北京曲一线图书策划有限公司 22版 《5年高考3年模拟 B版》
第十二章 概率与统计
§12.1 随机事件、古典概型与几何概型
— 专题检测 —
一、单项选择题
1.(2021北京海淀高三模拟试卷一,9)一个盒中装有大小相同的2个黑球,2个白球,从中任取一球,若
是白球,则取出来;若是黑球,则放回盒中,直到把白球全部取出,则在此过程中恰有两次取到黑球的
概率为 ( )
37 37 2 2
A. B. C. D.
216 72 9 27
答案 A 要满足题意,共有三种取法:(白黑黑白),(黑白黑白),(黑黑白白),其中(白黑黑白)的取法概
2 2 2 1 2 2 2 2 1 1 2 2
率为 × × × = ,(黑黑白白)的取法概率为 × × × = ,(黑白黑白)的取法概率为 × ×
4 3 3 3 27 4 4 4 3 24 4 4
2 1 1 2 1 1 37
× = ,综上,所求概率为 + + = ,故选A.
3 3 18 27 24 18 216
2.(2021八省联考,2)在3张卡片上分别写上3位同学的学号后,再把卡片随机分给这3位同学,每人
1张,则恰有1位学生分到写有自己学号卡片的概率为( )
1 1 1 2
A. B. C. D.
6 3 2 3
答案 C 三张卡片随机分给三位同学,共有 =6种情况,恰有1位学生分到写有自己学号的卡
A3
3
3 1
片,有C1=3种情况,所以恰有1位学生分到写有自己学号卡片的概率为 = .
3 6 2
思路分析 先求出三张卡片随机分给三位同学的基本事件数,再求出恰有1位学生分到写有自己
学号卡片的基本事件数,利用古典概型的概率公式求解即可.
3.(2021天津南开中学统练(25),5)已知球的半径为R,一等边圆锥(圆锥母线长与圆锥底面直径相等)
位于球内,圆锥顶点在球上,底面与球相接,则该圆锥的表面积为 ( )
3π 9π √3π 2√3π
A. R2 B. R2 C. R2 D. R2
4 4 4 3
答案 B 如图,设圆锥的底面半径为r,则圆锥的高为√3r,
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√3
由R2=r2+(√3r-R)2,解得r= R,
2
则圆锥的表面积S=πr2+1×2πr×2r=3πr2=3π×(√3 ) 2 =9πR2.故选B.
R
2 2 4
4.(2021四川凉山二诊,3)一个大于1的自然数,除了1和它自身外,不能被其他正整数整除的数叫做
素数.我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜想是“每个
大于2的偶数可以表示为两个素数的和”,如8=3+5.在不超过20的素数中,随机地取两个不同的
数,其和等于20的概率是 ( )
1 1 1 3
A. B. C. D.
7 9 14 28
答案 C 在不超过20的素数2,3,5,7,11,13,17,19中,随机地取两个不同的数,基本事件总数n=
C2
8
2 1
=28,其和等于20包含的基本事件有:(3,17),(7,13),∴其和等于20的概率P= = .
28 14
5.(2021四川顶级名校联考,11)做一个游戏:让大家各自随意写下两个小于1的正数,然后请他们各
自检查一下,所写的两数与1是否构成一个锐角三角形的三边,最后把结论告诉你,作为主角的你,
只需将每个人的结论记录下来就行了.假设有n个人说“能”,而有m个人说“不能”,那么由此
可以算得圆周率π的近似值为 ( )
n m 4n 4m
A. B. C. D.
m+n m+n m+n m+n
答案 D 设所写的两个数为x,y,0<x<1,0<y<1,
(x,y)在以1为边长的正方形内,
∵x,y,1组成锐角三角形,1为最大边,
∴x2+y2-1>0,则x2+y2>1,
∴(x,y)在以原点为圆心,以1为半径的四分之一圆外,
1
1- π×12 n 4m
∴ 4 ≈ ,得π≈ ,故选D.
