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专题 6.14 平行四边形中的折叠问题（专项练习）
一、单选题
1．如图，在平行四边形ABCD中，E是边CD上一点，将 沿AE折叠至 处，
与CE交于点F，若 ， ，则 的度数为（ ）
A．40° B．36° C．50° D．45°
2．如图，在平行四边形 中， ， ， ， 是 边的中点，
是线段 上的动点，将 沿 所在直线折叠得到 ，连接 ，则 的最
小值是（ ）
A． B．6 C．4 D．
3．如图，已知在△ABC中∠BAC ＞ 90°，点D为BC的中点，点E在AC上，将△CDE沿
DE折叠，使得点C恰好落在BA的延长线上的点F处，连结AD，则下列结论不一定正确
的是（ ）
A．∠C＝∠EFD B．∠B＝∠BFD C．BF∥DE D．△ABC的面积等于
△BDF的面积4．如图，将□ 沿对角线 折叠，使点 落在 处，若 ，则 =(
)
A． B． C． D．
5．如图，在平行四边形ABCD中，∠D＝150°，BC＝6，CD＝6 ，E是AD边上的中点，
F是AB边上的一动点，将△AEF沿EF所在直线翻折得到△A'EF，连接A′C，则A′C长度
的最小值为（ ）
A．3 B．3 C．3 ﹣3 D．6
6．如图，将△ABC沿AB边对折，使点C落在点D处，延长CA到E，使AE＝AD，连接
CD交AB于F，连接ED，则下列结论中：
①若C ＝12，DE＝5，则C ＝17；
△ABC 四边形ABDE
②AB∥DE；
③∠CDE＝90°；
④S ＝2S ，正确的有（ ）
△ADE △ADF
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．如图， 为一长条形纸带， ，将 沿 折叠，A、D两点分别与 、
对应，若 ，则 的度数为（ ）A． B． C． D．
8．如图，在 中， 为 中点，连接AD，把 沿着AD折叠得到 ，连
接 ，若 ，则线段 的长是（ ）
A． B．
C． D．
9．如图， ， 分别是 的边 ， 上的点， ， ．将四边形
沿 翻折，得到 ， 交 于点 ．则 的周长为（ ）
A．6 B．12 C．18 D．24
10．如图，在平行四边形 中，将 沿 折叠后，点 恰好落在 的延长线
上的点 处．若 ， ，则 的周长为（ ）A． B．
C． D．
11．如图，在平行四边形 中，将 沿着 所在的直线翻折得到 ，
交 于点 ，连接 ，若 ， ， ，则 的长是（ ）
A．1 B． C． D．
12．如图，在 中，将 沿 折叠后，点D恰好落在 的延长线上的点E处，
若 ， ，则 的周长为（ ）
A．12 B．16 C．20 D．24
13．如图，在Rt ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=9，点D为BC边上的中点，将 ACD沿AD对折，使点C落在同一平面内的点 处，连接 ，则 的长为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
14．如图，将平行四边形ABCD沿对角线BD折叠，使点A落在点A＇处． 若∠1 = 50°，
则∠BDA = ________．
15．如图，将平行四边形 沿对角线 折叠，使点 落在点 处且 平分 ，
若 ，则 ____________．
16．如图，平行四边形 中，点 在边 上，以 为折痕，将 折叠，使点A
正好与 上的 点重合，若 的周长为16， 的周长为28，则 的长为______．
17．如图，将平行四边形ABCD沿对角线AC折叠，使点B落在点B′处．若∠1＝∠2＝
44°，则∠D＝_____度．18．如图，在平行四边形ABCD中，E为边CD上的一个点，将△ADE沿AE折叠至△AD′E
处，AD′与CE交于点F，若∠B＝50°，∠DAE＝20°，则∠FED′的大小为 ______．
19．如图，平行四边形ABCD中，∠A＝45°，AB＝4，BC＝2 ，E为AB的中点，F分别
为AD边上的动点，将∠A沿EF折叠，点A落在平面内的点 处，且点 在∠BAD外部，
当折叠后重叠部分为等腰三角形时，则线段DF的长为__．
20．在数学探究活动中，敏敏进行了如下操作：如图，将四边形纸片 沿过点 的直
线折叠，使得点 落在 上的点 处．折痕为 再将 ， 分别沿 ，
折叠，此时点 ， 落在 上的同一点 处．请完成下列探究：
（1） 与 所在直线的位置关系______；
（2） 的大小为______°；
（3）当四边形 是平行四边形时， 的值为______．21．如图，将平行四边形纸片 沿一条直线折叠，使点A与点C重合，点D落在点G
处，折痕为 ．已知 ，那么 的面积为_________．
22．如图，在平行四边形 纸片中， ，点 分别在边
上，将纸片沿 折叠，使点 分别落在点 处，且 经过点 ．当 时，
，则 的长是_______．
23．在 ABCD中，∠A 60°， ，点E、F分别为AD、BC的中点，沿EF折叠平行
四边形，使线段CD落在直线AB上，点C的对应点为 ，点D的对应点为 ，若 ，
则AD的长为___________.
