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专题 6.16 与平行四边形相关的旋转问题（专项练习）
1．如图1，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，点D、E分别在边AB、AC上，AD＝AE，
连接DC，点F、P、G分别为DE、DC、BC的中点．
（1）观察猜想：图1中，线段PF与PG的数量关系是 ，∠FPG＝ （用含α
的代数式表示）
（2）探究证明：当△ADE绕点A旋转到如图2所示的位置时，小新猜想（1）中的结论仍
然成立，请你证明小新的猜想．
2．如图，△ABC为等边三角形，点D为线段BC上一点，将线段AD以点A为旋转中心顺
时针旋转60°得到线段AE，连接BE，点D关于直线BE的对称点为F，BE与DF交于点
G，连接DE，EF．
（1）求证：∠BDF＝30°
（2）若∠EFD＝45°，AC＝ +1，求BD的长；
（3）如图2，在（2）条件下，以点D为顶点作等腰直角△DMN，其中DN＝MN＝ ，
连接FM，点O为FM的中点，当△DMN绕点D旋转时，求证：EO的最大值等于BC．3．如图，在边长为6的等边 中，点 为边 上任意一点，连接 将线段 绕点
逆时针旋转 ，点 的对应点是点 ，连接 、 ．
（1）如图1，求证： ；
（2）如图2，在旋转过程中，取 、 的中点 、 ，连接 和 ，当 时，
试猜想 与 的大小关系，写出你猜想的关系式，并证明；
（3）如图2，在整个旋转过程中， 的长度是否发生变化，若不变化，直接写出 的值，
若变化，请直接写出 的取值范围．
4．如图1，在等边 中， ，点D，E分别在边 上， ，
连接 ，点M，P，N分别为 的中点．
（1）观察猜想：图1中，线段 与 的数量关系是 ，
；
（2）探究证明：把 绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，连接 ，则上
面题（1）中的两个结论是否依然成立，并说明理由；
（3）拓展延伸：把 绕点A在平面内自由旋转，若 ，请直接写出
周长的最大值．5．【教材呈现】如图是华师版九年级上册数学教材第77页的部分内容．
【定理证明】
（1）请根据教材内容，结合图①，写出证明过程．
【定理应用】
（2）如图②，四边形 中， 、 、 分别为 、 、 的中点，边 、
延长线交于点 ， ，则 的度数是_______．
（3）如图③，矩形 中， ， ，点 在边 上，且 ．将线段
绕点 旋转一定的角度 ，得到线段 ， 是线段 的中点，直接
写出旋转过程中线段 长的最大值和最小值．6．在等腰直角三角形ABC中， ，点E、F分别为AB，AC的中点，H为线段
EF上一动点（不与点E，F重合），将线段AH绕点A逆时针方向旋转90°得到AG，连接
GC，HB．
（1）如图1，求证： ；
（2）如图2，连接GF，HG，HG交AF于点Q．
①点H在运动的过程中，求证： ；
②若 ，当 为等腰三角形时，EH的长为______．
7． 为等边三角形， ， 于点 ． 为线段 上一点， ．以
为边在直线 右侧构造等边 ．连结 ， 为 的中点．
（1）如图1， 与 交于点 ，
①连结 ，求线段 的长；
②连结 ，求 的大小．
（2）如图2，将 绕点 逆时针旋转，旋转角为 ． 为线段 的中点．连结 、
．当 时，猜想 的大小是否为定值，并证明你的结论．8．如图1，点 是线段 上一点 ，分别以 、 为直角边，在 同侧作
等腰直角三角形 和 ，点 、 分别是斜边 、 的中点，点 是线段
的中点，连接 、 ．
（1）观察猜想，图1中，线段 与 的数量关系是______，位置关系是______；
（2）探究证明：将图1中的 绕着点 顺时针旋转 ，如图2，点 、
、 依然分别是 、 、 的中点，请判断（1）中结论是否成立？若成立，请证
