文档文本内容
A
版
高
考
数
学
／
８
２．２ 基本不等式及不等式的应用
§
小 值 ｐ 简记 积定和最小 ．
① ② ２ （ ： ）
如果ｘ ｙ是定值ｓ 那么当且仅当ｘ ｙ时 ｘｙ有最 大
（２） ＋ ， ＝ ， ③
ｓ２
考点一 基本不等式及其应用 值 简记 和定积最大 ．
④ （ ： ）
４
１．基本不等式 注意 求最值时要注意三点 一正 二定 三相等 ．
（１） ：“ ”“ ”“ ”
基本不等式 不等式成立的条件 等号成立的条件 所谓 一正 是指正数 二定 是指应用基本不等式求最值时
“ ” ，“ ” ，
ａｂ ａ ＋ ｂ ａ ｂ ａ ｂ 和或积为定值 三相等 是指等号成立．
≤ ＞０， ＞０ ＝ ，“ ”
２ 连续使用基本不等式时 等号要同时成立．
ａ ｂ （２） ，
其中 ＋ 为正数ａ ｂ的算术平均数 ａｂ为正数ａ ｂ的几何平
， ， ， 考点二 不等式的综合应用
２
均数 基本不等式可叙述为 两个正数的算术平均数不小于它们的
， ： 不等式的恒成立、能成立、恰成立等问题
几何平均数．
１．恒成立问题 若ｆ ｘ 在区间Ｄ上存在最小值 则不等式
２．几个重要的不等式 ： （ ） ，
ｆ ｘ Ａ在区间Ｄ上恒成立 ｆ ｘ Ａ ｘ Ｄ
ａ２ ｂ２ ａｂ ａ ｂ Ｒ ． （ ）＞ ⇔（ ）ｍｉｎ＞ （ ∈ ）；
（１） ＋ ≥２ （ ， ∈ ） 若ｆ ｘ 在区间Ｄ上存在最大值 则不等式ｆ ｘ Ｂ在区间Ｄ
ａ ｂ （ ） ， （ ）＜
ａ ｂ同号 ． 上恒成立 ｆ ｘ Ｂ ｘ Ｄ ．
（２） ｂ ＋ ａ ≥２（ ， ） ⇔（ ）ｍａｘ＜ （ ∈ ）
２．能成立问题 若ｆ ｘ 在区间Ｄ上存在最大值 则在区间Ｄ
(ａ ｂ) ２ ： （ ） ，
ａｂ ＋ ａ ｂ Ｒ ． 上存在实数ｘ使不等式ｆ ｘ Ａ成立 ｆ ｘ Ａ ｘ Ｄ
（３） ≤ （ ， ∈ ） （ ）＞ ⇔（ ）ｍａｘ＞ （ ∈ ）；
２ 若ｆ ｘ 在区间Ｄ上存在最小值 则在区间Ｄ上存在实数ｘ
ａ２
＋
ｂ２ ａ
＋
ｂ
ａｂ ２ ａ ｂ ． 使不等式
（
ｆ
）
ｘ Ｂ成立 ｆ ｘ Ｂ ｘ
，
Ｄ ．
（４） ≥ ≥ ≥ （ ， ∈（０，＋∞）） （ ）＜ ⇔（ ）ｍｉｎ＜ （ ∈ ）
２ ２ １ １ ３．恰成立问题 不等式ｆ ｘ Ａ恰在区间Ｄ上成立 ｆ ｘ Ａ
ａ ＋ ｂ ： （ ）＞ ⇔ （ ）＞
的解集为Ｄ 不等式ｆ ｘ Ｂ恰在区间Ｄ上成立 ｆ ｘ Ｂ的解
３．利用基本不等式求最值 ； （ ）＜ ⇔ （ ）＜
集为Ｄ．
已知ｘ ｙ
＞０， ＞０，
如果积ｘｙ是定值 ｐ 那么当且仅当 ｘ ｙ 时 ｘ ｙ 有最
（１） ， ＝ ， ＋
ａ
且ａ ｂ 则 １ ｜ ｜的最小值是
