , x  0, g(x)   x   0, x  0. (C)    2 (D) 0    2  0 连续  1  x  sin , x  0, 【解】 f (x)    （ 0, 0), 在 x  0 处 x 可导  1   0, x  0.    1 f  (x) 连续 1 1 x  0, f  (x) x 1 sin  x 1 cos   x x 1  x  sin , x  0, 【原题】(2015年2）设 f (x)    （ 0,  0), x   0, x  0. 若 f  (x) 在 x  0 处连续,则 (A)     1 (B) 0     1 (C)    2 (D) 0    2 1  x  cos , x  0; 【例10】(2003年3)设 f (x)   ,其导函数在 x   0, x  0, x  0 处连续,则  取值范围是 .  0 连续  1  x  sin , x  0, 【解】 f (x)    （ 0, 0), 在 x  0 处 x 可导  1   0, x  0.    1 f  (x) 连续【例11】函数 f (x)  (x 2  x  2) | x 3  x | 不可导的点的个数是 （A）3. （B）2. （C）1. （D）0. 【解1】 f (x)  (x 2  x  2) x 3  x  (x  2)(x  1) x  1 x  1 x n  0 f  (a) 不  f (x)  (x  a) n x  a , n  1 f  (a)  n  2 f  (a)  【解2】 f (x) (x  2)(x  1) x  1 x  1 x 注：常用的结论：设 f (x) (x) x  a , 其 ( x) 在 x  a 处连 续,则 f ( x) 在 x  a 处可导的充要条件是 (a)  0.【例12】（2003年3）设 f (x)  x 3  1(x), 其中 (x) 连续,则 (1)  0 是 f (x) 在 x  1 处可导的（ ） （A）充分条件 （B）必要条件 （C）充分必要条件 （D）既非充分条件又非必要条件 【解】 f (x)  x  1(x 2  x  1)(x), 注：常用的结论：设 f (x) (x) x  a , 其 ( x) 在 x  a 处连 续,则 f ( x) 在 x  a 处可导的充要条件是 (a)  0.【例13】(1992年1,2）设 f (x)  3x 3  x 2 | x | ,则使 f (n) (0) 存在的最高阶数 n 为（ ） （A）0 （B）1 （C）2 （D）3 【解】 2.设 则  不存在； f (x)  x , f (0) 3.设 f (x)  x n x , 则 f (n) (0) 存在， f (n1) (0) 不存在；x 3 ln x , x  0, 【例14】设 f (x)   ,则使 f (n) (0)  0, x  0. 存在的最高阶数 n 为（ ） （A）0 （B）1 （C）2 （D）3  3x 2 ln x  x 2 , x  0, 【解】 f  (x)    0, x  0. 6x ln x  5x, x  0, f  (x)    0, x  0. x n ln x , x  0, 【注】设 f (x)   则 f (n1) (0) 存在， f (n) (0) 不存在；  0, x  0.【例15】设 f ( x) 在点 x  a 处可导，则函数 | f (x) | 在点 x  a 处不可导的充分条件是 A) f (a)  0, 且 f  (a )  0 ; B) f (a)  0, 且 f  (a)  0; C) f (a)  0, 且 f  (a )  0 ; D) f (a)  0, 且 f  (a)  0. 【解1】直接法（几何） 【解2】直接法 【解3】排除法 【注】 1) f ( x) 可导 f (x) 可导 2) 设 连续， f ( x) (1) 当 f (x )  0 时， f (x) 在 x 处可导  f (x) 在 x 处可导 0 0 0 (2) 当 f (x )  0 时， f (x) 在 x 处可导  f  (x )  0. 0 0 0【例16】(2025年2）设函数 连续,给出下列四个条件 f (x) f (x)  f (0) （1） 存在； lim x0 x f (x)  f (0) （2） 存在； lim x0 x f (x) （3） 存在； lim x0 x f (x)  f (0) 存在； （4） lim x0 x 其中能得到“f (x) 在 x  0 处可导”的条件个数是 （A）1 （B）2 （C）3 （D）4 设 连续 可导 可导 f ( x) f (x) f (x) (1) 当 f (x )  0 时， f (x) 在 x 处可导  f (x) 在 x 处可导 0 0 0 (2) 当 f (x )  0 时， f (x) 在 x 处可导  f  (x )  0. 