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专题 6.1 平行四边形的性质和判定
典例体系 （本专题共 5 2 题 3 8 页）
一、知识点
1、概念：两组对边分别平行且相等的四边形叫平行四边形。
2、性质：
1）两组对边分别平行。
2）两组对边分别相等。
3）两组对角分别相等。
4）对角线互相平分。
3、判定：
1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形。
2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形。
3）两组对角分别相等的四边形是平行四边形。
4）对角线互相平分的四边形是平行四边形。
5）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
二、考点点拨与训练
考点1:利用平行四边形的性质求解典例：（2020·浙江杭州市·八年级期末）如图，在 中， ､ 分别是 和 的角平
分线，已知 ．
（1）求线段 的长；
（2）延长 ，交 的延长线于点Q．
①请在答卷上补全图形；
②若 ，求 的周长．
【答案】（1）10；（2）①见解析；②36
【详解】解：（1）∵在□ABCD中，AD＝5，
∴BC＝5，
∵AB∥CD，
∴∠BAP＝∠DPA，
∵AP平分∠BAD，
∴∠BAP＝∠DAP，
∴∠DAP＝∠DPA，
∴DP＝AD＝5，
同理可得，CP＝BC＝5，
∴CD＝10，
∴AB＝10；
（2）①如图所示：
②∵AD∥BQ，
∴∠Q＝∠DAP，
又∵∠DAP＝∠BAP，
∴∠Q＝∠BAP，
∴AB＝QB＝10，
又∵BP平分∠ABQ，
∴BP⊥AQ，AP＝QP，∴Rt ABP中，AP= =8，
∴AQ△＝16，
∴△ABQ的周长为：16+10+10＝36．
方法或规律点拨
本题主要考查了平行四边形的性质以及勾股定理的运用，解题时注意：平行四边形的对边平行，对边相等．
巩固练习
1．（2020·浙江杭州市·八年级其他模拟）如图，在平行四边形 中， 是 的中点， ，
， ，则 的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
解：∵M为CD中点，
∴CM=DM= CD= AB=BC=AD，
∴∠DAM=∠DMA，∠CBM=∠CMB，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠C+∠D=180°，
∴∠C=2∠DMA，∠D=2∠CMB，
∴∠DMA+∠CMB= （∠C+∠D）=90°，
∴∠AMB=180°-（∠DMA+∠CMB）=90°
即△MAB为直角三角形，
∵BM=a，AM=b，
∴CD=AB= ，
故选：D．
2．（2020·浙江杭州市·八年级期中）已知平行四边形 的一边长为5，则对角线 ， 的长可取
下列数据中的（ ）
A．2和4 B．3和4 C．4和5 D．5和6
【答案】D【详解】
解：由于两条对角线的一半与平行四边形的一边组成一个三角形，
所以 （AC-BD）＜5＜ （AC+BD），
由题中数据可得，AC和BD的长可取5和6，
故选D．
3．（2021·山东烟台市·八年级期末）如图1，平行四边形纸片 的面积为120， ．今沿两对
角线将四边形 剪成甲、乙、丙、丁四个三角形纸片．若将甲、丙合并（ 、 重合）形成一轴
对称图形（戊），如图2所示，则图形戊的两对角线长度和为（ ）
A．26 B．29 C． D．
【答案】A
【详解】
解：如图，连接AD、EF，
则可得对角线EF⊥AD，且EF与平行四边形的高相等．
∵平行四边形纸片ABCD的面积为120，AD=20，
∴BC=AD=20， EF×AD= ×120，
∴EF=6，
又AD=20，
∴则图形戊中的四边形两对角线之和为20+6=26，
故选：A．
4．（2020·浙江杭州市·八年级其他模拟）在 中 ． 是 上一点， 平分 ，
且 是 的中点，则下列结论：① ；② ；③ ；④ ，其
中正确的是（ ）A．①② B．②④ C．③④ D．①②④
【答案】C
【详解】解：延长AD，交FE的延长线于点M，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠M＝∠EFC，
∵E是CD的中点，
∴DE＝CE，
在△DEM和△CEF中，
，
∴△DEM≌△CEF（AAS），
∴EM＝EF，
∵AE平分∠FAD，
∴AM＝AF，AE⊥EF．
即AF＝AD+DM＝CF+AD；故③，④正确，②错误．
∵AF不一定是∠BAD的角平分线，
∴AB不一定等于BF，故①错误．
故选：C．
5．（2020·浙江杭州市·八年级期末）如图，在平行四边形 中， ， ．作
于点E， 于点F，记 的度数为 ， ， ．则以下选项错误的是
（ ）
A．
B． 的度数为
C．若 ，则四边形 的面积为平行四边形 面积的一半
D．若 ，则平行四边形 的周长为【答案】C