24．如图，将平行四边形ABCD折叠，使点A与C重合，折痕为EF．若∠A＝45°，AD＝，AB＝8，则AE的长为_____．
25．如图，平行四边形纸片 中， ，将平行四边形纸片
折叠，使点 与点 重合，则下列结论正确的是___________________．
① ；② ；③ ；④
26．如图，在平行四边形 中，点 在边 上，将 沿 折叠得到 ，点
落在对角线 上．若 ， ， ，则 的周长为________．
27．在三角形纸片ABC中，∠A＝90°，∠C＝30°，AB＝9 cm，将该纸片沿过点B的直
线折叠，使点A落在斜边BC上的一点E处，折痕记为BD（如图1），沿着直线DE剪去
△CDE后得到双层△BDE（如图2），再沿过△BDE的顶点D的直线将双层三角形剪开，
使得展开后的平面图形中有一个是平行四边形，则所得平行四边形的周长为__cm．28．如图， 中， ，点E为 的中点，将 沿直线 折叠后得到
，延长 交 于点F连接 ，并延长 交 于点P，连接 ，若 ，
，则下列说法：① ；②四边形 是平行四边形；③
；其中正确的是_______．
29．如图，将四边形纸片ABCD沿过点A的直线折叠，使得点B落在CD上的点Q处．折
痕为AP；再将△PCQ，△ADQ分别沿PQ，AQ折叠，此时点C，D落在AP上的同一点R
处．当四边形APCD是平行四边形时， 的值是_____．
30．已知：如图，平行四边形 中， ，点E是 上一个动点，
连结 ，把 沿 折叠到 的位置．
（1）当点 落在 上时， ________；
（2）若点 落在 的内部（包括边界），则 的范围是___________．31．如图，已知 中， ，点M、N分别在线段 、
上，将 沿直线 折叠，使点A的对应点D恰好落在线段 上．
（1）当四边形 为平行四边形时，则平行四边形 必为_________；
（2）当 为直角三角形时，则折痕 的长为_________．
32．如图，在平行四边形 中， 为边 上点，将 沿 折叠至 处，
与 交于点 ，若 ， ，则 的度数为_________．
33．如图，点P为矩形ABCD的AB边上一动点，将△ADP沿着DP折叠，点A落在点A'处，
连接CA'，已知AB＝10，AD＝6，若以点P，B，C，A'为端点的线段（不再另外连接线
段）构成的图形为直角三角形或特殊的平行四边形时，AP的长为_____．
三、解答题
34．在数学探究活动中，敏敏进行了如下操作：如图，将四边形纸片 沿过点 的直线折叠，使得点 落在 上的点 处，折痕为 ；再将 ， 分别沿 ，
折叠，此时点 ， 落在 上的同一点 处．请完成下列探究：
（1）如图1，求 的度数；
（2）如图2，当四边形 是平行四边形时，求 的值．
35．已知：直线y＝ +6与x轴、y轴分别相交于点A和点B，点C在线段AO上．将
△ABO沿BC折叠后，点O恰好落在AB边上点D处．
（1）直接写出A、B两点的坐标：A：_____，B：______；
（2）求出OC的长；
（3）如图，点E、F是直线BC上的两点，若△AEF是以EF为斜边的等腰直角三角形，求
点F的坐标；
（4）取AB的中点M，若点P在y轴上，点Q在直线AB上，是否存在以C、M、P、Q为
顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出所有满足条件的Q点坐标；若不存在，请说
明理由．参考答案
1．B
【分析】
由平行四边形的性质得出 ，由折叠的性质得 ，
，由三角形的外角性质求出 ，由三角形内角和定理求出
，即可得出 的大小．
【详解】
解：∵四边形 是平行四边形，
，
由折叠的性质得： ， ，
，
，
．
故选：B．
【点拨】本题考查了平行四边形的性质、折叠的性质、三角形的外角性质以及三角形内角
和定理；熟练掌握平行四边形的性质和折叠的性质，求出 和 是解决问题的关
键．2．D
【分析】
B’的运动轨迹是以E为圆心，以BE的长为半径的圆．所以，当B’点落在DE上时，B’D取
得最小值．根据勾股定理求出DE，根据折叠的性质可知B’E＝BE＝2，DE−B’E即为所求．
【详解】
解：如图，B’的运动轨迹是以E为圆心，以BE的长为半径的圆．所以，当B’点落在DE上
时，B’D取得最小值．
过点D作DG⊥BA交BA延长线于G，
∴∠DGA=90°，
∵四边形ABCD是平行四边形，∠B=60°，
∴AD∥BC，
∴∠GAD=60°，
∴∠ADG=30°，
∴
∴ ，
∵E是AB的中点，AB=4，
∴AE=BE=2，
∴GE=AE+AG=5
∴
由折叠的性质可知
∴DB’＝ ．
故选D．【点拨】本题主要考查了折叠的性质、矩形的性质、两点之间线段最短的综合运用，确定
点B’在何位置时，B’D的值最小，是解决问题的关键．
3．D
【分析】
根据折叠的性质直接可判断选项A，连接CF，再根据中点的性质和折叠的性质可得DF＝
CD，继而即可判断选项B，根据中位线定理即可判断选项C，利用中点的性质判定选项
D．
【详解】
解：连接CF，
∵将△CDE沿DE折叠，使得点C恰好落在BA的延长线上的点F处，
∴∠C＝∠EFD，DF＝CD，EF＝CE故选项A说法正确，
∵点D为BC的中点，
∴BD＝CD，
∴BD＝DF，
∴∠B＝∠BFD，故选项B说法正确，