明；若不成立，请说明理由．
（3）若将图1中 和 都换成等边三角形，将图1中的 绕着点 顺时针旋
转 ，如图3，点 、 、 依然分别是 、 、 的中点，请判断
（1）中结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
9．如图，在 中， ，对角线 相交于点 ，将直
线 绕点 顺时针旋转，分别交 于点 ．
（1）当旋转角为 时，如图1，求证：四边形 是平行四边形；
（2）在旋转过程中，线段 与 是否总保持相等，并说明理由；
（3）在旋转过程中，当 时，如图2①求出此时 绕点 顺时针旋转的锐角度数；
②直接写出 的值．
10．如图，点B是∠MAN的边AM上的定点，点C是边AN上的动点，将△ABC绕点逆时
针旋转得到△DBE，且点A的对应点D恰好落在边AB上，连结CE．当BC=AC时，
（1）求证：四边形ABEC是平行四边形；
（2）若AB＝15，AD＝18，求AC的长．11．等边 OAB按如图1所示方式放置在平面直角坐标系中，点O（0，0），点B（4，
0），点C△在边OA上（不与点O，A重合），点D在x轴的正半轴上，且OD＝OC，连接
CD，将 COD绕点C逆时针旋转60°，点O，D的对应点分别为D，O′，AH是 OAB的中
线，当A△H与CO′相交时，设交点为P，AH与DC（DO′）的交点为M，设OC＝△t．
（1）当OC＝2时，CP＝ ；
（2）如图2，①若AB与DO′相交，设交点为N，求证：四边形ACDN是平行四边形；
②当t＝3时，请直接写出四边形ACDN与四边形PMDO′的面积之比；
（3）若AH将 CO′D分成一个直角三角形和一个四边形，试用含有t的式子表示DM（写
出t的取值范围△）．
12．如图，在平行四边形ABCD中，AB⊥AC，对角线AC，BD相交于点O，将直线AC绕
点O顺时针旋转一个角度 ，分别交线段BC，AD于点E，F，连接BF．
（1）如图1，在旋转的过程中，写出线段AF与EC的数量关系，并证明；
（2）如图2，当旋转至 时，判断四边形ABEF的形状，并说明理由；
（3）若AB＝1，BC＝ ，求当 等于多少度时，BF＝DF？参考答案
1．（1）PF＝PG，180°﹣α；（2）见解析
【解析】
【分析】
（1）根据等腰三角形的性质和三角形中位线定理解答即可；
（2）连接BD，CE，利用全等三角形的判定和性质以及三角形中位线定理解答即可．
【详解】
解：（1）如图1：
中， ， ,点 , 分别在边 ， 上，
即
点 ， ， 分别为 ， ， 中点
，
点 ， ， 分别为 ， ， 中点
，
，故答案为： ；
（2）如图2，连接BD，CE，
由题意知AB＝AC，∠BAD＝∠CAE，AD＝AE，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD＝CE，∠ABD＝∠ACE，
∵点F、P、G分别为DE、DC、BC的中点，
∴PF，PG分别是△CDE和△CDB的中位线，
∴PF＝PG
∴PG∥BD，PF∥CE，
∴∠PGC＝∠DBC，∠DPF＝∠DCE，
∴∠FPG＝∠DPF＋∠DPG
＝∠DCE＋∠PGC＋∠DCB
＝∠ACD＋∠ACE＋∠DBC＋∠DCB
＝∠ACD＋∠ABD＋∠DBC＋∠DCB
＝∠ABC＋∠ACB，
∵∠ABC＋∠ACB＝180°﹣∠BAC
∴∠FPG＝180°﹣α；
【点拨】本题属于几何变换综合题，关键是根据三角形的中位线定理，等腰直角三角形的
判定和性质，全等三角形的判定和性质进行解答．
2．（1）见解析；（2）2；（3）见解析
【解析】
【分析】（1）由△ABC是等边三角形，可得∠ABC=60°，由D、F关于直线BE对称，得到
BF=BD，则∠BFD=∠BDF，由三角形外角的性质得到∠BFD+∠BDF=∠ABD，则
∠BDF=∠BFD=30°；
（2）设 ，由D、F关于直线BE对称，得到∠BGD=∠BGF=90°，EF=ED，