【详解】
解： 四边形 是平行四边形，
， ， ， ，
，
于点 ， 于点 ，
，
；
平行四边形 的面积 ， ， ，
，
；若 ，
则 ，
，
， ，
， ，
平行四边形 的周长 ；
的面积 ， 的面积 ，平
行四边形 的面积 ，
四边形 的面积 平行四边形 的面积 的面积 的面积
平行四边形 面积的一半；
综上所述，选项 、 、 不符合题意，选项 符合题意；
故选：C．
6．（2020·浙江杭州市·八年级期末）已知在直角坐标系中有A､B､C､D四个点，其中A，B，C三个点的坐
标分别为 ．若以A､B､C､D四个点为顶点的四边形是平行四边形，则点D的坐标为
_______．
【答案】（4，1）或（6，5）或（-2，1）
【详解】
解：由图可知，满足条件的等D坐标为（4，1），（6，5），（-2，1）．故答案为：（4，1）或（6，5）或（-2，1）．
7．（2020·浙江杭州市·八年级期中）如图所示，在平行四边形 中 ， 平分 交
边于点 ，且 ，则 的长为______．
【答案】4
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=DC，AD∥BC，
∴∠DEC=∠BCE，
∵CE平分∠DCB，
∴∠DCE=∠BCE，
∴∠DEC=∠DCE，
∴DE=DC=AB，
∵AD=2AB=2CD，CD=DE，
∴AD=2DE，
∴AE=DE=4，
∴DC=AB=DE=4，
故答案为：4．
8．（2021·山东烟台市·八年级期末）如图， 过 对角线的交点 ，交 于 ，交 于 ，
若 的周长为19， ，则四边形 的周长为_____．
【答案】14.5【详解】解：在平行四边形ABCD中，AD∥BC，AC与BD互相平分
∴AO=OC，∠DAC=∠ACB，∠AOE=∠COF
∴△AOE≌△COF
∴AE=CF，OF=OE=2.5
∴四边形 的周长=CF+DE+CD+EF
=AE+DE+CD+EF
=AD+CD+EF
= ×2
=14.5．
故答案为：14.5．
9．（2020·浙江杭州市·八年级期中）如图，在 中， 与 相交于点O，
（1）若 ，则 _______， _______．又若 厘米，则 的
周长为________．
（2）若 的周长为 ， ，则对角线 与 的和是________．
【答案】9cm 12cm 34cm 36cm
【详解】
解：（1）在平行四边形ABCD中，∵AC=18cm，BD=24cm，
∴AO= AC=9cm=CO，BO= BD=12cm=DO，
∵AB=13cm，
∴CD=13cm，
∴ 的周长为CO+DO+CD=9+12+13=34cm，
故答案为：9cm，12cm，34cm；
（2）∵△AOB的周长为30cm，
∴AB+AO+BO=30cm，
∵AB=12cm，
∴AO+BO=30-12=18cm，
∴AC+BD=2AO+2BO=36cm．
11．（2021·山东泰安市·九年级期末）如图， 分别是 的边 上的点．
将 四边形沿 翻折，得到四边形 交 于点 则 的周长为________．
【答案】24
【详解】
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠AEG=∠EGF，
∵将四边形 沿 翻折，得到 ，
∴ ，
∴∠AEG=60°，
∴∠EGF=60°，
∴△EGF是等边三角形，
∵EF=8，
∴△GEF的周长=24，
故答案为：24．
12．（2020·浙江杭州市·八年级其他模拟）如图，在平行四边形 中， ， ， 和
的角平分线分别交 于点E和F，若 ，则 ____________
【答案】8
【详解】
平行四边形 中， 平分 ， 平分 ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ， ， ，
∴ ， ， ，
∴AE=AB=5，DF=DC=5，
∵AD=BC=8，
∴AF=AD-DF=3，∴EF=AE-AF=2，
延长 使 ，
∴ 为平行四边形，
∴ ， ， ，
∴ ，
∴
∵ ， ，
∴ ，
∴ ．
故答案为：8．
13．（2020·浙江杭州市·八年级期末）如图，平行四边形 中， 分别平分 和 ，
交于 边上点P， ．
（1）求线段 的长．
（2）若 ，求 的面积．
【答案】（1）5；（2）6
【详解】
解：（1）∵AP平分∠DAB，
∴∠DAP=∠PAB，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∵AB∥CD，
∴∠PAB=∠DPA
∴∠DAP=∠DPA
∴△ADP是等腰三角形，
∴AD=DP=2.5，
同理：PC=CB=2.5，即AB=DC=DP+PC=5；
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥CB，AB∥CD，
∴∠DAB+∠CBA=180°，
又∵AP和BP分别平分∠DAB和∠CBA，
∴∠PAB+∠PBA= （∠DAB+∠CBA）=90°，
