文档文本内容
专
题
十
一
概
率
与
统
计
／
１２５
专题十一 概率与统计
１１．１ 随机事件、古典概型
§
４．概率的几个基本性质
概率的范围 ．
（１） ：［０，１］
必然事件的概率为 ．
（２） ③ １
考点一 事件与概率
不可能事件的概率为 ．
（３） ０
１．事件的分类 概率的加法公式
（４）
一般地 我们把在条件Ｓ下 一定会发生的事 如果事件Ａ与事件Ｂ互斥 则Ｐ Ａ Ｂ Ｐ（Ａ） Ｐ（Ｂ） ．
必然事件 ， ， ， （ ∪ ）＝④ ＋
确定 件叫做相对于条件Ｓ的必然事件 对立事件的概率
（５）
事件 不可能 在条件Ｓ下 一定不会发生的事件叫做相对 若事件 Ａ 与事件 Ｂ 互为对立事件 则 Ａ Ｂ 为必然事件
，
， ∪ ，
事件 于条件Ｓ的不可能事件
Ｐ Ａ Ｂ Ｐ Ａ Ｐ（Ｂ） ．
（ ∪ ）＝１， （ ）＝⑤ １－
在条件Ｓ下 可能发生也可能不发生 的事件叫做相
随机事件 ，①
对于条件Ｓ的随机事件 考点二 古典概型
２．频率与概率 １．古典概型的两个特点
频数与频率 在相同条件Ｓ下进行ｎ次试验 观察某一 有限性 试验中所有可能出现的基本事件只有
（１） ： ， （１） ：
事件Ａ是否出现 则称在ｎ次试验中事件Ａ出现的次数ｎ 为事 有限个 ．
， Ａ ⑥
ｎ 等可能性 每个基本事件出现的可能性 相等 ．
件Ａ出现的频数 事件Ａ出现的比例ｆ Ａ Ａ 为事件Ａ出 （２） ： ⑦
； ｎ（ ）＝② ｎ ２．古典概型的概率公式
现的频率． 在基本事件总数为ｎ的古典概型中 每个基本事件发生
（１） ，
概率 对于给定的随机事件Ａ 如果随着试验次数ｎ的
（２） ： ， 的概率都是相等的 即每个基本事件发生的概率都是 １ ．
增加 事件Ａ发生的频率ｆ Ａ 稳定在某个常数上 则把这个常 ， ｎ
， ｎ（ ） ，
数记作Ｐ Ａ 称为事件Ａ的概率． 对于古典概型 任何事件的概率为 Ｐ Ａ
（ ）， （２） ， （ ） ＝
３．事件的关系与运算 Ａ包含的基本事件的个数
．
⑧ 基本事件的总数
名称 定义 符号表示
如果事件Ａ发生 则事件Ｂ一定发生 这
， ， Ｂ Ａ
包含关系 时称事件Ｂ包含事件Ａ 或称事件Ａ包含 ⊇
（ 或Ａ Ｂ
于事件Ｂ （ ⊆ ）
）
若Ｂ Ａ 且Ｂ Ａ 那么称事件Ａ与事
相等关系 ⊇ ， ⊆ ， Ａ Ｂ
件Ｂ相等 ＝
若某事件发生当且仅当事件Ａ或事件
并事件 Ａ Ｂ
Ｂ发生 则称此事件为事件Ａ与事件Ｂ ∪
（和事件） ， 或Ａ Ｂ
的并事件 或和事件 （ ＋ ）
（ ）
若某事件发生当且仅当事件Ａ发生且事
交事件 Ａ Ｂ
件Ｂ发生 则称此事件为事件Ａ与事件Ｂ ∩
（积事件） ， 或ＡＢ
的交事件 或积事件 （ ）
（ ）
若Ａ Ｂ为不可能事件 那么称事件Ａ
互斥事件 ∩ ， Ａ Ｂ
与事件Ｂ互斥 ∩ ＝⌀
若Ａ Ｂ为不可能事件 Ａ Ｂ为必然事 Ａ Ｂ
∩ ， ∪ ∩ ＝⌀
对立事件 件 那么称事件Ａ与事件Ｂ互为对立 且Ａ Ｂ Ｕ
， ∪ ＝
事件 Ｕ为全集
（ ）
A
版
高
考
数
学
／
１２６
适用于有顺序的问题及较复杂问题中基本事件个数的探求．
运用排列 组合知识计算．
（４） 、
经典例题教师用书
考法 古典概型概率的求法
例 （２０１８广东省际名校联考（二），４）投掷两枚质地均匀的正
例１ 若函数ｆ ｘ ｘ２ 的值域为 从 方体骰子 将两枚骰子向上点数之和记作Ｓ．在一次投掷中 已知
（ ）＝ｌｎ（ ＋１） ｛０，１，２｝， ， ，
满足条件的所有定义域中选出 个集合 则取出的 个集合中 Ｓ是奇数 则Ｓ 的概率是
２ ， ２ ， ＝９ （ ）
各有三个元素的概率是
（ ） １ ２ １ １