0 0 0【例17】(2005年1,2）设函数 f (x)  lim n 1 | x | 3n , 则 f (x) 在 (,) n （A）处处可导； （B）恰有一个不可导点； （C）恰有两个不可导点； （D）至少有三个不可导点。 【解】 本题中 a  1,a  x 3 , 则 1 2 1, x  1  3n f (x)  limn 1 x  max(a ,a )   1 2 3 n  x , x  1 【例18】设  与  都存在,则( ) f (x ) f (x )  0  0 (A) f (x) 在 x  x 处可导； 0 (B) lim f  (x) 和 lim f  (x) 都存在； xx  xx  0 0 （C）若 lim f  (x) 和 lim f  (x) 都存在,则 f (x) 在 x  x 处可导； 0 xx  xx  0 0 （D）若 lim f  (x)  lim f  (x) ,则 f  (x) 在 x  x 处连续. 0 xx  xx  0 0 f (x)  f (x ) 【解1】直接法 f  (x )  lim 0  lim f  (x) f  (x )  lim f  (x)  0 xx  x  x xx   0 xx  0 0 0 0 【解2】排除法 排除A,C f (x)  x  x 0  1 (x  x ) 2 sin , x  x , f (x)   0 x  x 0 排除B 0   0, x  x . 0【例19】(1996年3）设 处处可导，则（ ）. f (x) （A）当 lim f (x)  , 必有 lim f  (x)   x x （B）当 lim f  (x)  , 必有 lim f (x)   x x （C）当 lim f (x)  , 必有 lim f  (x)   x x （D）当 lim f  (x)  , 必有 lim f (x)   x x 【解1】直接法 若 lim f  (x)  , 则存在 x  0, 当 x  x 时， f  (x)  1, 0 0 x 则当 x  x 时， f (x)  f (x )  f  ()(x  x )  f (x )  (x  x )   0 0 0 0 0  f (x) f (x) 【解2】直接法 lim  lim   lim f (x)   x x x 1 x 【解3】排除法 f (x)  x, 排除(A)(C). f (x)  x 2 , 排除(B).【例20】(2002年1,2)设函数 y  f (x) 在 (0,) 内有界可导,则（ ）. （A）当 lim f (x)  0 时，必有 lim f  (x)  0 x x （B）当 lim f  (x) 存在时，必有 lim f  (x)  0 x x （C）当 lim f (x)  0 时，必有 lim f  (x)  0   x0 x0 （D）当 lim f  (x) 存在时，必有 lim f  (x)  0   x0 x0 f (2x)  f (x) 【解1】直接法  f  () x 【解2】直接法 若 lim f  (x)  a  0, 不妨设 a  0, 则存在 x  0, 当 x  x 时， 0 0 x a f  (x)  , 2【例20】(2002年1,2)设函数 y  f (x) 在 (0,) 内有界可导,则（ ）. （A）当 lim f (x)  0 时，必有 lim f  (x)  0 x x （B）当 lim f  (x) 存在时，必有 lim f  (x)  0 x x （C）当 lim f (x)  0 时，必有 lim f  (x)  0   x0 x0 （D）当 lim f  (x) 存在时，必有 lim f  (x)  0   x0 x0  f (x) f (x) 【解3】直接法 lim  lim  0 x x x 1 2 2 sin x sin x 【解4】排除法 f (x)  f  (x)  2cos x 2  排除(A). 2 x x f (x)  sin x 排除(C)(D).【例21】(2025年1）设函数 f (x) 在区间 [0,) 上可导,则( ) （A）当 lim f (x) 存在时, lim f  (x) 存在; x x （B）当  存在时, 存在; lim f (x) lim f (x) x x x  f (t)dt （C）当 存在时, 存在; lim 0 lim f (x) x x x x  f (t)dt （D）当 lim f (x) 存在时, lim 0 存在; x x x x  f (t)dt 【解1】直接法 lim 0  lim f (x) x x x sin x 2 sin x 2 【解2】排除法 f (x)  ， f  (x)  2cos x 2  排除(A). x x 2x  2t  t , 【例22】(2023年1,2）已知 y  f (x) 由 确定，则（ ）  y  t sin t  A. f (x) 连续, f  (0) 不存在. B. f  (0) 存在, f  (x) 在 x  0 处不连续. C. f  (x) 连续, f  (0) 不存在. D. f  (0) 存在, f  (x) 在 x  0 处不连续.  x x  sin , x  0 【解】 f (x)   . 