∵∠EAF＝∠B＋∠ACB,∠AFE＝∠DFE＋∠BFD，
∴∠EAF＝∠AFE,
∴AE＝EF，
∴AE＝CE，
又BD＝CD，
∴DE是△ABC的中位线，
∴BF∥DE，故选项C说法正确，
由折叠的性质可得：△CDE≌△FDE，
∴S ＝S ，
△CDE △FDE
∴AE＝CE，
∴S ＝S ，S ＝S ，
△ADE △CDE △AEF △CEF
∴S ＝S ＋2S ，S ＝S ＋S ，故选项D说法错误，
△ABC △ABD △ADE △BDF △ABD △ADF故选：D．
【点拨】本题考查折叠的性质，三角形中位线定理，解题的关键是做辅助线构造三角形．
4．D
【分析】
由平行线的性质可得∠DAC＝∠B'AB＝40°，由折叠的性质可得∠BAC＝∠B'AC＝20°，由
三角形内角和定理即可求解．
【详解】
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠1＝∠B'AB＝40°，
同理，∠2＝∠DAC＝40°，
∵将□ABCD沿对角线AC折叠，
∴∠BAC＝∠B'AC＝20°，
∴∠B＝180°﹣∠2﹣∠BAC＝120°，
故选：D．
【点拨】本题考查了翻折变换的性质、平行四边形的性质以及三角形内角和定理；熟练掌
握折叠的性质是解题的关键．
5．C
【分析】
连接EC，过点E作EM⊥CD于M，先求出线段ME、DM的长度；运用勾股定理求出EC的
长度，即可解决问题．
【详解】
解：如图所示，过点E作EM⊥CD交CD的延长线于点M，
∵在平行四边形ABCD中，∠D＝150°，
∴∠EDM＝30°，
∵E是AD边上的中点，∴DE＝ AD＝ BC＝3，AE＝A'E＝3，
∴Rt△DEM中，EM＝ ，DM＝ ，
∵CD＝6
∴CM＝ ，
∴Rt△CEM中，CE＝ ，
∵A'E+A'C≥CE，
∴A'C≥CE﹣A'E，
∴当点A'在CE上时，A'C的最小值＝CE﹣A'E＝3 ﹣3，
故选：C．
【点拨】此题主要考查平行四边形内线段最值求解，解题的关键是勾股定理的性质及平行
四边形的性质．
6．D
【分析】
①由题知AE=AC，BD=BC，可得结论正确；
②由三角形外角知∠CAB+∠DAB=∠ADE+∠AED，又知∠CAB=∠DAB，∠ADE=∠AED，即
可得∠CAB=∠DAB=∠ADE=∠AED，即可得证结论；
③由对称知CD⊥AB，由AB∥DE可得结论；
④由③知S = DF•DE，S = DF•AF，证AF是中位线可得AF= DE，即可得证结论．
△ADE △ADF
【详解】
解：①由图形翻折可知，AD=AC，BD=BC，
∵AE=AD，
∴AE=AC，
∴C =C +DE，
四边形ABDE △ABC∵C =12，DE=5，
△ABC
∴C =17，故①正确；
四边形ABDE
②由图形翻折知，∠CAB=∠DAB，
∵AE=AD，
∴∠ADE=∠AED，
又∵∠CAB+∠DAB=∠ADE+∠AED，
∴∠CAB=∠DAB=∠ADE=∠AED，
∴AB∥DE，故②正确；
③由②知，AB∥DE，
由图形翻折知，CD⊥AB，
∴∠CFA=∠CDE=90°，故③正确；
④由③知，∠CFA=∠CDE=90°，
∴S = DF•DE，S = DF•AF，
△ADE △ADF
∵AE=AC，AB∥DE，CF=DF，
∴AF是△DEF的中位线，
∴AF= DE，
∴S =2S ，故④正确，
△ADE △ADF
故选：D．
【点拨】本题主要考查了图形的翻折，三角形的面积，平行线的判定和性质等知识点，熟
练应用同位角相等两直线平行，内错角相等两直线平行，两直线平行同位角相等是解题的
关键．
7．C
【分析】
由题意∠1=2∠2，设∠2=x，易证∠AEF=∠1=∠FEA′=2x，构建方程即可解决问题．
【详解】
解：由翻折的性质可知： ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
设 ，则 ，∴ ，
∴ ，
∴ ．
故选：C．
【点拨】本题考查平行线的性质，翻折变换等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，
属于中考常考题型．
8．D
【分析】
连接BE交AD于点F，由折叠的性质得出BD=DE，AD⊥BE，求出BE的长，可求出AF，
DF的长，则可得出答案．
【详解】
解：连接BE交AD于点F，
∵把△ABD沿着AD折叠得到△AED，
∴BD=DE，AD⊥BE，
∵D为BC的中点，
∴BD=CD，
∴BD=CD=DE，
∴△BEC为直角三角形，∠BEC=90°，
∵CE=6，BC=10，
∴BE= =8，
∵∠BEC=∠BFD=90°，
∴DF∥CE，
∴BF=EF=4，DF= CE=3，
∵AB=4 ，∴AF= =4，
∴AD=AF+DF=7，
故选：D．
【点拨】本题考查了直角三角形的判定与性质、折叠的性质、三角形中位线的性质以及勾
股定理．熟练掌握折叠的性质是解题的关键．
9．C
【分析】
由折叠得：∠DEF＝∠D′EF＝60°，再由平行四边形的对边平行，得出内错角相等，得出
△GEF是等边三角形，已知边长求出周长即可．
【详解】
解：由折叠得：∠DEF＝∠D′EF＝60°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DEF＝∠EFG＝60°，
