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专题二 不等式 ４７
２．２ 二元一次不等式（组）与简单的线性规划
§
注意不等式中有无等号 无等号时直线画成虚线 有等号时直
， ，
线画成实线 特殊点一般选一个 当直线不过原点时 优先选原点．
， ， ，
二、线性规划问题
考点 简单的线性规划
１．简单的线性规划问题的有关概念
一、平面区域问题
名称 意义
１．在平面直角坐标系中 平面内所有的点被直线Ａｘ Ｂｙ Ｃ 约束条件 由变量ｘ ｙ组成的不等式 组
， ＋ ＋ ＝ ， （ ）
Ａ Ｂ不同时为 分成三类 坐标满足Ａｘ Ｂｙ Ｃ 的点 线性约束条件 由变量ｘ ｙ组成的一次不等式 组
０（ 、 ０） ：（１） ＋ ＋ ＝０ ； ， （ ）
坐标满足Ａｘ Ｂｙ Ｃ 的点 坐标满足Ａｘ Ｂｙ Ｃ 的点． 目标函数 关于ｘ ｙ的函数解析式
（２） ＋ ＋ ＞０ ；（３） ＋ ＋ ＜０ ，
２．在平面直角坐标系中 Ａｘ Ｂｙ Ｃ 或Ａｘ Ｂｙ Ｃ 表示直线 线性目标函数 关于ｘ ， ｙ的一次函数解析式
， ＋ ＋ ＞０（ ＋ ＋ ＜０） 可行解 满足约束条件的解 ｘ ｙ
Ａｘ Ｂｙ Ｃ 某一侧的所有点组成的平面区域 且不含边界 作图时 （ ， ）
＋ ＋ ＝０ ， ， 可行域 所有可行解组成的集合
边界应画成虚线 在平面直角坐标系中 画Ａｘ Ｂｙ Ｃ 或Ａｘ Ｂｙ
； ， ＋ ＋ ≥０（ ＋ ＋ 最优解 使目标函数取得最大值或最小值的可行解
Ｃ 表示的平面区域时 边界应画成实线．
≤０） ， 求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小
３．由于将直线Ａｘ Ｂｙ Ｃ 同一侧的所有点 ｘ ｙ 代入Ａｘ 线性规划问题
＋ ＋ ＝０ （ ， ） ＋ 值问题
Ｂｙ Ｃ所得到的实数的符号相同 所以只需在此直线的某一侧任
＋ ， 说明 如果目标函数存在一个最优解 那么最优解通常在
取一特殊点 ｘ ｙ 由Ａｘ Ｂｙ Ｃ的符号即可判断不等式Ａｘ ，
Ｂｙ Ｃ 或 （ Ａｘ ０， Ｂ ０ ｙ ）， Ｃ 所 ０＋ 表示 ０＋ 的平面区域在直线的哪一侧． ＋ 可行域的顶点处取得 ； 如果目标函数存在多个最优解 ， 那么最优
＋ ＞０（ ＋ ＋ ＜０） 解一般在可行域的边界上取得．
４．二元一次不等式组表示的平面区域
２．对线性目标函数ｚ Ａｘ Ｂｙ中的Ｂ的符号一定要注意 当
二元一次不等式组表示的平面区域是各个不等式表示的平 ＝ ＋ ，
Ｂ 时 直线ｚ Ａｘ Ｂｙ过可行域且在ｙ轴上截距最大时 ｚ值最
面区域的交集 即各个不等式表示的平面区域的公共部分． ＞０ ， ＝ ＋ ，
， 大 在ｙ轴上截距最小时 ｚ值最小 当Ｂ 时 直线ｚ Ａｘ Ｂｙ过
画二元一次不等式 组 表示的平面区域的一般步骤 直线定 ， ， ； ＜０ ， ＝ ＋
（ ） ： 可行域且在ｙ轴上截距最大时 ｚ值最小 在ｙ轴上截距最小时 ｚ
界 虚实分明 特殊点定域 优选原点 阴影表示． ， ； ，
， ； ， ； 值最大．
为 则ｚ的最小值为
１， （ ）
１ ３ １ １
Ａ．－ Ｂ．－ Ｃ． Ｄ．－
３ ７ ３ ５
考点 简单的线性规划 答案 Ｄ
{ｘ ４．已知 Ｍ Ｎ 点 Ｐ ｘ ｙ 的坐标 ｘ ｙ 满足
－２≤０， （－４，０）， （０，４）， （ ， ） ，
１．若ｘ ｙ满足约束条件 ｘ ｙ 则ｚ ｘ ｙ的最大值等于 {ｘ
， ＋ －３≤０， ＝ ＋２ ≤０，
ｘ ｙ ｙ 则Ｍ→Ｐ Ｎ→Ｐ的最小值为
２ ＋ －４≥０， ≥０， · （ ）
ｘ ｙ
（ ） ３ －４ ＋１２≥０，
Ａ．２ Ｂ．３ Ｃ．４ Ｄ．５ ２ ４ １９６
答案 Ｄ Ａ． Ｂ． Ｃ．－ Ｄ．－ ５
５ ２５ ２５
{ｙ ｘ 答案 Ｃ
≤－ ＋２，
２．已知不等式组 ｙ ｋｘ 所表示的平面区域为面积等于 １ 的 { ｘ ｙ
≤ －１， ２ － ≥０，
ｙ ４ ５．已知实数ｘ ｙ满足约束条件 ｙ ｘ 若ｚ ｘ ｙ的最小值为
≥０ ， ≥ ， ＝２ ＋
三角形 则实数ｋ的值为 ｙ ｘ ｂ
， （ ） ≥－ ＋ ，
则实数ｂ ．
１ １ ３， ＝
Ａ．－１ Ｂ．－ Ｃ． Ｄ．１
２ ２ 答案 ９
答案 Ｄ
４
{ｘ ａ
－ ≤０， ｙ
３．实数ｘ ｙ满足线性约束条件 ｘ ｙ 若 ｚ －１的最大值
， ＋ －２≥０， ＝ｘ
ｘ ｙ ＋３
２ － ＋２≥０，
４８ ５年高考３年模拟 Ａ版（教师用书）
３．（２０２０非凡吉创联盟１０月调研，１４）设变量ｘ ｙ满足约束条
，
{ｘ ｙ
－ ＋１≥０，
件 ｘ ｙ 则目标函数ｚ ｘ ｙ的最小值为 ．
＋ ＋１≥０， ＝３ －
考点 简单的线性规划
ｘ
≤０，
{ｘ ｙ 答案
＋ －１≤０， －３
１．（２０１９陕西模拟，９）若变量ｘ ｙ满足约束条件 ｘ ｙ 则 解析 作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示
， － ＋３≤０， ，
ｘ 由ｚ ｘ ｙ 得 ｙ ｘ ｚ 由图象可知当直线 ｙ ｘ ｚ 经过点
＋２≥０， ＝３ － ， ＝３ － ， ＝３ －
ｙ Ａ 时ｚ最小．此时ｚ的最小值为 ．
的最大值是 （－１，０） －３
ｘ （ ）
１ １ ３
Ａ．－ Ｂ．－ Ｃ．－２ Ｄ．－
３ ２ ２
答案 Ｂ 由约束条件画出可行域 如图中阴影部分所示 ．
（ ）
４．（２０１９浙江温州九校联考，１２）已知点 Ｐ ｘ ｙ 在不等式组
（ ， ）
{ｘ ｙ
－ ＋５≥０，
ｙ ａ 表示的平面区域Ｄ上运动 若区域Ｄ表示一个三
≥ ， ，
ｙ ｘ
－２ ≥０
角形 则ａ的取值范围是 若ａ 则ｚ ｘ ｙ的最大
， ， ＝２， ＝ －２
值是 ．
ｙ
的几何意义是可行域内的点 ｘ ｙ 与坐标原点的连线的斜 答案 ａ
ｘ （ ， ） ＜１０；－３
解析 画出可行域如图 易知ａ ｙ 时可构成三角形．当ａ
率 由图可知点Ａ 与坐标原点 的连线的斜率最 ， ＜ Ａ＝１０
， （－２，１） （０，０） 时 不等式组所表示的平面区域为图中阴影部分 由ｚ ｘ
( ｙ ) ＝２ ， ， ＝ －
大 即 １ １ ． ｚ ｚ
， ｘ ＝ ＝－ ｙ 得ｙ １ｘ 当直线ｙ １ｘ 向左上方移动时 ｚ逐渐减
ｍａｘ －２ ２ {ｘ ２ ， ＝
２
－
２
， ＝
２
－
２
，
≤０， ｚ
２．（２０１８江西南昌二模，７）若Ａ为不等式组 ｙ 表示的平面 小 所以当直线ｙ １ｘ 过点Ｂ 时 ｚ有最大值 ．
≥０， ， ＝ － （１，２） ， －３
ｙ ｘ ２ ２
－ ≤２
区域 则ａ从 连续变化到 时 动直线ｘ ｙ ａ扫过Ａ中的
， －２ １ ， ＋ ＝
那部分区域的面积为
（ ）
７ ７
Ａ．９ １３ Ｂ．３ １３ Ｃ． Ｄ．
２ ４
答案 Ｄ 如图 不等式组表示的平面区域是 ＢＯＣ及其内
， △
部 当ａ从 连续变化到 时 动直线ｘ ｙ ａ扫过Ａ中的那
， －２ １ ， ＋ ＝
部分区域为图中的四边形ＢＯＤＥ 其面积为Ｓ Ｓ １
， △ ＢＯＣ－ △ ＤＥＣ＝ ×
２
１ １ ７ ．
２×２－ ×１× ＝
２ ２ ４
专题二 不等式 ４９
ｘ２ ｙ２ 的几何意义是原点Ｏ到可行域内点的距离的平方
＋ ，
由图可知 Ｏ到直线ｘ ｙ 的距离最小 为 １ ．
， ＋ －１＝０ ，
考法 目标函数最值（范围）问题的求解方法
２
例１ （２０１７ 课标Ⅰ，１４，５ 分）设 ｘ ｙ 满足约束条件 可行域内的点Ｂ与坐标原点的距离最大 ， 为 ２ ２ ＋１ ２ ＝ ５ ．
，
{ｘ
＋２
ｙ
≤１， ∴
ｘ２
＋
ｙ２ 的最大值与最小值之和为
５＋
１
＝
１１．
ｘ ｙ 则ｚ ｘ ｙ的最小值为 ． ２ ２
２ ＋ ≥－１， ＝３ －２ 答案 Ｂ
ｘ ｙ
－ ≤０，
解析 由约束条件作出可行域，如图中
例 （２０２０浙江台州一中期中，１１）设ｘ
，
ｙ满足约束条件
{ｘ ｙ
阴影部分所示（含边界）． － ＋２≥０， ｙ