＞０， ＋ ＝２， ａ ＋ ｂ （ ）
８｜ ｜
９ ９ ７ １
考法一 利用基本不等式求最值 Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
８ １６ １６ ４
例１ （１） （２０１９福建福州期中，７）已知一次函数ｙ ＝２ ｘ ＋１ 解题导引 要求 ｂ２ 的最小值 需要找ａ与ｂ之间满足
（１） ａ ，
ｂ２
的图象过点Ｐ ａ ｂ 其中ａ ｂ 则 的最小值是 的关系．如何找出这个关系 ｂ用ａ表示之后 如何用基本不等
（ ， ）（ ＞０， ＞０）， ａ （ ） ？ ，
式求最值
？
Ａ．１ Ｂ．８ Ｃ．９ Ｄ．１６
（２０２０山东淄博二模，５）已知曲线ｙ ａｘ －１ ａ 且ａ （２） 与 （１） 有什么相似之处 ？ 函数图象所过定点如何求出 ？
（２） ＝ ＋１（ ＞０，
ｍ与ｎ之间的关系是什么 如何用ｍ ｎ间的关系求 ４ １
过定点 ｋ ｂ 若ｍ ｎ ｂ 且ｍ ｎ 则４ １的最小值为 ？ ， ｍ＋ ｎ
≠１） （ ， ）， ＋ ＝ ， ＞０， ＞０， ｍ＋ ｎ
的最小值．
（ ）
与前两个小题有什么不同之处 要求 ｘ ｙ的最小值
（３） ？ ３ ＋４ ，
９ ５ Ａ． Ｂ．９ Ｃ．５ Ｄ． 如何使用ｘ ｙ ｘｙ这个条件 能否把ｘ ｙ ｘｙ化成一边为
２ ２ ＋３ ＝５ ？ ＋３ ＝５
（２０１９广东化州第一次模拟）若正数ｘ ｙ满足ｘ ｙ 常数 的形式 如何构造 和定 或 积定
（３） ， ＋３ ＝ “１” ？ “ ” “ ”？
ｘｙ 当 ｘ ｙ取得最小值时 ｘ ｙ的值为 ａ
５ ， ３ ＋４ ， ＋２ （ ） 与前 个小题有什么不同之处 如何去掉 １ ｜ ｜中
（４） ３ ？ ａ ＋ ｂ
８｜ ｜
２４ ２８
Ａ． Ｂ．２ Ｃ． Ｄ．５ 的绝对值符号 ａ的正负能确定吗 去掉绝对值符号后 如何用 ５ ５ ， ？ ，
（２０２０浙江高中发展共同体检测，８）设实数ａ ｂ满足ｂ ａ ｂ 这个条件求最值 如何凑出积为定值求最值 （４） 、 ＋ ＝２ ， ？
专
题
二
不
等
式
／
９
ｂ２
解析 （ ）将Ｐ（ａ，ｂ）代入ｙ ｘ 得到ｂ ａ ，从而 例 已知ａ ｂ 则ａ２ ６４ 的最小值为 ．
１ ＝２ ＋１ ＝２ ＋１ ａ ＝ ＞ ＞０， ＋ｂ ａ ｂ
（ － ）
ａ２ ａ 解析 ａ ｂ ， ａ ｂ ，
４ ＋４ ＋１ ａ １ ａ· １ ， ∵ ＞ ＞０ ∴ － ＞０
ａ ＝４ ＋ ａ ＋４≥２ ４ ａ ＋４＝８ [ｂ （ａ ｂ）] ２ ａ２
ｂ（ａ ｂ） ＋ － ， ６４ ２５６，
当且仅当 ａ １ ， ∴ － ≤ ２ ＝ ４ ∴ ｂ（ａ － ｂ）≥ａ２
４ ＝ ａ