在△APB中，∠APB=180°-（∠PAB+∠PBA）=90°；
在Rt APB中，AB=5，BP=3，
∴AP△= =4，
∴△APB的面积=4×3÷2=6．
14．（2020·浙江杭州市·八年级期中）如图所示，在平行四边形 中， ， 分别为 ，
上的高，且 ．求平行四边形 各内角的度数．
【答案】140°，40°，140°，40°
【详解】
解：∵AE、AF分别为BC、CD上的高，
∴∠AEC=∠AFC=90°，
∵∠EAF=40°，
∴∠C=360°-∠EAF-∠AEC-∠AFC=140°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠BAD=∠C=140°，∠B=∠D=180°-∠C=40°．
∴平行四边形ABCD各内角的度数分别为：140°，40°，140°，40°．
15．（2021·上海九年级专题练习）已知：如图，在 中， ，求
的周长和面积．
【答案】 ，
【详解】
解：如图所示， ， ，， ，
又 ，
中， ，
中， ，
的周长 ，
的面积 ．
考点2：利用平行四边形的性质证明
典例：（2021·重庆巴蜀中学九年级月考）已知：如图，在平行四边形 中， 、 为对角线 上
的点， ．
（1）请用直尺和圆规作出 的角平分线 ，并标出 与 的交点 ；（请用 铅笔作图并
保留作图痕迹）
（2）在（1）的前提下，若 ，求 的度数．
【答案】（1）见解析；（2）35°．
【详解】
解：（1）如图， 为所作：
（2）∵四边形 为平行四边形，
∴ ， ，
∴ ，在 和 中 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ．
方法或规律点拨
本题考查基本作图—作角平分线、全等三角形的判定与性质、平行四边形的性质、平行线的性质等知识，
是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
巩固练习
1．（2020·河北承德市·九年级二模）如图，已知平行四边形 ， ，依下列步骤作图，并
保留作图痕迹：
步骤1：以 为圆心， 长为半径画弧①，分别交 ， 于点 ， ；
步骤2：以 为圆心，以 长为半径画弧②，交 于点 ；
步骤3：以 为圆心，以 长为半径画弧③，弧②和弧③交于点 ，过 作射线，交 于点 ．则
下列叙述不正确的是：（ ）
A． B． C． 平分 D．
【答案】C
【详解】
解：如图，连结E、F和G、H，
由已知，在△EBF和△GAH中，AG=EB，AH=BF，HG=EF，∴△EBF≌△GAH，故D正确；∵△EBF≌△GAH，∴∠EBF=∠GAH，由平行四边形的性质可得：∠AMB=∠GAH，
∴∠EBF=∠AMB，∴AB=AM，又由平行四边形的性质可得：AB=CD，∴AM=CD，故B正确；
∵∠AMB+∠AMC=180°，∴∠EBF+∠AMC=180°，
又由平行四边形的性质可得：∠EBF+∠C=180°，∴∠AMC=∠C，故A正确；
∵∠BAM=∠MAD不一定成立，∴C不正确，
故选C．
2．（2021·上海九年级专题练习）如图， 中， 、 是直线 上两点，且 ．
求证：（1） ；
（2） ．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【详解】
证明：（1） 四边形 是平行四边形，
，
，
，
，
，
在 和 中，
，
，
；
（2） ，
，
．
3．（2021·上海九年级专题练习）已知：如图， 中， 、 分别是 和 的角平
分线，分别交边 、 于点 、 ，求证： ．【答案】见解析
【详解】
解： 四边形 是平行四边形，
， ， ．
、 分别是 和 的角平分线，
．
．
．
4．（2021·山东泰安市·九年级期末）如图，点 在 内部， ．
（1）求证： ；
（2）求证：
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【详解】
解： 四边形 是平行四边形，
，
同理得
点 在 内部，∴ ，
由 知：
∴ ．
5．（2021·重庆沙坪坝区·九年级期末）如图，在 中， 平分 交 于点 ，交 于
点 ， 平分 交 于点 ．
（1）若 ，求 的度数；
（2）求证： ．
【答案】（1）55°；（2）见解析
【详解】
（1）解：∵四边形 是平行四边形，
∴ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∵ 平分 ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
（2）证明：∵四边形 是平行四边形，
∴ ， ， ，
∴ ．
∵ 平分 ，
∴ ．∵ 平分 ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
又∵ ， ，
∴ ，
∴ ．
6．（2020·云南省保山第九中学九年级月考）如图，点 、 、 、 分别是 的边 、 、
、 的中点．
求证：
【答案】证明见解析
