文档文本内容
专题十一 概率与统计
课标解读
考情分析 备考指导
主题 内容
一、随机事件的
了解两个互斥事件的概率加法公式
概率、古典 １． ．
理解古典概型及其概率计算公式
概型与几何 ２． ．
理解几何概型及其概率计算公式
概型 ３． ． 古典概型常以小题的形式出现 求基
１． ，
本事件的个数时常涉及排列数 组合数
、
的计算 计算时首先判断事件是否与顺
，
理解离散型随机变量及其分布列的概念 序有关 以确定是排列问题 还是组合
二、离散型随机 １． ． ， ，
理解超几何分布 问题
变量及其分 ２． ． ．
理解取值有限的离散型随机变量的均值 方差的 本专题内容为高考热点 相互独立事件 互斥事件常作为解答
布列 ３． 、 １． ， ２． 、
概念 并会计算均值 方差 题型以一大一小形式出现 题的第 问 是进一步求分布列 期望
， 、 ． ， （１） ， 、
小题为选择题或填空题 难 与方差的基础 求解该类问题要正确理
， ，
度较小 解答题的难度有所 解题意 准确判断概率模型 恰当选择
， ， ，
增加重在考查学生的逻辑 概率公式
理解 次独立重复试验的模型及二项分布 能
． ．
１． ｎ ， 思维能力 对事件进行分 求解离散型随机变量的分布列与期
三、二项分布与 解决一些简单的实际问题 ， ３．
． 析 分解和转化的能力 望 关键要过好 三关 一是 判断关
正态分布 了解正态密度曲线的特点及曲线所表示的意 、 ． ， “ ”： “ ”，
２． 考查内容主要体现在以 即依题意判断随机变量的所有可能的
义 并进行简单应用
２．
， ． 下方面 样本的抽样方 取值 二是 求概率关 即利用两个计
：（１） ， “ ”，
法 数字特征 古典概型 离 数原理 排列与组合内容 以及古典概
， ， ， ， ，
散型随机变量的分布列 二 型的概率公式求随机变量取各个值时
会用简单随机抽样抽取样本 ，
１． ． 项分布 正态分布等 在 的概率 三是 应用定义关 即列出随
四、抽样方法、 能从样本数据中提取数字特征 如平均数 标 ， ．（２） ， “ ”，
２． （ 、 实际问题中的分布列 正态 机变量的分布列 并利用随机变量的数
用样本估计 准差 、 ，
）． 分布 统计案例的运用 学期望的定义进行计算 若能判定随机
总体 会用样本的频率分布 数字特征 估计总体分 、 ． ，
３． （ ） 重点考查数据分析 数学 变量 服从二项分布 则可利用
布 数字特征 ３． 、 Ｘ ， Ｅ（Ｘ）
（ ）． 运算和逻辑推理的核心 求解 从而避免复
＝ｎｐ，Ｄ（Ｘ）＝ｎｐ（１－ｐ） ，
素养 杂的运算 提高解题的准确度
． ， ．
关注概率与其他知识综合考查的题
４．
会作散点图 并会用其认识变量间的相关关系 目 强化概率在决策问题中的运用 在
１． ， ． ， ，
了解最小二乘法的思想 能根据所给公式求线性 不同背景下抽象出数学本质的方法值
２． ，
五、变量间的相 回归方程 线性回归方程系数公式不要求记忆 得关注 应强化在知识的形成过程 知
（ ）． ， 、
关关系、统 了解独立性检验 只要求 列联表 的方法 识迁移中渗透学科素养
３． （ ２×２ ） ， ．
计案例 并能解决一些简单问题
．
了解回归分析的基本方法 并能解决一些简单
４． ，
的实际问题
．专题十一 概率与统计 ７２３
方法总结 独立性检验原理只能解决两个对象 每 根 据 公 式 计 算 ２
（１） ， （ ５ ） Ｋ ＝
１． 独立性检验的思想来自于统计上的假设检验 个对象有两类属性的问题 ， 所以对于一个 ｎ（ａｄ－ｂｃ） ２ 其中
思想 ， 它与反证法类似 ， 它们都是先假设结论不 实际问题 ， 我们要首先确定能否用独立性 （ａ＋ｂ）（ｃ＋ｄ）（ａ＋ｃ）（ｂ＋ｄ） ， ｎ＝ａ＋ｂ＋ｃ＋
成立然后根据是否能推出 矛盾 来判断结论 检验的思想加以解决 的值
， “ ” ； ｄ ；
是否成立的但二者 矛盾 的含义不同 反证法 如果确定属于这类问题 要科学地抽取 比较观测值 与临界值表中相应的检
． “ ” ， （２） ， （６） ｋ
中的 矛盾 是指不符合逻辑的事件发生 独立 样本 样本容量要适当 不可太小 验水平 根据小概率原理肯定或者否定假
“ ” ， ， ， ； ，
性检验中的矛盾是在结论不成立的假设下推出 根据数据列出 列联表 设 即判断 是否相关
（３） ２×２ ； ， Ｘ、Ｙ ．
有利于结论成立的小概率事件的发生 提出假设 所研究的两类对象
． （４） Ｈ０： （Ｘ， 核心素养
独立性检验的一般步骤 无关
２． ： Ｙ） ； 数据分析 数学运算 逻辑推理
、 ， ．
７２４ ５年高考３年模拟 Ａ版（教师用书）
真题多维细目表
考题 涉分 题型 难度 考点 考向 解题方法 核心素养
多项
２０２０新高考Ⅱ，９ 中 统计图表 折线图 分析法 数据分析
５ 选择题
２０２０天津，４ 选择题 易 统计图表 频率分布直方图 定义法 数学运算
５
用频率估计概率、利用
２０２０课标Ⅰ文，１７ 解答题 中 统计案例 公式法 数学运算
１２ 统计知识进行决策
抽样方法与 数据分析
２０２０北京，１８ 解答题 中 抽样方法与事件的概率估计 定义法
１４ 总体分布的估计 数学运算
数据分析
２０２０课标Ⅰ文，４ 选择题 易 古典概型 古典概型求事件的概率 定义法 数学运算
５
逻辑推理
数据分析
多项 离散型随机变 新定义、离散型随机变量及其 定义法
２０２０新高考Ⅰ，１２ 难 数学运算
５ 选择题 量及其分布列 分布列、对数运算、比较大小 公式法
逻辑推理
数学运算
２０２０天津，１３ 填空题 易 相互独立事件 求相互独立事件的概率 公式法
５ 逻辑推理
２０２０课标Ⅰ，文５，理５ 选择题 易 变量间的相关关系 散点图、确定回归方程类型 定义法 数据分析
５
数据分析
２０２０新高考Ⅰ，１９ 解答题 中 统计案例 概率的估计值、独立性检验 定义法 数学运算
１２
逻辑推理
命题规律与探究
从 年高考情况来看 本专题内容依然为高考热点 题型以一大一小形式出现 小题主要为选择题或填空题 难度较小 解
１． ２０２０ ， ， ， ， ，
答题的难度有所增加 如 年课标 卷理数第 题以三人的羽毛球比赛为背景 将概率问题融入常见的羽毛球比赛中 以
， ２０２０ Ⅰ １９ ， ，
参赛人的获胜概率设问 重在考查学生的逻辑思维能力 对事件进行分析 分解和转化的能力 分值约为 分
， ， 、 ， １５ ．
本专题内容在高考试题的选择题 填空题中主要考查抽样方法 古典概型 用样本估计总体等 解答题常利用排列组合考查离
２． 、 ， ， ，
散型随机变量的分布列 均值 方差 二项分布和正态分布等问题 注意概率与其他知识的综合考查
、 、 、 ， ．
在处理小题时常用公式法 或排列组合知识 注意逻辑推理的灵活运用
３． ， ， ．
本章重点考查的学科核心素养为数据分析 数学运算和逻辑推理
４． 、 ．
命题变化与趋势
从 年高考情况来看 考查难度有所降低 更强调知识的应用性 试题背景与日常生活及其他学科贴近 体现统计思想与概
１． ２０２０ ， ， ， ，
率思想
．
考查内容主要体现在以下方面 样本的抽样方法 数字特征 古典概型 离散型随机变量的分布列 二项分布 正态分布等常
２． ：① ， ， ， ， ，
规题型 在实际问题中的分布列 正态分布 统计案例的运用 概率问题与其他知识的综合考查近年难度加大 备考时需给
．② ， ， ．③ ，
予关注和强化
．
加强关注概率与其他知识综合考查的题目 强化概率在决策问题的运用 在不同背景下抽象出数学本质的方法值得关注 应强
３ ， ， ．
化在知识的形成过程 知识的迁移中渗透学科素养
、 ．专题十一 概率与统计 ７２５
１１．１ 随机事件、古典概型与几何概型
§
４．概率的几个基本性质
概率的范围 ．
（１） ：［０，１］
必然事件的概率为 ．
（２） ③ １
考点一 事件与概率
不可能事件的概率为 ．
（３） ０
１．事件的分类 概率的加法公式
（４）
一般地 我们把在条件Ｓ下 一定会发生的事 如果事件Ａ与事件Ｂ互斥 则Ｐ Ａ Ｂ Ｐ（Ａ） Ｐ（Ｂ） ．
必然事件 ， ， ， （ ∪ ）＝④ ＋
确定 件叫做相对于条件Ｓ的必然事件 对立事件的概率
（５）
事件 不可能 在条件Ｓ下 一定不会发生的事件叫做相对 若事件 Ａ 与事件 Ｂ 互为对立事件 则 Ａ Ｂ 为必然事件
，
， ∪ ，
事件 于条件Ｓ的不可能事件
Ｐ Ａ Ｂ Ｐ Ａ Ｐ（Ｂ） ．
（ ∪ ）＝１， （ ）＝⑤ １－
在条件Ｓ下 可能发生也可能不发生 的事件叫做相
随机事件 ，①
对于条件Ｓ的随机事件 考点二 古典概型
２．频率与概率 １．古典概型的两个特点
频数与频率 在相同条件Ｓ下进行ｎ次试验 观察某一 有限性 试验中所有可能出现的基本事件只有
（１） ： ， （１） ：
事件Ａ是否出现 则称在ｎ次试验中事件Ａ出现的次数ｎ 为事 有限个 ．
， Ａ ⑥
ｎ 等可能性 每个基本事件出现的可能性 相等 ．
件Ａ出现的频数 事件Ａ出现的比例ｆ Ａ Ａ 为事件Ａ出 （２） ： ⑦
； ｎ（ ）＝② ｎ ２．古典概型的概率公式
现的频率． 在基本事件总数为ｎ的古典概型中 每个基本事件发生
（１） ，
概率 对于给定的随机事件Ａ 如果随着试验次数ｎ的
（２） ： ， 的概率都是相等的 即每个基本事件发生的概率都是 １ ．
增加 事件Ａ发生的频率ｆ Ａ 稳定在某个常数上 则把这个常 ， ｎ
， ｎ（ ） ，
数记作Ｐ Ａ 称为事件Ａ的概率． 对于古典概型 任何事件的概率为 Ｐ Ａ
（ ）， （２） ， （ ） ＝
３．事件的关系与运算 Ａ包含的基本事件的个数
．
⑧ 基本事件的总数
名称 定义 符号表示
如果事件Ａ发生 则事件Ｂ一定发生 这
， ， Ｂ Ａ 考点三 几何概型
包含关系 时称事件Ｂ包含事件Ａ 或称事件Ａ包含 ⊇
（ 或Ａ Ｂ １．几何概型的概念
于事件Ｂ （ ⊆ ）
）
如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度 面
若Ｂ Ａ 且Ｂ Ａ 那么称事件Ａ与事 （
相等关系 件Ｂ ⊇ 相等 ， ⊆ ， Ａ ＝ Ｂ 积或体积 成比例 则称这样的概率模型为几何概率模型 简称
） ， ，
若某事件发生当且仅当事件Ａ或事件 为几何概型．
并事件 Ａ Ｂ
Ｂ发生 则称此事件为事件Ａ与事件Ｂ ∪ ２．几何概型的特点
（和事件） ， 或Ａ Ｂ
的并事件 或和事件 （ ＋ ） 无限性 在一次试验中 基本事件的个数是无限的．
（ ） （１） ： ，
若某事件发生当且仅当事件Ａ发生且事 等可能性 每个基本事件发生的可能性相等．
交事件 Ａ Ｂ （２） ：
件Ｂ发生 则称此事件为事件Ａ与事件Ｂ ∩ ３．几何概型的概率公式
（积事件） ， 或ＡＢ
的交事件 或积事件 （ ） 设几何概型的基本事件空间可表示成可度量的区域 Ω 事
（ ） ，
若Ａ Ｂ为不可能事件 那么称事件Ａ Ａ的几何度量
互斥事件 ∩ ， Ａ Ｂ 件Ａ所对应的区域用Ａ表示 Ａ Ω 则Ｐ Ａ ．
与事件Ｂ互斥 ∩ ＝⌀ （ ⊆ ）， （ ）＝Ω的几何度量
若Ａ Ｂ为不可能事件 Ａ Ｂ为必然事 Ａ Ｂ
∩ ， ∪ ∩ ＝⌀
对立事件 件 那么称事件Ａ与事件Ｂ互为对立 且Ａ Ｂ Ｕ
， ∪ ＝
事件 Ｕ为全集
（ ）
１ １ １ １
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
５ ３ ４ ６
答案 Ｂ
考点一 事件与概率 ２．在 张电话卡中 有 张移动卡和 张联通卡 从中任取 张
５ ， ３ ２ ， ２ ，
１．甲 乙 丙 丁 戊 名同学参加 论语 知识大赛 决出第 名到
、 、 、 、 ５ “《 》 ”， １ 若事件 张全是移动卡 的概率是３ 那么概率是７ 的事件是
第 名的名次．甲 乙两名参赛者去询问成绩 回答者对甲说 虽然 “２ ” ，
５ 、 ， “ １０ １０
你的成绩比乙好 但是你俩都没得到第一名 对乙说 你当然不
， ”； “ （ ）
会是最差的 ．从上述回答分析 丙是第一名的概率是 至多有一张移动卡 恰有一张移动卡
” ， （ ） Ａ． Ｂ．
７２６ ５年高考３年模拟 Ａ版（教师用书）
都不是移动卡 至少有一张移动卡 示 其中茎为十位数 叶为个位数 日加工零件个数大于样本平
Ｃ． Ｄ． ， ， ，
答案 Ａ 均数的工人为优秀工人 从该车间的 名工人中任取 名 则
， ６ ２ ，
３．一个均匀的正方体玩具的各个面上分别标有数字 恰有 名优秀工人的概率为
１，２，３，４，５， １ （ ）
．将这个玩具向上抛掷 次 设事件Ａ表示向上的一面标有奇
６ １ ，
数 事件Ｂ表示向上的一面上的数不超过 事件Ｃ表示向上
， ３，
的一面上的数不小于 则
４， （ ）
Ａ与Ｂ是互斥而非对立事件
Ａ．
Ａ与Ｂ是对立事件
Ｂ． １ １ ８ ７
Ｂ与Ｃ是互斥而非对立事件 Ａ．
９
Ｂ．
３
Ｃ．
１５
Ｄ．
１５
Ｃ． 答案 Ｃ
Ｂ与Ｃ是对立事件
Ｄ．
答案 Ｄ
９．从左至右依次站着甲
、
乙
、
丙
３
个人
，
从中随机抽取
２
个人进行
位置调换 则经过两次这样的调换后 甲在乙左边的概率是
４．男队有号码分别为 的三名乒乓球运动员 女队有号码为
， ，
１，２，３ ，
的四名乒乓球运动员 现两队各出一名运动员比赛一 ．
１，２，３，４ ，
场 则出场的两名运动员号码不同的概率为 ． 答案 ２
，
３
答案 ３
４ 考点三 几何概型
考点二 古典概型 １０．某学校星期一至星期五每天上午共安排五节课 每节课的时
，
间为 分钟 第一节课上课的时间为 课间休息
５． 微信抢红包 自 年以来异常火爆 在某个微信群某次进 ４０ ， ７：５０～８：３０，
“
行的抢红包活
”
动中
２０１
若
５
所发红包的总金
，
额为 元 被随机分配
分钟．某同学请假后返校 若他在 之间随机到
１０ ， ８：５０～９：３０
， ８ ， 达教室 则他听第二节课的时间不少于 分钟的概率为
为 ． 元 ． 元 ． 元 ． 元 ． 元共 份供甲 乙等 ， ２０
１７２ ，１８３ ，２２８ ，１５５ ，０６２ ５ 、 ５
人抢 每人只能抢一次 则甲 乙二人抢到的红包金额之和不低
（ ）
， ， 、
于 元的概率是
１ １ １ １
３ （ ） Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
５ ４ ３ ２
３ ２ １ ３ 答案 Ｂ
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
答
１０
案 Ｄ
５ ２ ５ １１．赵爽弦图
（
图
１）
取材于我国古代数学家赵爽的
《
勾股圆方图
》，
它
是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正
６．每年三月为学雷锋活动月 某班有青年志愿者男生 人 女生
人 现需选出 名青年志
，
愿者到社区做公益宣传活
３
动
，
则选
方形．图 是由弦图变化得到的 它是由八个全等的直角三角形
２ ，
２
出的
，
名志愿者
２
性别相同的概率为
， 和中间的一个小正方形拼接而成的．现随机向图 中大正方形的
２
２ （ ） 内部投掷一枚飞镖 若直角三角形的直角边长分别为 和 则
， ２ ３，
３ ２ １ ３ 飞镖投中小正方形 阴影 区域的概率为
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
５ ５ ５ １０ （ ） （ ）
答案 Ｂ
７．已知ａ ｂ 则函数ｆ ｘ ａｘ２ ｂｘ在
∈｛０，１，２｝， ∈｛－１，１，３，５｝， （ ）＝ －２
区间 上为增函数的概率是
（１，＋∞） （ ）
５ １ １ １
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
１２ ３ ４ ６
答案 Ａ １ ４ ９ ５