m+n m+n
1
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6.(2021江西五市九校协作体联考,4)为了让居民了解垃圾分类,养成垃圾分类的习惯,让绿色环保
理念深入人心.某市将垃圾分为四类:可回收物、餐厨垃圾、有害垃圾和其他垃圾.某班按此四类
由9位同学组成四个宣传小组,其中可回收物宣传小组有3位同学,餐厨垃圾、有害垃圾和其他垃
圾宣传小组各有2位同学.现从这9位同学中选派5人到某小区进行宣传活动,则每个宣传小组至
少选派1人的概率为 ( )
2 5 3 10
A. B. C. D.
7 14 7 21
答案 D 现从9位同学中选派5人到某小区进行宣传活动,基本事件总数n= =126,
C5
9
每个宣传小组至少选派1人包含的基本事件个数m= ( )3+ ( )2=60,
C2 C1 C1C1C2 C1
3 2 3 3 2 2
m 60 10
则每个宣传小组至少选派1人的概率P= = = .
n 126 21
7.(2021安徽皖南八校联考,8)魏晋时期数学家刘徽在他的著作《九章算术注》中,称一个正方体内
两个互相垂直的内切圆柱所围成的几何体为“牟合方盖”(如图),刘徽通过计算得知正方体的内
切球的体积与“牟合方盖”的体积之比应为π∶4.在某一球内任意取一点,则此点取自球的一个内
接正方体的“牟合方盖”的概率为 ( )
1 2 4√3 √3
A. B. C. D.
2 3 9π 9
a
答案 C 设球的直径为√3a,则球的内接正方体的棱长为a,正方体的内切球的半径r= ,
2
∴正方体的内切球的体积V
内切球
=4π×(a) 3 =πa3,∵ V
内切球
=π,∴V
牟合方盖
=4×πa3=2a3,∴此点取
3 2 6 V 4 π 6 3
牟合方盖
2
a3
自球的内接正方体的“牟合方盖”的概率为 3 =4√3.
3
4 (√3 ) 9π
π a
3 2
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8.(2021河南普通高中适应性测试,9)从正方体的12条棱中任选3条棱,则这3条棱两两异面的概
率为( )
2 3 4 6
A. B. C. D.
55 55 55 55
答案 A 从正方体的12条棱中任选3条棱,基本事件总数n= =220,
C3
12
这三条棱两两异面包含的基本事件个数m=8,
m 8 2
故这3条棱两两异面的概率P= = = .
n 220 55
二、多项选择题
1
9.(2021届山东潍坊重点中学联考,10)从甲袋中摸出一个红球的概率是 ,从乙袋中摸出一个红球
3
1
的概率是 ,从两袋各摸出一个球,下列结论正确的是 ( )
2
1
A.2个球都是红球的概率为
6
1
B.2个球不都是红球的概率为
3
2
C.至少有1个红球的概率为
3
1
D.2个球中恰有1个红球的概率为
2
答案 ACD 设“从甲袋中摸出一个红球”为事件A,“从乙袋中摸出一个红球”为事件A,
1 2
1 1
则P(A)= ,P(A)= ,且A,A 相互独立.
1 2 1 2
3 2
1 1 1
从两袋中各摸出一个球,2个球都是红球的概率为 × = ,A正确;
3 2 6
5
“2个球不都是红球”是“2个球都是红球”的对立事件,其概率为 ,B错误;
6
2 1 2
2个球中至少有1个红球的概率为1-P(A)·P(B)=1- × = ,C正确;
3 2 3
1 1 2 1 1
2个球中恰有1个红球的概率为 × + × = ,D正确.故选ACD.
3 2 3 2 2
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三、填空题
1
10.(2021安徽六校联考,16)A,B,C,D四人之间进行投票,各人投自己以外的人1票的概率都是 (个
3
人不投自己的票),则仅A一人是最高得票者的概率为 .
