文档内容
2015 年北京市高考数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题 5分，共 40分）
1．（5分）复数i（2﹣i）=（ ）
A．1+2i B．1﹣2i C．﹣1+2i D．﹣1﹣2i
【考点】A5：复数的运算．
菁优网版权所有
【专题】5N：数系的扩充和复数．
【分析】利用复数的运算法则解答．
【解答】解：原式=2i﹣i2=2i﹣（﹣1）=1+2i；
故选：A．
【点评】本题考查了复数的运算；关键是熟记运算法则．注意i2=﹣1．
2．（5分）若x，y满足 ，则z=x+2y的最大值为（ ）
A．0 B．1 C． D．2
【考点】7C：简单线性规划．
菁优网版权所有
【专题】59：不等式的解法及应用．
【分析】作出题中不等式组表示的平面区域，再将目标函数 z=x+2y 对应的直线
进行平移，即可求出z取得最大值．
【解答】解：作出不等式组 表示的平面区域，
当l经过点 B时，目标函数z达到最大值
∴z =0+2×1=2．
最大值
故选：D．
第1页 | 共20页【点评】本题给出二元一次不等式组，求目标函数 z=x+2y 的最大值，着重考查
了二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识，属于基础题．
3．（5分）执行如图所示的程序框图输出的结果为（ ）
A．（﹣2，2） B．（﹣4，0） C．（﹣4，﹣4） D．（0，﹣8）
【考点】EF：程序框图．
菁优网版权所有
【专题】5K：算法和程序框图．
【分析】模拟程序框图的运行过程，即可得出程序运行后输出的结果．
【解答】解：模拟程序框图的运行过程，如下；
x=1，y=1，
k=0时，s=x﹣y=0，t=x+y=2；
第2页 | 共20页x=s=0，y=t=2，
k=1时，s=x﹣y=﹣2，t=x+y=2；
x=s=﹣2，y=t=2，
k=2时，s=x﹣y=﹣4，t=x+y=0；
x=s=﹣4，y=t=0，
k=3时，循环终止，
输出（x，y）是（﹣4，0）．
故选：B．
【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，
是基础题目．
4．（5 分）设 α，β 是两个不同的平面，m 是直线且 m⊂α，“m∥β“是“α∥β”的
（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件．
菁优网版权所有
【专题】5L：简易逻辑．
【分析】m∥β并得不到α∥β，根据面面平行的判定定理，只有α内的两相交直
线都平行于 β，而 α∥β，并且 m⊂α，显然能得到 m∥β，这样即可找出正确
选项．
【解答】解：m⊂α，m∥β 得不到 α∥β，因为 α，β 可能相交，只要 m 和 α，β
的交线平行即可得到m∥β；
α∥β，m⊂α，∴m和β没有公共点，∴m∥β，即α∥β能得到m∥β；
∴“m∥β”是“α∥β”的必要不充分条件．
故选：B．
【点评】考查线面平行的定义，线面平行的判定定理，面面平行的定义，面面平
行的判定定理，以及充分条件、必要条件，及必要不充分条件的概念．
第3页 | 共20页5．（5分）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是（ ）
A．2+ B．4+ C．2+2 D．5
【考点】L!：由三视图求面积、体积．
菁优网版权所有
【专题】5F：空间位置关系与距离．
【分析】根据三视图可判断直观图为：OA⊥面 ABC，AC=AB，E 为 BC 中点，
EA=2，EA=EB=1，OA=1，：BC⊥面AEO，AC= ，OE=
判断几何体的各个面的特点，计算边长，求解面积．
【解答】解：根据三视图可判断直观图为：
OA⊥面ABC，AC=AB，E为BC中点，
EA=2，EC=EB=1，OA=1，
∴可得AE⊥BC，BC⊥OA，
由直线与平面垂直的判定定理得：BC⊥面AEO，AC= ，OE=
∴S = 2×2=2，S =S = ×1= ．
△ABC △OAC △OAB
S = 2× = ．
△BCO
故该三棱锥的表面积是2 ，
故选：C．
第4页 | 共20页【点评】本题考查了空间几何体的三视图的运用，空间想象能力，计算能力，关