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
８．某车间共有 名工人 他们某日加工零件个数的茎叶图如图所 ２５ ２５ ２５ ３６
６ ， 答案 Ａ
山大庙两个景点去参观考察 由于时间关系 每个人只能选择
， ，
一个景点 则甲 乙 丙三人恰好到同一景点旅游参观的概率为
， 、 、
考点一 事件与概率 （ ）
１ １ ３ １
１．（２０１９陕西咸阳模拟检测（一），４）某校高三 班 名学生 Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
（１） ５０ ８ ４ ８ ２
参加 体能测试 其中 人成绩为Ａ 其余人成绩都是 答案 Ｂ 甲 乙 丙三人每人有 种选择 共有 ３ 种情
１５００ ｍ ， ２３ ， 、 、 ２ ， ２ ＝８
Ｂ或Ｃ．从这 名学生中任抽 人 若抽得Ｂ的概率是 ． 则 况 甲 乙 丙三人去同一景点有 种情况
５０ １ ， ０ ４， ， 、 、 ２ ，
抽得Ｃ的概率是
（ ） 故甲 乙 丙三人恰好到同一景点旅游参观的概率为 １ ．
． ． 、 、
Ａ．０１４ Ｂ．０２０ ４
． ． ３．甲 乙 丙三人站成一排照相 甲排在左边的概率是
Ｃ．０４０ Ｄ．０６０ 、 、 ， （ ）
答案 Ａ 由题意得抽到Ｃ的概率为 ２３ ． ． ． １
１－ －０４＝０１４ Ａ．１ Ｂ．
５０ ６
２．（２０２０四川绵阳二诊，８）甲 乙 丙三位客人在参加中国 绵
、 、 （ １ １
阳 科技城国际科技博览会期间 计划到绵阳的九皇山 七曲 Ｃ． Ｄ．
） ， 、 ２ ３
专题十一 概率与统计 ７２７
答案 Ｄ 甲 乙 丙三人站成一排照相的站法有甲乙丙 甲 名同学来自不同社团包括两类
、 、 、 ：
丙乙 乙甲丙 乙丙甲 丙甲乙 丙乙甲 共 种 名均来自书法社团以外的 个社团 有 ３ 种选法 有
、 、 、 、 ， ６ ， ①３ ７ ， Ｃ７ ；② １
其中甲排在左边的站法有 种 名来自书法社团 有 １ ２ 种选法．
２ ， ， Ｃ３Ｃ７
∴ 甲排在左边的概率是 ２ ６ ＝ ３ １ ．故选 Ｄ ． ∴ 选出的 ３ 名同学来自不同社团的概率为Ｃ ３ ７＋Ｃ ３ １ ３Ｃ ２ ７ ＝ ４９．
４．（２０１７福建泉州高考考前适应性模拟（一），３）从含有质地均
３．（２０１７辽宁沈阳一模，６）将Ａ Ｂ Ｃ Ｄ这 名
Ｃ
同
１０
学从左
６０
至右随
匀且大小相同的 个红球 ｎ个白球的口袋中随机取出一球 ， ， ， ４
２ 、 ， 机地排成一排 则 Ａ与 Ｂ 相邻且 Ａ与 Ｃ 之间恰好有 名同
， “ １
若取到红球的概率是 ２ 则取得白球的概率等于 学 的概率是
， （ ） ” （ ）
５
１ １ １ １
１ ２ ３ ４ Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． ２ ４ ６ ８
５ ５ ５ ５ 答案 Ｂ 将Ａ Ｂ Ｃ Ｄ这 名同学从左至右随机地排成
答案 Ｃ 取得红球与取得白球为对立事件 取得白球的 ∵ ， ， ， ４
，∴ 一排 基本事件总数ｎ ４
， ＝Ａ４＝４×３×２×１＝２４，
概率Ｐ ２ ３ ． Ａ与Ｂ相邻且Ａ与Ｃ之间恰好有 名同学 包含的基本事件
＝１－ ＝ “ １ ”
５ ５ 有 ＡＢＣＤ ＣＢＡＤ ＣＤＡＢ ＤＡＢＣ ＤＣＢＡ ＢＡＤＣ 共 个
５．（２０１９山东烟台一模，３）已知甲袋中有 个红球 个黄球 乙 ： ， ， ， ， ， ， ６ ，
１ １ ，
袋中有 个红球 个黄球 现从两袋中各随机取一个球 则取 Ａ与Ｂ相邻且Ａ与Ｃ之间恰好有 名同学 的概率Ｐ ６
２ １ ， ， ∴ “ １ ” ＝
出的两球中至少有 个红球的概率为 ２４
１ （ ）
１ ．故选 ．
１ １ ＝ Ｂ
Ａ． Ｂ． ４
３ ２ ４．（２０１８吉林实验中学期中）箱子里有 双颜色不同的手套 红
３ （
２ ５ 蓝黄各 双 有放回地拿出 只 记事件Ａ表示 拿出的手套
Ｃ． Ｄ． １ ）， ２ ， “
３ ６ 一只是左手的 一只是右手的 但配不成对 则事件Ａ的概率为
答案 Ｄ 本题考查概率的求法 考查对立事件概率计算公 ， ， ”，
，
式等基础知识 考查运算求解能力 是基础题． （ ）
， ，
甲袋中有 个红球 个黄球 乙袋中有 个红球 个黄球 １ １ １ ２
１ １ ， ２ １ ， Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
现从两袋中各随机取一个球 ， 基本事件总数ｎ ＝Ｃ １ ２Ｃ １ ３＝６， 答 ６ 案 Ｂ 分别设 ３ 双手套为ａ ５ ａ ｂ ｂ ｃ ｃ ．ａ ５ ｂ ｃ 分别
取出的两球中至少有 个红球的对立事件是取出的两球都是 ３ １ ２； １ ２； １ ２ １， １， １
１ 代表左手手套 ａ ｂ ｃ 分别代表右手手套．从箱子里的 双
黄球 ， ２， ２， ２ ３
， 颜色不同的手套中 随机有放回地拿出 只 基本事件总数ｎ
利用对立事件概率计算公式得 取出的两球中至少有 个红 ， ２ ， ＝
∴ ， １
６×６＝３６，
１ １
球的概率为Ｐ Ｃ１Ｃ１ ５ ．故选 事件Ａ包含 ａ ｂ ｂ ａ ａ ｃ ｃ ａ ａ ｂ
＝１－ ＝ Ｄ． ：（ １， ２），（ ２， １），（ １， ２），（ ２， １），（ ２， １），
６ ６ ｂ ａ ａ ｃ ｃ ａ ｂ ｃ ｃ ｂ ｂ ｃ ｃ
（ １， ２），（ ２， １），（ １， ２），（ １， ２），（ ２， １），（ ２， １），（ １，
考点二 古典概型 ｂ 个基本事件．
２），１２
１．（２０１８湖南（长郡中学、衡阳八中）、江西（南昌二中）等十四 故事件Ａ的概率Ｐ Ａ １２ １ ．故选
（ ）＝ ＝ Ｂ．
校第二次联考，９）已知某地春天下雨的概率为 ％．现采用随 ３６ ３
４０ {
机模拟的方法估计未来三天恰有一天下雨的概率 先由计算器 ５．（２０２０上海浦东一模，８）已知集合Ａ １ １ １
： ＝ －２，－１，－ ， ， ，
产生 到 之间取整数值的随机数 指定 表示下雨 ２ ３ ２
０ ９ ， １，２，３，４ ， }
表示不下雨 再每三个随机数作为一组 代表未 任取 ｋ Ａ 则幂函数 ｆ ｘ ｘｋ 为偶函数的概率为
５，６，７，８，９，０ ； ， １，２，３ ， ∈ ， （ ）＝
来三天是否下雨的结果．经随机模拟产生了如下 组随机数
２０ ： 结果用数值表示 ．
（ ）
９０７，９６６，１９１，９２５，２７１，９３２，８１２，４５８，５６９，６８３，４３１，２５７，３９３，
．据此估计 该地未来三天恰有 答案 １
０２７，５５６，４８８，７３０，１１３，５３７，９８９ ，
４
一天下雨的概率为 { }
（ ） 解析 集合Ａ １ １ １ 任取ｋ Ａ的
． ． ． ． ＝ －２，－１，－ ， ， ，１，２，３ ， ∈
Ａ．０２ Ｂ．０２５ Ｃ．０４ Ｄ．０３５ ２ ３ ２
答案 Ｃ 指定 表示下雨 未来三天恰有一天下雨 基本事件总数为
１，２，３，４ ， ８，
就是三个数字中只有一个数字在集合 中 组随机 当ｋ 时 幂函数ｆ ｘ ｘｋ 为偶函数 从而幂函数ｆ ｘ ｘｋ
｛１，２，３，４｝ ，２０ ＝±２ ， （ ）＝ ， （ ）＝
数中 有 组符合题意 为 为偶函数包含的基本事件个数为
， ８ ， ９２５，４５８，６８３，２５７，０２７，４８８，７３０， ２，
所求概率Ｐ ８ ． 故选 幂函数ｆ ｘ ｘｋ 为偶函数的概率Ｐ １ ．
５３７，∴ ＝ ＝０４， Ｃ． ∴ （ ）＝ ＝
２０ ４
２．（２０１６宁夏银川第一次大联考，３）某中学共 个艺术社团
８ ，
现从中选 名同学组成新春社区慰问小组 其中书法社团 考点三 几何概型
１０ ，
需选取 名同学 其他社团各取 名同学．现从这 名同 １．（２０１８宁夏银川一中５月模拟，６）将一根长为 的绳子剪
３ ， １ １０ ６ ｍ
学中随机选取 名同学 到社区养老院参加 新春送欢乐 为二段 则其中一段长度大于另一段长度的 倍的概率为
３ ， “ ” ， ２
活动 每位同学被选到的可能性相同 ．则选取的 名同学
（ ） ３ （ ）
来自不同社团的概率为
（ ） １ ２ ２ ３
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
７ ７ ４９ ７ ３ ３ ５ ５
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 答案 Ｂ 绳子的长度为 折成两段后 设其中一段长度
１０ ２４ ６０ １０ ６ ｍ， ，
答案 Ｃ 从 名同学中选 名 共有 ３ 种选法 选取的 为ｘ 则另一段长度为 ｘ 记 其中一段长度大于另一
１０ ３ ， Ｃ１０ ， ３ ｍ， （６－ ）ｍ， “
７２８ ５年高考３年模拟 Ａ版（教师用书）
段长度 倍 为事件Ａ
２ ” ，
则Ａ ｘ ｘ ｘ ｘ 或 ｘ ｘ ｘ ｘ 或 ｘ
＝｛ ｜０＜ ＜６， ＞２（６－ ） ６－ ＞２ ｝＝｛ ｜０＜ ＜２ ４＜ ＜
６｝，
Ｐ Ａ ２ 故选
∴ （ ）＝ ， Ｂ．
３
２．（２０２０天一联考“顶尖计划”高中毕业班第二次考试，４）一个
陶瓷圆盘的半径为 中间有一个边长为 的正方形花
１０ｃｍ， ４ｃｍ
纹 向盘中投入 粒米后 发现落在正方形花纹上的米共
， １ ０００ ，
有 粒 据此估计圆周率 的值为 精确到 ．
５１ ， π （ ０００１） （ ）
． ． ． ．
Ａ．３１３２ Ｂ．３１３７ Ｃ．３１４２ Ｄ．３１４７
答案 Ｂ 本题考查几何概型．
２ 由题意得 ４ ５１ ． ．
２ ＝ ⇒π≈３１３７ π·１０ １０００
３．（２０１８四川成都龙泉驿一模，５）如图 扇形ＡＥＤ是以正方形
，
ＡＢＣＤ的边ＡＤ为直径的半圆 向正方形ＡＢＣＤ内随机投入一
，
点 则该点落在阴影区域内的概率为
， （ ）
π ３ π １
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
１６ １６ ４ ４
答案 Ｄ 连接ＡＥ 由圆的对称性得阴影部分的面积等于
，
Ｓ
ＡＢＥ的面积 易知 △ ＡＢＥ １
△ ， Ｓ ＝ ，
正方形ＡＢＣＤ ４
所以该点落在阴影区域内的概率Ｐ １ ．故选
＝ Ｄ．
４
４．（２０２０湖南常德期末，９）已知Ａ是圆Ｍ的圆周上一定点 若
，
在圆Ｍ的圆周上的其他位置任取一点Ｂ 连接ＡＢ 则 线段ＡＢ
， ， “ 的长度不大于圆Ｍ的半径 的概率为
” （ ）
１ １ １ ２
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
２ ３ ６ ３
答案 Ｂ 如图所示的圆 Ｍ 中 ＡＭＤ 和 ＡＭＣ 为等边三
，△ △
角形 当点Ｂ位于劣弧ＣＤ
，
(
°
故由几何概型概率计算公式可得 所求概率Ｐ １２０ １ ．
， ＝ °＝
３６０ ３
５．（２０１９四川绵阳高三二诊，１４）某景区观光车上午从景区入口
发车的时间为 某人上午 至 随机到
７：３０，８：００，８：３０， ７：４０ ８：３０ 达景区入口 准备乘坐观光车 则他等待时间不多于 分钟的
， ， １０
概率是 ．
答案 ２
５
解析 设该人到达的时刻为ｘ
，
当ｘ 在 至 或 至 时 等待时间不超过
７：５０ ８：００， ８：２０ ８：３０ ，
分钟
１０ ，
所以所求概率Ｐ １０＋１０ ２ ．
＝ ＝
２０＋３０ ５
６．（２０１８辽宁沈阳育才学校五模，１４）一只蜜蜂在一个正方体箱
子里面自由飞行 若蜜蜂在飞行过程中始终保持在该正方体内
，
切球范围内飞行 称其为 安全飞行 则蜜蜂 安全飞行 的概
， “ ”， “ ”
率为 ．
答案 π
６
解析 如图
，
设正方体的棱长为
２
ａ
，
则其内切球的半径为ａ
，
则Ｖ
正方体＝８
ａ３
，
Ｖ
４πａ３
Ｖ
球＝
４
３
πａ３
，∴
蜜蜂
“
安全飞行
”
的概率Ｐ
＝Ｖ 正
球
方体 ＝
３
８ ａ３ ＝
π
６
．故
答案为π．
６
上 不与Ａ重合 时满足题意．
（ ）
解题导引
考法一 古典概型概率的求法
例１ 若函数ｆ ｘ ｘ２ 的值域为 从 解析 令 （ｘ２ ） ，得ｘ２ ， ｘ ．令 （ｘ２ ） ，
（ ）＝ｌｎ（ ＋１） ｛０，１，２｝， ｌｎ ＋１ ＝０ ＋１＝１ ∴ ＝０ ｌｎ ＋１ ＝１
满足条件的所有定义域中选出 个集合 则取出的 个集合中
２ ， ２ 得ｘ２ ， ｘ ．令 （ｘ２ ） ，得ｘ２ ２，
各有三个元素的概率是 ＋１＝ｅ ∴ ＝± ｅ－１ ｌｎ ＋１ ＝２ ＋１＝ｅ
（ ） ｘ ２ ．则满足值域为｛ ， ， ｝ 的定义域为
∴ ＝ ± ｅ －１ ０ １ ２
１ １ １ １
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． ｛ ， ， ２ ｝，｛ ， ， ２ ｝，｛ ， ，
６ ７ ８ ９ ０ － ｅ－１ － ｅ －１ ０ － ｅ－１ ｅ －１ ０ ｅ－１
专题十一 概率与统计 ７２９
２ ｝，｛ ， ， ２ ｝，｛ ， ， ， ２ ｝，
－ ｅ －１ ０ ｅ－１ ｅ －１ ０ － ｅ－１ ｅ－１ ｅ －１ ４ １９ ２３ ４１
｛ ０ ， － ｅ－１ ， ｅ－１ ， － ｅ ２ －１ ｝， ｛ ０ ， － ｅ－１ ， － ｅ ２ －１ ， Ａ． ５ Ｂ． ２５ Ｃ． ５０ Ｄ． １００
解题导引
２ ｝，｛ ， ， ２ ， ２ ｝，｛ ， ， ，
ｅ －１ ０ ｅ－１ － ｅ －１ ｅ －１ ０ － ｅ－１ ｅ－１
２ ， ２ ｝．
－ ｅ －１ ｅ －１
则满足条件的定义域的个数为 ，
９
从满足条件的所有定义域中选出 个集合， 解析 由题意可知分两种情况： 摸到连号小球的概率
２ ①
基本事件总数ｎ ＝Ｃ ２ ９＝３６ ， Ｐ ４ ２ ； 摸到与第一次所摸到的小球同号的概率 Ｐ
取出的 ２ 个集合中各有三个元素的集合个数ｍ ＝Ｃ ２ ４＝６ ， １＝ Ｃ ２ ５ ＝ ５ ② ２＝
取出的 个集合中各有三个元素的概率Ｐ ｍ １ ． Ｃ ２ ５－４· １ ３ ， 中奖的概率Ｐ Ｐ Ｐ ２ ３ ２３．故选 ．
∴ ２ ＝ ｎ ＝ ６ Ｃ ２ ５ Ｃ ２ ５ ＝ ５０ ∴ ＝ １＋ ２＝ ５ ＋ ５０ ＝ ５０ Ｃ
答案 Ａ 答案 Ｃ
方法总结 １．古典概型的概率求解步骤
考法二 几何概型概率的求法
例２ （２０２０广东东莞４月模拟，３）玫瑰花窗 如图
（ １）
是哥特式建筑的特色之一 镶嵌着彩色玻璃的玫瑰花窗给人以
，
瑰丽之感 构成花窗的图案有三叶形 四叶形 五叶形 六叶形和
， 、 、 、
八叶形等．图 是四个半圆构成的四叶形 半圆的连接点构成正
２ ，
２．基本事件个数的确定方法 方形ＡＢＣＤ 在整个图形中随机取一点 此点取自正方形区域的
， ，
列举法 此法适合于基本事件个数较少的古典概型． 概率为
（１） ： （ ）
列表法 此法适合于从多个元素中选定两个元素的试
（２） ：
验 也可看成坐标法．
，
画树状图法 画树状图法是进行列举的一种常用方法
（３） ： ，
适用于有顺序的问题及较复杂问题中基本事件个数的探求．
运用排列 组合知识计算．
（４） 、
例 （２０１８广东省际名校联考（二），４）投掷两枚质地均匀的
正方体骰子 将两枚骰子向上点数之和记作Ｓ．在一次投掷中
， ，
已知Ｓ是奇数 则Ｓ 的概率是
， ＝９ （ ） ２ １ ４ ２
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
１ ２ １ １
π＋２ π＋１ π＋２ π＋１
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 解析 设“点取自正方形区域”为事件Ａ，半圆的半径为ｒ，
６ ９ ９ ５
解析 设两枚骰子向上的点数分别为ｘ，ｙ，则符合ｘ ｙ为
＋ 则正方形面积Ｓ ｒ２，四叶形面积Ｓ · １ ｒ２ ｒ２ （ ）
奇数的基本事件数为 （见表格），其中符合ｘ ｙ 的基本事 １＝４ ２＝４ π ＋４ ＝ ２π＋４