EG=DG，由含30度角的直角三角形的性质和勾股定理得 ， ，证明
△EAB≌△DAC得到 ，再由 ，得
到 ，由此求解即可；
（3）连接OG，先求出 ，证明OG是三角形DMF的中位线，得到 ，
再根据两点之间线段最短可知 ，则OE的最大值等于BC．
【详解】
解：（1）∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=60°，
∵D、F关于直线BE对称，
∴BF=BD，
∴∠BFD=∠BDF，
∵∠BFD+∠BDF=∠ABD，
∴∠BDF=∠BFD=30°；
（2）设 ，
∵D、F关于直线BE对称，
∴∠BGD=∠BGF=90°，EF=ED，
∴∠EDG=EFG=45°，
∴EG=DG，
∵∠BDG=30°，
∴ ，
∴ ，
由旋转的性质可得AE=AD，∠EAD=∠BAC=60°，∴∠EAB+∠BAD=∠CAD+∠BAD，即∠EAB=∠DAC，
又∵AB=AC，
∴△EAB≌△DAC（SAS），
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（3）如图所示，连接OG，
∵在等腰直角三角形DMN中， ，
∴ ，
∵D、F关于直线BE对称，
∴G为DF的中点，
又∵O为FM的中点，
∴OG是三角形DMF的中位线，
∴ ，
由（2）可得 ，
根据两点之间线段最短可知 ，
∴OE的最大值等于BC．
【点拨】本题主要考查了等边三角形的性质，轴对称的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，含30度角的直角三角形性质，三角形中位线定理，两点之间线段最短等等，解
题的关键在于能够熟练掌握轴对称的性质和等边三角形的性质．
3．（1）见解析；（2）FG=FC，证明见解析；（3）变化， ．
【解析】
【分析】
（1）根据SAS证△ABE≌△ACD，即可得证CD=BE，又AB=BC，即可得证结论；
（2）取AD的中点H，连接HF，HG，BF，根据三角形的中位线定理得HG= AC，FH=
ED，根据SAS证△BEF≌△GHF，得出FB=FG，又FB=FC，故FG=FC；
（3）先判断当E点与B点重合时FG有最大值，当E点与C点重合时FG有最小值求出
FG的取值范围即可．
【详解】
解：（1）∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC=60°，AB=AC=BC，
由旋转可知，AE=AD，∠EAD=60°，
∴∠BAC=∠EAD，
∴∠BAE+∠EAC=∠EAC+∠CAD，
∴∠BAE=∠CAD，
在 ABE和 ACD中，
△ △
，
∴△ABE≌△ACD（SAS），
∴BE=CD，
∴BC=BE+EC=CD+EC，
∴AB=EC+CD；
（2）FG=FC，
理由：取AD的中点H，连接HF，HG，BF，∵等边三角形ABC，AE⊥BC，点E是BC的中点，
∴∠CAE= ∠BAC=30°，∠FEB=90°，FB=FC，
∵∠EAD=60°，AD=AE，
∴∠CAD=30°， ADE是等边三角形，
∴DE=AE，∠AD△E=60°，
∵点H是AD的中点，点F是AE的中点，点G是CD的中点，
∴HG∥AC，HG= AC，FH∥ED，FH= ED，
∴∠DHG=∠DAC=30°，∠AHF=∠ADE=60°，FH=EF，GH=BE，
∴∠FHG=∠BEF=90°，
在 BEF和 GHF中，
△ △
，
∴△BEF≌△GHF（SAS），
∴FB=FG，
∵AE⊥BC，点E是BC的中点，
∴FB=FC，
∴FG=FC；
（3）FG长度发生变化，3≤FG≤3 ，
理由：当点E与点B重合时，则点G与点C重合，此时FG最长，如下图，∵△ABC是等边三角形，点F是AE的中点，
∴AF= AB= ×6=3，