3 3    x sin x, x  0 1 x x x sin  cos  0 2 3 3 9 3 1 x x x f  (0)  lim  sin  cos , x  0   x 9  x0 3 3 9 3  f  (x)   0, x  0 .  sin x  x cos x f  (0)  lim  2    sin x  x cos x, x  0 x0  x  x  2t  t , 【例22】(2023年1,2）已知 y  f (x) 由  确定，则（ ） y  t sin t  A. f (x) 连续, f  (0) 不存在. B. f  (0) 存在, f  (x) 在 x  0 处不连续. C. f  (x) 连续, f  (0) 不存在. D. f  (0) 存在, f  (x) 在 x  0 处不连续.  f (0)  2!  x x  x 2  sin , x  0    ， x  0 【解】 f (x)   3 3   9    x sin x, x  0    x 2  , x  0.  f (0) f  (0)  0  2!  f (0) f (x)  f (0)  f  (0)x  x 2   2!【例】(1992年1,2）设 f (x)  3x 3  x 2 | x | ,则使 f (n) (0) 存在的最高阶数 n 为（ ） （A）0 （B）1 （C）2 （D）3二. 导数的计算 [ f (x)  1]sin x 2 【例1】设 f (x) 在 x  0 处连续，且 lim  1, 则 f  (0)  _______ . x0 x  tan x [ f (x)  1]sin x 2 [ f (x)  1]x 2 f (x)  1 【解】 1  lim  lim  3lim x0 x  tan x x0 1 x0 x  x 3 3 f (x)  f (0)  3lim x0 x  3 f  (0)(1  x 2 ) x x 2  1 【例2】设 f (x)   arctan , 则 f  (1)  _______ . e x1 1  x 2 【解】 f (x)  g(x)  h(x) f  (1)  g  (1)  h  (1) 1 1 2 ln g(x)  [ln(1  x 2 )  ln x  x  1] g  (1)  2 2 4 h(x)  h(1) h  (1)  lim x1 x  1 x 2  1 1  x 2  lim  2 x1 x  1【例3】设 有连续导数, 且当 时， f (x) f (0)  0, x  0 f (x)  f (t)dt 与 x 2 是等价无穷小，则 f  (0)  _______ . 0 f (x)  f (t)dt   【解1】 f ( f (x)) f (x) f (0) 1  lim 0  lim  [ f ( f (x))]  2 x0 x x0 2x 2 x0 f [ f (x)]  lim f  (x)lim x0 x0 2x   f [ f (x)] f (x) 1  lim f  (x)lim  [ f  (0)] 3 f  (0)  3 2 x0 x0 2 2 【解2】 f (x)  axx 【例4】设 f (x)   t ln t dt, 则 f  (0)  ________ . 1 x  t ln t dt f (x)  f (0) 【解1】定义 f  (0)  lim  lim 0  lim x ln x  0 x0 x x0 x x0 【解2】 f  (0)  lim x ln x  0 x0 x 有关 F ( x)   f (t)dt 在一点处的连续性和可导性的结论 a 如果 f (x) 在 [a,b] 上除点 x  x (a,b) 外均连续,则在点 x  x 处 0 0 x f (x) F(x)   f (t)dt a 1) 连续  可导,且 F  (x )  f (x ) 0 0 2) 可去  可导,且 F  (x )  lim f (x) 0 xx 0 3) 跳跃  连续但不可导,且 F  (x )  f (x  ), F  (x )  f (x  )  0 0  0 0ln x, x  1, dy 【例5】(2012年3）设函数 f (x)   y  f ( f (x)) ，则  _______ . 