∴△GEF是等边三角形，
∴EF＝FG＝GE＝6，
∴△GEF的周长为6×3＝18，
故选：C．
【点拨】考查平行四边形的性质、折叠的性质和等边三角形的性质等知识，得到△GEF是
等边三角形，是解决问题的关键．
10．D
【分析】
根据平行四边形的性质以及折叠的性质，即可得到 ， ，再根据
是等边三角形，即可得到 的周长为 ．
【详解】
由折叠可得， ，
∵四边形 是平行四边形
∴ ，
又∵ ，
∴ ，∴ ，
∴ ，
由折叠可得，
∴
∴ 是等边三角形，
∴ 的周长为 ，
故选：D．
【点拨】本题考查了平行四边形的性质、轴对称图形性质以及等边三角形的判定，解题时
注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，
对应边和对应角相等．
11．B
【分析】
利用平行四边形的性质、翻折不变性可得△AEC为等腰直角三角形，根据已知条件可得
CE得长，进而得出ED的长，再根据勾股定理可得出 ；
【详解】
解：∵四边形 是平行四边形
∴AB=CD ∠B=∠ADC=60°，∠ACB＝∠CAD
由翻折可知：BA＝AB′＝DC，∠ACB＝∠AC B′=45°，
∴△AEC为等腰直角三角形
∴AE=CE
∴Rt△AE B′≌Rt△CDE
∴EB′=DE
∵在等腰Rt△AEC中，
∴
∵在Rt△DEC中， ，∠ADC=60°
∴∠DCE=30°
∴DE=1
在等腰Rt△DE B′中，EB′=DE=1
∴ =
故选：B【点拨】本题考查翻折变换、等腰三角形的性质、勾股定理、平行四边形的性质等知识，
解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
12．D
【分析】
依据平行四边形的性质以及折叠的性质，即可得到BC=2AB=8，AD=8，再根据△ADE是等
边三角形，即可得到△ADE的周长．
【详解】
解：由折叠可得，∠ACD=∠ACE=90°，
∴∠BAC=90°，
又∵∠ACB=30°，
∴BC=2AB=8，
∴AD=8，
由折叠可得，∠E=∠D=∠B=60°，
∴∠DAE=60°，
∴△ADE是等边三角形，
∴△ADE的周长为8×3=24，
故选：D．
【点拨】本题考查了平行四边形的性质、轴对称图形性质以及等边三角形的判定．解题时
注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，
对应边和对应角相等．
13．B
【分析】
由折叠的性质可得AD⊥CC'，CN=C'N，由勾股定理可求AD，DN的长，即可求BC'的长．
【详解】
解：如图，连接CC'，
∵将△ACD沿AD对折，使点C落在同一平面内的点C'处，
∴AD⊥CC'，CN=C'N，
∵点D为BC边上的中点，
∴CD= BC=
AD=∵S = ×AC×CD= ×AD×CN
△ACD
∴CN=
∴DN= ，
∵CN=C'N，CD=DB，
∴C'B=2DN= ，
故选：B．
【点拨】本题考查翻折变换，勾股定理，三角形中位线定理，利用勾股定理可求DN的长
是本题的关键．
14．25º
【分析】
由平行四边形的性质和折叠的性质可得AD∥BC，∠BDA＝∠BDG，即可求解．
【详解】
∵将平行四边形ABCD沿对角线BD折叠，
∴AD∥BC，∠BDA＝∠BDG，
∴∠1＝∠ADG＝50°，且∠ADG＝∠BDA+∠BDG，
∴∠BDA＝25°，
故答案为：25°．
【点拨】本题考查了翻折变换，折叠的性质，平行四边形的性质，灵活运用折叠的性质是
本题的关键．
15．38°
【分析】
根据平行四边形的性质求出∠ADC和∠C，再根据折叠与角平分线的定义求出∠EDC，根
据三角形的内角和即可求解．【详解】
∵四边形 是平行四边形
∴∠ADC=180°- ，∠C= ，
∵折叠且 平分 ，
∴∠ADB=∠A’DB=∠EDC，
∴∠EDC= ∠ADC=19°
∴ 180°-∠C-∠EDC=38°
故答案为：38°．
【点拨】此题主要考查平行四边形内的角度求解，解题的关键是熟知平行四边形的性质．
16．6
【分析】
根据翻折前后两图形全等以及平行四边形对边相等的性质，进行等量代换解题．
【详解】
∵ 是由 翻折，
∴ ， ，
∵四边形 是平行四边形，
∴ ，
，
∵ ，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为6．
【点拨】本题考查了翻折变换(翻折、对称、折叠前后两图形全等)，平行四边形的性质(对
边相等)，解题的关键是用翻折前后两图形全等的性质．
17．114【分析】
由平行四边形的性质和折叠的性质得出∠ACD＝∠BAC＝∠B′AC，由三角形的外角性质求
出∠BAC＝∠ACD＝∠B′AC＝ ∠1＝22°，再由三角形内角和定理求出∠B，再根据平行
四边形的性质求出∠D即可．
【详解】
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠ACD＝∠BAC，
由折叠的性质得：∠BAC＝∠B′AC，
∴∠BAC＝∠ACD＝∠B′AC＝ ∠1＝22°，
∴∠B＝180°﹣∠2﹣∠BAC＝180°﹣44°﹣22°＝114°，
∴∠D＝∠B＝114°.