键是恢复直观图，得出几何体的性质．
6．（5分）设{a }是等差数列，下列结论中正确的是（ ）
n
A．若a +a ＞0，则a +a ＞0
1 2 2 3
B．若a +a ＜0，则a +a ＜0
1 3 1 2
C．若0＜a ＜a ，则a
1 2 2
D．若a ＜0，则（a ﹣a ）（a ﹣a ）＞0
1 2 1 2 3
【考点】83：等差数列的性质．
菁优网版权所有
【专题】11：计算题；54：等差数列与等比数列．
【分析】对选项分别进行判断，即可得出结论．
【解答】解：若a +a ＞0，则2a +d＞0，a +a =2a +3d＞2d，d＞0时，结论成立，
1 2 1 2 3 1
即A不正确；
若 a +a ＜0，则 a +a =2a +d＜0，a +a =2a +3d＜2d，d＜0 时，结论成立，即 B
1 3 1 2 1 2 3 1
不正确；
{a }是等差数列，0＜a ＜a ，2a =a +a ＞2 ，∴a ＞ ，即C正确；
n 1 2 2 1 3 2
若a ＜0，则（a ﹣a ）（a ﹣a ）=﹣d2≤0，即D不正确．
1 2 1 2 3
故选：C．
【点评】本题考查等差数列的通项，考查学生的计算能力，比较基础．
7．（5分）如图，函数f（x）的图象为折线ACB，则不等式f（x）≥log （x+1）
2
第5页 | 共20页的解集是（ ）
A．{x|﹣1＜x≤0} B．{x|﹣1≤x≤1} C．{x|﹣1＜x≤1} D．{x|﹣1＜x≤2}
【考点】7J：指、对数不等式的解法．
菁优网版权所有
【专题】59：不等式的解法及应用．
【分析】在已知坐标系内作出 y=log （x+1）的图象，利用数形结合得到不等式
2
的解集．
【解答】解：由已知 f（x）的图象，在此坐标系内作出 y=log （x+1）的图象，
2
如图
满足不等式f（x）≥log （x+1）的x 范围是﹣1＜x≤1；所以不等式f（x）≥log
2 2
（x+1）的解集是{x|﹣1＜x≤1}；
故选：C．
【点评】本题考查了数形结合求不等式的解集；用到了图象的平移．
8．（5分）汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，如图描述了
甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下燃油效率情况，下列叙述中正确的是（ ）
第6页 | 共20页A．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米
B．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多
C．某城市机动车最高限速80千米/小时，相同条件下，在该市用丙车比用乙
车更省油
D．甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油
【考点】3A：函数的图象与图象的变换．
菁优网版权所有
【专题】31：数形结合；44：数形结合法；51：函数的性质及应用．
【分析】根据函数图象的意义逐项分析各说法是否正确．
【解答】解：对于A，由图象可知当速度大于40km/h时，乙车的燃油效率大于
5km/L，
∴当速度大于40km/h 时，消耗1升汽油，乙车的行驶距离大于5km，故A错误；
对于B，由图象可知当速度相同时，甲车的燃油效率最高，即当速度相同时，消
耗1升汽油，甲车的行驶路程最远，
∴以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最少，故B错误；
对于 C，由图象可知当速度小于 80km/h 时，丙车的燃油效率大于乙车的燃油效
率，
∴用丙车比用乙车更省油，故C正确；
对于D，由图象可知当速度为80km/h时，甲车的燃油效率为10km/L，
即甲车行驶 10km 时，耗油 1 升，故行驶 1 小时，路程为 80km，燃油为 8 升，
故D 错误．
故选：C．
【点评】本题考查了函数图象的意义，属于中档题．
第7页 | 共20页二、填空题（每小题 5分，共 30分）
9．（5分）在（2+x）5的展开式中，x3的系数为 40 （用数字作答）