2x  1, x  1, dx xe 1 dy 1 1 【解】 f (e)   f  ( ) f  (e)  2 2 dx 2 2e xe2  2x  1 d y 【例6】 设 y  f   ,且 f  (x)  ln 3 x, 则  ________ . 2  x  1  dx x1 2x  1 【解】令  u x  1 dy du 3  f  (u)  f  (u) dx dx (x  1) 2 d 2 y 9  6 2 d y 3 1  f  (u)  f  (u)   ln 2 dx 2 (x  1) 4 (x  1) 3 2 dx 8 4 x1 dy du 3 1  f  (u)  f  (u)  ln u dx dx (x  1) 2 (x  1) 2【例7】(2022年2）已知函数 y  y( x) 由方程 x 2  xy  y 3  3 31 ( ) 32 确定, 则 y  (1)  _______ . 【解】 x  t 2  1 d 2 y 【例8】(2020年1,2)设  ，则  _________ . （ 2)  y  ln(t  t 2  1) dx 2 t1 【解1】 dy 1 1   【解2】 y  ln( x  x 2  1)  (x 2  1) 2 dx x 2  1 2 3 d y 1    (x 2  1) 2  2x 2 dx 2x 【例9】(2013年2)设函数 f (x)   1  e t dt, 则 y  f (x) 1 1 [ ] dx 1e1 的反函数 x  f 1 ( y) 在 y  0 处的导数  _________ . dy y0 dx 1 1 【解】   dy dy f  (x) dx【例10】设函数 y  f  x  在 x  1 的某邻域内二阶可导，且 2 d x f (1)  2, f  (1)  1, f  (1)  2. 则  （ ） 2 dy y2 1 1 （A）2 （B）-2 （C） （D）  2 2 dx 1 1 【解】   dy dy f  (x) dx d 2 x d 1 f  (x) dx f  (x)  ( )     dy 2 dy f  (x) f 2 (x) dy f 3 (x) 2  d x f (1)    2 2 3 dy f (1) y21 【例11】(2017年1)已知函数 f (x)  ，则 f (3) (0)  ________ . 1  x 2 1 【解1】 f (x)  偶函数 f  (x) 奇函数 f  (0)  0 1  x 2 1 【解2】 f (x)  偶函数，在0点泰勒展式只有偶次项， f  (0)  0 1  x 2【例12】(2015年2）函数 f (x)  x 2 2 x 在 x  0 处的 n 阶导数 f (n) (0)  _____ . n 【解1】 (uv) (n)   C k u (k) v (nk) . f (n) (0)  n(n  1)(ln 2) n2 n k0 【解2】泰勒 2 n (ln 2) (ln 2) f (x)  x 2 2 x  x 2 e xln2  x 2 [1  x ln 2  x 2    x n (x n )] 2! n! 2 n (ln 2) (ln 2)  x 2  x 3 ln 2  x 4    x n2 (x n2 )] 2! n! (n) n2 f (0) (ln 2)  n! (n  2)!x 【例13】设 f (x)  ln , 则 f (n) (1)  ______ . 1  x x 2 (1) n1 【解】 ln(1  x)  x     x n (x n ) f (x)  ln x  ln(1  x) 2 n x  1  ln[1  (x  1)] ln 2  ln[1  ] 2 (x  1) 2 (1) n1 ln[1  (x  1)]  (x  1)     (x  1) n ((x  1) n ) 2 n x  1 x  1 (x  1) 2 (1) n1 ln[1  ]      (x  1) n ((x  1) n ) 2 2 2 2 2 n2 2 1 f (n) (1)  (1) n1 (1  )(n  1)! n 2【例14】(1990年1,2,3)已知函数 f (x) 具有任意阶导数,且 f  (x)  [ f (x)] 2， 则当 为大于2的正整数时， 的 阶导数 (n) 是（ ）. n f (x) n f (x) （A） n1 （B） n1 n![ f (x)] ; n[ f (x)] ; （C） 2n （D） 2n [ f (x)] ; n![ f (x)] . 