１８ ＋ ＝９ ２
Ｓ ｒ２
件数为 ，根据古典概型概率计算公式知所求概率为 ４ ２ ． ·ｒ２，则Ｐ（Ａ） １ ４ ２ ．故选 ．
４
１８
＝
９
＝ Ｓ
２
＝（
２π＋４
）ｒ２ ＝
π＋２
Ａ
ｘ 答案 Ａ
ｙ １ ２ ３ ４ ５ ６ 方法总结 １．判断试验是不是几何概型 要切实理解并掌
，
握几何概型的两个基本特点 无限性和等可能性．
１ ３ ５ ７ ：
２．求解几何概型概率的关键在于弄清题中的考察对象和对
２ ３ ５ ７
象的活动范围．当考察对象为点 点的活动范围在线段上时 用线
， ，
３ ５ ７ ９ 段长度比计算 当考察对象在某块区域时 用面积比计算 当考
； ， ；
４ ５ ７ ９ 察对象在某个空间时 用体积比计算．
，
５ ７ ９ １１
例 （２０１８湖北黄冈、黄石等八校３月联考，１１）已知实
６ ７ ９ １１
答案 Ｂ {ａｘ ｘ
， ＜１，
例 （２０１９安徽合肥第一次教学质量检测，１０）某商场进 数ａ 且ａ 函数ｆ ｘ 在Ｒ上单调递
＞０， ≠１， （ ）＝ ｘ２ ４ ａ ｘ ｘ
行购物摸奖活动 规则如下 在一个封闭的纸箱中装有标号分 ＋ ｘ ＋ ｌｎ ， ≥１
， ：
别为 的五个小球 每次摸奖需要同时取出两个小 增 则实数ａ的取值范围是
１，２，３，４，５ ， ， （ ）
球 每位顾客最多有两次摸奖机会 并规定 若第一次取出的两 ａ ａ ａ ａ
， ， ： Ａ．１＜ ≤５ Ｂ．２≤ ≤５ Ｃ． ＞１ Ｄ． ≤５
球号码连号 则中奖 摸奖结束 若第一次未中奖 则将这两个
， ， ； ，
小球放回后进行第二次摸球 若与第一次取出的两个小球号码
，
相同 则为中奖．按照这样的规则摸奖 中奖的概率为
， ， （ ）
７３０ ５年高考３年模拟 Ａ版（教师用书）
解析 函数ｆ（ｘ）在Ｒ上单调递增，则ａ ，
＞１ ａ ４ ｘ２ 在ｘ 上恒成立． ｙ ４ ｘ２ 在
∴ ≥ ｘ －２ ∈［１，＋∞） ∵ ＝ ｘ －２
当ｘ ≥１ 时， ｆ（ｘ） ＝ ｘ２ ＋ ４ ｘ ＋ ａ ｌｎ ｘ， ［１，＋∞） 上单调递减 ，∴ ｙ ｍａｘ＝２ ．则ａ ≥２ ．当ｘ ＝１ 时 ， ａ ≤１＋４＝５ ．
则ｆ′（ｘ） ｘ ４
ａ
２
ｘ３
＋
ａｘ
－４，则 ｘ３ ａｘ 在［ ，
综上
，
实数ａ的取值范围是
２≤
ａ
≤５
．故选
Ｂ
．
＝２ －ｘ２ ＋ ｘ ＝ ｘ２ ２ ＋ －４≥０ １ ＋ 答案 Ｂ
）上恒成立，
∞
４．（２０２１届浙江名校新高考研究联盟（ ２０名校联盟）第一次联
Ｚ
考，１６）甲从集合 中任取三个不同的元
｛１，２，３，４，５，６，７，８，９｝
素 并按降序排列得到十进制三位数ａ 乙从集合
， ， ｛１，２，３，４，５，
考法一 古典概型概率的求法
中任取三个不同的元素 并按降序排列得到十进制三
６，７，８｝ ，
１．（２０２１届辽宁上学期测试，６） 三十六计 是中华民族珍贵的 位数ｂ 则ａ ｂ的概率为 ．
《 》 ， ＞
文化遗产之一 是一部传习久远的兵法奇书 与 孙子兵法 合
， ， 《 》 答案 ３７
称我国古代兵法谋略学的双壁． 三十六计 共分胜战计 敌战
《 》 、 ５６
计 攻战计 混战计 并战计 败战计六套 每一套都包含六计 ５．（２０２１届江苏扬州邗江蒋王中学第一次质量检测，１３）从
、 、 、 、 ， ， ２，
合三十六个计策 如果从这 个计策中任取 个计策 则这 这 个数字中任取 个 则所取 个数之和为偶数的
， ３６ ２ ， ２ ３，４，５，６ ５ ３ ， ３
个计策都来自同一套的概率为 概率为 ．
（ ）
１ １ １ １ 答案 ２
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
２１ １４ ７ ４２ ５
答案 Ｃ
考法二 几何概型概率的求法
２．（２０２０广西南宁摸底）某校从高一 班和 班的某次数学考试
（１） （２）
试卷满分为 分 的成绩中各随机抽取了 份数学成绩组成一 ６．（２０２０河南安阳第一次调研月考，１０）从 中任取一个
（ １００ ） ３ ［－２，３］
个样本 如茎叶图所示．若分别从 班 班的样本中各随机抽 实数ａ 则ａ的值能使函数ｆ ｘ ｘ ａ ｘ在Ｒ上单调递增的
， （１） ，（２） ， （ ）＝ ＋ ｓｉｎ
取一份 则 班成绩更好的概率为 概率为
， （２） （ ） （ ）
４ ３ ２ １
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
５ ５ ５ ５
答案 Ｃ
７．（２０２０福建漳州第二次适应性测试，４）中华文化博大精深 我国
，
古代算书 周髀算经 中介绍了用统计概率得到圆周率 的近似
２ １ １ ４ 《 》 π
Ａ．
９
Ｂ．
３
Ｃ．
２
Ｄ．
９
值的方法．古代数学家用体现 外圆内方 文化的钱币 如图 进
答案 Ｂ “ ” （ １）
行统计 现将其抽象成如图 所示的图形 其中圆的半径为
３．（２０２１届安徽皖江名校联盟第一次联考）新冠肺炎疫情期间
正方形
，
的边长为 在圆
２
内随机取点
，
若统计得到此点取
２
自
ｃｍ
阴
，
部分中小学居家上网学习 某市教育局为了解学生线上学习的 １ ｃｍ， ，
，
影部分的概率是ｐ 则圆周率 的近似值为
情况 准备从 所学校 其中 所中学 所小学 随机选出 ， π （ ）
， １０ （ ６ ，４ ） ３
所进行调研 其中Ｍ中学与Ｎ小学同时被选中的概率为
，
（ ）
１ １ １ ３
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
５ ８ １５ ２０
答案 Ｃ
１ １ １ ４
Ａ． ｐ Ｂ． ｐ Ｃ． ｐ Ｄ． ｐ
４（１－ ） １－ １－４ １－
答案 Ａ
中阳数之和等于 的概率是
１５ （ ）
考法一 古典概型概率的求法
１．（２０１９江西九江一模，４）洛书 古称龟书 是阴阳五行术数之
， ，
源．在古代传说中有神龟出于洛水 其甲壳上有此图案 结构是
， ，
戴九履一 左三右七 二四为肩 六八为足 以五居中 五方白圈
， ， ， ， ，
皆阳数 四隅黑点为阴数 其各行各列及对角线点数之和皆为
， ， １ ２ １ １
．如图 若从四个阴数中随机抽取两个数 则能使这两数与居 Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
１５ ， ， ２ ３ ４ ３
专题十一 概率与统计 ７３１
答案 Ｄ 从四个阴数中随机抽取两个数 共有 种取法 其
， ６ ， π １ π π １ π
中满足题意的取法有两种 和 能使这两数与居中阳 Ａ．１－ Ｂ． － Ｃ．１－ Ｄ． －
：４，６ ２，８，∴ ４ ２ ８ ８ ２ ４
答案 Ａ 在区间 上任选两个数 ｘ 和 ｙ 则
数之和等于 的概率Ｐ ２ １ ．故选 ［－１，１］ ，
１５ ＝ ＝ Ｄ． { ｘ
６ ３ －１≤ ≤１，如图 该不等式组表示的平面区域是边长为 的
２．（２０２０重庆模拟，５） 年 月 在新型冠状病毒肺炎疫情 ｙ ， ２
２０２０ ２ ， －１≤ ≤１，
防控工作期间 某单位有 名党员报名参加该地四个社区的疫 正方形区域 ｘ２ ｙ２ ｘ ｙ 表示的平面区域
， ４ ， ＋ ≥１（－１≤ ≤１，－１≤ ≤１）
情防控服务工作 假设每名党员均从这四个社区中任意选取一 是图中的阴影区域 由几何概型概率计算公式得 ｘ２ ｙ２
， ，∴ ＋ ≥１
个社区参加疫情防控服务工作 则恰有一个社区未被这 名党 正方形的面积 圆的面积 ２ ２
， ４ 的概率Ｐ － ２ －π×１ π．故选
员选取的概率为 ＝ 正方形的面积 ＝ ２ ＝１－ Ａ．
（ ） ２ ４
８１ ２７ ９ ９
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
２５６ ６４ ６４ １６
答案 Ｄ 本题考查古典概型 排列组合等基础知识 考查
、 ，
运算求解能力 体现了逻辑推理 数学运算的核心素养．
， 、
由题意得基本事件总数为 ４ 而恰有一个社区未被这 名党员
４ ， ４
选取包含的基本事件个数为 １ ２ ３ 则恰有一个社区未被这
Ｃ４Ｃ４Ａ３， ４
１ ２ ３
名党员选取的概率Ｐ Ｃ４Ｃ４Ａ３ ９ ．故选 ．
＝ ４ ＝ Ｄ ３．三国时期吴国的数学家赵爽创制了一幅 弦图 给出了迄今
４ １６ “ ”，
３．（２０１７山西吕梁孝义高考热身试题，５）大厦一层有 为止对勾股定理最早 最简洁的证明．如图所示的 弦图 中 四
Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ 、 “ ” ，
四部电梯 人在一层乘坐电梯上楼 则其中 人恰好乘坐同 个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个边长为 的
，３ ， ２ ２
一部电梯的概率为
（ ） 大正方形 若直角三角形中较小的锐角α π 现在向该正方
， ＝ ，
９ ７ ９ ７ ６
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 形区域内随机地投掷一枚飞镖 飞镖落在小正方形内的概率是
１６ １６ ３２ ３２ ，
答案 Ａ 大厦一层有 四部电梯 人在一层乘坐
Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ ，３ （ ）
电梯上楼 基本事件总数ｎ ３ 其中 人恰好乘坐同一部
， ＝４ ＝６４， ２
电梯包含的基本事件个数ｍ ２ ２ 其中 人恰好乘
＝Ｃ３·Ａ４＝３６，∴ ２
ｍ
坐同一部电梯的概率Ｐ ３６ ９ ．故选 ．
＝ ｎ ＝ ＝ Ａ
６４ １６
４．（２０１８上海复旦大学附属中学月考，１０）从集合
｛１，２，３，４，５，６，
中任取两个数 要使取到的一个数大于ｋ 另一个数小于
７，８，９，１０｝ ， ，
３ ３ ４－ ３ ３
ｋ 其中ｋ 的概率是２ 则ｋ ． Ａ．１－ Ｂ． Ｃ． Ｄ．
（ ∈｛５，６，７，８，９｝） ， ＝ ２ ２ ４ ４
５ 答案 Ａ 大正方形的边长为 故面积为 易知阴影区域
答案 ２， ４，
７
解析 从集合 中任取两个数的基 的边长为 面积为 所以飞镖落在阴影区域的概率
｛１，２，３，４，５，６，７，８，９，１０｝ ３－１， ４－２ ３，
本事件有 Ｃ ２ １０＝４５ 种 ， 比ｋ小的数有 （ ｋ －１） 个 ， 比 ｋ 大的数有 Ｐ ４－２ ３ ３．故选 ．
ｋ 个 故取到的一个数大于ｋ 另一个数小于ｋ的事件种 ＝ ＝１－ Ａ
（１０－ ） ， ， ４ ２
数为 Ｃ １ｋ －１·Ｃ １ １０－ ｋ＝（ ｋ －１）（１０－ ｋ ）， 所以取到的一个数大于ｋ ， 另 ４．（２０１９江西抚州临川一中期末，９）已知三棱锥Ｓ － ＡＢＣ ， 在该三
一 ｋ 个数小于 ｋ ｋ （ 其中 ｋ ∈｛５，６，７，８，９｝） 的概率 Ｐ ＝ 棱锥内任取一点Ｐ ， 则使Ｖ Ｐ － ＡＢＣ≤ １ ３ Ｖ Ｓ － ＡＢＣ 的概率为 （ ）
（ －１）（１０－ ） 由Ｐ ２ 解得ｋ ｋ 舍去 ．
， ＝ ， ＝７（ ＝４ ）
４５ ５ １ ４ ８ １９
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
３ ９ ２７ ２７
考法二 几何概型概率的求法 答案 Ｄ 作出Ｓ在底面 ＡＢＣ的射影为Ｏ
△ ，
１．（２０１８陕西西北工业大学附属中学模拟）在区间 上随机
［０，４］
地选择一个数ｐ 则方程ｘ２ ｐｘ ｐ 有两个正根的概率为
， － ＋３ －８＝０
（ ）
１ ２ １ １
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
３ ３ ２ ４
答案 Ａ 设方程ｘ２ ｐｘ ｐ 的两个正根为ｘ ｘ
－ ＋３ －８＝０ １、 ２，
{Δ {ｐ２ ｐ
≥０， －４（３ －８）≥０，
则 ｘ ｘ 即 ｐ 解得ｐ 或 ８ ｐ
１＋ ２＞０， ＞０， ≥８ ＜ ≤４，
ｘ ｘ ｐ ３
１ ２＞０， ３ －８＞０， 若Ｖ １ Ｖ 则三棱锥Ｐ ＡＢＣ的高等于 １ ＳＯ Ｐ点落在
Ｐ － ＡＢＣ＝ Ｓ － ＡＢＣ， － ，
８ ３ ３
４－ ＳＥ ＳＤ ＳＦ Ｓ
又ｐ 则所求的概率Ｐ ３ １ ．故选 ． 平面ＥＦＤ上 且 ２ 所以 △ ＥＦＤ ４ 故 Ｖ
∈［０，４］， ＝ ４－０ ＝ ３ Ａ ， ＳＡ＝ＳＢ＝ＳＣ＝ ３ ， Ｓ △ ＡＢＣ ＝ ９ ， Ｓ － ＥＦＤ＝
２．（２０１８河南安阳二模，７）在区间 上任选两个数ｘ和ｙ
［－１，１］ ， ８ Ｖ Ｖ １ Ｖ 的概率Ｐ ８ １９．
则ｘ２ ｙ２ 的概率为 Ｓ － ＡＢＣ，∴ Ｐ － ＡＢＣ≤ Ｓ － ＡＢＣ ＝１－ ＝
＋ ≥１ （ ） ２７ ３ ２７ ２７
７３２ ５年高考３年模拟 Ａ版（教师用书）
１．（２０２０课标Ⅰ文，４，５分）设Ｏ为正方形ＡＢＣＤ的中心 在Ｏ ８．（２０２０北京，１８，１４分）某校为举办甲 乙两项不同活动 分别
， ， 、 ，
Ａ Ｂ Ｃ Ｄ中任取 点 则取到的 点共线的概率为 设计了相应的活动方案 方案一 方案二．为了解该校学生对活
， ， ， ３ ， ３ （ ） ： 、
动方案是否支持 对学生进行简单随机抽样 获得数据如下表
１ ２ １ ４ ， ， ：
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 男生 女生
５ ５ ２ ５
答案 Ａ 支持 不支持 支持 不支持
２．（２０１９课标Ⅰ，６，５ 分）我国古代典籍 周易 方案一 人 人 人 人
《 》 ２００ ４００ ３００ １００
用 卦 描述万物的变化．每一 重卦 由从下到
“ ” “ ” 方案二 人 人 人 人
上排列的 个爻组成 爻分为阳爻 和阴 ３５０ ２５０ １５０ ２５０
６ ， “———” 假设所有学生对活动方案是否支持相互独立．
爻 如图就是一重卦．在所有重卦中随机
“——”， 分别估计该校男生支持方案一的概率 该校女生支持方案
取一重卦 则该重卦恰有 个阳爻的概率是 （１） 、
， ３ （ ） 一的概率
；
５ １１ ２１ １１ 从该校全体男生中随机抽取 人 全体女生中随机抽取
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． （２） ２ ， １
１６ ３２ ３２ １６ 人 估计这 人中恰有 人支持方案一的概率
答案 Ａ ， ３ ２ ；
将该校学生支持方案二的概率估计值记为ｐ ．假设该校一
３．（２０１９课标Ⅱ，４，５ 分）生物实验室有 ５ 只兔子 ， 其中只有 ３ （３） 年级有 名男生和 名女生 除一年级外 ０ 其他年级学
只测量过某项指标．若从这 只兔子中随机取出 只 则恰有 ５００ ３００ ，
５ ３ ， ２ 生支持方案二的概率估计值记为ｐ ．试比较ｐ 与ｐ 的大
只测量过该指标的概率为
（ ） 小． 结论不要求证明 １ ０ １
（ ）
２ ３ ２ １ ９．（２０１９天津，１５，１３分） 年 我国施行个人所得税专项附
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． ２０１９ ，
３ ５ ５ ５
加扣除办法 涉及子女教育 继续教育 大病医疗 住房贷款利
答案 Ｂ
， 、 、 、
４．（２０２１新高考适应卷，２，５分）在 张卡片上分别写上 位同
息或者住房租金
、
赡养老人等六项专项附加扣除．某单位老
、
３ ３
中 青员工分别有 人 现采用分层抽样的方法 从
学的学号后 再把卡片随机分给这 位同学 每人 张 则恰有
、 ７２，１０８，１２０ ， ，
， ３ ， １ ，
位学生分到写有自己学号卡片的概率为
该单位上述员工中抽取 人调查专项附加扣除的享受情况．
２５
１ （ ）
应从老 中 青员工中分别抽取多少人
（１） 、 、 ？
１ １ １ ２