ｘ ｙ 则ｚ ｙ ｘ的最小值是 ｚ ＋４的最小值
平移直线 ｘ ｙ 可知，目标函数ｚ ＋２ －４≥０， ＝ － ， ＝ ｘ
３ －２ ＝０ ｘ ｙ
ｘ ｙ 在 Ａ 点 处 取 最 小 值， 由 ２ － －８≤０，
＝ ３ － ２ 是 ．
{ｘ ｙ ， {ｘ ，
＋
ｘ
２
ｙ
＝１ 解得
ｙ
＝－
，
１ 即Ａ（
－１
，
１
），所以 解析 本题考查简单的线性规划问题；考查学生数学运算
２ ＋ ＝－１ ＝１
ｚ ．
能力和数形结合的思想；考查了数学运算的核心素养．
ｍｉｎ＝
答
－５
案
根据约束条件画出可行域，如图．
－５
作出直线ｌ ：ｙ ｘ，平移直线ｌ ，当经过点Ｂ（ ， ）时，目标
例２ （２０２０湖南长郡中学第二次适应性考试，１３）已知 ０ ＝ ０ ４ ０
ｙ
{ｙ 函数取得最小值，最小值为ｚ ．ｚ ＋４，则ｚ的几何意义是区
≤２， ＝－４ ＝ ｘ
实数ｘ ｙ满足约束条件 ｘ ｙ 若ｚ ｘ ｔｙ ｔ 的最大值
， ＋ ≥１， ＝ ＋ （ ＞０） 域内的点到Ｄ（ ， ）的斜率，
ｙ ｘ ０ －４
≥２（ －２），
为 则实数ｔ ． 由图知直线ＢＤ的斜率最小，此时ｋ ０＋４ ，
１１， ＝ ＝ ＝１
４
解析 由已知条件画出可行域，如图．
ｙ
即ｚ ＋４的最小值是 ．
＝ ｘ １
平移直线ｙ １ ｘ（ｔ ），可
＝－ ｔ ＞０
知ｚ ｘ ｔｙ（ｔ ）在点Ａ处取得最
＝ ＋ ＞０
{ｙ ，
大值．由 ＝２
ｙ （ｘ ），
＝２ －２
{ｘ ，
解得 ＝３ 即Ａ（ ， ）．则
ｙ ， ３ ２ １１
＝２
ｔ，解得ｔ ．
＝３＋２ ＝４
答案
４
例 （２０１９ 安徽马鞍山一模，５）已知实数 ｘ ｙ 满足
、
{ｘ
≤１，
ｙ ｘ 则ｘ２ ｙ２ 的最大值与最小值之和为
≤ ＋１， ＋ （ ）
ｙ ｘ
≥１－ ，
１１
Ａ．５ Ｂ． Ｃ．６ Ｄ．７
２
{ｘ ≤１ ， 答案 －４ ； １
解析 作出不等式组 ｙ ｘ ，表示的可行域如图中阴影
≤ ＋１
ｙ ｘ
≥１－
所示．
５０ ５年高考３年模拟 Ａ版（教师用书）
Ｏ→Ａ Ｏ→Ｐ
坐标原点 则 · 的最大值为
， （ ）
Ｏ→Ｐ
｜ ｜
考法 目标函数最值（范围）问题的求解方法 １
Ａ． ３ Ｂ．１ Ｃ．２ Ｄ．
１．（２０２０湖南长郡中学第二次适应性考试，６）已知实数ｘ ｙ满足不 ２
， 答案 Ｂ
{ｘ ｙ
－ ≥０， ４．（２０１９ 五省优创名校联考，４） 设 ｘ ｙ 满足约束条件
等式组 ２ ｘ ＋ ｙ ≤６， 则点 （ ｘ ， ｙ ） 构成平面区域的面积是 （ ） {ｘ ｙ ，
ｘ ｙ － ＋６≥０， ｙ
＋ ≥２， ｘ 则ｚ 的取值范围是
≤３， ＝ｘ （ ）
５ ３ ｘ ｙ ＋１
Ａ．３ Ｂ． Ｃ．２ Ｄ． ＋ －３≥０，
２ ２
答案 Ａ Ａ．（－∞，－９］∪［０，＋∞） Ｂ．（－∞，－１１］∪［－２，＋∞）
{ ｘ ｙ Ｃ．［－９，０］ Ｄ．［－１１，－２］
２．（２０２０广东一模，３）若ｘ ｙ满足约束条件 ｜ － ｜≤１，则ｚ ｘ 答案 Ａ
， ｘ ＝２
｜ ｜≤２， ５．（２０２０湖北襄阳四中５ 月检测，１４）已知在平面直角坐标系
ｙ的最大值为
＋ （ ） ( )
中 Ｏ Ｍ １ Ｎ Ｑ 动点Ｐ ｘ ｙ 满足
Ａ．－７ Ｂ．３ Ｃ．５ Ｄ．７ ， （０，０）， １， ， （０，１）， （２，３）， （ ， ） ０
答案 Ｄ ２
３．（２０２０ 湖北八校第二次联考，７）已知点 Ｐ 为不等式组 ≤
Ｏ→Ｐ
·
Ｏ→Ｍ
≤１，０≤
Ｏ→Ｐ
·
Ｏ→Ｎ
≤１，
则 ｗ
＝
Ｏ→Ｑ
·
Ｏ→Ｐ的最大值为
{ ．
ｘ ｙ
３ － ≥０， 答案
ｘ ｙ 所表示的可行域内任意一点 点Ａ Ｏ为 ４
＋ －２≤０， ， （－１， ３），
ｙ
≥０
答案 Ａ 画出约束条件所表示的可行域 如图中阴影部分
，
所示．
考法一 目标函数最值（范围）问题的求解方法
{ｘ ｙ
－ ≥０，
１．（２０１８广东东莞模拟，７）已知 ｘ ｙ 则 ｚ ２ ｘ ＋ ｙ的最小
３ － －６≤０， ＝２
ｘ ｙ
＋ －２≥０，
值是
（ ）
Ａ．１ Ｂ．１６ Ｃ．８ Ｄ．４ 因为可行域内ｘ ｙ 所以ｚ ｘ ｙ ｘ ｙ 可化为ｙ
答案 Ｃ 作出不等式组对应的平面区域如图中阴影部分 ≥０， ≥０， ＝｜ ＋３ ｜＝ ＋３ ， ＝
ｚ
所示． １ ｘ ．
－ ＋
３ ３
ｚ
当直线ｙ １ ｘ 经过点Ａ时 直线在ｙ轴上的截距最大 此
＝－ ＋ ， ，
３ ３
时ｚ取得最大值．
{ｘ ｙ {ｘ
由 － ＋１＝０，解得 ＝３，
ｘ ｙ ｙ
４ － －８＝０ ＝４，
故Ａ 此时Ｚ ．
（３，４）， ｍａｘ＝３＋３×４＝１５
所以ｚ ｘ ｙ 的最大值为 故选
＝｜ ＋３ ｜ １５， Ａ．
设ｍ ｘ ｙ 则ｙ ｘ ｍ 一题多解 画出约束条件表示的可行域 图略 ．ｚ ｘ ｙ
＝２ ＋ ， ＝－２ ＋ ， （ ） ＝｜ ＋３ ｜ ＝
由图可知当直线ｙ ｘ ｍ经过点Ａ时 直线的纵截距最小 ｘ ｙ
＝－２ ＋ ， ， ｜ ＋３ ｜ 表示可行域内的动点Ｐ ｘ ｙ 到直线ｘ ｙ 的
此时ｍ最小 ｚ也最小 × １０ （ ， ） ＋３ ＝０
{ｘ ｙ ， {ｘ ， １０
由 － ＝０， 解得 ＝１，即Ａ 距离ｄ 的 倍 即 ｚ ｄ．由图可知 ｄ ｜３＋３×４｜
ｘ ＋ ｙ －２＝０ ｙ ＝１， （１，１）， １０ ， ＝ １０ ， ｍａｘ ＝ ＝
此时ｍ ｚ ３ 故选 １０
２．（２０１８ ｍｉｎ 皖 ＝２ 南 ×１ 八 ＋１ 校 ＝３ ４ ， ｍ 月 ｉｎ＝ 联 ２ 考 ＝８ ， ， ７） 设 Ｃ． ｘ
，
ｙ 满足约束条件 １５ ，∴ ｚ ｍａｘ＝１５ ．
{ｘ ｙ １０
－ ＋１≥０， ３．（２０２０ 安徽安庆一中 １０ 月模拟，９）已知实数 ｘ ｙ 满足
ｘ ｙ 则ｚ ｘ ｙ 的最大值为 ，
＋２ －２≥０， ＝｜ ＋３ ｜ （ ）
ｘ ｙ
４ － －８≤０，
Ａ．１５ Ｂ．１３
Ｃ．３ Ｄ．２
专题二 不等式 ５１
ì ï ï ｙ ≤ ｘ ， ４． { （ ｘ ２０１ ｙ ９ 浙江杭州二模，１４） 设实数 ｘ ， ｙ 满足不等式组
ï ｙ ２ ｘ ｘ ｙ ＋２ －５≥０，
í ≥－ （ －１），则ｚ ＋ ＋１的最大值为 ｘ ｙ 则ｘ ｙ的最小值是 设ｄ ｘ２ ｙ２ 则ｄ
ï ３ ＝ ｘ （ ） ２ ＋ －７≥０， ＋２ ； ＝ ＋ ，
＋１ ｘ ｙ
ïïｙ ２ ｘ ≥０， ≥０，
î ≥ ， 的最小值等于 ．
３
７ １１ １ ３ 答案 ４９
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． ５；
５ ９ ２ ２ ５
答案 Ｄ 作出不等式组表示的平面区域 如图所示 ｚ 解析 由题意作出可行域如图所示
， ， ＝ ，
ｘ ｙ ｙ ｙ
＋ ＋１ 且 表示可行域内的点 ｘ ｙ 与点 连
ｘ ＝１＋ｘ ， ｘ （ ， ） （－１，０）
＋１ ＋１ ＋１
( ) ( ) ( )
线的斜率 易知Ａ １ １ Ｂ １ １ Ｃ ９ ３ 由图可知
， ， ， ， ， ， ，
４ ２ ２ ３ ４ ２
在可行域内点Ｅ与点 连线的斜率最大 此时过点
（－１，０） ， （－１，
ｙ
的直线与曲线ｙ ｘ相切 求得Ｅ 所以 的最大值
０） ＝ ， （１，１）， ｘ
＋１
ｘ ｙ
为 １ 故ｚ ＋ ＋１的最大值为 ３ 因此选 ．
， ＝ ｘ ， Ｄ
２ ＋１ ２ 当直线ｘ ｙ ｔ经过点 时 ｘ ｙ有最小值
＋２ ＝ （３，１） ， ＋２ ５；
由题意可知ｄ的几何意义是平面区域内的点 ｘ ｙ 与原点的
（ ， ）
距离的平方 显然 ｄ ｜２×０＋０－７｜ ７
， ｍｉｎ＝ ＝ ，
２ ２
２ ＋１ ５
所以ｄ的最小值等于４９．
５
考点 简单的线性规划 答案 Ｃ
１．（２０２０ 浙 江， ３， ４ 分） 若 实 数 ｘ ｙ 满 足 约 束 条 件 { ｘ ｙ
， ２ ＋３ －３≤０，
{ｘ ｙ ５．（２０１７课标Ⅱ，５，５分）设ｘ ｙ满足约束条件 ｘ ｙ 则