【解1】直接法 f  (x)  2 f (x) f  (x)  2[ f (x)] 3 f  (x)  2 3 f 2 (x) f  (x)  2 3[ f (x)] 4 f (n) (x)  n![ f (x)] n1 【解2】排除法 f  (x)  2 f (x) f  (x)  2[ f (x)] 3 f  (x)  2 3 f 2 (x) f  (x)  2 3[ f (x)] 4【例15】(2020年2) 已知函数 f (x)  x 2 ln(1  x) ，当 n  3 时, f (n) (0)  ( ) n! n! (n  2)! (n  2)! A.  B. C.  D. n  2 n  2 n n x 2 (1) n1 【解1】直接法 ln(1  x)  x     x n (x n ) 2 n 2 x 1 f (x)  x 2 ln(1  x)   x 2 [x     x n (x n )] 2 n f (n) (0) 1 n!   f (n) (0)   n! n  2 n  2 【解2】排除法 f (x)   x 3   f  (0)  6【例16】(2024年2)已知函数 f (x)  x 2 (e x  1), 则 f (5) (1) ___________ . n 【解1】 f (x)  x 2 e x  x 2 (uv) (n)   C k u (k) v (nk) . n k0 f (5) (x)  C 0 x 2 e x  C 1 2xe x  C 2 2e x x 2 e x  10xe x  20e x 5 5 5 f (5) (1)  31e 【解2】泰勒 x  1  t 2 3 t t x 2 e x  (t  1) 2 e 1t  e(1  2t  t 2 )(1  t    ) 2! 3! 1 2 1 1 2 1 e(   ) t 5 f (5) (1)  e(   )5 ！ 31e 5! 4! 3! 5! 4! 3!三. 函数性态（单调性 极值 凹向 拐点 渐近线） 【例1】设函数 在 的某邻域 内有定义,则下列结论正确的是（ ） f (x) x U(x ,) 0 0 （1）若 x (x , x ) 时, f  (x)  0 ,而 x  (x , x ) 时, f  (x)  0 0 0 0 0  x, x  0  则 在 处取极大值； f (x) x f (x)    1, x  0 0  （2）若 f (x) 在该邻域 U(x ,) 内可导,且在 x 处取极大值,则当   x, x  0 0 0 ; x (x , x ) 时, f  (x)  0 ,而 x  (x , x ) 时, f  (x)  0 0 0 0 0 （3）若 f (x) 在 x 处取极大值,则 f (x) 在 (x , x ) 内单调增, 0 0 0  1 而在 (x , x ) 内单调减；  2  x 2 (2  sin ), x  0 f (x)   0 0 x   2, x  0  f (x) （4）若 f  (x ) 存在 , 且 lim  1, 则 f (x) 在 x 处取极大值； 0 xx x  x 0 0 0 f (x) （4）若 f  (x ) 存在 , 且 lim  1, 则 f (x) 在 x 处取极大值； 0 xx x  x 0 0 0 【解1】 f  (x ) 存在可知， f (x) 在 x 处连续. 0 0  f (x) lim  1, 在 x 处两侧. f  (x) 由正变负.则 f (x) 在 x 处取极大值； xx x  x 0 0 0 0 f  (x) f (x)  f (x ) f  (x) 【解2】 lim  1, lim f  (x)  0, f  (x )  lim 0  lim  0 xx x  x xx 0 xx x  x xx 1 0 0 0 0 0 0 f  (x)  f  (x )  1  lim 0  f  (x ) xx x  x 0 0 0【例2】(1991年3）设函数 f (x) 在 (,) 内有定义， x  0 是 0 函数 的极大点，则（ ）. f (x) （A） x 必是 f (x) 的驻点 0 （B）  x 必是  f ( x) 的极小点 0 （C）  x 必是  f ( x) 的极大点 0 （D）对一切 x 都有 f (x)  f (x ) 0 【解】【例3】(1990年1,2)已知 f ( x) 在 x  0 的某个邻域内连续,且 f (x) f (0)  0,lim  2, 则在点 x  0 处 f ( x) x0 1  cos x （A）不可导. （B）可导,且 f  (0)  0. （C）取得极大值. （D）取得极小值. f (x) f ( x) 【解1】直接法 lim  2  0  0 x0 1  cos x 1  cos x f (x)  0  f (0) 【解2】排除法 f (x)  x 2 f (x) 【例4】(2001年3）设 f (x) 的导数在 x  a 处连续，又 lim  1 ，则（ ） xa x  a （A） x  a 是 f (x) 的极小值点 （B） x  a 是 f (x) 的极大值点 （C） (a, f (a)) 是曲线 y  f (x) 的拐点 （D）x  a 不是 f (x) 的极值点， (a, f (a)) 也不是曲线 y  f (x) 的拐点   f (x) f (x) 【解1】直接法 lim  1  0  0 xa x  a x  a f  (x) f  (x)  f  (a) 【解2】直接法  1  lim  lim  f  (a) xa x  a xa x  a 1 【解3】排除法 f (x)   (x  a) 2 2【例5】(2022年2) 设函数 f (x) 在 x  x 处有 阶导数，则（ ） 2 0 （A）当 f (x) 在 x 的某邻域内单调增加时， f  (x )  0. 