抽取的 人中 享受至少两项专项附加扣除的员工有 人
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
６ ３ ２ ３ （２） ２５ ， ６ ，
答案 Ｃ 分别记为Ａ Ｂ Ｃ Ｄ Ｅ Ｆ．享受情况如下表 其中 表示享
， ， ， ， ， ， “○”
５．（２０１９江苏，６，５分）从 名男同学和 名女同学中任选 名 受 表示不享受．现从这 人中随机抽取 人接受采访．
３ ２ ２ ，“×” ６ ２
同学参加志愿者服务 则选出的 名同学中至少有 名女同学 试用所给字母列举出所有可能的抽取结果
， ２ １ （ｉ） ；
的概率是 ． 设Ｍ为事件 抽取的 人享受的专项附加扣除至少有
（ｉｉ） “ ２
一项相同 求事件Ｍ发生的概率．
答案 ７ ”，
员工
１０ Ａ Ｂ Ｃ Ｄ Ｅ Ｆ
６．（２０１８江苏，６，５分）某兴趣小组有 名男生和 名女生 现 项目
２ ３ ，
从中任选 名学生去参加活动 则恰好选中 名女生的概率为
２ ， ２ 子女教育
○ ○ × ○ × ○
．
继续教育
× × ○ × ○ ○
答案 ３ 大病医疗
× × × ○ × ×
１０
住房贷款利息
７．（２０１７江苏，７，５分）记函数ｆ ｘ ｘ ｘ２的定义域为Ｄ． ○ ○ × × ○ ○
（ ）＝ ６＋ －
在区间 上随机取一个数ｘ 则ｘ Ｄ的概率是 ． 住房租金
［－４，５］ ， ∈ × × ○ × × ×
赡养老人
答案 ５ ○ ○ × × × ○
９
１．（２０１９课标Ⅲ文，３，５分）两位男同学和两位女同学随机排成
一列 则两位女同学相邻的概率是
， （ ）
１ １ １ １
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
６ ４ ３ ２
答案 Ｄ 本题考查古典概型 以现实生活中常见的学生排
，
队问题为背景 考查学生对数学知识的应用意识．
，
设两位男同学分别为Ａ Ｂ 两位女同学分别为ａ ｂ 则四位同
、 ， 、 ，
学排成一列 所有可能的结果用树状图表示为
，
专题十一 概率与统计 ７３３
共 种结果 其中两位女同学相邻的结果有 种 疑难突破 当利用古典概型求概率时 应区分有放回抽取与
２４ ， １２ ， ，
无放回抽取．有放回抽取一般采用画树状图法列出所有的基本
Ｐ 两位女同学相邻 １２ １ 故选 ．
∴ （ ）＝ ＝ ， Ｄ 事件 而无放回抽取一般采用穷举法．
２４ ２ ，
技巧点拨 用树状图列举所有可能的结果是求解古典概型问 ５．（２０１７天津文，３，５分）有 支彩笔 除颜色外无差别 颜色
５ （ ），
题的基本方法之一． 分别为红 黄 蓝 绿 紫．从这 支彩笔中任取 支不同颜色的
、 、 、 、 ５ ２
２．（２０１８课标Ⅱ理，８，５分）我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想 彩笔 则取出的 支彩笔中含有红色彩笔的概率为
， ２ （ ）
的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是 每个大于
“ ４ ３ ２ １
的偶数可以表示为两个素数的和 如 ．在不超过 Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
２ ”， ３０＝７＋２３ ３０ ５ ５ ５ ５
的素数中 随机选取两个不同的数 其和等于 的概率是 答案 Ｃ 本题考查古典概型．
， ， ３０
从 支彩笔中任取 支不同颜色的彩笔 有以下 种情况
（ ） ５ ２ ， １０ ：
红 黄 红 蓝 红 绿 红 紫 黄 蓝 黄 绿
１ １ １ １ （ ， ），（ ， ），（ ， ），（ ， ），（ ， ），（ ， ），
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 黄 紫 蓝 绿 蓝 紫 绿 紫 ．其中含有红色彩笔的
１２ １４ １５ １８ （ ， ），（ ， ），（ ， ），（ ， ）
答案 Ｃ 本题主要考查古典概型． 有 种情况 红 黄 红 蓝 红 绿 红 紫 所以所求
４ ：（ ， ），（ ， ），（ ， ），（ ， ），
不超过 的素数有 共 个 从
３０ ２，３，５，７，１１，１３，１７，１９，２３，２９， １０ ， 事件的概率Ｐ ４ ２ 故选 ．
这 个素数中随机选取两个不同的数 有 ２ 种情况 其 ＝ ＝ ， Ｃ
１０ ， Ｃ１０＝４５ ， １０ ５
６．（２０１６课标Ⅰ文，３，５分）为美化环境 从红 黄 白 紫 种颜
和等于 的情况有 种 则所求概率等于 ３ １ ．故选 ． ， 、 、 、 ４
３０ ３ ， ＝ Ｃ 色的花中任选 种花种在一个花坛中 余下的 种花种在另一
４５ １５ ２ ， ２
方法总结 解决关于古典概型的概率问题关键是正确求出基 个花坛中 则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是
， （ ）
本事件的总数和所求事件包含的基本事件数． 当基本事件
（１） １ １ ２ ５
的总数较少时 可用列举法把所有基本事件一一列举出来． Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
， （２） ３ ２ ３ ６
注意区分排列与组合 正确使用计数原理． 答案 Ｃ 从红 黄 白 紫 种颜色的花中任选 种有以下
， 、 、 、 ４ ２
３．（２０１８课标Ⅱ文，５，５分）从 名男同学和 名女同学中任选 选法 红黄 红白 红紫 黄白 黄紫 白紫 共
２ ３ ：（ ）、（ ）、（ ）、（ ）、（ ）、（ ），
人参加社区服务 则选中的 人都是女同学的概率为 种 其中红色和紫色的花不在同一花坛 亦即黄色和白色的
２ ， ２ （ ） ６ ， （
． ． ． ．
Ａ．０６ Ｂ．０５ Ｃ．０４ Ｄ．０３ 花不在同一花坛 的选法有 种 所以所求事件的概率Ｐ ４
答案 Ｄ 设两名男生为Ａ Ｂ 三名女生为ａ ｂ ｃ 则从 人 ） ４ ， ＝
， ， ， ， ， ５ ６
中任选 人有 Ａ ａ Ａ ｂ Ａ ｃ Ｂ ａ Ｂ ｂ Ｂ ｃ
２ （ ， ），（ ， ），（ ， ），（ ， ），（ ， ），（ ， ）， ２ 故选 ．
ａ ｂ ａ ｃ ｂ ｃ Ａ Ｂ 共 种． 人都是女同学的有 ＝ ， Ｃ
（ ， ），（ ， ），（ ， ），（ ， ）， １０ ２ ３
解后反思 从 种颜色的花中任选 种共有 种情况 不重不
ａ ｂ ａ ｃ ｂ ｃ 共 种 所以所求概率为 ３ ． ． ４ ２ ６ ，
（ ， ），（ ， ），（ ， ）， ３ ， ＝０３ 漏地列举出所有情况是解题关键．
１０
方法总结 古典概型概率的求法 评析 本题主要考查了古典概型、不重不漏地将所有情况列举
：
ｍ 出来是解题关键．
应用公式Ｐ Ａ 求概率的关键是寻求基本事件的总数
（１） （ ）＝ ｎ
和待求事件包含的基本事件的个数． 基本事件个数的确定 ７．（２０１６课标Ⅲ文，５，５分）小敏打开计算机时 忘记了开机密
（２） ，
方法 码的前两位 只记得第一位是 中的一个字母 第二位是
： ， Ｍ，Ｉ，Ｎ ，
列举法 此法适用于基本事件较少的古典概型 中的一个数字 则小敏输入一次密码能够成功开机
① ： ； １，２，３，４，５ ，
列表法 此法适用于从多个元素中选定两个元素的试验 也 的概率是
② ： ， （ ）
可看成是坐标法
； ８ １ １ １
画树状图法 画树状图法是进行列举的一种常用方法 适用 Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
③ ： ， １５ ８ １５ ３０
于有顺序的问题或较复杂问题中基本事件数的探求． 答案 Ｃ 小敏输入密码后两位的所有可能情况如下
：
４．（２０１７课标Ⅱ文，１１，５分）从分别写有 的 张卡
１，２，３，４，５ ５ （Ｍ，１），（Ｍ，２），（Ｍ，３），（Ｍ，４），（Ｍ，５），
片中随机抽取 张 放回后再随机抽取 张 则抽得的第一张
１ ， １ ， （Ｉ，１），（Ｉ，２），（Ｉ，３），（Ｉ，４），（Ｉ，５），
卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为 共 种．
（ ） （Ｎ，１），（Ｎ，２），（Ｎ，３），（Ｎ，４），（Ｎ，５）， １５
而能开机的密码只有一种 所以小敏输入一次密码能够成功开
１ １ ３ ２ ，
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
１０ ５ １０ ５ 机的概率为 １ ．
答案 Ｄ 本题考查古典概型．
１５
画出树状图如图 ８．（２０１６北京文，６，５分）从甲 乙等 名学生中随机选出 人
： 、 ５ ２ ，
则甲被选中的概率为
（ ）
１ ２ ８ ９
可知所有的基本事件共有 个 满足题意的基本事件有 Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
２５ ， １０ ５ ５ ２５ ２５
答案 Ｂ 设这 名学生为甲 乙 丙 丁 戊 从中任选 人
个 故所求概率Ｐ １０ ２ ．故选 ． ５ 、 、 、 、 ， ２
， ＝ ＝ Ｄ 的所有情况有 甲 乙 甲 丙 甲 丁 甲 戊
２５ ５ （ ， ），（ ， ），（ ， ），（ ， ），
思路分析 由树状图列出所有的基本事件 可知共有 个 乙 丙 乙 丁 乙 戊
， ２５ ， （ ， ），（ ， ），（ ， ），
满足题目要求的基本事件共有 个．由古典概型概率公式可 丙 丁 丙 戊
１０ （ ， ），（ ， ），
丁 戊
知所求概率Ｐ １０ ２ ． （ ， ），
＝ ＝ 共 种．
２５ ５ ４＋３＋２＋１＝１０
易错警示 本题易因忽略有放回的抽取而致错． 其中甲被选中的情况有 甲 乙 甲 丙 甲 丁 甲
（ ， ），（ ， ），（ ， ），（ ，
７３４ ５年高考３年模拟 Ａ版（教师用书）
戊 共 种 答案 Ｂ 从 中任取 个不同的数 共有
）， ４ ， １，２，３，４ ２ ， （１，２），
种不同的结果 取出的
故甲被选中的概率为 ４ ２ ．故选 ． （１，３），（１，４），（２，３），（２，４），（３，４）６ ，
＝ Ｂ 个数之差的绝对值为 的有 种结果 概率为
１０ ５ ２ ２ （１，３），（２，４）２ ，
易错警示 在列举基本事件时要不重不漏 可画树状图
， ： １ 故选 ．
， Ｂ
３
１４．（２０１２安徽文，１０，５分）袋中共有 个除了颜色外完全相同
６
的球 其中有 个红球 个白球和 个黑球．从袋中任取两
， １ 、２ ３
评析 本题考查古典概型，属中档题． 球 两球颜色为一白一黑的概率等于
， （ ）
９．（２０１５课标Ⅰ文，４，５分）如果 个正整数可作为一个直角三
３ １ ２ ３ ４
角形三条边的边长 则称这 个数为一组勾股数．从 Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
， ３ １，２，３，４，５ ５ ５ ５ ５
中任取 个不同的数 则这 个数构成一组勾股数的概率为 答案 Ｂ 将同色小球编号．从袋中任取两球 所有基本事
３ ， ３ ，
件为 红 白 红 白 红 黑 红 黑 红 黑
（ ） （ ， １），（ ， ２），（ ， １），（ ， ２），（ ， ３），
白 白 白 黑 白 黑 白 黑 白 黑
． ３ ． １ ． １ ． １ （ １， ２），（ １， １），（ １， ２），（ １， ３），（ ２， １），
Ａ Ｂ Ｃ Ｄ 白 黑 白 黑 黑 黑 黑 黑 黑 黑 共
１０ ５ １０ ２０ （ ２， ２），（ ２， ３），（ １， ２），（ １， ３），（ ２， ３），
答案 Ｃ 从 中任取 个不同的数有 种取法 有 个基本事件 而一白一黑的共有 个 故所求概率 Ｐ
１，２，３，４，５ ３ １０ ： １５ ， ６ ， ＝
（１，２，３），（１，２，４），（１，２，５），（１，３，４），（１，３，５），（１，４，５）， ６ ２ ．故选 ．
其中能构成一组勾股 ＝ Ｂ
（２，３，４），（２，３，５），（２，４，５），（３，４，５）， １５ ５
评析 本题主要考查古典概型概率的求解，同时考查了列
数的有 种 故所求事件的概率Ｐ １ 故选 ．
１ ：（３，４，５）， ＝ ， Ｃ 举法．
１０
１０．（２０１５广东文，７，５分）已知 件产品中有 件次品 其余为 １５．（２０１１课标文，６，５分）有 个兴趣小组 甲 乙两位同学各
５ ２ ， ３ ， 、
合格品．现从这 件产品中任取 件 恰有一件次品的概率为 自参加其中一个小组 每位同学参加各个小组的可能性相同
５ ２ ， ， ，
则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为
（ ） （ ）
． ． ．
Ａ．０４ Ｂ．０６ Ｃ．０８ Ｄ．１ １ １ ２ ３
答案 Ｂ 记 件合格品分别为Ａ Ａ Ａ 件次品分别为 Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
３ １， ２， ３，２ ３ ２ ３ ４
Ｂ Ｂ 从 件产品中任取 件 有 Ａ Ａ Ａ Ａ Ａ 答案 Ａ 甲 乙两人都有 种选择 共有 种情况
１， ２， ５ ２ ， （ １， ２），（ １， ３），（ １， 、 ３ ， ３×３＝９ ，
Ｂ Ａ Ｂ Ａ Ａ Ａ Ｂ Ａ Ｂ Ａ Ｂ Ａ 甲 乙两人参加同一兴趣小组共有 种情况． 甲 乙两人参
１），（ １， ２），（ ２， ３），（ ２， １），（ ２， ２），（ ３， １），（ ３， 、 ３ ∴ 、
Ｂ Ｂ Ｂ 共 种可能．其中恰有一件次品有 种可能
２），（ １， ２）， １０ ６ ， 加同一兴趣小组的概率Ｐ
＝
３
＝
１
，
故选
Ａ
．
由古典概型概率公式得所求事件概率为 ６ ． ．选 ． ９ ３
＝０６ Ｂ 评析 本题主要考查古典概型的概率运算，属容易题．
１０
１１．（２０１４课标Ⅰ理，５，５分） 位同学各自在周六 周日两天中 １６．（２０１１浙江文，８，５分）从装有 个红球 个白球的袋中任
４ 、 ３ 、２
任选一天参加公益活动 则周六 周日都有同学参加公益活动 取 个球 则所取的 个球中至少有 个白球的概率是
， 、 ３ ， ３ １
的概率为
（ ） （ ）
１ ３ ５ ７ １ ３ ３ ９
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
８ ８ ８ ８ １０ １０ ５ １０
答案 Ｄ 由题意知 位同学各自在周六 周日两天中任选 答案 Ｄ 解法一 直接法 所取 个球中至少有 个白
４ 、 （ ）： ３ １
一天参加公益活动有 ２ ４ 种情况 ， 而 ４ 位同学都选周六有 １ 种 球的取法可分为互斥的两类 ： 两红一白有 ６ 种取法 ， 一红两白
情况 位同学都选周日有 种情况 故周六 周日都有同学 有 种取法 而从 个球中任取 个球的取法共有 种 所
，４ １ ， 、 ３ ， ５ ３ １０ ，
参加公益活动的概率为Ｐ ２ ４ －１－１ １４ ７ 故选 ． 以所求概率为 ９ 故选 ．
＝ ２ ４ ＝ １６ ＝ ８ ， Ｄ １０ ， Ｄ
解法二 间接法 至少有一个白球的对立事件为所取 个球
１２．（２０１４陕西文，６，５分）从正方形四个顶点及其中心这 个
（ ）： ３
５
中没有白球 即只有 个红球 共 种取法 故所求概率为
点中 任取 个点 则这 个点的距离小于该正方形边长的概
， ３ ， １ ， １－
， ２ ， ２
率为 １ ９ 故选 ．
（ ） ＝ ， Ｄ
１０ １０
１ ２ ３ ４ １７． （２０１８课标Ⅰ理，１０，５分）下图来自古希腊数学家希
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
答
５
案 Ｂ 设正方
５
