文档内容
第 05 讲 双曲线方程及其性质
（6 类核心考点精讲精练）
1. 5年真题考点分布
5年考情
考题示例 考点分析 关联考点
2024年新I卷，第12题,5分 求双曲线的离心率 无
由递推关系证明等比数列
2024年新Ⅱ卷，第19题,17分 求直线与双曲线的交点坐标
向量夹角的坐标表示
利用定义解决双曲线中集点三角形问题
2023年新I卷，第16题,5分 无
求双曲线的离心率或离心率的取值范围
直线的点斜式方程及辨析
2023年新Ⅱ卷，第21题,12分 根据a、b、c求双曲线的标准方程
双曲线中的定直线问题
求双曲线中三角形(四边形)的
2022年新I卷，第21题,12分 求双曲线标准方程 面积问题
根据韦达定理求参数
求双曲线中的弦长
由中点弦坐标或中点弦方程、
2022年新Ⅱ卷，第21题,12分 根据双曲线的渐近线求标准方程
斜率求参数
根据韦达定理求参数
双曲线中的轨迹方程
2021年新I卷，第21题,12分 求双曲线的标准方程
双曲线中的定值问题
由双曲线的离心率求参数的取
2021年新Ⅱ卷，第13题,5分 根据a,b,c齐次式关系求渐近线方程
值范围
二元二次方程表示的曲线与圆
判断方程是否表示双曲线
2020年新I卷，第9题,5分 的关系
判断方程是否表示椭圆
二元二次方程表示的曲线与圆
判断方程是否表示双曲线
2020年新Ⅱ卷，第10题,5分 的关系
判断方程是否表示椭圆
2. 命题规律及备考策略
【命题规律】本节内容是新高考卷的常考内容，设题稳定，难度中等或偏难，分值为5-17分【备考策略】1.熟练掌握双曲线的定义及其标准方程，会基本量的求解
2.熟练掌握双曲线的几何性质，并会相关计算
3.能熟练计算双曲线的离心率
4.会求双曲线的标准方程，会双曲线方程简单的实际应用
5.会求双曲线中的相关最值
【命题预测】本节内容是新高考卷的常考内容，常常考查标准方程的求解、基本量的计算及离心率的求解，
需重点强化训练
知识讲解
1. 双曲线的定义
2. 数学表达式：3. 双曲线的标准方程
焦点在 轴上的标准方程 焦点在 轴上的标准方程
标准方程为：
标准方程为：
4. 双曲线中 ， ， 的基本关系
5. 双曲线的几何性质
焦点的位置 焦点在 轴上 焦点在 轴上
图形
标准方程
范围
， ，
顶点坐标
， ，
实轴 实轴长， 实半轴长虚轴 虚轴长， 虚半轴长
焦点
， ，
焦距
焦距， 半焦距
对称性 对称轴为坐标轴，对称中心为
渐近线方程
离心率
离心率对双曲线的影 越大，双曲线开口越阔
响 越小，双曲线开口越窄
6. 离心率与渐近线夹角的关系
7. 通径：
（同椭圆）
通径长： ，
半通径长：
8. 双曲线的焦点到渐近线的距离为
考点一、 双曲线的定义及其应用
1．（2024·河北邢台·二模）若点P是双曲线C： 上一点， ， 分别为C的左、右焦点，则“
”是“ ”的（ ）
A．既不充分也不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．充分不必要条件2．（2023·全国·模拟预测）已知双曲线的左､右焦点分别为 ，过 的直线交双曲线左支于 两点，
且 ，若双曲线的实轴长为8，那么 的周长是（ ）
A．5 B．16 C．21 D．26
3．（2024高三·全国·专题练习）若动点P(x,y)满足方程 ，则动点P的轨
迹方程为（ ）
A． B． C． D．
1．（2024·陕西榆林·模拟预测）设 ， 是双曲线 的左，右焦点，过 的直线与 轴和 的
右支分别交于点 ， ，若 是正三角形，则 （ ）
A．2 B．4 C．8 D．16
2．（23-24高三下·山东青岛·阶段练习）双曲线 的两个焦点分别是 与 ，焦距为 是
双曲线上的一点，且 ，则 ．
3．（23-24高二上·四川凉山·期末）已知点 ， ，动点 满足条件 ，则动点
的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
考点二、 双曲线的标准方程
1．（2024高三下·全国·专题练习）双曲线方程为 ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D． 或
2．（2023高三上·湖北孝感·专题练习）过点 且与椭圆 有相同焦点的双曲线方程为
（ ）A． B． C． D．
3．（22-23高二下·甘肃武威·开学考试）求适合下列条件的双曲线的标准方程：
(1) ，经过点 ；
(2)焦点 轴上，且过点 ， .