0 0 （B）当 f  (x )  0. 时， f (x) 在 x 的某邻域内单调增加. 0 0 （C）当 f ( x) 在 x 的某邻域内是凹函数时， f  (x )  0. 0 0 （D）当 f  (x )  0 时， f ( x) 在 x 的某邻域内是凹函数. 0 0 【解1】直接法 f (x) 在 x  x 处有 阶导数知， f  (x) 在 x  x 处连续， 2 0 0 又 f  (x )  0, 在 x 的某邻域内 f  (x)  0. 0 0  1 【解2】排除法 x  t  2t 2 sin , t  0, f (x)   g(t)dt g(t)   t 0   0, t  0.  1 1  1  4x sin  2cos , x  0, f  (x)  g  (x)   x x   1, x  0.【例6】(1997年2)已知函数 y  f (x) 对一切 x 满足 xf  (x)  3x[ f  (x)] 2  1  e x ,若 f  (x )  0 (x  0) 则（ ）. 0 0 (A) f ( x ) 是 f (x) 的极大值； （B) f ( x ) 是 f (x) 的极小值； 0 0 (C) ( x , f ( x )) 是曲线 y  f ( x) 的拐点; 0 0 (D) f ( x ) 不是 f ( x) 的极值，(x , f (x )) 也不是曲线 y  f ( x) 的拐点. 0 0 0 1  e x 0 【解】 x f  (x )  1  e x 0 f  (x )   0 0 0 0 x 0 若 x  0 ？ 0【例7】(2000年2)设函数 f (x) 满足关系式 f  (x)  [ f  (x)] 2  x 且 f  (0)  0 则（ ） (A) f (0) 是 f (x) 的极大值； （B) 是 的极小值； f (0) f (x) （C) (0, f (0)) 是曲线 y  f ( x) 的拐点; （D) f (0) 不是 f ( x) 的极值， (0, f (0)) 也不是曲线 y  f ( x) 的拐点. 【解】【例8】(2004年2,3）设 f (x) | x(1  x) | ，则 （A）x  0 是 f ( x) 的极值点，但 (0,0) 不是曲线 y  f (x) 的拐点 （B）x  0 不是 f ( x) 的极值点，但 (0,0) 是曲线 y  f (x) 的拐点 （C）x  0 是 f ( x) 的极值点，且 (0,0) 是曲线 y  f (x) 的拐点 （B）x  0 不是 f ( x) 的极值点， (0,0) 也不是曲线 y  f (x) 的拐点 【解1】分析法  不存在 f (0) x(x  1), x  0, 2x  1, x  0,  2, x  0, f (x)   f  (x)   f  (x)   x(1  x), x  0. 1  2x, x  0.   2, x  0. 【解2】几何法【例9】设 g(x) 在 x  0 的某邻域内连续, f (x) 具有一阶连续导数,且满足 g(x) 1 lim  3, f  (x)  ln(1  x 2 )  x  g(xt)dt, 则（ ） x0 x 0 (A) x  0 是 f (x) 的极大值点 (B) x  0 是 f (x) 的极小值点 (C) 是曲线 的拐点 (0, f (0)) y  f (x) (D) x  0 不是 f (x) 的极小值点， (0, f (0)) 也不是曲线 y  f (x) 的拐点 1 x 【解1】直接法 f  (x)  ln(1  x 2 )   g(xt)d(xt)  ln(1  x 2 )   g(u)du 0 0  2x f (x) 2 g(x) f  (x)   g(x) f  (0)  0 lim  lim  lim  5  f  (0) 1  x 2 x0 x x0 1  x 2 x0 x 3 2x 【解2】排除法 g(x)  3x ， f  (x)  ln(1  x 2 )  x 2， f  (x)   3x 2 1  x 2x x 【例10】(2025年1,2,3）已知函数 f (x)   e t 2 sin tdt, g(x)   e t 2 dt  sin 2 x, 则（ ） 0 0 （A） x  0 是 f (x) 的极值点，也是 g(x) 的极值点. （B） x  0 是 f (x) 的极值点， (0,0) 是曲线 y  g(x) 的拐点. （C） x  0 是 f (x) 的极值点， (0,0) 是曲线 y  f (x) 的拐点. （D） (0,0) 是曲线 y  f (x) 的拐点，也是曲线 y  g(x) 的拐点. 