形的四个顶点
５
分别是Ａ Ｂ Ｃ
５
Ｄ 中心为
波克拉底所研究的几何图形．此图由三个半圆构成
，
三个半圆
Ｏ 从这 个 点中 任取两个点的事件分别为 、 ＡＢ 、 Ａ 、 Ｃ ， ＡＤ ＡＯ 的直径分别为直角三角形 ＡＢＣ 的斜边 ＢＣ ， 直角边 ＡＢ ， ＡＣ．
ＢＣ
，
ＢＤ
５
ＢＯ ＣＤ Ｃ
，
Ｏ ＤＯ 共有 种 其中只有顶
、
点到
、
中
、
心Ｏ
、
△
ＡＢＣ的三边所围成的区域记为
Ⅰ，
黑色部分记为
Ⅱ，
其余部
的距
、
离
、
小于
、
正方
、
形的
、
边长
，
分别
１０
是Ａ
，
Ｏ ＢＯ ＣＯ ＤＯ 共有 种．
分记为
Ⅲ
．在整个图形中随机取一点
，
此点取自
Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ
的概
， 、 、 、 ， ４ 率分别记为ｐ ｐ ｐ 则
故满足条件的概率Ｐ ４ ２ ．故选 ． １， ２， ３， （ ）
＝ ＝ Ｂ
１０ ５
评析 本题考查古典概型知识，考查分析问题及阅读理解的
能力．理解只有顶点到中心的距离小于边长是解题的关键．
１３．（２０１３课标Ⅰ文，３，５分）从 中任取 个不同的数
１，２，３，４ ２ ，
则取出的 个数之差的绝对值为 的概率是
２ ２ （ ）
１ １ １ １
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
２ ３ ４ ６
专题十一 概率与统计 ７３５
ｐ ｐ ｐ ｐ ｐ ｐ ｐ ｐ ｐ 答案 Ｃ 如图 数对 ｘ ｙ ｉ ｎ 表示的点落在
Ａ． １＝ ２ Ｂ． １＝ ３ Ｃ． ２＝ ３ Ｄ． １＝ ２＋ ３ ， （ ｉ， ｉ）（ ＝１，２，…， ）
答案 Ａ 本题主要考查几何概型概率的求法． 边长为 的正方形ＯＡＢＣ内 包括边界 两数的平方和小于
１ （ ），
不妨设ＢＣ ＡＢ ＡＣ 则 ＡＢＣ三边所围成的区域 的数对表示的点落在半径为 的四分之一圆 阴影部分
＝５， ＝４， ＝３， △ Ⅰ １ １ （ ）
( )
２
的面积Ｓ １ 区域 的面积Ｓ π ５ Ｓ １
１＝ ×３×４＝６， Ⅲ ３＝ × － １＝ ｍ π ｍ
２ ２ ２ 内 则由几何概型的概率公式可得 ４ ４ ．故选 ．
( ) ２ ( ) ， ｎ ＝ ２ ⇒π＝ ｎ Ｃ
２５π 区域 的面积Ｓ π ２ π ３ ２５π １
－６， Ⅱ ２＝ ×２ ＋ × － －６ ＝６，
８ ２ ２ ２ ８
所以Ｓ Ｓ Ｓ 由几何概型的概率公式可知 ｐ ｐ ｐ 故
１＝ ２＞ ３， １＝ ２＞ ３，
选 ．
Ａ
方法总结 与面积有关的几何概型的解法
求与面积有关的几何概型的概率时 关键是弄清某事件所有
，
结果对应的平面区域的形状并能正确计算面积．必要时可根
２１． （２０１６课标Ⅱ文，８，５ 分）某路口人行横道的信号灯
据题意构造两个变量 利用平面直角坐标系 找到全部试验结
， ，
为红灯和绿灯交替出现 红灯持续时间为 秒．若一名行人
果构成的平面图形及某事件所有结果构成的平面图形 以便 ， ４０
来到该路口遇到红灯 则至少需要等待 秒才出现绿灯的概
，
求解． ， １５
率为
１８． （２０１７ 课标Ⅰ，理２，文４，５ 分）如图 正方形 ＡＢＣＤ （ ）
，
内的图形来自中国古代的太极图．正方形内切圆中的黑色部
Ａ．
７
Ｂ．
５
Ｃ．
３
Ｄ．
３
１０ ８ ８ １０
分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随 答案 Ｂ 行人在红灯亮起的 秒内到达该路口 即满足
２５ ，
机取一点 则此点取自黑色部分的概率是 至少需要等待 秒才出现绿灯 根据几何概型的概率公式知
， （ ） １５ ，
所求事件的概率Ｐ ２５ ５ 故选 ．
＝ ＝ ， Ｂ
４０ ８
评析 本题主要考查几何概型，理清题意是解题的关键．
２２． （２０１５湖北理，２，５ 分）我国古代数学名著 数书九
《
章 有 米谷粒分 题 粮仓开仓收粮 有人送来米 石 验
》 “ ” ： ， １５３４ ，
得米内夹谷 抽样取米一把 数得 粒内夹谷 粒 则这批
， ， ２５４ ２８ ，
１ π １ π 米内夹谷约为
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． （ ）
４ ８ ２ ４ 石 石 石 石
答案 Ｂ 本题考查几何概型． Ａ．１３４ Ｂ．１６９ Ｃ．３３８ Ｄ．１３６５
设正方形的边长为 则正方形的内切圆半径为 其中黑色 答案 Ｂ ２８ 这批米内夹谷约为
２， １， ∵ ×１ ５３４≈１６９，∴
部分和白色部分关于正方形的中心对称 则黑色部分的面积 ２５４
， 石．
１６９
为π 所以在正方形内随机取一点 此点取自黑色部分的概 ２３． （２０１５陕西理，１１，５分）设复数ｚ ｘ ｙ ｘ ｙ
， ， ＝（ －１）＋ ｉ（ ， ∈
２ Ｒ 若 ｚ 则ｙ ｘ的概率为
）， ｜ ｜≤１， ≥ （ ）
π
３ １ １ １ １ １ １ １
率Ｐ ２ π 故选 ． Ａ． ＋ Ｂ． － Ｃ． － Ｄ． ＋
＝ ＝ ， Ｂ ４ ２π ４ ２π ２ π ２ π
２×２ ８ 答案 Ｂ ｚ ｘ ２ ｙ２ 表示以Ｍ 为
１９． （２０１６ 课标Ⅰ理，４，５ 分）某公司的班车在 ∵ ｜ ｜≤１，∴ （ －１） ＋ ≤１， （１，０）
７：３０，８： 圆心 为半径的圆及其内部 该圆的面积为 ．易知直线ｙ ｘ
发车 小明在 至 之间到达发车站乘坐班 ，１ ， π ＝
００，８：３０ ， ７：５０ ８：３０ 与圆 ｘ ２ ｙ２ 相交于Ｏ Ａ 两点 作图如下
车 且到达发车站的时刻是随机的 则他等车时间不超过 （ －１） ＋ ＝１ （０，０）， （１，１） ， ：
， ， １０
分钟的概率是
（ ）
１ １ ２ ３
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
３ ２ ３ ４
答案 Ｂ 解法一 的班车小明显然是坐不到了．当小
：７：３０
明在 前到达 或者 之后到达 他等车的时间将不超
８：００ ， ８：２０ ，
过 分钟 故所求概率为１０＋１０ １ ．故选 ．
１０ ， ４０ ＝ ２ Ｂ ∵ ∠ ＯＭＡ ＝９０ ° ，∴ Ｓ 阴影＝ π － １ ×１×１＝ π － １ ．
解法二 当小明到达车站的时刻超过 但又不到 ４ ２ ４ ２
： ８：００， ８：２０
时 等车时间将超过 分钟 其他时刻到达车站时 等车时间 Ｓ π － １
， １０ ， ， 故所求的概率Ｐ 阴影 ４ ２ １ １ ．
＝Ｓ ＝ ＝ －
将不超过 １０ 分钟 ， 故等车时间不超过 １０ 分钟的概率为 １－ ２０ ２４． （２０１５山东 ☉ 文 Ｍ ，７，５ π 分）在 ４ 区 ２ 间 π 上随机地取一
４０ ［０，２］
( )
＝ ２ １ ． 个数ｘ ， 则事件 “－１≤ｌｏｇ１ ２ ｘ ＋ ２ １ ≤１” 发生的概率为 （ ）
２０． （２０１６课标Ⅱ理，１０，５分）从区间 随机抽取 ｎ
［０，１］ ２ ３ ２ １ １
个数ｘ １， ｘ ２，…， ｘ ｎ， ｙ １， ｙ ２，…， ｙ ｎ， 构成 ｎ 个数对 （ ｘ １， ｙ １），（ ｘ ２， Ａ． ４ Ｂ． ３ Ｃ． ３ Ｄ． ４
ｙ ｘ ｙ 其中两数的平方和小于 的数对共有ｍ个 ( )
２），…，（ ｎ， ｎ）， １ ， 答案 Ａ 由 ｘ １ 得 １ ｘ １
则用随机模拟的方法得到的圆周率 的近似值为 －１≤ｌｏｇ１ ２ ＋ ≤１， ≤ ＋ ≤２，
π （ ） ２ ２ ２
ｎ ｎ ｍ ｍ ( )
４ ２ ４ ２ 解得 ｘ ３ 所以事件 ｘ １ 发生的概率
Ａ．ｍ Ｂ．ｍ Ｃ． ｎ Ｄ． ｎ ０≤ ≤ ， “－１≤ｌｏｇ１ ２ ＋ ≤１”
２ ２
７３６ ５年高考３年模拟 Ａ版（教师用书）
为
３
２ ３ 故选 ． 答案 Ｂ Ｐ
Ｓ
半圆 ２
１ ×π×１ ２
π．故选 ．
＝ ， Ａ ＝Ｓ ＝ ＝ Ｂ
２ ４ 矩形 ２×１ ４
２５． （２０１５福建文，８，５分）如图 矩形ＡＢＣＤ中 点Ａ在ｘ ２９． （２０１３陕西理，５，５分）如图 在矩形区域ＡＢＣＤ的Ａ
， ， ， ，
轴上 点 Ｂ 的坐标为 且点 Ｃ 与点 Ｄ 在函数 ｆ ｘ Ｃ两点处各有一个通信基站 假设其信号的覆盖范围分别是
， （１，０）， （ ）＝ ，
{ｘ ｘ 扇形区域ＡＤＥ和扇形区域ＣＢＦ 该矩形区域内无其他信号来
＋１， ≥０， （
的图象上．若在矩形ＡＢＣＤ内随机取一点 则 源 基站工作正常 ．若在该矩形区域内随机地选一地点 则该
１ ｘ ｘ ， ， ） ，
－ ＋１， ＜０ 地点无信号的概率是
２ （ ）
此点取自阴影部分的概率等于 ∙
（ ）
π π π π
Ａ．１－ Ｂ． －１ Ｃ．２－ Ｄ．
４ ２ ２ ４
１ １ ３ １ 答案 Ａ 依题意知 有信号的区域面积为π π 矩形
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． ， ×２＝ ，
６ ４ ８ ２ ４ ２
答案 Ｂ 易知点Ｃ的坐标为 点Ｄ的坐标为
（１，２）， （－２， π
２－
２）， 所以矩形ＡＢＣＤ的面积为 ６， 阴影部分的面积为 ３ ， 故所 面积为 ２， 故无信号的概率Ｐ ＝ ２ ＝１－ π．
２ ３０． （２０１３四川理，９，５分）节 ２ 日前夕 ４ 小李在家门前的树
求概率为 １ ． 上挂了两串彩灯．这两串彩灯的第一次闪亮 ， 相互独立 且都在
４ ，
２６． （２０１５湖北文，８，５分）在区间 上随机取两个数 通电后的 秒内任一时刻等可能发生 然后每串彩灯以 秒
［０，１］ ４ ， ４
为间隔闪亮．那么这两串彩灯同时通电后 它们第一次闪亮的
ｘ ｙ 记ｐ 为事件 ｘ ｙ １ 的概率 ｐ 为事件 ｘｙ １ 的概率 则 ，
， ， １ “ ＋ ≤ ２ ” ， ２ “ ≤ ２ ” ， 时刻相差不超过 ２ 秒的概率是 （ ）
（ ） １ １ ３ ７
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
４ ２ ４ ８
Ａ．
ｐ
１＜
ｐ
２＜ ２
１
Ｂ．
ｐ
２＜ ２
１
＜
ｐ
１ Ｃ．
１
２ ＜
ｐ
２＜
ｐ
１ Ｄ．
ｐ
１＜ ２
１
＜
ｐ
２
答案 Ｃ 设通电ｘ秒后第一串彩灯闪亮
，
ｙ秒后第二串彩
答案 Ｄ （ ｘ ， ｙ ） 构成的区域是边长为 １ 的正方形及其内 灯闪亮．依题意得 ０≤ ｘ ≤４，０≤ ｙ ≤４，∴ Ｓ ＝４×４＝１６ ．
又两串彩灯闪亮的时刻相差不超过 秒 即 ｘ ｙ 如图可
部 其中满足ｘ ｙ １ 的区域如图 中阴影部分所示 所以 ２ ， ｜ － ｜≤２，
， ＋ ≤ ２ （１） ， 知 符合要求的Ｓ′ １ １
， ＝１６－ ×２×２－ ×２×２＝１２，
２ ２
１ × １ × １ Ｓ′
ｐ １＝ ２ １× ２ １ ２ ＝ ８ １ ， 满足ｘｙ ≤ １ ２ 的区域如图 （２） 中阴影部分 ∴ Ｐ ＝ Ｓ ＝ １ １ ６ ２ ＝ ４ ３ ．
１ Ｓ
所示 所以ｐ Ｓ １＋ Ｓ ２ ２ ＋ ２ １ 所以ｐ １ ｐ 故选 ．
， ２＝ ＝ ＞ ， １＜ ＜ ２， Ｄ
１×１ １ ２ ２
３１． （２０１３湖南文，９，５分）已知事件 在矩形ＡＢＣＤ的边
“
ＣＤ上随机取一点Ｐ 使 ＡＰＢ的最大边是ＡＢ 发生的概率为
２７． （２０１４湖南文，５，５分）在区间 上随机选取一 ， △ ”
［－２，３］ ＡＤ
个数Ｘ 则Ｘ 的概率为 １ 则
， ≤１ （ ） ， ＡＢ＝ （ ）
２
４ ３ ２ １
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． １ １ ３ ７
５ ５ ５ ５ Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
答案 Ｂ 区间 的长度为 区间 的长度为 ２ ４ ２ ４
［－２，３］ ５， ［－２，１］ 答案 Ｄ 矩形ＡＢＣＤ如图所示 在点Ｐ从Ｄ点向Ｃ点运
，
因此Ｐ Ｘ ３ 选 ． 动过程中 ＤＰ在增大 ＡＰ也在增大 而ＢＰ在逐渐减小 当Ｐ
３， （ ≤１）＝ ， Ｂ ， ， ， ，
５ 点到Ｐ 位置时 ＢＡ ＢＰ 当Ｐ点到Ｐ 位置时 ＡＢ ＡＰ 故点
２８． （２０１４辽宁文，６，５分）若将一个质点随机投入如图 １ ， ＝ １， ２ ， ＝ ２，
Ｐ在线段Ｐ Ｐ 上时 ＡＢＰ中边ＡＢ最大 由题意可得Ｐ Ｐ
所示的长方形ＡＢＣＤ中 其中ＡＢ ＢＣ 则质点落在以ＡＢ １ ２ ，△ ， １ ２＝
， ＝２， ＝１，
为直径的半圆内的概率是 １ ＣＤ．在 ＢＣＰ 中 ＢＰ２ ９ ＣＤ２ ＢＣ２ ９ ＡＢ２ ＡＤ２ ＡＢ２．
（ ） Ｒｔ△ １ ， １＝ ＋ ＝ ＋ ＝
２ １６ １６
ＡＤ
即ＡＤ２ ７ ＡＢ２ 所以 ７ 故选 ．
＝ ， ＡＢ＝ ， Ｄ
１６ ４
π π π π
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
２ ４ ６ ８
专题十一 概率与统计 ７３７
{ ｘ
３２． （２０１２北京理，２，５分）设不等式组 ０≤ ≤２，表示的
ｙ
０≤ ≤２
平面区域为Ｄ．在区域Ｄ内随机取一个点 则此点到坐标原点
，
的距离大于 的概率是
２ （ ）
π π－２ π ４－π
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
４ ２ ６ ４
{ ｘ
答案 Ｄ 如图 不等式组 ０≤ ≤２，表示的区域Ｄ为正方
， ｙ
０≤ ≤２
形ＯＡＢＣ．
以Ｏ为圆心 以 为半径作ＡＭＣ
， ２
(
Ｐ Ａ ２ １ ．
∴ （ ）＝ ＝
１２ ６
易错警示 对ａ ｂ取值时要注意顺序．
，
评析 本题考查了古典概型．正确列举出基本事件是解题的
关键．
３６．（２０１４课标Ⅰ文，１３，５分）将 本不同的数学书和 本语文
２ １
书在书架上随机排成一行 则 本数学书相邻的概率为
， ２
．
答案 ２
则阴影部分内的点到原点Ｏ的
３
，
解析 设 本不同的数学书为ａ ａ 本语文书为ｂ 在书
距离大于 所求概率Ｐ Ｓ 阴影 ２×２－ ４ １ ·π·２ ２ ４－π．故 架上的 排法 ２ 有 ａ １ ａ ２ ｂ ， ａ １ ｂａ ２， ａ ２ ａ １ ｂ １ ， 、 ａ ２ ２ ， ｂ １ ａ １， ｂａ １ ａ ２， ｂａ ２ ａ １ ， ， 共 ６
选 ． ２，∴ ＝Ｓ 正方形 ＝ ２×２ ＝ ４ 种 ， 其中 ２ 本数学书相邻的有ａ １ ａ ２ ｂ ， ａ ２ ａ １ ｂ ， ｂａ １ ａ ２， ｂａ ２ ａ １， 共 ４
Ｄ 种 因此 本数学书相邻的概率Ｐ ４ ２ ．
， ２ ＝ ＝
６ ３
３７．（２０１４课标Ⅱ文，１３，５ 分）甲 乙两名运动员各自等可能地
、
从红 白 蓝 种颜色的运动服中选择 种 则他们选择相同
、 、 ３ １ ，
颜色运动服的概率为 ．
答案 １
３
评析 本题主要考查几何概型，能正确画图是关键． 解析 甲 乙的选择方案有红红 红白 红蓝 白红 白白 白
、 、 、 、 、 、
３３． （２０１２辽宁文，１１，５分）在长为 的线段ＡＢ上 蓝 蓝红 蓝白 蓝蓝 种 其中颜色相同的有 种 所以所求
１２ ｃｍ 、 、 、 ９ ， ３ ，
任取一点Ｃ．现作一矩形 邻边长分别等于线段ＡＣ ＣＢ的长
， ， ， 概率为 ３ １ ．
则该矩形面积大于 ２ 的概率为 ９ ＝ ３
２０ ｃｍ （ ）
３８．（２０１４江苏，４，５分）从 这 个数中一次随机地取
１，２，３，６ ４ ２
１ １ ２ ４
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 个数 则所取 个数的乘积为 的概率是 ．
６ ３ ３ ５ ， ２ ６
答案 Ｃ 设ＡＣ ｘ 则ＢＣ ｘ ｘ
＝ ｃｍ， ＝（１２－ ）ｃｍ（０＜ ＜１２）， 答案 １
∴ 矩形面积为ｘ （１２－ ｘ ）ｃｍ ２ ， ３