【考点】DA：二项式定理．
菁优网版权所有
【专题】5P：二项式定理．
【分析】写出二项式定理展开式的通项公式，利用 x 的指数为 3，求出 r，然后
求解所求数值．
【解答】解：（2+x）5的展开式的通项公式为：T = 25﹣rxr，
r+1
所求x3的系数为： =40．
故答案为：40．
【点评】本题考查二项式定理的应用，二项式系数的求法，考查计算能力．
10．（5 分）已知双曲线 ﹣y2=1（a＞0）的一条渐近线为 x+y=0，则 a=
．
【考点】KC：双曲线的性质．
菁优网版权所有
【专题】5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】运用双曲线的渐近线方程为 y=± ，结合条件可得 = ，即可得到 a
的值．
【解答】解：双曲线 ﹣y2=1的渐近线方程为y=± ，
由题意可得 = ，
解得a= ．
故答案为： ．
【点评】本题考查双曲线的方程和性质，主要考查双曲线的渐近线方程的求法，
属于基础题．
第8页 | 共20页11．（5 分）在极坐标系中，点（2， ）到直线 ρ（cosθ+ sinθ）=6 的距离为
1 ．
【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程．
菁优网版权所有
【专题】5S：坐标系和参数方程．
【分析】化为直角坐标，再利用点到直线的距离公式距离公式即可得出．
【解答】解：点P（2， ）化为P ．
直线ρ（cosθ+ sinθ）=6化为 ．
∴点P到直线的距离d= =1．
故答案为：1．
【点评】本题考查了极坐标化为直角坐标方程、点到直线的距离公式，考查了推
理能力与计算能力，属于中档题．
12．（5分）在△ABC中，a=4，b=5，c=6，则 = 1 ．
【考点】GS：二倍角的三角函数；HP：正弦定理；HR：余弦定理．
菁优网版权所有
【专题】11：计算题；58：解三角形．
【分析】利用余弦定理求出cosC，cosA，即可得出结论．
【解答】解：∵△ABC中，a=4，b=5，c=6，
∴cosC= = ，cosA= =
∴sinC= ，sinA= ，
∴ = =1．
故答案为：1．
【点评】本题考查余弦定理，考查学生的计算能力，比较基础．
第9页 | 共20页13．（5分）在△ABC中，点M，N满足 =2 ， = ，若 =x +y ，则x=
，y= ﹣ ．
【考点】9H：平面向量的基本定理．
菁优网版权所有
【专题】5A：平面向量及应用．
【分析】首先利用向量的三角形法则，将所求用向量 表示，然后利用平
面向量基本定理得到x，y值．
【解答】解：由已知得到 = = = ；
由平面向量基本定理，得到x= ，y= ；
故答案为： ．
【点评】本题考查了平面向量基本定理的运用，一个向量用一组基底表示，存在
唯一的实数对（x，y）使，向量等式成立．
14．（5分）设函数f（x）= ，
①若a=1，则f（x）的最小值为 ﹣1 ；
②若f（x）恰有2个零点，则实数a的取值范围是 ≤a＜1或a≥2 ．
【考点】51：函数的零点；5B：分段函数的应用．
菁优网版权所有
【专题】2：创新题型；51：函数的性质及应用．
【分析】①分别求出分段的函数的最小值，即可得到函数的最小值；
②分别设 h（x）=2x﹣a，g（x）=4（x﹣a）（x﹣2a），分两种情况讨论，即可求
出a的范围．
【解答】解：①当a=1时，f（x）= ，
当x＜1时，f（x）=2x﹣1为增函数，f（x）＞﹣1，
第10页 | 共20页当x＞1时，f（x）=4（x﹣1）（x﹣2）=4（x2﹣3x+2）=4（x﹣ ）2﹣1，
当1＜x＜ 时，函数单调递减，当x＞ 时，函数单调递增，
故当x= 时，f（x） =f（ ）=﹣1，
min
②设h（x）=2x﹣a，g（x）=4（x﹣a）（x﹣2a）
若在x＜1时，h（x）=与x 轴有一个交点，
所以a＞0，并且当x=1时，h（1）=2﹣a＞0，所以0＜a＜2，
而函数g（x）=4（x﹣a）（x﹣2a）有一个交点，所以2a≥1，且a＜1，
所以 ≤a＜1，
若函数h（x）=2x﹣a在x＜1时，与x轴没有交点，
则函数g（x）=4（x﹣a）（x﹣2a）有两个交点，