故答案为：114.
【点拨】此题考查平行四边形的性质，折叠的性质，三角形内角和定理，题中由折叠得到
∠BAC＝∠B′AC，从而得到∠BAC＝∠ACD＝∠B′AC是解题的关键.
18．40°
【分析】
由平行四边形的性质得∠B=∠D=50°，再由三角形的外角性质得∠AEC=∠D+∠DAE=70°，
则∠AED=110°，然后由折叠的性质得∠AED=∠AED′=110°，即可求解．
【详解】
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B＝∠D＝50°，
∵∠DAE＝20°，
∴∠AEC＝∠D+∠DAE＝50°+20°＝70°，
∴∠AED＝180°﹣70°＝110°，
∵将△ADE沿AE折叠至△AD′E处，
∴∠AED＝∠AED′＝110°，
∴∠FED′＝∠AED′﹣∠AEC＝110°﹣70°＝40°，
故答案为：40°．
【点拨】本题考查了翻折变换的性质、平行四边形的性质以及三角形的外角性质等知识；熟练掌握翻折变换得性质和平行四边形的性质，求出∠AEC的度数是解题的关键．
19．
【分析】
过E作EH⊥AD，根据∠A＝45°，EH⊥AH得AH＝ ，设∠AFE＝∠A'FE＝a，可得
＝45°+a，得a＝30°，在Rt△EFH中，可求出HF的长，从而得出答案．
【详解】
解：过E作EH⊥AD于H，
∵AB＝4，E为AB的中点，
∴AE＝EB＝2，
∵∠A＝45°，EH⊥AH，
∴△AHE为等腰直角三角形，
∴AH2+EH2＝AE2＝4，2AH2＝4，
∴AH＝ ，
∵点A′在∠BAD外部，
则由题意知△FQE为等腰三角形，
∴∠FEB＝∠FQE，
设∠AFE＝a，
∵△EFA'为△EFA根据EF对折，
∴∠AFE＝∠A'FE＝a，
∴∠BEF＝ ，
又∵∠BEF为△AEF的外角，
∴∠BEF＝∠A+∠EFA＝45°+a，
∴ ＝45°+a，
∴a＝30°，在Rt△EHF中，∠AFE＝a＝30°，EH＝AH＝ ，
∴EF＝ ，
∴ ，
又∵BC＝AD＝2 ，
∴DF＝AD﹣AH﹣HF＝
故答案为： ．
【点拨】本题主要考查了等腰三角形的判定，勾股定理，平行四边形的性质，翻折变换
（折叠问题），含30度角的直角三角形的性质，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进
行求解.
20． 30°
【分析】
（1）根据折叠性质和平角定义证得 ，再根据平行线的判定可得 与
所在直线的位置关系；
（2）根据折叠性质和平角定义证得 ，再根据平行线的性质证得
，进而由 求解即可；
（3）根据折叠性质和平行四边形的性质证得 ，再根据直角三角形斜边上的中线等
于斜边的一半证得 ，然后根据直角三角形中30°角所对的直角边是斜边的一半和勾股定理求得 ， ， ，进而求解即可．
【详解】
解：（1）由折叠的性质可得： ， ， ，
， ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故答案是：AD∥BC；
（2）∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
由（1）结论知 ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：30；
（2）由折叠的性质可得： ， ，
∵四边形 是平行四边形，
∴ ，
∴ ，又∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
【点拨】本题考查折叠性质、平行线的判定与性质、平行四边形的性质、直角三角形斜边
上的中线性质、含30°角的直角三角形的性质、勾股定理、平角定义，熟练掌握折叠性质
和相关知识的联系是解答的关键．
21．
【分析】
过点E作EH⊥BC，垂足为H，依据平行四边形的性质和折叠的性质证明△EBC≌△FGC，得
到 的面积等于 的面积，求出EH，即可计算结果．
【详解】
解：过点E作EH⊥BC，垂足为H，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A=∠BCD，∠D=∠B，AD=BC，
由折叠可得，∠A=∠ECG，∠B=∠G，AD=CG，∴∠BCD=∠ECG，BC=CG，
∴∠BCD-∠ECF=∠ECG-∠ECF，
∴∠ECB=∠FCG，
∴△EBC≌△FGC（ASA），
∴ 的面积等于 的面积，
∵∠B=60°，
∴∠BEH=30°，
∴BH= BE=1，
∴EH= = ，又BC=4，
∴S =S = = ，
△FCG △BCE
故答案为： ．
【点拨】本题主要考查了平行四边形的性质，折叠的性质，含30°的直角三角形的性质，
解题的关键是利用相关性质证明三角形全等．
22．
【分析】
首先延长DC与A′D′的延长线交于点H，由四边形ABCD是平行四边形与折叠的性质，易
求得△BCH是等腰三角形，△D′FH是含30°角的直角三角形，然后设DE=x，利用勾股定
理求出x，即可求得答案．
【详解】
解：延长DC，交A′D′的延长线于H，
∵四边形ABCD是平行四边形，∠A=60°，
∴∠D=120°，∠DCB=∠A=60°，
由翻转变换的性质可知，∠ED′B=120°，
∴∠ED′H=60°，又D′E⊥CD，
∴∠H=30°，
∴∠CBH=30°，