∴ ，
当点E与点C重合时，此时FG最短，如下图，
∵点F是AE的中点，点G是CD的中点，
∴FG= AD= AC= ×6=3，
∴ ．
【点拨】本题主要考查图形的旋转变换，涉及全等三角形的判定和性质，三角形的中位线，
等边三角形的性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定和性质及等边三角形的性质是解题
的关键．
4．（1） ， ；（2）成立，见解析；（3）
【解析】
【分析】
（1）利用三角形的中位线定理以及平行线的性质解决问题即可；
（2）证明△ABD≌△ACE（SAS），推出BD=CE，再利用三角形的中位线定理解决问题即可；
（3）首先证明点D恰好在BA延长线上时，PM 、PN的最大值为7，再利用30度角的直
角三角形的性质以及勾股定理，求出M N的长度即可解决问题．【详解】
解：（1）∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，∠A=60°，
∵AD=AE，
∴AB-AD=AC-AE，即BD=CE，
∵M，P，N分别是DE，DC，BC的中点，
∴MP= EC，PM∥EC，PN= BD，PN∥BD，
∴PM=PN，∠MPD=∠ACD，∠NPD=∠ADC，
在△ACD中，∠ADC+∠ACD=180°-∠A=120°，
∴∠MPN=∠MPD+∠NPD=120°．
故答案为：PM=PN，120°；
（2）成立，理由如下：
∵AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°，∠ABC=∠ACB=60°，
∴∠BAD=∠CAE，
∵AB=AC，∠BAD=∠CAE，AD=AE，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD=CE，
∵DM=ME，DP=PC，BN=NC，
∴MP= EC，PM∥EC，PN= BD，PN∥BD，
∴MP=PN，
∴△PMN是等腰三角形．
∵PM∥CE，
∴∠DPM=∠DCE，
∵PN∥BD，
∴∠PNC=∠DBC，
∵∠DPN=∠DCB+∠PNC=∠DCB+∠DBC，
∴∠MPN=∠DPM+∠DPN=∠DCE+∠DCB+∠DBC=∠BCE+∠DBC=∠ACB+∠ACE+∠DBC=∠AC
B+∠ABD+∠DBC=∠ACB+∠ABC，
∵∠BAC=60°，
∴∠ACB+∠ABC=120°，∴∠MPN=120°，
∴PM=PN，∠MPN=120°；
（3）由（2）知：PM=PN，∠MPN=120°，
∵BD≤AB+AD，
∴BD≤14，
∴点D恰好在BA延长线上时，BD、CE取得最大值，且最大值为14，
∴PM 、PN的最大值为7，
此时MN经过点A，即MN垂直平分BC，如图：
∵△ABC、△ADE是等边三角形，且AD=4，AB=10，
∴∠BAN=∠DAM=30°，
∴BN=CN=5，DM=EM=2，
∴AN= 5 ，AM= 2 ，
∴△PMN周长的最大值为PM+PN+MN=7+7+5 +2 =14+7 ．
【点拨】本题属于几何变换综合题，考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，
三角形的中位线定理，三角形的面积等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，
属于中考压轴题．
5．（1）见解析；（2） ；（3） 长的最大值为 ，最小值为 ．
【解析】
【分析】
（1）延长 至 ，使 ，连接 ，根据题意证明 ，然后证明四
边形 为平行四边形，即可得出 ， ；（2）首先根据三角形外角的性质得到 ，然后由三角形中位线的性质
得到 ， ，可得到 ，由
即可求出 的度数．
（3）延长 至 ，使 ，连接 ， ，可得 ，可得当FH最小或