【详解】
证明：∵四边形 是平行四边形
∴ ， ，
∵点 、 、 、 分别是 、 、 、 的中点
∴ ， ， ，
∴ ，
在 和 中
∴
7．（2020·济宁市实验初中九年级月考）证明题：如图，在▱ABCD中，点E、F是对角线AC上两点，且
AE＝CF．
求证：∠BEF＝∠DFE．【答案】见解析
【详解】
证明：∵四边形ABCD是平行四边形（已知），
∴AB＝CD，AB∥CD （平行四边形的对边平行且相等），
∴∠BAE＝∠DCF（两直线平行，内错角相等），
在△ABE和△CDF中，
∵ ，
∴△ABE≌△CDF（SAS），
∴∠AEB＝∠DFC，
∴∠BEF＝∠DFE．
考点3：根据条件判定平行四边形
典例：（2021·菏泽市定陶区第一实验中学八年级月考）下列说法①两组对边分别平行的四边形是平行四边
形；②平行四边形的对角线互相平分③两组对边分别相等的四边形是平行四边形；④平行四边形的每组对
边平行且相等；⑤两条对角线互相平分的四边形是平行四边形；属于平行四边形判定方法的有（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
【答案】C
【详解】
解：①两组对边分别平行的四边形是平行四边形，故①符合题意；
②平行四边形的对角线互相平分，是性质，故②不符合题意；
③两组对边分别相等的四边形是平行四边形，故③符合题意；
④平行四边形的每组对边平行且相等，是性质，故④不符合题意；
⑤两条对角线互相平分的四边形是平行四边形，故⑤符合题意；
故选：C．
方法或规律点拨
本题考查了平行四边形的判定，平行四边形的判别方法是说明一个四边形为平行四边形的理论依据，在应
用判定定理判定平行四边形时，应仔细观察题目所给的条件，仔细选择适合于题目的判定方法进行解答，
避免混用判定方法．
巩固练习
1．（2021·上海九年级专题练习）下列条件中不能判定一定是平行四边形的有（ ）
A．一组对角相等，一组邻角互补
B．一组对边平行，另一组对边相等C．两组对边相等
D．一组对边平行，且另一组对边也平行
【答案】B
【详解】 、能用两组对角相等的四边形是平行四边形判定平行四边形；
、不能判定平行四边形，如等腰梯形；
、能用两组对边相等的四边形是平行四边形判定平行四边形；
、能用两组对边分别平行的四边形是平行四边形判定平行四边形；
故选： ．
2．（2021·上海九年级专题练习）四边形 中，对角线 交于点 ．给出下列四组条件：
① ∥ ， ∥ ；
② ， ；
③ ， ；
④ ∥ ， ．
其中一定能判定这个四边形是平行四边形的条件共有（ ）
A．1组； B．2组； C．3组； D．4组．
【答案】C
【详解】解：① ∥ ， ∥ ，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形即可得到四边形
是平行四边形；
② ， ，根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形即可得到四边形是平行
四边形；；
③ ， ，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形即可得到四边形是平行四边形；
④ ∥ ， ，无法判定四边形是平行四边形．
故选：C
3．（2021·广东广州市·八年级期末）如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列条件不
能判定四边形ABCD为平行四边形的是（ ）
A．AB∥CD，AD∥BC B．AD∥BC，AB＝CD
C．OA＝OC，OB＝OD D．AB＝CD，AD＝BC
【答案】B
【详解】
A、根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可以判定；
B、无法判定，四边形可能是等腰梯形，也可能是平行四边形；C、根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，可以判定；
D、根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形，可以判定；
故选：B．
4．（2020·重庆江北区·字水中学九年级月考）下列命题是假命题的是（ ）
A．两组对边分别平行的四边形是平行四边形
B．两组对边分别相等的四边形是平行四边形
C．两组对角分别互补的四边形是平行四边形
D．对角线互相平分的四边形是平行四边形
【答案】C
【详解】解：两组对边分别平行的四边形是平行四边形，A是真命题；
两组对边分别相等的四边形是平行四边形，B是真命题；
两组对角分别相等的四边形是平行四边形，C是假命题
对角线互相平分的四边形是平行四边形，D是真命题；
故选：C
5．（2020·四川巴中市·八年级期末）下列说法，属于平行四边形判定方法的有（ ）．
①两组对边分别平行的四边形是平行四边形；
②平行四边形的对角线互相平分；
③两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