∴CB=CH，设DE=x，则DC=x+1，D′E=x，
∵AD-AB=1，
∴BC=x+1+1=x+2，
∴CH=x+2，
∴EH=x+3，
∵∠H=30°，
∴D′H=2D′E=2x，
∴EH= = x，
∴ x=x+3，
解得：x= ，
∴AB=DC= ，
故答案为： ．
【点拨】本题考查了折叠的性质、平行四边形的性质、等腰三角形的判定与性质以及直角
三角形的性质．此题难度较大，注意掌握辅助线的作法，注意折叠中的对应关系，注意数
形结合思想的应用．
23．4或12
【分析】
根据题意得 折叠之后可能落在线段AB上，也有可能落在线段AB外，根据∠A 60°，， 及折叠的性质可得到 是等边三角形及 的长，进而求得AD的
长．
【详解】
如图，∵ =2， 当点 在线段 上时， ，
∵点 是 的中点， ，由折叠的性质得 ， ，
， 是等边三角形， ， ；
如解图，当点 在 的延长线上时， ，同理可知 是等边
三角形， ， ．
故答案为4或12．
【点拨】本题主要考查平行四边形的性质、折叠的性质及等边三角形，关键是根据题意得
到点落在线段上还是线段外，这是易错点，另外还需注意利用等边三角形的性质求解．
24．
【分析】
作CM⊥AB于M，由平行四边形的性质得出BC=AD= ，BC∥AD，得出
∠CBM=∠A=45°，利用勾股定理求出BM、CM，设AE=CE= ，则BE= ，EM=
，根据勾股定理得出方程，解方程即可求出AE的长．
【详解】作CM⊥AB于M，如图所示：
则∠M=90°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC=AD= ，BC∥AD，
∴∠CBM=∠A=45°，
∴BM=CM，
由勾股定理得： ，即 ，
∴BM=CM=4，
由折叠的性质得：AE=CE，
设AE=CE= ，则BE= ，EM=BE+BM= ，
∵ ，即 ，
解得： ．
即AE ．
故答案为： ．
【点拨】本题考查了平行四边形的性质、翻折变换、勾股定理；熟练掌握平行四边形的性
质，并能进行推理计算是解决问题的关键．
25．②④
【分析】
根据平行四边形的性质、翻折的性质、全等三角形的性质、含 角的直角三角形的性质、
勾股定理、三角形中线的性质、三角形的面积等进行推理证明即可得解．
【详解】
解：∵将平行四边形纸片 折叠，使点 与点 重合∴根据翻折的性质可知，
∴ ， ，
∴在 和 中，
∴ ，
∴
∴ （故②正确）
∴ （故③错误）
∵四边形 是平行四边形
∴ ，
∴
∵ ，
∴
∴ （故④正确）
∵折痕 与对角线 没有重合，
∴对角线 和 不垂直
∴ 不是菱形
∴
∴
∴ （故①错误）．
故答案是：②④
【点拨】本题考查了平行四边形的性质、翻折的性质、全等三角形的性质、含 角的直
角三角形的性质、勾股定理、三角形中线的性质、三角形的面积等知识点，体现了逻辑推
理的核心素养．
26．6.
【分析】
先根据平行线的性质求出BC=AD=5,再根据勾股定理可得AC=4，然后根据折叠的性质可得
AF=AB=3，EF=BE，从而可求出 的周长.【详解】
解：∵四边形 是平行四边形，
∴BC=AD=5,
∵ ，
∴AC= = =4
∵ 沿 折叠得到 ，
∴AF=AB=3，EF=BE，
∴ 的周长=CE+EF+FC=CE+BE+CF
=BC+AC-AF
=5+4-3=6
故答案为6.
【点拨】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，折叠的性质，三角形的周长计算方法，
运用转化思想是解题的关键.
27．24 ．
【分析】
由直角三角形的性质和折叠的性质可得 ，沿 的角平分线所在直线将双层
三角形剪开，使得展开后的平面图形是平行四边形，由直角三角形的性质可求 的长，
即可求平行四边形的周长．
【详解】
解： ， ， ，将该纸片沿过点 的直线折叠，
，
如图2，过点 作 平分 交 于点 ，此时沿 所在直线将双层三角形剪开，
使得展开后的平面图形是平行四边形，，
，
平行四边形的周长
故答案为
【点拨】本题考查翻折变换、平行四边形的判定和性质、解直角三角形等知识，求 的
长是本题的关键．
28．①②③.
【分析】
根据折叠的性质和HL可判断①；
由①可进一步推得DF＝FG，设DF＝x，在Rt△BCF中利用勾股定理可得关于x的方程，
解方程即可求出x的值，进一步即可判断③；
根据题意和折叠的性质可得∠AEB＝∠GEB，AE＝DE＝EG，进一步利用三角形的外角性
质可得∠AEB＝∠EDG，得出BE∥DP，即可判断②．
【详解】
解：∵E是AD的中点，∴AE＝DE，
∵△ABE沿BE折叠后得到△GBE，
∴AE＝EG，AB＝BG，
∴ED＝EG，
在矩形ABCD中，∵∠A＝∠EDC＝90°
∴∠EGF＝90°，
∴Rt△EDF≌Rt△EGF（HL），故①正确；
∴DF＝FG，
设DF＝x，则BF＝6+x，CF＝6﹣x，
在Rt△BCF中，（ ）2+（6﹣x）2＝（6+x）2，解得x＝4，
∴GF：GB＝4：6＝2：3，故③正确；
∵将△ABE沿直线BE折叠后得到△GBE，E是AD的中点，
∴∠AEB＝∠GEB，AE＝DE＝EG，∴∠EGD＝∠EDG，
又∵∠EGD+∠EDG＝∠AEB+∠GEB，
∴∠AEB＝∠EDG，
∴BE∥DP，
∵ED∥BP，
∴四边形BEDP是平行四边形，故②正确.