5
答案
27
解析 所有的投票情况共有34=81种,
则仅A一人是最高得票者,有2种情况:
第一种情况,A得了3票,即B、C、D都投了A,而A投了B、C、D中的一个,包含的基本事件个数
为3;
第二种情况,A得了2票,即B、C、D中有2个人投了A,另外一个人投了除A和本人以外的另外2
人中的一个,
而A投了B、C、D中没有得到选票的2人中的一个,包含的基本事件个数为 =12,
C2C1C1
3 2 2
3+12 5
∴仅A一人是最高得票者的概率P= = .
81 27
11.(2021天津南开二模,13)甲、乙两人参加一次历史知识竞赛,已知在备选的10道试题中,甲、乙
分别都能答对其中的8道题.规定每人都从备选题中随机抽出3道题进行回答,至少答对2道题才
算合格.则甲不合格的概率是 .甲、乙两人中恰有一人合格的概率是 .
1 28
答案 ;
15 225
解析 设甲、乙合格分别为事件A、B,
则甲考试合格的概率为P(A)=
C2
8
C1
2
+C3
8=14 ,
C3 15
10
1
∴甲不合格的概率为1-P(A)= ,
15
14
由题意知,乙合格的概率为P(B)= ,
15
14 1 28
故甲、乙两人恰有一人合格的概率为C1× × = .
2 15 15 225
12.(2021天津和平期末,13)现有甲、乙、丙、丁、戊5种在线教学软件,若某学校从中随机选取3
种作为教师“停课不停学”的教学工具,则其中甲、乙、丙至多有2种被选取的概率为 .
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9
答案
10
解析 基本事件总数n= =10,
C3
5
其中甲、乙、丙至多有2种被选取包含的基本事件个数m= + =9,
C2C1 C1C2
3 2 3 2
m 9
则其中甲、乙、丙至多有2种被选取的概率P= = .
n 10
13.(2021天津红桥二模,13)在抗击新冠肺炎疫情期间,甲、乙两所医院各选派了6名医护人员加入
“援鄂医疗队”,其中甲院选派人员中有4名男医生、2名女医生,乙院选派人员中有1名男医生、
5名女医生.现需要分别从甲、乙两院选派的人员中各随机抽调出一名医生作为联络人,则抽调出
的两名医生都是男医生的概率为 .
1
答案
9
解析 设抽调出的两名医生都是男医生为事件A,
则P(A)= C1 4 C 1 1 =1.
C1C1 9
6 6
四、解答题
14.(2021江西八所重点中学月考,18)江西全面推进城市生活垃圾分类,在2021年年底实现“零”
填埋.据统计,截至2020年4月,全省11个设区市有1 596个党政机关、2 008个事业单位、369
个公共场所、373个相关企业、51个示范片区、1 752个居民小区开展了垃圾分类工作,覆盖人
口248.1万人.某校为了宣传垃圾分类知识,面向该校学生开展了“垃圾分类知识”网络问卷调查,
每位学生仅有一次参与机会,通过抽样,得到100人的得分情况,将样本数据分成[50,60),[60,70),
[70,80),[80,90),[90,100]五组,并整理得到如下频率分布直方图:
已知成绩的中位数为75.
(1)求x,y的值,并求出成绩的平均数(同一组中的每个数据可用该组区间中点值代替);
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(2)现用分层抽样从第四组和第五组按照比例抽选出6人进行垃圾分类知识竞答活动,再从中选出
两人进行一对一PK,求抽出的两人恰好来自同一组的概率.
解析 (1)∵中位数为75,∴0.005×10+10y+0.04×(75-70)=0.5,∴y=0.025,又
∵0.05+0.25+0.4+10x+0.1=1,∴x=0.02,
则平均数x=55×0.05+65×0.25+75×0.4+85×0.2+95×0.1=75.5.