－３ ＋１≤０，则ｚ ｘ ｙ的取值范围是 ， ２ －３ ＋３≥０，
ｘ ｙ ＝ ＋２ （ ） ｙ
＋ －３≥０， ＋３≥０，
ｚ ｘ ｙ的最小值是
Ａ．（－∞，４］ Ｂ．［４，＋∞） ＝２ ＋ （ ）
Ｃ．［５，＋∞） Ｄ．（－∞，＋∞）
答案 Ｂ
Ａ．－１５ Ｂ．－９ Ｃ．１ Ｄ．９
ìｘ ｙ 答案 Ａ
ï ＋ －２≤０，
ïｘ ｙ ６．（２０２０ 课标Ⅰ，文 １３，理 １３，５ 分）若 ｘ ｙ 满足约束条件
２．（２０１９天津，２，５分）设变量ｘ ， ｙ满足约束条件í ï ï ｘ ≥ － － ＋ １ ２ ， ≥０，则 { ２ ｘ ＋ ｙ －２≤０， ，
îｙ ｘ ｙ 则ｚ ｘ ｙ的最大值为 ．
≥－１， － －１≥０， ＝ ＋７
目标函数ｚ ｘ ｙ的最大值为 ｙ
＝－４ ＋ （ ） ＋１≥０，
答案
Ａ．２ Ｂ．３ Ｃ．５ Ｄ．６ １
答案 Ｃ ７．（２０２０ 课标Ⅲ，文 １３，理 １３，５ 分）若 ｘ ｙ 满足约束条件
３．（２０１９ 北京，５，５分）若ｘ ｙ满足 ｘ ｙ 且ｙ 则 ｘ ｙ {ｘ ｙ
，
， ｜ ｜≤１－ ， ≥－１， ３ ＋ ＋ ≥０，
的最大值为 ｘ ｙ 则ｚ ｘ ｙ的最大值为 ．
（ ） ２ － ≥０， ＝３ ＋２
ｘ
Ａ．－７ Ｂ．１ Ｃ．５ Ｄ．７ ≤１，
答案 Ｃ 答案
４．（２０１９ 浙 江， ３， ４ 分） 若 实 数 ｘ ｙ 满 足 约 束 条 件
７
{ｘ ｙ
， －２ －２≤０，
{ｘ ｙ ８．（２０１８课标Ⅰ，１３，５分）若ｘ ｙ满足约束条件 ｘ ｙ 则
－３ ＋４≥０， ， － ＋１≥０，
ｘ ｙ 则ｚ ｘ ｙ的最大值是 ｙ
３ － －４≤０， ＝３ ＋２ （ ） ≤０，
ｘ ｙ ｚ ｘ ｙ的最大值为 ．
＋ ≥０， ＝３ ＋２
答案
Ａ．－１ Ｂ．１ Ｃ．１０ Ｄ．１２ ６
５２ ５年高考３年模拟 Ａ版（教师用书）
考点 简单的线性规划 ( )
３ １ 分别代入目标函数ｚ ｘ ｙ 得到ｚ ．
１．（２０１８ 天津，理 ２，文 ２，５ 分）设变量 ｘ ｙ 满足约束条件 ２ ， ２ ， ＝ ＋ ， ｍａｘ＝３
， { ｘ ｙ
ì ï ï ｘ ＋ ｘ ｙ ≤ ｙ ５， ４．（２０１６北京理，２，５分）若ｘ ， ｙ满足 ２ ｘ ＋ － ｙ ≤ ≤ ３ ０ ， ， 则 ２ ｘ ＋ ｙ的最大
í２ － ≤４，则目标函数ｚ ｘ ｙ的最大值为
ï ｘ ｙ ＝３ ＋５ （ ） ｘ ≥０，
î ï ｙ － ＋ ≤１， 值为 （ ）
≥０，
Ａ．０ Ｂ．３ Ｃ．４ Ｄ．５
Ａ． 答 ６ 案 Ｃ 本 Ｂ 题 ．１ 主 ９ 要考查线性 Ｃ 目 ．２１ 标函数最值 Ｄ 的 ．４ 求 ５ 解． 答案 Ｃ 画出可行域 ， 如图中阴影部分所示 ， 令ｚ ＝２ ｘ ＋ ｙ ， 则
ｙ ｘ ｚ 当直线ｙ ｘ ｚ过点Ａ 时 ｚ最大 ｚ ．故
由变量ｘ
，
ｙ满足的约束条件画出可行域
（
如图阴影部分所示
）
． ＝－２ ＋ ， ＝－２ ＋ （１，２） ， ， ｍａｘ＝４
选 ．
Ｃ
作出基本直线ｌ ｘ ｙ 平移直线ｌ 当经过点Ａ 时 ｚ 思路分析 先画出可行域 再令ｚ ｘ ｙ并改写成斜截式 找
０：３ ＋５ ＝０， ０， （２，３） ， ， ＝２ ＋ ，
取最大值 ｚ 故选 ． 到令ｚ取最大值时的点 代入求值．
２．（２０１７ 课 ， ｍ 标 ａｘ＝ Ⅲ ３×２ 文 ＋５ ， × ５ ３ ， ＝ ５ ２１， 分） 设 Ｃ ｘ ｙ 满 足 约 束 条 件 评析 本题考查简单的 ， 线性规划，属容易题．
，
{ ｘ ｙ ５．（２０１６ 天津理，２，５ 分） 设变量 ｘ ｙ 满足约束条件
３ ｘ ＋２ －６≤０， 则ｚ ｘ ｙ的取值范围是 {ｘ ｙ ，
≥０， ＝ － （ ） － ＋２≥０，
ｙ ｘ ｙ 则目标函数ｚ ｘ ｙ的最小值为
≥０， ２ ＋３ －６≥０， ＝２ ＋５ （ ）
ｘ ｙ
Ａ．［－３，０］ Ｂ．［－３，２］ Ｃ．［０，２］ Ｄ．［０，３］ ３ ＋２ －９≤０，
答案 Ｂ 由题意 画出可行域 如图中阴影部分所示 易
， （ ）， Ａ．－４ Ｂ．６ Ｃ．１０ Ｄ．１７
知Ａ Ｂ ． 答案 Ｂ 由线性约束条件画出可行域 如图中阴影部分 ．
（０，３）， （２，０） （ ）
由图可知 目标函数ｚ ｘ ｙ在点Ａ Ｂ处分别取得最小值与最
， ＝ － ，
大值 ｚ ｚ
， ｍｉｎ＝０－３＝－３， ｍａｘ＝２－０＝２，
故ｚ ｘ ｙ的取值范围是 ．故选 ．
＝ － ［－３，２］ Ｂ
当直线 ｘ ｙ ｚ 过点Ａ 时 ｚ 故选 ．
２ ＋５ － ＝０ （３，０） ， ｍｉｎ＝２×３＋５×０＝６， Ｂ
评析 本题考查了简单的线性规划问题，正确画出可行域是
求解的关键．
{ｘ ｙ
{ｘ ｙ ＋ ≤２，
＋３ ≤３， ６．（２０１６山东，４，５分）若变量ｘ ｙ满足 ｘ ｙ 则ｘ２ ｙ２ 的
３．（２０１７课标Ⅰ文，７，５分）设ｘ ｙ满足约束条件 ｘ ｙ 则ｚ ， ２ －３ ≤９， ＋
， － ≥１， ｘ
ｙ ≥０，
≥０， 最大值是
ｘ ｙ的最大值为 （ ）
＝ ＋ （ ）
Ａ．４ Ｂ．９ Ｃ．１０ Ｄ．１２
Ａ．０ Ｂ．１ Ｃ．２ Ｄ．３ 答案 Ｃ 作出不等式组所表示的平面区域 如图 阴影部
答案 Ｄ 本题考查简单的线性规划问题． ， （
分 所示
作出约束条件表示的可行域如图 ） ，
：
平移直线ｘ ｙ 可得目标函数ｚ ｘ ｙ在Ａ 处取得最大 ｘ２ ｙ２ 表示平面区域内的点到原点的距离的平方 由图易知平
＋ ＝０， ＝ ＋ （３，０） ＋ ，
值 ｚ 故选 ． 面区域内的点Ａ 到原点的距离最大 所以ｘ２ ｙ２ 的最大
， ｍａｘ＝３， Ｄ （３，－１） ， ＋
一题多解 由约束条件求出三个交点的坐标 值是 故选 ．
（３，０），（１，０）， １０， Ｃ
专题二 不等式 ５３
评析 本题考查了数形结合的思想方法．利用ｘ２ ｙ２ 的几何意
＋
义是求解的关键．
７．（２０１６浙江，３，５分）在平面上 过点Ｐ作直线ｌ的垂线所得
，
{ｘ
－２≤０，
的垂足称为点Ｐ在直线ｌ上的投影．由区域 ｘ ｙ 中的点
＋ ≥０，
ｘ ｙ
－３ ＋４≥０
在直线ｘ ｙ 上的投影构成的线段记为ＡＢ 则 ＡＢ
＋ －２＝０ ， ｜ ｜＝ （ ）
点Ａ的纵坐标为 ｍ 点Ｂ的纵坐标为 ２ ｍ Ｃ Ｄ两点的
１＋ ， （１＋ ）， ，
Ａ．２ ２ Ｂ．４ Ｃ．３ ２ Ｄ．６
３
答案 Ｃ 由不等式组画出可行域 如图中的阴影部分所示． 横坐标分别为 ｍ
， ２，－２ ，
因为直线ｘ ｙ 与直线ｘ ｙ 平行 所以可行域内的点在
＋ －２＝０ ＋ ＝０ ， 所以Ｓ １ ｍ ｍ １ ｍ ２ ｍ
直线ｘ ＋ ｙ －２＝０ 上的投影构成的线段的长 ｜ ＡＢ ｜ 即为 ｜ ＣＤ ｜ ．易得 △ ＡＢＣ＝ ２ （２＋２ ）（１＋ ）－ ２ （２＋２ ）· ３ （１＋ ）
Ｃ （２，－２）， Ｄ （－１，１）， 所以 ｜ ＡＢ ｜＝｜ ＣＤ ｜＝ （２＋１） ２ ＋（－２－１） ２ ＝３ ２ ． １ ｍ ２ ４
故选 ． ＝ ３ （１＋ ） ＝ ３ ，
Ｃ
解得ｍ 舍去 或ｍ ．
＝－３（ ） ＝１
故选 ．
Ｂ
{ｘ ｙ
－ ≥０，
１０．（２０１５山东理，６，５分）已知ｘ ｙ满足约束条件 ｘ ｙ 若ｚ
， ＋ ≤２，
ｙ ．
≥０
ａｘ ｙ的最大值为 则ａ
＝ ＋ ４， ＝ （ ）
Ａ．３ Ｂ．２ Ｃ．－２ Ｄ．－３
{ｘ ｙ 答案 Ｂ 作出可行域如图．
＋ －３≥０，
８．（２０１６浙江，４，５分）若平面区域 ｘ ｙ 夹在两条斜率
２ － －３≤０，
ｘ ｙ
－２ ＋３≥０
为 的平行直线之间 则这两条平行直线间的距离的最小值是
１ ，
（ ）
３ ５ ３ ２
Ａ． Ｂ． ２ Ｃ． Ｄ． ５
５ ２
答案 Ｂ 作出可行域如图．
当ａ 时 显然ｚ ａｘ ｙ的最大值不为 当ａ 时 ｚ ｙ
① ＜０ ， ＝ ＋ ４；② ＝０ ， ＝
在Ｂ 处取得最大值 为 不符合题意 当 ａ 时 ｚ
（１，１） ， １， ；③ ０＜ ＜１ ，
ａｘ ｙ在Ｂ 处取得最大值 ｚ ａ 故ａ 舍去