当a≤0时，h（x）与x轴无交点，g（x）无交点，所以不满足题意（舍去），
当 h（1）=2﹣a≤0 时，即 a≥2 时，g（x）的两个交点满足 x =a，x =2a，都是
1 2
满足题意的，
综上所述a的取值范围是 ≤a＜1，或a≥2．
【点评】本题考查了分段函数的问题，以及函数的零点问题，培养了学生的转化
能力和运算能力以及分类能力，属于中档题．
三、解答题（共 6小题，共 80分）
15．（13分）已知函数f（x）= sin cos ﹣ sin ．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）求f（x）在区间[﹣π，0]上的最小值．
【考点】GP：两角和与差的三角函数；H1：三角函数的周期性；HW：三角函数
的最值．
菁优网版权所有
【专题】11：计算题；56：三角函数的求值；57：三角函数的图像与性质．
【分析】（Ⅰ）运用二倍角公式和两角和的正弦公式，化简f（x），再由正弦函数
的周期，即可得到所求；
第11页 | 共20页（Ⅱ）由 x 的范围，可得 x+ 的范围，再由正弦函数的图象和性质，即可求得
最小值．
【解答】解：（Ⅰ）f（x）= sin cos ﹣ sin
= sinx﹣ （1﹣cosx）
=sinxcos +cosxsin ﹣
=sin（x+ ）﹣ ，
则f（x）的最小正周期为2π；
（Ⅱ）由﹣π≤x≤0，可得
﹣ ≤x+ ≤ ，
即有﹣1 ，
则当x=﹣ 时，sin（x+ ）取得最小值﹣1，
则有f（x）在区间[﹣π，0]上的最小值为﹣1﹣ ．
【点评】本题考查二倍角公式和两角和的正弦公式，同时考查正弦函数的周期和
值域，考查运算能力，属于中档题．
16．（13分）A，B 两组各有7位病人，他们服用某种药物后的康复时间（单位：
天）记录如下：
A 组：10，11，12，13，14，15，16
B组；12，13，15，16，17，14，a
假设所有病人的康复时间相互独立，从 A，B 两组随机各选 1 人，A 组选出的人
记为甲，B 组选出的人记为乙．
（Ⅰ）求甲的康复时间不少于14天的概率；
（Ⅱ）如果a=25，求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率；
（Ⅲ）当a为何值时，A，B两组病人康复时间的方差相等？（结论不要求证明）
【考点】BC：极差、方差与标准差；CB：古典概型及其概率计算公式．
菁优网版权所有
第12页 | 共20页【专题】5I：概率与统计．
【分析】设事件 A 为“甲是 A 组的第 i 个人”，事件 B 为“乙是 B 组的第 i 个人”，
i i
由题意可知P（A）=P（B）= ，i=1，2，••，7
i i
（Ⅰ）事件等价于“甲是A组的第5或第6 或第7个人”，由概率公式可得；
（Ⅱ）设事件“甲的康复时间比乙的康复时间长”C=A B ∪A B ∪A B ∪A B ∪A B
4 1 5 1 6 1 7 1 5 2
∪A B ∪A B ∪A B ∪A B ∪A B ，易得P（C）=10P（A B ），易得答案；
6 2 7 2 7 3 6 6 7 6 4 1
（Ⅲ）由方差的公式可得．
【解答】解：设事件 A 为“甲是 A 组的第 i 个人”，事件 B 为“乙是 B 组的第 i 个
i i
人”，
由题意可知P（A）=P（B）= ，i=1，2，••，7
i i
（Ⅰ）事件“甲的康复时间不少于14天”等价于“甲是A组的第5或第6或第7个
人”
∴甲的康复时间不少于14天的概率P（A ∪A ∪A ）=P（A ）+P（A ）+P（A ）
5 6 7 5 6 7
= ；
（Ⅱ）设事件C为“甲的康复时间比乙的康复时间长”，
则C=A B ∪A B ∪A B ∪A B ∪A B ∪A B ∪A B ∪A B ∪A B ∪A B ，
4 1 5 1 6 1 7 1 5 2 6 2 7 2 7 3 6 6 7 6
∴P（C）=P（A B ）+P（A B ）+P（A B ）+P（A B ）+P（A B ）+P（A B ）+P
4 1 5 1 6 1 7 1 5 2 6 2
（A B ）+P（A B ）+P（A B ）+P（A B ）
7 2 7 3 6 6 7 6
=10P（A B ）=10P（A ）P（B ）=