(2)解法一:第四组与第五组人数的比为2∶1,∴从第四组抽选4人,记为1、2、3、4,从第五组抽选2
人,记为a、b,所有基本事件为12、13、14、1a、1b、23、24、2a、2b、34、3a、3b、4a、4b、
ab共15种,
来自同一组的有:12、13、14、23,24、34、ab,共7种情况,
7
故恰好来自同一组的概率P= .
15
解法二:第四组与第五组的人数之比为2∶1,所以利用分层抽样从第四组与第五组中分别抽选4人,2
人.设从6人中抽选两人恰好来自同一组为事件A,则P(A)= C2 4 +C 2 2 = 7 .所以抽选的两人恰好来
C2 15
6
7
自同一组的概率为 .
15
15.(2021北京海淀二模,18)为迎接2022年北京冬季奥运会,普及冬奥知识,某地区小学联合开展了
“冰雪答题王”冬奥知识竞赛活动.现从参加该活动的学生中随机抽取了30名学生,将他们的竞
赛成绩(单位:分)用茎叶图记录如下:
(1)从该地区参加该活动的男生中随机抽取1人,估计该男生的竞赛成绩在90分以上的概率;
(2)从该地区参加该活动的全体男生中随机抽取2人,全体女生中随机抽取2人,估计这4人中男生
竞赛成绩在90分以上的人数比女生竞赛成绩在90分以上的人数多的概率;
(3)为便于普及冬奥知识,现从该地区某所小学参加冬奥知识竞赛活动的学生中随机选取10名男
生、10名女生作为冬奥宣传志愿者.记这10名男生竞赛成绩的平均数为μ,这10名女生竞赛成绩
1
的平均数为μ,能否认为μ>μ?说明理由.
2 1 2
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解析 (1)由茎叶图可知,随机抽取的30名学生中男生有15名,其中竞赛成绩在90分以上的有5
名,
5 1
所以随机抽取的15名男生中竞赛成绩在90分以上的频率为 = .
15 3
1
所以从该地区参加该活动的男生中随机抽取1人,估计该男生的竞赛成绩在90分以上的概率为 .
3
(2)记A(i=1,2)表示“第i名男生的竞赛成绩在90分以上”,B(j=1,2)表示“第j名女生的竞赛成绩
i j
在90分以上”,C表示“4人中男生竞赛成绩在90分以上的人数比女生竞赛成绩在90分以上的
人数多”.
3
同(1),从该地区参加该活动的女生中随机抽取1人,估计该女生竞赛成绩在90分以上的概率为
15
1
= ,则P(C)=P(AA B B +AA B B+AAB B +A A B B +A A B B )=P(A)P(A)P(B )P(
5 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1
)+P(A)P(A)P( )P(B)+P(A)P(A)P(B)P( )+P( )P(A)P( )P( )+P(A)P( )P( )P( )
B 1 2 B 2 1 2 1 B A 2 B B 1 A B B
2 1 2 1 1 2 2 1 2
=1×1×( 1)×( 1)+1×1×( 1)×1+1×1×1×( 1)+( 1)×1×( 1)×
1- 1- 1- 1- 1- 1-
3 3 5 5 3 3 5 5 3 3 5 5 3 3 5
( 1)+1×( 1)×( 1)×( 1)= 88 .
1- 1- 1- 1-
5 3 3 5 5 225
(3)参考答案:不能确定μ>μ.
1 2
上述10名男生,10名女生竞赛成绩的数据是随机的,所以μ,μ 是随机的,所以不能确定μ>μ.