故答案为①②③.
【点拨】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定、勾股定
理和折叠的性质，本题的突破点是设DF＝x，在Rt△BCF中根据勾股定理构建方程解决问
题，属于中考常考题型．
29．
【分析】
由折叠的性质可得∠B=∠AQP，∠DAQ=∠QAP=∠PAB，∠DQA=∠AQR，∠CQP=∠PQR，
∠D=∠ARQ，∠C=∠QRP，由平角的性质可得∠D+∠C=180°，∠AQP=90°，可证AD∥BC，
由平行线的性质可得∠DAB=90°，由平行四边形和折叠的性质可得AR=PR，由直角三角形
的性质可得AP=2PB=2QR，AB= PB，即可求解．
【详解】
解：由折叠的性质可得：∠B=∠AQP，∠DAQ=∠QAP=∠PAB，∠DQA=∠AQR，
∠CQP=∠PQR，∠D=∠ARQ，∠C=∠QRP，
∵∠QRA+∠QRP=180°，
∴∠D+∠C=180°，
∴AD∥BC，
∴∠B+∠DAB=180°，∵∠DQR+∠CQR=180°，
∴∠DQA+∠CQP=90°，
∴∠AQP=90°，
∴∠B=∠AQP=90°，
∴∠DAB=90°，
∴∠DAQ=∠QAP=∠PAB=30°，
由折叠的性质可得：AD=AR，CP=PR，
∵四边形APCD是平行四边形，
∴AD=PC，
∴AR=PR，
又∵∠AQP=90°，
∴QR= AP，
∵∠PAB=30°，∠B=90°，
∴AP=2PB，AB= PB，
∴PB=QR，
∴ = ，
故答案为： ．
【点拨】本题考查了翻折变换，平行四边形的性质，直角三角形的性质，熟练运用这些性
质解决问题是本题的关键．
30．4 -3≤ ≤7
【分析】
（1）根据折叠的性质和平行线的性质，可得A′E=A′B，从而得AE= AB=6，进而即可求解；
（2）先求出当点A′在DE上时，求得DE的值，再求出当点A′在CE上时，求得ED=
-3，进而即可得到答案．
【详解】
（1）解：∵把 沿 折叠到 ，∴∠AEB=∠A′EB，
∵平行四边形 中，点 落在 上，
∴AE∥A′B，
∴∠AEB=∠A′BE，
∴∠A′EB=∠A′BE，
∴A′E=A′B，
又∵AE= A′E，AB= A′B，
∴AE= AB=6，
又∵ ，
∴AD=10，
∴DE=10-6=4，
故答案是：4；
（2）当点A′在DE上时，如图，此时，∠AEB=90°，
∵ ，
∴∠ABE=90°-60°=30°，
∴AE= AB=3，
∴DE=10-3=7；
当点A′在CE上时，如图，过点C作CN⊥AD，交AD的延长线于点N，
∵AB∥CD，∴∠A=∠NDC=60°，
又∵CD=AB=6，
∴DN= CD=3，CN= ，
∵AD∥BC，
∴∠DEC=∠BCA′，
∵把 沿 折叠到 ，
∴∠BA′E=∠A=60°，CD=AB=A′B，
∴∠BA′C=180°-60°=120°，
∵AB∥CD，
∴∠ADC=180°-60°=120°，
∴∠BA′C=∠ADC，
∴ ，
∴CE=BC=10，
∴EN= ，
∴ED= -3，
∴ 的范围是： -3≤ ≤7．
故答案是： -3≤ ≤7．
【点拨】本题主要考查平行四边形的性质，折叠的性质，勾股定理，全等三角形的性质，
添加辅助线构造直角三角形，是解题的关键．
31．菱形 或 ．
【分析】
（1）根据折叠可知AM=MD，然后结合四边形 为平行四边形即可判断；
（2）依据△DCM为直角三角形，需要分两种情况进行讨论：当∠CDM=90°时，△CDM是
直角三角形；当∠CMD=90°时，△CDM是直角三角形，分别依据含30°角的直角三角形的
性质以及等腰直角三角形的性质，即可得到折痕MN的长．
【详解】（1）解：由折叠易有：AM=MD，
∵四边形 为平行四边形，
∴平行四边形 为菱形；
（2）解：分两种情况：
①如图，当∠CDM=90°时，△CDM是直角三角形，
∵在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=60°，AC= ，
∴∠C=30°，AB= AC= +2，
由折叠可得，∠MDN=∠A=60°，
∴∠BDN=30°，
∴BN= DN= AN，
∴BN= AB= ，
∴AN=2BN= ，
∵∠DNB=60°，∴∠ANM=∠DNM=60°，
∴∠AMN=60°，
∴AN=MN= ；
②如图，当∠CMD=90°时，△CDM是直角三角形，
由题可得，∠CDM=60°，∠A=∠MDN=60°，
∴∠BDN=60°，∠BND=30°，
∴BD= DN= AN，BN= BD，
又∵AB= +2，
∴AN=2，BN= ，
过N作NH⊥AM于H，则∠ANH=30°，