最大时，MB最小或最大，由题意可得当点 在线段 上时， 最小，当点 在线段
的延长线上时， 最大，根据勾股定理求出AH的长度，然后即可求出线段 长的
最大值和最小值．
【详解】
（1）证明：延长 至 ，使 ，连接 ，
在 和 中，
，
，
， ，
，
，
，
四边形 为平行四边形，
， ，
， ；
（2）∵ 、 、 分别为 、 、 的中点，
∴ 是△DAB的中位线， 是△BCD的中位线，∴ ， ，
∴ ， ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ；
（3）解：延长 至 ，使 ，连接 ， ，
， ，
，由勾股定理得， ，
当点 在线段 上时， 最小，最小值为 ，
当点 在线段 的延长线上时， 最大，最大值为 ，
长的最大值为 ，最小值为 ．
【点拨】此题考查了三角形中位线的性质，勾股定理的运用，线段最值问题，平行四边形
的判定和性质，解题的关键是熟练掌握三角形中位线的性质，平行四边形的判定和性质，
勾股定理．
6．（1）见解析；（2）①见解析，② 或2．
【解析】
【分析】
（1）由旋转的性质可得 ， ，再由△ABC是 的等腰直角三角形，可得 ， ，由此即可证明；
（2）①证明△AEH≌△AFG（SAS），可得∠AFG=∠AEH=45°，从而根据两角的和可得结论；
②分两种情况：i）如图3，AQ=QG时，ii）如图4，当AG=QG时，分别根据等腰三角形的
性质可得结论．
【详解】
（1）证明：由旋转得： ， ，
∵△ABC是 的等腰直角三角形，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ；
（2）①证明：在等腰直角三角形ABC中， ，
∴ ，
∵点E，F分别为AB，AC的中点，
∴EF是 的中位线，
∴ ， ， ，
∴ ， ， ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
②分两种情况：
i）如图3，AQ=QG时，∵AQ=QG，
∴∠QAG=∠AGQ，
∵AG⊥AH且AG=AH，
∴∠AHG=∠AGH=45°，
∴∠AHG=∠AGH=∠HAQ=∠QAG=45°，
∴∠EAH=∠FAH=45°，
∵AE=AF，AH=AH，
∴△AEH≌△AFH（SAS），
∴∠AHE=∠AHF，
∵∠AHE+∠AHF=180°，
∴∠AHE=∠AHF=90°，
∴∠EAH=∠AEH=45°，
∴AH=EH，
由①得 ，
∵ 即 ，
∴ ；
ii）如图4，当AG=QG时，∠GAQ=∠AQG，
∵∠AEH=∠AGQ=45°，∴∠GAQ=∠AQG= =67.5°，
∵∠EAQ=∠HAG=90°，
∴∠EAH=∠GAQ=67.5°，
∴∠AHE=∠EAH=67.5°，
∴EH=AE=2
∵H为线段EF上一动点（不与点E，F重合），
∴不存在AG=AQ的情况．
综上，当△AQG为等腰三角形时，HE=2或 ，
故答案为： 或2．
【点拨】本题是三角形的综合题，考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质和判定，等
腰三角形的性质和判定，也考查了全等三角形的判定与性质，三角形中位线定理，第二问
要注意分类讨论，不要丢解．
7．（1）① ；② ；（2） ，证明见解析
【解析】
【分析】
（1）①根据等边三角形的性质， ，可得 ， 是
斜边 上的中线，勾股定理在 中可求得 的长，进而求得 的长；
②根据①的结论可得 ，根据
，即可求得 的度数；
（2）连接 ，证明 ，进而可得 ，则
，进而根据 为
的中点， 为 的中点， 为 的中点，根据三角形中位线定理可得
，进而可得
【详解】
（1）① 是等边三角形，，
是等边三角形，
为 的中点
②如图，连接 ，
；
（2） ，理由如下，
如图，连接
， 为等边三角形，
,
则