④平行四边形的每组对边平行且相等；
⑤两条对角线互相平分的四边形是平行四边形；
⑥一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
A．6个 B．5个 C．4个 D．3个
【答案】C
【详解】
两组对边分别平行的四边形是平行四边形，故①正确；
平行四边形的对角线互相平分，是平行四边形的性质，故②错误；
两组对边分别相等的四边形是平行四边形，故③正确；
平行四边形的每组对边平行且相等，是平行四边形的性质，故④错误；
两条对角线互相平分的四边形是平行四边形，故⑤正确；
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故⑥正确；
故正确的是①③⑤⑥；
故答案选C．
6．（2020·四川自贡市·成都实外八年级期中）在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列条件
不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】B【详解】
解：A选项两组对边相等，属于平行四边形判定定理，
C选项： ，
，
又 ，
，
，
四边形ABCD是平行四边形；
D选项： ，
， ，
又 ，
，
，
，
四边形ABCD是平行四边形．
故只有B选项不能判定，
故选B．
7．（2021·山东东营市·八年级期末）下面关于平行四边形的说法中，不正确的是（ ）
A．对角线互相平分的四边形是平行四边形
B．有一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形
C．有一组对边相等，一组对角相等的四边形是平行四边形
D．有两组对角相等的四边形是平行四边形
【答案】C
【详解】
A、∵对角线互相平分的四边形是平行四边形，
∴选项A不符合题意；
B、∵有一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形，
∴选项B不符合题意；
C、∵有一组对边相等，一组对角相等的四边形不一定是平行四边形，
∴选项C符合题意；D、∵有两组对角相等的四边形是平行四边形，
∴选项D不符合题意；
故选：C．
8．（2020·浙江杭州市·八年级其他模拟）如图，在 中，对角线 ， 相交于点 ， 、
是对角线 上的两点，给出下列四个条件，其中不能判定四边形 是平行四边形的有（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
解：A、∵ ，
∴AO=CO，
由于四边形ABCD是平行四边形，则BO=DO，
∴四边形DEBF是平行四边形；
B、不能证明四边形DEBF是平行四边形；
C、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，∠DAE=∠BCF，又∠ADE=∠CBF，
∴△DAE≌△BCF（ASA），
∴AE=CF，同A可证四边形DEBF是平行四边形；
D、同C可证：△ABE≌△CDF（ASA），
∴AE=CF，同A可证四边形DEBF是平行四边形；
故选：B．
9．（2021·全国八年级）在四边形 中，对角线 与 相交于点 ．
①如果 ， ，那么四边形 是平行四边形；
②如果 ， ，那么四边形 是平行四边形；
③如果 ， ，那么四边形 是平行四边形；
④如果 ， ，那么四边形 是平行四边形．
（1）判断上述四个命题的真假；
（2）证明上述四个命题的真假．
（提示：证明一个命题是假命题，只要举个反例．）【答案】（1）①真命题；②真命题；③假命题；④假命题；（2）证明见解析
【详解】
解：（1）①如果 ， ，那么四边形 是平行四边形是真命题；
②如果 ， ，那么四边形 是平行四边形是真命题；
③如果 ， ，那么四边形 是平行四边形是假命题；
④如果 ， ，那么四边形 是平行四边形是假命题．
（2）① ，
，
， ，
，
，
四边形 是平行四边形；
② ，
，
，
，
四边形 是平行四边形；
③如图1，当 ， 时，则四边形 不是平行四边形；
④如图2，当 ， 时，则四边形 不是平行四边形．
考点4：添加条件构成平行四边形
典例：（2020·福建省泉州实验中学八年级月考）如图，在 中，D，F分别是 ， 上的点，且
．点E是射线 上一点，若再添加下列其中一个条件后，不能判定四边形 为平行四边
形的是（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：A、∵∠ADE=∠E， ∴AB∥CE，
又∵DF∥BC，
∴四边形DBCE为平行四边形；故选项A不符合题意；
B、∵DF∥BC，
∴∠ADE=∠B，
∵∠B=∠E，
∴∠ADE=∠E，
∴AB∥CE，
∴四边形DBCE为平行四边形；故选项B不符合题意；
C、∵DF∥BC，
∴DE∥BC，
又∵DE=BC，
∴四边形DBCE为平行四边形；故选项C不符合题意；