∴AH= AN=1，HN= ，
由折叠可得，∠AMN=∠DMN=45°，
∴△MNH是等腰直角三角形，∴HM=HN= ，
∴MN= ，
故答案为： 或 ．
【点拨】本题考查了翻折变换-折叠问题，特殊直角三角形的性质，正确的作出图形是解题
的关键．折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变
化，对应边和对应角相等．
32．66°
【分析】
由平行四边形的性质得出∠D=∠B=42°，又由折叠的性质得：∠D'=∠D=42°，
∠EAD'=∠DAE=15°，再由三角形的外角性质得∠AEF=∠D+∠DAE =57°，然后由三角形内
角和定理可得∠AED'=108°，最后由角的和差即可解答．
【详解】
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠D=∠B=42°，
又∵∠D'=∠D=42°，∠EAD'=∠DAE=15°(折叠的性质)
∴∠AEF=∠D+∠DAE=42°+15°=57°，
∴∠AED'=180°-∠EAD'-∠D'=123°，
∴∠FED'=123°-57°=66°．
故答案为66°．
【点拨】本题考查了平行四边形的性质、折叠的性质、三角形的外角性质以及三角形内角
和定理；掌握平行四边形的性质和折叠的性质是解题的关键．
33．2或6．
【分析】
分两种情况讨论，由折叠的性质，矩形的性质和勾股定理可求解．
【详解】
解：如图1，当点A'落在CD上，∵将△ADP沿着DP折叠，点A落在点A'处，
∴AP＝A'P，AD＝A'D，∠DAP＝∠DA'P＝90°，
∴∠PA'C＝90°，且∠B＝∠C＝90°，
∴四边形PBCA'是矩形，
∴BC＝A'P＝AP＝6，
∴当AP＝6时，四边形PBCA'是矩形，
如图2，当点P，点A'，点C共线，
∵将△ADP沿着DP折叠，点A落在点A'处，
∴AP＝A'P，AD＝A'D＝6，∠DAP＝∠DA'P＝90°，
∴A'C＝ ＝ ＝8，
∴PC＝8+A'P＝8+AP，
∵PC2＝PB2+BC2，
∴（8+AP）2＝（10﹣AP）2+36，
∴AP＝2，
故答案为2或6．
【点拨】此题考查了翻折变换，矩形的判定和性质，勾股定理，利用分类讨论解决是本题
的关键．
34．（1）30°；（2）【分析】
（1）由折叠的性质可得 、 、 ，从而得到
、 、 ，所以 ，即可求解；
（2）由（1）得 为直角三角形，根据折叠的性质可以推出 为 的中点，
，从而得到 的值．
【详解】
解：（1）由折叠可知： 、
又∵
∴ ，
∴ ，
由折叠可知 ， ，
∴ ，
即 ，
∴ ，则 ，
由折叠可知， ，
∴ ．
（2）若四边形 为平行四边形，则 ，
∴ ，
由折叠可知： ，
∴ ，∴ ，
同理可得： ，即 为 的中点，
由（1）可知， ， ，且 ，
设 ，则 ，∴ ，∴ ，∴ ．
【点拨】此题考查了折叠的有关性质，涉及了直角三角形的有关性质，熟练掌握折叠和直
角三角形的有关性质是解题的关键．
35．（1）A（-8，0），B（0，6）；（2）3；（3）（-2，2）或E（-6，-6）；（4）
或 或
【分析】
（1）在直线 中，分别令x=0，y=0，可得A，B坐标；
（2）由翻折不变性可知， ， ， ，在 中，
，利用 ，即可求解；
（3）证明 ，则 ， ，即可求解；
（4）分 是边、 是对角线两种情况，分别求解即可．
【详解】
解：（1）对于直线 ，令 ，得到 ，
，
令 ，得到 ，
．
． ；
（2）由（1）可得： ． ，
， ，
，
，
由翻折不变性可知， ， ， ，
，设 ，
在 中， ，
，
，解得 ，
；
（3）由点 、 的坐标得，直线 的表达式为： ，
设点 、 ，
过点 作 轴的平行线交过点 与 轴的平行线于点 ，交过点 与 轴的平行线于点 ，
为等腰直角三角形，故 ，
， ，
，
， ，
，
， ，
即 ， ，
解得： ， ，
故点 的坐标为 、点 ；
由于 、 的位置可能互换，故点 的坐标为 、点 ；
综上，点 的坐标为 或 ；
（4）点 是 的中点，则点 ，而点 ，
设点 ，点 ，
①当 是边时，
点 向右平移1个单位向下平移3个单位得到点 ，同样点 右平移1个单位向下平移
3个单位得到点 ，故 且 或 且 ，
解得： 或 ，
故点 的坐标为 或 ；
②当 是对角线时，
由中点公式得： 且 ，
解得： ，故点 的坐标为 ；
综上，点 的坐标为： 或 或 ．
【点拨】本题考查的是一次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、平行四边形的性质、
三角形全等等，其中（4），要注意分类求解，避免遗漏．