1 2 1 2
16.(2021北京平谷质量监控,18)随着人民生活水平的提高,人们对牛奶品质要求越来越高,某牛奶
企业针对生产的鲜奶和酸奶,在一地区进行了质量满意调查,现从消费者人群中随机抽取500人次
作为样本,得到下表(单位:人次):
老年人 中年人 青年人
满意度
酸奶 鲜奶 酸奶 鲜奶 酸奶 鲜奶
满意 100 120 120 100 150 120
不满意 50 30 30 50 50 80
(1)从样本中任取1人,求这个人恰好对生产的酸奶质量满意的概率;
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(2)从该地区的老年人中随机抽取2人,青年人中随机抽取1人,估计这三人中恰有2人对生产的鲜
奶质量满意的概率;
(3)依据表中三个年龄段的数据,你认为哪一个消费群体鲜奶的满意度提升0.1,使得整体对鲜奶的
满意度提升最大?(直接写结果)
解析 (1)设这个人恰好对生产的酸奶质量满意为事件A,抽取的总人次为500,其中对酸奶质量满
370 37
意的有100+120+150=370人次,所以P(A)= = .
500 50
4
(2)由频率估计概率,可得抽取的老年人对生产的鲜奶质量满意的概率为 ,抽取的青年人对生产的
5
3
鲜奶质量满意的概率为 ,记抽取的三人中恰有2人对生产的鲜奶质量满意为事件D,
5
P(D)=
C1
×4×3×(
1-
4)+(4) 2×(
1-
3)= 56 ,
2 5 5 5 5 5 125
56
所以这三人中恰有2人对生产的鲜奶质量满意的概率为 .
125
(3)青年人.
17.(2021北京延庆一模,18)2022年第24届冬季奥林匹克运动会,简称“北京张家口冬奥会”,将在
2022年02月04日~2022年02月20日在北京市和张家口市联合举行,这是中国历史上第一次举
办冬季奥运会,北京将承办所有冰上项目,延庆和张家口将承办所有的雪上项目.下表是截取了2
月5日和2月6日两天的赛程表:
2022年北京冬奥会赛程表(第七版,发布自2020年11月)
2022 北京赛区 延庆赛区 张家口赛区
年 当日决
开闭 冰 冰速度滑 短道 花样 高山 有舵 钢架 无舵 跳台 北欧 越野 单板 冬季 自由式 赛数
2月 幕式 壶 球 冰 速滑 滑冰 滑雪 雪橇 雪车 雪橇 滑雪 两项 滑雪 滑雪 两项 滑雪
5(六) * * 1 1 * 1 1 * 1 1 6
6(日) * * 1 * 1 1 1 1 1 1 7
说明:“*”代表当日有不是决赛的比赛;数字代表当日有相应数量的决赛.
(1)(i)若在这两天每天随机观看一个比赛项目,求恰好看到冰壶和冰球的概率;
(ii)若在这两天每天随机观看一场决赛,求两场决赛恰好在同一赛区的概率;
(2)若在2月6日(星期日)的所有决赛中观看三场,记X为赛区的个数,求X的分布列及期望E(X).
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解析 (1)(i)记“在这两天每天随机观看一个比赛项目,恰好看到冰壶和冰球”为事件A.由题表可
知,在这两天每天随机观看一个比赛项目,共有10×10=100种不同的情况,其中恰好看到冰壶和冰
2 1
球,共有2种不同的情况.所以P(A)= = .
100 50
(ii)记“在这两天每天随机观看一场决赛,两场决赛恰好在同一赛区”为事件B.由题表可知,在这
两天每天随机观看一场决赛共有6×7=42种不同的情况,其中两场决赛恰好在北京赛区共有2种
2+16 3
不同的情况,在张家口赛区共有4×4=16种不同的情况.所以P(B)= = .
42 7
(2)随机变量X的所有可能取值为1,2,3.
根据题意,P(X=1)=
C3
4= 4 ,
C3 35
7
P(X=2)=
C
1
1C
2
2+C
1
1C2
4
+C1
2
C2
4
+C
2
2C1 4=1+6+12+4=23,
C3 35 35
7
P(X=3)= C 1 1C1 2 C1 4= 8 .
C3 35
7
随机变量X的分布列为
X 1 2 3
4 23 8
P
35 35 35
4 23 8 74
数学期望E(X)=1× +2× +3× = .
35 35 35 35
10 / 10