1．（23-24高三上·河北张家口·开学考试）“ ”是“ 表示双曲线”的（ ）．
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
2．（2024·辽宁·二模）已知双曲线C： 的焦点为 ，则C的方程为（ ）
A． B． C． D．
3．（2022高三·全国·专题练习）已知某双曲线的对称轴为坐标轴,且经过点 ,求该双
曲线的标准方程．
考点三、 双曲线的几何性质
1．（2024·福建福州·模拟预测）以 为渐近线的双曲线可以是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024·广西柳州·模拟预测）双曲线 的一个顶点到渐近线的距离为（ ）．
A． B．4 C． D．
3．（2024·河南新乡·三模）双曲线 的实轴长为4，则 .4．（2024·湖南益阳·模拟预测）已知双曲线 与椭圆 有相同的焦点，则
的最小值为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
5．（2022·福建三明·模拟预测）已知双曲线 与 共焦点，则 的渐近线
方程为（ ）.
A． B． C． D．
6．（2024·贵州·模拟预测）我们把离心率为 的双曲线称为“黄金双曲线”．已知“黄金双曲线”
，则 的虚轴长为 ．
1．（24-25高三上·江苏南通·开学考试）过点 的等轴双曲线的方程为 .
2．（2024·安徽合肥·一模）双曲线 的焦距为4，则 的渐近线方程为（ ）
A． B．
C． D．
3．（23-24高三上·河南漯河·期末）已知双曲线 的一条渐近线方程为 ，
则 的焦距为 .
4．（24-25高三上·山东泰安·开学考试）若双曲线 的一个焦点 ，一条渐近线
方程为 ，则 ．
5．（2024·河南新乡·模拟预测）（多选）已知 ，则双曲线 与 有相
同的（ ）
A．焦点 B．焦距 C．离心率 D．渐近线
考点 四 、 双曲线的离心率1．（2023·北京·高考真题）已知双曲线C的焦点为 和 ，离心率为 ，则C的方程为
．
2．（2024·上海·高考真题）三角形三边长为 ，则以边长为6的两个顶点为焦点，过另外一个顶点的双
曲线的离心率为 .
3．（2024·全国·高考真题）已知双曲线的两个焦点分别为 ，点 在该双曲线上，则该双
曲线的离心率为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．
4．（2022·浙江·高考真题）已知双曲线 的左焦点为F，过F且斜率为 的直线交双
曲线于点 ，交双曲线的渐近线于点 且 ．若 ，则双曲线的离心率是
．
5．（2022·全国·高考真题）双曲线C的两个焦点为 ，以C的实轴为直径的圆记为D，过 作D的切
线与C交于M，N两点，且 ，则C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
6．（2024·广东江苏·高考真题）设双曲线 的左右焦点分别为 ，过 作平行
于 轴的直线交C于A，B两点，若 ，则C的离心率为 ．
1．（2024·河南周口·模拟预测）已知双曲线 的焦距与其虚轴长之比为3：2，则
的离心率为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·四川成都·模拟预测）双曲线 的一条渐近线为 ，则其离心率为
（ ）．
A． B． C． D．3．（2024·湖北武汉·模拟预测）已知双曲线 的一条渐近线的倾斜角为 ，则此双
曲线的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．
4．（2024·山东·模拟预测）已知双曲线 ： 的左、右焦点分别为 ， ，过 的
直线与 的右支交于 ， 两点，且 ，若 ，则双曲线 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
5．（2024·福建泉州·一模）O为坐标原点，双曲线 的左焦点为 ，点P在E上，
直线 与直线 相交于点M，若 ，则E的离心率为 ．
考点 五 、 双曲线中的最值问题
1．（22-23高三上·湖北黄冈·阶段练习）P为双曲线 左支上任意一点， 为圆
的任意一条直径，则 的最小值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．9
2．（22-23高三下·江苏淮安·期中）已知 分别为双曲线 的左､右焦点， 为双曲线右支上任
一点，则 最小值为（ ）
A．19 B．23 C．25 D．85
3．（22-23高二上·浙江湖州·期末）双曲线 的离心率是2，左右焦点分别为
为双曲线左支上一点，则 的最大值是（ ）
A． B．2 C．3 D．41．（22-23高三下·福建泉州·阶段练习）双曲线C： 的左、右顶点分别为A，B，P为C上一点，
直线PA，PB与 分别交于M，N两点，则 的最小值为 .