＝ ＋ （１，１） ， ｍａｘ＝ ＋１＝４， ＝３， ；
当ａ 时 ｚ ｘ ｙ 的最大值为 不符合题意 当 ａ
④ ＝１ ， ＝ ＋ ２， ；⑤ ＞１
时 ｚ ａｘ ｙ在Ａ 处取得最大值 ｚ ａ 得ａ 符
， ＝ ＋ （２，０） ， ｍａｘ＝２ ＝４， ＝２，
合题意．综上 ａ ．
， ＝２
１１．（２０１５ 福建文，１０，５ 分） 变量 ｘ ｙ 满足约束条件
，
{ｘ ｙ
＋ ≥０，
ｘ ｙ 若ｚ ｘ ｙ的最大值为 则实数ｍ等于
－２ ＋２≥０， ＝２ － ２，
{ ｘ ｙ ｍｘ ｙ ．
由 ２ － －３＝０，得Ａ － ≤０
ｘ ｙ （２，１），
＋ －３＝０， （ ）
{ｘ ｙ
由 ＋ －３＝０， 得Ｂ ． Ａ．－２ Ｂ．－１ Ｃ．１ Ｄ．２
ｘ ｙ （１，２） 答案 Ｃ 当ｍ 时 约束条件所表示的平面区域是开放
－２ ＋３＝０， ＜０ ，
斜率为 的平行直线ｌ ｌ 分别过Ａ Ｂ两点时它们之间的距离 的 目标函数ｚ ｘ ｙ无最大值 排除 当ｍ 时 目标
１ １，２ ， ， ＝２ － ， Ａ，Ｂ， ＝２ ，
最小．过Ａ 的直线ｌ ｙ ｘ 过Ｂ 的直线ｌ ｙ ｘ 函数ｚ ｘ ｙ的最大值为 于是排除 故选 ．
（２，１） １： ＝ －１， （１，２） ２： ＝ ＋ ＝２ － ０， Ｄ， Ｃ
１２．（２０１５陕西，理１０，文１１，５分）某企业生产甲 乙两种产品
此时两平行直线间的距离ｄ ２ ．故选 ． 、
１， ＝ ＝ ２ Ｂ 均需用Ａ Ｂ两种原料．已知生产 吨每种产品所需原料及每
２ ， １
{ｘ ｙ 天原料的可用限额如下表所示．如果生产 吨甲 乙产品可获
＋ －２≤０， １ 、
９．（２０１５重庆，１０，５ 分）若不等式组 ｘ ｙ 表示的平面 利润分别为 万元 万元 则该企业每天可获得最大利润为
＋２ －２≥０， ３ 、４ ，
ｘ ｙ ｍ
－ ＋２ ≥０ （ ）
甲 乙 原料限额
区域为三角形 且其面积等于 ４ 则ｍ的值为
， ， （ ）
３ Ａ 吨
（ ） ３ ２ １２
４
Ａ．－３ Ｂ．１ Ｃ． Ｄ．３ Ｂ 吨
３ （ ） １ ２ ８
答案 Ｂ 如图 要使不等式组表示的平面区域为三角形 万元 万元 万元 万元
， ， Ａ．１２ Ｂ．１６ Ｃ．１７ Ｄ．１８
则 －２ ｍ ＜２， 即 ｍ ＞－１， 所围成的区域为 △ ＡＢＣ ， Ｓ △ ＡＢＣ ＝ Ｓ △ ＡＤＣ 答案 Ｄ 设该企业每天生产甲产品ｘ吨 ， 乙产品ｙ吨 ， 获
Ｓ ． 利ｚ万元 则
－ △ ＢＤＣ ，
５４ ５年高考３年模拟 Ａ版（教师用书）
ì ｘ ｙ ａ ａ
ï３ ＋２ ≤１２， 因此 －１ ａ ＋１ 化简得ａ２ ａ
ïｘ ｙ ＋ × ＝７， ＋２ －１５＝０，
由题设可得í ＋２ ≤８， ｚ ｘ ｙ． ２ ２
ïｘ ＝３ ＋４ 解得ａ 或 ａ 但 ａ 时 ｚ 取得最大值 故舍去 故
ï ≥０， ＝３ ＝－５， ＝－５ ， ， ，
îｙ 选 ．
≥０， Ｂ
画出可行域 图略 利用线性规划知识可求得 ｚ 故 解后反思 本题也可由排除法选出答案 当 ａ 时 目标
（ ）， ｍａｘ＝１８， ， ＝－５ ，
选 ． 函数无最小值 当ａ 时 可以判断出目标函数的最小值为
Ｄ ， ＝３ ，
１３．（２０１４ 课标Ⅱ理，９，５ 分，０．７９８）设 ｘ ｙ 满足约束条件 所以选 ．
， ７， Ｂ
{ｘ ｙ {ｘ ｙ
＋ －７≤０， ＋ －２≥０，
ｘ ｙ 则ｚ ｘ ｙ的最大值为 １６．（２０１４北京理，６，５分）若ｘ ｙ满足 ｋｘ ｙ 且ｚ ｙ ｘ的
－３ ＋１≤０， ＝２ － （ ） ， － ＋２≥０， ＝ －
ｘ ｙ ｙ
３ － －５≥０， ≥０，
最小值为 则ｋ的值为
Ａ．１０ Ｂ．８ Ｃ．３ Ｄ．２ －４， （ ）
答案 Ｂ 由约束条件得可行
１ １
域如 图 阴 影 部 分 所 示． 由 Ａ．２ Ｂ．－２ Ｃ． Ｄ．－
２ ２
{ｘ ｙ {ｙ ｘ
＋ －７＝０，得 Ａ ．当直线 答案 Ｄ 由 － ＝－４，得Ａ ．
ｘ ｙ （５，２） ｙ （４，０）
－３ ＋１＝０ ＝０
ｘ ｙ ｚ过点Ａ时 ｚ ｘ ｙ取得
２ － ＝ ， ＝２ －
最大值．其最大值为 ．
２×５－２＝８
故选 ．
Ｂ
方法总结 解决线性规划问题的一般步骤 画出可行域
：① ；
根据目标函数的几何意义确定其取得最优解的点 并求出
② ，
该点坐标 求出目标函数的最大值或最小值．
；③
１４．（２０１４ 课标Ⅱ文，９，５ 分，０．７００）设 ｘ ｙ 满足约束条件
，
{ｘ ｙ 由图推测直线ｋｘ － ｙ ＋２＝０ 必过Ａ （４，０）， 得ｋ ＝－ １ ， 经验证符
＋ －１≥０， ２
ｘ ｙ 则ｚ ｘ ｙ的最大值为 合题目条件．故选 ．
－ －１≤０， ＝ ＋２ （ ） Ｄ
ｘ －３ ｙ ＋３≥０， １７．（２０１３ 课标Ⅱ文，３，５ 分，０．６９３）设 ｘ
，
ｙ 满足约束条件
． ． {ｘ ｙ
Ａ８ Ｂ７ － ＋１≥０，
． ． ｘ ｙ 则ｚ ｘ ｙ的最小值是
Ｃ２ Ｄ１ ＋ －１≥０， ＝２ －３ （ ）
答案 Ｂ 约束条件表示的平面区域如图中阴影部分
ｘ
≤３，
所示
，
Ａ．－７ Ｂ．－６ Ｃ．－５ Ｄ．－３
答案 Ｂ 由约束条件得可行域 如图 当直线 ｘ ｙ ｚ
（ ）， ２ －３ － ＝
过点Ａ 时 ｚ ．故选 ．
０ （３，４） ， ｍｉｎ＝２×３－３×４＝－６ Ｂ
ｚ ｚ ｚ
由ｚ ｘ ｙ 得ｙ １ ｘ 为直线ｙ １ ｘ 在ｙ轴上
＝ ＋２ ， ＝－ ＋ ， ＝－ ＋
２ ２ ２ ２ ２
ｚ ｚ
的截距 要使ｚ最大 则需 最大 所以当直线ｙ １ ｘ 经 １８．（２０１３课标Ⅱ理，９，５分，０．７８８）已知ａ ｘ ｙ满足约束条
， ， ， ＝－ ＋ ＞０， ，
过点Ｂ 时 ｚ最大 最
２
大值为 故选 ．
２ ２ {ｘ
（３，２） ， ， ３＋２×２＝７， Ｂ ≥１，
１５．（２０１４ 课标Ⅰ文，１１，５ 分，０．２３６）设 ｘ ｙ 满足约束条件 件 ｘ ＋ ｙ ≤３， 若ｚ ＝２ ｘ ＋ ｙ的最小值为 １， 则ａ ＝ （ ）
，
{ｘ ＋ ｙ ≥ ａ ， 且ｚ ｘ ａｙ的最小值为 则ａ ｙ ≥ ａ （ ｘ －３） ．
ｘ ｙ ＝ ＋ ７， ＝ （ ）
－ ≤－１， １ １
Ａ． Ｂ． Ｃ．１ Ｄ．２
． ． ４ ２
Ａ －５ Ｂ３
Ｃ ． －５ 或 ３ Ｄ ． ５ 或 －３ 答案 Ｂ 由约束条件画出可行域 （ 如图所示的 △ ＡＢＣ 及
答案 Ｂ 二元一次不等式组表示的平面区域如图所示 其内部
），
，
(ａ ａ ) (ａ ａ )
其中Ａ －１ ＋１ ．平移直线ｘ ａｙ 可知在点Ａ －１ ＋１
， ＋ ＝０， ，
２ ２ ２ ２
处 ｚ取得最值
， ，
{ｘ
由 ＝１， 得Ａ ａ
ｙ ａ ｘ （１，－２ ），
＝ （ －３）
当直线 ｘ ｙ ｚ 过点Ａ时 ｚ ｘ ｙ取得最小值 所以
２ ＋ － ＝０ ， ＝２ ＋ ， １＝２×
专题二 不等式 ５５
１－２ａ 解得ａ １ 故选 ．
， ＝ ， Ｂ
２
解题关键 根据约束条件准确画出可行域 从而经过平移确定
，
直线ｚ ｘ ｙ过可行域内的点Ａ时ｚ取得最小值是解题的关键．
＝２ ＋
１９．（２０１３湖北文，９，５分）某旅行社租用Ａ Ｂ两种型号的客车
、
安排 名客人旅行 Ａ Ｂ两种车辆的载客量分别为 人和
９００ ， 、 ３６
人 租金分别为 元／辆和 元／辆 旅行社要求租
６０ ， １ ６００ ２ ４００ ，
车总数不超过 辆 且Ｂ型车不多于Ａ型车 辆．则租金最
２１ ， ７
少为
（ ）
元 元 元 元 ２２．（２０１９ 课标Ⅱ文，１３，５ 分）若变量 ｘ ｙ 满足约束条件
Ａ．３１２００ Ｂ．３６０００ Ｃ．３６８００ Ｄ．３８４００ ，
答案 Ｃ 设旅行社租用Ａ型客车ｘ辆 Ｂ型客车ｙ辆 租 { ｘ ｙ
， ， ２ ＋３ －６≥０，
ìｘ ｙ ｘ ｙ 则ｚ ｘ ｙ的最大值是 ．
ï ＋ ≤２１， ＋ －３≤０， ＝３ －
ïｙ ｘ ｙ
ï － ≤７， －２≤０，