为 的中点， 为 的中点， 为 的中点
【点拨】本题考查了等边三角形的性质，勾股定理，三线合一，直角三角形斜边上的中线
等于斜边的，勾股定理，中位线定理，三角形全等的性质与判定，旋转的性质，综合运用
以上知识是解题的关键．
8．（1）PM＝PN，PM PN，（2）结论成立，理由见解析，（3）PM＝PN成立；
∠MPN=120°，理由见解析．
【解析】
【分析】
（1）先证明 ACE≌△BCD得到AE=BD，∠AEC=∠BDC，则∠BDC+∠EAC=90°，再由三角
△形中位线定理得到 ，PM∥BD， ，PN∥AE，即可推出PM=PN，
∠NPD=∠EAD，∠MPA=∠BDA，从而得到∠NPD+∠MPA=90°，则∠MPN=90°；
（2）如图所示，连接AE，BD两者交于点O，设BC与AE交于H，MP与AE交于G，先
证明△ACE≌△BCD得到AE=BD，∠EAC=∠DBC，再由∠BHO=∠AHC，即可推出
∠HOD=90°，同理得到 ，PM∥BD， ，PN∥AE，则PM=PN，
∠OGP+∠GOD=180°，∠OGP+∠MPN=180°，即可得到∠MPN=∠GOD=90°，由此即可求解；
（3）连接AE，BD两者交于点O，设BC与AE交于H，MP与AE交于G，同（2）求解即
可．
【详解】
解：（1）∵△ACB和△DCE都是等腰直角三角形，
∴AC=BC，CE=CD，∠ACE=∠ECD=90°，
∴△ACE≌△BCD（SAS），∠AEC+∠EAC=90°
∴AE=BD，∠AEC=∠BDC，
∴∠BDC+∠EAC=90°，
∵点M、N分别是斜边AB、DE的中点，点P是线段AD的中点，
∴PM，PN分别是三角形ABD和三角形ADE的中位线，
∴ ，PM∥BD， ，PN∥AE，
∴PM=PN，∠NPD=∠EAD，∠MPA=∠BDA，
∴∠NPD+∠MPA=90°，
∴∠MPN=90°，
∴PM⊥PN．
（2）（1）中结论仍然成立，理由如下：
如图所示，连接AE，BD两者交于点O，设BC与AE交于H，MP与AE交于G∵△ACB和△DCE都是等腰直角三角形，
∴AC=BC，CE=CD，∠ACB=∠ECD=90°，
∴∠ACE=∠ACB+∠BCE=∠BCE+∠ECD=∠BCD，
∴△ACE≌△BCD（SAS），
∴AE=BD，∠EAC=∠DBC，
∵∠BHO=∠AHC，
∴∠BOH=∠ACH=90°，
∴∠HOD=90°，
同理得 ，PM∥BD， ，PN∥AE，
∴PM=PN，∠OGP+∠GOD=180°，∠OGP+∠MPN=180°，
∴∠MPN=∠GOD=90°，
∴PM⊥PN；
（3）（1）中结论不成立，PM=PN，∠MPN=120°，
如图所示，连接AE，BD两者交于点O，设BC与AE交于H，MP与AE交于G
∵△ACB和△DCE都是等边三角形，
∴AC=BC，CE=CD，∠ACB=∠ECD=60°，
∴∠ACE=∠ACB+∠BCE=∠BCE+∠ECD=∠BCD，
∴△ACE≌△BCD（SAS），
∴AE=BD，∠EAC=∠DBC，
∵∠BHO=∠AHC，
∴∠BOH=∠ACH=60°，
∴∠HOD=120°同理得 ，PM∥BD， ，PN∥AE，
∴PM=PN，∠OGP+∠GOD=180°，∠OGP+∠MPN=180°，
∴∠MPN=∠GOD=120°．
【点拨】本题主要考查了等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的性质
与判定，平行线的性质与判定，三角形中位线定理，解题的关键在于能够熟练掌握相关知
识进行求解．
9．（1）见解析；（2）线段 与 总保持相等，理由见解析；（3）① ；②
．
【解析】
【分析】
(1)证AB EF，又AE BF，可证四边形ABFE是平行四边形；
(2)根据ASA证△AOE △COF，即可得证OE = OF；