ａ２ ６４ ａ２ ２５６ ａ２·２５６ ，当且仅当ｂ ａ
即ａ
＝
１ 时取“
＝
”， ∴ ＋ｂ（ａ
－
ｂ）≥ ＋ ａ２ ≥２ ａ２ ＝３２ ＝ －
２
所以
ｂ
ａ
２
的最小值为 ８ ．故选 Ｂ ．
ｂ，且ａ２
＝
２
ａ
５
２
６，即ａ
＝４
，ｂ
＝２
时，原式取最小值
３２
．
（ ）易知定点为（ ， ）， 答案
２ １ ２ ３２
ｋ ，ｂ ， ｍ ｎ ，
∴ ＝１ ＝２ ∴ ＋ ＝２
又ｍ ，ｎ ， 考法二 一元二次不等式恒成立问题的解法
＞０ ＞０
４ １ １
(
４ １
)
（ｍ ｎ） １
( ｍ
４
ｎ)
９ ，
例２ 已知不等式ｍｘ２
－２
ｘ
－
ｍ
＋１＜０
．
∴ ｍ＋ ｎ ＝ ｍ＋ ｎ ＋ ＝ ５＋ ｎ ＋ｍ ≥
２ ２ ２ 若对于所有的实数ｘ 不等式恒成立 求ｍ的取值范围
（１） ， ， ；
ｍ ｎ
当且仅当 ４ 时等号成立， 设不等式对于满足 ｍ 的一切ｍ的值都成立 求ｘ
ｎ ＝ ｍ （２） ｜ ｜≤２ ，
的取值范围．
∴ ｍ
４
＋ ｎ
１ 的最小值为 ９ ． 解析 （
１
）当ｍ
＝０
时，不等式ｍｘ２
－２
ｘ
－
ｍ
＋１＜０
可化为
１－２
ｘ
２
故选 ．
，显然对所有的实数ｘ，不等式不恒成立．
＜０
Ａ
（ ３ ） ∵ ｘ ＋３ ｙ ＝５ ｘｙ，ｘ ＞０ ，ｙ ＞０ ， ∴ ｍ ≠０ ．设ｆ（ｘ） ＝ ｍｘ２ －２ ｘ － ｍ ＋１ ，
ｆ（ｘ） 恒成立，
１ ３ ， ∵ ＜０
∴ ｙ＋ ｘ＝１ {ｍ ，
５ ５ ＜０
( ) ｘ ｙ ∴ ｍ（ ｍ） ，
ｘ ｙ （ ｘ ｙ） １ ３ １３ ３ ４ １３ ４－４ １－ ＜０
∴３ ＋４ ＝ ３ ＋４ ｙ＋ ｘ ＝ ＋ ｙ ＋ ｘ ×３≥ ＋ 解得 ｍ ．
５ ５ ５ ５ ５ ５ ∈⌀
ｘ ｙ 综上可知，不存在使不等式恒成立的实数ｍ．
３ ·１２ ，
２ ｙ ｘ ＝５ （ ）由题意得， ｍ ，
５ ５ ２ －２≤ ≤２
ｘ ｙ 设ｇ（ｍ） （ｘ２ ）ｍ （ ｘ），
当且仅当３ １２ ， ＝ －１ ＋ １－２
ｙ＝ ｘ 则由题意可得ｇ（ｍ） ，
５ ５ ＜０
即ｘ ｙ 时取等号，ｘ ｙ的值为 ．故选 {ｇ（ ） ，
＝２ ＝１ ＋２ ２ Ｂ． 故有 －２ ＜０
（ ）由题意可知，ａ ． ｇ（ ） ，
４ ≠０ ２ ＜０
当ａ 时， １ ｜ ａ ｜ ａ ＋ ｂ ａ １ ｂ ａ １ 即 { －２ ｘ２ －２ ｘ ＋３＜０ ，
① ＞０ ａ ＋ ｂ ＝ ａ＋ ｂ ＝ ＋ ａ＋ ｂ ≥ ＋
８｜ ｜ １６ １６ １６ １６ ｘ２ ｘ ，
２ －２ －１＜０
ｂ ａ
· ９ ，
２ ａ ｂ ＝ 解得－１＋ ７ ｘ １＋ ３，
１６ １６ ＜ ＜
ｂ ａ ２ ２