金为ｚ元 则线性约束条件为í ｘ ｙ 目标函数为ｚ 答案
， ï３６ ＋６０ ≥９００， ＝ ９
ｘ 解析 本题考查简单的线性规划问题 以二元一次不等式
ïï ≥０， ；
îｙ 组作为约束条件考查学生数形结合思想及运算求解能力 考
≥０， ；
ｘ ｙ． 查数学运算的核心素养．
１６００ ＋２４００
画出可行域 作出可行域 如图阴影部分所示 ．
： （ ）
当目标函数ｚ ｘ ｙ经过点Ａ 时 ｚ
＝１６００ ＋２４００ （５，１２） ， ｍｉｎ＝１ ６００
．选 ．
×５＋２４００×１２＝３６８００ Ｃ
２０．（２０１２课标，５，５分）已知正三角形 ＡＢＣ 的顶点 Ａ Ｂ
（１，１）， 易得Ａ Ｂ Ｃ ．
（３，０）， （１，２）， （０，２）
顶点Ｃ在第一象限 若点 ｘ ｙ 在 ＡＢＣ内部 则ｚ
（１，３）， ， （ ， ） △ ， ＝ 将ｚ ｘ ｙ 化为 ｙ ｘ ｚ 由图知 当直线 ｙ ｘ ｚ 经过点
＝３ － ＝３ － ， ， ＝３ －
ｘ ｙ的取值范围是
－ ＋ （ ） Ａ 时 截距 ｚ取得最小值 从而ｚ取得最大值．
（３，０） ， － ，
ｚ ．
Ａ．（１－ ３，２） Ｂ．（０，２） ｍａｘ＝３×３＝９
易错警示 因为目标函数中ｙ的系数为负值 所以容易理解
Ｃ．（ ３－１，２） Ｄ．（０，１＋ ３） ，
答案 Ａ 由题意知可行域为 ＡＢＣ 不含边界 ． 为在点Ｃ处取得最大值 导致错误．
△ （ ） ，
２３．（２０１８ 课标 Ⅱ 理，１４，５ 分） 若 ｘ ｙ 满足约束条件
，
{ｘ ｙ
＋２ －５≥０，
ｘ ｙ 则ｚ ｘ ｙ的最大值为 ．
－２ ＋３≥０， ＝ ＋
ｘ
－５≤０，
答案
９
解析 本题考查简单的线性规划．
由线性约束条件画出可行域 如图中阴影部分所示 ．
当直线 ｘ ｙ ｚ 过点Ｃ 时 ｚ 当过点Ｂ （ ）
－ ＋ － ＝０ （１＋ ３，２） ， ｍｉｎ＝１－ ３；
时 ｚ ．故选 ．
（１，３） ， ｍａｘ＝２ Ａ
评析 本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的思想．
正确理解直线的斜率、截距的几何意义是求解的关键．
２１．（２０２０ 课标 Ⅱ 文，１５，５ 分） 若 ｘ ｙ 满足约束条件
，
{ｘ ｙ
＋ ≥－１，
ｘ ｙ 则ｚ ｘ ｙ的最大值是 ．
－ ≥－１， ＝ ＋２
ｘ ｙ
２ － ≤１，
答案
８ 当直线ｘ ｙ ｚ 经过点Ａ 时 ｚ ｘ ｙ取得最大值 最大
解析 作出约束条件表示的可行域 如图所示．由图可知直 ＋ － ＝０ （５，４） ， ＝ ＋ ，
， 值为 ．
线ｚ ｘ ｙ 过点Ａ 时 ｚ 取得最大值 最大值为 ９
＝ ＋２ （２，３） ， ， ２＋２×３ ２４．（２０１８ 课标Ⅲ文，１５，５ 分）若变量 ｘ ｙ 满足约束条件
＝８ ． { ｘ ｙ ，
２ ＋ ＋３≥０，
ｘ ｙ 则ｚ ｘ １ ｙ的最大值是 ．
－２ ＋４≥０， ＝ ＋
ｘ ３
－２≤０，
答案
３
解析 本题考查简单的线性规划．
５６ ５年高考３年模拟 Ａ版（教师用书）
解法一 根据约束条件作出可行域 如图所示．
： ， 平移直线ｙ １ ｘ 当在ｙ轴上的截距最小时 ｚ ｘ ｙ取
（２） ＝－ ， ， ＝ ＋３
３
得最小值 当在ｙ轴上的截距最大时 ｚ ｘ ｙ取得最大值．
， ， ＝ ＋３
{ｘ ｙ
－ ≥０，
２７．（２０１７课标Ⅲ，１３，５分）若ｘ ｙ满足约束条件 ｘ ｙ 则
， ＋ －２≤０，
ｙ
≥０，
ｚ ｘ ｙ的最小值为 ．
＝３ －４
答案
－１
解析 本题考查简单的线性规划．
画出约束条件所表示的平面区域 如
，
图中阴影部分所示 包括边界 ．
（ ）
ｚ ｘ １ ｙ可化为ｙ ｘ ｚ． 可得目标函数ｚ ｘ ｙ在点Ａ
＝ ＋ ＝－３ ＋３ ＝３ －４ （１，１）
３ 处取得最小值 ｚ ．
求ｚ的最大值可转化为求直线ｙ ｘ ｚ纵截距的最大值 ， ｍｉｎ＝３×１－４×１＝－１
＝－３ ＋３ ， ２８．（２０１６ 课标 Ⅲ 理，１３，５ 分） 若 ｘ ｙ 满足约束条件
显然当直线ｙ ｘ ｚ过Ａ 时 纵截距最大 ，
＝－３ ＋３ （２，３） ， ， {ｘ ｙ
－ ＋１≥０，
故ｚ １ ． ｘ ｙ 则ｚ ｘ ｙ的最大值为 ．
ｍａｘ＝２＋ ×３＝３ －２ ≤０， ＝ ＋
３ ｘ ｙ
解法二 画出可行域 如上图 由图知可行域为三角形区域 ＋２ －２≤０，
： （ ）， ，
易求得顶点坐标分别为 将三点坐标 答案 ３
（２，３），（２，－７），（－２，１），
２
代入 可知ｚ １ ． 解析 由题意画出可行域 如图所示 其中Ａ
， ｍａｘ＝２＋ ×３＝３ （ ）， （－２，－１），
３ ( )
２５．（２０１８北京，理１２，文１３，５分）若ｘ ， ｙ满足ｘ ＋１≤ ｙ ≤２ ｘ ， 则 Ｂ １， １ ， Ｃ （０，１）， 由ｚ ＝ ｘ ＋ ｙ知ｙ ＝－ ｘ ＋ ｚ ， 当直线ｙ ＝－ ｘ ＋ ｚ过
ｙ ｘ的最小值是 ． ２
２ － ( )
答案
点Ｂ １ 时 ｚ取最大值 ３ ．
３ １， ，
解析 本题主要考查简 ２ ２
单的线性规划问题．
由ｘ ｙ ｘ 作出可行
＋１≤ ≤２
域 如图中阴影部分所示．
，
设ｚ ｙ ｘ 则 ｙ １ ｘ
＝ ２ － ， ＝ ＋
２
１ ｚ
，
２ 评析 本题主要考查简单的线性规划，常用数形结合法求解，
当直线ｙ １ ｘ １ ｚ过Ａ 时 ｚ取得最小值 ． 理解目标函数ｚ的几何意义是解题关键．
＝ ＋ （１，２） ， ３
２ ２ {ｘ ｙ
方法总结 解决简单的线性规划问题的方法 － ＋１≥０，
２９．（２０１６课标Ⅱ，１４，５分）若ｘ ｙ满足约束条件 ｘ ｙ 则
先利用线性约束条件作出可行域 然后利用变形后的目标函 ， ＋ －３≥０，
， ｘ
数所对应的直线找到最优解 从而求得最值． －３≤０，
， {ｘ ｙ ｚ ＝ ｘ －２ ｙ的最小值为 ．
－ ≥０， 答案
２６．（２０１８浙江，１２，６分）若ｘ ｙ满足约束条件 ｘ ｙ 则ｚ －５
， ２ ＋ ≤６， ＝ 解析 解法一 由约束条件画出可行域 如图中阴影部分所
ｘ ｙ ： ，
＋ ≥２， 示 包括边界 ．当直线ｘ ｙ ｚ 过点Ｂ 时 ｚ取得最小
ｘ ｙ的最小值是 最大值是 ． （ ） －２ － ＝０ （３，４） ，
＋３ ， 值 ｚ ．
答案
－２；８
， ｍｉｎ＝３－２×４＝－５
解析 本小题考查简单的线性规划．
由约束条件得可行域是以Ａ Ｂ Ｃ 为顶点
（１，１）， （２，２）， （４，－２）
的三角形区域 含边界 如图．
（ ），
解法二 易知可行域为封闭区域 所以线性目标函数的最值在
： ，
交点处取得 易求得交点分别为 依次代
， （３，４），（１，２），（３，０），
当直线ｙ １ ｘ ｚ 过点Ｃ 时 ｚ ｘ ｙ 取得最小值 入目标函数可求得ｚ ｍｉｎ＝－５ ．
＝－ ＋ （４，－２） ， ＝ ＋３ ３０． （２０１６ 课 标 Ⅲ， １３， ５ 分） 设 ｘ ｙ 满 足 约 束 条 件
３ ３ ，
过点Ｂ 时 ｚ ｘ ｙ取得最大值 ． { ｘ ｙ
－２， （２，２） ， ＝ ＋３ ８ ２ － ＋１≥０，
思路分析 作出可行域 并求出顶点坐标． ｘ ｙ 则ｚ ｘ ｙ 的最小值为 ．
（１） ， －２ －１≤０， ＝２ ＋３ －５
ｘ
≤１，
专题二 不等式 ５７
答案
－１０
解析 可行域如图所示 包括边界 直线 ｘ ｙ 与ｘ
（ ）， ２ － ＋１＝０
ｙ 相交于点 当目标函数线过 时 ｚ
－２ －１＝０ （－１，－１）， （－１，－１） ，
取最小值 ｚ ．
， ｍｉｎ＝－１０
评析 本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的思想
方法．
３３． （２０１５ 课 标 Ⅰ， １５， ５ 分） 若 ｘ ｙ 满 足 约 束 条 件
，
{ｘ ｙ
＋ －２≤０，
ｘ ｙ 则ｚ ｘ ｙ的最大值为 ．
－２ ＋１≤０， ＝３ ＋
３１．（２０１６课标Ⅰ理，１６文，１６，５分）某高科技企业生产产品 ２ ｘ － ｙ ＋２≥０，