D、由DF∥BC，BD=CE，不能判定四边形DBCE为平行四边形；
故选项D符合题意；
故选：D．
方法或规律点拨
本题考查了平行四边形的判定、平行线的判定与性质等知识；熟练掌握平行四边形的判定是解题的关键．
巩固练习
1．（2020·大庆市万宝学校八年级期末）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，要使四边形ABCD成为平
行四边形，则应增加的条件是（ ）
A．AB＝CD B．∠BAD＝∠DCB C．AC＝BD D．∠ABC＋∠BAD＝180°
【答案】B
【详解】
A错误,当四边形 是等腰梯形时,也满足条件．
B正确，∵ ，∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴四边形 是平行四边形．
C错误，当四边形 是等腰梯形时，也满足条件．
D错误，∵ ，
∴ ，与题目条件重复，无法判断四边形 是不是平行四边形．
故选:B．
2．（2020·浙江杭州市·八年级其他模拟）四边形 中，已知 ，添加下列条件不能判定四边
形 为平行四边形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
解：根据平行四边形的判定，
A、AD∥BC，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可以判定；
B、AB=CD，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可以判定；
C、AD=BC，一组对边平行且一组对边相等，无法判定；
D、AB∥CD，可得∠A+∠D=180°，又∠A=∠C，可得∠C+∠D=180°，可得AD∥BC，根据两组对边分别
平行的四边形是平行四边形可以判定；
故选：C．
3．（2020·通辽市科尔沁区第七中学八年级期中）如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，欲
使ABCD为平行四边形，需添加条件（ ）
A．AB=AD，BC=CD B．AO=OC，BO=DO C．AO⊥OD D．AO⊥AB
【答案】B
【详解】
欲使ABCD为平行四边形，按平行四边形的判定定理，选择B，
∵AO=OC，BO=OD，
∴四边形ABCD为平行四边形，
故选择B．
4．（2020·吉林长春市·长春外国语学校八年级月考）如图，在四边形ABCD中，AB//CD，要使四边形ABCD是平行四边形，可添加的条件不正确的是（ ）
A．AB=CD B．BC=AD C．∠A=∠C D．BC∥AD
【答案】B
【详解】
解： 添加： 可判定四边形ABCD是平行四边形，故 正确；
添加： ，不可判定四边形ABCD是平行四边形，故 错误；
，
添加：
从而可判定四边形ABCD是平行四边形，故 正确；
添加： 可判定四边形ABCD是平行四边形，故 正确；
故选：
5．（2020·陕西九年级专题练习）如图，在 中， 分别是 的中点，点 在 延长线
上，添加一个条件使四边形 为平行四边形，则这个条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
∵在 中， 分别是 的中点，
∴ 是 的中位线，
∴ ．
A、根据 不能判定 ，即不能判定四边形 为平行四边形，故本选项错误．
B、根据 可以判定 ，即 ，由“两组对边分别平行的四边形是平行四边
形”得到四边形 为平行四边形，故本选项正确．C、根据 不能判定 ，即不能判定四边形 为平行四边形，故本选项错误．
D、根据 不能判定四边形 为平行四边形，故本选项错误．
故选B．
6．（2020·四川巴中市·八年级期末）在四边形 中，对角线相交于点 ，给出下列条件：①
， ；② ， ；③ ， ；④ ， ．
其中能够判定 是平行四边形的有______．
【答案】①③④
【详解】
解：如图，
① ， ，根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形，故①正确；
② ， ，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故②错误；
③ ， ，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，故③正确；
④ ， ，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，故④正确；
故答案为：①③④
7．（2021·上海九年级专题练习）在四边形 中， ∥ ，要使四边形 是平行四边形，
还需添加一个条件，这个条件可以是__________．（只要填写一种情况）
【答案】 （答案不唯一）
【详解】
解：∵AD∥BC，AD=BC，
∴四边形ABCD是平行四边形．
故答案为：AD=BC（答案不唯一）
8．（2020·磴口县第一完全中学八年级期末）如图，在 中，对角线AC、BD相交于点O，已知