当且仅当 且ａ ｂ ， { }
ａ＝ ｂ ＋ ＝２ 所以ｘ的取值范围为 ｘ －１＋ ７ ｘ １＋ ３ ．
１６ ＜ ＜
２ ２
即ａ ２ ，ｂ ８ 时取等号，
＝ ＝ 方法总结 １．一元二次不等式恒成立的条件
５ ５
当 ａ 时， １ ｜
ａ
｜
ａ
＋
ｂ ａ
１
( ｂ ) 设ｆ
（
ｘ
）＝
ａｘ２
＋
ｂｘ
＋
ｃ
（
ａ
≠０）
．
② ＜０ ａ ＋ ｂ ＝ － ａ－ ｂ ＝ － ＋ － ａ ＋ ｆ ｘ 或 对于一切 ｘ Ｒ 恒成立的条件
８｜ ｜ １６ １６ １６ （１） （ ） ＞０（ ≥０） ∈
( ａ ) ｂ ( ａ ) {ａ
１ · ７ ， 是 ＞０，
－ ｂ ≥－
１６
＋２ －
１６
ａ － ｂ ＝
１６
Δ
＝
ｂ２
－４
ａｃ
＜０（
或
≤０）
．
当且仅当 ｂ ａ 且ａ ｂ 时取等号． （２） ｆ （ ｘ ） ＜０（ 或 ≤０） 对于一切 ｘ ∈ Ｒ 恒成立的条件
１６
ａ＝ ｂ ＋ ＝２ {ａ
ａ 是 ＜０，
综上可得， １ ｜ ｜的最小值为 ７ ．故选 Δ ｂ２ ａｃ 或 ．
ａ ＋ ｂ Ｃ． ＝ －４ ＜０（ ≤０）
８｜ ｜ １６ 当 ａ 时 ｆ ｘ 在 ｘ α β 上恒成立
答案 （ １ ）Ｂ （ ２ ）Ａ （ ３ ）Ｂ （ ４ ）Ｃ { ｂ （３） { ＞０ ｂ ， （ ） { ＞ ｂ ０ ∈［ ， ］ ⇔
α α β β 方法总结 利用基本不等式求最值应满足的三个条件 － ａ＜ ，或 ≤－ ａ≤ ，或 － ａ＞ ，ｆ ｘ 在ｘ α β 上恒
２ ２ ２ （ ）＜０ ∈［ ， ］
一正 各项或各因式均为正 ｆ α Δ ｆ β
（１） ： ； （ ）＞０ ＜０ （ ）＞０；
二定 和或积为定值 {ｆ α
（２） ： ； 成立 （ ）＜０，
三相等 各项或各因式能取到使等号成立的值． ⇔ ｆ β ．
（３） ： （ ）＜０
简记 一正 二定 三相等． 当 ａ 时 ｆ ｘ 在 ｘ α β 上恒成立
： 、 、 （４） ＜０ ， （ ） ＞０ ∈［ ， ］ ⇔
如果解题过程中不满足上述条件 那么可进行拆分或配凑 { ｂ
， {ｆ α α
因式 以满足以上三个条件． （ ）＞０，ｆ ｘ 在 ｘ α β 上恒成立 － ａ＜ ，或
， ｆ β （ ） ＜ ０ ∈［ ， ］ ⇔ ２
经典例题教师用书 （ ）＞０； ｆ α
（ ）＜０
A
版
高
考
数
学
／
１０
{ ｂ { ｂ 例 （２０１８河南一模，５）已知函数ｆ ｘ ｍｘ２ ｍｘ
α β β （１） （ ）＝ － －１，
≤－ ａ≤ ，或 － ａ＞ ， 若对于ｘ ｆ ｘ ｍ 恒成立 则实数ｍ的取值范围为
２ ２ ∈［１，３］， （ ）＜－ ＋４ ，
Δ ｆ β ．