Ａ
答案
和产品 需要甲 乙两种新型材料．生产一件产品 需要甲材
４
Ｂ 、 Ａ
料 ． 乙材料 用 个工时 生产一件产品 需要甲材
解析 由线性约束条件画出可行域
，
如图．
１５ ｋｇ， １ ｋｇ， ５ ； Ｂ
料 ． 乙材料 ． 用 个工时．生产一件产品 的利润
０５ ｋｇ， ０３ ｋｇ， ３ Ａ
为 元 生产一件产品 的利润为 元．该企业现有甲
２１００ ， Ｂ ９００
材料 乙材料 则在不超过 个工时的条件下
１５０ ｋｇ， ９０ ｋｇ， ６００ ，
生产产品 产品 的利润之和的最大值为 元．
Ａ、 Ｂ
答案
２１６０００
解析 设生产产品 ｘ 件 生产产品 ｙ 件 利润之和为 {ｘ ｙ {ｘ
Ａ ， Ｂ ， 解方程组 ＋ －２＝０，得 ＝１，即Ａ点坐标为 ．当动直
ｚ元 ， 则ｚ ＝２１００ ｘ ＋９００ ｙ． ｘ －２ ｙ ＋１＝０ ｙ ＝１， （１，１）
ì ï ï １ ｘ ． ５ ｘ ． ＋０ ｙ ． ５ ｙ ≤１５０， ì ï ï ３ ｘ ＋ ｘ ｙ ≤ ｙ ３００， 线 ３ ｘ ＋ ｙ － ｚ ＝０ 经过点Ａ （１，１） 时 ， ｚ取得最大值 ， ｚ ｍａｘ＝３×１＋１
根据题意得í ＋０３ ≤９０， 即í１０ ＋３ ≤９００， ＝４ ．
î ï ï５ ｘ ， ｘ ｙ ＋ ∈ ３ ｙ Ｎ ≤ ， ６００， î ï ï５ ｘ ， ｘ ｙ ＋ ∈ ３ ｙ Ｎ ≤ ， ６００， ３４．（２０１４安徽，１３，５分）不等式组 {ｘ ｘ ＋ ＋ ｙ ２ － ｙ － ２≥ ４≤ ０， ０， 表示的平面区
作出可行域 如图 ．
（ ） ｘ ＋３ ｙ －２≥０
域的面积为 ．
答案
４
解析 不等式组表示的平面区域为如图所示的阴影部分．
{ｘ ｙ {ｘ
由 ＋３ －２＝０，得 ＝８，
ｘ ｙ ｙ ．
＋２ －４＝０ ＝－２
Ａ Ｂ Ｃ ．
∴ （０，２）， （２，０）， （８，－２）
{ ｘ ｙ {ｘ
由 １０ ＋３ ＝９００，得 ＝６０，
ｘ ｙ ｙ ．
５ ＋３ ＝６００ ＝１００
当直线 ｘ ｙ ｚ 过点Ａ 时 ｚ取得最大值
２１００ ＋９００ － ＝０ （６０，１００） ， ，
ｚ ．
ｍａｘ＝２１００×６０＋９００×１００＝２１６０００
直线ｘ ｙ 与ｘ轴的交点Ｄ的坐标为 ．
故所求的最大值为 元． ＋２ －４＝０ （４，０）
２１６０００
方法点拨 解决此类问题的关键 一是构建模型 二是判断 因此Ｓ Ｓ Ｓ １ １ ．故答案为 ．
： ； △ ＡＢＣ＝ △ ＡＢＤ＋ △ ＢＣＤ＝ ×２×２＋ ×２×２＝４ ４
二元一次不等式组表示的平面区域 三是掌握求线性目标函 ２ ２
； ３５．（２０１３ 课标Ⅰ，１４，５ 分，０．６６０）设 ｘ ｙ 满足约束条件
数最值的一般步骤 一画二移三求． ，
： { ｘ
３２． （２０１５ 课 标 Ⅱ， １４， ５ 分） 若 ｘ ｙ 满 足 约 束 条 件 １≤ ≤３， 则ｚ ｘ ｙ的最大值为 ．
{ｘ ｙ ， －１≤ ｘ － ｙ ≤０， ＝２ －
＋ －５≤０， 答案
ｘ ｙ 则ｚ ｘ ｙ的最大值为 ． ３
２ － －１≥０， ＝２ ＋ 解析 可行域为如图所示的阴影部分
ｘ ｙ ，
－２ ＋１≤０，
答案
８
解析 由约束条件画出可行域 如图所示 ．解方程组
（ ）
{ｘ ｙ
＋ －５＝０，得Ａ ．当动直线 ｘ ｙ ｚ 经过点Ａ
ｘ ｙ （３，２） ２ ＋ － ＝０ （３，２）
－２ ＋１＝０
时 ｚ ．
， ｍａｘ＝２×３＋２＝８
由ｚ ｘ ｙ 得ｙ ｘ ｚ． ｚ的几何意义是直线ｙ ｘ ｚ在ｙ轴
＝２ － ， ＝２ － － ＝２ －
５８ ５年高考３年模拟 Ａ版（教师用书）
上的截距 要使ｚ最大 则 ｚ最小 所以当直线ｙ ｘ ｚ过点 ３７．（２０１１ 课标文，１４，５ 分） 若变量 ｘ ｙ 满足约束条件
， ， － ， ＝２ － ，
Ａ 时 ｚ最大 最大值为 ． { ｘ ｙ
（３，３） ， ， ２×３－３＝３ ３≤２ ＋ ≤９，则ｚ ｘ ｙ的最小值为 ．
ìｘ ｙ ｘ ｙ ＝ ＋２
ï － ≥－１， ６≤ － ≤９，
ïｘ ｙ 答案
３６．（２０１２课标理，１４，５分）设ｘ ｙ满足约束条件í ＋ ≤３， 则ｚ －６
， ïｘ 解析 画出约束条件所表示的平面区域 如图阴影部分所示
ï ≥０， ， ：
îｙ
≥０，
ｘ ｙ的取值范围为 ．
＝ －２
答案
［－３，３］
解析 由不等式组画出可行域 如图所示 ．
（ ）
当目标函数表示的直线经过点Ａ 时 ｚ有最小值 ｚ
（４，－５） ， ， ｍｉｎ＝
．
４＋２×（－５）＝－６
失分警示 本题易将平面区域画错或者将目标函数表示的
当直线ｘ ｙ ｚ 过点Ｂ 时 ｚ
过点Ａ
－２ －
时
＝
ｚ
０
．
（１，２） ， ｍｉｎ＝－３；
直线的斜率看成 １ 而致错．
∴ ｚ ＝ ｘ － （ ２ ３ ｙ ，０ 的 ） 取值 ， ｍ 范 ａｘ 围 ＝３ 是 ［－３，３］ ． 评析 本题考查线 ２ 性规划问题，正确作图是得分的前提．
评析 本题考查了简单线性规划知识；考查了数形结合的思
想方法．
时间： 分钟 分值： 分
２０ ３５
一、单项选择题 每题 分 共 分 ４．（２０２１届皖南八校摸底联考，１４）已知点Ｍ的坐标 ｘ ｙ 满足
（ ５ ， １０ ） （ ， ）
１．（２０２１届浙江杭州高级中学１１月期中，６）已知ｘ ｙ满足不等 { ｘ ｙ
， ２ ＋ －４≥０，
ìｘ 不等式组 ｘ ｙ Ｎ为直线ｙ ｘ 上任一点 则 ＭＮ
ï ≥０， － －２≤０， ＝－２ ＋２ ， ｜ ｜
ïｙ ｙ
式组í ≥０， 且目标函数 ｚ ｘ ｙ 最大值的变化范围是 －３≤０，
ïｘ ｙ ｔ ＝９ ＋６ 的最小值是 ．
ï ＋２ ≤，
î ｘ ｙ
２ ＋ ≤４， 答案 ２ ５
则ｔ的取值范围是
［２０，２２］， （ ） ５
５．（２０２１届广东湛江一中测试，１５）已知 点Ｐ的坐标 ｘ ｙ 满
Ａ．［２，４］ Ｂ．［４，６］ ： （ ， ）
{ｘ ｙ
Ｃ．［５，８］ Ｄ．［６，７］ －４ ＋３≤０，
答案 Ｂ 足 ｘ ｙ 及Ａ 则 Ｏ→Ｐ ＡＯＰ Ｏ为坐标原
３ ＋５ ≤２５， （２，０）， ｜ ｜·ｃｏｓ∠ （
２．（２０２１届河南郑州一中开学测试）设 ｍ Ｒ 实数 ｘ ｙ 满足 ｘ
∈ ， ， －１≥０，
{ｙ ｍ 点 的最大值是 ．
≥ ， ）
ｘ ｙ 若 ｘ ｙ 恒成立 则实数ｍ的取值范围是 答案
２ －３ ＋６≥０， ｜２ ＋ ｜≤１８ ， ５
ｘ ｙ ６．（２０２１届皖豫名校联盟体第一次联考，１３）若ｘ ｙ满足约束条
３ －２ －６≤０， ，
{ｘ ｙ
（ ） ＋ －３≤０，
ｍ ｍ 件 ｘ ｙ 则ｚ ｘ ｙ的最小值为 ．
Ａ．－３≤ ≤３ Ｂ．－６≤ ≤６ ３ －２ ＋３≥０， ＝ －３
ｍ ｍ ｘ ｙ
Ｃ．－３≤ ≤６ Ｄ．－６≤ ≤０ － －１≤０，
答案 Ｃ
答案 ３３
－
二、填空题 每题 分 共 分 ５
（ ５ ， ２５ ） ７．（２０２０福建三明（５月份）高考模拟，１５）若ｘ ｙ满足约束条件
３．（２０２１ 届湘豫名校 ８ 月联考，１４）若 ｘ ｙ 满足约束条件 ，
{ｘ ， {
２
ｘ
－
ｙ
－１≥０，
＋１≥０， ｘ ｙ 则ｚ ｘ ｙ的最大值为 ．
ｙ 则ｚ ｘ ｙ的最大值为 ． ２ ＋ －７≤０， ＝２ ＋３
－２≤０， ＝ ＋３ ｘ ｙ
ｘ ｙ ２ ＋３ －５≥０，
２ － －２≤０， 答案
答案 １３
８
专题二 不等式 ５９
１．（２０２０ 四川成都摸底测试，４）若实数 ｘ ｙ 满足约束条件 域 如图中阴影部分所示．
， ，
{ｘ ｙ
＋２ －２≤０，
ｘ 则ｚ ｘ ｙ的最小值为
－１≥０， ＝ －２ （ ）
ｙ
≥０，
Ａ．０ Ｂ．２ Ｃ．４ Ｄ．６
答案 Ａ 解法一 画出不等式组表
：
示的平面区域 如图中阴影部分所示．由
，
ｚ ｘ ｙ得ｙ １ ｘ １ ｚ 其表示斜率为
＝ －２ ＝ － ，
２ ２
１ 的 动 直 线． 由
{ｘ