2．（2022高三·全国·专题练习）长为11的线段AB的两端点都在双曲线 的右支上，则AB中点
M的横坐标的最小值为（ ）
A． B． C． D．
3．（23-24高二下·江苏南京·期中）已知 分别是双曲线 的左、右顶点， 是双曲线 上
的一动点，直线 ，直线 与 分别交于 两点，记 ， 的外接圆面积分别为 ，
则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
考点 六 、 双曲线的简单应用
1．（23-24高三上·江西·期末）阿波罗尼斯（约公元前262年～约公元前190年），古希腊著名数学家﹐主
要著作有《圆锥曲线论》、《论切触》等.尤其《圆锥曲线论》是一部经典巨著，代表了希腊几何的最高水
平，此书集前人之大成，进一步提出了许多新的性质.其中也包括圆锥曲线的光学性质，光线从双曲线的一
个焦点发出，通过双曲线的反射，反射光线的反向延长线经过其另一个焦点.已知双曲线C： （
， ）的左、右焦点分别为 ， ，其离心率 ，从 发出的光线经过双曲线C的右支上一
点E的反射，反射光线为EP，若反射光线与入射光线垂直，则 （ ）
A． B． C． D．
2．（22-23高二上·山东德州·期末）3D打印是快速成型技术的一种，通过逐层打印的方式来构造物体.如图
所示的笔筒为3D打印的双曲线型笔筒，该笔筒是由离心率为3的双曲线的一部分围绕其旋转轴逐层旋转打
印得到的，已知该笔筒的上底直径为6cm，下底直径为8cm，高为8cm（数据均以外壁即笔筒外侧表面计
算），则笔筒最细处的直径为（ ）A． B． C． D．
3．（2023·浙江杭州·二模）费马定理是几何光学中的一条重要原理，在数学中可以推导出圆锥曲线的一些
光学性质．例如，点P为双曲线（ ， 为焦点）上一点，点P处的切线平分 ．已知双曲线C：
，O为坐标原点，l是点 处的切线，过左焦点 作l的垂线，垂足为M，则
．
1．（2024·全国·模拟预测）在天文望远镜的设计中，人们利用了双曲线的光学性质：从双曲线的一个焦点
射出的光线，经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线都汇聚到双曲线的另一个焦点上．如图，已知双
曲线的离心率为2，则当入射光线 和反射光线 互相垂直时（其中 为入射点）， 的值为
（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·吉林延边·一模）祖暅是我国南北朝时期伟大的科学家，他于5世纪末提出了“幂势既同，则积
不容异”的体积计算原理，即“夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所
截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等”．某同学在暑期社会实践中，了
解到火电厂的冷却塔常用的外形可以看作是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所形成的曲面（如图）．现有某
火电厂的冷却塔设计图纸，其外形的双曲线方程为 （ ），内部虚线为该双曲线的渐近
线，则该同学利用“祖暅原理”算得此冷却塔的体积为 ．3．（2023·广东茂名·三模）我国首先研制成功的“双曲线新闻灯”，如图，利用了双曲线的光学性质： ，
是双曲线的左､右焦点，从 发出的光线 射在双曲线右支上一点 ，经点 反射后，反射光线的反向
延长线过 ；当 异于双曲线顶点时，双曲线在点 处的切线平分 .若双曲线 的方程为 ，
则下列结论正确的是（ ）
A．射线 所在直线的斜率为 ，则
B．当 时，
C．当 过点 时，光线由 到 再到 所经过的路程为13
D．若点 坐标为 ，直线 与 相切，则
一、单选题
1．（23-24高三下·重庆·期中）已知双曲线 的焦距为8，则该双曲线的渐近线方程为
（ ）
A． B． C． D．2．（2024·湖南邵阳·模拟预测）若点 在双曲线 的一条渐近线上，则 的离
心率为（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·全国·模拟预测）设双曲线 的一个顶点坐标为 ，焦距为 ，则
双曲线的渐近线方程为（ ）
A． B．
C． D．
4．（2024高三上·全国·专题练习）已知双曲线 的左、右焦点分别是 是双曲线 上的一点，且
，则双曲线 的离心率是（ ）
A．7 B． C． D．
5．（2024·全国·模拟预测）若双曲线 的右焦点 到其渐近线的距离为 ，
则该双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．2
6．（2024·四川·模拟预测）已知 ， 分别为双曲线C的左、右焦点，过 的直线与双曲线C的左支交
于A，B两点，若 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
7．（2024·全国·模拟预测）设椭圆 和双曲线 的离心率分别为 ，若
，则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题8．（2024·湖南岳阳·三模）已知双曲线 过点 ，且渐近线方程为 ，则 的离心率为 ．
9．（2024高三·全国·专题练习）在平面直角坐标系 中，已知点 、
，点 的轨迹为 ，则 的方程为 .