＜０ （ ）＜０ （ ）
２．对于参数易分离的一元二次不等式恒成立问题 可以分 [ )
， ５
离参数转化为求具体函数的最值问题．同时一定要搞清谁是自变 Ａ．（－∞，０］ Ｂ． ０，
７
量 谁是参数 一般地 知道谁的范围 谁就是变量 求谁的范围 ( ) ( )
， ， ， ， ， ， ５ ５
谁就是参数． Ｃ．（－∞，０）∪ ０， Ｄ． －∞，
７ ７
经典例题教师用书 （２０１８广东阳春第一中学第一次月考，１５）设ａ 若
（２） ＜０，
例 （２０１９安徽八校联考，１５）若不等式
（
ａ
－
ａ２
）（
ｘ２
＋１）＋
ｘ 不等式
－ｃｏｓ
２ｘ
＋（
ａ
－１）ｃｏｓ
ｘ
＋
ａ２
≥０
对于任意的ｘ
∈
Ｒ恒成立
，
则ａ
对一切 ｘ 恒成立 则实数 ａ 的取值范围 的取值范围是 ．
≤０ ∈ （０，２］ ，
为 ． 解析 （ ）由ｆ（ｘ） ｍ ，可得ｍ（ｘ２ ｘ ） ．
１ ＜－ ＋４ － ＋１ ＜５
解析 ｘ （ ， ］， ａ２ ａ
ｘ
１ ． ∵
当ｘ
∈
［
１
，
３
］时，ｘ２
－
ｘ
＋１∈
［
１
，
７
］，
∵ ∈ ０ ２ ∴ － ≥ｘ２ ＝
＋１ ｘ ＋ １ ｘ ∴ ｍ（ｘ２ － ｘ ＋１ ） ＜５ 等价于ｍ ＜ｘ２ ５ ｘ ，
－ ＋１
要使 ａ２ － ａ ≥ １ 在 ｘ ∈ （ ０ ， ２ ］ 上恒成立，则 ａ２ － ａ 当ｘ 时， ５ 取得最小值 ５ ，
ｘ １ ＝３ ｘ２ ｘ
＋ ｘ － ＋１ ７
æ ö 由题意知ｍ ５ 恒成立，则有ｍ ５ ．
≥ ç ç ｘ
１
１ ÷ ÷ ．
＜ｘ２
－
ｘ
＋１ (
＜
７ )
è ＋ ｘ ø 因此，实数ｍ的取值范围为 ，５ ．故选 ．
ｍａｘ －∞ Ｄ
７
由基本不等式得ｘ １ ，当且仅当ｘ １ ，即ｘ 时等号 （ ）令ｔ ｘ，ｔ ［ ， ］，
＋ ｘ ≥２ ＝ ｘ ＝１ ２ ＝ｃｏｓ ∈ －１ １
成立．
则不等式ｆ（ｔ）
＝
ｔ２
－
（ａ
－１
）ｔ
－
ａ２
≤０
对ｔ
∈
［
－１
，
１
］恒成立，因
{ｆ（ ） ， {ａ ａ２ ，
æ ö 此 －１ ≤０ － ≤０
则ç ç １ ÷ ÷ １ ，故ａ２ ａ １ ，解得ａ １－ ３或ａ １＋ ３． ｆ（ １ ） ≤０ ⇒ ２－ ａ － ａ２ ≤０ ，
ｘ １ ＝ － ≥ ≤ ≥
è ＋ ｘ ø ２ ２ ２ ２ ａ ， ａ ．
∵ ＜０ ∴ ≤－２
ｍａｘ
æ ù é ö 答案 （ ）Ｄ （ ）ａ
故实数ａ的取值范围为ç ，１－ ３úú êê１＋ ３， ÷． １ ２ ≤－２
è－∞ û∪ë ＋∞ø
２ ２
æ ù é ö
答案 ç ，１－ ３úú êê１＋ ３， ÷
è－∞ û∪ë ＋∞ø
２ ２