＝１， 得 因为在平面区域内ｘ ＞０， ｙ ＞０， 所以ｚ ＝｜３ ｘ ＋ ｙ ｜＝３ ｘ ＋ ｙ ，
ｘ ｙ
２ ＋２ －２＝０ 即ｙ ｘ ｚ．
( ) ( ) ＝－３ ＋
Ａ １ 由图可知 当动直线 ｙ １ ｘ １ ｚ 经过点Ａ １ 由图象可知 当直线过点Ｂ时 ｚ取得最大值．
１， ， ， ＝ － １， ， ，
２ ２ ２ ２ { ｘ ｙ {ｘ
由 ２ － －２＝０，解得 ＝４，故Ｂ的坐标为 此时ｚ ｘ
时 ｚ取得最小值 即ｚ １ ．故选 ． ｘ ｙ ｙ （４，６）， ＝｜３ ＋
， ， ｍｉｎ＝１－２× ＝０ Ａ － ＋２＝０ ＝６，
２
{ｘ ｙ ．所以ｚ ．故选 ．
{ｘ ｙ ＝１， ｜＝｜３×４＋６｜＝１８ ｍａｘ＝１８ Ｂ
解 法 二 由 ＋２ －２＝０，得 此 时 ｚ 由 ｘ ｙ
： ｘ ｙ １ ＝ ０； 解法二 作出可行域同解法一 ｚ ｜３ ＋ ｜ 表示可行域内
－１＝０ ＝ ， ： ， ＝ × １０
２ １０
{ｘ ｙ {ｘ {ｘ {ｘ
＋２ －２＝０，得 ＝２，此时ｚ 由 －１＝０，得 ＝１，此时ｚ 动点Ｐ ｘ ｙ 到直线 ｘ ｙ 的距离的 倍．由图可知点
ｙ ｙ ＝２； ｙ ｙ ＝ （ ， ） ３ ＋ ＝０ １０
＝０ ＝０， ＝０ ＝０， Ｂ 到直线 ｘ ｙ 的距离最大 所以ｚ ．
．综上所述 ｚ的最小值为 故选 ． （４，６） ３ ＋ ＝０ ， ｍａｘ＝｜３×４＋６｜＝１８
１ ， ０， Ａ ４．（２０１９ 宁夏银川一中二模，７） 如果点 Ｐ ｘ ｙ 满足
２．（２０１９黑龙江哈师大附中二模，５）已知实数ｘ ｙ满足约束条 （ ， ）
， { ｘ ｙ
{ｘ ｙ ２ － ＋２≥０，
－ ≥０， ｘ ｙ 点Ｑ在曲线ｘ２ ｙ ２ 上 则 ＰＱ 的取值范
件 ｘ ｙ 则ｚ －２ ｘ ＋ ｙ的最大值为 －２ ＋１≤０， ＋（ ＋２） ＝１ ， ｜ ｜
＋ －４≤０， ＝２ （ ） ｘ ｙ
ｙ ＋ －２≤０，
≥１， 围是
（ ）
１ １ １
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．２
３２ ４ ２ Ａ．［ ５－１， １０－１］ Ｂ．［ ５－１， １０＋１］
{ｘ ｙ
－ ≥０， Ｃ．［ １０－１，５］ Ｄ．［ ５－１，５］
答案 Ｃ 由实数ｘ ， ｙ 满足的约束条件 ｘ ＋ ｙ －４≤０， 作出可 答案 Ｄ 曲线ｘ２ ＋（ ｙ ＋２） ２ ＝１ 对应的圆心为Ｍ （０，－２）， 半
ｙ 径为ｒ
≥１ ＝１，
行域如图中阴影部分所示 ， 设ｕ ＝－２ ｘ ＋ ｙ ， 则当ｕ ＝－２ ｘ ＋ ｙ取得 作出不等式组对应的平面区域如图中阴影部分所示
，
最大值时 ｚ也取得最大值．
，
{ｘ ｙ {ｘ
联立 － ＝０，解得 ＝１，故Ａ的坐标为 ．
ｙ ｙ （１，１）
＝１， ＝１，
由ｕ ｘ ｙ得ｙ ｘ ｕ．
＝－２ ＋ ＝２ ＋
由图可知 当直线ｙ ｘ ｕ过点Ａ时 直线在ｙ轴上的截距最
， ＝２ ＋ ，
大 此时ｚ －２＋１ １ ．故选
， ｍａｘ＝２ ＝ Ｃ．
２
结合图象可知 当Ｐ位于点 时 ＰＱ 取得最小值 此时
， （－１，０） ，｜ ｜ ，
ＰＱ ．当Ｐ位于点 时 ＰＱ 取得最大
｜ ｜＝ １＋４－１＝ ５－１ （０，２） ，｜ ｜
值 最大值为 ．
， ２＋３＝５
{ｘ ｙ 综上 ＰＱ 的取值范围是 故选
－ ＋２≥０， ，｜ ｜ ［ ５－１，５］， Ｄ．
３．（２０１９陕西三模，９）若实数ｘ ｙ满足不等式组 ｘ ｙ 则 ５６．（２０１８ 广东广州 ３ 月测试，８） 若 ｘ ｙ 满足约束条件
， ＋ －４≥０， ，
ｘ ｙ {ｘ ｙ
２ － －２≤０， － ＋２≥０，
ｚ ｘ ｙ 的最大值为 ｙ 则ｚ ｘ２ ｘ ｙ２ 的最小值为
＝｜３ ＋ ｜ （ ） ２ －１≥０， ＝ ＋２ ＋ （ ）
ｘ
Ａ．３６ Ｂ．１８ Ｃ．２４ Ｄ．１２ －１≤０，
{ｘ ｙ
－ ＋２≥０， １ １ １ ３
答案 Ｂ 解法一 作出不等式组 ｘ ｙ 表示的平面区 Ａ． Ｂ． Ｃ．－ Ｄ．－
： ＋ －４≥０， ２ ４ ２ ４
ｘ ｙ 答案 Ｄ 画出约束条件对应的平面区域 如图中阴影部
２ － －２≤０ ，
６０ ５年高考３年模拟 Ａ版（教师用书）
分所示 ｚ ｘ２ ｘ ｙ２ ｘ ２ ｙ２
， ＝ ＋２ ＋ ＝（ ＋１） ＋ － 加上 结合图形可知ｋ ４ 或ｋ 因此ｚ ４ １０或ｚ
其几何意义是平面区域内的点 ２， ≥ ≤－２， ≥ ＋２＝
１， ３ ３ ３
ｘ ｙ 到定点 的距离的平方 [ )
（ ， ） （－１，０） ．即ｚ的取值范围为 １０ 故选 ．
再减去 观察图形可得 平面区域 ≤－２＋２＝０ （－∞，０］∪ ，＋∞ ， Ｄ
１， ， ３
内的点与定点 的距离的最
（－１，０）
小值为 １ 故 ｚ ｘ２ ｘ ｙ２ 的最小
， ＝ ＋２ ＋
２
值为 １ ３ 选 ．
－１＝－ ， Ｄ
４ ４
解题技巧 解决非线性规划问题要注意三点 第一 明确可
： ，
行域是封闭区域还是开放区域 分界线是实线还是虚线 第
， ；
二 确定目标函数的几何意义 是求直线的截距 两点间距离
， ， 、
的平方 直线的斜率 还是求点到直线的距离 第三 结合图形
、 ， ； ， 解题关键 正确画出不等式组表示的平面区域是求解本题
确定最优解． ①
的基础 而正确处理绝对值问题是画图的关键 明确目标函
６．（２０２０河南郑州一中、河北衡水中学等名校１０月联考，８）若 ， ；②
数的几何意义 确定最优解是解决此类问题的核心．
{ｘ ｙ ，
＋ －１≥０， ８．（２０１９ 湖南炎德英才大联考（三），１１）已知由不等式组
实数ｘ ｙ满足不等式组 ｘ ｙ 且目标函数ｚ ａｘ ｙ的
， － ＋１≥０， ＝ －２ ìｘ
ｘ ａ ａ ï ≤０，
≤ （ ＞０）， ïｙ
最大值为 则实数ａ的值是 í ≥０， 确定的平面区域 Ω的面积为 定点 Ｍ 的坐标为
６， （ ） ïｙ ｋｘ ７，
或 或 ï － ≤２，
Ａ．４ Ｂ．１ ３ Ｃ．２ Ｄ．２ ４ îｙ ｘ
答案 Ｃ 本题考查含参数的简单的线性规划问题．作出可 － －４≤０
ａ ｚ （１，－２），
若Ｎ
∈
Ω
，
Ｏ为坐标原点
，
则Ｏ→Ｍ
·
Ｏ→Ｎ的最小值是
行域 如图所示 目标函数可化为ｙ ｘ ａ 由图可知
， ， ＝ － （ ＞０），
（ ）
２ ２
ａ ｚ {ｘ ａ Ａ．－８ Ｂ．－７ Ｃ．－６ Ｄ．－４
当 Ａ 去 （ 直 ａ ． ， 线 １－ ｙ ａ ） ＝ ， ２ 所 ｘ 以 － ２ ｚ ｍａ 经 ｘ＝ 过 ａ２ 点 －２ Ａ （ 时 １－ ， ａ ｚ ） 取 ＝ 得 ６， 最 解 大 得 值 ａ ， ＝ 由 ２ 或 ｘ ＋ ＝ ａ ｙ ＝ － ， １ － ＝ ４（ ０ 得 舍 分 答 所 案 示 ．由 Ｂ { ｙ ｙ ＝ ＝ 画 ｋ ｘ 出 ｘ ＋ ＋ ４ 不 ２， 等 得 式 Ｃ 组 ( ｋ 所 － ２ １ 表 ， ４ ｋ 示 ｋ － － １ 的 ２ ) 平 ， 由 面 图 区 可 域 知 ， 如 ， Ｓ 图 △ Ａ 中 ＯＤ 阴 ＝ ２ 影 １ × 部 ４
） 而直线ｙ ｋｘ 恒过点Ｂ 且 恒满足ｙ ｋｘ
×４＝８， ＝ ＋２ （０，２）， （０，０） － ≤
当ｋ 时 ｙ 此时平面区域Ω的面积为 当ｋ
２， ＝０ ， ≤２， ６，６＜７， ＞０
时 平面区域Ω的面积小于 不符合题意 由此可得ｋ ．依题
， ６， ， ＜０
意得Ｓ １ ２ 解得ｋ 或ｋ 舍 ．
△ ＢＣＤ＝ ×２× ｋ ＝１， ＝－１ ＝３（ ）
２ －１
方法点拨 解决此类问题的方法 构建模型 判断二元一
：① ；②
次不等式组表示的平面区域 掌握求线性目标函数最值的一
；③
般步骤 一画 二移 三求． 所以点Ｃ的坐标为 设Ｎ ｘ ｙ ｚ Ｏ→Ｍ Ｏ→Ｎ ｘ ｙ．
： 、 、 （－１，３）， （ ， ）， ＝ · ＝ －２
７．（２０１９ 安徽六安一中模拟，５） 已知实数 ｘ ｙ 满足 作出基本直线 ｌ ｘ ｙ 平移直线 ｌ 可知当直线经过点