点E、F分别是BD上的点，请你添加一个条件_______________ ，使得四边形AFCE是一个平行四边形．【答案】DE=BF
【详解】
解：使四边形AECF也是平行四边形，则要证四边形的两组对边相等，或两组对边分别平行，可添加条件
DE=BF，
∵AD∥BC，
∴∠EDA=∠FBC，
∵AD=BC，DE=BF，
∴△ADE≌△CBF，
∴AE=FC，
同理，△ABF≌△CED，
∴CE=AF，
∴四边形AECF是平行四边形．
故答案为：DE=BF．
9．（2021·江苏九年级专题练习）如图，在四边形 中，若 ，则添加一个条件________，
能得到平行四边形 （不添加辅助线，任意添加一个符合题意的条件即可）．
【答案】AB∥CD(答案不唯一)
【详解】
解：∵在四边形 中，已知 ，
结合“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”，
故添加AB∥CD可以得到平行四边形 ．
故答案为：AB∥CD．
10．（2019·甘肃张掖市·八年级期末）如图所示，在▱ABCD中，E，F分别为AD，BC边上的一点，若添
加一个条件_______，则四边形EBFD为平行四边形．
【答案】AE＝FC或∠ABE＝∠CDF
【解析】∵四边形EBFD要为平行四边形，∴∠BAE=∠DCF，AB=CD，又AE=FC
∴△AEB≌△CFD，∴AE=FC，∴DE=BF
∴四边形EBFD为平行四边形．
∴可添加的条件是AE=FC，同理还可添加∠ABE=∠CDF．
故答案为AE=FC或∠ABE=∠CDF．考点5：平行四边形的性质和判定
典例：（2020·大庆市万宝学校八年级期末）已知：如图所示，在平行四边形ABCD中，DE、BF分别是
∠ADC和∠ABC的角平分线，交AB、CD于点E、F，连接BD、EF．
（1）求证：BD、EF互相平分；
（2）若∠A＝60°，AE＝2EB，AD＝4，求线段BD的长．
【答案】（1）证明见解析；（2）
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD∥AB，CD=AB，AD=BC，
∵DE、BF分别是∠ADC和∠ABC的角平分线，
∴∠ADE=∠CDE，∠CBF=∠ABF，
∵CD∥AB，
∴∠AED=∠CDE，∠CFB=∠ABF，
∴∠AED=∠ADE，∠CFB=∠CBF，
∴AE=AD，CF=CB，
∴AE=CF，
∴AB-AE=CD-CF，即BE=DF，
∵DF∥BE，
∴四边形DEBF是平行四边形，
∴BD、EF互相平分；
（2）如图，过D点作DG⊥AB于点G，
∵∠A= ，AE=AD，
∴△ADE是等边三角形，
∵AD=4，
∴DE=AE=4，∵AE=2EB，
∴BE=2，
在Rt ADG中，AD=4，∠A= ，
△
∴ ，
∴DG= ，
∴ ．
方法或规律点拨
本题考查平行四边形的判定和性质、等边三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活应用
所学知识解决问题．
巩固练习
1．（2021·山东烟台市·八年级期末）在△ABC中，AB＝AC，点D在边BC所在的直线上，过点D作
DE∥AC交直线AB于点E，DF∥AB交直线AC于点F．
（1）当点D在边BC上时，如图①，求证：DE＋DF＝AC；
（2）当点D在边BC的延长线上时，如图②；当点D在边BC的反向延长线上时，如图③，请分别写出图
②、图③中DE、DF、AC之间的等量关系式（不需要证明）；
（3）若AC＝10，DE＝7，问：DF的长为多少？
【答案】（1）见解析；（2）图②中，DE﹣DF＝AC；图③中，DF﹣DE＝AC；（3）17或3
【详解】
解：（1）∵DE∥AC，DF∥AB，
∴四边形AEDF是平行四边形，
∴DE＝AF，∠FDC＝∠B，
又∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C
∴∠FDC＝∠C，
∴DF＝FC，
∴DE＋DF＝AF＋FC＝AC；（2）如图②，当点D在边BC的延长线上时，
∵DE∥AC，DF∥AB，
∴四边形AEDF是平行四边形，
∴DE＝AF，∠FDC＝∠B，
又∵ＺAB＝AC，
∴∠B＝∠ACB=∠DCF，
∴∠FDC＝∠DCF，
∴DF＝FC，
∴DE=AF=AC+CF＝AC＋DF；
即DE﹣DF＝AC；
当点D在边BC的反向延长线上时，在图③，
∵DE∥AC，DF∥AB，
∴四边形AEDF是平行四边形，
∴DE＝AF，∠FDC＝∠ABC，
又∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C，
∴∠FDC＝∠C，
∴DF＝FC，∴DF=FC=FA+AC=DE+AC；
∴DF﹣DE＝AC．
（3）当点D在边BC上时，
如图①所示，
DE＋DF＝AC，
∴DF＝AC﹣DE＝10﹣7＝3；
当点D在边BC的反向延长线上时，如图③所示，DF﹣DE＝AC．
∴DF＝AC＋DE＝10＋7＝17.