【解1】 f  (0)  0, f  (0)  1; g  (0)  0, g  (0)  0, g  (0)  6; 1 x 【解2】 f (x)   [1 (1)][t (t)]dt  x 2 (x 2 ) f  (0)  0, f  (0)  1; 0 2 x g(x)   [1 (1)]dt [x 2 (x 2 )]  x 3 (x 3 ) g  (0)  0, g  (0)  0, g  (0)  6; 0 x x 1 1 【解3】 f (x)   e t 2 sin tdt ～  tdt  x 2 f (x)  x 2 (x 2 ) 0 0 2 2 x x g(x)   e t 2 dt  sin 2 x ～  dt  x 2  x 3 g(x)  x 3 (x 3 ) 0 0 【解4】 f (x) 偶函数 f (2n1) (0)  0 g(x) 奇函数 g (2n) (0)  0x x 【例10】(2025年11,2,3）已知函数 f (x)   e t 2 sin tdt, g(x)   e t 2 dt  sin 2 x, 则（ ） 0 0 （A） x  0 是 f (x) 的极值点，也是 g(x) 的极值点. 可导 f (x) （B） x  0 是 f (x) 的极值点， (0,0) 是曲线 y  g(x) 的拐点. 极值点和拐点 （C） x  0 是 f (x) 的极值点， (0,0) 是曲线 y  f (x) 的拐点. 不能同时出现 （D） (0,0) 是曲线 y  f (x) 的拐点，也是曲线 y  g(x) 的拐点. 【解5】排除法 f (0)  0, f (x) 为偶函数， x  0 是 f (x) 的极小值点. 排除 C,D. g(0)  0, g(x) 为奇函数， x  0 不是 g(x) 的极值点. 排除 A【例11】设函数 有连续的二阶导 y f ( x) y  f  (x) 数,其导函数  的图形如下图, f (x) 令函数 y  f ( x) 的驻点的个数为 l, x 极值点的个数为 m, 曲线 y  f ( x) 的拐点个数为 则 n, （A） （B） l  m  n  3 l  m  n  2 （C） （D） l  3,m  2,n  3 l  3,m  2,n  1 【解】【例12】(2014年1,2）下列曲线中有渐近线的是 （ ） （A） y  x  si n x （B） y  x 2  sin x 1 1 （C） y  x  sin （D） y  x 2  sin x x 【解】 若 y  f ( x)  ax  b ( x) lim( x)  0 x 斜渐近线 y  ax  b1 【例13】(2007年1,2）曲线 y   ln(1  e x ) 渐近线的条数为 x （A）0. （B）1. （C）2. （D）3. 【解】2 【例14】(2017年2）曲线 y  x(1  arcsin ) 的斜渐近线方程为 x _____________ . 2 【解】 y  x  x arcsin y  x  2 x 2  x  2  [x arcsin  2] x2 x arctan x 【例15】曲线 y  的渐近线的条数为（ ） x  1 （A）1． （B）2. （C）3. （D）4. 【解1】 x  1 为铅直渐近线. x  1 x   y  (  arctan ) x   1 2 x 1  x x  1 1 1  1 1 y  (  arctan )  x(1  ( ))(  ( )) 1 2 x 1  x x 2 x x x   1  x   1  x( )   2 2 x y   x   1 2 2   y  x   1 2 22 x arctan x 【例15】曲线 y  的渐近线的条数为（ ） x  1 （A）1． （B）2. （C）3. （D）4. 【解2】 x  1 为铅直渐近线. 1 x   y  (x  1  )arctan x x  1  1 1 y  (x  1)(  arctan )  arctan x 2 x x  1   1 1 1 y  x   x arctan  arctan  ( )arctan x 2 2 x x x  11 【例16】(2023年1,2）曲线y  x ln(e  ) 的斜渐近线方程为（ ） x  1 1 1 A. y  x  e B. y  x  C. y  x D. y  x  e e 1 【解】 y  x  x ln(1  ) e(x  1) 1 1 1  x   [x ln(1  )  ] e e(x  1) e 1 y  x  ex  cos 3 t,  【例17】(2018年2）曲线 在 对应点处的曲率为  t  __________ .  