， ０： －２ ＝０， ０，
{ｘ －２ ｙ ＋１≥０， 则ｚ ２ ｘ ＋ ｙ ＋２的取值范围为 Ｃ （－１，３） 时 ， ｚ取得最小值 ， ｚ ｍｉｎ＝－１－２×３＝－７， 故选 Ｂ ．
ｘ ｙ ＝ ｘ （ ） 思路分析 作出不等式组所表示的平面区域 根据区域面积
｜ ｜－ －１≤０， ，
[ ] [ ) 求得ｋ的值 从而得出点Ｃ的坐标 最后将Ｏ→Ｍ Ｏ→Ｎ化为线性
１０ １０ ， ， ·
Ａ． ０， Ｂ．（－∞，２］∪ ，＋∞ 目标函数进行求解．
３ ３
[ ] [ ) ９．（２０１８四川成都外国语学校１２月月考，７）已知变量ｘ ｙ满足
１０ １０ ，
Ｃ． ２， Ｄ．（－∞，０］∪ ，＋∞ {ｘ ｙ
３ { ３ ｘ ｙ 约束条件 ｘ －２ ｙ ＋３≥０， 若目标函数ｚ ｙ ａｘ仅在点 处
－２ ＋１≥０， －３ ＋３≤０， ＝ － （－３，０）
答案 Ｄ 原不等式组可以等价转化为 ｘ 或 ｙ
≥０， －１≤０，
ｘ ｙ 取到最大值 则实数ａ的取值范围为
{ｘ ｙ － －１≤０ ( ) ， （ ）
－２ ＋１≥０， １
ｘ 画出不等式组所表示的平面区域 如图中阴影部 Ａ． ，＋∞ Ｂ．（３，５）
＜０， ， ２
ｘ ｙ ( )
＋ ＋１≥０， １
ｘ ｙ ｙ Ｃ．（－１，２） Ｄ． ，１
分所示 其中点Ａ 点Ｂ 而ｚ ２ ＋ ＋２ ＋２的 ３
， （－１，０）， （３，２）， ＝ ｘ ＝２＋ ｘ 答案 Ａ 画出可行域如图所示 其中Ａ Ｃ 若
， （－３，０）， （０，１），
几何意义为区域内的点 ｘ ｙ 与点Ｍ 连线的斜率ｋ再 目标函数ｚ ｙ ａｘ仅在点 处取得最大值 由图知 直线ｚ
（ ， ） （０，－２） ＝ － （－３，０） ， ，
专题二 不等式 ６１
ì ｚ ｔ ì
ａｘ ｙ的斜率大于直线ｘ ｙ 的斜率 即ａ １ 故选 ． ï ２－ ïｔ １
＝－ ＋ －２ ＋３＝０ ， ＞ ， Ａ ïｔ ＝ ， ï ＝ ，
２ í＋１ ２ 解得í ２ 故ｚ ９ ．
ï ｚ ï ｍａｘ＝
ï １ ïｚ ９ ８
î－ ｔ ２ ＝－ ， î ＝ ，
（ ＋１） ２ ８
ｚ ( )
如图 当曲线ｙ 过点Ｃ ３ 时 ｚ取得最小值
， ＝ｘ １，－ ， ，
＋１ ２
( )
ｚ ３
ｍｉｎ＝（１＋１）× － ＝－３，
２
１０．（２０１８山东栖霞一中４月模拟，８）已知实数ｘ ｙ满足约束条
，
{ｙ
≥０，
件 ｙ ｘ 若目标函数ｚ ｙ ａｘ ａ 取得最大值时的
－ ＋１≤０， ＝ － （ ≠０）
ｙ ｘ ．
－２ ＋４≥０
最优解有无数个 则ａ的值为
， （ ）
或
Ａ．２ Ｂ．１ Ｃ．１ ２ Ｄ．－１ [ ]
答案 Ｂ 画出不等式组表示的可行域 如图中阴影部分所 综上 ｘ ｙ的取值范围是 ９ 故选 ．
， ，（ ＋１） －３， ， Ｄ
示 含边界 ． ８
（ ） { ｘ ｙ
２ － ≥０，
１２．（２０２０河南安阳一模，１３）若ｘ ｙ满足约束条件 ｘ ｙ 则
， ＋ ≤１，
ｙ
＋１≥０，
ｙ
ｚ 的最大值为 ．
＝ ｘ
２ ＋１
答案 ２
５
解析 本题考查的核心素养是逻辑推理 数学运算．
由ｚ ｙ ａｘ ａ 得ｙ ａｘ ｚ ａ ． 、
＝ － （ ≠０） ＝ ＋ （ ≠０）
ｙ
因为ａ 所以要使ｚ ｙ ａｘ取得最大值时的最优解有无数 不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示 ｚ １
≠０， ＝ － ， ＝ ｘ ＝ ·
个 必有ａ ． 当直线ｙ ａｘ ｚ与直线ＡＣ重合 即ａ 时 ２ ＋１ ２
， ＞０① ＝ ＋ ， ＝１ ， ｙ ｙ ( )
直线ｙ ａｘ ｚ在ｙ轴上的截距最大 此时ｚ取得最大值 且最 表示可行域内的点 ｘ ｙ 与点 １ 连线的斜
＝ ＋ ， ， ， （ ， ） － ，０
优解有无数个 符合条件 当直线ｙ ａｘ ｚ与直线ＢＣ重合 ｘ １ ｘ １ ２
， ；② ＝ ＋ ＋ ＋
时 直线ｙ ａｘ ｚ在ｙ轴上的截距最小 此时ｚ取得最小值 不 ２ ２
， ＝ ＋ ， ， ｙ ( )
符合条件．故ａ 选 率 由图可知 的最大值即为点 １ 与点Ａ的连线
＝１， Ｂ． ， ， － ，０
１１．（２０１９浙江宁波北仑中学一模，９）若 ｘ ｙ 满足约束条件 ｘ １ ２
， ＋
{ ｜ ｘ ＋２ ｙ ｜≤２， 则 ｘ ｙ的取值范围为 { ｘ ｙ ２ ( )
ｙ ｘ （ ＋１） （ ） 的斜率 由 ２ － ＝０，得点 Ａ 的坐标为 １ ２ 所以 ｚ
｜２ －３ ｜≤６， ， ｘ ｙ ， ， ｍａｘ＝
[ ] ＋ ＝１ ３ ３
９
Ａ．［－３，０］ Ｂ． －３， ２
４
[ ] [ ] ３ ２ ．
９ ９ ＝
Ｃ． ０， Ｄ． －３， １ ５
８ ８ ２× ＋１
答案 Ｄ 由题意作出可行域如图所示 ３
，
( ) ( )
易得Ａ ３ Ｂ Ｃ ３ Ｄ
－１， ， （－２，０）， １，－ ， （２，０）， ｙ
２ ２ 思路分析 画出可行域 确定ｚ 的几何意义 由
① ；② ＝ ｘ ；③
令ｚ ｘ ｙ 则当ｘ 时 ｚ 当ｘ 时 ｙ ｚ 显然 ２ ＋１
＝（ ＋１） ， ＝－１ ， ＝０； ≠－１ ， ＝ｘ ， ， 数形结合确定最优解位置 求出最大值．
ｚ
＋１ ；④
{ｘ ｙ
当曲线ｙ 与直线ＡＤ ｘ ｙ 相切时 ｚ取得最大值 设 － ≤０，
＝ｘ ： ＋２ ＝２ ， ， １３．（２０１９浙江台州期末，１３）已知ｘ ｙ满足条件 ｘ ｙ 则
＋１ ， ＋ －４≤０，
ｚ ｘ
切点的横坐标为 ｔ ｔ 则由 ｙ′ 得 －１≥０，
（ ≠ － １）， ＝ － （ ｘ ＋１） ２， ｚ ＝２ ｘ ＋ ｙ的最大值是 ， ｘ２ ＋ ｙ２的最小值是 ．
答案
６； ２
解析 画出可行域如图所示 当ｙ ｘ ｚ过点Ａ 时
， ＝－２ ＋ （２，２） ，
６２ ５年高考３年模拟 Ａ版（教师用书）
ｚ 距 ｍａ 离 ｘ＝６； 易知 ｘ２ ＋ ｙ２表示可行域内的点 （ ｘ ， ｙ ） 与点 （０，０） 的 令 平移 ｚ′ ＝ ｌ ２ 知 ｘ ＋ ｙ 直 ， 作 线 出 过 基 点 本 Ａ 直线ｌ ０： 时 ２ ｘ ＋ ｚ′ ｙ 取 ＝０ 最 ， 大值 此时ｚ取得最
， ０ ， ( ) （１，２） ， ４，
４
ｘ２ ｙ２ ２ ２ ． 小值 ｚ １ １ ．
∴ （ ＋ ）ｍｉｎ＝ １ ＋１ ＝ ２ ， ｍｉｎ＝ ＝
２ １６
技巧点拨 目标函数的最优解一般在可行域的顶点处取得
，
所以对于求线性目标函数的最值问题 可以直接求出可行域
，
的顶点坐标 然后分别将顶点坐标代入目标函数 求出相应的
， ，
值 从而可确定目标函数的最值．
，
１５．（２０１９重庆南开中学３ 月测试，１４）已知定点 Ａ 点
（２，０），
{ｘ ｙ
－４ ＋３≤０， Ｏ→Ｐ Ｏ→Ａ
Ｐ ｘ ｙ 的坐标满足 ｘ ｙ 当 · Ｏ 为坐标原
（ ， ） ３ ＋５ －２５≤０， （
ｘ ａ ｜
Ｏ→Ａ
｜
－ ≥０，
１４．（２０２０安徽芜湖第一中学９月月考，１３）已知正数ｘ ｙ满足 点 的最小值是 时 实数ａ的值是 ．
{ ｘ ｙ ( )ｙ ， 答 ） 案 ２ ，
２ － ≤０， 则ｚ － ｘ １ 的最小值为 ． ２
ｘ ｙ ＝４ · 解析 作出不等式组表示的平面区域 如图 阴影部分
－３ ＋５≥０， ２
， （ ）：
答案 １ Ｏ→Ｐ Ｏ→Ａ ｘ
由题意知Ｏ→Ｐ ｘ ｙ Ｏ→Ａ 设ｚ · ２ ｘ
１６ ＝（ ， ）， ＝（２，０）， ＝ ＝ ＝ ，
ì ï２ ｘ － ｙ ≤０， ｜ Ｏ→Ａ ｜ ２
ïｘ ｙ Ｏ→Ｐ Ｏ→Ａ
解析 作出不等式组í －３ ＋５≥０，所表示的平面区域 因为 · Ｏ为坐标原点 的最小值是
ïｘ ， Ｏ→Ａ （ ） ２，
ï ＞０， ｜ ｜
îｙ 所以ｘ 此时点Ｐ落在直线ｘ ａ上 ａ ．
＞０ ＝２， ＝ ， ＝２
如图中阴影部分所示 区域不含ｙ轴 ．
（ ）
( )ｙ ( ) ｘ ( )ｙ ( ) ｘｙ
ｚ － ｘ １ １ ２ １ １ ２＋ ．
＝４ · ＝ · ＝
２ ２ ２ ２