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
１ １ １ １ ６ ９ ９ ５
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 解析 设两枚骰子向上的点数分别为ｘ，ｙ，则符合ｘ ｙ为奇
６ ７ ８ ９ ＋
解题导引 数的基本事件数为 （见表格），其中符合ｘ ｙ 的基本事件数
１８ ＋ ＝９
为 ，根据古典概型概率计算公式知所求概率为 ４ ２ ．
４ ＝
１８ ９
ｘ
解析 令 ｌｎ （ｘ２ ＋１ ） ＝０ ，得ｘ２ ＋１＝１ ， ∴ ｘ ＝０ ．令 ｌｎ （ｘ２ ＋１ ） ＝１ ， ｙ １ ２ ３ ４ ５ ６
得ｘ２
＋１＝ｅ
，
∴
ｘ
＝± ｅ－１
．令
ｌｎ
（ｘ２
＋１
）
＝２
，得ｘ２
＋１＝ｅ
２，
１ ３ ５ ７
∴ ｘ ＝ ± ｅ ２ －１ ．则满足值域为｛ ０ ， １ ， ２ ｝ 的定义域为 ２ ３ ５ ７
｛ ０ ， － ｅ－１ ， － ｅ ２ －１ ｝，｛ ０ ， － ｅ－１ ， ｅ ２ －１ ｝，｛ ０ ， ｅ－１ ， ３ ５ ７ ９
－ ｅ ２ －１ ｝，｛ ０ ， ｅ－１ ， ｅ ２ －１ ｝，｛ ０ ， － ｅ－１ ， ｅ－１ ， ｅ ２ －１ ｝， ４ ５ ７ ９
｛ ０ ， － ｅ－１ ， ｅ－１ ， － ｅ ２ －１ ｝， ｛ ０ ， － ｅ－１ ， － ｅ ２ －１ ， ５ ７ ９ １１
２ ｝，｛ ， ， ２ ， ２ ｝，｛ ， ， ， ６ ７ ９ １１
ｅ －１ ０ ｅ－１ － ｅ －１ ｅ －１ ０ － ｅ－１ ｅ－１
－ ｅ
２
－１
，
ｅ
２
－１
｝． 答案 Ｂ
则满足条件的定义域的个数为 ， 例 （２０１９安徽合肥第一次教学质量检测，１０）某商场进
９
从满足条件的所有定义域中选出 个集合， 行购物摸奖活动 规则如下 在一个封闭的纸箱中装有标号分别
２ ， ：
基本事件总数ｎ ＝Ｃ ２ ９＝３６ ， 为
位顾
１，
客
２，
最
３，
多
４，
有
５ 的
两
五
次
个
摸
小
奖
球
机
，
会
每次
并
摸
规
奖
定
需
若
要
第
同
一
时
次
取
取
出
出
两
的
个
两
小
球
球
号
，
码
每
取出的 个集合中各有三个元素的集合个数ｍ ２ ， ， ：
２ ＝Ｃ４＝６
连号 则中奖 摸奖结束 若第一次未中奖 则将这两个小球放回
取出的 个集合中各有三个元素的概率Ｐ ｍ １ ． ， ， ； ，
∴ ２ ＝ ｎ ＝ 后进行第二次摸球 若与第一次取出的两个小球号码相同 则为
６ ， ，
中奖．按照这样的规则摸奖 中奖的概率为
答案 Ａ ， （ ）
方法总结 １．古典概型的概率求解步骤 ４ １９ ２３ ４１
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
５ ２５ ５０ １００
解题导引
解析 由题意可知分两种情况： 摸到连号小球的概率Ｐ
① １
２．基本事件个数的确定方法 ４ ２ ； 摸到与第一次所摸到的小球同号的概率Ｐ Ｃ ２ ５－４
（１） 列举法 ： 此法适合于基本事件个数较少的古典概型． ＝ Ｃ ２ ５ ＝ ５ ② ２＝ Ｃ ２ ５
验 ， 也 （ 可 ２） 看 列 成 表 坐 法 标 ： 此 法 法 ． 适合于从多个元素中选定两个元素的试 · Ｃ １ ２ ５ ＝ ５ ３ ０ ， ∴ 中奖的概率Ｐ ＝ Ｐ １＋ Ｐ ２＝ ５ ２ ＋ ５ ３ ０ ＝ ５ ２ ０ ３．故选 Ｃ ．
画树状图法 画树状图法是进行列举的一种常用方法 答案 Ｃ
（３） ： ，