(3)①根据AB = 1，BC = ，可得AO= AB，即∠ABO =∠AOB = 45°，又∠BOE = 90°，
可得旋转角为45°；
②过点A作AM BO，交BO于点M，交BC于点N，取OF的中点H，连接MH，证四边
形AMHE是平行四边形，得EH=AM= BO= ，又OE = OF= 2OH，可得．
【详解】
解：证明： 由题可知， ，
又 四边形 是平行四边形，
四边形 是平行四边形；
（2）线段 与 总保持相等，理由如下：
四边形 是平行四边形，
又
，
；
（3）①在 中， ，
，
，
，
即旋转的度数为 ，② ．
如图，过点 作 交 于点 ，
交 于点 ，取 的中点 ，连接 ．
由（3）①可知，
又 点 为 中点，
为 中位线，
，
四边形 是平行四边形，
∴ ，
又
∴ ．
【点拨】本题主要考查平行四边形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，全等三
角形的判定和性质等知识点，利用辅助线构造平行四边形是解题的关键．
10．（1）见解析；（2）
【解析】
【分析】
（1）利用旋转的性质得到AB=BD，BC=BE，∠ABC=∠DBE，证明BE=AC，BE∥AC，即可证明结论；
（2）过点B作BH⊥AD，先得出AH=12，设AC=BC=x，则CH=x-9，在Rt△HCB中，利用
勾股定理列出方程，解方程即可．
【详解】
解：（1）∵△ABC绕点B逆时针旋转得到△DBE，
∴AB=BD，BC=BE，∠ABC=∠DBE，
∴∠A=∠BDA，
∵BC=AC，
∴∠A=∠ABC，BE=AC，
∴∠BDA=∠DBE，
∴BE∥AC，
∴四边形ABEC是平行四边形；
（2）如图，过点B作BH⊥AD，垂足为H，
∵BD=BA，BH⊥AD，
∴AH= AD＝9，
在Rt△ABH中，由勾股定理得：
BH= ＝12，
设AC=BC=x，则CH=x-9，
在Rt△HCB中，由勾股定理得：
（x-9）2+122=x2，
解得= ，
∴AC的长为 ．
【点拨】本题主要考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，平行四边形的判定，勾股定理等知识，作出辅助线，利用勾股定理列方程是解题的关键．
11．（1）1；（2）①见解析；②四边形ACDN与四边形PMDO′的面积之比为 ；（3）
DM＝ ．
【解析】
【分析】
（1）运用等边三角形性质可得： 再由旋转的旋转可得
，进而可得CO′∥OB，由OH⊥OB，推出OH⊥CO′，再运用等边三角形性
质即可得出答案；
（2）①如图1，设直线DO′交AB于点H，利用两组对边分别平行的四边形是平行四边形
即可证得结论；
②当t=3时，如图2，OC=OD=3，AC=DB=1，且 OCD、 BDN是等边三角形，运用等边
△ △
三角形性质及勾股定理可求出 ，再证明 MCP≌△ACP（ASA），得
△
出 ，利用三角形面积公式即可得出答案；
（3）分两种情况讨论：①当0＜t＜2时，DH=2-t，根据含30°角的直角三角形性质可得出
答案，②当2＜t＜4时，DH=t-2，同理可得出答案．
【详解】
（1）∵点O（0，0），点B（4，0），
∴OB＝4，
∵△OAB是等边三角形，
∴OA＝OB＝AB＝4，∠AOB＝∠OAB＝60°，
∵AH是 OAB的中线，
△
∴OH⊥OB，OH＝HB＝ OB＝2，
当OC＝2时，OD＝OC＝2，∴D与H重合，OC＝AC， OCD是等边三角形，
∴∠OCD＝∠ODC＝60°，C△D＝OD＝OC＝2，
由旋转得：∠O′CD＝∠OCD＝60°，CO′＝CD＝2，
∴∠O′CD＝∠ODC，
∴CO′∥OB，
∵OH⊥OB，
∴OH⊥CO′，
∴CP＝ CO′＝1，
故答案为：1；
（2）①如图1，设直线DO′交AB于点H，
由（1）得：∠CDO′＝∠OCD＝60°，∠OCD＝∠OAB＝60°，
∴DO′∥AC，CD∥AB，