三、解答题
10．（2024高三·全国·专题练习）求适合下列条件的曲线的标准方程：
(1)过点 和点 的椭圆；
(2)焦点在x轴上，离心率为 ，且过点 的双曲线．
一、单选题
1．（2024·江西·模拟预测）已知 ， 分别是双曲线 （ ， ）的左、右焦点，过
的直线交双曲线左支于A，B两点， ， ，则双曲线C的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·山西太原·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知点A坐标为 ，若动点P位于y轴右侧，
且到两定点 ， 的距离之差为定值4，则 周长的最小值为（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·广东广州·模拟预测）已知双曲线 ： （ ， ）的右焦点为 ，一条渐近线
的方程为 ，直线 与 在第一象限内的交点为 .若 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·湖南长沙·二模）已知 分别为双曲线 的左、右顶点，过双曲线 的左焦点
作直线 交双曲线于 两点(点 异于 )，则直线 的斜率之比 （ ）
2
A． B．− C． D．
3
5．（2024·河北·三模）已知 是坐标原点， 是双曲线 右支上任意一点，过点作双曲线的切线，与其渐近线交于A， 两点，若 的面积为 ，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．2
6．（2024·陕西商洛·模拟预测）已知双曲线 的左、右焦点分别为 ， ，过
作直线与双曲线 的左、右两支分别交于 ， 两点.若 ，且 ，则双曲线 的离
心率为（ ）
A．2 B． C． D．3
7．（2024·宁夏银川·二模）已知双曲线 ，点 的坐标为 ，若 上存在点
使得 成立，则 的离心率取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
8．（2024·浙江·模拟预测）已知双曲线 ： 的左、右焦点分别为 ， ， 为双
曲线渐近线上的点，且 ，若 ，则该双曲线的离心率 .
9．（2024·辽宁·模拟预测）设O为坐标原点， 为双曲线 的两个焦点，点P在C上，
，则
x2 y2
10．（2024·广西来宾·模拟预测）已知双曲线C: − =1(a>0,b>0)的左､右焦点分别为 ，若双曲
a2 b2
线的左支上一点 满足 ，以 为圆心的圆与 的延长线相切于点 ，且 ，则
双曲线的离心率为 .
1．（2024·天津·高考真题）双曲线 的左、右焦点分别为 是双曲线右支上一点，且直线 的斜率为2． 是面积为8的直角三角形，则双曲线的方程为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·全国·高考真题）已知双曲线 的离心率为 ，C的一条渐近线与圆
交于A，B两点，则 （ ）
A． B． C． D．
3．（2023·全国·高考真题）设A，B为双曲线 上两点，下列四个点中，可为线段AB中点的是
（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·天津·高考真题）已知双曲线 的左、右焦点分别为 ．过 向一条渐
近线作垂线，垂足为 ．若 ，直线 的斜率为 ，则双曲线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
5．（2023·北京·高考真题）已知双曲线C的焦点为 和 ，离心率为 ，则C的方程为
．
6．（2023·全国·高考真题）已知双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为 ，离心率为 ．
(1)求C的方程；
(2)记C的左、右顶点分别为 ， ，过点 的直线与C的左支交于M，N两点，M在第二象限，直线
与 交于点P．证明:点 在定直线上.
7．（2022·天津·高考真题）已知双曲线 的左、右焦点分别为 ，抛物线
的准线l经过 ，且l与双曲线的一条渐近线交于点A，若 ，则双曲线的方程为
（ ）
A． B．C． D．
8．（2022·北京·高考真题）已知双曲线 的渐近线方程为 ，则 ．
9．（2022·全国·高考真题）若双曲线 的渐近线与圆 相切，则
．
10．（2022·全国·高考真题）记双曲线 的离心率为e，写出满足条件“直线
与C无公共点”的e的一个值 ．
11．（2021·全国·高考真题）双曲线 的右焦点到直线 的距离为 ．
12．（2021·全国·高考真题）若双曲线 的离心率为2，则此双曲线的渐近线方程 .
13．（2021·北京·高考真题）若双曲线 离心率为 ，过点 ，则该双曲线的方程为
（ ）
A． B． C． D．
14．（2021·全国·高考真题）已知双曲线 的一条渐近线为 ，则C的焦距为
．
15．（2021·全国·高考真题）在平面直角坐标系 中，已知点 、 ，
点 的轨迹为 .
（1）求 的方程；
（2）设点 在直线 上，过 的两条直线分别交 于 、 两点和 ， 两点，且 ，
求直线 的斜率与直线 的斜率之和.