由ｘ ｘ 解得ｘ 或ｘ 解析 从 这 个数中一次随机地取 个数 有
（１２－ ）＜３２ ＞８ ＜４， １，２，３，６ ４ ２ ， （１，
ｘ 或 ｘ ． 共 种情况．
∴０＜ ＜４ ８＜ ＜１２ ２），（１，３），（１，６），（２，３），（２，６），（３，６）， ６
满足条件的有 共 种情况．
所求概率为４＋４ ２ 故选 ． （２，３），（１，６）， ２
∴ ＝ ， Ｃ
１２ ３ 故Ｐ ２ １ ．
３４．（２０１８上海，９，５ 分）有编号互不相同的五个砝码 其中 ＝ ＝
， ５ ６ ３
克 克 克砝码各一个 克砝码两个 从中随机选取三个 ３９．（２０１４浙江文，１４，４分）在 张奖券中有一 二等奖各 张
、３ 、１ ，２ ， ， ３ 、 １ ，
则这三个砝码的总质量为 克的概率是 结果用最 另 张无奖．甲 乙两人各抽取 张 两人都中奖的概率是 ．
９ （ １ 、 １ ，
简分数表示 ．
） 答案 １
答案 １ ３
解析 设Ａ 为一等奖奖券 Ｂ 为二等奖奖券 Ｃ 为无奖奖
５ ， ，
解析 本题主要考查古典概型的概率计算．记 克 克 券 则甲 乙两人抽取的所有可能结果为ＡＢ ＢＡ ＡＣ ＣＡ ＢＣ
５ 、３ 、１ ， 、 、 、 、 、 、
克砝码分别为 两个 克砝码分别为 ａ ｂ 则从这五 ＣＢ 共 种．而甲 乙两人都中奖的情况有ＡＢ ＢＡ 共 种．故
５、３、１， ２ ２ ，２ ， ， ６ 、 、 ， ２
个砝码中随机选取三个 有以下选法 ａ
， ：（５，３，１），（５，３，２ ）， 所求概率为 ２ １ ．
ｂ ａ ｂ ａ ｂ ａ ＝
（５，３，２ ），（５，１，２ ），（５，１，２ ），（５，２ ，２ ），（３，１，２ ），（３， ６ ３
ｂ ａ ｂ ａ ｂ 共 种 其中满足三个砝码 ４０．（２０１３课标Ⅱ文，１３，５分）从 中任意取出两个不
１，２ ），（３，２ ，２ ），（１，２ ，２ ）， １０ ， １，２，３，４，５
的总质量为 克的有 ａ ｂ 共 种 故所求概 同的数 其和为 的概率是 ．
９ （５，３，１），（５，２ ，２ ）， ２ ， ， ５
答案 ．
率Ｐ ２ １ ． ０２
＝ ＝ 解析 任取两个不同的数的情况有
１０ ５ ：（１，２），（１，３），（１，４），
３５．（２０１６ 四川文，１３，５ 分）从 中任取两个不同的数 共
２，３，８，９ （１，５），（２，３），（２，４），（２，５），（３，４），（３，５），（４，５）， １０
字 分别记为ａ ｂ 则 ｂ为整数的概率是 ．
， ， ， ｌｏｇａ 种 其中和为 的有 种 所以所求概率为 ２ ． ．
， ５ ２ ， ＝０２
答案 １ １０
４１．（２０１６山东理，１４，５分）在 上随机地取一个数ｋ 则
６ ［－１，１］ ，
解析 所有的基本事件有 事件 直线 ｙ ｋｘ 与圆 ｘ ２ ｙ２ 相交 发生的概
（２，３），（２，８），（２，９），（３，２）， “ ＝ （ －５） ＋ ＝ ９ ”
率为 ．
（３，８），（３，９），（８，２），（８，３），（８，９），（９，２），（９，３），（９，８），
共 个．
１２ 答案 ３
记 ｂ为整数 为事件Ａ
“ｌｏｇａ ” ， ４
则事件Ａ包含的基本事件有 共 个． 解析 直线ｙ ｋｘ与圆 ｘ ２ ｙ２ 相交的充要条件为
（２，８），（３，９）， ２ ＝ （ －５） ＋ ＝９
７３８ ５年高考３年模拟 Ａ版（教师用书）
( ) 获得好评的第四类电影的概率
３ ３ ；
ｋ － － 随机选取 部电影 估计这部电影没有获得好评的概率
｜５ －０｜ 解之得 ３ ｋ ３ 故所求概率为Ｐ ４ ４ （２） １ ， ；
１＋ ｋ２ ＜３， － ４ ＜ ＜ ４ ， ＝ １－（－１） （３） 电影公司为增加投资回报 ， 拟改变投资策略 ， 这将导致不
同类型电影的好评率发生变化．假设表格中只有两类电影
３ ．
＝ 的好评率数据发生变化 那么哪类电影的好评率增加 ．
４ ， ０
思路分析 直线ｙ ｋｘ与圆 ｘ ２ ｙ２ 相交的充要条件为 哪类电影的好评率减少 ． 使得获得好评的电影总部
＝ （ －５） ＋ ＝９ １， ０１，
圆心 到直线 ｙ ｋｘ 的距离小于半径 从而求得 ｋ 的范 数与样本中的电影总部数的比值达到最大 只需写出
（５，０） ＝ ， ？ （
围 再利用几何概型的概率公式来求解概率． 结论
， ）
评析 本题将直线与圆的位置关系、点到直线的距离与几何 解析 由题意知 样本中电影的总部数是
（１） ， １４０＋５０＋３００
概型巧妙结合，主要考查了运算求解能力及数形结合的思想
＋２００＋８００＋５１０＝２０００，
方法，属中档题． 第四类电影中获得好评的电影部数是 ． ．
２００×０２５＝５０
４２． （２０１４福建文，１３，４分）如图 在边长为 的正方形
， １ 故所求概率为 ５０ ． ．
中随机撒 粒豆子 有 粒落到阴影部分 据此估计阴 ＝００２５
１０００ ， １８０ ， ２０００
影部分的面积为 ． 由题意知 样本中获得好评的电影部数是
（２） ，
． ． ． ． ． ．
１４０×０４＋５０×０２＋３００×０１５＋２００×０２５＋８００×０２＋５１０×０１
＝５６＋１０＋４５＋５０＋１６０＋５１
．
＝３７２
故所求概率估计为 ３７２ ． ．
１－ ＝０８１４
２０００
增加第五类电影的好评率 减少第二类电影的好评率．
答案 ． （３） ，
０１８ ４５．（２０１８天津文，１５，１３分）已知某校甲 乙 丙三个年级的学
Ｓ 、 、
解析 设阴影部分的面积为Ｓ 则 １８０ 生志愿者人数分别为 ．现采用分层抽样的方法从
， ＝ ， ２４０，１６０，１６０
１×１ １０００ 中抽取 名同学去某敬老院参加献爱心活动．
Ｓ ． ． ７
∴ ＝０１８ 应从甲 乙 丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多
４３． （２０１４重庆文，１５，５分）某校早上 开始上课 假 （１） 、 、
８：００ ， 少人
设该校学生小张与小王在早上 之间到校 且每人
？
在该时间段的任何时刻到校是 ７ 等 ：３ 可 ０ 能 ～７ 的 ：５０ 则小张比小 ， 王至少 设抽出的 名同学分别用Ａ Ｂ Ｃ Ｄ Ｅ Ｆ Ｇ表示 现从中
（２） ７ ， ， ， ， ， ， ，
，
早 分钟到校的概率为 ． 用数字作答
随机抽取
２
名同学承担敬老院的卫生工作．
５ （ ）
试用所给字母列举出所有可能的抽取结果
答案 ９ ① ；
设Ｍ为事件 抽取的 名同学来自同一年级 求事件
３２ ② “ ２ ”，
解析 设小张和小王到校的时间分别为 ｙ 和 ｘ 则 Ｍ发生的概率．
，
{ ｘ 解析 本小题主要考查随机抽样 用列举法计算随机事件
３０≤ ≤５０， 、
ｙ 则满足条件的区域如图中阴影部分所示． 所含的基本事件数 古典概型及其概率计算公式等基本知识．
３０≤ ≤５０， 、
ｙ ｘ 考查运用概率知识解决简单实际问题的能力．
－ ≥５，
由已知 甲 乙 丙三个年级的学生志愿者人数之比为
１ （１） ， 、 、
×１５×１５ 由于采用分层抽样的方法从中抽取 名同学 因此应
故所求概率Ｐ ２ ９ ． ３ ∶ ２ ∶ ２， ７ ，
＝ ＝ 从甲 乙 丙三个年级的学生志愿者中分别抽取 人 人 人．
２０×２０ ３２ 、 、 ３ ，２ ，２
从抽出的 名同学中随机抽取 名同学的所有可能结
（２）① ７ ２
果为 Ａ Ｂ Ａ Ｃ Ａ Ｄ Ａ Ｅ Ａ Ｆ Ａ Ｇ Ｂ Ｃ
｛ ， ｝，｛ ， ｝，｛ ， ｝，｛ ， ｝，｛ ， ｝，｛ ， ｝，｛ ， ｝，
Ｂ Ｄ Ｂ Ｅ Ｂ Ｆ Ｂ Ｇ Ｃ Ｄ Ｃ Ｅ Ｃ Ｆ Ｃ
｛ ， ｝，｛ ， ｝，｛ ， ｝，｛ ， ｝，｛ ， ｝，｛ ， ｝，｛ ， ｝，｛ ，
Ｇ Ｄ Ｅ Ｄ Ｆ Ｄ Ｇ Ｅ Ｆ Ｅ Ｇ Ｆ Ｇ 共
｝，｛ ， ｝，｛ ， ｝，｛ ， ｝，｛ ， ｝，｛ ， ｝，｛ ， ｝，
种．
２１
由 不妨设抽出的 名同学中 来自甲年级的是 Ａ Ｂ
② （１）， ７ ， ， ，
Ｃ 来自乙年级的是Ｄ Ｅ 来自丙年级的是Ｆ Ｇ 则从抽出的
， ， ， ， ， ７
名同学中随机抽取的 名同学来自同一年级的所有可能结果
２
评析 本题考查几何概型及数学建模的能力，考查转化与化 为
｛
Ａ
，
Ｂ
｝，｛
Ａ
，
Ｃ
｝，｛
Ｂ
，
Ｃ
｝，｛
Ｄ
，
Ｅ
｝，｛
Ｆ
，
Ｇ
｝，
共
５
种．
归思想的应用．本题的易错点是搞错事件发生的区域．
所以 事件Ｍ发生的概率Ｐ Ｍ ５ ．
， （ ）＝
４４．（２０１８北京文，１７，１３分）电影公司随机收集了电影的有关 ２１
数据 经分类整理得到下表 易错警示 解决古典概型问题时 需注意以下几点
， ：
， ：
忽视基本事件的等可能性导致错误
电影类型 第一类 第二类 第三类 第四类 第五类 第六类 （１） ；
列举基本事件考虑不全面导致错误
电影部数 （２） ；
１４０ ５０ ３００ ２００ ８００ ５１０ 在求基本事件总数和所求事件包含的基本事件数时 一
（３） ，
好评率 ． ． ． ． ． ． 个按有序 一个按无序处理导致错误．
０４ ０２ ０１５ ０２５ ０２ ０１ ，
好评率是指 一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数 ４６．（２０１７山东文，１６，１２分）某旅游爱好者计划从 个亚洲国
： ３
的比值． 家Ａ Ａ Ａ 和 个欧洲国家 Ｂ Ｂ Ｂ 中选择 个国家去
１， ２， ３ ３ １， ２， ３ ２
从电影公司收集的电影中随机选取 部 求这部电影是 旅游．
（１） １ ，
专题十一 概率与统计 ７３９
若从这 个国家中任选 个 求这 个国家都是亚洲国家 记 ｘｙ 为事件Ｂ ｘｙ 为事件Ｃ
（１） ６ ２ ， ２ （２） “ ≥８” ，“３＜ ＜８” ，
的概率 则事件Ｂ包含的基本事件数共 个
； ６ ，
若从亚洲国家和欧洲国家中各任选 个 求这 个国家 即 ．
（２） １ ， ２ （２，４），（３，３），（３，４），（４，２），（４，３），（４，４）
包括Ａ 但不包括Ｂ 的概率．
１ １ 所以Ｐ Ｂ ６ ３ ．
解析 由题意知 从 个国家中任选两个国家 其一切 （ ）＝ ＝
（１） ， ６ ， １６ ８
可能的结果组成的基本事件有 Ａ Ａ Ａ Ａ Ａ Ａ 事件Ｃ包含的基本事件数共 个
Ａ Ｂ Ａ Ｂ Ａ Ｂ ： Ａ ｛ １ Ｂ ， ２｝，｛ Ａ １， Ｂ ３｝，｛ Ａ ２， Ｂ ３｝， 即 ５ ， ．
｛ １， １｝，｛ １， ２｝，｛ １， ３｝，｛ ２， １｝，｛ ２， ２｝，｛ ２， ３｝， （１，４），（２，２），（２，３），（３，２），（４，１）
Ａ Ｂ Ａ Ｂ Ａ Ｂ Ｂ Ｂ Ｂ Ｂ Ｂ Ｂ
｛
共
３，
个
１｝
．
，｛ ３， ２｝，｛ ３， ３｝，｛ １， ２｝，｛ １， ３｝，｛ ２， ３｝， 所以Ｐ
（
Ｃ
）＝
５ ．因为 ３
＞
５
，
１５ １６ ８ １６
所选两个国家都是亚洲国家的事件所包含的基本事件有
所以小亮获得水杯的概率大于获得饮料的概率．
：
Ａ Ａ Ａ Ａ Ａ Ａ 共 个 易错警示 本题出错的原因有两个 理解不清题意 不能
：（１） ，
｛ １， ２｝，｛ １， ３｝，｛ ２， ３｝， ３ ，
将基本事件列举出来 列举基本事件有遗漏．
则所求事件的概率Ｐ ３ １ ． ；（２）
＝ ＝ 评析 本题主要考查了古典概型，理解题意，不重不漏地列举
１５ ５
从亚洲国家和欧洲国家中各任选一个 其一切可能的结 出基本事件是解题关键．
（２） ，
果组成的基本事件有 Ａ Ｂ Ａ Ｂ Ａ Ｂ Ａ ４８．（２０１５天津文，１５，１３分）设甲 乙 丙三个乒乓球协会的运
Ｂ Ａ Ｂ Ａ Ｂ
：｛ １，
Ａ
１｝
Ｂ
，｛ １，
Ａ
２｝
Ｂ
，｛ １，
Ａ
３｝
Ｂ
，｛
共
２，
动员人数分别为 ．现采用
、
分层
、
抽样的方法从这三个协
１ 个 ｝， ． ｛ ２， ２｝，｛ ２， ３｝，｛ ３， １｝，｛ ３， ２｝，｛ ３， ３｝， 会中抽取 名运动 ２７ 员 ，９ 组 ，１ 队 ８ 参加比赛．
９ ６
包括Ａ 但不包括Ｂ 的事件所包含的基本事件有 Ａ Ｂ 求应从这三个协会中分别抽取的运动员的人数
Ａ Ｂ １ 共 个 １ ：｛ １， ２｝， （１） 将抽取的 名运动员进行编号 编号分别为 Ａ ； Ａ Ａ
｛ １， ３｝， ２ ， （２）
Ａ Ａ Ａ ．现
６
从这 名运动员中随
，
机抽取 人参
１，
加
２
双
，
打
３，
则所求事件的概率Ｐ ２ ． ４， ５， ６ ６ ２
＝ 比赛．
９
方法总结 求古典概型概率的一般步骤 用所给编号列出所有可能的结果
： （ｉ） ；
．求出所有基本事件的个数ｎ 常用的方法有列举法 列表法 设Ａ为事件 编号为Ａ 和Ａ 的两名运动员中至少有
１ ， 、 、 （ｉｉ） “ ５ ６
画树状图法 人被抽到 求事件Ａ发生的概率．
； １ ”，
．求出事件Ａ所包含的基本事件的个数ｍ 解析 应从甲 乙 丙三个协会中抽取的运动员人数分
２ ； （１） 、 、
ｍ 别为 ．
．代入公式Ｐ Ａ 求解． ３，１，２
３ （ ）＝ ｎ 从 名运动员中随机抽取 人参加双打比赛的所有
（２）（ｉ） ６ ２
４７．（２０１６山东文，１６，１２分）某儿童乐园在 六一 儿童节推出 可能结果为 Ａ Ａ Ａ Ａ Ａ Ａ Ａ Ａ Ａ Ａ
“ ” ｛ １， ２｝，｛ １， ３｝，｛ １， ４｝，｛ １， ５｝，｛ １， ６｝，
了一项趣味活动．参加活动的儿童需转动如图所示的转盘两 Ａ Ａ Ａ Ａ Ａ Ａ Ａ Ａ Ａ Ａ Ａ Ａ
｛ ２， ３｝，｛ ２， ４｝，｛ ２， ５｝，｛ ２， ６｝，｛ ３， ４｝，｛ ３， ５｝，
次 每次转动后 待转盘停止转动时 记录指针所指区域中的 Ａ Ａ Ａ Ａ Ａ Ａ Ａ Ａ 共 种．
， ， ， ｛ ３， ６｝，｛ ４， ５｝，｛ ４， ６｝，｛ ５， ６｝， １５
数．设两次记录的数分别为ｘ ｙ．奖励规则如下 编号为Ａ 和Ａ 的两名运动员中至少有 人被抽到的所
， ： （ｉｉ） ５ ６ １
若ｘｙ 则奖励玩具一个 有可能结果为 Ａ Ａ Ａ Ａ Ａ Ａ Ａ Ａ Ａ
① ≤３， ； ｛ １， ５｝，｛ １， ６｝，｛ ２， ５｝，｛ ２， ６｝，｛ ３，
若ｘｙ 则奖励水杯一个 Ａ Ａ Ａ Ａ Ａ Ａ Ａ Ａ Ａ 共 种．
② ≥８， ； ５｝，｛ ３， ６｝，｛ ４， ５｝，｛ ４， ６｝，｛ ５， ６｝， ９
其余情况奖励饮料一瓶．
因此 事件Ａ发生的概率Ｐ Ａ ９ ３ ．
③ ， （ ）＝ ＝
假设转盘质地均匀 四个区域划分均匀．小亮准备参加此项 １５ ５
， 评析 本小题主要考查分层抽样、用列举法计算随机事件所
活动．
含的基本事件数、古典概型及其概率计算公式等基础知识．考
求小亮获得玩具的概率
（１） ； 查运用概率、统计知识解决简单实际问题的能力．
请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小 并说明
（２） ， ４９．（２０１５山东文，１６，１２分）某中学调查了某班全部 名同学
理由． ４５
参加书法社团和演讲社团的情况 数据如下表 单位 人
， ：（ ： ）
参加书法社团 未参加书法社团
参加演讲社团
８ ５
未参加演讲社团
２ ３０
从该班随机选 名同学 求该同学至少参加上述一个社
（１） １ ，
团的概率
；
解析 用数对 ｘ ｙ 表示儿童参加活动先后记录的数 则基 在既参加书法社团又参加演讲社团的 名同学中 有
（ ， ） ， （２） ８ ， ５
本事件空间Ω与点集Ｓ ｘ ｙ ｘ Ｎ ｙ Ｎ 名男同学Ａ Ａ Ａ Ａ Ａ 名女同学Ｂ Ｂ Ｂ ．现从这
＝｛（ ， ）｜ ∈ ， ∈ ， １， ２， ３， ４， ５，３ １， ２， ３
ｘ ｙ 一一对应． 名男同学和 名女同学中各随机选 人 求Ａ 被选中
１≤ ≤４，１≤ ≤４｝ ５ ３ １ ， １
因为Ｓ中元素的个数是 且Ｂ 未被选中的概率．