∴四边形ACDN是平行四边形；
②当t＝3时，如图2，OC＝OD＝3，AC＝DB＝1，
且 OCD、 BDN是等边三角形，
△ △∵△OAB是等边三角形，OB＝4，
∴∠AOB＝60°，OA＝OB＝4，
∵AH是 OAB的中线，
△
∴AH⊥OB，OH＝ OB＝2，∠OAH＝ ∠OAB＝30°，
∵CO′∥OB，
∴∠APC＝∠AHO＝90°，
∴CP＝ AC＝ ，
∴AP＝ ＝ ＝ ，
∵∠MPC＝∠APC＝90°，∠MCP＝∠ACP＝60°，CP＝CP，
∴△MCP≌△ACP（ASA），
∴PM＝AP＝ ，
∴S CPM＝ ×CP×PM＝ × × ＝ ，
△
在Rt AOH中，AH＝ ＝ ＝2 ，
△
∴S OAB＝ ×4×2 ＝4 ，
△
同理可得：S OCD＝S OCD＝ ，S BDN＝ ，
′
△ △ △
∴S ACDN＝S OAB﹣S OCD﹣S BDN＝4 ﹣ ﹣ ＝ ，
四边形
△ △ △
∴S PMDO＝S OCD﹣S CPM＝ ﹣ ＝ ，
四边形 ′ ′
△ △
∴ ＝ ＝ ；（3）∵AH将 CO′D分成一个直角三角形和一个四边形，
∴可分两种情况△：
①当0＜t＜2时，如图3，
∵OD＝OC＝t，
∴DH＝2﹣t，
∵∠O′DC＝∠ODC＝60°，
∴∠MDH＝180°﹣60°﹣60°＝60°，
∵∠MHD＝90°，
∴∠DMH＝30°，
∴DM＝2DH＝2（2﹣t）＝﹣2t+4，
②当2＜t＜4时，如图4，
∵OD＝OC＝t，
∴DH＝t﹣2，
∵∠AHD＝90°，∠ODC＝60°，
∴∠DMH＝30°，∴DM＝2DH＝2（t﹣2）＝2t﹣4，
综上所述，DM＝ ．
【点拨】本题是四边形综合题，考查了等边三角形性质，直角三角形性质，平行四边形的
判定与性质，全等三角形判定和性质，三角形面积等知识，解题关键是运用分类讨论思想
解决问题．
12．（1）AF=CE，证明见解析；（2）当旋转至 时，四边形ABEF为平行四边形，理
由见解析；（3）当 等于45度时，BF＝DF．
【解析】
【分析】
（1）根据平行四边形的性质得到OA=OC和AD CB，进而得到∠FAO=∠ECO，再根据对
顶角相等可以证明 ，进而可得AF=CE；
（2）根据旋转的角度和∠BAC= 可得AB EF，再根据平行四边形的性质得到 ，
即可证明四边形ABEF为平行四边形；
（3）根据AB⊥AC ，AB与BC的长度和平行四边形的性质可以得到∠AOB= ，再结合
BF=DF推断出FO垂直平分BD，进而得到∠BOF=90°，再通过角度的计算即可得出 的度
数．
【详解】
解：（1）AF=CE．理由如下：
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD CB，OA=OC．
∴∠FAO=∠ECO．
在 和 中，
∵
∴ ．
∴AF=CE．
（2）当旋转至 时，四边形ABEF为平行四边形．理由如下：
∵∠AOF= ，∠BAC= ，∴AB EF．
又∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ ，即 ．
∴四边形ABEF为平行四边形．
（3）当 等于45度时，BF＝DF．理由如下：
∵AB=1，BC= ，AB⊥AC，
∴AC= =2．
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴ ，BO=DO．
∴OA=AB=1．点O在线段BD的垂直平分线上．
∴△ABO为等腰直角三角形．
∴∠AOB= ．
当F在线段BD的垂直平分线上时，BF=DF，
∴FO垂直平分BD．
∴∠BOF=90°．
∴ ，即 ．
∴当 等于45度时，BF＝DF．
【点拨】本题考查了旋转的概念，全等三角形的性质与判定定理，平行四边形的性质与判
定定理，勾股定理和垂直平分线性质定理的逆定理，正确理解旋转过程是解题关键．