∴DF的长为17或3，
2．（2021·山东烟台市·八年级期末）如图，四边形ABCD是平行四边形，∠BAD的角平分线AE交CD于
点F，交BC的延长线于点E．
（1）求证：BE＝CD；
（2）若BF恰好平分∠ABE，连接AC、DE，求证：四边形ACED是平行四边形．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB＝CD，
∴∠DAE＝∠AEB，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠DAE，
∴∠BAE＝∠AEB，
∴BE＝AB，
∴BE=CD；
（2）∵BE＝AB，BF平分∠ABE，
∴AF＝EF，在△ADF和△ECF中，
，
∴△ADF≌△ECF，
∴DF＝CF，
又∵AF＝EF，
∴四边形ACED是平行四边形．
3．（2020·深圳市龙岗区深圳中学龙岗初级中学八年级期末）如图，四边形ABCD中，BE⊥AC交AD于
点G，DF⊥AC于点F，已知AF=CE，AB=CD．
（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；
（2）如果∠GBC=∠BCD，AG=6，GE=2，求AB的长．
【答案】（1）见解析 （2）9
【详解】
解：（1）∵AF=CE，
∴AF-EF=CE-EF，
∴AE=CF，
∵BE⊥AC，DF⊥AC，，
∴∠AEB=∠CFD=90°，
∵AB=CD，
∴Rt ABE≌Rt CDF，
∴∠BAE=∠DCF，
△ △
∴AB∥CD，
∵AB=CD，
∴四边形ABCD是平行四边形；
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，∠DAB=∠BCD，
∴∠AGB=∠GBC，
∵∠GBC=∠BCD，
∴∠AGB=∠BAG，∴AB=GB，
设AB=GB=x，则BE=x-2，
∵BG⊥AC，
∴ ，
∴ ，
解得x=9，
∴AB=9．
4．（2020·陕西榆林市·八年级期末）如图， 的对角线 相交于点
，点 从点 出发，沿 方向以每秒 的速度向终点 运动，
连接 ，并延长交 于点 ．设点 的运动时间为 秒．
（1）求 的长（用含 的代数式表示）；
（2）当四边形 是平行四边形时，求 的值；
（3）当 时，点 是否在线段 的垂直平分线上？请说明理由．
【答案】（1）10-t；（2）5秒；（3）见解析
【详解】
解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，AD∥BC，
∴∠PAO=∠QCO，
∵∠AOP=∠COQ，
∴△APO≌△CQO（ASA），
∴AP=CQ=t，
∵BC=10，
∴BQ=10-t；
（2）∵AP∥BQ，
当AP=BQ时，四边形ABQP是平行四边形，
即t=10-t，解得：t=5，
∴当t为5秒时，四边形ABQP是平行四边形；
（3）过点O作直线EF⊥AP，垂足为E，与BC交于F，
在Rt ABC中，∵AB=6，BC=10，
△∴AC= ，
∴AO=CO= AC=4，
∵S ＝ = ，
ABC
△
∴AB•AC=BC•EF，
∴6×8=10×EF，
∴EF＝ ，
∴OE= ，
∴AE= = ，
当 时，AP= ，
∴2AE=AP，即点E是AP中点，
∴点O在线段AP的垂直平分线上．
5．（2021·山东淄博市·八年级期末）如图，在 中， ，中线 ， 相交于点 ，
点 ， 分别为 ， 的中点．
（1）求证： ， ；
（2）若 ， ，求四边形 的面积．
【答案】（1）见解析；（2）2【详解】
（1）证明：∵点 ， 分别是 ， 的中点，
∴ ， ．
∵点 ， 分别是 ， 的中点，
∴ ， ．
∴ ， ．
∴四边形 是平行四边形．
∴ ， ；
（2）解：∵ ，
∴ ．
又∵ ，
∴ ．
∵ ， ，
∵ ，
∵点 是 中点，
∴ ．
∴ ．
∴四边形 的面积 ．
6．（2020·浙江杭州市·八年级其他模拟）如图，平行四边形 中， 是它的一条对角线，过 、
两点作 ，垂足分别为 、 ，延长 、 分别交 、 于 、 ．
（1）求证：四边形 是平行四边形；
（2）已知 ．求 的长．
【答案】（1）见解析；（2）5
【详解】解：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD∥AB，
∵AM⊥BD，CN⊥BD，
∴AM∥CN，
∴CM∥AN，AM∥CN，
∴四边形AMCN是平行四边形．
（2）∵四边形AMCN是平行四边形，
∴CM＝AN，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD＝AB，CD∥AB，
∴DM＝BN，∠MDE＝∠NBF，
在△MDE和△NBF中，
，
∴△MDE≌△NBF（AAS），
∴ME＝NF＝3，
在Rt DME中，∵∠DEM＝90°，DE＝4，ME＝3，
∴DM△＝ ＝5，
∴BN＝DM＝5．