4 1 4 1
（Ⅲ）当a为11或18时，A，B两组病人康复时间的方差相等．
【点评】本题考查古典概型及其概率公式，涉及概率的加法公式和方差，属基础
题．
17．（14 分）如图，在四棱锥 A﹣EFCB 中，△AEF 为等边三角形，平面 AEF⊥平
面EFCB，EF∥BC，BC=4，EF=2a，∠EBC=∠FCB=60°，O为EF的中点．
（Ⅰ）求证：AO⊥BE．
（Ⅱ）求二面角F﹣AE﹣B的余弦值；
（Ⅲ）若BE⊥平面AOC，求a的值．
第13页 | 共20页【考点】LW：直线与平面垂直；MJ：二面角的平面角及求法．
菁优网版权所有
【专题】5F：空间位置关系与距离；5G：空间角．
【分析】（Ⅰ）根据线面垂直的性质定理即可证明AO⊥BE．
（Ⅱ）建立空间坐标系，利用向量法即可求二面角F﹣AE﹣B的余弦值；
（Ⅲ）利用线面垂直的性质，结合向量法即可求a的值
【解答】证明：（Ⅰ）∵△AEF为等边三角形，O为EF的中点，
∴AO⊥EF，
∵平面AEF⊥平面EFCB，AO⊂平面AEF，
∴AO⊥平面EFCB
∴AO⊥BE．
（Ⅱ）取BC 的中点G，连接OG，
∵EFCB是等腰梯形，
∴OG⊥EF，
由（Ⅰ）知AO⊥平面EFCB，
∵OG⊂平面EFCB，∴OA⊥OG，
建立如图的空间坐标系，
则OE=a，BG=2，GH=a，（a≠2），BH=2﹣a，EH=BHtan60°= ，
则E（a，0，0），A（0，0， a），B（2， ，0），
=（﹣a，0， a）， =（a﹣2，﹣ ，0），
设平面AEB的法向量为 =（x，y，z），
第14页 | 共20页则 ，即 ，
令z=1，则x= ，y=﹣1，
即 =（ ，﹣1，1），
平面AEF的法向量为 ，
则cos＜ ＞= =
即二面角F﹣AE﹣B的余弦值为 ；
（Ⅲ）若BE⊥平面AOC，
则BE⊥OC，
即 =0，
∵ =（a﹣2，﹣ ，0）， =（﹣2， ，0），
∴ =﹣2（a﹣2）﹣3（a﹣2）2=0，
解得a= ．
第15页 | 共20页【点评】本题主要考查空间直线和平面垂直的判定以及二面角的求解，建立坐标
系利用向量法是解决空间角的常用方法．
18．（13分）已知函数f（x）=ln ，
（Ⅰ）求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；
（Ⅱ）求证，当x∈（0，1）时，f（x）＞ ；
（Ⅲ）设实数k使得f（x） 对x∈（0，1）恒成立，求k的最大值．
【考点】6E：利用导数研究函数的最值；6H：利用导数研究曲线上某点切线方
程．
菁优网版权所有
【专题】53：导数的综合应用．
【分析】（1）利用函数的导数求在曲线上某点处的切线方程．
（2）构造新函数利用函数的单调性证明命题成立．
（3）对k进行讨论，利用新函数的单调性求参数k的取值范围．
【解答】解答：（1）因为f（x）=ln（1+x）﹣ln（1﹣x）所以
又因为f（0）=0，所以曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y=2x．
（2）证明：令g（x）=f（x）﹣2（x+ ），则
第16页 | 共20页g'（x）=f'（x）﹣2（1+x2）= ，
因为g'（x）＞0（0＜x＜1），所以g（x）在区间（0，1）上单调递增．
所以g（x）＞g（0）=0，x∈（0，1），
即当x∈（0，1）时，f（x）＞2（x+ ）．
（3）由（2）知，当k≤2时，f（x）＞ 对x∈（0，1）恒成立．
当k＞2时，令h（x）=f（x）﹣ ，则
h'（x）=f'（x）﹣k（1+x2）= ，
所以当 时，h'（x）＜0，因此h（x）在区间（0， ）上单调递
减．
当 时，h（x）＜h（0）=0，即f（x）＜ ．
所以当k＞2时，f（x）＞ 并非对x∈（0，1）恒成立．
综上所知，k的最大值为2．
【点评】本题主要考查切线方程的求法及新函数的单调性的求解证明．在高考中
属常考题型，难度适中．
19．（14 分）已知椭圆 C： + =1（a＞b＞0）的离心率为 ，点 P（0，1）
和点A（m，n）（m≠0）都在椭圆C上，直线PA交x轴于点M．
（Ⅰ）求椭圆C的方程，并求点M的坐标（用m，n表示）；