４×４＝１６， １
所以基本事件总数ｎ ． 解析 由调查数据可知 既未参加书法社团又未参加
＝１６ （１） ，
记 ｘｙ 为事件Ａ 演讲社团的有 人
（１） “ ≤３” ， ３０ ，
则事件Ａ包含的基本事件数共 个 故至少参加上述一个社团的共有 人
５ ， ４５－３０＝１５ ，
即 ． 所以从该班随机选 名同学 该同学至少参加上述一个社团
（１，１），（１，２），（１，３），（２，１），（３，１） １ ，
所以Ｐ Ａ ５ 即小亮获得玩具的概率为 ５ ． 的概率为Ｐ １５ １ ．
（ ）＝ ， ＝ ＝
１６ １６ ４５ ３
７４０ ５年高考３年模拟 Ａ版（教师用书）
从这 名男同学和 名女同学中各随机选 人 其一切可 评析 本题主要考查随机事件的概率、古典概型等概念及相
（２） ５ ３ １ ，
能的结果组成的基本事件有 关计算，考查运用概率知识与方法分析和解决实际问题的能
：
Ａ Ｂ Ａ Ｂ Ａ Ｂ Ａ Ｂ Ａ Ｂ 力，考查推理论证能力、应用意识．
｛ １， １｝，｛ １， ２｝，｛ １， ３｝，｛ ２， １｝，｛ ２， ２｝，
Ａ Ｂ Ａ Ｂ Ａ Ｂ Ａ Ｂ Ａ Ｂ ５１．（２０１４四川文，１６，１２分）一个盒子里装有三张卡片 分别标
｛ ２， ３｝，｛ ３， １｝，｛ ３， ２｝，｛ ３， ３｝，｛ ４， １｝， ，
Ａ Ｂ Ａ Ｂ Ａ Ｂ Ａ Ｂ Ａ Ｂ 记有数字 这三张卡片除标记的数字外完全相同．随机
｛ ４， ２｝，｛ ４， ３｝，｛ ５， １｝，｛ ５， ２｝，｛ ５， ３｝， １，２，３，
共 个． 有放回地抽取 次 每次抽取 张 将抽取的卡片上的数字依
１５ ３ ， １ ，
根据题意 这些基本事件的出现是等可能的． 次记为ａ ｂ ｃ．
， ， ，
事件 Ａ 被选中且Ｂ 未被选中 所包含的基本事件有 求 抽取的卡片上的数字满足ａ ｂ ｃ 的概率
“ １ １ ” ： （１） “ ＋ ＝ ” ；
Ａ Ｂ Ａ Ｂ 共 个． 求 抽取的卡片上的数字ａ ｂ ｃ不完全相同 的概率．
｛ １， ２｝，｛ １， ３｝， ２ （２） “ ， ， ”
解析 由题意知 ａ ｂ ｃ 所有可能的结果为
因此Ａ 被选中且Ｂ 未被选中的概率为Ｐ ２ ． （１） ，（ ， ， ） （１，１，１），
１ １ ＝
１５ （１，１，２），（１，１，３），（１，２，１），（１，２，２），（１，２，３），（１，３，１），
评析 本题考查随机事件的概率及其计算，考查运算求解能
（１，３，２），（１，３，３），（２，１，１），（２，１，２），（２，１，３），（２，２，１），
力及应用意识．
（２，２，２），（２，２，３），（２，３，１），（２，３，２），（２，３，３），（３，１，１），
５０．（２０１５四川文，１７，１２分）一辆小客车上有 个座位 其座位
５ ， （３，１，２），（３，１，３），（３，２，１），（３，２，２），（３，２，３），（３，３，１），
号为 ．乘客Ｐ Ｐ Ｐ Ｐ Ｐ 的座位号分别为 共 种．
１，２，３，４，５ １， ２， ３， ４， ５ １，２， （３，３，２），（３，３，３）， ２７
他们按照座位号从小到大的顺序先后上车．乘客Ｐ 因 设 抽取的卡片上的数字满足ａ ｂ ｃ 为事件Ａ
３，４，５， １ “ ＋ ＝ ” ，
身体原因没有坐自己的 号座位 这时司机要求余下的乘客 则事件Ａ包括 共 种．
１ ， （１，１，２），（１，２，３），（２，１，３）， ３
按以下规则就座 如果自己的座位空着 就只能坐自己的座
： ， 所以Ｐ Ａ ３ １ ．
位 如果自己的座位已有乘客就座 就在这 个座位的剩余空 （ ）＝ ＝
； ， ５ ２７ ９
位中任意选择座位．
因此 抽取的卡片上的数字满足ａ ｂ ｃ 的概率为 １ ．
若乘客Ｐ 坐到了 号座位 其他乘客按规则就座 则此 ，“ ＋ ＝ ”
（１） １ ３ ， ， ９
时共有 种坐法．下表给出了其中两种坐法 请填入余下 设 抽取的卡片上的数字ａ ｂ ｃ不完全相同 为事件Ｂ
４ ， （２） “ ， ， ” ，
两种坐法 将乘客就座的座位号填入表中空格处 则事件Ｂ包括 共 种．
（ ）； （１，１，１），（２，２，２），（３，３，３）， ３
若乘客Ｐ 坐到了 号座位 其他乘客按规则就座 求乘
（２） １ ２ ， ， 所以Ｐ Ｂ Ｐ Ｂ ３ ８ ．
客Ｐ 坐到 号座位的概率． （ ）＝１－ （ ）＝１－ ＝
５ ５ ２７ ９
乘客 Ｐ Ｐ Ｐ Ｐ Ｐ 因此 抽取的卡片上的数字ａ ｂ ｃ不完全相同 的概率为 ８ ．
１ ２ ３ ４ ５ ，“ ， ， ”
９
３ ２ １ ４ ５ 评析 本题主要考查随机事件的概率、古典概型等概念及相
座位号 ３ ２ ４ ５ １ 关计算，考查应用意识．
５２．（２０１４天津文，１５，１３分）某校夏令营有 名男同学Ａ Ｂ Ｃ
３ ， ，
和 名女同学Ｘ Ｙ Ｚ 其年级情况如下表
３ ， ， ， ：
解析 余下两种坐法如下表所示 一年级 二年级 三年级
（１） ：
乘客 Ｐ Ｐ Ｐ Ｐ Ｐ 男同学 Ａ Ｂ Ｃ
１ ２ ３ ４ ５
女同学 Ｘ Ｙ Ｚ
座位号 ３ ２ ４ １ ５
现从这 名同学中随机选出 人参加知识竞赛 每人被选到
３ ２ ５ ４ １ ６ ２ （
若乘客Ｐ 坐到了 号座位 其他乘客按规则就座 则所 的可能性相同
）
．
（２） １ ２ ， ， 用表中字母列举出所有可能的结果
有可能的坐法可用下表表示为
（１） ；
： 设Ｍ为事件 选出的 人来自不同年级且恰有 名男同
乘客 Ｐ Ｐ Ｐ Ｐ Ｐ （２） “ ２ １
１ ２ ３ ４ ５ 学和 名女同学 求事件Ｍ发生的概率．
１ ”，
２ １ ３ ４ ５ 解析 从 名同学中随机选出 人参加知识竞赛的所
２ ３ １ ４ ５ （１） ６ ２
有可能结果为 Ａ Ｂ Ａ Ｃ Ａ Ｘ Ａ Ｙ Ａ Ｚ Ｂ
２ ３ ４ １ ５ ｛ ， ｝，｛ ， ｝，｛ ， ｝，｛ ， ｝，｛ ， ｝，｛ ，
Ｃ Ｂ Ｘ Ｂ Ｙ Ｂ Ｚ Ｃ Ｘ Ｃ Ｙ Ｃ Ｚ Ｘ Ｙ
座位号 ２ ３ ４ ５ １ ｝，｛ ， ｝，｛ ， ｝，｛ ， ｝，｛ ， ｝，｛ ， ｝，｛ ， ｝，｛ ， ｝，
Ｘ Ｚ Ｙ Ｚ 共 种．
２ ３ ５ ４ １ ｛ ， ｝，｛ ， ｝， １５
选出的 人来自不同年级且恰有 名男同学和 名女同
２ ４ ３ １ ５
（２） ２ １ １
２ ４ ３ ５ １ 学的所有可能结果为 Ａ Ｙ Ａ Ｚ Ｂ Ｘ Ｂ Ｚ Ｃ Ｘ
｛ ， ｝，｛ ， ｝，｛ ， ｝，｛ ， ｝，｛ ， ｝，
２ ５ ３ ４ １ Ｃ Ｙ 共 种．
于是 所有可能的坐法共 种． ｛ ， ｝， ６
， ８
设 乘客Ｐ 坐到 号座位 为事件Ａ 则事件Ａ中的基本事件 因此 事件Ｍ发生的概率为 ６ ２ ．
的 “ 个数为 ５ ． ５ ” ， 评析 ， 本题主要考查用列举 １ 法 ５ 计 ＝ 算 ５ 随机事件所含的基本事件
４
所以Ｐ Ａ ４ １ ． 数、古典概型及其概率计算公式等基础知识．考查运用概率知
（ ）＝ ＝
８ ２ 识解决简单实际问题的能力．
答 乘客Ｐ 坐到 号座位的概率是 １ ．
： ５ ５
２
专题十一 概率与统计 ７４１
时间： 分钟 分值： 分
５０ ８５
一、单项选择题 每题 分 共 分 答案 Ｂ
（ ５ ， ４０ ）
１．（２０１９山西太原模拟，２）已知随机事件Ａ和Ｂ互斥 且Ｐ Ａ ８．（２０２１届湖北荆州中学８月月考，３）已知某运动员每次投篮
， （ ∪
Ｂ ． Ｐ Ｂ ． 则Ｐ Ａ 命中的概率低于 ４０ ％ ， 现采用随机模拟的方法估计该运动员
）＝０７， （ ）＝０２， （ ）＝ （ ） 三次投篮恰有两次命中的概率 先由计算器产生 到 之间取
． ． ． ． ： ０ ９
Ａ．０５ Ｂ．０１ Ｃ．０７ Ｄ．０８ 整数值的随机数 指定 表示命中 表示
答案 Ａ ， １，２，３，４ ，５，６，７，８，９，０
不命中 再以每三个随机数为一组 代表三次投篮的结果．经随
２．（２０２１届福建三明第一中学第一次月考，６）将两枚质地均匀
； ，
机模拟产生了如下 组随机数
的骰子投掷一次 所得的点数分别为ｍ ｎ．已知ｍ ｎ 则ｍ ２０ ：
， ， ＋ ≥６， ＋
ｎ 的概率为 ９０７ ９６６ １９１ ９２５ ２７１ ９３２ ８１２ ４５８ ５６９ ６８３
＝７ （ ）
４３１ ２５７ ３９３ ０２７ ５５６ ４８８ ７３０ １１３ ５３７ ９８９
１ １ ２ ３ 据此估计 该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． ， （ ）
７ ６ １３ １３
答案 Ｄ Ａ．０ ． ３５ Ｂ．０ ． ２５ Ｃ．０ ． ２０ Ｄ．０ ． １５
答案 Ｂ
３．（２０２１届湖北宜昌葛洲坝中学９月月考，
４） 周易 是我国古代典籍 用 卦 描述了 二、多项选择题 共 分
《 》 ， “ ” （ ５ ）
天地世间万象变化．如图是一个八卦图 包 ９．（２０２１届山东潍坊重点中学联考，１０）从甲袋中摸出一个红球
，
含乾 坤 震 巽 坎 离 艮 兑八卦 每一卦
、 、 、 、 、 、 、 （ 的概率是 １ 从乙袋中摸出一个红球的概率是 １ 从两袋各摸
由三个爻组成 其中 表示一个阳爻 ， ，
， “———” ， ３ ２
表示一个阴爻 ．若从八卦中任取两 出一个球 下列结论正确的是
“— —” ） ， （ ）
卦 则这两卦的六个爻中恰有一个阳爻的概率为
， （ ） 个球都是红球的概率为 １
Ａ．２
３ ３ ３ １ ６
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
２８ ５６ １４ ４ 个球不都是红球的概率为 １
答案 Ａ Ｂ．２
３
４．（２０２１届江苏南京大学附属中学阶段检测，１） 镜花缘 是清
《 》 至少有 个红球的概率为 ２
代文人李汝珍创作的长篇小说 书中有这样一个情节 一座阁 Ｃ． １
３
， ：
楼到处挂满了五彩缤纷的大小灯球 灯球有两种 一种是大灯 个球中恰有 个红球的概率为 １
， ， Ｄ．２ １
下缀 个小灯 另一种是大灯下缀 个小灯 大灯共 个 小 ２
２ ， ４ ， ３６０ ， 答案 ＡＣＤ
灯共 个．若在这座阁楼的灯球中随机选取两个灯球 则至
１２００ ，
少有一个灯球是大灯下缀 个小灯的概率为 三、填空题 每题 分 共 分
４ （ ） （ ５ ， ３０ ）
１０．（２０１９上海嘉定二模，８）学校从 名男同学和 名女同学中
１１９ １６０ ９５８ ２８９ ３ ２
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 任选 人参加志愿者服务活动 则选出的 人中至少有 名
１０７７ ３５９ １０７７ ３５９ ２ ， ２ １
答案 Ｃ 女同学的概率为 ．
５．（２０２０广东湛江调研，５）某学校组织高一和高二两个年级的
答案 ７
同学开展 学雷锋敬老爱老 志愿服务活动 利用暑期到敬老
“ ” ， １０
院进行打扫卫生 表演文艺节目 倾听老人的嘱咐和教诲等一 １１．（２０２０广东百校联考１０月月考，１６）十二生肖 又称十二属
、 、 ，
系列活动．现有来自高一年级的 名同学 其中男生 名 女生 相 中国古人拿十二种动物来配十二地支 组成子鼠 丑牛 寅
４ ， ２ 、 ， ， 、 、
名 高二年级的 名同学 其中男生 名 女生 名 现从这 虎 卯兔 辰龙 巳蛇 午马 未羊 申猴 酉鸡 戌狗 亥猪十二
２ ； ５ ， ３ 、 ２ ， ９ 、 、 、 、 、 、 、 、 、
名同学中随机选择 名打扫卫生 则选出的 名同学中恰有 属相 现有十二生肖吉祥物各一件 甲 乙 丙三位同学依次随
４ ， ４ ２ ， ， 、 、
名男生 且这 名男生来自同一个年级的概率是 机抽取一件作为礼物 甲同学喜欢马 牛 乙同学喜欢马 龙
， ２ （ ） ， 、 ， 、 、
狗 丙同学除了不喜欢鼠外其他的都喜欢 则这三位同学抽取
１ ５ ６ ４ ， ，
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 的礼物都喜欢的概率是 ．
１２６ ２１ ３５ ２１
答案 Ｄ
答案 ３
６．（２０１９湖南师大附中３月模拟，５） 年 月 日 济南轨道
２０１９ １ １ ， ８８
交通 号线试运行 济南轨道交通集团面向广大市民开展 参 １２．（２０２０湖南长沙长郡中学第二次月考，１４）我国数学家陈景
１ ， “
观体验 征求意见 活动 市民可以通过济南地铁 抢票 小 润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴
， ” ， ＡＰＰ ，
陈抢到了三张体验票 准备从四位朋友小王 小张 小刘 小李 赫猜想是 每个大于 的偶数可以表示为两个质数的和 在
， ， ， ， “ ２ ”，
中随机选择两位与自己一起去参加体验活动 则小王和小李 不超过 的质数中 随机选取两个不同的数 其和等于 的
， ２０ ， ， ２０
至多 人被选中的概率为 概率是 ．
１ （ ）
１ １ ２ ５ 答案 １
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
６ ３ ３ ６ １４
答案 Ｄ １３．（２０２０江苏南通中学月考，６）从分别写有 的五张
１，２，３，４，５
７．（２０１９安徽蚌埠二模，４）从 中选取两个不同数字组 卡片中任取两张 这两张卡片上的数字之差的绝对值等于
１，２，３，４ ， １
成两位数 则这个两位数能被 整除的概率为 的概率为 ．
， ４ （ ）
１ １ １ １ 答案 ２
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
３ ４ ６ １２ ５
７４２ ５年高考３年模拟 Ａ版（教师用书）
１４．（２０２１届安徽太和第一中学开学摸底检测，１５）已知甲有 张印
２
着数字 的卡片 乙有 张印着数字 的卡片和 张印着数字
２ ， ３ ２ ３ ３
的卡片 乙先从自己的卡片中任选 张卡片给甲 甲再从现有的
， ２ ，
卡片中任选 张还给乙 每张卡片被选中的可能性都相等 则甲
２ ， ，
给乙的两张卡片都印着数字 的概率为 ．
２
答案 １
答案 ８
２
１５
１５．（２０２１届重庆巴蜀中学月考（一），１５）算盘是中国传统的计 四、解答题 共 分
（ １０ ）
算工具 其形状为长方形 周为木框 内贯直柱 俗称 档 档 １６．（２０１９广东汕头达濠华侨中学、东厦中学联考，１７）某学校有初
， ， ， ， “ ”，
中横以梁 梁上两珠 每珠作数五 梁下五珠 每珠作数一 运 级教师 人 中级教师 人 高级教师 人 现采用分层抽样的
， ， ， ， ， ２１ ， １４ ， ７ ，
算时定位后拨珠计算．算珠梁上部分叫上珠 梁下部分叫下 方法从这些教师中抽取 人对绩效工资情况进行调查．
， ６
珠．如图 若拨珠的三档从左至右依次定位 百位档 十位档 求应从初级教师 中级教师 高级教师中分别抽取的
， ： 、 、 （１） ， ，
个位档 则表示数字 ．若在千 百 十 个位档中随机选择一 人数
， ５１８ 、 、 、 ；
档拨一颗上珠 再随机选择两个档位各拨一颗下珠 则所拨数 若从抽取的 名教师中随机抽取 名做进一步数据分
， ， （２） ６ ２
字能被 整除的概率为 ． 析 求抽取的 名均为初级教师的概率．
５ ， ２
专题十一 概率与统计 ７４３
１．（２０２０陕西百校联盟九月联考，４） 沉鱼 落雁 闭月 羞花
“ 、 、 、 ” １ ２ ５ １
是由精彩故事组成的历史典故． 沉鱼 讲的是西施浣纱的故 Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
“ ” ６ ９ １８ ９
事 落雁 指的就是昭君出塞的故事 闭月 是述说貂蝉拜月 答案 Ｂ 随机模拟产生了 组随机数
；“ ” ；“ ” １８ ，
的故事 羞花 谈的是杨贵妃醉酒观花的故事．她们分别是中 其中恰好第三次就停止摸球的随机数有 共