y  sin 3 t, 4 y  x   x  y  2 【解1】 K   3 3 (x 2  y 2 )2  y 2 【解2】 K   3 3 (1  y 2 )2【例18】(2024年2）曲线 y 2  x 在点 (0,0) 处的曲率圆方程为 _________ . dx d 2 x 【解】 则  2 y  0,  2  2, dy y0 dy 2 y0 y0 y0  x (0) K   2 3 [1  x 2 (0)]2 1 1 1 则曲率半径为 曲率圆方程为 R  , (x  ) 2  y 2  . 2 2 4四. 方程的根及不等式 1.根的存在性 方法1 零点定理； 方法2 罗尔定理； 2.根的个数 方法1 单调性； 方法2 罗尔定理推论； 罗尔定理推论：若在区间 I 上 f (n) (x)  0, 则方程 f (x)  0 在 上最多 个实根. I n 3.不等式 1）单调性； 2）最大最小值； 3）拉格朗日中值定理； 4）泰勒公式； 5）凹凸性；【例1】(2005年3)当 a 取下列哪个值时,函数 f (x)  2x 3  9x 2  12x  a 恰有两个不同的零点（ ） （ Ａ ） （B ） （ C ） （D） 2 4 6 8 【解】 g(x)  2x 3  9x 2  12x g  (x)  6x 2  18x  12  6(x  1)(x  2) g  (1)  g  (2)  0 g(1)  5, g(2)  4.b 【例2】(2021年2,3）设函数 f (x)  ax  bln x(a  0) 有两个零点，则 a （A）（ e ， ） （B） (0,e) 1 1 （C） (0, ) （D） ( ,) e e ln x a ln x 【解1】  有两个实根.(x)  x b x 1  ln x a 1  (x)  0   2 x b e a 【解2】 y  ln x, y  x 有两个交点 b  a ln x  x  a 1 b a 1   0   1 a b e   b e  x b【例3】方程 a x  x 有实根的充要条件是（ ） 1 （A）0  a  e （B） 0  a  e 1 1 （C） 0  a  ee （D） 0  a  ee 【解】 x ln a  ln x y  ln x, y  x ln a 有交点 ln x  x ln a  1 1 1  1 ln a  a  ee 0  a  ee  ln a  e  x【例4】(2020年2)设函数 f (x) 在区间 [2,2] 上可导,且 f  (x)  f (x)  0, 则( ) f (2) f (0) f (1) f (2) A.  1 B.  e C.  e 2 D.  e 3 f (1) f (1) f (1) f (1) 【解1】直接法 g(x)  e x f (x) g  (x)  e x [ f  (x)  f (x)]  0 【解2】排除法 f (x)  e 2x【例5】设函数 f (x) 可导,且 f  (x) 单调减, f (0)  0, 则当 x (0,1) 时（ ） f (x) f (x) （B） （A）  f  (0)  f (1) x x f (x) f (x) （C） f (1)   f  (0) （D） f  (0)   f (1) x x f (x) 【解1】直接法 g(x)  x xf  (x)  f (x) xf  (x)  [ f (x)  f (0)] xf  (x)  xf  () g  (x)     0 2 2 2 x x x f (x) f (t) 0  t  x, f (1)   x t 【解2】排除法 f (x)   x 2 【解3】几何法f (x)  1 【例6】设函数 f (x) 二阶可导，f (x)  0,lim  1, 且 f (x) f  (x)  [ f  (x)] 2 , 则（ ） x0 x （A）e x f (x)  1 （B）e x f (x)  1 ln f (x) ln f (x) （C）  1 （D）  1 x x   f  (x) 【解1】直接法  0    f (x)   f (x) g(x)  ln f (x) g  (x)  g  (x)  0 曲线 y  g(x) 凹. f (x) 曲线 y  g(x) 在 (0,0) 处的切线 y  x g(x)  x ln f (x)  x f (x)  e x e x f (x)  1 【解2】排除法 f (x)  e xx 2