（Ⅱ）设 O 为原点，点 B 与点 A 关于 x 轴对称，直线 PB 交 x 轴于点 N，问：y
轴上是否存在点Q，使得∠OQM=∠ONQ？若存在，求点Q的坐标，若不存在，
说明理由．
【考点】K3：椭圆的标准方程；KH：直线与圆锥曲线的综合．
菁优网版权所有
【专题】2：创新题型；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程；5E：圆锥曲线中的
第17页 | 共20页最值与范围问题．
【分析】（I）根据椭圆的几何性质得出 求解即可．
（II）求解得出 M（ ，0），N（ ，0），运用图形得出 tan∠OQM=tan∠
ONQ， = ，求解即可得出即y 2=x •x ， +n2，根据m，m的关系整体
Q M N
求解．
【解答】解：（Ⅰ）由题意得出
解得：a= ，b=1，c=1
∴ +y2=1，
∵P（0，1）和点A（m，n），﹣1＜n＜1
∴PA的方程为：y﹣1= x，y=0时，x =
M
∴M（ ，0）
（II）∵点B与点A关于x 轴对称，点A（m，n）（m≠0）
∴点B（m，﹣n）（m≠0）
∵直线PB交x轴于点N，
∴N（ ，0），
第18页 | 共20页∵存在点Q，使得∠OQM=∠ONQ，Q（0，y ），
Q
∴tan∠OQM=tan∠ONQ，
∴ = ，即y 2=x •x ， +n2=1
Q M N
y 2= =2，
Q
∴y = ，
Q
故y轴上存在点Q，使得∠OQM=∠ONQ，Q（0， ）或Q（0，﹣ ）
【点评】本题考查了直线圆锥曲线的方程，位置关系，数形结合的思想的运用，
运用代数的方法求解几何问题，难度较大，属于难题．
20．（13 分）已知数列{a }满足：a ∈N*，a ≤36，且 a =
n 1 1 n+1
（n=1，2，…），记集合M={a |n∈N*}．
n
（Ⅰ）若a =6，写出集合M 的所有元素；
1
（Ⅱ）如集合M存在一个元素是3的倍数，证明：M的所有元素都是3的倍数；
（Ⅲ）求集合M的元素个数的最大值．
【考点】8H：数列递推式．
菁优网版权所有
【专题】2：创新题型；55：点列、递归数列与数学归纳法．
【分析】（Ⅰ）a =6，利用a = 可求得集合M的所有元素为
1 n+1
6，12，24；
（Ⅱ）因为集合M存在一个元素是3的倍数，所以不妨设a 是3的倍数，由a =
k n+1
（n=1，2，…），可归纳证明对任意n≥k，a 是3的倍数；
n
（Ⅲ）分a 是3的倍数与a 不是3的倍数讨论，即可求得集合M的元素个数的
1 1
最大值．
【解答】解：（Ⅰ）若a =6，由于a = （n=1，2，…），M={a |n
1 n+1 n
第19页 | 共20页∈N*}．
故集合M的所有元素为6，12，24；
（Ⅱ）因为集合M存在一个元素是3的倍数，所以不妨设a 是3的倍数，由a =
k n+1
（n=1，2，…），可归纳证明对任意n≥k，a 是3的倍数．
n
如果k=1，M 的所有元素都是3的倍数；
如果 k＞1，因为 a =2a ，或 a =2a ﹣36，所以 2a 是 3 的倍数；于是 a
k k﹣1 k k﹣1 k﹣1 k﹣1
是3的倍数；
类似可得，a ，…，a 都是3的倍数；
k﹣2 1
从而对任意n≥1，a 是3的倍数；
n
综上，若集合M 存在一个元素是3的倍数，则集合 M的所有元素都是3的倍数
（Ⅲ）对a ≤36，a = （n=1，2，…），可归纳证明对任意n
1 n
≥k，a ＜36（n=2，3，…）
n
因为a 是正整数，a = ，所以a 是2的倍数．
1 2 2
从而当n≥2时，a 是2的倍数．
n
如果a 是3的倍数，由（Ⅱ）知，对所有正整数n，a 是3的倍数．
1 n
因此当n≥3时，a ∈{12，24，36}，这时M的元素个数不超过5．
n
如果a 不是3的倍数，由（Ⅱ）知，对所有正整数n，a 不是3的倍数．
1 n
因此当n≥3时，a ∈{4，8，16，20，28，32}，这时M的元素个数不超过8．
n
当a =1时，M={1，2，4，8，16，20，28，32}，有8个元素．
1
综上可知，集合M的元素个数的最大值为8．
【点评】本题考查数列递推关系的应用，突出考查分类讨论思想与等价转化思想
及推理、运算能力，属于难题．
第20页 | 共20页