；“ ” １４２，１１２，２４１，１４２，
国古代的四大美女 某艺术团要以四大美女为主题排演一部舞 个
， ４ ，
蹈剧 甲 乙 丙 丁抽签决定扮演的对象 则甲不扮演貂蝉且乙
， 、 、 、 ， 由此可以估计 恰好第三次就停止摸球的概率Ｐ ４ ２ ．故
不扮演杨贵妃的概率为 ， ＝ ＝
（ ） １８ ９
选
Ｂ．
５．（２０１９辽宁沈阳教学质量监测（三），６）我国古代有着辉煌的
数学研究成果． 周髀算经 九章算术 海岛算经 孙子算
《 》《 》《 》《
经 缉古算经 等 部专著 有着十分丰富多彩的内容
》……《 》 １０ ， ，
是了解我国古代数学的重要文献．这 部专著中有 部产生
１０ ７
于魏晋南北朝时期．某中学拟从这 部专著中选择 部作为
１０ ２
数学文化 校本课程学习内容 则所选 部专著中至少有一
“ ” ， ２
部是魏晋南北朝时期专著的概率为
（ ）
１ ７ ５ １
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． １４ １ ２ ７
３ １２ １２ ２ Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
答案 Ｂ 依题意 所有的扮演情况有 ４ 种 其中甲不 １５ １５ ９ ９
， Ａ４＝２４ ， 答案 Ａ 设所选 部专著中至少有一部是魏晋南北朝时期
扮演貂蝉且乙不扮演杨贵妃的情况有 ３ １ １ ２ 种 故 ２
Ａ３＋Ｃ２Ｃ２Ａ２＝１４ ， 的专著为事件Ａ
，
所求概率Ｐ １４ ７ ．
＝ ＝ 由题意知Ｐ Ａ Ｃ ２ ３ １
２．（２０２０四川成 ２４ 都青 １２ 羊石室中学１０月月考，９） ２０２１ 年广东新 （ ）＝ Ｃ ２ １０ ＝ １５ ，
高考将实行 模式 即语文 数学 外语必选 物理 历史 因此Ｐ Ａ Ｐ Ａ １ １４
３＋１＋２ ， 、 、 ， 、 （ ）＝１－ （ ）＝１－ ＝ ，
二选一 政治 地理 化学 生物四选二 共有 种选课模式．今 １５ １５
， 、 、 、 ， １２ 故选 ．
年高一的小明与小芳都准备选历史 假若他们都对后面四科没 Ａ
， ６．（２０２０安徽合肥一中、安庆一中第一次素质测试，８） 年
有偏好 则他们选课相同的概率为 ２０１９ ５
， （ ） 月 日具有 国家战略 意义的 长三角一体化 会议在芜湖
２２ “ ” “ ”
１ １ １ １ 举行．长三角城市群包括上海市以及江苏省 浙江省 安徽省三
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 、 、
３６ １６ ８ ６
答案 Ｄ 本题考查古典概型 考查学生数学运算的核心
省部分城市 简称 三省一市 ．现有 名高三学生准备高考后
， “ ” ４
，
到上海市 江苏省 浙江省 安徽省四个地方旅游 假设每名同
素养．
、 、 、 ，
学均从这四个地方中任意选取一个去旅游 则恰有一个地方未
由题意 ， 知从政治 、 地理 、 化学 、 生物中四选二 ， 共有 Ｃ ２ ４＝６ 种选
被选中的概率为
，
法 所以他们选课相同的概率为 １ ．故选 （ ）
， Ｄ．
６ ２７ ９ ８１ ７
３．（２０１８重庆九校联盟第一次联考，４）已知随机事件Ａ Ｂ发生 Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
， ６４ １６ ２５６ １６
答案 Ｂ 名同学去旅游的所有情况有 ４ 种
的概率满足条件Ｐ Ａ Ｂ ３ 某人猜测事件Ａ Ｂ发生 则此 ４ ４ ＝２５６ ，
（ ∪ ）＝ ， ∩ ， ２ １
４ 恰有一个地方未被选中共有 １ Ｃ４Ｃ２ ３ 种情况
人猜测正确的概率为 Ｃ４· ２ ·Ａ３＝１４４ ，
（ ） Ａ２
１ １ 恰有一个地方未被选中的概率Ｐ １４４ ９ ．故选 ．
Ａ．１ Ｂ． Ｃ． Ｄ．０ ∴ ＝ ＝ Ｂ
２ ４ ２５６ １６
答案 Ｃ 事件Ａ Ｂ与事件Ａ Ｂ是对立事件 Ｐ Ａ Ｂ 解题关键 本题考查计算古典概型的概率 排列 组合中的分
∩ ∪ ， （ ∩ ）＝１ ， 、
组分配问题．关键是能够利用排列 组合的知识准确求解出恰
Ｐ Ａ Ｂ ３ １ 故选 、
－ （ ∪ ）＝１－ ＝ ， Ｃ． 有一个地方未被选中的情况种数 不要忽略分组分配中的平均
４ ４ ，
４．（２０１９河北石家庄３月教学质量检测，９）袋子中有大小 形状 分配问题．
、
完全相同的四个小球 分别写有 和 谐 校 园 四个字 ７．（２０１９山西阳泉二模，８）赵爽是我国古代数学家 天文学家
， “ ”“ ”“ ”“ ” ， 、 ，
有放回地从中任意摸出一个小球 直到 和 谐 两个字都被 大约在公元 年赵爽为 周髀算经 一书作序时 介绍了 勾
， “ ”“ ” ２２２ 《 》 ， “
摸到就停止摸球 用随机模拟的方法估计恰好在第三次停止摸 股圆方图 亦称 赵爽弦图 以弦为边得到的正方形是由
， ”， “ ”（ ４
球的概率．利用电脑随机产生 到 之间取整数值的随机数 个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成的 如图
１ ４ ， ，
分别用 代表 和 谐 校 园 这四个字 以每三个 ．类比 赵爽弦图 可构造如图 所示的图形 它是由 个全
１，２，３，４ “ ”“ ”“ ”“ ” ， １） “ ”， ２ ， ３
随机数为一组 表示摸球三次的结果 经随机模拟产生了以下 等的三角形与中间的一个小等边三角形组成的一个大等边三
， ，
组随机数 角形 设ＤＦ ＡＦ 若在大等边三角形中随机取一点 则此点取
１８ ： ， ＝２ ， ，
自小等边三角形内的概率是
３４３ ４３２ ３４１ ３４２ ２３４ １４２ ２４３ ３３１ １１２ （ ）
３４２ ２４１ ２４４ ４３１ ２３３ ２１４ ３４４ １４２ １３４
由此可以估计 恰好第三次就停止摸球的概率为
， （ ）
７４４ ５年高考３年模拟 Ａ版（教师用书）
→ＡＢ →ＡＣ
所以 ＢＡＣ · ３６－６ ２
ｃｏｓ∠ ＝ ＝ ＝ ，
｜ →ＡＢ ｜·｜ →ＡＣ ｜ ２ ５×３ １０ ２
所以 ＢＡＣ π
∠ ＝ ，
４
π
则由几何概型的概率公式可知所求概率Ｐ ８
＝
１ １
图 图 ×６×２＋ ×６×３
１ ２ ２ ２
π 故选
２ １３ ４ ＝ ， Ｂ．
Ａ． Ｂ． １２０
１３ １３ １０．（２０２０四川石室中学高三开学考试，７）一个平面封闭图形的
２ ７ ４ 周长与面积之比为 周积率 如图是由三个半圆构成的图
Ｃ． Ｄ． “ ”，
７ ７ 形 最大半圆的直径为 若在最大的半圆内随机取一点 该
答案 Ｂ 设 ＤＦ ＡＦ 则由余弦定理可得 ＡＣ ， ６， ，
＝ ２ ＝ ２， ＝
点取自阴影部分的概率为 ４ 则阴影部分图形的 周积率 为
１ ２ ＋３ ２ －２×１×３×ｃｏｓ１２０ ° ＝ １３， 所以 Ｓ △ ＤＥＦ ＝ １ ×２×２× ９ ， “ ”
２
（ ）
° Ｓ １ ° １３ ３ 所以在大
ｓｉｎ６０ ＝ ３， △ ＡＢＣ＝ × １３× １３×ｓｉｎ ６０ ＝ ，
２ ４
等边三角形中随机取一点 则此点取自小等边三角形内的概率
，
Ｓ
Ｐ △ ＤＥＦ ４ ．故选 ．
＝Ｓ ＝ Ｂ
△ ＡＢＣ １３ Ａ．２ Ｂ．３ Ｃ．４ Ｄ．５
解题关键 转化为三角形面积比是解本题的关键． 答案 Ｂ 本题主要考查了新定义的应用 以及几何概型的
，
８．（２０１８江西宜春昌黎实验学校第二次段考，７）五个人围坐在 应用 着重考查了推理与运算能力的学科素养．
，
一张圆桌旁 每个人面前放着完全相同的硬币 所有人同时翻 由题意 设两个小圆的半径分别为ｒ ｒ 不妨设ｒ ｒ
， ， ， １， ２， １≥ ２，
转自己的硬币．若硬币正面朝上 则这个人站起来 若硬币正面 因为大圆的半径为Ｒ 所以ｒ ｒ
朝下 则这个人继续坐着．那么
，
没有相邻的两个人
；
站起来的概
＝３， １＋ ２＝３，
率为 ， ， 大圆的面积Ｓ ＝ １ π Ｒ２ ＝ １ π×（ ｒ １＋ ｒ ２） ２ ，
（ ） ２ ２
( )
１ １５ １１ ５ 阴影部分的面积为Ｓ Ｓ １ ｒ２ １ ｒ２ １ ｒ ｒ ２
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． １＝ － π １＋ π ２ ＝ π×（ １＋ ２） －
２ ３２ ３２ １６ ２ ２ ２
答案 Ｃ 设五个人的编号为 ．由题意知 所有事 ( )
１，２，３，４，５ ， １ ｒ２ １ ｒ２ ｒ ｒ
件共有 ５ 种 没有相邻的两个人站起来的基本事件有 π １＋ π ２ ＝π １ ２，
２ ＝３２ ， ２ ２
又在最大的半圆内随机取一点 该点取自阴影部分的概率
（１），（２），（３），（４），（５），（１，３），（１，４），（２，４），（２，５），（３， ，
再加上没有人站起来的可能有 种 共 种情况 所以没
５）， １ ， １１ ， 为 ４
，
有相邻的两个人站起来的概率为１１． ９
Ｓ ｒ ｒ
３２ 所以 １ π １ ２ ４ 整理得 ｒ２ ｒ ｒ ｒ２
９．（２０１８齐鲁名校教科研协作体山东、湖北部分重点中学高考 Ｓ ＝ ＝ ， ２ １－５ １ ２＋２ ２＝０，
１ ｒ ｒ ２ ９
{ｘ ｙ π×（ １＋ ２）
－２ －１≥０， ２
冲刺模拟（三），６）在满足条件 ｘ ＋３ ｙ －１≥０， 的区域内任取一 所以ｒ １＝２ ｒ ２， 又ｒ １＋ ｒ ２＝３， 所以ｒ １＝２， ｒ ２＝１，
ｘ ｙ 所以阴影部分的周长为Ｃ ｒ ｒ ｒ ｒ ｒ ｒ
＋ －７≤０ ＝π（ １＋ ２）＋π １＋π ２＝２π（ １＋ ２），
点Ｍ （ ｘ ， ｙ ）， 则点Ｍ （ ｘ ， ｙ ） 满足 （ ｘ －１） ２ ＋ ｙ２ ＜１ 的概率为 （ ） 所以 Ｃ ２π（ ｒ １＋ ｒ ２） 故选
Ｓ ＝ ｒ ｒ ＝３， Ｂ．
Ａ． π Ｂ． π Ｃ．１－ π Ｄ．１－ π １１．（２０２０ １ 云南 π 昆 １ 明 ２ 一模，１４）由三角形的垂心与各顶点连线的
６０ １２０ ６０ １２０
{ｘ －２ ｙ －１≥０， 中点构成的三角形称为 “ 欧拉三角形 ” ．已知 △ ＤＥＦ 是锐角
答案 Ｂ 作出 ｘ ｙ 满足的平面区域为如图所示的
ＡＢＣ的欧拉三角形 若向 ＡＢＣ所在区域内随机投一个点
＋３ －１≥０， △ ， △ ，
则该点落在 ＤＥＦ内的概率为 ．
ｘ ｙ
＋ －７≤０ △
ＡＢＣ区域 答案 １
△ ，
４
解析 根据中位线定理 显然 ＤＥＦ ＡＢＣ 且相似比为
， △ ∽△ ，
１ ．设Ｍ 点落在 ＤＥＦ内 Ω 点落在 ＡＢＣ内
＝“ △ ”， ＝“ △ ”，
２
Ｓ Ｍ ( ) ２
Ｐ Ｍ （ ） １ １ ．
∴ （ ）＝Ｓ Ω ＝ ＝
（ ） ２ ４
１２．（２０２０广西玉林、南宁一模，１６）关于圆周率 数学发展史
满足题意的点Ｍ在图中的阴影部分
上出现过许多很有创意的求法 如著名的蒲丰
π
试
，
验和查理斯
，
易求得Ａ （１，０）， Ｂ （５，２）， Ｃ （１０，－３）， 试验 受其启发 我们也可以通 ， 过设计下面的试验来估计
， ， π
则→ＡＢ →ＡＣ 的值．先请 名同学 每人随机写下两个都小于 的正实数
＝（４，２）， ＝（９，－３）， ２４０ ， １
专题十一 概率与统计 ７４５
ｘ ｙ组成实数对 ｘ ｙ 若将 ｘ ｙ 看作一个点 再统计点 ｘ 的五位数 若用ａ ａ ａ ａ ａ 分别表示五位数的万位 千
， （ ， ）； （ ， ） ， （ ， ， １， ２， ３， ４， ５ 、
ｙ 在圆ｘ２ ｙ２ 外的个数ｍ 最后根据统计数ｍ来估计 的 位 百位 十位 个位数字 则出现ａ ａ ａ ａ ａ 的五位数
） ＋ ＝１ ； π 、 、 、 ， １＜ ２＜ ３＞ ４＞ ５
值 假如统计结果是ｍ 那么可以估计 的近似值为 的概率为 ．
， ＝５２， π
． 用分数表示
（ ） 答案 １
答案 ４７ ２０
解析 用 组成无重复数字的五位数 基本事件
１５ １，２，３，４，５ ，
解析 由题意 都小于 的正实数组成的实数对 ｘ ｙ 对 总数ｎ ５ 用ａ ａ ａ ａ ａ 分别表示五位数的万位 千位
， １ （ ， ）， ＝Ａ５， １， ２， ３， ４， ５ 、 、
应的点构成的区域的面积为 满足ｘ２ ｙ２ 且ｘ ｙ都小于 百位 十位 个位数字 出现 ａ ａ ａ ａ ａ 的五位数有
１， ＋ ＞１ ， １ 、 、 ， １＜ ２＜ ３＞ ４＞ ５ ：
的正实数组成的正实数对对应的点构成的区域的面积为 共 个
１－ １２５４３，１３５４２，２３５４１，３４５２１，２４５３１，１４５３２， ６ ，
π 因为点 ｘ ｙ 在圆ｘ２ ｙ２ 外的个数ｍ 出现ａ ａ ａ ａ ａ 的五位数的概率Ｐ ６ １ ．
， （ ， ） ＋ ＝１ ＝５２， ∴ １＜ ２＜ ３＞ ４＞ ５ ＝ ５ ＝
４ Ａ５ ２０
∴ ５２ ＝１－ π ，∴ π＝ ４７． 出 思 现 路分 ａ 析 ａ 先 ａ 求 ａ 出 ａ 基本 的 事 五位 件 数 总 的 数 个 ｎ 数 ＝Ａ ５ ５ 由 ， 再 此 利 利 用 用 列 古 举 典 法 概 求 型 出 概
１３．（２ ２ ０ ４ ２ ０ ０５· ４ ３原创题 １ ） ５ 费马大定理又被称为 费马最后定理 率公式 １ 即 ＜ 可 ２＜ 求 ３ 出 ＞ 出 ４＞ 现 ５ ａ ａ ａ ａ ａ ， 的五位数的概率．
由 世纪法国数学家皮耶 德 费马提出 “ ．他断言当整数ｎ ”， １５．（２０１８广东江门一模，１ １＜ ６） ２ 两 ＜ 位 ３＞ 教 ４ 师 ＞ 对 ５ 一篇初评为 优秀 的
时 １７ 关于ｘ ｙ ｚ的方程ｘｎ · ｙｎ · ｚｎ 没有正整数解．他提出后 ＞ 作文复评 若批改成绩都是两位正整数 且十位数字 “ 都是 ”
２ ， ， ， ＋ ＝ ， ， ， ５，
历经多人猜想辩证 最终在 年被英国数学家安德鲁 怀 则两位教师批改成绩之差的绝对值不超过 的概率为
， １９９５ · ２
尔斯彻底证明．甲同学对这个问题很感兴趣 他决定从
．
４ 指 ，５ 数 这 ｎ ， ５ 方 个 程 自 ｘ 然 ｎ ＋ 数 ｙｎ 中 ＝ ｚ 随 ｎ 存 机 在 选 正 两 整 个 数 数 解 字 的 作 概 为 率 方
，
为 程 ｘｎ ＋ ｙ ｎ ＝
１
ｚｎ
，
．
２
中
，３
的
，
解 答 析 案 ０ 用 ． ４ （ ４ ｘ ， ｙ ） 表示两位教师的批改成绩 ， 则 （ ｘ ， ｙ ） 的所有
答案 ７
可能情况有
１０×１０＝１００
种．
１０
当ｘ 时 ｙ可取 共 种可能
解析 由题意 ｎ 时 存在正整数解 ｎ 时其实就是勾 ＝５０ ， ５０，５１，５２， ３ ；
， ＝１ ， ， ＝２ 当ｘ 时 ｙ可取 共 种可能
股定理 所以也存在正整数解 由费马大定理得 ｎ 时 方程 ＝５１ ， ５０，５１，５２，５３， ４ ；
， ， ， ＞２ ， 当ｘ 时 ｙ 的取法均有 种 共 种
不存在正整数解．从 这 个数中随机取 个数 其 ＝５２，５３，５４，５５，５６，５７ ， ５ ， ３０
可能
１，２，３，４，５ ５ ２ ，
；
中包含 １ 或 ２ 的概率Ｐ ＝１－ Ｃ Ｃ ２ ３ ２ ５ ＝ １ ７ ０ ．故所求概率为 １ ７ ０ ． 当 当 ｘ ｘ ＝ ＝ ５ ５ ８ ９ 时 时 ， ， ｙ ｙ 可 可 取 取 ５ ５ ６ ７ ， ， ５ ５ ７ ８ ， ， ５ ５ ８ ９ ， ， ５ 共 ９， ３ 共 种 ４ 可 种 能 可 ． 能 ；
命题说明 近年来 以数学文化和数学史为背景命制高考题 综上可得两位教师批改成绩之差的绝对值不超过 的情况有
，
２
成为新的热点 本题以著名的费马大定理为背景 在提炼关键
， ， 种 则由古典概型的概率公式可得所求概率Ｐ ４４ ． ．
信息之后 转化为一道简单的古典概型的题目． ４４ ， ＝ ＝０４４
， １００
１４．（２０１８河北石家庄二模，１４）用 组成无重复数字
１，２，３，４，５
